Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä"

Transkriptio

1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 1 / 28

2 14A.1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Tehtävä: Määrää ryhmän karakteritaulu, ja todista sen avulla, että se on yksinkertainen ryhmä. Ratkaisu: Palautetaan ensin mieleen konjugaattiluokat. Permutaation σ sentralisoija C A5 (σ) = C S5 (σ). Konjugaattiluokan koko on yhtä suuri kuin sentralisoijan indeksi. Näin ollen konjugaattiluokka [σ] A5 = [σ] S5 sjvsk sentralisoijassa C S5 (σ) on jokin pariton permutaatio. Koska 2-sykli (45) kommutoi 3-syklin (123) kanssa, niin 3-syklit muodostavat yhden konjugaattiluokan myös aliryhmässä. Näin ollen #[(123)] = 20. Samoin koska 4-sykli (1324) kommutoi neliönsä (12)(34) kanssa, niin tyypin (2, 2) permutaatiot muodostavat yhden konjugaattiluokan myös ryhmässä. 2 / 28

3 14A.2 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Siis #[(12)(34)] A5 = #[(12)(34)] S5 = 15. Sitä vastoin 5-syklit (joita on 24 kpl sekä :ssä että S 5 :ssä) generoivat oman sentralisoijansa (24 = #S 5 /5), joten ne jakautuvat kahteen konjugaattiluokkaan aliryhmässä. Pohdimme tätä tarkemmin Sylow-teorian kautta. Mainitut 24 5-sykliä jakautuvat kuuteen Sylow 5-aliryhmään. Jos siis α = (12345), P = α on niistä yksi, niin sillä on kuusi konjugaattialiryhmää. Näin ollen sen normalisoijan N = N A5 (P) indeksi [ : N] = 6. Koska # = 60, on siis #N = 10. Koska ryhmässä ei ole kertalukua kymmenen olevia alkioita, tiedämme demotehtävän Dem.III/7 perusteella, että N = D 5. Sama seuraa myös siitä, että alkiot β = (25)(34) ja α toteuttavat relaation βαβ 1 = α 1. 3 / 28

4 14A.3 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Jos τ on permutaatio, jolle τατ 1 = α k P, niin τ N. Tietomme ryhmän D 5 konjugaattiluokista kertovat tällöin, että k ±1 (mod 5). Näin ollen [α] A5 P = {α, α 1. Sama päättely voidaan toistaa kaikille 5-sykleille. Näin ollen 5-syklien jakautuminen konjugaattiluokkiin menee siten, että kukin niistä on samassa konjugaattiluokassa käänteisalkionsa kanssa, mutta eri konjugaattiluokassa neliönsä kanssa. Lisäksi näimme, että normalisoija N sisältää viisi tyypin (2, 2) permutaatiota (jotka vastaavat säännöllisen 5-kulmion peilauksia). Koska tyypin (2, 2) alkioita on 15 kpl ne jakautuvat ryhmän N kuuden konjugaatin kesken siten, että jokainen kuuluu ryhmän N kahteen eri konjugaattiin. Esimerkiksi (25)(34) normalisoi Sylow 5-aliryhmät P = (12345) ja P = (12435). 4 / 28

5 14A.4 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Konjugaattiluokkien edustajina voidaan siis käyttää alkioita 1, (123), (12)(34), (12345), (13524). Vastaavat konjugaattiluokkien koot ovat 1, 20, 15, 12, 12. Sitten voimme alkaa jaottomien karakterien etsimisen. Ryhmä operoi 2-transitiivisesti joukossa {1, 2, 3, 4, 5}. Näin ollen siihen liittyvä permutaatiokarakteri ψ 1 on triviaalin karakterin χ 1 ja 4-asteisen jaottoman karakterin χ 2 summa, ψ 1 = χ 1 + χ 2. Tässä ψ 1 laskee permutaation kiintopisteitä, joten χ 2 (1) = 5 1 = 4, χ 2 ((123)) = 2 1 = 1, χ 2 ((12)(34)) = 1 1 = 0, χ 2 ((12345)) = 0 1 = 1, χ 2 ((13524)) = 0 1 = 1. 5 / 28

6 14A.5 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Ryhmä operoi myös Sylow 5-aliryhmiensä joukossa X konjugoimalla. Sylowin lauseen perusteella operointi on transitiivista. Tutkitaan tarkemmin 5-syklin α konjugointioperointia. Se tietenkin pitää paikallaan generoimansa Sylow 5-aliryhmän P. Se ei kuitenkaan normalisoi mitään muuta Sylow 5-aliryhmää P P, sillä näimme, että N A5 (P ) = D 5 ei sisällä P :n ulkopuolisia 5-syklejä. Koska ord(α) = 5, sen toisessa radassa on viisi alkiota, eli kaikki muut Sylow 5-aliryhmät P:tä lukuun ottamatta. Väite: operoi Sylow 5-aliryhmiensä joukossa X 2-transitiivisesti. Todistus: Olkoot P 1 P 2 ja P 1 P 2 5-aliryhmiä. mielivaltaisia Sylow 6 / 28

7 14A.6 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Koska operoi joukossa X transitiivisesti, niin on olemassa sellainen σ, että σp 1 σ 1 = P 1. Tällöin σp 2 σ 1 σp1 1 = P 1. Olkoon sitten τ P 1 jokin 5-sykli. Yllä näimme, että τ = P 1 operoi joukossa X \ {P 1 } transitiivisesti. Näin ollen jokin potensseista τ k, k = 0, 1, 2, 3, 4, toteuttaa ehdon Koska väite on todistettu. τ k (σp 2 σ 1 )τ k = P 2. τ k (σp 1 σ 1 )τ k = τ k P 1τ k = P 1, 7 / 28

8 14A.7 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Jos siis ψ 2 on tähän operointiin liittyvä 6-asteinen karakteri, niin tiedämme, että ψ 2 = χ 1 + χ 3 jollekin redusoitumattomalle karakterille χ 3. Näimme, että kukin 5-sykli normalisoi tasan yhden Sylow 5-aliryhmän, kukin tyypin (2, 2) permutaatio kaksi, kun taas mikään 3-sykli ei normalisoi yhtään Sylow 5-aliryhmää. Normalisointi tässä vastaa permutaatiokarakterin ψ 2 kiintopisteitä, joten χ 3 (1) = 6 1 = 5, χ 3 ((123)) = 0 1 = 1, χ 3 ((12)(34)) = 2 1 = 1, χ 3 ((12345)) = 1 1 = 0, χ 3 ((13524)) = 1 1 = 0. 8 / 28

9 14A.8 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Huomautus 1: Yo. väite yleistyy seuraavasti. Jos G operoi transitiivisesti joukossa X, x X, ja G x operoi transitiivisesti joukossa X \ {x X}, niin G:n operointi joukossa X on 2-transitiivista. Huomautus 2: Transitiivisen permutaatioesityksen karakteri saadaan indusoimalla stabilisoijan triviaali karakteri (moniste), joten karakteri ψ 2 saadaan myös induktiolla ψ 2 = Ind D 5 (θ 1 ), missä θ 1 on aliryhmän D 5 triviaali karakteri. 9 / 28

10 14A.9 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Olemme löytäneet ryhmän viidestä jaottomasta karakterista kolme. Olkoot χ 4 ja χ 5 puuttuvat kaksi karakteria. Huomaamme, että mikään annetuista kolmesta karakterista ei tee eroa kahden 5-sykleistä muodostuvan konjugaattiluokan välillä. Karakteritaulun sarakkeiden ortogonaalisuuden perusteella ko. sarakkeet eivät voi olla identtiset, joten rajoituksetta voimme olettaa, että χ 4 ((12345)) = a b = χ 4 ((13524)). Käytämme hyväksi tietoa siitä, että alkiot α = (12345) ja α 2 = (13524) ovat konjugaatteja ryhmässä S 5. Normaaliin tapaan näemme, että 4-sykli γ = (2354) toteuttaa ehdon γαγ 1 = α 2. Konjugointi permutaatiolla γ on automorfismi φ :, x γxγ / 28

11 14A.10 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Jos χ on mikä tahansa ryhmän jaoton karakteri, niin myös χ φ on jaoton karakteri (esityksissä ovat samat matriisit, tosin liitettynä ryhmän eri alkioihin, mutta jaottomuus säilyy tällöin). Automorfismi kuvaa muut ryhmän konjugaattiluokat itselleen, mutta vaihtaa siis 5-syklien konjugaattiluokat päittäin. Näin ollen karakteri χ 4 φ χ 4. Edelleen myös karakteri χ 4 φ erottelee kyseiset 5-syklien konjugaattiluokat toisistaan, joten χ 4 φ ei ole mikään karaktereista χ 1, χ 2, χ 3. Jäljelle jää vaihtoehto χ 4 φ = χ 5. Siis χ 4 (1) = n = χ 5 (1). Yhtälöstä ratkeaa tällöin n = = n 2 + n 2 11 / 28

12 14A.11 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Yhteenvetona opitusta tiedämme, että karakteritaulu näyttää seuraavalta 1 (123) (12)(34) (12345) (13524) χ χ χ χ 4 3 x y a b χ 5 3 x y b a Sarakkeiden 1 ja 2 ortogonaalisuus antaa nyt x = 0. Vastaavasti sarakkeiden 1 ja 3 ortogonaalisuus antaa y = 1. Kaikille ryhmille ja karaktereille on voimassa χ(x) = χ(x 1 ). Tässä ryhmässä jokainen alkio on konjugaatti käänteisalkionsa kanssa, joten kaikki karakterit ovat reaalisia. 12 / 28

13 14A.12 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Sarakkeiden 1 ja 4 (vast. 4 ja 5) ortogonaalisuus antaa meille yhtälöt 3(a + b) = 3 ja 2ab = 2, mistä ratkeaa a + b = 1 ja ab = 1. Näin ollen a ja b ovat yhtälön ratkaisut 0 = (x a)(x b) = x 2 (a + b)x + ab = x 2 x 1 a, b = 1 ± 5. 2 Yleisyyttä loukkaamatta voidaan valita a = (1 + 5)/2 = cos(2π/5), b = (1 5)/2 = cos 4π/5. Huomautus: Karakteria χ 4 vastaava esitys saadaan realisoimalla säännöllisen ikosaedrin rotaatioiden ryhmänä. Muistetaan, että 3-ulotteisessa avaruudessa rotaatiolla kulman θ verran on jälki cos θ. 13 / 28

14 14A.13 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Saadusta karakteritaulusta nähdään heti ryhmän yksinkertaisuus. Jos nimittäin N olisi ryhmän ei-triviaali normaali aliryhmä, niin tekijäryhmä /N olisi jokin pienempi ei-triviaali ryhmä. Sillä olisi ei-triviaaleja jaottomia karaktereja. Niiden inflaationa ryhmän karaktereiksi saataisiin ainakin yksi ei-triviaali jaoton karakteri χ, jolla N on ytimenä. Karakteritaulusta kuitenkin näemme, että kaikille x, x 1, on voimassa χ(x) χ(1) kaikille jaottomille karaktereille χ. Näin ollen tällaista normaalia aliryhmää N ei ole olemassa. 14 / 28

15 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja 15 / 28

16 Syklisen ryhmän automorfismit Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Oletetaan, että G = C n = c c n = 1. Homomorfismi f : C n C n määräytyy täysin, kun tiedetään f(c) = c k. Merkitään tätä homomorfismia f k. Tässä f k on surjektio sjvsk c k generoi koko ryhmän eli on kertalukua n. PK II:n perusteella näin on sjvsk syt(k, n) = 1. Selvästi f k f l = f t, missä t kl (mod n). Ryhmän C n automorfismien ryhmä on siis Aut(C n ) = Z n. Erityisesti # Aut(C n ) = φ(n) (Eulerin φ-funktio). Erityisesti kun p on alkuluku, niin # Aut(C p ) = p 1 ja # Aut(C p 2) = p(p 1). Lisäksi (Lukuteoria/Algebra) nämä ryhmät ovat itsekin syklisiä. 16 / 28

17 14B.1 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Tehtävä: Oletetaan, että ryhmän G kertaluku on 20. Lisäksi tiedetään, että sen Sylow 2-aliryhmä Q on isomorfinen Kleinin neliryhmän kanssa. Osoita, että tällöin ryhmässä G on kertalukua 10 oleva alkio. Ratkaisu: Ryhmän G Sylow 5-aliryhmien lukumäärä n 5 toteuttaa ehdot n 5 1 (mod 5) ja n 5 4. Näin ollen n 5 = 1, eli Sylow 5-aliryhmä P G. Erityisesti aliryhmän Q = {1, a, b, ab} alkiot kaikki normalisoivat P:n. Näin ollen konjugointi antaa homomorfismin f : Q Aut(P) = Aut(C 5 ) = C / 28

18 14B.2 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Tässä siis #Q = 4 = # Aut(P). Koska ryhmät eivät ole isomorfisia, ei f voi olla injektio. Näin ollen Ker f ei ole triviaali. Siis jokin kertalukua kaksi oleva alkio x Q kuuluu ytimeen Ker f. Tämä tarkoittaa sitä, että xyx 1 = f(x)(y) = id P (y) = y kaikille y P. Näin ollen H = P, x on abelin ryhmä, jossa on 10 alkiota. Jos Abelin ryhmässä ord y = 5 ja ord x = 2, niin ord(xy) = pyj(2, 5) = / 28

19 14C.1 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Tehtävä: Onko kertalukua 55 oleva ryhmä G välttämättä Abelin ryhmä? Ratkaisu: Näemme, että Sylow aliryhmien lukumäärillä on vaihtoehdot n 11 = 1 ja n 5 {1, 11}. Ryhmällä G on siis välttämättä normaali Sylow 11-aliryhmä P = c = C 11. Jos sen Sylow 5-aliryhmä Q = a on myös normaali, niin tällöin PQ on suora tulo, ja siis Abelin ryhmä. Jäljelle jää vaihtoehto n 5 = / 28

20 14C.2 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Joka tapauksessa Q normalisoi P:n, joten saamme homomorfismin f : Q Aut(P). Tässä Aut(P) on syklinen 10 alkion ryhmä. Koska 2 generoi ryhmän Z 11, niin jäännösluokka 4 on kertalukua viisi. Siis säännön c c 4 määräämä P:n automorfismi on sekin kertalukua 5. Voidaan siis muodostaa epäkommutatiivinen puolisuora tulo G = C 11 C 5, jossa aca 1 = c 4. Kyseinen puolisuora tulo voidaan realisoida ryhmän S 11 aliryhmänä. Merkitään A = 10, B = 11. Tällöin c = ( AB), c 4 = (15926A37B48) ja a = (256A4)(39B87) toteuttavat mainitut relaatiot ja generoivat yhdessä epäkommutatiivisen ryhmän, jonka kertaluku on / 28

21 14C.3 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Tämä ryhmä saadaan myös demoissa esiintyneen affiinin ryhmän Aff 11 aliryhmänä (Dem XII/7). Voidaan ajatella G = {( x y 0 1 ) y Z 11, x (Z 11) 2 }. 21 / 28

22 Filosofiaa Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Näimme Esimerkeissä 14B ja 14C, että jos meillä on syklinen normaali Sylow aliryhmä, niin sen automorfismien tunteminen rajoitti ryhmän muiden alkioiden konjugointioperoinnilla olevia vaihtoehtoja merkittävästi. Joissakin tilanteissa pystyimme päättelemään, että jotkin alkiot väistämättä sentralisoivat kyseisen Sylow aliryhmän. Samantapaisia päättelyitä on tehtävissä aina, kun tunnemme normaalin aliryhmän automorfismiryhmän rakenteen. Yllä käsittelimme syklistä tapausta. Pienen ryhmän tapauksessa Sylow p-aliryhmä on usein kertalukua p tai p 2. Näimme, että tällainen ryhmä on aina Abelin ryhmä, joko C p 2 tai C p C p. 22 / 28

23 2x2 Matriisiryhmä Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Oletetaan, että G = C p C p. Voidaan ajatella G:n olevan vektoriavaruuden G = Z 2 p additiivinen ryhmä. Jos f : G G on automorfismi, niin kaikille x G, n Z on tällöin f(nx) = nf(x). Lisäksi f(px) = pf(x) = 0 G, joten f on välttämättä lineaarikuvaus yli kunnan Z p. Erityisesti, jos f on automorfismi, niin f GL 2 (Z p ) (kiinnitetään jokin kanta ensin). Matriisi A M 2 2 (Z p ) on säännöllinen, joss sen vaakarivit ovat lineaarisesti riippumattomi. Ensimmäinen vaakarivi voidaan siis valita p 2 1 eri tavalla ( (0, 0)). Sen jälkeen toinen vaakarivi voidaan valita p 2 p eri tavalla: se ei saa olla 1. skalaarimonikerta, mikä rajaa pois p vaihtoehtoa. #GL 2 (Z p ) = p(p + 1)(p 1) / 28

24 14D Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Osoita, että kertalukua 45 oleva ryhmä G on aina Abelin ryhmä. Ratkaisu 1: Sylowin lause pakottaa n 3 = n 5 = 1, joten Sylow 3-aliryhmä P ja Sylow 5-aliryhmä Q ovat normaaleja ja kommutatiivisia. Koska ne leikkaavat triviaalisti (Lagrange), G on niiden suora tulo. Väite seuraa, koska P ja Q ovat kommutatiivisia. Ratkaisu 2: Sylow 3-aliryhmä P on normaali (n 3 = 1). Joko P = C 9 tai P = C 3 C 3. Näin ollen Aut(P) on joko kertalukua 6 tai kertalukua 3 (3 1) 2 (3 + 1). Kummassakaan tapauksessa P:llä ei ole kertalukua viisi olevaa automorfismia, joten Sylow 5- aliryhmä Q välttämättä kommutoi P:n alkioiden kanssa. 24 / 28

25 14E.1 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Oletetaan, että G on kertalukua 75 oleva ryhmä, joka ei ole Abelin ryhmä. Osoita, että sillä on aliryhmä P = C 5 C 5, ja anna esimerkki tällaisesta ryhmästä. Mitä kertalukua olevia alkioita ryhmässä G tällöin on? Ratkaisu: Selvästi n 5 = 1 ja n 3 {1, 25}. Jos n 3 = 1, niin kuten yllä, näemme, että G on Sylow aliryhmien suora tulo, ja edelleen Abelin ryhmä. On siis oltava n 3 = 25. Sylow 5-aliryhmä P on kuitenkin normaali. Jos se on syklinen, niin Aut(P) = Z 25 = C 20. Tällä ei ole kertalukua kolme olevia alkioita, joten tämä johtaa Abelin ryhmään. 25 / 28

26 14E.2 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja On siis oletettava, että P = C 5 C 5. Tällöin Aut(P) = GL 2 (Z 5 ). Tässä ryhmässä on kertalukua 3 olevia alkioita, koska sen kertaluku on = 480. Eräs tällainen on matriisi ( ) 0 1 M =, 1 1 joka olisi kertalukua kolme jopa ryhmässä GL 2 (Q). Jos merkitsemme aliryhmän P alkioita pystyvektoreina Z 2 5, niin voimme muodostaa puolisuoran tulon G = Z 2 5 C 3, jossa jälkimmäisen tekijän generaattori c konjugoi säännön cxc 1 = Mx mukaisesti kaikkia x P. 26 / 28

27 14E.3 Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja Sylow 5-aliryhmässä P on siis 24 kappaletta kertalukua 5 olevia alkioita. Sylow 3-aliryhmiä on 25 kpl, ja niissä on siis yhteensä 50 kertalukua kolme olevaa alkiota. Identiteettialkion kera onkin sitten koko ryhmä katettu. Voimme päätellä myös, että aliryhmällä P on vain yksi 25 alkion rata Sylow 3-aliryhmien joukossa. Edelleen kaikki alkiot (x, c i ), x P, i = 1, 2, ovat siis kertalukua kolme. Huomautus: Näimme, että ryhmän GL 2 (Z 5 ) kertaluku on 480. Sen determinanttia yksi olevat matriisit muodostavat siis kertalukua 120 olevan aliryhmän SL 2 (Z 5 ). Matriisit ±I muodostavat tämän ryhmän keskuksen, ja tekijäryhmä PSL 2 (Z 5 ) = SL 2 /Z(SL 2 ) on siis kertalukua 60. Voidaan todistaa, että jos K on äärellinen kunta, niin ryhmä PSL n (K) on yksinkertainen pienin poikkeuksin. Näkemämme perusteella siis PSL 2 (Z 5 ) =. Isomorfismin konstruoiminen jätetään harjoitustehtäväksi. 27 / 28

28 Kommentteja Syklinen 14B.1 14B.2 14C.1 14C.2 14C.3 Filosofiaa 2x2 Matriisiryhmä 14D 14E.1 14E.2 14E.3 Kommentteja On tehty kaikenlaista pikku algebraa pienillä ryhmillä ja niide esityksillä. On nähty viitteitä siitä, miten tämä aihepiiri liittyy äärellisten kuntien teoriaan ja algebrallisten lukujen teoriaan. Ottamalla ön algebralliset kokonaisluvut työkaluna voisimme suht nopeasti todistaa seuraavat klassiset tulokset: Jos χ on äärellisen ryhmän G jaoton karakteri, niin χ(1) #G (esimerkiksi siis paritonta kertalukua olevalla ryhmällä ei ole 2-ulotteista jaotonta esitystä). Jos #G = p a q b (eli ryhmän kertaluvulla on enintään kaksi alkutekijää), niin G on ratkeava (Burnside). Yksinkertaisen äärellisten ryhmien luokittelua olemme vasta päässeet raapaisemaan, samoin symmetristen ryhmien esitysteoriaa. 28 / 28

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,

Lisätiedot

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki

Lisätiedot

3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2

3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 Olen valinnut kunkin luvun teemaksi yhden ryhmän. Ensimmäisen luvun teema on pienin epätriviaali ryhmä, eli ryhmä, jossa on kaksi alkiota. Merkitsen

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin

Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin 16. marraskuuta 2006 1 Symmetrisistä ryhmistä... Bijektiivistä kuvausta {1,..., n} {1,..., n} kutsutaan n-permutaatioksi. Merkitään n-permutaatioden joukkoa S n.

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 3.5. Sisäiset symmetriat. Kuution väritysesimerkissä 3.14 tarkasteltiin yksittäisten alkioiden sijaan niiden konjugaattiluokkia ja todettiin, että konjugaattiluokkia vastaavat luonnollisella tavalla erityyppiset

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

Hänessä kaikki viisauden ja tiedon aarteet ovat kätkettyinä. Vrt. Paavalin kirje kolossalaisille 2:2-3.

Hänessä kaikki viisauden ja tiedon aarteet ovat kätkettyinä. Vrt. Paavalin kirje kolossalaisille 2:2-3. TAMPEREEN YLIOPISTO Matematiikan pro gradu -työ Seppo Janhonen Ryhmäteoriaa Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2001 Hänessä kaikki viisauden ja tiedon aarteet ovat kätkettyinä.

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS - FIFTH PILE. Olemme jo (harjoituksissa!) löytäneet Lien ryhmälle SL 2 (R) seuraavat redusoitumattomat esitykset:

GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS - FIFTH PILE. Olemme jo (harjoituksissa!) löytäneet Lien ryhmälle SL 2 (R) seuraavat redusoitumattomat esitykset: GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS - FIFTH PILE KAREN E. SMITH 32. Ryhmän SL 2 (R) esitykset Example 32.1. Palautamme mieleen, että { x y SL 2 (R) = A = det A = xw yz = 1} ja z w { a b sl 2 (R) = A = Tr

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}.

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}. Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa suuriin, helpommin käsiteltäviin osiin. Tämän jälkeen voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

x gxg 1 Esimerkin 3-sykli saatiin siis konjugoimalla siirretyksi toimimaan lukujen 1, 2 ja 3 sijasta luvuilla 5, 8 ja 6.

x gxg 1 Esimerkin 3-sykli saatiin siis konjugoimalla siirretyksi toimimaan lukujen 1, 2 ja 3 sijasta luvuilla 5, 8 ja 6. 4 Konjugointi 4.1 Konjugoinnin määritelmä Usein ryhmän alkiot kuvaavat operaatioita jossain joukossa. Permutaatiot ovat tästä hyvä esimerkki. Tällaisessa tapauksessa voidaan konjugoinnilla siirtää jossain

Lisätiedot

4 Konjugointi. 4.1 Konjugoinnin määritelmä

4 Konjugointi. 4.1 Konjugoinnin määritelmä 4 Konjugointi 4.1 Konjugoinnin määritelmä Usein ryhmän alkiot kuvaavat operaatioita jossain joukossa. Ryhmäteoriassa tätä kutsutaan ryhmän toiminnaksi. Permutaatiot ovat hyvä esimerkki ryhmän toiminnasta.

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

4.3. Matemaattinen induktio

4.3. Matemaattinen induktio 4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa II MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Modulaarisista laskutaulukoista

Modulaarisista laskutaulukoista Modulaarisista laskutaulukoista Visa Latvala ja Pekka Smolander Matematiikan laitos, Joensuun yliopisto Johdanto Artikkelin tarkoituksena on tutustuttaa lukija modulaariseen yhteen- ja kertolaskuun. Nämä

Lisätiedot

Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)

Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan

Lisätiedot

Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista

Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista Pro Gradu - tutkielma Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Oulun yliopisto Tiedekunta/osasto/laitos Matemaattisten tieteiden

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. lokakuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 14.

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 6 MAA11 Lukuteoria ja logiikka Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. huhtikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 2.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K,

2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K, 1 Ryhmät Olkoot S on joukko ja X S. Jos kuvaus : S S S, (x, y) x y toteuttaa ehdon x y X kaikilla x, y X, niin sanotaan, että binäärinen operaatio on suljettu joukon X suhteen. Määritelmä 1. Olkoot G joukko

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. lokakuuta 0 Modulaariaritmetiikka Eukleideen algoritmi RSA-algoritmi Ryhmät ja permutaatiot

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot