Tekijäryhmät ja homomorsmit
|
|
- Vilho Siitonen
- 4 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019
2 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo 13
3 Johdanto Tässä opinnäytetyössä muodostetaan aluksi tekijäryhmän käsite. Toisessa kappaleessa käydään läpi homomorsmin käsite ja sen ominaisuuksia sekä isomora eli rakenneyhtäläisyys. Jokaista aiemmin esitettyä käsitettä avataan työssä esimerkein. Lopuksi konstruoidaan homomorsmin peruslause, johon koko työ kulminoituu. Ennen työn lukemista lukijalta edellytetään abstraktin algebran peruskäsitteiden hallintaa, erityisesti perustietoja ryhmistä. Tärkeitä asioita ymmärtää ennen työhön tutustumista ovat itse ryhmän määritelmä sekä neutraalialkion ja käänteisalkion käsitteet. Lisäksi Abelin ryhmän käsite ja aliryhmäkriteeri on syytä tuntea. Esimerkkien ymmärtämiseksi on hyvä tuntea myös jäännösluokat ja alkuluokat. Työssä pääasiallisina lähteinä käytetään kahta kirjaa: John B. Fraleighin kirjoittamaa A First Course in Abstract Algebra ja Olympia E. Nicodemin, Melissa A. Sutherlandin ja Gary W. Towsleyn kirjoittamaa An Introduction to Abstract Algebra with Notes to the Future Teacher. Lisäksi Algebra I -kurssin luentomateriaalista ja laskuharjoituksista poimitaan tietoja suurimmaksi osaksi esimerkkejä. 1 Tekijäryhmät Määritelmä 1. Olkoot G ryhmä ja N G. Aliryhmää N sanotaan normaaliksi, jos sen vasemmat ja oikeat sivuluokat yhtyvät eli an = Na aina, kun a G. Tällöin käytetään merkintää N G. (Katso [1], s. 169 Denition ) Lause 1. Olkoon N G. Joukko {an a G} on ryhmä seuraavasti määritellyn laskutoimituksen suhteen an bn = abn. Todistus. Todistetaan ensin, että laskutoimitus an bn = abn hyvin määritellyksi. Eli jos a 1 N = a 2 N ja b 1 N = b 2 N, niin a 1 b 1 N = a 2 b 2 N, kun a 1, a 2, b 1, b 2 G. Olkoon a 1, a 2, b 1, b 2 G. Jos a 1 N = a 2 N, niin a 2 a 1 N eli a 2 = a 1 x jollakin x N. Ja jos b 1 N = b 2 N, niin b 2 b 1 N eli b 2 = b 1 y jollakin y N. Tällöin a 2 b 2 = a 1 xb 1 y, missä x, y N. 1
4 Nyt xb 1 Nb = bn eli xb = bz jollakin z N, sillä N G. Siis a 2 b 2 = a 1 xb 1 y = a 1 b 1 zy, kun x, z, y N, jolloin zy N ja siten a 1 b 1 zy a 1 b 1 N. Näin ollen a 2 b 2 a 1 b 1 N eli a 2 b 2 N = a 1 b 1 N. Osoitetaan seuraavaksi, että ({an a G}, ) on ryhmä. Olkoon a, b, c G. 1. Nyt an bn = abn ja ab G, joten an bn = abn on binäärinen operaatio joukossa {an a G}. 2. Lisäksi (an bn) cn = abn cn = (ab)cn = a(bc)n = an bcn = an (bn cn), koska G on ryhmä. Siis an bn = abn on assosiatiivinen. 3. Ryhmän ({an a G}, ) neutraalialkio on en = N, missä e on ryhmän G neutraalialkio, koska an en = aen = an ja en an = ean = an. 4. Alkion an käänteisalkio on a 1 N, koska an a 1 N = aa 1 N = en ja a 1 N an = a 1 an = en. Kohdista 1.4. seuraa, että ({an a G}, ) on ryhmä. (Katso [2], s Proposition 3&4.) Määritelmä 2. Ryhmää ({an a G}, ) kutsutaan ryhmän G tekijäryhmäksi normaalin aliryhmän N suhteen. Siitä käytetään merkintää G/N. (Katso [1], s. 174 Denition ) Lause 2. Jos G on Abelin ryhmä ja N G, niin N G. Todistus. Olkoon G on Abelin ryhmä, a G ja N G. Nyt an = {an n N} = {na n N} = Na, sillä G on Abelin ryhmänä kommutatiivinen.(katso [3], s. 17.) 2
5 Esimerkki 1. Ryhmä Z 7 = {[1], [2], [3], [4], [5], [6]} on Abelin ryhmä. Tutkitaan alkion [6] generoimaa aliryhmää [6] = {[1], [6]} =: N Z 7 [6] 0 = [1] [6] 1 = [6] [6] 2 = [36] = [1] Koska Z 7 on Abelin ryhmä, sen aliryhmät ovat normaaleja. Siis N = {[1], [6]} Z 7. Muodostetaan nyt ryhmän Z 7 vasemmat sivuluokat normaalin aliryhmän N suhteen [1]N = {[1], [6]} = [6]N [2]N = {[2], [12]} = {[2], [5]} = [5]N [3]N = {[3], [18]} = {[3], [4]} = [4]N Siis tekijäryhmä Z 7/N = {[1]N, [2]N, [3]N}. (Katso [3], luentomuistiinpanot.) Esimerkki 2. Kokonaisluvut Z on Abelin ryhmä yhteenlaskun suhteen. Olkoon n Z. Nyt joukko nz = {nz z Z} Z. Nyt (Z, +) on Abelin ryhmä, joten nz Z. Tekijäryhmäksi saadaan Z/nZ = {nz, 1 + nz, 2 + nz,..., (n 2) + nz, (n 1) + nz} = {k + nz k {0, 1,..., n 1}} = [k] jäännösluokkien yhteenlaskuryhmä modulo n, missä k {0, 1,..., n 1}. (Katso [1], s. 175 Example ) 2 Homomorsmit Määritelmä 3. Olkoot (G, ) ja (H, ) ryhmiä. Kuvausta f : G H sanotaan (ryhmä)homomorsmiksi, jos f(ab) = f(a) f(b) (1) aina, kun a, b G. (Katso [1], s. 162 Denition ) Ehto (1) voidaan kirjoittaa myös muotoon f(ab) = f(a)f(b), jos kummankin ryhmän laskutoimitukselle käytetään kertolaskumerkintää. 3
6 Esimerkki 3. Olkoon f : G H, f(g) = e H kaikilla g G, missä e H on ryhmän H neutraalialkio. Olkoon a, b G. Nyt joten f on homomorsmi. f(a)f(b) = e H e H = e H = f(ab), Edellisen esimerkin homomorsmia kutsutaan triviaaliksi homomorsmiksi ja se on olemassa kaikille ryhmille G ja H. (Katso [1], s. 162.) Esimerkki 4. Olkoot G Abelin ryhmä ja f : G G, f(a) = a 2. Olkoon a, b G. Nyt f(ab) = (ab) 2 = abab = aabb = a 2 b 2, koska G on Abelin ryhmänä kommutatiivinen. Lisäksi f(a)f(b) = a 2 b 2. Siis f on homomorsmi. (Katso [3], Harjoitus 10 tehtävä 1.) Esimerkki 5. Tutkitaan kokonaislukuja Z operaation yhteenlasku suhteen. Nyt kuvaus f : Z Z, f(a) = 2a on homomorsmi, sillä f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b), kun a, b Z. Kuitenkin, jos tutkitaan samaa kuvausta, mutta operaatioksi vaihdetaan kertolasku, niin f ei ole homomorsmi, sillä f(ab) = 2ab, mutta f(a)f(b) = 2a 2b = 4ab. (Katso [2], s. 217 Example 2.) Määritelmä 4. Olkoot f : G H, A G ja B H. Ryhmän G aliryhmän A kuva on f(a) = {f(a) a A} ja ryhmän H aliryhmän B alkukuva (Katso [1], s. 165 Denition ) f 1 (B) = {g G f(g) B}. 4
7 Lause 3. Olkoon f : G H homomorsmi. 1. Jos e G on ryhmän G neutraalialkio, niin f(e G ) = e H on ryhmän H neutraalialkio. 2. Jos a G, niin f(a 1 ) = f(a) Jos A G, niin f(a) H. 4. Jos B H, niin f 1 (B) G. Todistus. Olkoon f : G H homomorsmi. Olkoon a G. 1. Nyt f(a) = f(ae G ) = f(a)f(e G ), sillä f on homomorsmi. Kerrotaan alkion f(a) käänteisalkiolla f(a) 1, jolloin saadaan f(e G ) = f(a) 1 f(a) = e H. 2. Nyt e H = f(e G ) = f(aa 1 ) = f(a)f(a 1 ), sillä f on homomorsmi. Kerrotaan alkion f(a) käänteisalkiolla f(a) 1, jolloin saadaan f(a) 1 e H = f(a) 1 f(a)f(a 1 ) = e H f(a 1 ) eli f(a) 1 = f(a 1 ). 3. Olkoon A G. Nyt f(a) = {f(a) a A} ja a G, sillä A G, joten f(a) H. Lisäksi f(a), sillä e G A ja f(e G ) = e H f(a). Olkoon c, d f(a). Koska c, d f(a), niin on olemassa sellaiset a, b A, että f(a) = c ja f(b) = d. Koska A G, niin ab 1 A eli f(ab 1 ) f(a). Nyt f(ab 1 ) = f(a)f(b 1 ) = f(a)f(b) 1 = cd 1 f(a), joten aliryhmäkriteerin perusteella f(a) H. 5
8 4. Olkoon B H. Nyt f 1 (B) = {b G f(b) B} ja f(b) H, sillä B H, joten f 1 (B) G. Lisäksi f 1 (B), sillä f(e G ) = e H B eli e G f 1 (B). Olkoon a, b f 1 (B). Tällöin f(a), f(b) B. Koska B H, niin f(a)f(b) 1 B. Nyt f(a)f(b) 1 = f(a)f(b 1 ) = f(ab 1 ). Tällöin f(ab 1 ) B eli ab 1 f 1 (B). Siis f 1 (B) G. (Katso [1], s. 165 Theorem ) Määritelmä 5. Olkoon f : G H homomorsmi. 1. Ryhmän G aliryhmää f 1 (e H ) = {x G f(x) = e H } kutsutaan homomorsmin f ytimeksi ja käytetään merkintää Ker(f). Kyseistä aliryhmää voidaan kutsua myös kerneliksi. (Katso [1], s. 166 Denition ) 2. Ryhmän H aliryhmää f(g) = {f(x) x G} kutsutaan homomorsmin f kuvaksi ja käytetään merkintää Im(f). (Katso [3], s. 19 Määritelmä ) Esimerkki 6. Olkoon f : Z 7 Z 7, f(a) = a 2. Ryhmä Z 7 = {[1], [2], [3], [4], [5], [6]} on Abelin ryhmä, joten f on homomorsmi, kuten esimerkissä 4 on todistettu. Muodostetaan nyt kyseisen homomorsmin ydin ja kuva ja Siis f([1]) = [1] 2 = [1] f([2]) = [2] 2 = [4] f([3]) = [3] 2 = [9] = [2] f([4]) = [4] 2 = [16] = [2] f([5]) = [5] 2 = [25] = [4] f([6]) = [6] 2 = [36] = [1] Im(f) = f(z 7) = {[1], [2], [4]} Ker(f) = {x Z 7 f(x) = [1]} = {[1], [6]}. (Katso [3], Harjoitus 10 tehtävä 2.) 6
9 Lause 4. Olkoot f : G H homomorsmi, K = Ker(f) ja a G. Tällöin f 1 ({f(a)}) = {x G f(x) = f(a)} on K:n vasen sivuluokka ak ja oikea sivuluokka Ka. Todistus. Osoitetaan, että {x G f(x) = f(a)} = ak. Oletetaan ensin, että f(a) = f(x). Tällöin f(a) 1 = f(x) 1. Nyt f(a) 1 f(x) = f(x) 1 f(x) = e H, missä e H on ryhmän H neutraalialkio. Lauseen 3 kohdasta 2 seuraa, että f(a) 1 f(x) = f(a 1 )f(x). Nyt f(a 1 )f(x) = f(a 1 x) = e H, koska f on homomorsmi, joten f(a 1 x) = e H. Tästä seuraa, että a 1 x K = Ker(f), joten a 1 x = k jollakin k K. Eli x = ak ak, joten {x G f(x) = f(a)} ak. Olkoon nyt y ak eli y = ak jollakin k K = Ker(f). Nyt f(y) = f(ak) = f(a)f(k) = f(a)e H = f(a). Siis y {x G f(x) = f(a)} eli ak {x G f(x) = f(a)}. Näin ollen {x G f(x) = f(a)} = ak. Osoitetaan sitten, että {x G f(x) = f(a)} = Ka. Oletetaan aluksi, että f(a) = f(x). Tällöin f(a) 1 = f(x) 1. Nyt f(x)f(a) 1 = f(x)f(x) 1 = e H, missä e H on ryhmän H neutraalialkio. Lauseen 3 kohdasta 2 seuraa, että f(x)f(a 1 ) = e H. Nyt f(x)f(a 1 ) = f(xa 1 ) = e H, koska f on homomorsmi, joten f(xa 1 ) = e H. Tästä seuraa, että joten xa 1 = k jollakin k K. xa 1 K = Ker(f), 7
10 Eli x = ka Ka, joten {x G f(x) = f(a)} Ka. Olkoon nyt y Ka eli y = ka jollakin k K = Ker(f). Nyt f(y) = f(ka) = f(k)f(a) = e H f(a) = f(a). Siis y {x G f(x) = f(a)} eli Ka {x G f(x) = f(a)}. Näin ollen {x G f(x) = f(a)} = Ka. (Katso [1], s. 166 Theorem ) Lause 4 kertoo, että ytimen Ker(f) vasemmat ja oikeat sivuluokat ovat samat eli Ker(f) G. Määritelmä 6. Olkoon f : G H kuvaus. Kuvaus f on injektio, jos f(a) = f(b) vain, kun a = b. Kuvaus f on surjektio, jos sen arvojoukko on H eli jos jokaiselle arvolle y, missä y H, on olemassa alkio x, missä x G, niin, että f(x) = y. Jos kuvaus f on sekä injektio että surjektio, sitä kutsutaan bijektioksi. (Katso [1], s. 11 Denition ja [2], s. 385.) Määritelmä 7. Ryhmät (G, ) ja (H, ) ovat isomorset eli rakenneyhtäläiset, jos on olemassa kuvaus f : G H, joka täyttää seuraavat ehdot 1. kuvaus f on bijektio, 2. kuvaus f on homomorsmi. Tällöin kuvausta f kutsutaan isomorsmiksi. Ryhmien (G, ) ja (H, ) isomorasta käytetään merkintää G = H. (Katso [2], s. 217 Denition 2.) Jos kaksi ryhmää ovat isomorset keskenään, ne ovat samankokoiset ollessaan ääreellisiä ja niillä on samanlainen algebrallinen rakenne. Ne eroavat toisistaan vain merkintätavaltaan. (Katso [2], s. 217.) Esimerkki 7. Olkoon (E, +) parillisten kokonaislukujen muodostama ryhmä yhteenlaskun suhteen. Nyt ryhmät (E, +) ja (Z, +) ovat isomorset, sillä niiden välille voidaan muodostaa kuvaus f : Z E, f(a) = 2a, joka on bijektio ja homomorsmi. Esimerkissä 5 osoitettiin, että f on homomorsmi. (Katso [2], s. 218 Example 5.) Esimerkki 8. Tutkitaan, ovatko ryhmät (Z 4, +) ja (Z 9, ) isomorset. Nyt Z 4 = {[0], [1, [2], [3]} ja Z 9 = {[1], [2], [4], [5], [7], [8]}. Ryhmässä Z 4 on neljä alkiota ja ryhmässä Z 9 kuusi alkiota. Ryhmissä ei siis ole yhtä monta alkiota, joten ryhmien välille ei voida muodostaa bijektiota. Näin ollen ryhmät (Z 4, +) ja (Z 9, ) eivät ole isomorsia keskenään. (Katso [3], Harjoitus 11 tehtävä 3.) 8
11 Esimerkki 9. Olkoon G ääreellinen syklinen ryhmä, jonka kertaluku on m, missä m Z +. Tutkitaan, ovatko ryhmät (G, ) ja (Z m, +) isomorset. Nyt ja Z m = {[0], [1],..., [m 1]} G = a = {a 0, a 1, a 2,..., a m 1 } = {e, a, a 2,..., a m 1 }. Määritellään kuvaus f : G Z m, f(a k ) = [k]. 1. Tutkitaan ensin, onko f surjektio. Olkoon [k] Z m, missä k {0, 1, 2,..., m 1}. Nyt f(a k ) = [k], missä a k G, joten jokainen maalijoukon Z m alkio kuvautuu jollakin lähtöjoukon G alkiolla. 2. Tutkitaan sitten, onko f injektio. Olkoon k, l Z, 0 k, l < m ja f(a k ) = f(a l ). Nyt [k] = [l], jolloin k = l, sillä 0 k, l < m. Eli a k = a l, joten f on injektio. 3. Tutkitaan lopuksi, onko f homomorsmi. Olkoon k, l {0, 1, 2,..., m 1}. Nyt f(a k a l ) = f(a k+l ) = [k + l] = [k] + [l] = f(a k ) + f(a l ). Siis f on homomorsmi. Kohtien 1, 2 ja 3 perusteella f : G Z m on isomorsmi, joten (Katso [3], luentomuistiinpanot.) (G, ) = (Z m, +). Lause 5. Olkoon G ja H ryhmiä ja f : G H homomorsmi. Tällöin f on injektio jos ja vain jos Ker(f) = {e G }. (Katso [2], s. 222 Theorem 5(ii).) Todistus. Oletetaan ensin, että f on injektio. Olkoon a Ker(f) = {x G f(x) = e H }. Nyt siis f(a) = e H. Lauseen 3 kohdan 1 mukaan f(e G ) = e H, koska f on homomorsmi. Koska f on injektio ja f(a) = e H = f(e G ), niin a = e G. Siis Ker(f) = {e G }. Oletetaan sitten, että Ker(f) = {e G }. Olkoon a, b G ja f(a) = f(b). Kerrotaan nyt alkion f(b) käänteisalkiolla f(b) 1, jolloin saadaan f(a)f(b) 1 = f(b)f(b) 1 = e H. 9
12 Lauseen 3 kohdan 2 perusteella Kuvaus f on homomorsmi, joten Siis f(a)f(b) 1 = f(a)f(b 1 ). f(a)f(b 1 ) = f(ab 1 ). e H = f(ab 1 ). Nyt Ker(f) = {x G f(x) = e H }, joten ab 1 Ker(f). Tällöin ab 1 = e G, sillä Ker(f) = {e G }. Kun kerrotaan alkion b 1 käänteisalkiolla b, saadaan Eli ab 1 b = e G b. a = b. Siis jos f(a) = f(b), niin a = b eli f on injektio. (Katso [2], s. 409.) Lause 6. (Homomorsmin peruslause) Olkoon f : G H homomorsmi. Tällöin G/Ker(f) = Im(f). Todistus. Jotta ryhmät G/Ker(f) ja Im(f) olisivat isomorset, niiden välille on löydettävä kuvaus, joka on bijektiivinen homomorsmi eli isomorsmi. Merkitään K = Ker(f). Määritellään sellainen funktio että F (ak) = f(a) kaikilla a G. F : G/K Im(f), 1. Osoitetaan ensiksi, että F on hyvin määritelty. Olkoon a 1, a 2 G ja a 1 K = a 2 K. Tällöin a 1 1 a 2 K. Nyt K = Ker(f) = {a G f(a) = e H }, joten e H = f(a 1 1 a 2 ) = f(a 1 1 )f(a 2 ) = f(a 1 ) 1 f(a 2 ), sillä f on homomorsmi. Kerrotaan alkion f(a 1 ) 1 käänteisalkiolla f(a 1 ), jolloin saadaan f(a 1 )e H = f(a 1 )f(a 1 ) 1 f(a 2 ) eli f(a 1 ) = f(a 2 ). Siis F (a 1 K) = F (a 2 K), jolloin F on hyvin määritelty. 10
13 2. Osoitetaan seuraavaksi, että F on bijektio eli, että se on surjektio ja injektio. Nyt Im(f) = {f(a) a G} ja F (ak) = f(a) kaikilla a G, joten F : G/K Im(f) on surjektio. Olkoon nyt a 1, a 2 G ja F (a 1 K) = F (a 2 K). Tällöin f(a 1 ) = f(a 2 ). Kerrotaan nyt alkion f(a 1 ) käänteisalkiolla f(a 1 ) 1, jolloin saadaan f(a 1 ) 1 f(a 1 ) = f(a 1 ) 1 f(a 2 ). Eli e H = f(a 1 ) 1 f(a 2 ). Nyt koska f on homomorsmi. f(a 1 ) 1 f(a 2 ) = f(a 1 1 )f(a 2 ) = f(a 1 1 a 2 ), Siis f(a 1 1 a 2 ) = e H, joten a 1 1 a 2 K. Nyt K = ek ja a 1 1 a 2 K, joten a 1 1 a 2 K = ek. Kerrotaan alkion a 1 1 käänteisalkiolla a 1 ja saadaan a 1 a 1 1 a 2 K = a 1 ek. Eli a 2 K = a 1 K. Siis F on injektio. 3. Osoitetaan lopuksi, että F on homomorsmi. Olkoon a 1, a 2 G. Nyt F (a 1 Ka 2 K) = F (a 1 a 2 K) = f(a 1 a 2 ) = f(a 1 )f(a 2 ) = F (a 1 K)F (a 2 K), sillä kuvaus f on homomorsmi. Kohtien 1, 2 ja 3 perusteella F : G/K Im(f) on isomorsmi. Siis G/K = Im(f) eli G/Ker(f) = Im(f). (Katso [2], s. 281 Theorem 5.) 11
14 Esimerkki 10. Tutkitaan kokonaislukujen yhteenlaskun suhteen muodostamaa ryhmää (Z, +). Olkoon f : Z Z 6, f(a) = 2a (mod 6) homomorsmi. Kuvauksen f ydin Ker(f) = 3Z. Kuvauksen f kuva Im(f) = {0, 2, 4} Z 6. Tämä ryhmän Z 6 aliryhmä on isomornen ryhmän Z 3 kanssa, sillä voidaan muodostaa isomorsmi g : Z 3 Im(f), g(a) = 2a. Nyt Z 3 = {0, 1, 2} ja kuvaus g kuvaa ryhmän Z 3 alkiot seuraavasti: g(0) = 2 0 = 0 g(1) = 2 1 = 2 g(2) = 2 2 = 4. Siis kuvaus g on surjektio ja injektio eli se on bijektio. Esimerkissä 5 on osoitettu, että g on homomorsmi. Nyt homomorsmin peruslauseen perusteella tekijäryhmä Z/3Z on isomornen kuvauksen f kuvan Im(f) kanssa eli Z/3Z = Im(f). Tekijäryhmä Z/3Z on siis myös isomornen ryhmän Z 3 kanssa eli (Katso [2], s. 282 Example 6.) Z/3Z = Z 3. 12
15 Lähdeluettelo [1] Fraleigh, John B.: A First Course in Abstract Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., USA [2] Nicodemi, Olympia E. Sutherland, Melissa A. Towsley, Gary W.: An Introduction to Abstract Algebra with Notes to the Future Teacher. Pearson Prentice Hall, USA [3] Niemenmaa, Markku Myllylä, Kari Tirilä, Juha-Matti: A Algebra I Luentorunko, Oulun yliopisto
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotSyklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016
Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotCauchyn ja Sylowin lauseista
Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotRatkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä
Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................
LisätiedotTIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta
Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotEräitä ratkeavuustarkasteluja
Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
Lisätiedot800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotLaitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn
Lisätiedot1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä
LUKUTEORIAA 1 Jakajat ja jäännökset Luonnollisten lukujen joukko N = { 0, 1, 2, 3,... } on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä Z + = {1,
LisätiedotLineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016
Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotJohdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
LisätiedotLuuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006
Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
LisätiedotRyhmän P SL(2, K) yksinkertaisuus
Ryhmän P SL(2, K) yksinkertaisuus Pro gradu -tutkielma Antti Eronen 2187183 Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteitä ja tarpeellisia lauseita 3 11
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
LisätiedotSymmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuus ja ratkeavuus
Symmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuus ja ratkeavuus Pro gradu Tuomo Holma 2379771 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Permutaatiot 3 2 Ryhmistä
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
LisätiedotAbstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista
Abstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista Pro gradu -tutkielma Kari Kostama Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Kahden alkion laskutoimitus
LisätiedotAlgebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
LisätiedotLuupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014
Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 3 1.1 Kuvauksista............................ 3 1.2 Relaatioista............................
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 3: Funktiot 4.3 Funktiot Olkoot A ja B joukkoja. Funktio joukosta A joukkoon B on sääntö, joka liittää yksikäsitteisesti määrätyn
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
LisätiedotH = H(12) = {id, (12)},
7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotTransversaalit ja hajoamisaliryhmät
Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Matti
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 8,
Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen
Lisätiedota 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
LisätiedotAlgebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen
Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman
LisätiedotFunktioista. Esimerkki 1
Funktio eli kuvaus on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Seuraavaksi tarkastellaan funktioita ja todistetaan niiden ominaisuuksia. Määritelmä 1 Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka
LisätiedotRationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen
LisätiedotALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN Algebra käsittelee laskemista. Osin tämä tarkoittaa numeroilla laskemista lukualueissa N, Z, Q, R, C laskutoimituksilla + ja ja niiden käänteisoperaatioilla ja / siinä
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen
LisätiedotPolynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
LisätiedotAvainsanat Nyckelord Keywords algebra, rengas, moduli, Noether, nouseva ketju, äärellisviritteinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Vesa
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
LisätiedotRubikin kuutio ja ryhmäteoria
Rubikin kuutio ja ryhmäteoria Pro Gradu -tutkielma Jani Luokkanen 2372781 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoria 3 1.1 Perusteet.................................
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
LisätiedotIdeaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat
Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Matti
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotTekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.
3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotAlgebra kl Tapani Kuusalo
Algebra kl. 2010 Tapani Kuusalo Sisältö Luku 1. Luonnolliset luvut 1 Luku 2. Laskutoimitukset 4 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet 4 2. Neutraali- ja käänteisalkiot 6 3. Indusoidut laskutoimitukset,
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotLineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
Lisätiedot5.6 Yhdistetty kuvaus
5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty
LisätiedotEnsi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden
LisätiedotModulaarisista laskutaulukoista
Modulaarisista laskutaulukoista Visa Latvala ja Pekka Smolander Matematiikan laitos, Joensuun yliopisto Johdanto Artikkelin tarkoituksena on tutustuttaa lukija modulaariseen yhteen- ja kertolaskuun. Nämä
LisätiedotJäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan
Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
LisätiedotPeruskäsitteet. 0. Kertausta
Peruskäsitteet 0. Kertausta Tässä luvussa käydään läpi sellaiset peruskäsitteet ja merkinnät, joiden oletetaan olevan tuttuja aiemmalta algebran kurssilta. 0.1. Laskutoimitukset. Olkoon X joukko. Joukon
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotSylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa
Sylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa Jenna Johansson 21. marraskuuta 2018 Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Merkintöjä: N Luonnollisten
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Lisätiedot