Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä"

Transkriptio

1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 1 / 28

2 14A.1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Tehtävä: Määrää ryhmän karakteritaulu, ja todista sen avulla, että se on yksinkertainen ryhmä. Ratkaisu: Palautetaan ensin mieleen konjugaattiluokat. Permutaation σ sentralisoija C A5 (σ) = C S5 (σ). Konjugaattiluokan koko on yhtä suuri kuin sentralisoijan indeksi. Näin ollen konjugaattiluokka [σ] A5 = [σ] S5 sjvsk sentralisoijassa C S5 (σ) on jokin pariton permutaatio. Koska 2-sykli (45) kommutoi 3-syklin (123) kanssa, niin 3-syklit muodostavat yhden konjugaattiluokan myös aliryhmässä. Näin ollen #[(123)] = 20. Samoin koska 4-sykli (1324) kommutoi neliönsä (12)(34) kanssa, niin tyypin (2, 2) permutaatiot muodostavat yhden konjugaattiluokan myös ryhmässä. 2 / 28

3 14A.2 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Siis #[(12)(34)] A5 = #[(12)(34)] S5 = 15. Sitä vastoin 5-syklit (joita on 24 kpl sekä :ssä että S 5 :ssä) generoivat oman sentralisoijansa (24 = #S 5 /5), joten ne jakautuvat kahteen konjugaattiluokkaan aliryhmässä. Pohdimme tätä tarkemmin Sylow-teorian kautta. Mainitut 24 5-sykliä jakautuvat kuuteen Sylow 5-aliryhmään. Jos siis α = (12345), P = α on niistä yksi, niin sillä on kuusi konjugaattialiryhmää. Näin ollen sen normalisoijan N = N A5 (P) indeksi [ : N] = 6. Koska # = 60, on siis #N = 10. Koska ryhmässä ei ole kertalukua kymmenen olevia alkioita, tiedämme demotehtävän Dem.III/7 perusteella, että N = D 5. Sama seuraa myös siitä, että alkiot β = (25)(34) ja α toteuttavat relaation βαβ 1 = α 1. 3 / 28

4 14A.3 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Jos τ on permutaatio, jolle τατ 1 = α k P, niin τ N. Tietomme ryhmän D 5 konjugaattiluokista kertovat tällöin, että k ±1 (mod 5). Näin ollen [α] A5 P = {α, α 1. Sama päättely voidaan toistaa kaikille 5-sykleille. Näin ollen 5-syklien jakautuminen konjugaattiluokkiin menee siten, että kukin niistä on samassa konjugaattiluokassa käänteisalkionsa kanssa, mutta eri konjugaattiluokassa neliönsä kanssa. Lisäksi näimme, että normalisoija N sisältää viisi tyypin (2, 2) permutaatiota (jotka vastaavat säännöllisen 5-kulmion peilauksia). Koska tyypin (2, 2) alkioita on 15 kpl ne jakautuvat ryhmän N kuuden konjugaatin kesken siten, että jokainen kuuluu ryhmän N kahteen eri konjugaattiin. Esimerkiksi (25)(34) normalisoi Sylow 5-aliryhmät P = (12345) ja P = (12435). 4 / 28

5 14A.4 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Konjugaattiluokkien edustajina voidaan siis käyttää alkioita 1, (123), (12)(34), (12345), (13524). Vastaavat konjugaattiluokkien koot ovat 1, 20, 15, 12, 12. Sitten voimme alkaa jaottomien karakterien etsimisen. Ryhmä operoi 2-transitiivisesti joukossa {1, 2, 3, 4, 5}. Näin ollen siihen liittyvä permutaatiokarakteri ψ 1 on triviaalin karakterin χ 1 ja 4-asteisen jaottoman karakterin χ 2 summa, ψ 1 = χ 1 + χ 2. Tässä ψ 1 laskee permutaation kiintopisteitä, joten χ 2 (1) = 5 1 = 4, χ 2 ((123)) = 2 1 = 1, χ 2 ((12)(34)) = 1 1 = 0, χ 2 ((12345)) = 0 1 = 1, χ 2 ((13524)) = 0 1 = 1. 5 / 28

6 14A.5 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Ryhmä operoi myös Sylow 5-aliryhmiensä joukossa X konjugoimalla. Sylowin lauseen perusteella operointi on transitiivista. Tutkitaan tarkemmin 5-syklin α konjugointioperointia. Se tietenkin pitää paikallaan generoimansa Sylow 5-aliryhmän P. Se ei kuitenkaan normalisoi mitään muuta Sylow 5-aliryhmää P P, sillä näimme, että N A5 (P ) = D 5 ei sisällä P :n ulkopuolisia 5-syklejä. Koska ord(α) = 5, sen toisessa radassa on viisi alkiota, eli kaikki muut Sylow 5-aliryhmät P:tä lukuun ottamatta. Väite: operoi Sylow 5-aliryhmiensä joukossa X 2-transitiivisesti. Todistus: Olkoot P 1 P 2 ja P 1 P 2 5-aliryhmiä. mielivaltaisia Sylow 6 / 28

7 14A.6 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Koska operoi joukossa X transitiivisesti, niin on olemassa sellainen σ, että σp 1 σ 1 = P 1. Tällöin σp 2 σ 1 σp1 1 = P 1. Olkoon sitten τ P 1 jokin 5-sykli. Yllä näimme, että τ = P 1 operoi joukossa X \ {P 1 } transitiivisesti. Näin ollen jokin potensseista τ k, k = 0, 1, 2, 3, 4, toteuttaa ehdon Koska väite on todistettu. τ k (σp 2 σ 1 )τ k = P 2. τ k (σp 1 σ 1 )τ k = τ k P 1τ k = P 1, 7 / 28

8 14A.7 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Jos siis ψ 2 on tähän operointiin liittyvä 6-asteinen karakteri, niin tiedämme, että ψ 2 = χ 1 + χ 3 jollekin redusoitumattomalle karakterille χ 3. Näimme, että kukin 5-sykli normalisoi tasan yhden Sylow 5-aliryhmän, kukin tyypin (2, 2) permutaatio kaksi, kun taas mikään 3-sykli ei normalisoi yhtään Sylow 5-aliryhmää. Normalisointi tässä vastaa permutaatiokarakterin ψ 2 kiintopisteitä, joten χ 3 (1) = 6 1 = 5, χ 3 ((123)) = 0 1 = 1, χ 3 ((12)(34)) = 2 1 = 1, χ 3 ((12345)) = 1 1 = 0, χ 3 ((13524)) = 1 1 = 0. 8 / 28

9 14A.8 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Huomautus 1: Yo. väite yleistyy seuraavasti. Jos G operoi transitiivisesti joukossa X, x X, ja G x operoi transitiivisesti joukossa X \ {x X}, niin G:n operointi joukossa X on 2-transitiivista. Huomautus 2: Transitiivisen permutaatioesityksen karakteri saadaan indusoimalla stabilisoijan triviaali karakteri (moniste), joten karakteri ψ 2 saadaan myös induktiolla ψ 2 = Ind D 5 (θ 1 ), missä θ 1 on aliryhmän D 5 triviaali karakteri. 9 / 28

10 14A.9 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Olemme löytäneet ryhmän viidestä jaottomasta karakterista kolme. Olkoot χ 4 ja χ 5 puuttuvat kaksi karakteria. Huomaamme, että mikään annetuista kolmesta karakterista ei tee eroa kahden 5-sykleistä muodostuvan konjugaattiluokan välillä. Karakteritaulun sarakkeiden ortogonaalisuuden perusteella ko. sarakkeet eivät voi olla identtiset, joten rajoituksetta voimme olettaa, että χ 4 ((12345)) = a b = χ 4 ((13524)). Käytämme hyväksi tietoa siitä, että alkiot α = (12345) ja α 2 = (13524) ovat konjugaatteja ryhmässä S 5. Normaaliin tapaan näemme, että 4-sykli γ = (2354) toteuttaa ehdon γαγ 1 = α 2. Konjugointi permutaatiolla γ on automorfismi φ :, x γxγ / 28

11 14A.10 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Jos χ on mikä tahansa ryhmän jaoton karakteri, niin myös χ φ on jaoton karakteri (esityksissä ovat samat matriisit, tosin liitettynä ryhmän eri alkioihin, mutta jaottomuus säilyy tällöin). Automorfismi kuvaa muut ryhmän konjugaattiluokat itselleen, mutta vaihtaa siis 5-syklien konjugaattiluokat päittäin. Näin ollen karakteri χ 4 φ χ 4. Edelleen myös karakteri χ 4 φ erottelee kyseiset 5-syklien konjugaattiluokat toisistaan, joten χ 4 φ ei ole mikään karaktereista χ 1, χ 2, χ 3. Jäljelle jää vaihtoehto χ 4 φ = χ 5. Siis χ 4 (1) = n = χ 5 (1). Yhtälöstä ratkeaa tällöin n = = n 2 + n 2 11 / 28

12 14A.11 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Yhteenvetona opitusta tiedämme, että karakteritaulu näyttää seuraavalta 1 (123) (12)(34) (12345) (13524) χ χ χ χ 4 3 x y a b χ 5 3 x y b a Sarakkeiden 1 ja 2 ortogonaalisuus antaa nyt x = 0. Vastaavasti sarakkeiden 1 ja 3 ortogonaalisuus antaa y = 1. Kaikille ryhmille ja karaktereille on voimassa χ(x) = χ(x 1 ). Tässä ryhmässä jokainen alkio on konjugaatti käänteisalkionsa kanssa, joten kaikki karakterit ovat reaalisia. 12 / 28

13 14A.12 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Sarakkeiden 1 ja 4 (vast. 4 ja 5) ortogonaalisuus antaa meille yhtälöt 3(a + b) = 3 ja 2ab = 2, mistä ratkeaa a + b = 1 ja ab = 1. Näin ollen a ja b ovat yhtälön ratkaisut 0 = (x a)(x b) = x 2 (a + b)x + ab = x 2 x 1 a, b = 1 ± 5. 2 Yleisyyttä loukkaamatta voidaan valita a = (1 + 5)/2 = cos(2π/5), b = (1 5)/2 = cos 4π/5. Huomautus: Karakteria χ 4 vastaava esitys saadaan realisoimalla säännöllisen ikosaedrin rotaatioiden ryhmänä. Muistetaan, että 3-ulotteisessa avaruudessa rotaatiolla kulman θ verran on jälki cos θ. 13 / 28

14 14A.13 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Saadusta karakteritaulusta nähdään heti ryhmän yksinkertaisuus. Jos nimittäin N olisi ryhmän ei-triviaali normaali aliryhmä, niin tekijäryhmä /N olisi jokin pienempi ei-triviaali ryhmä. Sillä olisi ei-triviaaleja jaottomia karaktereja. Niiden inflaationa ryhmän karaktereiksi saataisiin ainakin yksi ei-triviaali jaoton karakteri χ, jolla N on ytimenä. Karakteritaulusta kuitenkin näemme, että kaikille x, x 1, on voimassa χ(x) χ(1) kaikille jaottomille karaktereille χ. Näin ollen tällaista normaalia aliryhmää N ei ole olemassa. 14 / 28

15 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja 15 / 28

16 Syklisen ryhmän automorfismit Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Oletetaan, että G = C n = c c n = 1. Homomorfismi f : C n C n määräytyy täysin, kun tiedetään f(c) = c k. Merkitään tätä homomorfismia f k. Tässä f k on surjektio sjvsk c k generoi koko ryhmän eli on kertalukua n. PK II:n perusteella näin on sjvsk syt(k, n) = 1. Selvästi f k f l = f t, missä t kl (mod n). Ryhmän C n automorfismien ryhmä on siis Aut(C n ) = Z n. Erityisesti # Aut(C n ) = φ(n) (Eulerin φ-funktio). Erityisesti kun p on alkuluku, niin # Aut(C p ) = p 1 ja # Aut(C p 2) = p(p 1). Lisäksi (Lukuteoria/Algebra) nämä ryhmät ovat itsekin syklisiä. 16 / 28

17 14B.1 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Tehtävä: Oletetaan, että ryhmän G kertaluku on 20. Lisäksi tiedetään, että sen Sylow 2-aliryhmä Q on isomorfinen Kleinin neliryhmän kanssa. Osoita, että tällöin ryhmässä G on kertalukua 10 oleva alkio. Ratkaisu: Ryhmän G Sylow 5-aliryhmien lukumäärä n 5 toteuttaa ehdot n 5 1 (mod 5) ja n 5 4. Näin ollen n 5 = 1, eli Sylow 5-aliryhmä P G. Erityisesti aliryhmän Q = {1, a, b, ab} alkiot kaikki normalisoivat P:n. Näin ollen konjugointi antaa homomorfismin f : Q Aut(P) = Aut(C 5 ) = C / 28

18 14B.2 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Tässä siis #Q = 4 = # Aut(P). Koska ryhmät eivät ole isomorfisia, ei f voi olla injektio. Näin ollen Ker f ei ole triviaali. Siis jokin kertalukua kaksi oleva alkio x Q kuuluu ytimeen Ker f. Tämä tarkoittaa sitä, että xyx 1 = f(x)(y) = id P (y) = y kaikille y P. Näin ollen H = P, x on abelin ryhmä, jossa on 10 alkiota. Jos Abelin ryhmässä ord y = 5 ja ord x = 2, niin ord(xy) = pyj(2, 5) = / 28

19 14C.1 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Tehtävä: Onko kertalukua 55 oleva ryhmä G välttämättä Abelin ryhmä? Ratkaisu: Näemme, että Sylow aliryhmien lukumäärillä on vaihtoehdot n 11 = 1 ja n 5 {1, 11}. Ryhmällä G on siis välttämättä normaali Sylow 11-aliryhmä P = c = C 11. Jos sen Sylow 5-aliryhmä Q = a on myös normaali, niin tällöin PQ on suora tulo, ja siis Abelin ryhmä. Jäljelle jää vaihtoehto n 5 = / 28

20 14C.2 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Joka tapauksessa Q normalisoi P:n, joten saamme homomorfismin f : Q Aut(P). Tässä Aut(P) on syklinen 10 alkion ryhmä. Koska 2 generoi ryhmän Z 11, niin jäännösluokka 4 on kertalukua viisi. Siis säännön c c 4 määräämä P:n automorfismi on sekin kertalukua 5. Voidaan siis muodostaa epäkommutatiivinen puolisuora tulo G = C 11 C 5, jossa aca 1 = c 4. Kyseinen puolisuora tulo voidaan realisoida ryhmän S 11 aliryhmänä. Merkitään A = 10, B = 11. Tällöin c = ( AB), c 4 = (15926A37B48) ja a = (256A4)(39B87) toteuttavat mainitut relaatiot ja generoivat yhdessä epäkommutatiivisen ryhmän, jonka kertaluku on / 28

21 14C.3 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Tämä ryhmä saadaan myös demoissa esiintyneen affiinin ryhmän Aff 11 aliryhmänä (Dem XII/7). Voidaan ajatella G = {( x y 0 1 ) y Z 11, x (Z 11) 2 }. 21 / 28

22 Filosofiaa Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Näimme Esimerkeissä 14B ja 14C, että jos meillä on syklinen normaali Sylow aliryhmä, niin sen automorfismien tunteminen rajoitti ryhmän muiden alkioiden konjugointioperoinnilla olevia vaihtoehtoja merkittävästi. Joissakin tilanteissa pystyimme päättelemään, että jotkin alkiot väistämättä sentralisoivat kyseisen Sylow aliryhmän. Samantapaisia päättelyitä on tehtävissä aina, kun tunnemme normaalin aliryhmän automorfismiryhmän rakenteen. Yllä käsittelimme syklistä tapausta. Pienen ryhmän tapauksessa Sylow p-aliryhmä on usein kertalukua p tai p 2. Näimme, että tällainen ryhmä on aina Abelin ryhmä, joko C p 2 tai C p C p. 22 / 28

23 2x2 Matriisiryhmä Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Oletetaan, että G = C p C p. Voidaan ajatella G:n olevan vektoriavaruuden G = Z 2 p additiivinen ryhmä. Jos f : G G on automorfismi, niin kaikille x G, n Z on tällöin f(nx) = nf(x). Lisäksi f(px) = pf(x) = 0 G, joten f on välttämättä lineaarikuvaus yli kunnan Z p. Erityisesti, jos f on automorfismi, niin f GL 2 (Z p ) (kiinnitetään jokin kanta ensin). Matriisi A M 2 2 (Z p ) on säännöllinen, joss sen vaakarivit ovat lineaarisesti riippumattomi. Ensimmäinen vaakarivi voidaan siis valita p 2 1 eri tavalla ( (0, 0)). Sen jälkeen toinen vaakarivi voidaan valita p 2 p eri tavalla: se ei saa olla 1. skalaarimonikerta, mikä rajaa pois p vaihtoehtoa. #GL 2 (Z p ) = p(p + 1)(p 1) / 28

24 14D Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Osoita, että kertalukua 45 oleva ryhmä G on aina Abelin ryhmä. Ratkaisu 1: Sylowin lause pakottaa n 3 = n 5 = 1, joten Sylow 3-aliryhmä P ja Sylow 5-aliryhmä Q ovat normaaleja ja kommutatiivisia. Koska ne leikkaavat triviaalisti (Lagrange), G on niiden suora tulo. Väite seuraa, koska P ja Q ovat kommutatiivisia. Ratkaisu 2: Sylow 3-aliryhmä P on normaali (n 3 = 1). Joko P = C 9 tai P = C 3 C 3. Näin ollen Aut(P) on joko kertalukua 6 tai kertalukua 3 (3 1) 2 (3 + 1). Kummassakaan tapauksessa P:llä ei ole kertalukua viisi olevaa automorfismia, joten Sylow 5- aliryhmä Q välttämättä kommutoi P:n alkioiden kanssa. 24 / 28

25 14E.1 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Oletetaan, että G on kertalukua 75 oleva ryhmä, joka ei ole Abelin ryhmä. Osoita, että sillä on aliryhmä P = C 5 C 5, ja anna esimerkki tällaisesta ryhmästä. Mitä kertalukua olevia alkioita ryhmässä G tällöin on? Ratkaisu: Selvästi n 5 = 1 ja n 3 {1, 25}. Jos n 3 = 1, niin kuten yllä, näemme, että G on Sylow aliryhmien suora tulo, ja edelleen Abelin ryhmä. On siis oltava n 3 = 25. Sylow 5-aliryhmä P on kuitenkin normaali. Jos se on syklinen, niin Aut(P) = Z 25 = C 20. Tällä ei ole kertalukua kolme olevia alkioita, joten tämä johtaa Abelin ryhmään. 25 / 28

26 14E.2 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja On siis oletettava, että P = C 5 C 5. Tällöin Aut(P) = GL 2 (Z 5 ). Tässä ryhmässä on kertalukua 3 olevia alkioita, koska sen kertaluku on = 480. Eräs tällainen on matriisi ( ) 0 1 M =, 1 1 joka olisi kertalukua kolme jopa ryhmässä GL 2 (Q). Jos merkitsemme aliryhmän P alkioita pystyvektoreina Z 2 5, niin voimme muodostaa puolisuoran tulon G = Z 2 5 C 3, jossa jälkimmäisen tekijän generaattori c konjugoi säännön cxc 1 = Mx mukaisesti kaikkia x P. 26 / 28

27 14E.3 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Sylow 5-aliryhmässä P on siis 24 kappaletta kertalukua 5 olevia alkioita. Sylow 3-aliryhmiä on 25 kpl, ja niissä on siis yhteensä 50 kertalukua kolme olevaa alkiota. Identiteettialkion kera onkin sitten koko ryhmä katettu. Voimme päätellä myös, että aliryhmällä P on vain yksi 25 alkion rata Sylow 3-aliryhmien joukossa. Edelleen kaikki alkiot (x, c i ), x P, i = 1, 2, ovat siis kertalukua kolme. Huomautus: Näimme, että ryhmän GL 2 (Z 5 ) kertaluku on 480. Sen determinanttia yksi olevat matriisit muodostavat siis kertalukua 120 olevan aliryhmän SL 2 (Z 5 ). Matriisit ±I muodostavat tämän ryhmän keskuksen, ja tekijäryhmä PSL 2 (Z 5 ) = SL 2 /Z(SL 2 ) on siis kertalukua 60. Voidaan todistaa, että jos K on äärellinen kunta, niin ryhmä PSL n (K) on yksinkertainen pienin poikkeuksin. Näkemämme perusteella siis PSL 2 (Z 5 ) =. Isomorfismin konstruoiminen jätetään harjoitustehtäväksi. 27 / 28

28 Kommentteja Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja On tehty kaikenlaista pikku algebraa pienillä ryhmillä ja niide esityksillä. On nähty viitteitä siitä, miten tämä aihepiiri liittyy äärellisten kuntien teoriaan ja algebrallisten lukujen teoriaan. Ottamalla ön algebralliset kokonaisluvut työkaluna voisimme suht nopeasti todistaa seuraavat klassiset tulokset: Jos χ on äärellisen ryhmän G jaoton karakteri, niin χ(1) #G (esimerkiksi siis paritonta kertalukua olevalla ryhmällä ei ole 2-ulotteista jaotonta esitystä). Jos #G = p a q b (eli ryhmän kertaluvulla on enintään kaksi alkutekijää), niin G on ratkeava (Burnside). Yksinkertaisen äärellisten ryhmien luokittelua olemme vasta päässeet raapaisemaan, samoin symmetristen ryhmien esitysteoriaa. 28 / 28

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Ryhmäteoria. Markku Koppinen Turun yliopisto

Ryhmäteoria. Markku Koppinen Turun yliopisto Ryhmäteoria Markku Koppinen Turun yliopisto 6. toukokuuta 2011 Alkusanat Tämä ryhmäteorian kurssi käsittelee enimmäkseen ryhmien esitysteoriaa, mutta kuten tulemme näkemään, esitysteoria liittyy niin läheisesti

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Algebra, 1. demot, 18.1.2012

Algebra, 1. demot, 18.1.2012 Algebra, 1. demot, 18.1.2012 1. Mielivaltaisen joukon X potenssijoukko eli kaikkien osajoukkojen joukko P(X) määritellään asettamalla P(X) = {A A X}. Päteekö ehto X P(X) a) aina, b) ei koskaan tai c) joskus?

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K

ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K ALGEBRA Tauno Metsänkylä K f τ K f τ 1 K(α 1 ) K(α 1 ) K id K K SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 MODULI 4 1.1 Moduli; alimoduli................................ 4 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli.......................

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa II MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011 Sisältö 1 Laskutoimitukset 6 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset..................... 6 1.1.1 Joukko..............................

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

5. Julkisen avaimen salaus

5. Julkisen avaimen salaus Osa3: Matematiikkaa julkisen avaimen salausten taustalla 5. Julkisen avaimen salaus Public key cryptography 5. 1 Julkisen avaimen salausmenetelmät - Diffien ja Hellmannin periaate v. 1977 - RSA:n perusteet

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä

1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä LUKUTEORIAA 1 Jakajat ja jäännökset Luonnollisten lukujen joukko N = { 0, 1, 2, 3,... } on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä Z + = {1,

Lisätiedot

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Matti Åstrand Helsinki 25.5.2009 Pro gradu -tutkielma HELSINGIN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Permutaatioista alternoivaan ryhmään

Permutaatioista alternoivaan ryhmään Permutaatioista alternoivaan ryhmään Pro Gradu-tutkielma Sini-Susanna Fetula Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 3 Permutaatioista. 6 3.1 Symmetrinen

Lisätiedot

Symmetriaryhmät ja niiden esitykset. Symmetriaryhmät, 10.1.2013 1/26

Symmetriaryhmät ja niiden esitykset. Symmetriaryhmät, 10.1.2013 1/26 Symmetriaryhmät ja niiden esitykset Symmetriaryhmät, 10.1.2013 1/26 Osa I: Symmetriaryhmät Symmetriaryhmät, 10.1.2013 2/26 Peilisymmetria Symmetriaryhmät, 10.1.2013 3/26 Kiertosymmetria Symmetriaryhmät,

Lisätiedot

Tarkistusmerkkijärjestelmistä algebrallisissa ryhmissä. Jukka Jylänki jukkajyl@mail.student.oulu.

Tarkistusmerkkijärjestelmistä algebrallisissa ryhmissä. Jukka Jylänki jukkajyl@mail.student.oulu. Tarkistusmerkkijärjestelmistä algebrallisissa ryhmissä Jukka Jylänki jukkajyl@mail.student.oulu. Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2011 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Perusteita 4 3 Tarkisteyhtälö

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen yhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan Esa V. Vesalainen Sisällysluettelo 1 Aritmetiikan peruslause 0 Jakoyhtälö.................................. 0 Jaollisuus.................................. 0 Alkuluvut..................................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

2 ALGEBRA I. Sisällysluettelo

2 ALGEBRA I. Sisällysluettelo ALGEBRA I 1 2 ALGEBRA I Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 1.3. Ekvivalenssirelaatio 9 2. Lukuteoriaa 11 2.1. Jaollisuusrelaatio 11 2.2. Suurin

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla 6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa

Lisätiedot

Multiplikatiivisista funktioista

Multiplikatiivisista funktioista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Marita Riihiranta Multiplikatiivisista funktioista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 25. lokakuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Valittuja kaavoja 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 4 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Anne-Maria Ernvall-Hytönen 14. tammikuuta 2011 Sisältö 1 Jaollisuus, alkuluvut, ynnä muut perustavanlaatuiset asiat 2 1.1 Lukujen tekijöiden

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

Abc-konjektuuri. Pro gradu -tutkielma Marko Lamminsalo 180897 Itä-Suomen yliopisto 5. maaliskuuta 2014

Abc-konjektuuri. Pro gradu -tutkielma Marko Lamminsalo 180897 Itä-Suomen yliopisto 5. maaliskuuta 2014 Abc-konjektuuri A B C Pro gradu -tutkielma Marko Lamminsalo 180897 Itä-Suomen yliopisto 5. maaliskuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Merkinnöistä................................... 5 2 Peruskäsitteitä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 Mat-214 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A, säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä

Lisätiedot

Lukijalle. Modernin algebran alkeita on yleensä tapana opettaa tiukan aksiomaattis abstraktilla

Lukijalle. Modernin algebran alkeita on yleensä tapana opettaa tiukan aksiomaattis abstraktilla Lukijalle Matematiikan opetuksessa käsiteltävä aines voidaan järjestää ainakin seuraavien kolmen periaatteen mukaan: matematiikan historiallinen kehitysjärjestys, matematiikan looginen esitysjärjestys

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

2 Permutaatioryhmät. 2.1 Permutaation olemus

2 Permutaatioryhmät. 2.1 Permutaation olemus 2 Permutaatioryhmät Rubikin kuution siirrot ovat tietynlaisia permutaatioita Permutaatiot muodostavat ryhmiä, ja tällä tavoin ryhmäteorian työkaluja päästään käyttämään kuutioongelman selvittämisessä Tässä

Lisätiedot

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA Heikki Junnila VERKOT LUKU I JOUKOISTA JA RELAATIOISTA 1. Joukkojen symmetrinen erotus.....................................1 2. Relaation sisältämät kuvaukset.................................... 7 Harjoitustehtäviä................................................

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 27. helmikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Merkintöjä 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 5 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat 10 7

Lisätiedot

Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta

Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Katri Syvänen Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Tammikuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan

Lisätiedot

Ortogonaalit latinalaiset neliöt

Ortogonaalit latinalaiset neliöt Ortogonaalit latinalaiset neliöt M Tamminen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2013 Tiivistelmä: M Tamminen, Ortogonaalit latinalaiset neliöt (engl

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Nopea kertolasku, Karatsuban algoritmi

Nopea kertolasku, Karatsuban algoritmi Nopea kertolasku, Karatsuban algoritmi Mikko Männikkö 16.8.2004 Lähde: ((Gathen and Gerhard 1999) luku II.8) Esityksen kulku Algoritmien analysointia (1), (2), (3), (4) Klassinen kertolasku Parempi tapa

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

ALKULUVUISTA (mod 6)

ALKULUVUISTA (mod 6) Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa

TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa Heikki Junnila TOPOLOGISET RYHMÄT I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä, perusominaisuuksia..... 1 2. Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Tulot..... 13 3. Yhtenäisyys ja epäyhtenäisyys

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Lukuteorian helmiä lukiolaisille Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 0. Taustaa Sain 24.4.2007 Marjatta Näätäseltä sähköpostiviestin, jonka aihe oli Fwd: yhteistyökurssi,

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Calkinin-Wiln jono 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5...

Calkinin-Wiln jono 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5... Calkinin-Wiln jono Funktio f : X Y on bijektio, jos sillä on käänteisfunktio f : Y X. Joukko X on äärellinen, jos se on thjä tai jos on olemassa bijektio f : X {,,,..., n}. Joukko X on numeroituva, jos

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot