Cauchyn ja Sylowin lauseista
|
|
- Tero Salo
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014
2 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet Funktion käsitteitä Lukuteorian alkeita Joukot ja ryhmät Ekvivalenssirelaatio Binäärinen operaatio Ryhmähomomorsmi Ryhmäteoriaa Aputulokset Aputulokset Cauchyn lauseelle Aputulokset Sylowin 1. lauseelle Aputulokset Sylowin 2. lauseelle Cauchyn lause 19 4 Sylowin lauseet 20 5 Aputulokset Sylowin lauseiden sovelluksiin 24 6 Sylowin lauseiden sovelluksia 27 Lähdeluettelo 30 1
3 Johdanto Pro-gradu tutkielmassa on käytetty pääasiassa teoksia [1], [2] ja [3]. Cauchyn lause ja Sylowin 1. lause on otettu kirjasta [1], Sylowin 2. ja 3.-lause teoksesta [3] ja lopulta Sylowin 4.-lause on kirjasta [2]. Tutkielmassa käsitellään Cauchyn lausetta ja Sylowin lauseita. Molempien matemaatikkojen lauseet ovat tehokkaita työvälineitä äärellisten ryhmien rakenteiden tutkimiseen. Nämä lauseet ovat teholtaan rajallisia, toisin sanoen tutkittaessa äärellisiä ryhmiä tulee vastaan tapauksia, joista ei pystytä antamaan tarkempia tuloksia rajaamatta ensin alkuoletuksia. Tästä huolimatta lauseet ovat hyvinkin tehokkaita ja käteviä, kun tutkitaan ryhmien yksinkertaisuutta tai sen sisältämiä aliryhmiä. Tutkielma on jaettu osioihin, joiden järjestyksen toivotaan helpottavan lukijan tutustumista asiaan. Peruslauseet ja määritelmät on koottu peruskäsitteet otsikon alle. Nämä määritelmät ja lauseet on jaoteltu aihepiireittäin helpommasta vaikeampaan lukemisen helpottamiseksi. Alaotsikoiden alle on kerätty vain ne määritelmät ja lauseet, joita lukija tarvitsee Pro gradututkielman ymmärtämisessä. Aputuloksia käsittelevään osioon on kerätty monimutkaisempia lauseita, joita tarvitaan suoraan Cauchyn ja Sylowin lauseiden todistamiseen. Erottelun peruskäsitteiden ja aputuloksien välillä voi ilmaista niin, että matematiikkaa lukeneen voi olettaa tuntevan ainakin osan peruskäsitteistä ennestään. Sen sijaan aputuloksissa olevat lauseet ja määritelmät ovat monimutkaisempaa matematiikkaa, jota tuskin on tullut asiaan perehtymättömälle vastaan. Cauchyn ja Sylowin lauseet käsitellään omissa erotetuissa osioissaan. Niiden jälkeen on kaksi Sylowin lauseiden soveltamiseen liittyvää osiota. Ennen kuin näytetään, miten Sylowin lauseita voi soveltaa äärellisille ryhmille, käydään läpi tuloksia, joita tarvitaan näihin sovelluksiin. Kyseisiä lauseita ei niiden 'raskaudesta' huolimatta tarvita Sylowin lauseiden todistamiseen mutta 2
4 niiden käsittelyssä on hyvä tietää jo Sylowin lauseiden teoriaa. 3
5 1 Peruskäsitteet Tähän kappaleeseen on koottu määritelmät ja lauseet, joita käytetään osittain Cauchyn ja Sylowin lauseiden käsittelyyn. Kootut määritelmät ovat hyvin peruskäsitteitä, niinpä matematiikkaa taitava lukija voi hypätä tämän kappaleen ylitse. 1.1 Funktion käsitteitä Määritelmä 1.1. Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen lähtöjoukon A alkioon x yksikäsitteisesti jonkin maalijoukon B alkion y. Määritelmä 1.2. Funktiota f : A B sanotaan surjektioksi jos pätee, että f(a) = B. Toisin sanoen funktion koko maalijoukko saadaan lähtöjoukon alkioiden kuvana. Määritelmä 1.3. Funktiota f : A B sanotaan injektioksi jos pätee, että kun x 1 x 2, niin f(x 1 ) f(x 2 ). Toisin sanoen jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu yksikäsitteisesti omaksi maalijoukon alkiokseen. Määritelmä 1.4. Funktiota f : A B sanotaan bijektioksi, kun se on sekä injektio että surjektio. Bijektiivinen funktio on siis yksi yhteen kuvaus, jonka lähtöjoukon kuva kattaa koko maalijoukon ja jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu omalle maalijoukon alkiolleen. 1.2 Lukuteorian alkeita Lause 1.5. Olkoon a, b Z ja b 0. Tällöin on olemassa sellaiset yksikäsitteisesti määrätyt kokonaisluvut q ja r, joille a = qb + r, missä 0 r < b. Todistus. 1. Olkoon b > 0. Tarkastellaan joukkoa S = {a kb k Z ja a kb 0}. Selvästi joukossa S on pienin alkio, olkoon tämä alkio r. Koska r S, niin on olemassa q Z jolla r = a qb. Tällöin a = qb + r. Olkoon nyt r b. Tällöin r b 0 ja r b = a qb b = a (q + 1)b S. Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että r on joukon S pienin alkio, mutta r b < r. Näin ollen 0 r < b. 4
6 2. Olkoon b < 0. Tällöin b > 0 ja kohdan 1 nojalla on olemassa q, r Z, joilla a = q( b) + r ja 0 r < b. Näin ollen on olemassa q, r Z joilla a = qb + r ja 0 r < b. 3. Tutkitaan onko esitys a = qb + r yksikäsitteinen. Olkoon nyt a = qb + r missä q, r Z ja 0 r < b merkitään vastaavasti a = q b + r missä q, r Z ja 0 r < b. Tällöin 0 = a a = qb + r (q b + r ) eli 0 = (q q )b + r r siten r r = (q q )b. Tarkastellaan lukua r r. Nyt r r < b. Tämä on selvää kun lukija sijoittaa luvut r ja r lukusuoralle. Olkoon nyt q q. Tällöin q q 1 ja r r = (q q )b = q q b b. Tämä on ristiriita, koska r r b ja näin ollen on oltava, että q = q ja myös r = r. Näin saadaan, että esitys a = qb + r on yksikäsitteinen. Lause 1.6. olkoon a, b Z ja luvuista ainakin toinen on eri kuin nolla. Tällöin lukujen suurin yhteinen tekijä syt(a, b) on olemassa. Lisäksi on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että ax + by = syt(a, b) Todistus. Tarkastellaan joukkoa S = {au + bv u, v Z ja au + bv > 0}. Selvästi joukko S on epätyhjä ja sillä on pienin alkio, olkoon tämä pienin alkio t. Koska t S, niin on olemassa alkiot x, y Z siten, että t = ax + by. Osoitetaan nyt, että alkio t = syt(a, b). 1. Lauseesta 1.5 saadaan, että kokonaisluku a voidaan lausua muodossa a = qt + r, 0 r < t ja q, r Z. Olkoon r > 0. Nyt r = a qt, sijoitetaan tähän t = ax + by ja saadaan r = a(1 qx) + b( qy) S. Näin ollen r S ja r < t. Tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa, että t on joukon S pienin alkio. Näin ollen r = 0. Tästä saadaan, että a = qt ja t a. 2. Lauseesta 1.5 saadaan, että kokonaisluku b voidaan lausua muodossa b = qt + r, 0 r < t ja q, r Z. Olkoon r > 0. Nyt r = b qt, 5
7 sijoitetaan tähän t = ax + by ja saadaan r = b(1 qy) + a( qx) S. Näin ollen r S ja r < t. Tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa, että t on joukon S pienin alkio. Näin ollen r = 0. Tästä saadaan, että b = qt ja t b. Olkoon c kokonaisluku, joka jakaa luvut a ja b. Tällöin c ax ja c by. Näin ollen pätee myös, että c (ax + by) eli c t. Näin saadaan, että mikä tahansa kokonaisluku c, joka jakaa molemmat luvut a ja b jakaa myös luvun t. Tästä saadaan, että t = syt(a, b). 1.3 Joukot ja ryhmät Ekvivalenssirelaatio Määritelmä 1.7. Joukon S relaatio on ekvivalenssirelaatio mikäli 1. x x aina, kun x S 2. jos x y, niin y x aina, kun x, y S 3. jos x y ja y z, niin x z aina, kun x, y, z S. Jos on ekvivalenssirelaatio ja s S, niin joukkoa [s] = {x S x s} sanotaan alkion s määräämäksi ekvivalenssiluokaksi. Lause 1.8. Jos on ekvivalenssirelaatio ja a b, niin [a] = [b]. Todistus. Olkoon x [a]. Tällöin x a ja koska a b, niin x b. Näin ollen x [b] eli [a] [b]. Olkoon y [b] ja tällöin y b. Ekvivalenssirelaation määritelmästä 1.7 saadaan, että kun a b, niin b a. Eli y a ja näin ollen y [a] eli [b] [a]. Näin saadaan, että [a] = [b]. Lause 1.9. Olkoon joukon S ekvivalenssirelaatio. Tällöin kaikkien ekvivalenssiluokkien yhdiste on koko joukko S. Lisäksi kun [a] [b], niin [a] [b] =. 6
8 Todistus. Jos s S, niin s s eli s [s] ja siten s S [s] = S. Seuraavaksi osoitetaan, että ekvivalenssiluokat joko sisältävät kaikki samat alkiot tai eivät yhtään samaa alkiota. Olkoon x [a] [b]. Tällöin x a ja x b ja näin ollen ekvivalenssirelaation määritelmän1.7 nojalla a b ja lauseesta 1.8, että [a] = [b]. Tästä saadaan, että jos [a] [b], niin [a] [b] = Binäärinen operaatio Määritelmä Olkoon S ei-tyhjä joukko. Kuvaus : S S S, (a, b) a b on joukon S binäärinen operaatio (eli a b S aina, kun a, b S). Määritelmä Olkoot G ja ( ) joukon G binäärinen operaatio. Pari (G, ) on ryhmä, mikäli seuraavat kolme ehtoa toteutuvat. 1. ( ) on assosiatiivinen eli (a b) c = a (b c) aina, kun a, b, c G. 2. Joukossa G on sellainen alkio e, että a e = e a = a aina, kun a G. Tätä alkiota e kutsutaan neutraalialkioksi tai ykkösalkioksi. 3. Aina, kun a G, on olemassa sellainen alkio a 1 G, että a a 1 = a 1 a = e. Tätä alkiota a 1 kutsutaan alkion a käänteisalkioksi. Huomautus Oletetaan, että ryhmälle G pätee, että a b = b a kaikilla a, b G. Tällöin operaatio on kommutatiivinen ja ryhmää sanotaan Abelin ryhmäksi. 7
9 Määritelmä Olkoon (G, ) ryhmä ja H G, H. Jos (H, ) on ryhmä, sitä sanotaan ryhmän (G, ) aliryhmäksi. Merkitään (H, ) (G, ) tai lyhyemmin merkittynä H G. Lause Aliryhmäkriteeri Olkoon G ryhmä ja H G, H. Nyt H G jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1. Olkoon a, b H, jolloin saadaan, että ab H. 2. Olkoon a H. Tällöin a 1 H. Todistus. 1. Olkoon H G. Tällöin molemmat ehdot toteutuvat, koska aliryhmät ovat myös ryhmiä. 2. Olkoot ehdot 1 (a, b H, jolloin saadaan, että ab H) ja 2 (a H, josta a 1 H) voimassa. Tiedetään jo, että H G. Riittää siis osoittaa, että H on ryhmä. (a) Ehdosta 1 saadaan, että kyseessä on binäärinen operaatio. Toisin sanoen operaatio pitää kaikki joukon H alkiot joukon H sisällä. (b) Assosiatiivisuus seuraa, kun muistetaan, että G on ryhmä ja H G. Näin ollen operaatio on assosiatiivinen joukossa G ja sitä se on silloin myös joukossa H. (c) Ehdosta 2 saadaan, että käänteisalkio kuuluu aina joukkoon H. Eli kaikilla a H pätee, että a 1 H. Näin ollen aa 1 H ja aa 1 = e H. Näin ollen joukko H on ryhmä ja myös H G. Määritelmä Olkoon H G ja a G. Joukkoa ah = {ah h H} sanotaan alkion a määräämäksi aliryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi. Lause Olkoon G ryhmä ja H G. Tällöin joukossa G määritelty relaatio a b, b 1 a H on ekvivalenssirelaatio. Jos a G, niin alkion a määräämä ekvivalenssiluokka on ah, eli [a] = ah. 8
10 Todistus. Todistetaan, että relaatio täyttää ekvivalenssirelaation kriteerit. 1. Nyt a a kaikilla a G, sillä a 1 a = e H. 2. Olkoon a b, eli b 1 a H. Tällöin (b 1 a) 1 H, mistä a 1 b H ja saadaan, että b a. 3. Olkoon a b ja b c joista saadaan, että b 1 a, c 1 b H. Näin ollen c 1 b b 1 a H, eli c 1 a H ja a c. Ekvivalenssirelaation kriteerit täyttyvät, joten valittu relaatio on ekvivalenssirelaatio. Todistetaan vielä, että [a] = ah. Nyt [a] = {x G x a}, josta [a] = {x G a 1 x H}, eli [a] = {x G a 1 x = h, h H}, siis [a] = {x G x = ah, h H}, mistä edelleen [a] = {x G x ah} ja lopuksi [a] = ah. Lause (Lagrangen lause) Olkoon G äärellinen ryhmä, H G ja n aliryhmän H vasempien sivuluokkien lukumäärä ryhmässä G. Tällöin G = n H. Toisin sanoen äärellisessä ryhmässä aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun. Todistus. Olkoot ryhmän H vasemmanpuoleiset sivuluokat seuraavat a 1 H, a 2 H,..., a n H. Lauseesta 1.15 saadaan, että sivuluokat ovat erään relaation ekvivalenssiluokkia. Lauseesta 1.9 saadaan, että ryhmä G voidaan muodostaa näiden ekvivalenssiluokkien unionina. Eli G = n k=1 a kh ja a 1 H a j H =, 2 j n. Nyt a j H = H, josta saadaan, että G = n H. Määritelmä Olkoon N G, missä G on ryhmä. Aliryhmää N sanotaan normaali aliryhmäksi, mikäli an = Na aina, kun a G. Merkitään tätä N G. 9
11 Olkoon G ryhmä ja a G. Tarkastellaan joukkoa H = {a k k Z}, joka on joukon G osajoukko. Olkoon nyt x, y H, eli x = a m ja y = a s, joillakin m, s Z. Tällöin pätee seuraavat: 1. xy = a m a s = a m s H, koska m s Z. 2. x H, joten x 1 = (a m ) 1 = a m H, missä m Z. Aliryhmäkriteerin nojalla joukko H on siis ryhmän G aliryhmä. Määritelmä Yllä määriteltyä ryhmää H sanotaan alkion a generoimaksi sykliseksi ryhmäksi ja sitä merkitään H = a, missä alkio a on generoija. Lause Olkoon ryhmän kertaluku alkuluku. Tällöin ryhmä on syklinen. Todistus. Lagrangen lauseen (lause 1.16) nojalla ryhmän G ainoat aliryhmät ovat {e} ja G. Olkoon alkio a G, jolle a G. Tällöin alkion a generoima syklinen ryhmä a on ryhmän G aliryhmä. Nyt a {e}, joten ainoa mahdollisuus on, että a = G. Tällöin ryhmä G on syklinen Ryhmähomomorsmi Määritelmä Olkoot (G, ) ja (H, ) ryhmiä. Kuvausta f : G H sanotaan ryhmähomomorsmiksi ryhmältä G ryhmälle H, mikäli f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Lause Olkoon f : G H homomorsmi ja olkoot e G ja e H ryhmien G ja H neutraalialkioita. Tällöin f(e G ) = e H ja f(a 1 ) = (f(a)) 1 aina, kun a G. 10
12 Todistus. Nyt f(e G ) f(e G ) = f(e G e G ) = f(e G ) = f(e G ) e H. Siis f(e G ) f(e G ) = f(e G ) e H. Operoidaan molemmat puolet vasemmalta alkiolla f(e G ) 1 ja saadaan Tästä saadaan myös, että f(e G ) = e H. ja f(a 1 ) f(a) = f(a 1 a) = f(e G ) = e H f(a) f(a 1 ) = f(a a 1 ) = f(e G ) = e H eli f(a) 1 = f(a 1 ). Määritelmä Olkoon f : G H homomorsmi. Joukkoa Im(f) = f(g) = {f(x) x G} sanotaan homomorsmin f kuvaksi ja joukkoa Ker(f) = {x G f(x) = e H } sanotaan homomorsmin f ytimeksi. Määritelmä Ryhmät (G, ) ja (H, ) ovat isomorset eli rakenneyhtäläiset, mikäli on olemassa bijektio f : G H, joka toteuttaa ehdon f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Voidaan myös sanoa, että funktio f on bijektiivinen homomorsmi. Tällöin merkitään G = H ja sanotaan, että f on ryhmäisomorsmi. 11
13 Lause Olkoon f : G H homomorsmi. Tällöin G/Ker(f) = Im(f). Todistus. Merkitään Ker(f) = K. Määritellään kuvaus F : G/K Im(f) niin, että F (ak) = f(a) kaikilla a G. 1. Onko kuvaus F hyvin määritelty? Toisin sanoen tutkitaan, onko F riippumaton sivuluokan määrääjän a valinnasta. Olkoon a G sellainen, että a K = ak. Tällöin a ak, josta saadaan a = ak, k K. Nyt F (a K) = f(a ) = f(ak) = f(a) f(k), missä k K = Ker(f) = e H. Näin saadaan F (a K) = f(a) e H = f(a) = F (ak). Näin ollen kuvaus F on hyvin määritelty. 2. Onko kuvaus F bijektio? Pelkästään kuvauksen F määritelmästä F : G/Ker(f) Im(f) johtuen on kuvaus F surjektio (Im(f) = f(g/ker(f))). Tutkitaan injektiivisyyttä. Olkoon F (ak) = F (bk). Tällöin f(a) = f(b), josta saadaan f(b) 1 f(a) = e H, siis f(b 1 ) f(a) = e H, edelleen f(b 1 a) = e H. Nyt b 1 a K = ek, eli b 1 ak = ek, edelleen b 1 K ak = ek ja ak = bk. Näin ollen kuvaus F on bijektio. 3. tutkitaan kuvauksen F homomorsuutta. Olkoon ak, bk G/K. Tällöin F (ak bk) = F (abk) = f(ab) = f(a) f(b) = F (ak) F (bk). Näin ollen F : G/K Im(f) on isomorsmi eli G/K = Im(f) Ryhmäteoriaa Määritelmä Permutaatioryhmän G radat määritellään seuraavasti. Olkoon X = 1, 2,..., n joukko. Ryhmän S X aliryhmää G sanotaan astetta n olevaksi permutaatioryhmäksi. Määritellään joukossa X seuraavanlainen ekvivalenssirelaatio : i j jos ja vain jos on olemassa g G : g(i) = j. 12
14 Näin ollen joukko X jakaantuu pistevieraisiin ekvivalenssiluokkiin T 1,..., T r. Näitä ekvivalenssiluokkia sanotaan permutaatioryhmän G radoiksi. Määritelmä Olkoot a ja g ryhmän G alkioita. Alkio g a = a 1 ga on alkion g konjugaatti ryhmässä G. Olkoon = M G joukko, missä M g = {m g m M} Käytetään tätä joukkoa M ryhmän G normalisoijan määrittelyssä. Määritelmä Olkoon M G. Tällöin joukko N G (M) = {g G M g = M} on joukon M normalisoija ryhmässä G. Määritelmä Olkoon M G. Tällöin joukko C G (M) = {g G gm = mg m M} on joukon M sentralisoija ryhmässä G. Huomaa, että on alkion x sentralisoija ryhmässä G. C G (x) = {g G gx = xg g G} Lause Olkoon M G. Tällöin joukon M konjugaattien lukumäärä on [G : N G (M)]. Todistus. Muodostetaan yksi yhteen vastaavuus konjugointiluokkien ja sivuluokkien välille. Tiedetään jo, että sivuluokkien gh lukumäärä on G H Olkoon tämä vastaavuus f : tn G (M) M t 1. Riittää osoittaa, että f on bijektiivinen kuvaus. Onko f kuvaus? Nyt tn G (M) = sn G (M) joten t sn G (M) eli t = sn, n N G (M) ja lopulta t 1 = n 1 s 1. Tällöin M t 1 = M n 1 s 1 = (M n 1 ) s 1 = M s 1 Surjektiivisyys: M g = f(g 1 N G (M)) f on surjektio. 13 eli f on kuvaus.
15 Injektiivisyys: f(tn G (M)) = f(sn G (M)) siis M t 1 = M s 1 eli (M t 1 ) s = (M s 1 ) s. Tästä seuraa edelleen M t 1s = M joten t 1 s N G (M) ja t 1 sn G (M) = N G (M) mistä sn G (M) = tn G (M) eli f on injektio. 2 Aputulokset Tähän kappaleeseen on koottu tietoja, joita tarvitaan Cauchyn lauseen ja Sylowin lauseiden todistusten käsittelyyn. Lukija voi itse valita lukeeko ensin aputulokset vai palaako takaisin tarkistamaan tarvitsemansa tiedot. Aputulokset on jaettu omien aliotsikoidensa alle. Näin Cauchyn lauseeseen ja eri Sylowin lauseisiin tarvittavat esitiedot ovat selkeästi esillä omina osastoinaan. Jos kuitenkin samoja esitietoja hyödynnetään kahdessa eri lauseessa, niin ne löytyvät sen otsikon alta, jossa niitä ensimmäisenä käytettiin. Sylowin lauseiden käytännönsovelluksiin tarvitaan vielä lisää lauseita. Nämä sovelluksien apulauseet ovat erillisenä osiona kahdesta syystä. Niitä ei tarvita itse Sylowin lauseiden todistusten käsittelyyn. Lukijan on myös helpompi erottaa näin mitkä tiedot kuuluvat mihinkin kokonaisuuteen. 2.1 Aputulokset Cauchyn lauseelle Seuraavia lauseita tarvitaan Cauchyn lauseen todistuksen käsittelyyn. Olkoon S joukko ja A(S) = {f : S S f = bijektio}. Määritellään joukossa S ekvivalenssirelaatio seuraavasti jos s t, niin on olemassa f A(S) : f(s) = t Lauseesta 1.9 saadaan, että joukko S voidaan muodostaa ekvivalenssiluokkien tai ratojen avulla. 14
16 Lemma 2.1. Olkoon f A(S) ja f = p, missä p on alkuluku. Tällöin kaikkien joukon S alkioiden radat kuvauksessa f sisältävät yhden tai p kappaletta alkioita. Todistus. Olkoon s S. Jos f(s) = s, niin silloin alkion s määräämä rata koostuu vain alkiosta s. Oletetaan nyt, että f(s) s, tällöin alkion s määräämä rata pitää sisällään enimmillään alkiot s, f(s), f 2 (s),..., f p 1 (s). Tässä alkioita on enimmillään p kappaletta, koska alkuoletuksessa f = p, joten f p (s) = s aina. Tutkitaan ovatko nämä kaikki alkiot f k (s) erillisiä alkion s radan alkioita kuvaajassa f. Muussa tapauksessa löytyy f k (s) = f j (s) jollakin 0 k < j p 1. Tästä saadaan, että f j k (s) = s. Merkitään m = j k jolloin 0 < m p 1 ja f m (s) = s. Huomaa, että f p (s) = s ja p m p 1. Nyt p, m Z joten lauseen1.6 mukaan on olemassa a, b Z siten, että ap + bm = syt(p, m) = 1, eli f 1 (s) = f ap+bm (s) = f ap (f bm (s)) = f ap (s) = s. Tämä on ristiriidassa oletuksen f(s) s kanssa. Ristiriita syntyi oletuksesta, että alkiot s, f(s), f 2 (s),..., f p 1 (s) eivät ole erillisiä, näin ollen alkiot ovat erillisiä. 2.2 Aputulokset Sylowin 1. lauseelle Lemma 2.2. Olkoon G ryhmä. Tällöin kaikilla a G pätee C(a) = {x G xa = ax} G. Tässä C(a) on alkion a sentralisoija ryhmässä G. Lause 2.3. Olkoon G äärellinen ryhmä ja a G. Silloin alkion a konjugointiluokassa on G C(a) erillistä alkiota. Todistus. Milloin konjugaatit ovat samoja? Toisin sanoen, milloin x 1 ax = y 1 ay. Tämä voidaan saattaa muotoon a(xy 1 ) = (xy 1 )a. Näin ollen xy 1 C(a) eli x C(a)y. Jotta konjugaatit ovat samoja pitää alkioiden x ja y kuulua samaan sentralisoijan C(a) oikeanpuoleiseen sivuluokkaan. 15
17 Olkoot x ja y samassa sentralisoijan C(a) oikeanpuoleisessa sivuluokassa eli x C(a)y siis xy 1 C(a) josta xy 1 a = axy 1 edelleen x 1 ax = y 1 ay. Koska pyöritys pätee molempiin suuntiin, niin kaikki alkion a konjugaatit kuuluvat omaan sentralisoijan C(a) oikeanpuoleiseen sivuluokkaan ja äärelliselle ryhmälle G näiden sivuluokkien lukumäärä on G, mikä saatiin La- C(a) grangen lauseesta (lause 1.16). Merkitään nyt lauseen 2.3 alkion a konjugointiluokan kokoa i G (C(a)) = G C(a). Lause 2.4. Jos ryhmän G kertaluku on p n, missä p on alkuluku, niin Z(G) = {g G xg = gx x G} ei ole triviaali. Todistus. Hyödynnetään tietoa, että konjugointiluokat ovat ekvivalenssirelaatioita ryhmässä G. Näiden erillisten konjugointiluokkien unioni muodostaa ryhmän G eli G = a i G (C(a)) = a G C(a), C(a) = {x G xa = ax} Tässä a käy läpi yhden alkion erillisistä konjugointi luokista. Olkoon nyt z = Z(G), eli z on niiden alkioiden lukumäärä ryhmässä G, joiden konjugointiluokka sisältää vain yhden alkion. Koska e Z(G), niin z 1. Kaikille b / Z(G) pätee, että niiden konjugointiluokkaan kuuluu enemmän kuin yksi alkio ja C(b) < G. Lagrangen lauseen nojalla (lause1.16) C(b) G, joten C(b) = p k, missä 1 k < n. Käytetään tietoa, että konjugointiluokkien unioni muodostaa ryhmän G. p n = G = a G C(a) = z + a/ Z(G) G C(a) = z + p n p = z + p n k k k<n k<n Nyt p p n ja p k<n pn k eli p z ja koska z 1 niin z p. Näin ollen on olemassa sellainen a e, että a Z(G) 16
18 Lause 2.5. Olkoon kuvaus f : G G homomorsmi, jonka ydin on Ker(f) = K. Olkoon H G ja H = {a G f(a) H }. Tällöin H G, H K ja H/K = H. Myös jos H G, niin H G. Todistus. Tutkitaan onko H ryhmän G aliryhmä. Nyt H koska e H. Olkoon a, b H, jolloin f(a), f(b) H joten f(ab) = f(a)f(b) H koska H on aliryhmä. Näin ollen ab H ja H on suljettu. Jos a H, niin f(a) H, joten f(a 1 ) = (f(a)) 1 H eli a 1 H siis H on ryhmän G aliryhmä. Ytimen määritelmän Ker(f) = {x G f(x) = e } nojalla f(k) = {e } H missä e on ryhmän G ykkösalkio. Näin ollen koska f(k) H, niin K H. Koska K G ja K H, niin K H. Homomor- smien peruslauseesta (lause1.24) saadaan H/K = H. Lopulta, jos H G ja jos a G, niin (f(a)) 1 H f(a) H eli f(a 1 Ha) = f(a 1 )f(h)f(a) = f(a 1 )H f(a) H. Siis a 1 Ha H eli H G. Lause 2.6. Jos G on kertalukua p n oleva ryhmä, missä p on alkuluku, niin silloin G sisältää normaalin aliryhmän kertalukua p n 1. Todistus. Todistetaan väite induktiolla. 1. alkuaskel: jos n = 1, niin G = p 1 = p ja p n 1 = p 1 1 = p 0 = 1 ja näin ollen N = {e} G täyttää ehdot. 2. Induktio-oletus: oletetaan, että jollekin k pätee, että kaikki ryhmät G, G = p k sisältävät normaalin aliryhmän kertalukua p k 1 3. Induktioaskel: Olkoon ryhmän G kertaluku p k+1. Lauseen 2.4 mukaan on olemassa sellainen alkio a Z(G), että a = p. Näin ollen alkion a generoima aliryhmä A = a on kertalukua p ja normaali ryhmässä G. Olkoon Γ = G/A. Tällöin Γ = G / A = pk+1 = p k. Induktiooletuksen nojalla ryhmällä Γ on normaali aliryhmä M, M = p k 1 p. 17
19 Tarkastellaan homomorstakuvausta f : G Γ. Lauseen 2.5 mukaisesti on olemassa sellainen N G, A N, että N/A = M. Tällöin joten p k 1 = M = N/A = N A N = p k 2.3 Aputulokset Sylowin 2. lauseelle Lemma 2.7. Olkoon G äärellinen ryhmä ja A, B G. Tällöin AB = A B A B. Todistus. Tuloja ab on A B kappaletta, mutta osa tuloista on keskenään identtisiä. Määritellään joukossa A B (karteesinen tulo) relaatio seuraavasti: (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) jolloin a 1 b 1 kyseessä tosiaan on ekvivalenssirelaatio. = a 2 b 2. Lukija voi tarkistaa itse, että Vastaavien ekvivalenssiluokkien lukumäärä on AB. Osoitetaan, että jokaisessa ekvivalenssiluokassa on A B alkiota. Olkoot a A ja b B mielivaltaisia ja olkoon E se ekvivalenssiluokka johon (a, b) kuuluu. Osoitetaan, että E = {(ax 1, xb) x A B}. Selvästi ax 1 A ja xb B ja ax 1 xb = ab E. Näin ollen {(ax 1, xb) x A B} E. Olkoon (c, d) E eli ab = cd. Tällöin c 1 a A, db 1 B ja c 1 a = db 1 A B. Merkitään x = c 1 a = db 1. Tällöin c = ax 1 ja d = xb eli E {(ax 1, xb) x A B} ja E = {(ax 1, xb) x A B} ja E = A B siten AB = A B A B Määritelmä 2.8. Olkoot A ja B ryhmän G aliryhmiä. Ryhmän G kaksoissivuluokka aliryhmien A ja B suhteen on joukko AgB = {agb a A, b B}. Lause 2.9. Jos AgB AhB, niin AgB = AhB. Jos G on äärellinen ryhmä, niin G = r i=1 Ag ib, Ag i B Ag k B =, j k ja r A B G =. A g i B i=1 18
20 Todistus. Jos AgB AhB, niin a 1 gb 1 = a 2 hb 2 eli g = a 1 1 a 2 hb 2 b 1 1, josta AgB = Aa 1 1 a 2 hb 2 b 1 1 B = AhB. Toisin sanoen, jos kaksoissivuluokilla on yksi sama alkio, niin kaikki alkiot ovat samoja. Kaksoissivuluokat muodostavat erillisiä ekvivalenssiluokkia, g h, g = a 1 1 a 2 hb 2 b 1 1, eli G = Ag i B. Jos ryhmä G on äärellinen, niin G = r i=1 Ag ib. Huomaa, että e A, B joten g = ege AgB Täten G = = r Ag i B = i=1 r A g i B = i=1 r i=1 i=1 g 1 i g i Ag i B = r A g i B = A g i B r i=1 r i=1 g 1 i Ag i B A B A g i B 3 Cauchyn lause Osoitetaan Cauchyn lauseen pitävän yleisesti paikkansa myös ei-abelin ryhmille. Lause 3.1. Jos p on alkuluku ja p jakaa ryhmän G kertaluvun G, niin G sisältää alkion, jonka kertaluku on p. Todistus. Oletetaan ensin, että p 2. Olkoon S nyt joukko joka pitää sisällään kaikki järjestetyt alkiot (a 1, a 2..., a p 1, a p ), missä a 1, a 2..., a p 1, a p G ja a 1 a 2...a p 1 a p = e. Kun mietitään monellako eri tavalla joukon S alkiot voidaan valita, niin huomataan, että a 1 voidaan valita kaikista ryhmän G alkioista. Näin ollen alkiolla a 1 on G = n eri mahdollisuutta, alkiolla a 2 on samat mahdollisuudet. Kaikilla alkioilla alkioon a p 1 asti on n mahdollisuutta. Näin ollen joukossa S on tähän mennessä n p 1 alkiota. Muistetaan ehto a 1 a 2...a p 1 a p = e, josta saadaan a p = (a 1 a 2...a p 1 ) 1. Viimeisellä alkiolla on vain yksi mahdollinen muoto, joten S = n p 1. Huomataan, että jos a 1 a 2...a p 1 a p = e, niin myös a p a 1 a 2...a p 1 = e. Näin ollen kuvaus f(a 1, a 2,..., a p 1, a p ) = (a p, a 1, a 2,..., a p 1 ) S joten f : S S. 19
21 Huomataan myös, että f e ja f p (a 1, a 2,..., a p 1, a p ) = (a 1, a 2,..., a p 1, a p ) eli f p = e ja kuvauksen f kertaluku on p. Jos alkion s S radalla kuvauksessa f on vain yksi alkio, niin silloin f(s) = s. Toisaalta, jos f(s) s, niin lemmasta 2.1 saadaan, että alkion s rata pitää sisällään täsmälleen p erillistä alkiota. Milloin siis f(s) s? Väitetään, että f(s) s jos ja vain jos s = (a 1, a 2..., a p 1, a p ) siten että a i a j jollakin i j. Täten myös f(s) = s jos ja vain jos s = (a, a, a,..., a) jollakin a G. Tämä väite selkiintyy kun muistat, että f(a 1, a 2,..., a p 1, a p ) = (a p, a 1, a 2,..., a p 1 ). Kunhan ainakin yhdessä kohtaa a i a j, niin f(s) s. Olkoon m niiden alkioiden s S lukumäärä joille pätee f(s) = s. Tiedetään, että, m 1, koska jos s = (e, e, e,..., e)) niin f(e, e, e,..., e) = (e, e, e,..., e). Toisaalta jos f(s) s, niin silloin radoista muodostuu erillisiä ekvivalenssiluokkia, joiden alkioiden lukumäärä on p. Jos nyt tällaisia ratoja on k kappaletta, niin silloin S = radat jolloin n p 1 = m + kp. Alkuoletuksen mukaan p n ja myös p kp. Näin ollen p m eli m > 1. On siis olemassa sellainen alkio a S, että a e ja (aaa...a) = a p = e eli alkion a kertaluku on p. Alkio a on siis haluttu ryhmän G alkio jolle a p = e. Huomaa, että Cauchyn lause kertoo, että niiden alkioiden lukumäärä ryhmässä G, joille x p = e, on aina alkuluvun p kerrannainen. 4 Sylowin lauseet Lause 4.1. (Sylowin 1. lause) Olkoon ryhmän G kertaluku p n m, missä p on alkuluku ja p m. Tällöin on olemassa sellainen H G, että H = p n. Todistus. Todistuksessa käytetään induktiotodistuksen rakennetta osittain, joten välivaiheet on nimetty sen mukaisesti. 1. Alkuaskel: Jos n = 0, niin p n = p 0 = 1 ja {e} G joten väite pätee. Oletetaan tästä lähin, että n 1. 20
22 2. Induktio-oletus: Oletetaan, että väite pätee kaikille ryhmille F, joille F < G. Tehdään vastaoletus, ettei väite päde ryhmälle G. Tällöin induktio-oletuksen nojalla p n ei voi jakaa kertalukua H millään H < G jos H G. Nimittäin jos p n H, niin H = p n k, missä k < m, ja p k. Tällöin on olemassa F < H, F = p n. Erityisesti jos a / Z(G) = C G (G) = {g xg = gx x G}, silloin C(a) = {x G xa = ax} G joten p n C(a). Nyt joten G C(a) = pn m p k l p = p n k s, 0 k < n 1 l m, G C(a) = i G(C(a)), a / Z(G). Jos z = Z(G), niin z 1 ja lauseen 2.4 todistuksesta saadaan: p n m = G = z + a/ Z(G) i G (C(a)). Huomaa, että p i G (C(a)) joten p a/ Z(G) i G(C(a)). Varmasti on, että p p n m, joten p z. Cauchyn lauseesta 3.1 saadaan, että on olemassa alkio a Z(G) siten, että a p = e. Olkoon A nyt alkion a generoima ryhmä. A = p alkuluku, joten A on syklinen. Nyt a Z(G) = {x g 1 xg = x g G}, tämä täyttää normaalisuuskriteerin, joten A G. Olkoon Γ = G/A, eli Γ = G = pn m = p n 1 m. Siis Γ < G, joten A p induktio-oletuksen nojalla on olemassa M < Γ, missä M = p n 1. Lauseen 2.5 mukaisesti kuvaus f : G Γ, f(g) = ga on homomornen. Tässä Ker(f) = A. Näin ollen lauseen 2.5 mukaisesti on olemassa P G siten, että A P ja P/A = M. Näin ollen P = A M = pp n 1 = p n. Täten P on ryhmän G astetta p n oleva aliryhmä. Tämä on ristiriita vastaoletuksemme kanssa ja todistaa Sylowin 1. lauseen paikkansa pitävyyden. 21
23 Määritelmä 4.2. Olkoon ryhmän G kertaluku G = p a n, missä p on alkuluku, a N ja p ei ole luvun n tekijä. Jos on olemassa sellainen ryhmän G aliryhmä P, että P = p a, niin P on ryhmän G Sylowin p-aliryhmä (merkitään Sylow p (G)). Lause 4.3. (Sylowin 2. lause) Olkoon P ryhmän G Sylowin aliryhmä a) Jos U G ja U = p l, niin on olemassa sellainen g G, että U P g. b) Kaikki Sylowin aliryhmät konjugoivat ryhmässä G. Edelleen [G : N G (P )] antaa Sylowin p- aliryhmien lukumäärän. Todistus. a) Esitetään G aliryhmien P ja U kaksoissivuluokkien avulla. G = r i=1 P g iu ja lauseesta 2.9 G = r P U. P g i U i=1 Jos P g i U < U i {1...r}, niin U = p a i, P g i U missä a i 1 kaikilla i {1...r}. Tällöin G r P = p a i p G P, i=1 mikä on ristiriita Sylowin aliryhmän määritelmän nojalla. On siis oltava olemassa sellainen j {1...r}, että P g i U = U, josta U P g i. b) Jos U on Sylowin p-aliryhmä ryhmässä G, niin a)-kohdan nojalla on olemassa g G : U P g, koska Q = P = P g niin Q = P g. c) Väite [G : N G (P )] saadaan suoraan lauseesta
24 Lause 4.4. (Sylowin 3. lause) Sylowin p-aliryhmien lukumäärä ryhmässä G on muotoa 1 + kp, mille tahansa p. Todistus. Olkoon P = p n Sylowin p-aliryhmä ryhmässä G. Muodostetaan ryhmä G ryhmien P ja P kaksoissivuluokkien avulla, eli G = P xp. Kuinka monta alkiota on kaksoissivuluokassa P xp. Nyt P xp = x 1 P xp = P x P ja lemmasta2.7 saadaan, että P xp = x 1 P xp = P x P = P P P x P. Huomaa tässä, että P x P P = p n ja P x P P. Näin ollen P x P p n 1 siis P xp p2n p n 1 p n+1 P xp. = p n+1. Joten, jos P x P P, niin Toisin sanoen: Jos x / N(P ) = {g G P g = P }, niin p n+1 P xp. Myös, jos x N(P ), niin P xp = P xp x 1 x = P (P x) = P 2 x = P x joten P xp = P P P x P P P = P = P = P pn. Näin saadaan ryhmän G kertaluku muodostettua erillisten kaksoissivuluokkien summana. G = x N(P ) P xp + x/ N(P ) P xp Huomaa, että kun x N(P ) niin x N(P ) P xp = x N(P ) P x. Koska laskemme yhteen erillisiä oikeanpuoleisia sivuluokkia, niin x N(P ) P x = n P x, missä n on sivuluokkien lukumäärä. Nyt P N(P ) ja Lagrangen lauseesta (lause 1.16) saadaan, että N(P ) = n P = n P x. Yhdistämällä nämä tiedot, saadaan x N(P ) P xp = x N(P ) P x = N(P ). Summasta x/ N(P ) P xp tiedetään sen olevan jaollinen luvulla pn+1. Näin ollen x/ N(P ) P xp = pn+1 u eli G = N(P ) + p n+1 u, joten G N(P ) = 1 + pn+1 u N(P ). Koska normalisoijat ovat aliryhmiä, niin pätee, että N(P ) G, joten pn+1 u N(P ) on kokonaisluku. Sylowin p-aliryhmien määritelmän nojalla P = p n ja G = p n a, näin ollen p n+1 G ja p n+1 N(P ) G. Tällöin pätee, että 23
25 N(P ) p pn+1 u eli pn+1 u = pk joten G N(P ) N(P ) nojalla [G : N(P )] antaa Sylowin p-aliryhmien lukumäärän. = 1 + pk. Sylowin 2. lauseen (lause 4.3) 5 Aputulokset Sylowin lauseiden sovelluksiin Alle on koottu aputuloksia, joita tarvitaan Sylowin lauseiden käytännön soveltamiseen. Tarvittavat aputulokset on laitettu tähän eikä esitietoihin, koska on hyvä, jos lukijalla on jo käsitys Sylowin p-aliryhmistä. Lause 5.1. Olkoon G ryhmä ja N < G, [G : N] = n, missä n on sivuluokkien lukumäärä. Tällöin G = n i=1 g in. Nyt kuvaus ( ) gi N f : G S n, f(g) = gg i N on homomorsmi ja f(g) S n sekä Ker(f) = g G N g. Todistus. Jos x 1, x 2 G, niin ( ) ( ) g 1 N...g n N g 1 N...g n N f(x 1 x 2 ) = = = f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 g 1 N...x 1 x 2 g n N x 1 (x 2 g 1 N)...x 1 (x 2 g n N) joten kuvaus f on homomorsmi. Lisäksi Ker(f) = {x G f(x) = e S n } = {x G xg 1 N = g 1 N,..., xg n N = g n N} = {x G xg i N = g i N i {1,..., n}} = {x G g 1 i xg i N = N i {1,..., n}} = {x G g 1 i xg i N i {1,..., n}} = {x G x g i Ng 1 i i {1,..., n}} n = {x G x N g 1 i i {1,..., n}} = N g 1 i. Huomaa, että G = n i=1 g in ja jos g G, niin on olemassa sellainen i, että g g i N, joten g = g i n, n N siis g 1 = (g i n) 1 = n 1 g 1 i eli N g 1 = N n 1 g 1 i = N g 1 i i=1 ja n i=1 N g 1 i = g G N g 1 = g G N g. Lause 5.2. Olkoon p alkuluku, G = p a n ja N(p a ) kertalukua p a olevien aliryhmien lukumäärä ryhmässä G. Tällöin N(p a ) 1(mod p) eli N(p a ) 1. 24
26 Todistus. Olkoon = M G ja Ω = {M M G, M = p a }. Kuvaus f : G S Ω, f(g) = ( M gm), M Ω on homomorsmi ja Ker(f) = {1}. Siis G/Ker(f) = G = f(g) S Ω ja ryhmää G voidaan tarkastella astetta Ω olevana permutaatioryhmänä. Nyt Ω jakautuu ratoihin T i ja Ω = T i. 1. Jos H G ja H = p a, niin H Ω. Jos H T missä T on rata, niin T = {gh g G} eli vasemmanpuoleinen sivuluokka ja Lagrangen lauseesta 1.16 T = [G : H] = G H = pa n p a = n. 2. Olkoon T rata ja T = n. Jos M T, niin T = [G : H] = G H, missä U = {g G gm = M}. Nyt U = p a ja UM = M siis Um = M. Eli M T joten m 1 M T siis m 1 Um T eli U m T, siis aliryhmä U m on radan T alkio ja U m = p a. Kohdista 1.) ja 2.) saadaan, että kaikki kertalukua H = p a olevat aliryhmät ovat radalla T ja samoin aliryhmän H konjugaatit ovat tällä radalla. Myös jokaista joukkoa M T kohti on olemassa radalle T kuuluva aliryhmä U = p a. Olkoon N(p a ) = (ehdon T = n toteuttavien ratojen lukumäärä). Entä jos T n? 3. Olkoon T sellainen rata, että T n. Jos M T, niin T = [G : U] missä U = {g G gm = M}. Siis UM = M jolloin M = s i=1 Ug i missä g i M ja s 2. Koska M = p a = U s josta U = p b, b < a. Täten T = [G : U] = np a b 0 (pn). 4. Nyt Ω = ( p a n p a ) = Ti T =n T (pn) eli Ω N(pa )n (pn). Luku Ω ei ole riippuvainen ryhmän G rakenteesta. Jos G on syklinen ja G = p a n, niin N(p a ) = 1. Saadaan siis kongruenssi Ω n (pn). Täten N(p a )n n (pn) ja N(p a )n 1 (p). 25
27 Lause 5.3. Olkoon ryhmä G kertalukua G = p l ja {e} < N G. Tällöin N Z(G) > 1. Todistus. Olkoon N = p n, missä 1 n < l. Olkoon x N, jolloin g 1 xg N kaikilla g G. Eli x g N kaikilla g G. Siis N = s i=1 K i, missä K i on konjugointiluokka. Voidaan olettaa, että K 1 = {e}. Jos x i K i, niin K i = [G : C G (x i )] = G C G (x i = p n. Siis N = p n = 1 + s ) i=2 pn i. Jos p n i > 1 kaikille i {2,...s}, niin p n = 1 + kp joten p 1. Tämä on ristiriita, koska p on alkuluku. Näin ollen on olemassa j {2,...s} : p n j = 1 siis K j = 1. Olkoon K j = {x}. Nyt x e ja x g = x kaikilla g G eli g 1 xg = x kaikilla g G. Edelleen saadaan xg = gx kaikilla g G joten x Z(G). Siis e x N Z(G) > 1. Lemma 5.4. Olkoon ryhmä G kertalukua G = p 2. Tällöin ryhmä G on Abelin ryhmä. Todistus. Ryhmän G kertaluku on muotoa p k, joten lauseesta 5.3 seuraa, että Z(G) > 1 ja Z(G) = p tai Z(G) = p Jos Z(G) = p 2, niin Z(G) = G eli G on Abelin ryhmä. 2. Jos Z(G) = p, niin G = p eli G/Z(G) on syklinen ryhmä. Tällöin G/Z(G) = {gz(g) g G} = Z(G). Olkoon g 1, g 2 G. Z(G) Nyt g 1 Z(G) = a m Z(G) ja g 2 Z(G) = a n Z(G) jollain m, n Z. Valitaan e Z(G). Tällöin g 1 = g 1 e = a m z 1 ja g 2 = g 2 e = a n z 2, missä z 1 ja z 2 Z(G). Tällöin g 1 g 2 = a m z 1 a n z 2 = z 2 a m a n z 1 = z 2 a n+m z 1 = z 2 a n a m z 1 = a n z 2 a m z 1 = g 2 g 1 joten ryhmä G on Abelin ryhmä. Lemma 5.5. Olkoon U G ja N G. Tällöin N, U = NU = UN. Missä N, U pienin ryhmä johon joukko NU kuuluu. 26
28 Todistus. Koska N on normaalialiryhmä, niin un = Nu aina kun u N, joten UN = NU. Jos n 1 u 1 NU ja n 2 u 2 NU, niin n 1 u 1 (n 2 u 2 ) 1 = n 1 u 1 n 1 2 u 1 2 = n 1 u 1 n 1 2 u 2 1(u 1 u 1 2 ) 1 (u 1 u 1 2 ) NU. Tämä täyttää aliryhmyys kriteerin, joten NU G ja N, U = NU. Määritelmä 5.6. Jos ryhmällä G ei ole muita normaaleja aliryhmiä kuin {e} ja ryhmä G itse, niin ryhmä G on yksinkertainen ryhmä. 6 Sylowin lauseiden sovelluksia Sylowin lauseiden avulla pystytään tutkimaan äärellisten ryhmien rakenteita, millaisia aliryhmiä ne pitävät sisällään tai kuinka monta kyseisiä aliryhmiä on. Joissakin tapauksissa pystymme tutkimaan myös ryhmän syklisyyttä tai yksinkertaisuutta. Esimerkki 1 Olkoon ryhmä G kertalukua 24. Onko G yksinkertainen? Ratkaisu: G = eli ryhmässä G on Sylowin aliryhmät Sylow 2 (G) ja Sylow 3 (G). Merkitään näitä Sylowin aliryhmiä Q = 3 ja P = 2 3. Nyt P G ja [G : P ] = 3 eli on olemassa homomorsmi f : G S 3, Ker(f) = g G P g. Jos G on yksinkertainen, niin Ker(f) = {e}. Tällöin G/Ker(f) = G = f(g) S 3 eli G S3 joka tarkoittaa 24 3! eli Tämä ei pidä paikkaansa ja näin ollen Ker(f) {e} ja G ei ole yksinkertainen. Esimerkki 2 Olkoon G kertalukua oleva ryhmä. Onko G Abelin ryhmä? Ratkaisu: 27
29 Nyt G = = Eli on olemassa P := Sylow 11 (G) ja Q := Sylow 17 (G) ja ja N(11 2 ) 1 (11) N(11 2 ) = 1 N(11 2 ) 17 2 N(17 2 ) 1 (17) N(17 2 ) = 1. N(17 2 ) 11 2 Käytetään tietoa P G ja [G : P ] = Eli on olemassa homomorsmi f : G S 17 2 ja Ker(f) = g G P g. Nyt P = P g = 11 2, mutta N(11 2 ) = 1, joten P = P g eli P = P g = Ker(f) G. Näin ollen aina kun Sylowin aliryhmien lukumäärä on yksi, niin nämä ryhmät ovat normaaleja aliryhmiä. Lemmasta 5.4 saadaan, että ryhmät P ja Q ovat Abelin ryhmiä. Lemmasta 5.5 saadaan, että P Q G ja lemmasta 2.7 saadaan, että P Q P Q = P. Nyt P Q Q P ja P Q Q ja syt(11 2, 17 2 ) = 1, joten P Q = 1. Näin saadaan P Q = P Q P Q = = G. Eli P Q = G. Jos p P ja q Q, niin normaalisuuden takia p 1 q 1 p Q ja q 1 pq P. Näin ollen p 1 q 1 pq P Q = {e}. Eli p 1 q 1 pq = e joten pq = qp. Tästä seuraa, että ryhmä G on Abelin ryhmä. Esimerkki 3 Onko ryhmä G, G = 72 yksinkertainen? Ratkaisu: Oletetaan ryhmän G olevan yksinkertainen. Nyt G = Merkitään Sylowin ryhmiä seuraavasti, P := Sylow 3 (G) ja Q := Sylow 2 (G). N(2 3 ) 1(2) N(2 3 ) = 1, 3, 9 N(2 3 ) 9 N(3 2 ) 1(3) N(3 2 ) 8 N(3 2 ) = 1, 4 28
30 Riittää valita toinen Sylowin ryhmä tutkittavaksi. Valitaan nyt ryhmä P, koska sillä on vähemmän mahdollisia Sylowin ryhmän lukumääriä. 1. N(3 2 ) = 1. Esimerkistä 1 nähdään, että Sylowin 3-aliryhmä P G ja 1 < 9 = P eli ryhmä G ei ole yksinkertainen. 2. N(3 2 ) = 4 = [G : N G (P )]. Tällöin on olemassa homomorsmi f : G S 4 ja Ker(f) N G (P ) < G. Ryhmä G on yksinkertainen, joten Ker(f) = {e} ja G = G/{e} = G/Ker(f) = Im(f) S 4. Näin ollen pitää olla, että G S4 eli Tämä on ristiriita ja siis ryhmä G ei ole yksinkertainen. 29
31 Lähdeluettelo [1] I.N. Herstein: Abstract Algebra- 3rd edition. Prentice-Hall, New Jersey, 1990 [2] I.N. Herstein: Topics in Algebra- 2nd edition. John Wiley & Sons, New York, 1975 [3] M. Niemenmaa: Ryhmäteoria-luentomateriaali. Toimittanut luentojen pohjalta Jukka Kauppi, Oulun yliopiston matemaattisten tieteiden laitos 2009 [4] M. Niemenmaa: Algebra II-luentomateriaali. Toimittanut luentojen pohjalta Jukka Kauppi, Oulun yliopiston matemaattisten tieteiden laitos
Eräitä ratkeavuustarkasteluja
Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................
LisätiedotTIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta
Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala
LisätiedotRatkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä
Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................
LisätiedotTekijäryhmät ja homomorsmit
Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
LisätiedotTransversaalit ja hajoamisaliryhmät
Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,
LisätiedotLaitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotSyklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016
Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
Lisätiedot1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä
LUKUTEORIAA 1 Jakajat ja jäännökset Luonnollisten lukujen joukko N = { 0, 1, 2, 3,... } on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä Z + = {1,
LisätiedotLineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016
Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................
LisätiedotRyhmän P SL(2, K) yksinkertaisuus
Ryhmän P SL(2, K) yksinkertaisuus Pro gradu -tutkielma Antti Eronen 2187183 Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteitä ja tarpeellisia lauseita 3 11
LisätiedotSylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa
Sylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa Jenna Johansson 21. marraskuuta 2018 Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Merkintöjä: N Luonnollisten
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotLuupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014
Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 3 1.1 Kuvauksista............................ 3 1.2 Relaatioista............................
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
LisätiedotFrobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä
Frobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä Pro Gradu-tutkielma Mikko Korhonen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perustuloksia 4 2.1 Lukuteoriaa............................
LisätiedotALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA
ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja
Lisätiedot800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
LisätiedotSymmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuus ja ratkeavuus
Symmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuus ja ratkeavuus Pro gradu Tuomo Holma 2379771 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Permutaatiot 3 2 Ryhmistä
LisätiedotAlgebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
LisätiedotLuuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006
Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotPermutaatioista alternoivaan ryhmään
Permutaatioista alternoivaan ryhmään Pro Gradu-tutkielma Sini-Susanna Fetula Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 3 Permutaatioista. 6 3.1 Symmetrinen
LisätiedotFermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma
Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotJohdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
Lisätiedot1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotH = H(12) = {id, (12)},
7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
LisätiedotDISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.
Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
LisätiedotLUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN
LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
LisätiedotLukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin
Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotLUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia
LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Matti
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotLineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
LisätiedotÄärettömistä joukoista
Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotAvainsanat Nyckelord Keywords algebra, rengas, moduli, Noether, nouseva ketju, äärellisviritteinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Vesa
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
3.5. Sisäiset symmetriat. Kuution väritysesimerkissä 3.14 tarkasteltiin yksittäisten alkioiden sijaan niiden konjugaattiluokkia ja todettiin, että konjugaattiluokkia vastaavat luonnollisella tavalla erityyppiset
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotAlternoivien ryhmien ominaisuuksista
Alternoivien ryhmien ominaisuuksista Pro gradu -tutkielma Anssi Aska 2257068 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Ryhmä ja aliryhmä........................
LisätiedotSurjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.
5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella
Lisätiedot5.6 Yhdistetty kuvaus
5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Matti
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotJohdatus p-adisiin lukuihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotPrimitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Marko Leinonen Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2018 1 Merkintöjä ja määritelmiä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko ja kokonaislukujen
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
Lisätiedot