Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006"

Transkriptio

1 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

2 Sisältö 1 Luupeista Luupit ja niiden kertolaskuryhmät Transversaalit 5 3 H-yhdistetyt transversaalit 7 4 Luuppien kertolaskuryhmien rakenteesta 9 1

3 1 Luupeista 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät Määritelmä 1. Olkoon Q ei-tyhjä joukko. Luuppi on pari (Q, ), missä on joukon Q inäärinen operaatio, joka toteuttaa seuraavat ehdot: (i) on olemassa sellainen alkio 1 Q, että 1 x = x 1 = x kaikilla x Q (neutraalialkio) ja (ii) kaikilla annetuilla a Q ja Q yhtälöille a x = y a = on olemassa yksikäsitteiset ratkaisut x Q ja y Q. Jatkossa jatkaen ryhmistä tuttua perinnettä luuppiin (Q, ) viitataan vain joukolla Q ja inäärinen operaatio jätetään merkitsemättä luupin laskutoimituksissa. Täten luuppi on inäärinen rakenne, jolla on yksikäsitteinen neutraalialkio ja yksikäsitteinen jakolasku. Määritelmä 2. Luuppi Q on assosiatiivinen, mikäli (a)c = a(c) kaikilla a,, c Q. Luuppi Q on kommutatiivinen, mikäli a = a kaikilla a, Q. Assosiatiivinen luuppi Q on ryhmä. Jos a Q, niin yhtälöillä ax = 1 ja ya = 1 on yksikäsitteiset ratkaisut x, y Q. Tällöin a1 = 1a = (ax)a. Kertomalla vasemmalta alkiolla y saadaan y(a1) = y((ax)a) eli assosiatiivisuuden nojalla 1 = xa eli x = a 1. Siis assosiatiivisen luupin Q jokaisella alkiolla on käänteisalkio eli Q on ryhmä. Olkoon a Q mielivaltainen. Määritellään nyt kuvaukset L a : Q Q, L a (x) = ax ja R a : Q Q, R a (x) = xa. Koska Q on luuppi, niin kuvaukset ovat hyvin määriteltyjä ja ne ovat joukon Q permutaatiota. Määritelmä 3. Luupin Q permutaatioiden aliryhmää L a, R a a Q kutsutaan luupin Q kertolaskuryhmäksi ja merkitään M(Q). Luupin Q sisäinen kertolaskuryhmä on ryhmä eli kaikki neutraalialkion 1 stailisoijat. I(Q) = {I M(Q) I(1) = 1} Määritellään nyt avuksi kuvaukset L a, = L 1 a L L a ja N a, = L 1 a R L a, missä a, Q. Nyt on selvää, että L a, (1) = L 1 a (a) = 1 ja N a,(1) = L 1 a (a) = 1 eli L a, I(Q) ja N a, I(Q). 2

4 Lemma 1. Olkoon Q luuppi ja a, Q. Tällöin (i) L L a = L a L a,, (ii) L 1 L a = L x L 1 x, (iii) R L a = L a N a, ja (iv) R 1 L a = L x N 1 x, Todistus. [1], 3.7 (s. 23), missä x = L 1 (a),, missä x = R 1 (a). (i) Nyt L L a = L a L 1 a L L a = L a L a,. (ii) Määritelmän nojalla L 1 x, = L 1 x L 1 L x eli L 1 L x = L x L 1 x,. Valitaan a = x eli L (x) = a. Koska Q on luuppi ja x Q mielivaltainen, niin a voi käydä läpi kaikki luupin Q alkiot. Siis L 1 (a) = x. Väite seuraa tästä. (iii) Selvästi R L a = L a L 1 a R L a = L a N a,. (iv) Määritelmän nojalla N 1 x, = L 1 x R 1 L x eli R 1 L x = L x N 1 x,. Valitaan a = x eli R (x) = a. Kuten aiemmin alkio a Q voidaan ajatella mielivaltaiseksi. Nyt R 1 (a) = x ja väite seuraa tästä. Valitaan lemmassa 1 a = 1, jolloin saadaan seuraava tulos. Lemma 2. Olkoon Q luuppi ja Q. Tällöin (i) L = L I, missä I = (1), (ii) L 1 = L x L 1 x,, missä x = L 1 (1), (iii) R = L N 1, ja (iv) R 1 = L x N 1 x,, missä x = R 1 (1). Lemma 3. Olkoon Q luuppi. Jos X M(Q), niin se on esitettävissä yksikäsitteisesti muodossa X = L x I, missä I I(Q) ja x = X(1) Lisäksi I(Q) = A, B, missä A = {L a, a, Q} ja B = {N a, a, Q}. 3

5 Todistus. [1], 3.7 (s. 23) Ryhmän M(Q) määritelmän perusteella X = X r X r 1 X 1, missä r Z + ja X i on jokin permutaatioista L a, R, L 1 a tai R 1, missä a, Q. Osoitetetaan induktiolla luvun r suhteen, että X = L x I, missä I A, B. Huomioidaan, että L 1,1 = N 1,1 on identiteettikuvaus. Jos r = 1, niin X = X 1 ja lemman 2 nojalla X 1 on haluttua muotoa. Oletetaan nyt, että väite on tosi kaikilla r > 1 pienimmillä kokonaisluvuilla ja X = X r X r 1 X 1. Tällöin X r 1 X 1 = L a V, missä a Q ja V A, B. Siis lemman 1 nojalla X = X r L a V = L x UV, missä x Q ja U A, B. Nyt UV A, B, joten induktiotodistus menee läpi. Selvästi X(1) = L x I(1) = L x (1) = x, joten alkio x Q on yksikäsitteinen. Siis kuvaus L x on myös yksikäsitteinen. Nyt I = XL 1 x, joten myös kuvaus I A, B on yksikäsitteinen. Jos U I(Q), niin aiemman nojalla U = L 1 I = I, missä I A, B. Täten I(Q) A, B. Selvästi A, B I(Q), joten väite on todistettu. 4

6 2 Transversaalit Määritelmä 4. Olkoon G ryhmä ja H G. Joukkoa T sanotaan aliryhmän H oikeaksi transversaaliksi ryhmässä G, mikäli se sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta ryhmän G oikeasta sivuluokasta Ha. Vastaavasti määritellään aliryhmän H vasen transversaali ryhmässä G. Jos H G, niin tällöin joukko T on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G jos ja vain jos joukko T on aliryhmän H vasen transversaali ryhmässä G. Tämä koska T Hg = T gh kaikilla g G. Tällöin voidaan puhua vain aliryhmän H transversaaleista ryhmässä G. Jatkossa toispuoleisia transversaaleja voidaan tekstin lyhentämiseksi kutsua vain transversaaleiksi, jolloin puoleisuuden oletetaan olevan asiayhteydestä selvää. Seuraavaksi todistetaan muutama ominaisuus oikeille transversaaleille, mutta todistukset voidaan helposti muuntaa myös vasemmanpuoleisiin tapauksiin. Lemma 4. Olkoon G ryhmä, H G ja T aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Tällöin G = HT ja T = [G : H]. Lisäksi T g ja ht ovat aliryhmän H oikeita transversaaleja ryhmässä G kaikilla g G ja h H. Todistus. Koska HT G, niin riittää osoittaa, että mielivaltainen g G kuuluu myös kompleksiin HT. Transversaalin määritelmän nojalla on olemassa sellainen t T, että t = hg eräällä h H. Nyt g = h 1 t HT. Transversaalin alkioiden lukumäärää on [G : H], koska se sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta aliryhmän H sivuluokasta. Olkoon Ha mielivaltainen aliryhmän H määräämä oikea sivuluokka. Koska ryhmä G voidaan esittää sivuluokkien unionina, on g = h g eräillä h H ja g G. Lisäksi on olemassa t T H(ag 1 h 1 ) eli t = hag 1 h 1 eräällä h H. Täten Täten T g Ha. tg = hag 1 h 1 h g = ha Ha. Nyt voidaan olettaa, että x, y T g Ha. Tällöin xg 1, yg 1 T Hag 1, joten transversaalin määritelmän nojalla xg 1 = yg 1 eli x = y. Siis T g Ha = 1 mielivaltaisella sivuluokalla Ha. Täten myös joukko T g on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Jos h H, niin t T Ha jos ja vain jos ht ht hha = ht Ha. Siis myös ht on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Lemma 5. Olkoon G ryhmä ja H G. Tällöin joukko T G on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G jos ja vain jos jokainen ryhmän G alkio voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa ht, missä h H ja t T. Erityisesti jos T G on aliryhmän H oikea transversaali, niin jokaista g G kohti on olemassa sellainen yksikäsitteinen t T, että gt 1 H. 5

7 Todistus. Oletetaan, että ryhmän G jokainen alkio voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa ht, missä h H, t T ja olkoon Ha mielivaltainen sivuluokka. Oletuksen nojalla a = ht, missä h H ja t T ovat yksikäsitteisiä. Nyt t = h 1 a Ha T. Olkoon lisäksi t Ha T. Siis 1t = t = h a = h ht eräällä h H. Koska 1, h h H ja oletuksen perusteella tämä esitys on yksikäsitteinen, niin 1 = h h ja t = t. Siis T Ha = 1 ja T on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Oletetaan, että joukko T G on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Lemman 4 nojalla riittää osoittaa vain yksikäsitteisyys eli jos g = ht = h t, missä h, h H ja t, t T, niin h = h ja t = t. Nyt t = h 1 h t Ht ja koska 1 H, niin myös t Ht. Siis t, t T Ht eli t = t transversaalin alkioiden valinnan perusteella. Täten myös h = h. Jos joukko T G on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G, niin todistuksen alun perusteella jokaisella g G pätee, että g = ht, missä h H ja t T ovat yksikäsitteisiä. Siis gt 1 H. Jos gt 1 H, niin g Ht eli g = h t eräällä h H. Yksikäsitteisyyden nojalla t = t, josta viimeinen väite seuraa. 6

8 3 H-yhdistetyt transversaalit Määritelmä 5. Aliryhmän H oikea transversaali T ryhmässä G on vakaa, mikäli joukko gt on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G kaikilla g G. Vastaavasti määritellään vakaat vasemmat transversaalit. Lemma 6. Olkoon G ryhmä, H G ja T G. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät (i) joukko T on aliryhmän H vakaa oikea transversaali ryhmässä G, (ii) joukko T g on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G kaikilla g G, (iii) joukko T g on aliryhmän H vasen transversaali ryhmässä G kaikilla g G ja (iv) joukko T on aliryhmän H vakaa vasen transversaali ryhmässä G. Todistus. [1], 2.1 (s ) Osoitetaan ensiksi, että väitteet (i) ja (ii) ovat yhtäpitävät. Jos T on aliryhmän H vakaa oikea transversaali ryhmässä G, niin g 1 T on myös oikea transversaali mielivaltaisella g G. Lemman 4 nojalla g 1 T g = T g on oikea transversaali. Toiseen suuntaan oletetaan, että T g on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G kaikilla g G. Nyt erityisesti T 1 = T on oikea transversaali. Lemman 5 nojalla jokaisella x G alkio xg 1 voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa xg 1 = ht g 1, missä h H ja t T. Täten esitys x = hgt on yksikäsitteinen ja gt on oikea transversaali saman lemman nojalla. Siis oikea transversaali T on vakaa. Osoitetaan sitten, että väitteet (i) ja (iii) ovat yhtäpitävät. Jos väite (i) pätee ja x G on kiinnitetty, niin x 1 g 1 T Hg 1 = 1 eli g 1 T g xh = 1 kaikilla g G. Siis joukko T g on aliryhmän H vasen transversaali kaikilla g G. Jos väite (iii) pätee ja g G mielivaltainen, niin gt g 1 Hx = 1 eli gt Hxg = 1 kaikilla x G. Siis T on vakaa oikea transversaali. Väitteiden (iii) ja (iv) yhtäpitävyys on helppo todistaa muuntamalla jompaa kumpaa edellä esitetyistä tavoista. Tämän lemman nojalla joukko T on vakaa oikea transversaali jos ja vain jos T on myös vakaa vasen transversaali. Täten puhutaan vain vakaista transversaaleista välittämättä transversaalin puolesta. Määritelmä 6. Olkoon A ja B kaksi aliryhmän H vasenta transversaalia ryhmässä G. Jos [A, B] H, niin sanotaan, että A ja B ovat H-yhdistettyjä ryhmässä G. Jos [A, A] H, niin sanotaan, että A on H-itseyhdistetty. Lemma 7. Olkoon G ryhmä ja H G. Jos A ja B ovat aliryhmän H oikeita transversaaleja ryhmässä G ja A, B ovat H-yhdistettyjä, niin A ja B ovat vakaita. Todistus. [2], 2.2 (s. 113) Olkoon x G mielivaltainen ja osoitetaan, että xa on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Lemman 5 nojalla x = h, 7

9 missä h H ja B. Olkoon a, c A mielivaltaisia, jolloin xa, xc xa. Jos Hxa = Hxc, niin xa(xc) 1 H eli ac 1 1 H. Nyt ac 1 = (aa 1 1 )(ac 1 1 )(c 1 c 1 ) H koska [A, B] H ja siten myös [B, A] H. Siis Ha = Hc ja transversaalin määritelmän nojalla a = c. Täten jokaisessa sivuluokassa Hxa on korkeintaan yksi alkio joukosta xa. Olkoon Hy mielivaltainen oikea sivuluokka, missä y G. Nyt y 1 = kd, missä k H ja d A. Täten xdy 1 = h(d 1 d 1 )k 1 H eli xd Hy. Siis jokainen oikea sivuluokka sisältää täsmälleen yhden alkion joukosta xa, josta väite seuraa. Samalla tavalla voidaan osoittaa vastaava väite myös aliryhmän vasemmille transversaaleille. Lemman 6 jälkeisen huomatuksen nojalla jatkossa H-yhdistetyistä transversaaleista puhuttaessa transversaalin puolesta ei tarvitse huolehtia. Määritelmä 7. Olkoon G ryhmä ja H G. Tällöin L G (H) = H g. Määritelmän perusteella on selvää, että L G (H) H ja L G (H) G. Lisäksi jos K H ja K G, niin jokaisella k K pätee k H g kaikilla g G. Siis K L G (H) eli L G (H) on aliryhmään H sisältyvistä ryhmän G normaalista aliryhmistä laajin. Lemma 8. Olkoon G ryhmä ja H G. Jos A on aliryhmän H vasen transversaali ryhmässä G ja x H a 1 g G kaikilla a A, niin x L G (H). Todistus. Olkoon g G mielivaltainen. Tällöin lemman 5 nojalla g = ah, missä a A ja h H. Siis g 1 = h 1 a 1. Nyt x H a 1 = H h 1 a 1 = H g 1, ja koska g G oli mielivaltainen, niin x L G (H). Lemma 9. Olkoon G ryhmä ja H G. Jos A ja B ovat H-yhdistettyjä transversaaleja ja L G (H) = {1}, niin 1 A ja 1 B. Todistus. [2] (s. 113) Olkoon x A H ja B mielivaltainen. Nyt x = xx 1 1 x = x [x, ] H, koska [A, B] H. Siis x H 1 mielivaltaisella B. Lemman 8 nojalla x L G (H) = {1}. Siis 1 A. Vastaavasti väite voidaan osoittaa transversaalille B. 8

10 4 Luuppien kertolaskuryhmien rakenteesta Lemma 10. Jos Q on luuppi, H I(Q) ja H on ryhmän M(Q) normaali aliryhmä, niin H = {1}. Todistus. [1], 3.23 (s. 34) Oletetaan, että H I(Q) ja H M(Q). Tällöin L 1 a HL a = H kaikilla a Q. Olkoon U H mielivaltainen ja merkitään V = L 1 a UL a. Koska H I(Q), niin U(1) = 1 ja V (1) = 1. Nyt (L 1 a UL a )(1) = 1 eli (L 1 a U)(a) = 1 kaikilla a Q. Tämä on mahdollista vain, kun U(a) = a kaikilla a Q eli H = {1}. Täten aliryhmän I(Q) ydin ryhmässä M(Q) sisältää vain neutraalialkion. Lemma 11. Olkoon Q luuppi. Tällöin joukot A = {L a a Q} ja B = {R a a Q} ovat I(Q)-yhdistettyjä transversaaleja ryhmässä M(Q). Lisäksi L M(Q) (I(Q)) = {1} ja M(Q) = A, B. Todistus. [1], 3.22 (s. 33) ja 3.24 (s. 35) Olkoon Q luuppi. Jos X M(Q) on mielivaltainen, niin lemman 3 nojalla X = L x U, missä x Q ja U I(Q). Nyt L x XI(Q). Jos eräällä y Q pätee L y XI(Q), niin X = L y V, missä V I(Q) ja esityksen yksikäsitteisyyden nojalla L x = L y. Täten jokainen aliryhmän I(Q) vasen sivuluokka sisältää täsmälleen yhden joukon A alkion. Vastaava päättely voidaan tehdä joukolla B. Siis joukot A ja B ovat aliryhmän I(Q) vasempia transversaaleja ryhmässä M(Q). Jos a, Q, niin [L a, R ] (1) = L 1 a R 1 (a) = L 1 a (a) = 1 eli [B, A] I(Q), joten transversaalit ovat I(Q)-yhdistettyjä. Lisäksi määritelmän nojalla M(Q) = A, B. Koska L M(Q) (I(Q)) I(Q) ja se on normaali aliryhmä ryhmässä M(Q), niin lemman 10 nojalla L M(Q) (I(Q)) = {1}. Lemma 12. Olkoon Q kommutatiivinen luuppi. Tällöin joukko A = {L a a Q} on I(Q)-itseyhdistetty transversaali ryhmässä M(Q). Lisäksi L M(Q) (I(Q)) = {1} ja M(Q) = A. Todistus. Koska Q on kommutatiivinen luuppi, niin L a (x) = ax = xa = R a (x) kaikilla a, x Q. Todistus hoituu nyt lemman 11 argumentoinnilla. Lause 1. Ryhmä G on isomornen jonkun luupin kertolaskuryhmän kanssa jos ja vain jos ryhmällä G on olemassa sellainen H G, että L G (H) = {1} ja sellaiset H-yhdistetyt transversaalit A ja B, että G = A, B. Todistus. [2], 4.1 (s. 118) Oletetaan, että ryhmällä G on sellainen aliryhmä H G, että L G (H) = {1} ja sellaiset H-yhdistetyt transversaalit A ja B, että G = A, B. Transversaalin määritelmän nojalla voidaan muodostaa sellainen funktio f : G A, että xh = f(x)h kaikilla x G. Tällöin jos x xh, niin 9

11 f(x ) = f(x). Olkoon K = {ah a G} ja määritellään joukon K inäärinen operaatio seuraavasti (xh) (yh) = f(x)yh. Olkoon x xh ja y yh. Tällöin y = yh eräällä h H eli (x H) (y H) = f(x )y H = f(x)yhh = f(x)yh = (xh) (yh). Siis inäärinen operaatio on hyvin määritelty sivuluokkien edustajan valinnasta huolimatta. Osoitetaan nyt, että (K, ) on luuppi. Ensinnäkin lemman 9 nojalla 1 A eli jos h H, niin f(h) = f(1) = 1. Täten H xh = f(1)xh = xh ja (xh) H = f(x)h = xh eli H on inäärisen operaation neutraalialkio. Koska (xh) (zh) = f(x)zh, niin kiinnittämällä xh ja yh saadaan, että alkio zh on yhtälön (xh) (zh) = yh ratkaisu jos ja vain jos zh = (f(x)) 1 yh. Siis kyseisellä yhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu. Määritellään sellainen funktio g : G B, että xh = g(x)h kaikilla x G. Tällöin (zh) (xh) = f(z)xh = f(z)g(x)h = g(x)f(z)h, koska transversaalit A ja B olivat H-yhdistettyjä. Täten alkio zh = f(z)h on yhtälön (zh) (xh) = (yh) ratkaisu jos ja vain jos zh = (g(x)) 1 yh. Siis tarkasteltavalla yhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu aina, kun alkiot xh ja yh ovat kiinnitetyt. Täten on näytetty, että (K, ) on luuppi. Olkoon λ : G S K, λ(g) = λ g, missä λ g (xk) = gxk on joukon K permutaatio. Selvästi λ on ryhmähomomorsmi (joillain merkinnöillä täytyy valita λ(g) = λ g 1). Jos g Ker(λ), niin gxh = xh kaikilla x H. Täten g H x 1 kaikilla x G. Siis Ker(λ) L G (H) = {1}. Täten homomorsmien peruslauseiden nojalla G = G/Ker(λ) = Im(λ) S K. Koska B oli transversaali, niin voidaan määritellä kuvaus g : G B, että g(y)h = yh kaikilla y G. Tällöin jos x, y G ja y = h eräillä h H ja B, niin (xh) (yh) = f(x)yh = f(x)hh = f(x)g(y)h. Koska A ja B ovat H-yhdistettyjä, niin [f(x), g(y)] H eli f(x)g(y)h = g(y)f(x)h kaikilla x, y G. Täten L ah (xh) = (ah) (xh) = f(a)xh kaikilla a G eli kerrottaessa joukon K alkioita vasemmalta joukon A alkioilla saadaan permutaatioita, jotka muodostavat joukon {L x x K}. Vastaavasti R H (xh) = (xh) (H) = f(x)g()h = g()f(x)h = g()xh. 10

12 kaikilla G eli kerrottaessa joukon K alkioita vasemmalta joukon B alkioilla saadaan permutaatioita, jotka muodostavat joukon {R x x K}. Koska G = A, B ja M(K) = L a, R a, K, niin saadaan, että G = Im(λ) = M(K). Toiseen suuntaan väite seuraa lemmasta 11. Lause 2. Ryhmä G on isomornen jonkun kommutatiivisen luupin kertolaskuryhmän kanssa jos ja vain jos ryhmällä G on olemassa sellainen H G, että L G (H) = {1} ja sellainen H-itseyhdistetty transversaali A, että G = A. Todistus. Lauseen 1 merkinnöillä ja argumentoinnilla saadaan, että (K, ) on luuppi. Koska A on H-itseyhdistetty, niin [f(x), a] H eli f(x)ah = af(x)h kaikilla a A ja x G. Olkoon x, y G mielivaltaisia. Valitaan sellainen a A, että ah = yh eli a = f(y). Nyt (xh) (yh) = f(x)yh = f(x)ah = af(x)h = f(y)xh = (yh) (xh) eli Q on kommutatiivinen luuppi. Täten L a = R a ja loppu todistuksesta hoituu lauseen 1 argumentilla ja lemmalla

13 Viitteet [1] K. Myllylä: On the solvaility of groups and loops, Acta Univ. Oul., A 396, [2] M. Niemenmaa & T. Kepka: On multiplication groups of loops, J. Algera 135: , [3] J. S. Rose: A course on group theory, Dover Pulications, Inc.,

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista

Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista Pro Gradu - tutkielma Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Oulun yliopisto Tiedekunta/osasto/laitos Matemaattisten tieteiden

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 8,

Algebra I, harjoitus 8, Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}.

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}. Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa suuriin, helpommin käsiteltäviin osiin. Tämän jälkeen voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)

Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan

Lisätiedot

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :

Lisätiedot

Eräitä ratkeavuustarkasteluja

Eräitä ratkeavuustarkasteluja Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki

Lisätiedot

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin

Lisätiedot

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot