Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä
|
|
- Leo Nieminen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015
2 Sisältö 1 Perusteita Ryhmät ja aliryhmät Homomorsmi Kompleksi ja konjugaatti Permutaatioista 11 3 Sylowin lauseet 14 4 Ratkeavat ryhmät Kommutaattori Ratkeavuus Kertalukutarkasteluja Esimerkkejä ratkevuudesta 27 Lähdeluettelo 32 1
3 Johdanto Tutkielma käsittelee ratkevia ryhmiä sekä kertaluvun vaikutusta ryhmän ratkeavuuteen. Ennen ratkeavuustarkasteluja käydään läpi ryhmäteorian perusteita, permutaatioita sekä ratkeavuuden kannalta tärkeät Sylowin lauseet. Tutkielman lopuksi osoitetaan ratkeaviksi ryhmät, joiden kertaluku on korkeintaan sata, poislukien luku kuusikymmentä. Ensimmäisessä luvussa määritellään ryhmäteorian peruskäsitteitä, kuten ryhmä, aliryhmä ja homomorsmi. Lisäksi todistetaan muutamia myöhemmin hyödynnettäviä lauseita. Toisessa luvussa käydään läpi muutamia permutaatioihin liittyviä määritelmiä sekä todistetaan tärkeä lause, jonka nojalla jokainen äärellinen ryhmä on isomornen jonkin permutaatioryhmän kanssa. Kolmannessa luvussa käydään läpi kolme Sylowin lausetta, joista erityisesti ensimmäistä ja kolmatta hyödynnetään kahden viimeisen luvun todistuksissa. Neljännen luvun alussa määritellään kommutaattori ja karakteristinen aliryhmä. Luvussa todistetaan erilaisia ratkeavuuskriteerejä sekä tarkastellaan kertaluvultaan erilaisten ryhmien ratkeavuutta. Viimeisessä luvussa käydään läpi kertaluvultaan olevien ryhmien ratkeavuus. Osoitetaan, että kertalukua 60 lukuunottamatta kaikki ryhmät ovat ratkevia. 2
4 Luku 1 Perusteita 1.1 Ryhmät ja aliryhmät Määritelmä 1.1. Olkoon G epätyhjä joukko ja ( ) joukon G operaatio. Pari (G, ) on ryhmä, mikäli seuraavat ehdot toteutuvat: 1. Kuvaus ( ) on joukon G binäärinen operaatio, eli a b G aina, kun a, b G 2. Kuvaus ( ) on assosiatiivinen, eli (a b) c = a (b c) aina, kun a, b, c G. 3. On olemassa sellainen e G, että kaikilla a G e a = a e = a 4. Jokaista a G kohti on olemassa yksikäsitteinen a 1 siten, että a a 1 = a 1 a = e. Huomautus 1.2. Ryhmää (G, ) merkitään yleensä vain symbolilla G, jos operaatio oletetaan tunnetuksi. Ryhmän G kertaluku tarkoittaa joukon G alkioiden lukumäärää; merkitään G. Alkiota e kutsutaan ykkösalkioksi ja sitä 3
5 voidaan merkitä myös e G tai {1}. Alkiota a 1 kutsutaan alkion a käänteisalkioksi. Huomautus 1.3. Ryhmää (G, ) kutsutaan Abelin ryhmäksi, mikäli kaikille a, b G pätee a b = b a. Määritelmä 1.4. Olkoon (G, ) ryhmä ja H G, H. Jos (H, ) on ryhmä, sitä sanotaan ryhmän (G, ) aliryhmäksi ; merkitään (H, ) (G, ). Määritelmä 1.5. Olkoon H ryhmän G aliryhmä ja a G. Joukkoa ah = {ah h H} sanotaan alkion a määräämäksi aliryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi. Vastaavasti joukkoa Ha = {ha h H} sanotaan alkion a määräämäksi aliryhmän H oikeaksi sivuluokaksi. Määritelmä 1.6. Olkoon G ryhmä ja H ryhmän G aliryhmä. Aliryhmää H sanotaan normaaliksi aliryhmäksi, mikäli ah = Ha aina, kun a G. Tällöin merkitään H G. Huomautus 1.7. Olkoon G äärellinen ryhmä ja H G. Nyt [G : H] on H:n indeksi G:ssä ja [G : H] = H:n sivuluokkien lukumäärä G:ssä. Lisäksi [G : H] = G H. Lemma 1.8. Olkoon G ryhmä, H G ja [G : H] = 2. Tällöin H G. Todistus. Jos a H, niin ah = H = Ha. Jos taas a H, niin ah H eli ah = {g G g H}. Samoin kun a H, niin Ha H eli Ha = {k G k H} = ah. Täten ah = Ha aina, kun a G, joten H G. Määritelmä 1.9. Olkoon G ryhmä ja N G. Tällöin paria ({an a G}, ) kutsutaan ryhmän G tekijäryhmäksi normaalin aliryhmän N suhteen. Kyseistä ryhmää merkitään G/N. 4
6 Huomautus mikäli ryhmä G on äärellinen. G/N = G N, Määritelmä Olkoon a ryhmän G alkio. Syklinen ryhmä, jonka generoi alkio a, on joukko {a n n Z}. Sitä merkitään < a >. Huomautus Jos ryhmän kertaluku on alkuluku, niin ryhmä on syklinen. Huomautus Syklinen ryhmä on aina Abelin ryhmä. Perustelu: Olkoon G = < a > ja x, y G. Siis x = a m ja y = a n joillakin m, n Z. Tällöin xy = a m a n = a m+n = a n+m = a n a m = yx. 1.2 Homomorsmi Määritelmä Olkoot (G, ) ja (H, ) ryhmiä. Kuvausta f : G H sanotaan ryhmähomomorsmiksi ryhmältä G ryhmälle H, mikäli f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Määritelmä Olkoon f : G H homomorsmi. Joukkoa Im(f) = f(g) = {f(x) x G} sanotaan homomorsmin f kuvaksi. Joukkoa Ker(f) = {x G f(x) = e H } sanotaan homomorsmin f ytimeksi. Määritelmä Ryhmät (G, ) ja (H, ) ovat isomorset eli rakenneyhtäläiset, mikäli on olemassa bijektiivinen homomorsmi f : G H. Tällöin merkitään G = H ja sanotaan, että f on ryhmäisomorsmi. 5
7 Huomautus Isomorsmia f : G G kutsutaan automorsmiksi. Merkitään Aut(G) = kaikki ryhmän G automorsmit. Lause 1.18 (Homomorsmien peruslause). Olkoon f : (G, ) (H, ) homomorsmi. Tällöin G/Ker(f) = Im(f). Todistus. Merkitään Ker(f) = K ja määritellään F : G/K Im(f) siten, että F (ak) = f(a) kaikilla a G. 1. Jos a K = ak, niin a ak ja a = a k jollakin k K. Siis F (a K) = f(a ) = f(a k) = f(a) f(k) = f(a) e H = f(a) = F (ak), joten F on kuvaus. 2. Olkoon ak, bk G/K. Nyt F (ak bk) = F (abk) = f(a b) = f(a) f(b) = F (ak) F (bk), joten F on homomorsmi. 3. Kuvauksen F määrittelyn perusteella se on surjektio. Olkoon sitten F (ak) = F (bk), jolloin f(a) = f(b). Siis f(b) 1 f(a) = e H, joten f(b 1 a) = e H. Nyt b 1 a K = ek, joten b 1 ak = ek ja b 1 KaK = ek. Tällöin bk b 1 K ak = bk ek, joten ek ak = bk ek eli ak = bk. Siis kuvaus F on myös injektio ja täten bijektio. Edellisten perusteella kuvaus F : G/K Im(f) on isomorsmi. 1.3 Kompleksi ja konjugaatti Määritelmä Olkoot A G ja B G. Tällöin joukkoa AB = {ab a A, b B} sanotaan kompleksiksi. Lemma Olkoot A G ja B G äärellisiä. Tällöin AB = A B A B. 6
8 Todistus. Jos x A ja y B, tulo xy voidaan kirjoittaa A B = A B tavalla. Osa tuloista on kuitenkin keskenään identtisiä. Olkoon a A ja b B ja tarkastellaan tuloa ab. Merkitään C = {(c, d) A B cd = ab} ja T = {(ax 1, xb) x A B}. Osoitetaan, että C = T. 1. Nyt ax 1 A, xb B ja ax 1 xb = ab. Siis T C. 2. Jos (c, d) C, niin cd = ab. Siis c 1 a = db 1. Merkitään x = c 1 a = db 1. Nyt x A B, koska c 1 a A ja db 1 B. Täten c = ax 1 ja d = xb. Siis C T. Edellisten nojalla C = T ja siten C = T = A B. Täten AB = A B A B = A B A B. Lemma Jos N G ja U G, niin UN/N = U/U N. Todistus. Jos u U N ja x U, niin x 1 ux U N, joten U N U. Täten tekijäryhmä U/U N voidaan muodostaa. Nyt N G, joten jos un UN ja x N, niin xunx 1 = uxnx 1 UN eli UN N. Täten myös tekijäryhmä UN/N voidaan muodostaa. Olkoon sitten f : UN/N U/U N, f(un) = u(u N). Onko f kuvaus? Jos un = vn, niin v 1 un = N. Siis v 1 u U N eli v 1 u(u N) = U N. Täten u(u N) = v(u N) ja f on kuvaus. Se on myös surjektio ja homomorsmi. Lisäksi Ker(f) = {un f(un) = U N} = {un u(u N) = U N} = {un u U N} = {N}, joka on ryhmän UN/N ykkösalkio. Homomorsmien peruslauseen nojalla UN/N = U/U N. Määritelmä Olkoot a G ja g G. Alkio g a = a 1 ga on g:n konjugaatti ryhmässä G. 7
9 Määritelmä Olkoon M G. Tällöin joukko N G (M) = {g G M g = M} on M:n normalisoija ryhmässä G. Lemma Nyt N G (M) G. Todistus. N G (M) = {g G M g = M} = {g G g 1 Mg = M} = {g G Mg = gm} G. Koska M 1 = M ja 1 G, niin 1 N G (M) eli N G (M). Olkoon a, b N G (M). Koska b N G (M), niin Mb = bm. Siis b 1 M = Mb 1, joten b 1 N G (M). Nyt M b 1a = (b 1 a) 1 Mb 1 a = a 1 ((b 1 ) 1 Mb 1 )a = a 1 (M b )a = a 1 Ma = M a = M. Täten b 1 a N G (M), joten N G (M) G. Määritelmä Olkoon M G. Tällöin joukko C G (M) = {g G gm = mg kaikilla m M} on M:n sentralisoija ryhmässä G. Määritelmä Aliryhmä Z(G) = C G (G) = {g G xg = gx kaikilla x G} on ryhmän G keskus. Lemma Olkoon G ryhmä ja G/Z(G) syklinen. Tällöin G on Abelin ryhmä. Todistus. Koska G/Z(G) on syklinen, on olemassa sellainen gz(g) G/Z(G), että < gz(g) >= G/Z(G). Olkoon a, b G. Nyt az(g) = (gz(g)) i = g i Z(G) ja bz(g) = (gz(g)) j = g j Z(G) joillakin i, j N. Täten a = g i z 1 ja b = g j z 2 joillakin z 1, z 2 Z(G). Nyt ab = (g i z 1 )(g j z 2 ) = g i g j z 1 z 2 = g i+j z 1 z 2 = g j+i z 1 z 2 = g j g i z 1 z 2 = g j g i z 2 z 1 = (g j z 2 )(g i z 1 ) = ba. Siis G on kommutatiivinen ja täten Abelin ryhmä. 8
10 Lause Olkoon G = p l, missä p on alkuluku ja l 1. Jos 1 < N G, niin N Z(G) > 1. Todistus. Olkoon N = p n, missä 1 n l. Jos x N, niin g 1 xg = x g N kaikilla g G. Siis N = s i=1 K i, missä K i :t ovat G:n konjugointiluokkia. Voidaan olettaa, että K 1 = {1}. Jos x i K i, niin K i = [G : C G (x i )]. Siis K 1 = 1 ja K i = Jos n i 1 kaikilla i {2,..., s}, niin p p n i G C G (x i ) = p n i, missä n i 0, ja i {2,..., s}. kaikilla i {2,..., s}. Tällöin N = 1 + kp jollakin k N, joten p 1, mikä on ristiriita. On siis olemassa sellainen j {2,..., s}, että n j = 0 ja täten K j = p n j = p 0 = 1. Merkitään K j = {y}. Nyt y 1 ja y g = y eli g 1 yg = y, joten yg = gy kaikilla g G. Siis 1 y N Z(G), joten N Z(G) > 1. Seuraus Jos G = p l, niin Z(G) > 1. Määritelmä Olkoot A G ja B G. Ryhmän G kaksoissivuluokka aliryhmien A ja B suhteen on joukko AgB = {agb a A, b B}. Lause Olkoon G äärellinen ryhmä ja M G. Tällöin [G : N G (M)] = joukon M konjugaattien lukumäärä. Todistus. Osoitetaan, että σ : {gn G (M) g G} {M y y G}, σ(tn G (M)) = M t 1 on bijektio. 1. Olkoon tn G (M) = sn G (M) joillakin t, s G. Nyt t sn G (M), joten t = sn jollakin n N G (M). Siis M t 1 = M (sn) 1 = M n 1 s 1 = (M n 1 ) s 1 = M s 1. Täten σ on kuvaus. 2. Nyt σ on surjektio, koska σ(g 1 N G (M)) = M g. 3. Olkoon σ(tn G (M)) = σ(sn G (M)) joillakin t, s G. Nyt M t 1 = M s 1, joten (M t 1 ) s = (M s 1 ) s eli M t 1s = M. Siis t 1 s N G (M), eli s tn G (M). Täten sn G (M) = tn G (M), joten σ on injektio. 9
11 Edellisten nojalla [G : N G (M)] = {M y y G}. Huomautus Jos M = {g}, niin N G (M) = N G ({g}) = C G (g). Siis alkion g konjugaattien lukumäärä G:ssä on [G : C G (g)]. Lause Jos AgB AhB, niin AgB = AhB. Jos G on äärellinen ryhmä, niin G = r i=1 Ag ib, missä Ag j B Ag k B =, mikäli j k. Lisäksi G = r i=1 A B A g i B. Todistus. Jos AgB AhB, niin a 1 gb 1 = a 2 hb 2 kaikilla a i A, b i B. Siis g = a 1 1 a 2 hb 2 b 1 1, joten AgB = Aa 1 1 a 2 hb 2 b 1 1 B = AhB. Täten G voidaan esittää erillisten kaksoissivuluokkien yhdisteenä. Jos G on äärellinen, niin G = n i=1 Ag ib ja G = n i=1 Ag ib. Nyt Ag i B = g 1 i Ag i B = A g i B = A g i B = A B A g i B A g i B. Siis G = n i=1 A B A g i B. 10
12 Luku 2 Permutaatioista Määritelmä 2.1. Olkoon A = {1, 2,..., n}. Bijektiivistä kuvausta α : A A sanotaan permutaatioksi joukon A suhteen. Lause 2.2. Joukon A kaikki permutaatiot muodostavat astetta n olevan symmetrisen ryhmän (S n, ). Todistus. Todistetaan, että S n on ryhmä. Olkoon n > 0. Koska kahden bijektion yhdistetty kuvaus on bijektio, S n on suljettu operaation ( ) suhteen. Operaatio on assosiatiivinen, koska yhdistetyn kuvauksen ominaisuuksilla saadaan α (β γ)(x) = α((β(γ(x))) = (α β) γ(x) kaikille permutaatioille α, β ja γ. Lisäksi identtinen kuvaus i, jolle i(x) = x jokaisella x {1, 2,..., n}, on joukon S n ykkösalkio. Koska jokainen permutaatio σ on bijektio, sen käänteisalkio σ 1 on myös permutaatio ja kuuluu täten joukkoon S n. Täten (S n, ) on ryhmä. Huomautus 2.3. Jos G S n, niin G on permutaatioryhmä astetta n. Määritellään seuraava relaatio joukossa A = {1, 2,..., n}: i j, jos ja vain jos 11
13 on olemassa g G siten, että g(i) = j. Tämä on ekvivalenssirelaatio, joten joukko A voidaan esittää pistevieraiden ekvivalenssiluokkien T i avulla: A = r i=1 T i. Lisäksi A = r i=1 T i = n. Joukot T i ovat permutaatioryhmän G radat joukossa A. Määritelmä 2.4. Alkion k stabiloija ryhmässä G on G k = {g G g(k) = k}. Lemma 2.5. Olkoon T permutaatioryhmän G rata sekä k T. Tällöin T = [G : G k ] = G G k. Todistus. Olkoon G = r i=1 g ig k permutaatioryhmän G esitys G k :n sivuluokkien avulla. Jos g g i G k, niin g = g i x, missä x G k. Nyt g(k) = g i x(k) = g i (k). Jos g(k) = g i (k), niin g 1 i g(k) = k. Siis g 1 i g G k, eli g g i G k. Täten joukoissa T = {g(k) g G} ja {g i G k i {1,..., r}} on sama määrä alkioita, eli T = r = [G : G k ]. Lause 2.6. Olkoon N < G, [G : N] = n ja G = n i=1 g in. Kuvaus f : G S n, f(g) = g 1N g 2 N g n N g(g 1 N) g(g 2 N) g(g n N) on homomorsmi. Lisäksi Ker(f) = g G N g. Todistus. Olkoon x 1, x 2 G. Nyt f(x 1 x 2 ) = g 1N g n N = g 1N g n N (x 1 x 2 )(g 1 N) (x 1 x 2 )(g n N) x 1 (x 2 g 1 N) x 1 (x 2 g n N) = f(x 1 ) f(x 2 ), joten kuvaus f on homomorsmi. Lisäksi Ker(f) = {x G f(x) = e S n } = {x G xg i N = g i N, i {1,..., n}} = 12
14 {x G g 1 i xg i N = N, i {1,..., n}} = {x G g 1 i xg i N, i {1,..., n}} = {x G x g i Ng 1 i, i {1,..., n}} = {x G x N g 1 i, i {1,..., n}} = n i=1 N g 1 i. Nyt G = n i=1 g in. Jos g G, niin on olemassa sellainen i, että g = g i n jollakin n N. Siis g 1 = n 1 g 1 i, joten N g 1 = N n 1 g 1 i N g 1 i. Täten n i=1 N g 1 i = g G N g 1 = g G N g. = (N n 1 ) g 1 i = 13
15 Luku 3 Sylowin lauseet Määritelmä 3.1. Olkoon p alkuluku ja G = p n. Tälloin ryhmää G sanotaan p-ryhmäksi. Jos H G ja H = p m, niin H on G:n p-aliryhmä. Jos x G ja x = p l, niin x on p-alkio. Määritelmä 3.2. Olkoon G = p a n, missä p on alkuluku, a N ja p n. Jos ryhmässä G on sellainen aliryhmä P, että P = p a, niin P on G:n Sylowin p-aliryhmä. Huomautus 3.3. Käytetetään jatkossa kertalukua p a olevien aliryhmien lukumäärästä merkintää N(p a ). Huomautus 3.4. Jos P on G:n Sylowin p-aliryhmä, niin myös P g on G:n Sylowin p-aliryhmä. Perustelu: Selvästi P g = P = p a. Koska P G, niin myös P g G. Lause 3.5. Olkoon p alkuluku ja G = p a n. Tällöin N(p a ) 1(p); siis erityisesti N(p a ) 1. Todistus. Jos n = 1, niin väite pätee. Olkoon jatkossa n > 1. Merkitään Ω = {M G M = p a } = kaikki G:n osajoukot, joissa p a alkiota. Nyt kuvaus f : G S Ω, f(g) = ( M gm) on ryhmähomomorsmi G S Ω. 14
16 Osoitetaan, että Ker(f) = {1}. Nyt Ker(f) = {g G f(g) = 1 S Ω = (1)}. Siis g Ker(f), jos ja vain jos ( ) M f(g) = = M 1 M k = M 1 M k = (1). gm gm 1 gm k M 1 M k Siis gm = M kaikilla M Ω, joten Ker(f) = {g G gm = M kaikilla M Ω}. Olkoon 1 g Ker(f) ja valitaan M Ω siten, että 1 M ja g M. Nyt g gm ja 1 M, mutta g 1 = g / M, joten gm M. Tämä on ristiriita, joten Ker(f) = {1}. Nyt homomorsmien peruslauseen nojalla G = f(g). Jatkossa ryhmää G voidaan siis käsitellä astetta Ω olevana permutaatioryhmänä. Nyt joukko Ω jakautuu ratoihin T i permutaatioryhmän G suhteen. Tällöin Ω = i T i ja T i = [G : U i ], missä U i = {g G gm i = M i }, kun M i T i. Siis U i M i = M i, joten M i = k i j=1 U i g ij. Täten M i = k i U i, eli p a = k i U i. Siis U i = p b i, missä 0 b i a. Jos p b i < p a, niin T i = [G : U i ] 0 (pn). Jos taas p b i = p a, niin T i = [G : U i ] = n. Siis Ω = i T i T i =n T i (pn). Jos T i = n, niin U i = p a ja M i = U i g i. Tällöin g 1 i aliryhmä, g 1 i M i = g 1 i U i g i on G:n U i g i T i ja g 1 U i g i = p a. Jos B G ja B = p a, niin joukko i {gb g G} on eräs rata, ja sen pituus on n. Siis jokainen n:n pituinen rata sisältää täsmälleen yhden aliryhmän kertalukua p a, ja toisaalta jokainen aliryhmä kertalukua p a kuuluu täsmälleen yhteen n:n pituiseen rataan. Täten Ω nn(p a ) (pn). Huomataan, että luku Ω ei ole riippuvainen ryhmän G rakenteesta. Jos G on syklinen ja G = p a n, niin sillä on täsmälleen 15
17 yksi aliryhmä kertalukua p a. Tällöin N(p a ) = 1 ja kongruenssi saa muodon Ω n (pn). Kahden edellisen kongruenssin perusteella voidaan päätellä, että Ω = nn(p a ) + tpn = n + dpn, joten N(p a ) + tp = 1 + dp. Tällöin N(p a ) = 1 + (d t)p, eli N(p a ) 1 (p) ja saadaan lause. Huomautus 3.6. Jos G:llä on vain yksi Sylowin p-aliryhmä P, niin P G. Perustelu: Edellisen huomautuksen perusteella P g on Sylowin p-aliryhmä. Tällöin P g = P kaikilla g G, joten P G. Huomautus 3.7 (Sylowin 1. lause). Edellisestä lauseesta saadaan niinsanottu Sylowin 1. lause: Jokaisella äärellisellä ryhmällä on Sylowin p-aliryhmä. Lisäksi N(p a ) 1 (p). Lause 3.8 (Sylowin 2. ja 3. lause). Olkoon P ryhmän G Sylowin p-aliryhmä. a) Jos U G ja U = p l (l N), niin on olemassa sellainen g G, että U P g. b) Kaikki Sylowin p-aliryhmät konjugoivat G:ssä ja niiden lukumäärä on [G : N G (P )]. Todistus. a) Lauseen 1.33 nojalla G voidaan esittää erillisten kaksoissivuluokkien unionina. Täten G = r i=1 P g i U ja G = r P U i=1 P g i U. Jos P g i U < U kaikilla i {1,..., r}, niin U P g i U = p a i, missä a i 1 kaikilla i {1,..., r}. Nyt G = r U P i=1 = r P g i U i=1 pa i 0(p). Täten p G P, mikä on ristiriita. Siis on olemassa sellainen j {1,..., r}, että P g i U = U. Tällöin U P g i. b) Jos P ja Q ovat G:n Sylowin p-aliryhmiä, niin a)-kohdan nojalla on olemassa sellainen g G, että Q P g. Koska Q = P = P g, niin Q = P g. Nyt Sylowin p-aliryhmien lukumäärä on [G : N G (P )] lauseen 1.31 nojalla. 16
18 Luku 4 Ratkeavat ryhmät 4.1 Kommutaattori Määritelmä 4.1. Olkoon G ryhmä ja a, b G. Alkiota [a, b] = a 1 b 1 ab sanotaan alkioiden a ja b muodostamaksi kommutaattoriksi. Aliryhmä G (1) = G = [G, G] =< [a, b] a, b G > on G:n (ensimmäinen) kommutaattorialiryhmä. Huomautus 4.2. Määritellään G (2) = G = (G ) = [G, G ] ja yleisesti G (i+1) = (G (i) ) = [G (i), G (i) ]. Määritelmä 4.3. Olkoon G ryhmä ja U G. Nyt U on karakteristinen aliryhmä, mikäli α(u) = U kaikilla α Aut(G). Merkitään U char G. Huomautus 4.4. Jos U char G, niin U G. Perustelu: α : x x g on G:n automorsmi aina, kun g G. Siis α(u) = U g = U kaikilla g G. Esimerkki 4.5. Esimerkkejä karakteristisista aliryhmistä: 1. Triviaalit tapaukset: {1} char G ja G char G. 17
19 2. Jos P on ryhmän G ainoa Sylowin p-aliryhmä, niin P char G. Perustelu: Olkoon α Aut(G). Nyt α(p ) G ja α(p ) = P, joten α(p ) on ryhmän G Sylowin p-aliryhmä. Siis α(p ) = P, joten P char G. 3. Nyt Z(G) char G. Perustelu: Olkoon z Z(G), x G ja α Aut(G). Nyt on olemassa sellainen y G, että α(y) = x. Siis α(z)x = α(z)α(y) = α(zy) = α(yz) = α(y)α(z) = xα(z). Täten α(z) Z(G) kaikilla z Z(G), joten α(z(g)) Z(G). Nyt myös α 1 Aut(G), joten α 1 (Z(G)) Z(G) eli Z(G) α(z(g)). Näin ollen α(z(g)) = Z(G). Lemma 4.6. a) Olkoon N G ja M char N. Tällöin M G. b) Olkoon U char B ja B char G. Tällöin U char G. Todistus. a) Koska N G, niin N x = N aina, kun x G. Siis kuvaus α : N N, α(n) = n x Aut(N) kaikilla x G. Koska M char N, niin α(m) = M x = M kaikilla x G. Siis M G. b) Jos α Aut(G), niin α(b) = B. Nyt α : B B on B:n automorsmi. Tällöin α(u) = U ja U char G. Lemma 4.7. Nyt G (i) char G aina, kun i N. Todistus. Olkoon α Aut(G) ja a, b G. Nyt α([a, b]) = α(a 1 b 1 ab) = α(a) 1 α(b) 1 α(a)α(b) = [α(a), α(b)] G. Siis α(g ) G. Lisäksi α 1 Aut(G), joten α 1 (G ) G eli α(α 1 (G )) α(g ). Siis α(g ) = G ja G char G. Väite G (i) char G seuraa induktiolla lemman 4.6 b)-kohdan nojalla. Lemma 4.8. Olkoon U G. Nyt G U jos ja vain jos U G ja G/U on Abelin ryhmä. 18
20 Todistus. 1. Olkoon G U. Jos u U ja g G, niin u g = g 1 ug = uu 1 g 1 ug = u[u, g] U. Siis U G. Jos a, b G, niin [a, b] G U, eli a 1 b 1 ab U. Siis a 1 b 1 abu = U, joten a 1 U b 1 U au bu = U. Edelleen au bu = bu au, joten G/U on Abelin ryhmä. 2. Olkoot U G ja G/U Abelin ryhmä. Nyt au bu = bu au kaikilla a, b G. Siis (au) 1 (bu) 1 au bu = U eli a 1 U b 1 U au bu = U kaikilla a, b G. Täten a 1 b 1 abu = U eli a 1 b 1 ab = [a, b] U kaikilla a, b G. Näin ollen G U. 4.2 Ratkeavuus Määritelmä 4.9. Ryhmä G on ratkeava, mikäli on olemassa sellainen k N, että G (k) = {1}. Huomautus Abelin ryhmät ovat aina ratkeavia, koska niillä G = {1}. Lemma Olkoon G ryhmä, p alkuluku ja G = p 2. Tällöin G on Abelin ryhmä. Todistus. Seurauksen 1.29 nojalla Z(G) > {1}. Siis Z(G) = p tai Z(G) = p 2. Jos Z(G) = p, niin G/Z(G) = G Z(G) = p2 p = p. Tällöin G/Z(G) on syklinen ja lemman 1.27 nojalla G on Abelin ryhmä. Jos Z(G) = p 2, niin G = Z(G). Tällöin G on kommutatiivinen ja täten Abelin ryhmä. Esimerkki Määrää ryhmän G = S 3 ensimmäinen kommutaattorialiryhmä. 19
21 Ratkaisu: Nyt A 3 S 3 ja A 3 = 3. Siis S 3 /A 3 = 2, joten S 3 /A 3 on Abelin ryhmä. Lemman 4.8 nojalla G A 3. Siis G = A 3 tai G = {1}. Koska S 3 ei ole Abelin ryhmä, on oltava G = A 3. Lemma Olkoon N G. Tällöin (G/N) (i) = G (i) N/N. Todistus. Todistetaan induktiolla luvun i suhteen. 1. Olkoon i = 1. Nyt (G/N) = < [an, bn] a, b G > = < [a, b]n a, b G > = G N/N. 2. Tehdään induktio-oletus: (G/N) (k) = G (k) N/N. 3. Nyt (G/N) (k+1) = [(G/N) (k) ] = [G (k) N/N] = [G (k) N] N/N [G (k) ] N/N = G (k+1) N/N. Toisaalta G (k) N/G (k+1) N = G (k) [G (k+1) N]/G (k+1) N = G (k) /G (k) G (k+1) N lemman 1.21 nojalla. Merkitään L = G (k) G (k+1) N. Koska [G (k) ] = G (k+1) L, on G (k) /L lemman 4.8 nojalla Abelin ryhmä. Täten G (k) N/G (k+1) N on Abelin ryhmä. Lemman 4.8 nojalla [G (k) N] G (k+1) N. Siis G (k+1) N/N [G (k) N] N/N = (G/N) (k+1). Lause Olkoot G ratkeava ryhmä sekä U G ja N G. Tällöin U on ratkeava ja G/N on ratkeava. Todistus. Nyt on olemassa sellainen k N, että G (k) = {1}. Siis U (k) G (k) = {1}, joten U (k) = {1}. Täten U on ratkeava. Lemman 4.13 nojalla (G/N) (k) = G (k) N/N = N/N = {1N} = {1 G/N }. Täten G/N on ratkeava. 20
22 Lause Olkoon N G. Jos N ja G/N ovat ratkeavia, niin G on ratkeava. Todistus. Nyt on olemassa sellaiset k, m N, että N (k) = {1} ja (G/N) (m) = {1N} = {1 G/N }. Lemman 4.13 nojalla (G/N) (m) = G (m) N/N = N/N, joten G (m) N. Täten G (m+k) = (G (m) ) (k) N (k) = {1}. Siis G (m+k) = {1}, joten G on ratkeava. Lemma Olkoon p alkuluku ja G = p n, missä n 1. Jos H < G, niin H < N G (H). Todistus. Olkoon G = s i=1 Hx ih, missä x i H. Lauseen 1.33 nojalla G = s i=1 H H G, joten = s H G H x i H H i=1. Koska H < G, niin = p H x i H l, missä H 1 l n. Siis p l = H H x i H + s i=2 on olemassa sellainen j 2, että H = 1 + s H x i H i=1 H H x i H. Täten H H xj H = 1. Siis on olemassa j 2, että H x j H = H eli H x j = H. Näinollen x j N G (H) ja x j H, joten H < N G (H). Määritelmä Olkoon G ryhmä ja M < G. Aliryhmä M on maksimaalinen, mikäli ehdosta M < H G seuraa, että H = G. Lemma Olkoon p alkuluku ja G = p n, missä n 1. Jos M on G:n maksimaalinen aliryhmä, niin M G. Todistus. Nyt M < G, joten M < N G (M). Koska M on maksimaalinen, niin N G (M) = G. Siis M G. 4.3 Kertalukutarkasteluja Seuraavissa lauseissa tarkastellaan kertaluvultaan erilaisten ryhmien ratkeavuutta. Lauseissa oletetaan, että G on ryhmä. 21
23 Lause Olkoon G = p n, missä p on alkuluku ja n 1. Tällöin G on ratkeava. Todistus. Todistetaan induktiolla luvun n suhteen. 1. Jos n = 1, niin G = p, joten G on syklinen. Siis G on Abelin ryhmä, joten G on ratkeava. 2. Tehdään induktio-oletus: Jos G = p k, niin G on ratkeava. 3. Olkoon G = p k+1. Lauseen 3.5 nojalla on olemassa sellainen H < G, että H = p k. Koska [G : H] = p, niin H on G:n maksimaalinen aliryhmä. Lemman 4.18 nojalla H G. Nyt [G : H] = p, joten G/H on ratkeava. Lisäksi H = p k, joten H on induktio-oletuksen nojalla ratkeava. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. Lause Olkoon G = pq, missä p ja q ovat alkulukuja. Tällöin G on ratkeava. Todistus. Jos p = q, niin G = p 2 ja G on edellisen lauseen perusteella ratkeava. Olkoon sitten p > q. Sylowin lauseiden nojalla N(p) 1(p) ja N(p) q. Siis N(p) = 1, joten G:ssä on normaali Sylowin p-aliryhmä P. Koska P = p, niin P on ratkeava. Koska G/P = q, niin G/P on ratkeava. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. Lause Olkoon G = p a q, missä p q ovat alkulukuja ja a 1. Tällöin G on ratkeava. Todistus. Todistetaan induktiolla luvun a suhteen. 22
24 1. Jos a = 1, niin G = pq ja G on edellisen lauseen perusteella ratkeava. 2. Tehdään induktio-oletus: Jos G = p b q, missä b < a, niin G on ratkeava. 3. Olkoon G = p a q. Sylowin lauseiden nojalla N(p a ) 1(p) ja N(p a ) q. Siis N(p a ) = 1 tai N(p a ) = q. Jos N(p a ) = 1, niin Sylowin p-aliryhmä P on normaali G:ssä. Nyt P = p a, joten P on ratkeava. Lisäksi G/P = q, joten G/P on ratkeava. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. Voidaan siis jatkossa olettaa, että N(p a ) = q. Valitaan kaksi eri Sylowin p-aliryhmää P 1 ja P 2 siten, että leikkaus D = P 1 P 2 on kertaluvultaan suurin mahdollinen. a) Olkoon D = {1}. Tällöin Sylowin p-aliryhmien kaikki parittaiset leikkaukset sisältävät vain alkion {1}. Nyt q(p a 1) = qp a q = G q, joka on p-alkioiden lukumäärä. Siis ryhmässä G on vain yksi Sylowin q-aliryhmä Q ja Q G. Koska Q = q ja G/Q = p a, niin Q ja G/Q ovat ratkevia. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. b) Olkoon sitten D > {1}. Merkitään B 1 = N P1 (D) ja B 2 = N P2 (D). Lemman 4.16 nojalla D < B 1 P 1 ja D < B 2 P 2. Merkitään L =< B 1, B 2 >. Nyt D B 1 ja D B 2, joten D L. Onko L p-ryhmä? Jos L on p-ryhmä, niin Sylowin lauseiden nojalla on olemassa Sylowin p-aliryhmä P 3 siten, että L P 3. Tällöin P 1 P 3 P 1 L B 1 > D. Nyt D:n valinnasta johtuen P 1 = P 3. Samoin P 2 P 3 P 2 L B 2 > D, joten P 2 = P 3. Siis P 1 = P 2, joka on ristiriita. Täten L ei ole p- ryhmä. Siis L = p t q, missä t 1. Olkoon Q aliryhmän L Sylowin q-aliryhmä. Tällöin QP 1 = Q P 1 P 1 Q = qp a = G, joten G = QP 1. Merkitään K =< D g g G >. Nyt D Q ja K G. Jos g G, niin g = xy, missä x Q ja y P 1. Nyt x Q L N G (D). Täten 23
25 D g = D xy = (D x ) y = D y P 1, eli K P 1. Nyt {1} < D K ja {1} < K < P 1. Siis G/K = p b q, missä b < a. Induktio-oletuksen nojalla G/K on ratkeava. Koska K < P 1, niin K on p-ryhmä eli K on ratkeva. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. Lause Olkoon G = pqr, missä p > q > r ovat alkulukuja. Tällöin G on ratkeava. Todistus. 1. Jos N(p) = 1, niin on olemassa G:n Sylowin p-aliryhmä P siten, että P G. Täten P = p ja G/P = pqr p = qr, joten P ja G/P ovat ratkeavia edellisten lauseiden nojalla. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. Samoin jos N(q) = 1 tai N(r) = 1, G on tällöin ratkeava. 2. Sylowin lauseiden nojalla N(p) 1(p) ja N(p) pqr p N(p) 1 + p ja N(p) = q, r tai qr. = qr. Siis Nyt N(p) 1 + p > p > q > r, joten N(p) = qr. Samoin N(q) 1(q) ja N(q) pqr q = pr. Siis N(q) 1 + q ja N(q) = p, r tai pr. Nyt N(p) 1 + q > q > r, joten N(q) p. Edelleen N(r) 1(r) ja N(r) pqr r = pq. Siis N(r) 1 + r ja N(r) = p, q tai pq. Täten N(r) q. Nyt kaikki Sylowin p-, q- ja r-aliryhmät ovat kertaluvultaan alkulukuja. Täten kahden eri Sylowin aliryhmän leikkauksen kertaluku on triviaali. Lasketaan alkioita: ˆ neutraalialkio e, ˆ p-alkioita N(p)(p 1) = qr(p 1), ˆ q-alkioita N(q)(q 1) p(q 1), 24
26 ˆ r-alkioita N(r)(r 1) q(r 1). Nyt G = pqr 1 + qr(p 1) + p(q 1) + q(r 1) = 1 + pqr qr + pq p + qr q = pqr + pq p q + 1. Tästä saadaan p 1 pq p = q(p 1) eli 1 q. Tämä on ristiriita, joten 1)-kohdan nojalla G on ratkeava. Lause Olkoon G = p 2 q 2, missä p q ovat alkulukuja. Tällöin G on ratkeava. Todistus. Olkoon p > q. Sylowin lauseiden nojalla N(p 2 ) 1(p) ja N(p 2 ) q 2, joten N(p 2 ) = 1, q tai q Jos N(p 2 ) = 1, niin on olemassa täsmälleen yksi G:n Sylowin p-aliryhmä P, joten P G. Nyt P = p 2, ja G/P = G P = p2 q 2 p 2 = q 2. Täten ryhmät P ja G/P ovat edellisten lauseiden perusteella ratkeavia, joten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. 2. Jos N(p 2 ) = q, niin q 1(p) eli p q 1. Siis p q 1 < q, joka on ristiriita. 3. Jos N(p 2 ) = q 2, niin q 2 1(p) eli p q 2 1. Siis p (q 1)(q +1) eli p q 1 tai p q+1. Edellisen kohdan perusteella tapaus p q 1 johtaa ristiriitaan. Ehdosta p q + 1 saadaan, että q < p q + 1, joten p = q + 1. Näinollen täytyy olla p = 3 ja q = 2. Täten G = = 36 ja N(3 2 ) = 4. Olkoon P i P j G:n Sylowin 3-aliryhmiä. Nyt P i P j = P i P j P i P j = 81 P i P j 36 = G. Vaihtoehdot P i P j = 1 tai P i P j = 9 johtavat ristiriitaan. Siis P i P j = 3, joten P i P j = 27. Nyt P i P j < P i, P j >, joten P i P j = 27 < P i, P j > 36. Siis < P i, P j > = 36 ja G =< P i, P j >. Nyt P i = P j = 3 2, joten P i ja P j ovat lemman
27 nojalla Abelin ryhmiä. Kaikki Abelin ryhmän aliryhmät ovat normaaleja, joten P i P j P i ja P i P j P j. Siis P i P j < P i, P j >= G. Nyt P i P j = 3, joten P i P j on syklinen ja täten ratkeava. Lisäksi G/P i P j = 36 3 = 22 3, joten G/P i P j on ratkeava. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. 26
28 Luku 5 Esimerkkejä ratkevuudesta Tässä luvussa tarkastellaan ryhmän ratkeavuutta, kun ryhmän kertaluku on 100 tai sitä pienempi. Osoittautuu, että kertalukua 60 lukuunottamatta tällaiset ryhmät ovat aina ratkeavia. Esimerkkinä kertalukua 60 olevasta ryhmästä, joka ei ole ratkeava, löytyy alternoiva ryhmä A 5, joka on yksinkertainen ryhmä. Lause 5.1. Olkoon G ryhmä, G 100 ja G 60. Tällöin G on ratkeava. Todistus. Edellisessä luvussa todettiin, että kertaluvultaan p, p n, pq, p n q, pqr tai p 2 q 2 olevat ryhmät ovat ratkeavia, kun p, q ja r ovat alkulukuja. Täten voidaan hajoittaa tarkasteltavat kertaluvut alkulukutekijöihinsä ja tehdä taulukko ratkeavista ryhmistä: 27
29 p p n pq p n q pqr p 2 q = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
30 Nähdään, että taulukosta puuttuvat luvut 72 = , 84 = ja 90 = , joten näiden ratkeavuus täytyy tarkastella erikseen. 1. Olkoon G = 72 = Tällöin Sylowin lauseiden perusteella N(2 3 ) 1(2) ja N(2 3 ) 3 2, joten N(2 3 ) = 1, 3 tai 9. Samoin N(3 2 ) 1(3) ja N(3 2 ) 2 3, joten N(3 2 ) = 1 tai 4. Jos N(3 2 ) = 1, niin on olemassa täsmälleen yksi G:n Sylowin 3-aliryhmä P, joten P G. Nyt P = 3 2, joten P on ratkeava lauseen 4.19 nojalla. Koska G/P = 2 3, niin myös G/P on ratkeva ja täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. Olkoon sitten N(3 2 ) = 4 ja P eräs ryhmän G Sylowin 3-aliryhmä. Nyt lemman 1.24 nojalla N G (P ) G sekä Sylowin 3. lauseen nojalla [G : N G (P )] = 4. Siis G = 4 N G (P ), joten N G (P ) < G. Tällöin lauseen 2.6 mukaan on olemassa homomorsmi f : G S 4, joten homomorsmien peruslauseen mukaan G/Ker(f) = Im(f). Lisäksi Im(f) S 4, joten Im(f) jakaa kertaluvun S 4. Jos ryhmä G on yksinkertainen, niin Ker(f) = {1}, ja G = Im(f) S 4. Tällöin Im(f) = G = = S 4, mikä on ristiriita. Siis G ei ole yksinkertainen ryhmä. Täten on olemassa sellainen N G, että 1 < N < G. Tällöin ryhmän N kertaluku voi olla jokin seuraavista: N = 2, 3, 2 3, 2 2, 3 2, 2 2 3, 2 3 2, , 2 3, tai Lisäksi G/N = G, joten tekijäryhmän G/N kertaluku voi olla: N G/N = , 2 3 3, 2 2 3, 2 3 2, 2 3, 2 3, 2 2, 2, 3 2, tai 3. Huomataan, että kaikki kertaluvut ovat muotoa p, p n, pq, p n q, tai p 2 q 2, joten N ja G/N ovat ratkevia ryhmiä. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. 29
31 2. Olkoon G = 84 = Tällöin Sylowin lauseiden perusteella N(2 2 ) 1(2) ja N(2 2 ) 3 7, joten N(2 2 ) = 1, 3, 7 tai 21. Samoin N(3) 1(3) ja N(3) 2 2 7, joten N(3) = 1, 4, 7 tai 28. Edelleen N(7) 1(7) ja N(7) 2 2 3, joten N(7) = 1. Koska N(7) = 1, niin on olemassa täsmälleen yksi G:n Sylowin 7- aliryhmä P, joten P G. Nyt P = 7, joten P on ratkeava lauseen 4.19 nojalla. Samoin G/P = 2 2 3, joten myös G/P on ratkeva lauseen 4.21 nojalla. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. 3. Olkoon G = 90 = Tällöin Sylowin lauseiden perusteella N(2) 1(2) ja N(2) 3 2 5, joten N(2) = 1, 3, 5, 9, 15 tai 45. Samoin N(3 2 ) 1(3) ja N(3 2 ) 2 5, joten N(3 2 ) = 1 tai 10. Edelleen N(5) 1(5) ja N(5) 3 2 2, joten N(5) = 1 tai 6. Jos N(3 2 ) = 1 tai N(5) = 1, niin G on ratkeva, kuten kohdissa 1. ja 2. Olkoon siis N(3 2 ) = 10 ja N(5) = 6. Kahden eri Sylowin 5- aliryhmän leikkaus on triviaali, joten 5-alkioita on yhteensä 6 (5 1) = 24 kappaletta ryhmässä G. Jos kahden eri Sylowin 3-aliryhmän leikkaus olisi aina triviaali, ryhmässä G olisi yhteensä 10 (9 1) = 80 9-alkiota, jolloin alkioita olisi ryhmässä G vähintään > 90 = G. Siis ryhmässä G on oltava Sylowin 3-aliryhmät P ja Q, joiden leikkaus on ei-triviaali. Nyt 1 < P Q < P = 9 ja P Q jakaa aliryhmänä ryhmän P kertaluvun, joten P Q = 3. Merkitään leikkausta L = P Q ja tutkitaan sen normalisoijaa N G (L). Nyt P ja Q ovat lemman 4.11 nojalla Abelin ryhmiä. Lisäksi leikkaus L on ryhmien P ja Q aliryhmä, joten P, Q N G (L). Nyt N G (L) > = 15 ja koska N G (L) G, niin N G (L) jakaa luvun 90. Lisäksi P jakaa kertaluvun N G (L), joten N G (L) = 18, 45 tai 90. Tarkastellaan jokainen 30
32 kertaluku erikseen: ˆ Jos N G (L) = 18, niin N G (L) < G ja [G : N G (L)] = 5. Tällöin lauseen 2.6 mukaan on olemassa homomorsmi f : G S 5, joten homomorsmien peruslauseen mukaan G/Ker(f) = Im(f). Lisäksi Im(f) S 5, joten Im(f) jakaa kertaluvun S 5. Jos ryhmä G on yksinkertainen, niin Ker(f) = {1}, ja G = Im(f) S 5. Tällöin Im(f) = G = = 5! = S 5, mikä on ristiriita. Siis G ei ole yksinkertainen ryhmä. Täten on olemassa sellainen N G, että 1 < N < G. Tällöin ryhmän N kertaluku voi olla jokin seuraavista: N = 2, 3, 5, 2 3, 3 2, 2 5, 3 5, 2 3 2, tai Lisäksi G/N = G, joten tekijäryhmän G/N kertaluku voi olla: N G/N = 3 2 5, 2 3 5, 2 3 2, 3 5, 2 5, 3 2, 2 3, 5, 3 tai 2. Huomataan, että kaikki kertaluvut ovat muotoa p, p n, pq, p n q, tai pqr, joten N ja G/N ovat ratkevia ryhmiä. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. ˆ Jos N G (L) = 45, niin [G : N G (L)] = 2, joten lemman 1.8 nojalla N G (L) G. Nyt N G (L) = ja G/N G (L) = 2, joten ryhmät N G (L) ja G/N G (L) ovat ratkeavia. Täten G on ratkeva lauseen 4.15 nojalla. ˆ Jos N G (L) = 90, niin N G (L) = G ja siis L G. Nyt L = 3 ja G/L = 30 = 2 3 5, joten ryhmät L ja G/L ovat ratkeavia. Täten G on ratkeva lauseen 4.15 nojalla. Näin ollen ryhmä G on ratkeava, kun G = 90. Taulukon ja kohtien perusteella voidaan todeta, että ryhmä G on ratkeava, kun G 100 ja G
33 Lähdeluettelo [1] I.N. Herstein: Abstract Algebra, New Jersey, [2] Markku Niemenmaa: Ryhmäteoria luentorunko, muistiinpanot ja harjoitukset, Oulun yliopisto, [3] Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä: Algebra I luentorunko ja muistiinpanot, Oulun yliopisto, [4] Markku Niemenmaa: Algebra II luentorunko ja muistiinpanot, Oulun yliopisto,
Eräitä ratkeavuustarkasteluja
Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................
LisätiedotCauchyn ja Sylowin lauseista
Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4
LisätiedotTIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta
Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala
LisätiedotTekijäryhmät ja homomorsmit
Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotTransversaalit ja hajoamisaliryhmät
Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotRyhmän P SL(2, K) yksinkertaisuus
Ryhmän P SL(2, K) yksinkertaisuus Pro gradu -tutkielma Antti Eronen 2187183 Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteitä ja tarpeellisia lauseita 3 11
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
LisätiedotFrobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä
Frobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä Pro Gradu-tutkielma Mikko Korhonen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perustuloksia 4 2.1 Lukuteoriaa............................
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
LisätiedotLuupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014
Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 3 1.1 Kuvauksista............................ 3 1.2 Relaatioista............................
LisätiedotLuuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006
Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3
LisätiedotSyklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016
Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................
LisätiedotSymmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuus ja ratkeavuus
Symmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuus ja ratkeavuus Pro gradu Tuomo Holma 2379771 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Permutaatiot 3 2 Ryhmistä
LisätiedotLineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016
Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
LisätiedotLaitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
LisätiedotSylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa
Sylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa Jenna Johansson 21. marraskuuta 2018 Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Merkintöjä: N Luonnollisten
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
Lisätiedot800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
LisätiedotAlternoivien ryhmien ominaisuuksista
Alternoivien ryhmien ominaisuuksista Pro gradu -tutkielma Anssi Aska 2257068 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Ryhmä ja aliryhmä........................
LisätiedotH = H(12) = {id, (12)},
7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotRubikin kuutio ja ryhmäteoria
Rubikin kuutio ja ryhmäteoria Pro Gradu -tutkielma Jani Luokkanen 2372781 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoria 3 1.1 Perusteet.................................
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotPermutaatioista alternoivaan ryhmään
Permutaatioista alternoivaan ryhmään Pro Gradu-tutkielma Sini-Susanna Fetula Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 3 Permutaatioista. 6 3.1 Symmetrinen
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Lisätiedot1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
LisätiedotÄärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista
Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista Pro Gradu - tutkielma Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Oulun yliopisto Tiedekunta/osasto/laitos Matemaattisten tieteiden
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Matti
LisätiedotÄÄRELLISTEN RYHMIEN VAIHDANNAISUUSVERKOT MIIKKA SILFVERBERG
ÄÄRELLISTEN RYHMIEN VAIHDANNAISUUSVERKOT MIIKKA SILFVERBERG PRO GRADU HELSINGIN YLIOPISTON MATEMATIIKAN LAITOS TOUKOKUU 2008 SISÄLTÖ 1. Merkinnöistä ja määritelmistä 2 2. Johdanto 3 3. Ryhmäteoriaa 5 3.1.
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotPermutaatioiden ominaisuuksista
Permutaatioiden ominaisuuksista Pro gradu -tutkielma Ville-Antero Valpas 1732513 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2015 Sisältö Johdanto................................ 2 1 Esitietoja
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotRyhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 8,
Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen
LisätiedotSylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Aleksi Heiskanen Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Marraskuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotPermutaatioryhmien radoista. Tero Suokas
Permutaatioryhmien radoista Tero Suokas Pro Gradu -tutkielma Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä 3 2.1 Ryhmistä............................. 3 2.2 Homomorsmeista........................
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
Lisätiedot3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2
3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 Olen valinnut kunkin luvun teemaksi yhden ryhmän. Ensimmäisen luvun teema on pienin epätriviaali ryhmä, eli ryhmä, jossa on kaksi alkiota. Merkitsen
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
Lisätiedot6 A 5, alternoiva ryhmä ja muita yksinkertaisia ryhmiä
6 A 5, alternoiva ryhmä ja muita yksinkertaisia ryhmiä Tutustukaamme ensin ryhmään S 5. Jos käytämme syklinotaatiota, toteamme, että se sisältää syklejä, jotka ovat muotoa (12), (123), (1234), (12345),
LisätiedotRyhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta
Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki
LisätiedotJohdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Matti
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
Lisätiedot5.6 Yhdistetty kuvaus
5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
LisätiedotAvainsanat Nyckelord Keywords algebra, rengas, moduli, Noether, nouseva ketju, äärellisviritteinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Vesa
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotAlgebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotMAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotAlgebra kl Tapani Kuusalo
Algebra kl. 2010 Tapani Kuusalo Sisältö Luku 1. Luonnolliset luvut 1 Luku 2. Laskutoimitukset 4 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet 4 2. Neutraali- ja käänteisalkiot 6 3. Indusoidut laskutoimitukset,
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotTekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.
3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
Lisätiedot1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä
LUKUTEORIAA 1 Jakajat ja jäännökset Luonnollisten lukujen joukko N = { 0, 1, 2, 3,... } on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä Z + = {1,
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain
LisätiedotFermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma
Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
3.5. Sisäiset symmetriat. Kuution väritysesimerkissä 3.14 tarkasteltiin yksittäisten alkioiden sijaan niiden konjugaattiluokkia ja todettiin, että konjugaattiluokkia vastaavat luonnollisella tavalla erityyppiset
LisätiedotDiskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista
Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos meillä
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
Lisätiedot