H = H(12) = {id, (12)},

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "H = H(12) = {id, (12)},"

Transkriptio

1 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen oikea sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on Hg = {hg : h H}. Jos kommutatiivisen ryhmän G laskutoimitusta merkitään additiivisesti, niin aliryhmän H G sivuluokkia merkitään x + H tai H + x. Esimerkki 7.1. Aliryhmän qz < (Z, +) vasemmat ja oikeat sivuluokat toteuttavat n + qz{n + kq : k Z} =[n] ={kq + n : k Z} = qz + n. Edellä tehty havainto yleistyy kaikille kommutatiivisille ryhmille: Lemma 7.2. Olkoon G kommutatiivinen ryhmä. Tällöin jokaiselle x G ja jokaiselle H G pätee xh = Hx. Yleisessä tapauksessa alkion x vasen ja oikea sivuluokka eroavat toisistaan. Esimerkki 7.3. Olkoon H = (12) <S 3.AliryhmänH vasemmat sivuluokat ovat Sen oikeat sivuluokat ovat H =(12)H = {id, (12)}, (123)H =(13)H = {(123), (13)} (132)H =(23)H = {(132), (23)} H = H(12) = {id, (12)}, H(123) = H(23) = {(123), (23)} H(132) = H(13) = {(132), (13)}. Osoittautuu siis, että vasen sivuluokka (123)H ei esiinny lainkaan oikeiden sivuluokkien kokoelmassa. Siis vasemmat ja oikeat sivuluokat määräävät kaksi erilaista ryhmän G ositusta. Usein, jos ryhmä G ei ole kommutatiivinen, sillä on aliryhmiä, joiden vasemmat ja oikeat sivuluokat eroavat toisistaan. Harjoitustehtävissä tarkastellaan esimerkkiä ryhmästä, joka ei ole kommutatiivinen, vaikka sen kaikkien aliryhmien vasemmat ja oikeat sivuluokat ovat samoja joukkoja. Propositio 7.4. Olkoon G ryhmä, ja olkoon H sen aito aliryhmä. Tällöin (1) xh = yh, josjavainjosy 1 x H. ErityisestixH = H, josjavainjosx H. (2) Hx = Hy,josjavainjosxy 1 H. ErityisestiHx = H, josjavainjosx H. (3) Vasemmat sivuluokat muodostavat ryhmän G osituksen. (4) Oikeat sivuluokat muodostavat ryhmän G osituksen. (5) Joukot H, gh ja Hg ovat yhtä mahtavia. Todistus. (1) ja (2) Harjoitustehtävä 81. (3) Vasempien sivuluokkien yhdiste on koko G sillä x xh kaikille x G. Osoitetaan, että vasemmat sivuluokat leikkaavat vain, jos ne ovat sama sivuluokka. Jos xh yh, onh, h H, joillexh = yh.muttatällöin,josg xh, niin 42 ja ja

2 g = xh = yh h 1 h yh. Vastaavapäättelyantaainkluusiontoiseensuuntaan. Kohdan (4) todistus on samanlainen. (5) Vasemman sivuluokan määritelmän nojalla kuvaus l x : H xh, l x h = xh, on surjektio. Supistussäännöstä (Propositio 4.4) seuraa, että l x on injektio. Vastaavasti kuvaus r x : H Hx, r x h = hx, antaabijektionjoukkojenh ja Hx välille. Vasempien sivuluokkien kokoelmalle käytetään merkintää G/H ja oikeiden sivuluokkien kokoelmalle käytetään merkintää H\G. Jälkimmäistä merkintää ei pidä sekottaa joukkojen erotukseen. Aliryhmän qz < (Z, +) sivuluokkien joukko on kongruenssiluokkien joukko (modulo q). Tämä on selitys sille, miksi kongruenssiluokkien joukolle käytetään merkintää Z/qZ. Propositio 7.5. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. JoukotG/H ja H\G ovat yhtä mahtavia. Todistus. Harjoitustehtävä 82 Proposition 7.5 nojalla ryhmän ja sen aliryhmän suhdetta kuvaava indeksi voidaan määritellä kumman tahansa aliryhmään H liittyvän sivuluokkien joukon avulla. Määritelmä 7.6. Aliryhmän H<Gindeksi on Esimerkki 7.7. (a) [Z : qz] =q. [G : H] =#(G/H) =#(H\G). (b) Aliryhmän C 2 {e} indeksi ryhmässä C 2 C 2 on [C 2 C 2 : C 2 {e}] =2. (c) [R 2 : R {0}] =, silläsivuluokatovatr {a}, a R Lause 7.8 (Lagrangen lause). Olkoon G äärellinen ryhmä, ja olkoon H<G.Tällöin [G : H] = #G #H. Todistus. Proposition 7.4 nojalla kaikki sivuluokat ovat yhtä mahtavia ja sivuluokat osittavat ryhmän G. Propositio 7.9. Olkoon G äärellinen ryhmä. Tällöin g #G = e jokaiselle g G. Todistus. Olkoon H = g. Tällöin#H =ordg. KoskaLagrangenlauseenmukaan #G = k#h jollain k N, päteepotenssisääntöjenjalemman5.21nojalla g #G = g k ord g =(g ord g ) k = e k = e. Lagrangen lauseen mukaan äärellisen ryhmän G aliryhmien mahdolliset indeksit ja kertaluvut ovat ryhmän alkioiden lukumäärän tekijöitä. Esimerkki Ryhmän S 3 kertaluku on 6, jotensenaliryhmienmahdolliset kertaluvut (ja indeksit) ovat 1, 2, 3 ja 6. Kolmenalkionpermutaatioidenryhmän 43

3 aliryhmärakenne on yksinkertainen ja sitä voi havainnollistaa aliryhmäkaaviolla: S 3 (123) (12) (13) (23) I Aliryhmäkaaviossa tarkasteltavan ryhmän aliryhmät asetellaan päällekäisille tasoille kertaluvun mukaan siten, että kertaluvultaan suuremmat ryhmät ovat ylemmillä tasoilla. Aliryhmä H yhdistetään janalla ylemmällä tasolla olevan aliryhmän K kanssa, jos H<Keikä ole aliryhmää L, jollepäteeh<l<k.ylläolevassakaaviossa I = {id}. Esimerkissä 7.10 permutaatioryhmällä S 3 on jokaista Lagrangen lauseen sallimaa kokoa olevia aliryhmiä. Aina ei kuitenkaan ole näin, Esimerkissä 7.27 osoitetaan, että ryhmällä A 4 ei ole kuuden alkion aliryhmää vaikka #A 4 =12=2 6. Määritelmä Ryhmän G aliryhmä H on normaali, josgh = Hg kaikille g G. JosH on ryhmän G normaali aliryhmä, merkitään H G, aitoanormaalia aliryhmää merkitään H G. Propositioiden 7.4 ja 3.6 mukaan vasemmat sivuluokat määräävät ekvivalenssirelaation, jonka ekvivalenssiluokat ovat vasemmat sivuluokat ja vastaavasti oikeat sivuluokat määräävät ekvivalenssirelaation, jonka ekvivalenssiluokat ovat oikeat sivuluokat. Koska ryhmän G normaalin aliryhmän H vasemmat ja oikeat sivuluokat määräävät saman osituksen ryhmälle G, ne määräävät saman ekvivalenssirelaation. Tämä on oleellisen tärkeää tarkasteltaessa ryhmän G laskutoimituksen yhteensopivuutta sivuluokkien määräämän ekvivalenssirelaation kanssa Lauseessa Esimerkki (a) Ryhmä itse ja neutraalialkion muodostama aliryhmä ovat normaaleja. (b) Lemman 7.2 mukaan qz (Z, +) ja R {0} (R 2, +), muttaesimerkin7.3 aliryhmä (12) <S 3 ei ole normaali. Joissain tilanteissa normaalius on helppo tarkastaa: Propositio Jos aliryhmän H<Gindeksi on kaksi, se on normaali. Todistus. Vasemmat sivuluokat ovat H ja G H, samoin oikeat sivuluokat. Lemma Olkoon K G ja K<H<G.TällöinK H. Esimerkki Olkoon n 3. Olkoonτ S n alkeispermutaatio. Vasen siirto l τ on bijektio joukkojen A n ja S n A n välillä. Siis #S n = n! =2#A n.lagrangen lauseen nojalla [S n : A n ]=2,jotenProposition7.13nojallaA n S n kaikilla n 3. Erityisesti C 3 = (123) = A3 S 3. Usein on kätevä käyttää seuraavaa normaalin aliryhmän karakterisointia: Propositio Ryhmän G aliryhmä H on normaali, jos ja vain jos ghg 1 H kaikilla h H ja kaikilla g G 44

4 Todistus. Jos H on normaali, niin gh = Hg kaikille g G. Siisjokaiselleg G ja h H pätee gh = h g jollain h H, jotenghg 1 = h H. Jos taas kaikille g G ja h H pätee ghg 1 H, niinjokaiselleg G ja h H on h H, jolleghg 1 = h.siisgh = h g Hg,jotengH Hg kaikille g G. Samoin saadaan hg 1 g 1 H,jotenHg 1 g 1 H kaikille g G. Koskajokainen ryhmän G alkio on jonkin alkion käänteisalkio, väite on todistettu. Sovellamme Propositiota 7.16, kun osoitamme, että normaalit aliryhmät sopivat hyvin yhteen homomorfismien kanssa. Propositio Olkoon φ: G G ryhmähomomorfismi. (1) Olkoon H G. Tällöinφ(H) φ(g) =Imφ. (2) Olkoon H G.Tällöinφ 1 (H ) G. Todistus. (1) Proposition 5.8 nojalla φ(h) φ(g). Olkoota φ(h) ja g φ(g). Tällöin on a H ja g G, joillea = φ(a) ja g = φ(g). Nyt g a (g ) 1 = φ(g)φ(a)φ(g) 1 = φ(gag 1 ) φ(h), koska gag 1 H. VäiteseuraaProposition7.16nojalla. (2) Harjoitustehtävä 89. Propositiosta 7.17 saadaan tärkeänä erikoistapauksena Seuraus Ryhmähomomorfismin ydin on normaali aliryhmä. Esimerkki (a)a n =kerɛ S n. (b) SL n (R) =kerdet GL n (R). Proposition 7.17 kohdassa (1) on syytä pitää mielessä, että φ(h) ei välttämättä ole ryhmän G normaali aliryhmä: Jos H<Gon aliryhmä, joka ei ole normaali ja jos φ: G G on inkluusiokuvaus, ei tietenkään φ(h) =H ole ryhmän G normaali aliryhmä. Lause Olkoon G ryhmä ja olkoon H G aliryhmä. Tällöin vasempien tai oikeiden sivuluokkien määräämä ekvivalenssirelaatio on yhteensopiva ryhmän G laskutoimituksen kanssa, jos ja vain jos H on ryhmän G normaali aliryhmä. Todistus. (1) Oletetaan, että H on normaali. Olkoot x xh ja y yh. Tällöinon h 1,h 2,h 3 H, joillex = xh 1, y = yh 2 ja normaaliusoletuksen nojalla h 1 y = yh 3, joten x y = xh 1 yh 2 = xyh 3 h 2 xyh. Siis x y H = xyh Proposition 7.4 nojalla ja laskutoimitus on yhteensopiva sivuluokkien määräämän ekvivalenssirelaation kanssa. (2) Jos laskutoimitus on yhteensopiva vasempien sivuluokkien määräämän relaation kanssa, niin G/H varustettuna tekijälaskutoimituksella on ryhmä: Tekijälaskutoimituksen assosiatiivisuus osoitettiin Propositiossa 3.9. Koska luonnollinen homomorfismi on surjektiivinen, niin Proposition 1.16 nojalla se kuvaa ryhmän G neutraalialkion tekijälaskutoimituksen neutraalialkioksi, joka siisonh.tekijälaskutoimituksen määritelmän mukaan kaikille gh G/H pätee (gh)(g 1 H)=H, jotenlaskutoimituksella varustetun joukon G/H jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Luonnollinen homomorfismi on siis ryhmähomomorfismi G G/H ja sen ydin on H. Proposition7.17nojallaH on normaali. Lauseen 7.20 todistuksesta saadaan myös seuraava tulos: 45

5 Seuraus Jos H G, niintekijäjoukkog/h varustettuna tekijälaskutoimituksella on ryhmä. Tekijäryhmän G/H neutraalialkio on H. Ryhmää G/H kutsutaan normaalin aliryhmän H määräämäksi ryhmän G tekijäryhmäksi. EsimerkiksiryhmäZ/qZ, jotatarkasteltiinesimerkin4.2kohdassa(a), on kongruenssia a b mod q vastaava kokonaislukujen ryhmän tekijäryhmä. Additiivisen ryhmän alkion x sivuluokalle käytetään merkintää x + H ja tekijäryhmän laskutoimitus on siis tällä merkintätavalla (x + H)+(y + H) =(x + y)+h. Sykliset ryhmät käyttäytyvät hyvin tekijäryhmienkin suhteen Propositio Jokainen syklisen ryhmän tekijäryhmä on syklinen. Todistus. Harjoitustehtävä 91. Todistamme seuraavaksi tärkeimmän tekijäryhmiä koskevan tuloksen. Todistus on Lauseen 5.18(1) todistuksen yleistys. Lause 7.23 (Ryhmien (ensimmäinen) isomorfismilause). Olkoon φ: G G ryhmähomomorfismi. Tällöin Im φ = G/ ker φ. Todistus. Jos x ker φ = y ker φ, niinproposition7.4nojallajollainh ker φ pätee y = xh. Siis φ(y) =φ(xh) =φ(x)φ(h) =φ(x)e = φ(x). Tähän havaintoon perustuen määritellään kuvaus ψ : G/ ker φ Im φ, ψ(x ker φ) = φ(x), joka on homomorfismi: Olkoot x, y G. Tällöin ψ(x ker φ)ψ(y ker φ) = φ(x)φ(y) = φ(xy) = ψ(xy ker φ) = ψ(x ker φy ker φ). Määritelmän mukaan Im ψ Im φ ja jokaiselle x G pätee ψ(x ker φ) =φ(x), joten φ(x) Im ψ ja ψ on siis surjektio. Injektiivisyyden toteamiseksi osoitamme, että kuvauksen ψ ydin koostuu ainoastaan tekijäryhmän G/ ker φ neutraalialkiosta ker φ. Josψ(x ker φ) =e,niinφ(x) =e,jotenx ker φ, mistäproposition7.4(1) nojalla seuraa x ker φ =kerφ. Seuraus Surjektiiviselle ryhmähomomorfismillle φ: G G pätee [G :kerφ] =#G. Lause Olkoon φ: G G surjektiivinen ryhmähomomorfismi ja olkoon H G.TällöinG/φ 1 (H ) = G /H. Todistus. Proposition 7.17(2) mukaan H = φ 1 (H ) G. Olkoonπ : G G /H luonnollinen homomorfismi. Tällöin ψ = π φ: G G /H on surjektiivinen homomorfismi, jonka ydin on H. Lauseen7.23mukaanG/H = G /H. Esimerkki (a) [Z 2 :(2Z) 2 ]=4sillä luonnollinen homomorfismi on surjektio, jonka ydin on (2Z) 2. Z 2 (k 1,k 2 ) (k 1 +2Z,k 2 +2Z) (Z/2Z) 2 (b) GL n (R)/SL n (R) = R koska det GL n (R) R on surjektiivinen homomorfismi. 46

6 Ryhmien isomorfismilause antaa vastaavuuden surjektiivisten homomorfismien ja normaalien aliryhmien välille: Jos N G, niinluonnollinenhomomorfismionsurjektiivinen homomorfismi G G/N, jonkaydinonh. Toisaaltajokaisenryhmähomomorfismin ydin on määrittelyryhmänsä normaali aliryhmä. Tämä vastaavuus ei kuitenkaan ole bijektiivinen sillä esimerkiksi homomorfismeilla exp: C C ja k exp, missäk on kompleksikonjugointi, on sama ydin ker k exp = ker exp = {k 2πi : k Z}. Esimerkki Alternoiva ryhmä A 4 on mielenkiintoinen muun muassa euklidisen geometrian kannalta: Olkoot v 1 =(1, 1, 1), v 2 =(1, 1, 1), v 3 =( 1, 1, 1) ja v 4 =( 1, 1, 1) kolme avaruuden R 3 pistettä. Tetraedri T = {a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 : a 1,a 2,a 2,a 4 [0, 1]} on yksi kolmiulotteisen euklidisen avaruuden säännöllisistä monitahokkaista. Sillä on neljä kärkipistettä, sivua ja tahoa. Kaikki tetraedrin sivut ovat yhtä pitkiä keskenään ja kaikki tahot ovat tasasivuisia kolmioita. Tällä tavalla muodostetun tetraedrin painopiste on 0. Toinen tapa konstruoida tetraedri on muodostaa pyramidi, jonka pohjan muodostavat ykkösen kolmannet juuret kompleksitasossa, joka ajatellaan avaruuden R 3 tasoksi C = {x R 3 : x 3 =0} ja valitsemalla neljänneksi kärjeksi (0, 0, 2). Tällöin minkä tahansa kahden kärjen etäisyys toisistaan on 3.Tällätavallamuodostetun 1 tetraedrin painopiste on (0, 0, 2 ). 2 Euklidisen avaruuden R n ortogonaaliryhmä on O(n) ={A GL n (R) :A t A = I n } ja sen normaali aliryhmä erityinen ortogonaaliryhmä on SO(n) ={A O(n) :deta =1}. Kolmilulotteisen avaruuden erityisen ortogonaaliryhmän SO(3) neutraalialkiosta poikkeavat alkiot vastaavat avaruuden R 3 kiertoja jonkin (origon kautta kulkevan) suoran ympäri. Olkoon T tetraedri, jonka painopiste on origossa. Esimerkin 6.6 tarkastelun yleistys kolmeen ulottuvuuteen osoittaa, että ryhmä A 4 on isomorfinen säännöllisen tetraedrin symmetriaryhmän {A SO(3) : A(T )=T } kanssa. Esimerkiksi jokainen 3-sykli vastaa tetraedrin kiertoa kulman 2π verran sellaisen suoran ympäri, joka kulkee tetraedrin kärjen ja sen vastakkaisen tahon keski- 3 pisteen kautta. Alternoivan ryhmän A 4 kertaluku on #A 4 =4!/2 =12.JosH<A 4 on aliryhmä, jonka kertaluku on 6, niinlagrangenlauseennojalla[a 4 : H] =2.Proposition7.13 nojalla H A 4,jotenensimmäisenisomorfismilauseennojallaA 4 /H = C 2.Siis kaikille g G pätee g 2 H = ghgh = H, jotenproposition7.4(1)nojallag 2 H kaikille g G. Kaikki 3-syklit ovat parillisia permutaatioita, joten ne kuuluvat ryhmään A 4.Jos g A 4 on 3-sykli, niin g = g 4 =(g 2 ) 2 H. Kaikki3-syklit siis sisältyvät aliryhmään H. KuitenkinryhmässäA 4 on 83-sykliä, joiden siis pitäisi sisältyä kuuden alkion aliryhmään. Siis ryhmällä A 4 ei ole kuuden alkion aliryhmää. 47

7 Ryhmän A 4 aliryhmärakenne on seuraavan kaavion mukainen: A K (123) (124) (134) (234) (12)(34) (13)(24) (14)(23) I Mitkä tahansa kaksi ryhmän A 4 kertaluvun 2 alkioista (12)(34), (13)(24) ja (14)(23) virittävät kaaviossa esiintyvän Kleinin neliryhmän K. Esimerkki (a) Harjoitustehtävässä 47 osoitettiin, että ryhmän G automorfismit muodostavat ryhmän Aut(G). Olkoona G. Kuvausφ a : G G, φ a (g) = aga 1 on ryhmän G automorfismi: Se on homomorfismi: φ a (g)φ a (g )=(aga 1 )(ag a 1 )=(ag)(a 1 a)(g a 1 )=(ag)e(g a 1 ) =(ag)(g a 1 )=a(gg )a 1 = φ(gg ). Se on myös bijektio, koska sillä on käänteiskuvaus φ 1 a : G G: φ 1 a (g) =a 1 ga. Kuvaus φ a on ryhmän G sisäinen automorfismi. Ryhmän G sisäiset automorfismit muodostavat sisäisten automorfismien ryhmän Inn(G) ={φ a : a G} Aut(G). Harjoitustehtävässä 92 osoitetaan, että sisäisten automorfismien ryhmä on automorfismiryhmän normaali aliryhmä. Tekijäryhmä Out(G) =Aut(G)/ Inn(G) on ryhmän G ulkoisten automorfismien ryhmä. (b) Automorfismi φ a on identtinen kuvaus täsmälleen silloin, kun aga 1 = g kaikilla g G. TämänehdontoteuttavatalkiotmuodostavatryhmänG keskuksen Z(G) ={z G : zg = gz kaikilla g G}. Harjoitustehtävässä 93 osoitetaan, että Z(G) on ryhmän G normaali aliryhmä. Jos G on kommutatiivinen, niin Z(G) =G, jotentekijäryhmäg/z(g) tavallaan kuvaa ryhmän G epäkommutatiivisuutta. (c) Kuvaus ρ: G Inn(G), ρ(a) =φ a,onhomomorfismi.tämätarkastetaankuten Proposition 6.8 todistuksessa: Jos a, b G, niinkaikillex G pätee ρ(ab)(x) =φ ab (x) =(ab)x(ab) 1 = a(bxb 1 )a 1 = φ a (φ b (x)) = ρ(a) ρ(b)(x). Sisäisten automorfismien määritelmän nojalla Im(ρ) =ρ(g) =Inn(G). Lisäksi ρ(g) on identtinen automorfismi täsmälleen silloin, kun g Z(G), jotenryhmienisomorfismilauseen nojalla pätee Inn(G) = G/Z(G). 48

8 ( ) 0 1 (d) Matriisi A = määrää ryhmän SL (Z) sisäisen automorfismin φ A, ( )( )( ) ( ) 0 1 a b 0 1 d c φ A (B) = = = 1 0 c d 1 0 b a t (B 1 ). Harjoitustehtävässä 46 osoitettiin, että kuvaukset B B 1 ja C t C eivät ole ryhmän SL 2 (Z) automorfismeja. Kuitenkin niiden yhdistetty kuvaus on automorfismi! Harjoitustehtäviä. Tehtävä 81. Olkoon G ryhmä ja olkoon H sen aliryhmä. Osoita, että xh = yh, jos ja vain jos y 1 x H Tehtävä 82. Olkoon G ryhmä ja olkoon H < G.Osoita,ettätekijäjoukkojen välinen kuvaus b : G/H H\G, b(ah) =Ha 1 on bijektio. Tehtävä 83. Täydennä diedriryhmän D 4 aliryhmäkaavio D 4 H 1 H 2 H J 1 J 2 J 3 J 4 J I Kaaviossa esiintyvien aliryhmien indeksit ovat [D 4 : J i ]=4ja [D 4 : H j ]=2kaikilla 1 i 5 ja 1 j 3. Olkoot ja A = B = ( ) i 0 SL 0 i 2 (C) ( ) 0 1 SL (C). Olkoon H = A, B < SL 2 (C) matriisien A ja B virittämä aliryhmä. Tehtävä 84. Osoita, että ryhmä H ei ole kommutatiivinen ja että #H =8. Tehtävä 85. Osoita, että ryhmällä H on aliryhmien H ja {I} lisäksi neljä aliryhmää, jotka ovat kaikki normaaleja. Tehtävä 86. Piirrä ryhmän H aliryhmäkaavio. 83 Vihje: Kaikki ryhmät H j, 1 j 3 eivät ole isomorfisia. 84 Vihje: Tarkasta ensin, että BA = AB ja käytä tätä tietoa ja Propositiota

9 Tehtävä 87. Olkoon G äärellinen ryhmä. Olkoot K<H<G.OsoitaLagrangen lauseen avulla, että indekseille pätee: [G : K] =[G : H][H : K]. Tehtävä 88. Olkoon G ryhmä. Olkoot K<H<Gsiten, että [G : H] < ja [H : K] <. Osoita,ettäindekseillepätee: [G : K] =[G : H][H : K]. Tehtävä 89. Olkoon φ: G G ryhmähomomorfismi. Olkoon H G.Osoita, että φ 1 (H ) G. Tehtävä 90. Olkoon t A neliömatriisin A transpoosi, ja olkoon I n identtinen n n- matriisi. Olkoon O(n) ={A GL n (R) :A t A = I n }. Osoita, että O(n) < GL n (R). OnkoO(n) GL n (R)? Tehtävä 91. Olkoon C syklinen ryhmä. Osoita, että kaikki ryhmän C tekijäryhmät ovat syklisiä. Tehtävä 92. Olkoon G ryhmä. Osoita, että ryhmän G sisäiset automorfismit muodostavat ryhmän Aut(G) normaalin aliryhmän. Tehtävä 93. Osoita, että ryhmän G keskus Z(G) on kommutatiivinen normaali aliryhmä. Tehtävä 94. Määritä ryhmien S 3, D 3 ja C 2 C 2 keskukset. Tehtävä 95. Määritä ryhmien S 3, D 3 ja C 2 C 2 sisäiset automorfismiryhmät. Tehtävä 96. Olkoon { H 3 = 1 a c } 0 1 b : a, b, c R Heisenbergin ryhmä, jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Osoita, että kuvaus ψ : H 3 (R 2, +), jokamääritelläänasettamalla ψ( 1 a c 0 1 b ) =(a, b), on homomorfismi ja määritä sen ydin. Osoita, että tekijäryhmä H 3 / ker ψ on isomorfinen ryhmän (R 2, +) kanssa. 88 Vihje: Oletetaan, että G = m i=1 a ih ja H = n j=1 b jk.osoita, että G = m i=1 n j=1 a ib j K. 50

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 8,

Algebra I, harjoitus 8, Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin

Lisätiedot

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki

Lisätiedot

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät 6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,

Lisätiedot

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2

3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 Olen valinnut kunkin luvun teemaksi yhden ryhmän. Ensimmäisen luvun teema on pienin epätriviaali ryhmä, eli ryhmä, jossa on kaksi alkiota. Merkitsen

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}.

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}. Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa suuriin, helpommin käsiteltäviin osiin. Tämän jälkeen voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin

Lisätiedot

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

Eräitä ratkeavuustarkasteluja

Eräitä ratkeavuustarkasteluja Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Matti

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,

Lisätiedot

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Toisin sanoen kyseessä on reaalitason vektoreiden relaatio. v w v =k w jollakink R\{0}.

Toisin sanoen kyseessä on reaalitason vektoreiden relaatio. v w v =k w jollakink R\{0}. Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Harjoitus 7 Ratkaisuehdotus (5 sivua) JR 1. Määritellään reaalilukuparien relaatio seuraavasti: (x,y) (x,y ) x =kx jay=ky jollakink R\{0}. Toisin sanoen

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 1 / 28 14A.1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Tehtävä: Määrää ryhmän karakteritaulu,

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala

Lisätiedot

ei ole muita välikuntia.

ei ole muita välikuntia. ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten

Lisätiedot

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................

Lisätiedot

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)

Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa

Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Aleksi Heiskanen Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Marraskuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta

Lisätiedot

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................

Lisätiedot

Algebra, 1. demot, 18.1.2012

Algebra, 1. demot, 18.1.2012 Algebra, 1. demot, 18.1.2012 1. Mielivaltaisen joukon X potenssijoukko eli kaikkien osajoukkojen joukko P(X) määritellään asettamalla P(X) = {A A X}. Päteekö ehto X P(X) a) aina, b) ei koskaan tai c) joskus?

Lisätiedot

1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä

1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä LUKUTEORIAA 1 Jakajat ja jäännökset Luonnollisten lukujen joukko N = { 0, 1, 2, 3,... } on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä Z + = {1,

Lisätiedot

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................

Lisätiedot

Frobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä

Frobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä Frobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä Pro Gradu-tutkielma Mikko Korhonen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perustuloksia 4 2.1 Lukuteoriaa............................

Lisätiedot

Hänessä kaikki viisauden ja tiedon aarteet ovat kätkettyinä. Vrt. Paavalin kirje kolossalaisille 2:2-3.

Hänessä kaikki viisauden ja tiedon aarteet ovat kätkettyinä. Vrt. Paavalin kirje kolossalaisille 2:2-3. TAMPEREEN YLIOPISTO Matematiikan pro gradu -työ Seppo Janhonen Ryhmäteoriaa Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2001 Hänessä kaikki viisauden ja tiedon aarteet ovat kätkettyinä.

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 3.5. Sisäiset symmetriat. Kuution väritysesimerkissä 3.14 tarkasteltiin yksittäisten alkioiden sijaan niiden konjugaattiluokkia ja todettiin, että konjugaattiluokkia vastaavat luonnollisella tavalla erityyppiset

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

6 A 5, alternoiva ryhmä ja muita yksinkertaisia ryhmiä

6 A 5, alternoiva ryhmä ja muita yksinkertaisia ryhmiä 6 A 5, alternoiva ryhmä ja muita yksinkertaisia ryhmiä Tutustukaamme ensin ryhmään S 5. Jos käytämme syklinotaatiota, toteamme, että se sisältää syklejä, jotka ovat muotoa (12), (123), (1234), (12345),

Lisätiedot

Algebra kl Tapani Kuusalo

Algebra kl Tapani Kuusalo Algebra kl. 2010 Tapani Kuusalo Sisältö Luku 1. Luonnolliset luvut 1 Luku 2. Laskutoimitukset 4 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet 4 2. Neutraali- ja käänteisalkiot 6 3. Indusoidut laskutoimitukset,

Lisätiedot

π πρ = ρ, π πρ 3 = ρ 3, πρ 2 πρ = ρ 3 πρ 2 πρ 3 = ρ.

π πρ = ρ, π πρ 3 = ρ 3, πρ 2 πρ = ρ 3 πρ 2 πρ 3 = ρ. Rhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 4, ratkaisuehdotus (5 sivua) 26.11.2012 Tehtävä 1. Etsi neliön smmetriarhmän D 8 kaikki alirhmät. Mitkä niistä ovat normaaleja? Ratkaisu. Rhmää D 8

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos meillä

Lisätiedot

ÄÄRELLISTEN RYHMIEN VAIHDANNAISUUSVERKOT MIIKKA SILFVERBERG

ÄÄRELLISTEN RYHMIEN VAIHDANNAISUUSVERKOT MIIKKA SILFVERBERG ÄÄRELLISTEN RYHMIEN VAIHDANNAISUUSVERKOT MIIKKA SILFVERBERG PRO GRADU HELSINGIN YLIOPISTON MATEMATIIKAN LAITOS TOUKOKUU 2008 SISÄLTÖ 1. Merkinnöistä ja määritelmistä 2 2. Johdanto 3 3. Ryhmäteoriaa 5 3.1.

Lisätiedot

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,

Lisätiedot

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011 Sisältö 1 Laskutoimitukset 6 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset..................... 6 1.1.1 Joukko..............................

Lisätiedot

5. Ryhmän kompositiotekijät

5. Ryhmän kompositiotekijät 5. Ryhmän kompositiotekijät Jos ryhmästä löydetään normaali aliryhmä, sen suhteen voidaan muodostaa tekijäryhmä, jolla saattaa olla yksinkertaisempi rakenne kuin alkuperäisellä ryhmällä. Ryhmä voidaan

Lisätiedot

5 Platonin kappaleet ja niiden symmetriaryhmät

5 Platonin kappaleet ja niiden symmetriaryhmät 5 Platonin kappaleet ja niiden symmetriaryhmät Ensimmäisissä luvussa käsittelimme ryhmäteorian peruskonsepteja niin kuin ne on 1800- ja 1900-luvuilla määritelty. Nyt palaamme ajassa taaksepäin, ja tutkimme,

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Lineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo

Lineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lineaariset Lien ryhmät 27.2.2012 / t 6 D 381 klo. 16-18. 1. Matriisiryhmällä U(n) on epätriviaali normaali aliryhmä SU(n), joka on homomorfismin det

Lisätiedot

4 Abelin ryhmät. 4.1 Suorat tulot ja summat

4 Abelin ryhmät. 4.1 Suorat tulot ja summat 4 Abelin ryhmät Ensimmäisellä ryhmäteorian kurssilla käytiin läpi lähinnä syklisiä ryhmiä. Tällä kurssilla keskitymme epäkommutatiivisiin esimerkkeihin. On kuitenkin niin, että äärellisesti viritettyjen

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

ALGEBRA KEVÄT 2011 JOUNI PARKKONEN

ALGEBRA KEVÄT 2011 JOUNI PARKKONEN ALGEBRA KEVÄT 2011 JOUNI PARKKONEN Sisältö 1. Laskutoimitukset 1 2. Kompleksiluvut 8 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut 15 4. Ryhmät 20 5. Aliryhmät 26 6. Aärelliset permutaatioryhmät

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Ryhmälaajennukset ja ryhmäkohomologia

Ryhmälaajennukset ja ryhmäkohomologia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Timo Rahkonen Ryhmälaajennukset ryhmäkohomologia Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Marraskuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto. huhtikuuta 0 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto. huhtikuuta 0 Modulaariaritmetiikka Eukleideen algoritmi RSA-algoritmi Ryhmät ja permutaatiot Ryhmät Permutaatiot

Lisätiedot