Cauchyn ja Sylowin lauseista

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Cauchyn ja Sylowin lauseista"

Transkriptio

1 Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014

2 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet Funktion käsitteitä Lukuteorian alkeita Joukot ja ryhmät Ekvivalenssirelaatio Binäärinen operaatio Ryhmähomomorsmi Ryhmäteoriaa Aputulokset Aputulokset Cauchyn lauseelle Aputulokset Sylowin 1. lauseelle Aputulokset Sylowin 2. lauseelle Cauchyn lause 19 4 Sylowin lauseet 20 5 Aputulokset Sylowin lauseiden sovelluksiin 24 6 Sylowin lauseiden sovelluksia 27 Lähdeluettelo 30 1

3 Johdanto Pro-gradu tutkielmassa on käytetty pääasiassa teoksia [1], [2] ja [3]. Cauchyn lause ja Sylowin 1. lause on otettu kirjasta [1], Sylowin 2. ja 3.-lause teoksesta [3] ja lopulta Sylowin 4.-lause on kirjasta [2]. Tutkielmassa käsitellään Cauchyn lausetta ja Sylowin lauseita. Molempien matemaatikkojen lauseet ovat tehokkaita työvälineitä äärellisten ryhmien rakenteiden tutkimiseen. Nämä lauseet ovat teholtaan rajallisia, toisin sanoen tutkittaessa äärellisiä ryhmiä tulee vastaan tapauksia, joista ei pystytä antamaan tarkempia tuloksia rajaamatta ensin alkuoletuksia. Tästä huolimatta lauseet ovat hyvinkin tehokkaita ja käteviä, kun tutkitaan ryhmien yksinkertaisuutta tai sen sisältämiä aliryhmiä. Tutkielma on jaettu osioihin, joiden järjestyksen toivotaan helpottavan lukijan tutustumista asiaan. Peruslauseet ja määritelmät on koottu peruskäsitteet otsikon alle. Nämä määritelmät ja lauseet on jaoteltu aihepiireittäin helpommasta vaikeampaan lukemisen helpottamiseksi. Alaotsikoiden alle on kerätty vain ne määritelmät ja lauseet, joita lukija tarvitsee Pro gradututkielman ymmärtämisessä. Aputuloksia käsittelevään osioon on kerätty monimutkaisempia lauseita, joita tarvitaan suoraan Cauchyn ja Sylowin lauseiden todistamiseen. Erottelun peruskäsitteiden ja aputuloksien välillä voi ilmaista niin, että matematiikkaa lukeneen voi olettaa tuntevan ainakin osan peruskäsitteistä ennestään. Sen sijaan aputuloksissa olevat lauseet ja määritelmät ovat monimutkaisempaa matematiikkaa, jota tuskin on tullut asiaan perehtymättömälle vastaan. Cauchyn ja Sylowin lauseet käsitellään omissa erotetuissa osioissaan. Niiden jälkeen on kaksi Sylowin lauseiden soveltamiseen liittyvää osiota. Ennen kuin näytetään, miten Sylowin lauseita voi soveltaa äärellisille ryhmille, käydään läpi tuloksia, joita tarvitaan näihin sovelluksiin. Kyseisiä lauseita ei niiden 'raskaudesta' huolimatta tarvita Sylowin lauseiden todistamiseen mutta 2

4 niiden käsittelyssä on hyvä tietää jo Sylowin lauseiden teoriaa. 3

5 1 Peruskäsitteet Tähän kappaleeseen on koottu määritelmät ja lauseet, joita käytetään osittain Cauchyn ja Sylowin lauseiden käsittelyyn. Kootut määritelmät ovat hyvin peruskäsitteitä, niinpä matematiikkaa taitava lukija voi hypätä tämän kappaleen ylitse. 1.1 Funktion käsitteitä Määritelmä 1.1. Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen lähtöjoukon A alkioon x yksikäsitteisesti jonkin maalijoukon B alkion y. Määritelmä 1.2. Funktiota f : A B sanotaan surjektioksi jos pätee, että f(a) = B. Toisin sanoen funktion koko maalijoukko saadaan lähtöjoukon alkioiden kuvana. Määritelmä 1.3. Funktiota f : A B sanotaan injektioksi jos pätee, että kun x 1 x 2, niin f(x 1 ) f(x 2 ). Toisin sanoen jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu yksikäsitteisesti omaksi maalijoukon alkiokseen. Määritelmä 1.4. Funktiota f : A B sanotaan bijektioksi, kun se on sekä injektio että surjektio. Bijektiivinen funktio on siis yksi yhteen kuvaus, jonka lähtöjoukon kuva kattaa koko maalijoukon ja jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu omalle maalijoukon alkiolleen. 1.2 Lukuteorian alkeita Lause 1.5. Olkoon a, b Z ja b 0. Tällöin on olemassa sellaiset yksikäsitteisesti määrätyt kokonaisluvut q ja r, joille a = qb + r, missä 0 r < b. Todistus. 1. Olkoon b > 0. Tarkastellaan joukkoa S = {a kb k Z ja a kb 0}. Selvästi joukossa S on pienin alkio, olkoon tämä alkio r. Koska r S, niin on olemassa q Z jolla r = a qb. Tällöin a = qb + r. Olkoon nyt r b. Tällöin r b 0 ja r b = a qb b = a (q + 1)b S. Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että r on joukon S pienin alkio, mutta r b < r. Näin ollen 0 r < b. 4

6 2. Olkoon b < 0. Tällöin b > 0 ja kohdan 1 nojalla on olemassa q, r Z, joilla a = q( b) + r ja 0 r < b. Näin ollen on olemassa q, r Z joilla a = qb + r ja 0 r < b. 3. Tutkitaan onko esitys a = qb + r yksikäsitteinen. Olkoon nyt a = qb + r missä q, r Z ja 0 r < b merkitään vastaavasti a = q b + r missä q, r Z ja 0 r < b. Tällöin 0 = a a = qb + r (q b + r ) eli 0 = (q q )b + r r siten r r = (q q )b. Tarkastellaan lukua r r. Nyt r r < b. Tämä on selvää kun lukija sijoittaa luvut r ja r lukusuoralle. Olkoon nyt q q. Tällöin q q 1 ja r r = (q q )b = q q b b. Tämä on ristiriita, koska r r b ja näin ollen on oltava, että q = q ja myös r = r. Näin saadaan, että esitys a = qb + r on yksikäsitteinen. Lause 1.6. olkoon a, b Z ja luvuista ainakin toinen on eri kuin nolla. Tällöin lukujen suurin yhteinen tekijä syt(a, b) on olemassa. Lisäksi on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että ax + by = syt(a, b) Todistus. Tarkastellaan joukkoa S = {au + bv u, v Z ja au + bv > 0}. Selvästi joukko S on epätyhjä ja sillä on pienin alkio, olkoon tämä pienin alkio t. Koska t S, niin on olemassa alkiot x, y Z siten, että t = ax + by. Osoitetaan nyt, että alkio t = syt(a, b). 1. Lauseesta 1.5 saadaan, että kokonaisluku a voidaan lausua muodossa a = qt + r, 0 r < t ja q, r Z. Olkoon r > 0. Nyt r = a qt, sijoitetaan tähän t = ax + by ja saadaan r = a(1 qx) + b( qy) S. Näin ollen r S ja r < t. Tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa, että t on joukon S pienin alkio. Näin ollen r = 0. Tästä saadaan, että a = qt ja t a. 2. Lauseesta 1.5 saadaan, että kokonaisluku b voidaan lausua muodossa b = qt + r, 0 r < t ja q, r Z. Olkoon r > 0. Nyt r = b qt, 5

7 sijoitetaan tähän t = ax + by ja saadaan r = b(1 qy) + a( qx) S. Näin ollen r S ja r < t. Tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa, että t on joukon S pienin alkio. Näin ollen r = 0. Tästä saadaan, että b = qt ja t b. Olkoon c kokonaisluku, joka jakaa luvut a ja b. Tällöin c ax ja c by. Näin ollen pätee myös, että c (ax + by) eli c t. Näin saadaan, että mikä tahansa kokonaisluku c, joka jakaa molemmat luvut a ja b jakaa myös luvun t. Tästä saadaan, että t = syt(a, b). 1.3 Joukot ja ryhmät Ekvivalenssirelaatio Määritelmä 1.7. Joukon S relaatio on ekvivalenssirelaatio mikäli 1. x x aina, kun x S 2. jos x y, niin y x aina, kun x, y S 3. jos x y ja y z, niin x z aina, kun x, y, z S. Jos on ekvivalenssirelaatio ja s S, niin joukkoa [s] = {x S x s} sanotaan alkion s määräämäksi ekvivalenssiluokaksi. Lause 1.8. Jos on ekvivalenssirelaatio ja a b, niin [a] = [b]. Todistus. Olkoon x [a]. Tällöin x a ja koska a b, niin x b. Näin ollen x [b] eli [a] [b]. Olkoon y [b] ja tällöin y b. Ekvivalenssirelaation määritelmästä 1.7 saadaan, että kun a b, niin b a. Eli y a ja näin ollen y [a] eli [b] [a]. Näin saadaan, että [a] = [b]. Lause 1.9. Olkoon joukon S ekvivalenssirelaatio. Tällöin kaikkien ekvivalenssiluokkien yhdiste on koko joukko S. Lisäksi kun [a] [b], niin [a] [b] =. 6

8 Todistus. Jos s S, niin s s eli s [s] ja siten s S [s] = S. Seuraavaksi osoitetaan, että ekvivalenssiluokat joko sisältävät kaikki samat alkiot tai eivät yhtään samaa alkiota. Olkoon x [a] [b]. Tällöin x a ja x b ja näin ollen ekvivalenssirelaation määritelmän1.7 nojalla a b ja lauseesta 1.8, että [a] = [b]. Tästä saadaan, että jos [a] [b], niin [a] [b] = Binäärinen operaatio Määritelmä Olkoon S ei-tyhjä joukko. Kuvaus : S S S, (a, b) a b on joukon S binäärinen operaatio (eli a b S aina, kun a, b S). Määritelmä Olkoot G ja ( ) joukon G binäärinen operaatio. Pari (G, ) on ryhmä, mikäli seuraavat kolme ehtoa toteutuvat. 1. ( ) on assosiatiivinen eli (a b) c = a (b c) aina, kun a, b, c G. 2. Joukossa G on sellainen alkio e, että a e = e a = a aina, kun a G. Tätä alkiota e kutsutaan neutraalialkioksi tai ykkösalkioksi. 3. Aina, kun a G, on olemassa sellainen alkio a 1 G, että a a 1 = a 1 a = e. Tätä alkiota a 1 kutsutaan alkion a käänteisalkioksi. Huomautus Oletetaan, että ryhmälle G pätee, että a b = b a kaikilla a, b G. Tällöin operaatio on kommutatiivinen ja ryhmää sanotaan Abelin ryhmäksi. 7

9 Määritelmä Olkoon (G, ) ryhmä ja H G, H. Jos (H, ) on ryhmä, sitä sanotaan ryhmän (G, ) aliryhmäksi. Merkitään (H, ) (G, ) tai lyhyemmin merkittynä H G. Lause Aliryhmäkriteeri Olkoon G ryhmä ja H G, H. Nyt H G jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1. Olkoon a, b H, jolloin saadaan, että ab H. 2. Olkoon a H. Tällöin a 1 H. Todistus. 1. Olkoon H G. Tällöin molemmat ehdot toteutuvat, koska aliryhmät ovat myös ryhmiä. 2. Olkoot ehdot 1 (a, b H, jolloin saadaan, että ab H) ja 2 (a H, josta a 1 H) voimassa. Tiedetään jo, että H G. Riittää siis osoittaa, että H on ryhmä. (a) Ehdosta 1 saadaan, että kyseessä on binäärinen operaatio. Toisin sanoen operaatio pitää kaikki joukon H alkiot joukon H sisällä. (b) Assosiatiivisuus seuraa, kun muistetaan, että G on ryhmä ja H G. Näin ollen operaatio on assosiatiivinen joukossa G ja sitä se on silloin myös joukossa H. (c) Ehdosta 2 saadaan, että käänteisalkio kuuluu aina joukkoon H. Eli kaikilla a H pätee, että a 1 H. Näin ollen aa 1 H ja aa 1 = e H. Näin ollen joukko H on ryhmä ja myös H G. Määritelmä Olkoon H G ja a G. Joukkoa ah = {ah h H} sanotaan alkion a määräämäksi aliryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi. Lause Olkoon G ryhmä ja H G. Tällöin joukossa G määritelty relaatio a b, b 1 a H on ekvivalenssirelaatio. Jos a G, niin alkion a määräämä ekvivalenssiluokka on ah, eli [a] = ah. 8

10 Todistus. Todistetaan, että relaatio täyttää ekvivalenssirelaation kriteerit. 1. Nyt a a kaikilla a G, sillä a 1 a = e H. 2. Olkoon a b, eli b 1 a H. Tällöin (b 1 a) 1 H, mistä a 1 b H ja saadaan, että b a. 3. Olkoon a b ja b c joista saadaan, että b 1 a, c 1 b H. Näin ollen c 1 b b 1 a H, eli c 1 a H ja a c. Ekvivalenssirelaation kriteerit täyttyvät, joten valittu relaatio on ekvivalenssirelaatio. Todistetaan vielä, että [a] = ah. Nyt [a] = {x G x a}, josta [a] = {x G a 1 x H}, eli [a] = {x G a 1 x = h, h H}, siis [a] = {x G x = ah, h H}, mistä edelleen [a] = {x G x ah} ja lopuksi [a] = ah. Lause (Lagrangen lause) Olkoon G äärellinen ryhmä, H G ja n aliryhmän H vasempien sivuluokkien lukumäärä ryhmässä G. Tällöin G = n H. Toisin sanoen äärellisessä ryhmässä aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun. Todistus. Olkoot ryhmän H vasemmanpuoleiset sivuluokat seuraavat a 1 H, a 2 H,..., a n H. Lauseesta 1.15 saadaan, että sivuluokat ovat erään relaation ekvivalenssiluokkia. Lauseesta 1.9 saadaan, että ryhmä G voidaan muodostaa näiden ekvivalenssiluokkien unionina. Eli G = n k=1 a kh ja a 1 H a j H =, 2 j n. Nyt a j H = H, josta saadaan, että G = n H. Määritelmä Olkoon N G, missä G on ryhmä. Aliryhmää N sanotaan normaali aliryhmäksi, mikäli an = Na aina, kun a G. Merkitään tätä N G. 9

11 Olkoon G ryhmä ja a G. Tarkastellaan joukkoa H = {a k k Z}, joka on joukon G osajoukko. Olkoon nyt x, y H, eli x = a m ja y = a s, joillakin m, s Z. Tällöin pätee seuraavat: 1. xy = a m a s = a m s H, koska m s Z. 2. x H, joten x 1 = (a m ) 1 = a m H, missä m Z. Aliryhmäkriteerin nojalla joukko H on siis ryhmän G aliryhmä. Määritelmä Yllä määriteltyä ryhmää H sanotaan alkion a generoimaksi sykliseksi ryhmäksi ja sitä merkitään H = a, missä alkio a on generoija. Lause Olkoon ryhmän kertaluku alkuluku. Tällöin ryhmä on syklinen. Todistus. Lagrangen lauseen (lause 1.16) nojalla ryhmän G ainoat aliryhmät ovat {e} ja G. Olkoon alkio a G, jolle a G. Tällöin alkion a generoima syklinen ryhmä a on ryhmän G aliryhmä. Nyt a {e}, joten ainoa mahdollisuus on, että a = G. Tällöin ryhmä G on syklinen Ryhmähomomorsmi Määritelmä Olkoot (G, ) ja (H, ) ryhmiä. Kuvausta f : G H sanotaan ryhmähomomorsmiksi ryhmältä G ryhmälle H, mikäli f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Lause Olkoon f : G H homomorsmi ja olkoot e G ja e H ryhmien G ja H neutraalialkioita. Tällöin f(e G ) = e H ja f(a 1 ) = (f(a)) 1 aina, kun a G. 10

12 Todistus. Nyt f(e G ) f(e G ) = f(e G e G ) = f(e G ) = f(e G ) e H. Siis f(e G ) f(e G ) = f(e G ) e H. Operoidaan molemmat puolet vasemmalta alkiolla f(e G ) 1 ja saadaan Tästä saadaan myös, että f(e G ) = e H. ja f(a 1 ) f(a) = f(a 1 a) = f(e G ) = e H f(a) f(a 1 ) = f(a a 1 ) = f(e G ) = e H eli f(a) 1 = f(a 1 ). Määritelmä Olkoon f : G H homomorsmi. Joukkoa Im(f) = f(g) = {f(x) x G} sanotaan homomorsmin f kuvaksi ja joukkoa Ker(f) = {x G f(x) = e H } sanotaan homomorsmin f ytimeksi. Määritelmä Ryhmät (G, ) ja (H, ) ovat isomorset eli rakenneyhtäläiset, mikäli on olemassa bijektio f : G H, joka toteuttaa ehdon f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Voidaan myös sanoa, että funktio f on bijektiivinen homomorsmi. Tällöin merkitään G = H ja sanotaan, että f on ryhmäisomorsmi. 11

13 Lause Olkoon f : G H homomorsmi. Tällöin G/Ker(f) = Im(f). Todistus. Merkitään Ker(f) = K. Määritellään kuvaus F : G/K Im(f) niin, että F (ak) = f(a) kaikilla a G. 1. Onko kuvaus F hyvin määritelty? Toisin sanoen tutkitaan, onko F riippumaton sivuluokan määrääjän a valinnasta. Olkoon a G sellainen, että a K = ak. Tällöin a ak, josta saadaan a = ak, k K. Nyt F (a K) = f(a ) = f(ak) = f(a) f(k), missä k K = Ker(f) = e H. Näin saadaan F (a K) = f(a) e H = f(a) = F (ak). Näin ollen kuvaus F on hyvin määritelty. 2. Onko kuvaus F bijektio? Pelkästään kuvauksen F määritelmästä F : G/Ker(f) Im(f) johtuen on kuvaus F surjektio (Im(f) = f(g/ker(f))). Tutkitaan injektiivisyyttä. Olkoon F (ak) = F (bk). Tällöin f(a) = f(b), josta saadaan f(b) 1 f(a) = e H, siis f(b 1 ) f(a) = e H, edelleen f(b 1 a) = e H. Nyt b 1 a K = ek, eli b 1 ak = ek, edelleen b 1 K ak = ek ja ak = bk. Näin ollen kuvaus F on bijektio. 3. tutkitaan kuvauksen F homomorsuutta. Olkoon ak, bk G/K. Tällöin F (ak bk) = F (abk) = f(ab) = f(a) f(b) = F (ak) F (bk). Näin ollen F : G/K Im(f) on isomorsmi eli G/K = Im(f) Ryhmäteoriaa Määritelmä Permutaatioryhmän G radat määritellään seuraavasti. Olkoon X = 1, 2,..., n joukko. Ryhmän S X aliryhmää G sanotaan astetta n olevaksi permutaatioryhmäksi. Määritellään joukossa X seuraavanlainen ekvivalenssirelaatio : i j jos ja vain jos on olemassa g G : g(i) = j. 12

14 Näin ollen joukko X jakaantuu pistevieraisiin ekvivalenssiluokkiin T 1,..., T r. Näitä ekvivalenssiluokkia sanotaan permutaatioryhmän G radoiksi. Määritelmä Olkoot a ja g ryhmän G alkioita. Alkio g a = a 1 ga on alkion g konjugaatti ryhmässä G. Olkoon = M G joukko, missä M g = {m g m M} Käytetään tätä joukkoa M ryhmän G normalisoijan määrittelyssä. Määritelmä Olkoon M G. Tällöin joukko N G (M) = {g G M g = M} on joukon M normalisoija ryhmässä G. Määritelmä Olkoon M G. Tällöin joukko C G (M) = {g G gm = mg m M} on joukon M sentralisoija ryhmässä G. Huomaa, että on alkion x sentralisoija ryhmässä G. C G (x) = {g G gx = xg g G} Lause Olkoon M G. Tällöin joukon M konjugaattien lukumäärä on [G : N G (M)]. Todistus. Muodostetaan yksi yhteen vastaavuus konjugointiluokkien ja sivuluokkien välille. Tiedetään jo, että sivuluokkien gh lukumäärä on G H Olkoon tämä vastaavuus f : tn G (M) M t 1. Riittää osoittaa, että f on bijektiivinen kuvaus. Onko f kuvaus? Nyt tn G (M) = sn G (M) joten t sn G (M) eli t = sn, n N G (M) ja lopulta t 1 = n 1 s 1. Tällöin M t 1 = M n 1 s 1 = (M n 1 ) s 1 = M s 1 Surjektiivisyys: M g = f(g 1 N G (M)) f on surjektio. 13 eli f on kuvaus.

15 Injektiivisyys: f(tn G (M)) = f(sn G (M)) siis M t 1 = M s 1 eli (M t 1 ) s = (M s 1 ) s. Tästä seuraa edelleen M t 1s = M joten t 1 s N G (M) ja t 1 sn G (M) = N G (M) mistä sn G (M) = tn G (M) eli f on injektio. 2 Aputulokset Tähän kappaleeseen on koottu tietoja, joita tarvitaan Cauchyn lauseen ja Sylowin lauseiden todistusten käsittelyyn. Lukija voi itse valita lukeeko ensin aputulokset vai palaako takaisin tarkistamaan tarvitsemansa tiedot. Aputulokset on jaettu omien aliotsikoidensa alle. Näin Cauchyn lauseeseen ja eri Sylowin lauseisiin tarvittavat esitiedot ovat selkeästi esillä omina osastoinaan. Jos kuitenkin samoja esitietoja hyödynnetään kahdessa eri lauseessa, niin ne löytyvät sen otsikon alta, jossa niitä ensimmäisenä käytettiin. Sylowin lauseiden käytännönsovelluksiin tarvitaan vielä lisää lauseita. Nämä sovelluksien apulauseet ovat erillisenä osiona kahdesta syystä. Niitä ei tarvita itse Sylowin lauseiden todistusten käsittelyyn. Lukijan on myös helpompi erottaa näin mitkä tiedot kuuluvat mihinkin kokonaisuuteen. 2.1 Aputulokset Cauchyn lauseelle Seuraavia lauseita tarvitaan Cauchyn lauseen todistuksen käsittelyyn. Olkoon S joukko ja A(S) = {f : S S f = bijektio}. Määritellään joukossa S ekvivalenssirelaatio seuraavasti jos s t, niin on olemassa f A(S) : f(s) = t Lauseesta 1.9 saadaan, että joukko S voidaan muodostaa ekvivalenssiluokkien tai ratojen avulla. 14

16 Lemma 2.1. Olkoon f A(S) ja f = p, missä p on alkuluku. Tällöin kaikkien joukon S alkioiden radat kuvauksessa f sisältävät yhden tai p kappaletta alkioita. Todistus. Olkoon s S. Jos f(s) = s, niin silloin alkion s määräämä rata koostuu vain alkiosta s. Oletetaan nyt, että f(s) s, tällöin alkion s määräämä rata pitää sisällään enimmillään alkiot s, f(s), f 2 (s),..., f p 1 (s). Tässä alkioita on enimmillään p kappaletta, koska alkuoletuksessa f = p, joten f p (s) = s aina. Tutkitaan ovatko nämä kaikki alkiot f k (s) erillisiä alkion s radan alkioita kuvaajassa f. Muussa tapauksessa löytyy f k (s) = f j (s) jollakin 0 k < j p 1. Tästä saadaan, että f j k (s) = s. Merkitään m = j k jolloin 0 < m p 1 ja f m (s) = s. Huomaa, että f p (s) = s ja p m p 1. Nyt p, m Z joten lauseen1.6 mukaan on olemassa a, b Z siten, että ap + bm = syt(p, m) = 1, eli f 1 (s) = f ap+bm (s) = f ap (f bm (s)) = f ap (s) = s. Tämä on ristiriidassa oletuksen f(s) s kanssa. Ristiriita syntyi oletuksesta, että alkiot s, f(s), f 2 (s),..., f p 1 (s) eivät ole erillisiä, näin ollen alkiot ovat erillisiä. 2.2 Aputulokset Sylowin 1. lauseelle Lemma 2.2. Olkoon G ryhmä. Tällöin kaikilla a G pätee C(a) = {x G xa = ax} G. Tässä C(a) on alkion a sentralisoija ryhmässä G. Lause 2.3. Olkoon G äärellinen ryhmä ja a G. Silloin alkion a konjugointiluokassa on G C(a) erillistä alkiota. Todistus. Milloin konjugaatit ovat samoja? Toisin sanoen, milloin x 1 ax = y 1 ay. Tämä voidaan saattaa muotoon a(xy 1 ) = (xy 1 )a. Näin ollen xy 1 C(a) eli x C(a)y. Jotta konjugaatit ovat samoja pitää alkioiden x ja y kuulua samaan sentralisoijan C(a) oikeanpuoleiseen sivuluokkaan. 15

17 Olkoot x ja y samassa sentralisoijan C(a) oikeanpuoleisessa sivuluokassa eli x C(a)y siis xy 1 C(a) josta xy 1 a = axy 1 edelleen x 1 ax = y 1 ay. Koska pyöritys pätee molempiin suuntiin, niin kaikki alkion a konjugaatit kuuluvat omaan sentralisoijan C(a) oikeanpuoleiseen sivuluokkaan ja äärelliselle ryhmälle G näiden sivuluokkien lukumäärä on G, mikä saatiin La- C(a) grangen lauseesta (lause 1.16). Merkitään nyt lauseen 2.3 alkion a konjugointiluokan kokoa i G (C(a)) = G C(a). Lause 2.4. Jos ryhmän G kertaluku on p n, missä p on alkuluku, niin Z(G) = {g G xg = gx x G} ei ole triviaali. Todistus. Hyödynnetään tietoa, että konjugointiluokat ovat ekvivalenssirelaatioita ryhmässä G. Näiden erillisten konjugointiluokkien unioni muodostaa ryhmän G eli G = a i G (C(a)) = a G C(a), C(a) = {x G xa = ax} Tässä a käy läpi yhden alkion erillisistä konjugointi luokista. Olkoon nyt z = Z(G), eli z on niiden alkioiden lukumäärä ryhmässä G, joiden konjugointiluokka sisältää vain yhden alkion. Koska e Z(G), niin z 1. Kaikille b / Z(G) pätee, että niiden konjugointiluokkaan kuuluu enemmän kuin yksi alkio ja C(b) < G. Lagrangen lauseen nojalla (lause1.16) C(b) G, joten C(b) = p k, missä 1 k < n. Käytetään tietoa, että konjugointiluokkien unioni muodostaa ryhmän G. p n = G = a G C(a) = z + a/ Z(G) G C(a) = z + p n p = z + p n k k k<n k<n Nyt p p n ja p k<n pn k eli p z ja koska z 1 niin z p. Näin ollen on olemassa sellainen a e, että a Z(G) 16

18 Lause 2.5. Olkoon kuvaus f : G G homomorsmi, jonka ydin on Ker(f) = K. Olkoon H G ja H = {a G f(a) H }. Tällöin H G, H K ja H/K = H. Myös jos H G, niin H G. Todistus. Tutkitaan onko H ryhmän G aliryhmä. Nyt H koska e H. Olkoon a, b H, jolloin f(a), f(b) H joten f(ab) = f(a)f(b) H koska H on aliryhmä. Näin ollen ab H ja H on suljettu. Jos a H, niin f(a) H, joten f(a 1 ) = (f(a)) 1 H eli a 1 H siis H on ryhmän G aliryhmä. Ytimen määritelmän Ker(f) = {x G f(x) = e } nojalla f(k) = {e } H missä e on ryhmän G ykkösalkio. Näin ollen koska f(k) H, niin K H. Koska K G ja K H, niin K H. Homomor- smien peruslauseesta (lause1.24) saadaan H/K = H. Lopulta, jos H G ja jos a G, niin (f(a)) 1 H f(a) H eli f(a 1 Ha) = f(a 1 )f(h)f(a) = f(a 1 )H f(a) H. Siis a 1 Ha H eli H G. Lause 2.6. Jos G on kertalukua p n oleva ryhmä, missä p on alkuluku, niin silloin G sisältää normaalin aliryhmän kertalukua p n 1. Todistus. Todistetaan väite induktiolla. 1. alkuaskel: jos n = 1, niin G = p 1 = p ja p n 1 = p 1 1 = p 0 = 1 ja näin ollen N = {e} G täyttää ehdot. 2. Induktio-oletus: oletetaan, että jollekin k pätee, että kaikki ryhmät G, G = p k sisältävät normaalin aliryhmän kertalukua p k 1 3. Induktioaskel: Olkoon ryhmän G kertaluku p k+1. Lauseen 2.4 mukaan on olemassa sellainen alkio a Z(G), että a = p. Näin ollen alkion a generoima aliryhmä A = a on kertalukua p ja normaali ryhmässä G. Olkoon Γ = G/A. Tällöin Γ = G / A = pk+1 = p k. Induktiooletuksen nojalla ryhmällä Γ on normaali aliryhmä M, M = p k 1 p. 17

19 Tarkastellaan homomorstakuvausta f : G Γ. Lauseen 2.5 mukaisesti on olemassa sellainen N G, A N, että N/A = M. Tällöin joten p k 1 = M = N/A = N A N = p k 2.3 Aputulokset Sylowin 2. lauseelle Lemma 2.7. Olkoon G äärellinen ryhmä ja A, B G. Tällöin AB = A B A B. Todistus. Tuloja ab on A B kappaletta, mutta osa tuloista on keskenään identtisiä. Määritellään joukossa A B (karteesinen tulo) relaatio seuraavasti: (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) jolloin a 1 b 1 kyseessä tosiaan on ekvivalenssirelaatio. = a 2 b 2. Lukija voi tarkistaa itse, että Vastaavien ekvivalenssiluokkien lukumäärä on AB. Osoitetaan, että jokaisessa ekvivalenssiluokassa on A B alkiota. Olkoot a A ja b B mielivaltaisia ja olkoon E se ekvivalenssiluokka johon (a, b) kuuluu. Osoitetaan, että E = {(ax 1, xb) x A B}. Selvästi ax 1 A ja xb B ja ax 1 xb = ab E. Näin ollen {(ax 1, xb) x A B} E. Olkoon (c, d) E eli ab = cd. Tällöin c 1 a A, db 1 B ja c 1 a = db 1 A B. Merkitään x = c 1 a = db 1. Tällöin c = ax 1 ja d = xb eli E {(ax 1, xb) x A B} ja E = {(ax 1, xb) x A B} ja E = A B siten AB = A B A B Määritelmä 2.8. Olkoot A ja B ryhmän G aliryhmiä. Ryhmän G kaksoissivuluokka aliryhmien A ja B suhteen on joukko AgB = {agb a A, b B}. Lause 2.9. Jos AgB AhB, niin AgB = AhB. Jos G on äärellinen ryhmä, niin G = r i=1 Ag ib, Ag i B Ag k B =, j k ja r A B G =. A g i B i=1 18

20 Todistus. Jos AgB AhB, niin a 1 gb 1 = a 2 hb 2 eli g = a 1 1 a 2 hb 2 b 1 1, josta AgB = Aa 1 1 a 2 hb 2 b 1 1 B = AhB. Toisin sanoen, jos kaksoissivuluokilla on yksi sama alkio, niin kaikki alkiot ovat samoja. Kaksoissivuluokat muodostavat erillisiä ekvivalenssiluokkia, g h, g = a 1 1 a 2 hb 2 b 1 1, eli G = Ag i B. Jos ryhmä G on äärellinen, niin G = r i=1 Ag ib. Huomaa, että e A, B joten g = ege AgB Täten G = = r Ag i B = i=1 r A g i B = i=1 r i=1 i=1 g 1 i g i Ag i B = r A g i B = A g i B r i=1 r i=1 g 1 i Ag i B A B A g i B 3 Cauchyn lause Osoitetaan Cauchyn lauseen pitävän yleisesti paikkansa myös ei-abelin ryhmille. Lause 3.1. Jos p on alkuluku ja p jakaa ryhmän G kertaluvun G, niin G sisältää alkion, jonka kertaluku on p. Todistus. Oletetaan ensin, että p 2. Olkoon S nyt joukko joka pitää sisällään kaikki järjestetyt alkiot (a 1, a 2..., a p 1, a p ), missä a 1, a 2..., a p 1, a p G ja a 1 a 2...a p 1 a p = e. Kun mietitään monellako eri tavalla joukon S alkiot voidaan valita, niin huomataan, että a 1 voidaan valita kaikista ryhmän G alkioista. Näin ollen alkiolla a 1 on G = n eri mahdollisuutta, alkiolla a 2 on samat mahdollisuudet. Kaikilla alkioilla alkioon a p 1 asti on n mahdollisuutta. Näin ollen joukossa S on tähän mennessä n p 1 alkiota. Muistetaan ehto a 1 a 2...a p 1 a p = e, josta saadaan a p = (a 1 a 2...a p 1 ) 1. Viimeisellä alkiolla on vain yksi mahdollinen muoto, joten S = n p 1. Huomataan, että jos a 1 a 2...a p 1 a p = e, niin myös a p a 1 a 2...a p 1 = e. Näin ollen kuvaus f(a 1, a 2,..., a p 1, a p ) = (a p, a 1, a 2,..., a p 1 ) S joten f : S S. 19

21 Huomataan myös, että f e ja f p (a 1, a 2,..., a p 1, a p ) = (a 1, a 2,..., a p 1, a p ) eli f p = e ja kuvauksen f kertaluku on p. Jos alkion s S radalla kuvauksessa f on vain yksi alkio, niin silloin f(s) = s. Toisaalta, jos f(s) s, niin lemmasta 2.1 saadaan, että alkion s rata pitää sisällään täsmälleen p erillistä alkiota. Milloin siis f(s) s? Väitetään, että f(s) s jos ja vain jos s = (a 1, a 2..., a p 1, a p ) siten että a i a j jollakin i j. Täten myös f(s) = s jos ja vain jos s = (a, a, a,..., a) jollakin a G. Tämä väite selkiintyy kun muistat, että f(a 1, a 2,..., a p 1, a p ) = (a p, a 1, a 2,..., a p 1 ). Kunhan ainakin yhdessä kohtaa a i a j, niin f(s) s. Olkoon m niiden alkioiden s S lukumäärä joille pätee f(s) = s. Tiedetään, että, m 1, koska jos s = (e, e, e,..., e)) niin f(e, e, e,..., e) = (e, e, e,..., e). Toisaalta jos f(s) s, niin silloin radoista muodostuu erillisiä ekvivalenssiluokkia, joiden alkioiden lukumäärä on p. Jos nyt tällaisia ratoja on k kappaletta, niin silloin S = radat jolloin n p 1 = m + kp. Alkuoletuksen mukaan p n ja myös p kp. Näin ollen p m eli m > 1. On siis olemassa sellainen alkio a S, että a e ja (aaa...a) = a p = e eli alkion a kertaluku on p. Alkio a on siis haluttu ryhmän G alkio jolle a p = e. Huomaa, että Cauchyn lause kertoo, että niiden alkioiden lukumäärä ryhmässä G, joille x p = e, on aina alkuluvun p kerrannainen. 4 Sylowin lauseet Lause 4.1. (Sylowin 1. lause) Olkoon ryhmän G kertaluku p n m, missä p on alkuluku ja p m. Tällöin on olemassa sellainen H G, että H = p n. Todistus. Todistuksessa käytetään induktiotodistuksen rakennetta osittain, joten välivaiheet on nimetty sen mukaisesti. 1. Alkuaskel: Jos n = 0, niin p n = p 0 = 1 ja {e} G joten väite pätee. Oletetaan tästä lähin, että n 1. 20

22 2. Induktio-oletus: Oletetaan, että väite pätee kaikille ryhmille F, joille F < G. Tehdään vastaoletus, ettei väite päde ryhmälle G. Tällöin induktio-oletuksen nojalla p n ei voi jakaa kertalukua H millään H < G jos H G. Nimittäin jos p n H, niin H = p n k, missä k < m, ja p k. Tällöin on olemassa F < H, F = p n. Erityisesti jos a / Z(G) = C G (G) = {g xg = gx x G}, silloin C(a) = {x G xa = ax} G joten p n C(a). Nyt joten G C(a) = pn m p k l p = p n k s, 0 k < n 1 l m, G C(a) = i G(C(a)), a / Z(G). Jos z = Z(G), niin z 1 ja lauseen 2.4 todistuksesta saadaan: p n m = G = z + a/ Z(G) i G (C(a)). Huomaa, että p i G (C(a)) joten p a/ Z(G) i G(C(a)). Varmasti on, että p p n m, joten p z. Cauchyn lauseesta 3.1 saadaan, että on olemassa alkio a Z(G) siten, että a p = e. Olkoon A nyt alkion a generoima ryhmä. A = p alkuluku, joten A on syklinen. Nyt a Z(G) = {x g 1 xg = x g G}, tämä täyttää normaalisuuskriteerin, joten A G. Olkoon Γ = G/A, eli Γ = G = pn m = p n 1 m. Siis Γ < G, joten A p induktio-oletuksen nojalla on olemassa M < Γ, missä M = p n 1. Lauseen 2.5 mukaisesti kuvaus f : G Γ, f(g) = ga on homomornen. Tässä Ker(f) = A. Näin ollen lauseen 2.5 mukaisesti on olemassa P G siten, että A P ja P/A = M. Näin ollen P = A M = pp n 1 = p n. Täten P on ryhmän G astetta p n oleva aliryhmä. Tämä on ristiriita vastaoletuksemme kanssa ja todistaa Sylowin 1. lauseen paikkansa pitävyyden. 21

23 Määritelmä 4.2. Olkoon ryhmän G kertaluku G = p a n, missä p on alkuluku, a N ja p ei ole luvun n tekijä. Jos on olemassa sellainen ryhmän G aliryhmä P, että P = p a, niin P on ryhmän G Sylowin p-aliryhmä (merkitään Sylow p (G)). Lause 4.3. (Sylowin 2. lause) Olkoon P ryhmän G Sylowin aliryhmä a) Jos U G ja U = p l, niin on olemassa sellainen g G, että U P g. b) Kaikki Sylowin aliryhmät konjugoivat ryhmässä G. Edelleen [G : N G (P )] antaa Sylowin p- aliryhmien lukumäärän. Todistus. a) Esitetään G aliryhmien P ja U kaksoissivuluokkien avulla. G = r i=1 P g iu ja lauseesta 2.9 G = r P U. P g i U i=1 Jos P g i U < U i {1...r}, niin U = p a i, P g i U missä a i 1 kaikilla i {1...r}. Tällöin G r P = p a i p G P, i=1 mikä on ristiriita Sylowin aliryhmän määritelmän nojalla. On siis oltava olemassa sellainen j {1...r}, että P g i U = U, josta U P g i. b) Jos U on Sylowin p-aliryhmä ryhmässä G, niin a)-kohdan nojalla on olemassa g G : U P g, koska Q = P = P g niin Q = P g. c) Väite [G : N G (P )] saadaan suoraan lauseesta

24 Lause 4.4. (Sylowin 3. lause) Sylowin p-aliryhmien lukumäärä ryhmässä G on muotoa 1 + kp, mille tahansa p. Todistus. Olkoon P = p n Sylowin p-aliryhmä ryhmässä G. Muodostetaan ryhmä G ryhmien P ja P kaksoissivuluokkien avulla, eli G = P xp. Kuinka monta alkiota on kaksoissivuluokassa P xp. Nyt P xp = x 1 P xp = P x P ja lemmasta2.7 saadaan, että P xp = x 1 P xp = P x P = P P P x P. Huomaa tässä, että P x P P = p n ja P x P P. Näin ollen P x P p n 1 siis P xp p2n p n 1 p n+1 P xp. = p n+1. Joten, jos P x P P, niin Toisin sanoen: Jos x / N(P ) = {g G P g = P }, niin p n+1 P xp. Myös, jos x N(P ), niin P xp = P xp x 1 x = P (P x) = P 2 x = P x joten P xp = P P P x P P P = P = P = P pn. Näin saadaan ryhmän G kertaluku muodostettua erillisten kaksoissivuluokkien summana. G = x N(P ) P xp + x/ N(P ) P xp Huomaa, että kun x N(P ) niin x N(P ) P xp = x N(P ) P x. Koska laskemme yhteen erillisiä oikeanpuoleisia sivuluokkia, niin x N(P ) P x = n P x, missä n on sivuluokkien lukumäärä. Nyt P N(P ) ja Lagrangen lauseesta (lause 1.16) saadaan, että N(P ) = n P = n P x. Yhdistämällä nämä tiedot, saadaan x N(P ) P xp = x N(P ) P x = N(P ). Summasta x/ N(P ) P xp tiedetään sen olevan jaollinen luvulla pn+1. Näin ollen x/ N(P ) P xp = pn+1 u eli G = N(P ) + p n+1 u, joten G N(P ) = 1 + pn+1 u N(P ). Koska normalisoijat ovat aliryhmiä, niin pätee, että N(P ) G, joten pn+1 u N(P ) on kokonaisluku. Sylowin p-aliryhmien määritelmän nojalla P = p n ja G = p n a, näin ollen p n+1 G ja p n+1 N(P ) G. Tällöin pätee, että 23

25 N(P ) p pn+1 u eli pn+1 u = pk joten G N(P ) N(P ) nojalla [G : N(P )] antaa Sylowin p-aliryhmien lukumäärän. = 1 + pk. Sylowin 2. lauseen (lause 4.3) 5 Aputulokset Sylowin lauseiden sovelluksiin Alle on koottu aputuloksia, joita tarvitaan Sylowin lauseiden käytännön soveltamiseen. Tarvittavat aputulokset on laitettu tähän eikä esitietoihin, koska on hyvä, jos lukijalla on jo käsitys Sylowin p-aliryhmistä. Lause 5.1. Olkoon G ryhmä ja N < G, [G : N] = n, missä n on sivuluokkien lukumäärä. Tällöin G = n i=1 g in. Nyt kuvaus ( ) gi N f : G S n, f(g) = gg i N on homomorsmi ja f(g) S n sekä Ker(f) = g G N g. Todistus. Jos x 1, x 2 G, niin ( ) ( ) g 1 N...g n N g 1 N...g n N f(x 1 x 2 ) = = = f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 g 1 N...x 1 x 2 g n N x 1 (x 2 g 1 N)...x 1 (x 2 g n N) joten kuvaus f on homomorsmi. Lisäksi Ker(f) = {x G f(x) = e S n } = {x G xg 1 N = g 1 N,..., xg n N = g n N} = {x G xg i N = g i N i {1,..., n}} = {x G g 1 i xg i N = N i {1,..., n}} = {x G g 1 i xg i N i {1,..., n}} = {x G x g i Ng 1 i i {1,..., n}} n = {x G x N g 1 i i {1,..., n}} = N g 1 i. Huomaa, että G = n i=1 g in ja jos g G, niin on olemassa sellainen i, että g g i N, joten g = g i n, n N siis g 1 = (g i n) 1 = n 1 g 1 i eli N g 1 = N n 1 g 1 i = N g 1 i i=1 ja n i=1 N g 1 i = g G N g 1 = g G N g. Lause 5.2. Olkoon p alkuluku, G = p a n ja N(p a ) kertalukua p a olevien aliryhmien lukumäärä ryhmässä G. Tällöin N(p a ) 1(mod p) eli N(p a ) 1. 24

26 Todistus. Olkoon = M G ja Ω = {M M G, M = p a }. Kuvaus f : G S Ω, f(g) = ( M gm), M Ω on homomorsmi ja Ker(f) = {1}. Siis G/Ker(f) = G = f(g) S Ω ja ryhmää G voidaan tarkastella astetta Ω olevana permutaatioryhmänä. Nyt Ω jakautuu ratoihin T i ja Ω = T i. 1. Jos H G ja H = p a, niin H Ω. Jos H T missä T on rata, niin T = {gh g G} eli vasemmanpuoleinen sivuluokka ja Lagrangen lauseesta 1.16 T = [G : H] = G H = pa n p a = n. 2. Olkoon T rata ja T = n. Jos M T, niin T = [G : H] = G H, missä U = {g G gm = M}. Nyt U = p a ja UM = M siis Um = M. Eli M T joten m 1 M T siis m 1 Um T eli U m T, siis aliryhmä U m on radan T alkio ja U m = p a. Kohdista 1.) ja 2.) saadaan, että kaikki kertalukua H = p a olevat aliryhmät ovat radalla T ja samoin aliryhmän H konjugaatit ovat tällä radalla. Myös jokaista joukkoa M T kohti on olemassa radalle T kuuluva aliryhmä U = p a. Olkoon N(p a ) = (ehdon T = n toteuttavien ratojen lukumäärä). Entä jos T n? 3. Olkoon T sellainen rata, että T n. Jos M T, niin T = [G : U] missä U = {g G gm = M}. Siis UM = M jolloin M = s i=1 Ug i missä g i M ja s 2. Koska M = p a = U s josta U = p b, b < a. Täten T = [G : U] = np a b 0 (pn). 4. Nyt Ω = ( p a n p a ) = Ti T =n T (pn) eli Ω N(pa )n (pn). Luku Ω ei ole riippuvainen ryhmän G rakenteesta. Jos G on syklinen ja G = p a n, niin N(p a ) = 1. Saadaan siis kongruenssi Ω n (pn). Täten N(p a )n n (pn) ja N(p a )n 1 (p). 25

27 Lause 5.3. Olkoon ryhmä G kertalukua G = p l ja {e} < N G. Tällöin N Z(G) > 1. Todistus. Olkoon N = p n, missä 1 n < l. Olkoon x N, jolloin g 1 xg N kaikilla g G. Eli x g N kaikilla g G. Siis N = s i=1 K i, missä K i on konjugointiluokka. Voidaan olettaa, että K 1 = {e}. Jos x i K i, niin K i = [G : C G (x i )] = G C G (x i = p n. Siis N = p n = 1 + s ) i=2 pn i. Jos p n i > 1 kaikille i {2,...s}, niin p n = 1 + kp joten p 1. Tämä on ristiriita, koska p on alkuluku. Näin ollen on olemassa j {2,...s} : p n j = 1 siis K j = 1. Olkoon K j = {x}. Nyt x e ja x g = x kaikilla g G eli g 1 xg = x kaikilla g G. Edelleen saadaan xg = gx kaikilla g G joten x Z(G). Siis e x N Z(G) > 1. Lemma 5.4. Olkoon ryhmä G kertalukua G = p 2. Tällöin ryhmä G on Abelin ryhmä. Todistus. Ryhmän G kertaluku on muotoa p k, joten lauseesta 5.3 seuraa, että Z(G) > 1 ja Z(G) = p tai Z(G) = p Jos Z(G) = p 2, niin Z(G) = G eli G on Abelin ryhmä. 2. Jos Z(G) = p, niin G = p eli G/Z(G) on syklinen ryhmä. Tällöin G/Z(G) = {gz(g) g G} = Z(G). Olkoon g 1, g 2 G. Z(G) Nyt g 1 Z(G) = a m Z(G) ja g 2 Z(G) = a n Z(G) jollain m, n Z. Valitaan e Z(G). Tällöin g 1 = g 1 e = a m z 1 ja g 2 = g 2 e = a n z 2, missä z 1 ja z 2 Z(G). Tällöin g 1 g 2 = a m z 1 a n z 2 = z 2 a m a n z 1 = z 2 a n+m z 1 = z 2 a n a m z 1 = a n z 2 a m z 1 = g 2 g 1 joten ryhmä G on Abelin ryhmä. Lemma 5.5. Olkoon U G ja N G. Tällöin N, U = NU = UN. Missä N, U pienin ryhmä johon joukko NU kuuluu. 26

28 Todistus. Koska N on normaalialiryhmä, niin un = Nu aina kun u N, joten UN = NU. Jos n 1 u 1 NU ja n 2 u 2 NU, niin n 1 u 1 (n 2 u 2 ) 1 = n 1 u 1 n 1 2 u 1 2 = n 1 u 1 n 1 2 u 2 1(u 1 u 1 2 ) 1 (u 1 u 1 2 ) NU. Tämä täyttää aliryhmyys kriteerin, joten NU G ja N, U = NU. Määritelmä 5.6. Jos ryhmällä G ei ole muita normaaleja aliryhmiä kuin {e} ja ryhmä G itse, niin ryhmä G on yksinkertainen ryhmä. 6 Sylowin lauseiden sovelluksia Sylowin lauseiden avulla pystytään tutkimaan äärellisten ryhmien rakenteita, millaisia aliryhmiä ne pitävät sisällään tai kuinka monta kyseisiä aliryhmiä on. Joissakin tapauksissa pystymme tutkimaan myös ryhmän syklisyyttä tai yksinkertaisuutta. Esimerkki 1 Olkoon ryhmä G kertalukua 24. Onko G yksinkertainen? Ratkaisu: G = eli ryhmässä G on Sylowin aliryhmät Sylow 2 (G) ja Sylow 3 (G). Merkitään näitä Sylowin aliryhmiä Q = 3 ja P = 2 3. Nyt P G ja [G : P ] = 3 eli on olemassa homomorsmi f : G S 3, Ker(f) = g G P g. Jos G on yksinkertainen, niin Ker(f) = {e}. Tällöin G/Ker(f) = G = f(g) S 3 eli G S3 joka tarkoittaa 24 3! eli Tämä ei pidä paikkaansa ja näin ollen Ker(f) {e} ja G ei ole yksinkertainen. Esimerkki 2 Olkoon G kertalukua oleva ryhmä. Onko G Abelin ryhmä? Ratkaisu: 27

29 Nyt G = = Eli on olemassa P := Sylow 11 (G) ja Q := Sylow 17 (G) ja ja N(11 2 ) 1 (11) N(11 2 ) = 1 N(11 2 ) 17 2 N(17 2 ) 1 (17) N(17 2 ) = 1. N(17 2 ) 11 2 Käytetään tietoa P G ja [G : P ] = Eli on olemassa homomorsmi f : G S 17 2 ja Ker(f) = g G P g. Nyt P = P g = 11 2, mutta N(11 2 ) = 1, joten P = P g eli P = P g = Ker(f) G. Näin ollen aina kun Sylowin aliryhmien lukumäärä on yksi, niin nämä ryhmät ovat normaaleja aliryhmiä. Lemmasta 5.4 saadaan, että ryhmät P ja Q ovat Abelin ryhmiä. Lemmasta 5.5 saadaan, että P Q G ja lemmasta 2.7 saadaan, että P Q P Q = P. Nyt P Q Q P ja P Q Q ja syt(11 2, 17 2 ) = 1, joten P Q = 1. Näin saadaan P Q = P Q P Q = = G. Eli P Q = G. Jos p P ja q Q, niin normaalisuuden takia p 1 q 1 p Q ja q 1 pq P. Näin ollen p 1 q 1 pq P Q = {e}. Eli p 1 q 1 pq = e joten pq = qp. Tästä seuraa, että ryhmä G on Abelin ryhmä. Esimerkki 3 Onko ryhmä G, G = 72 yksinkertainen? Ratkaisu: Oletetaan ryhmän G olevan yksinkertainen. Nyt G = Merkitään Sylowin ryhmiä seuraavasti, P := Sylow 3 (G) ja Q := Sylow 2 (G). N(2 3 ) 1(2) N(2 3 ) = 1, 3, 9 N(2 3 ) 9 N(3 2 ) 1(3) N(3 2 ) 8 N(3 2 ) = 1, 4 28

30 Riittää valita toinen Sylowin ryhmä tutkittavaksi. Valitaan nyt ryhmä P, koska sillä on vähemmän mahdollisia Sylowin ryhmän lukumääriä. 1. N(3 2 ) = 1. Esimerkistä 1 nähdään, että Sylowin 3-aliryhmä P G ja 1 < 9 = P eli ryhmä G ei ole yksinkertainen. 2. N(3 2 ) = 4 = [G : N G (P )]. Tällöin on olemassa homomorsmi f : G S 4 ja Ker(f) N G (P ) < G. Ryhmä G on yksinkertainen, joten Ker(f) = {e} ja G = G/{e} = G/Ker(f) = Im(f) S 4. Näin ollen pitää olla, että G S4 eli Tämä on ristiriita ja siis ryhmä G ei ole yksinkertainen. 29

31 Lähdeluettelo [1] I.N. Herstein: Abstract Algebra- 3rd edition. Prentice-Hall, New Jersey, 1990 [2] I.N. Herstein: Topics in Algebra- 2nd edition. John Wiley & Sons, New York, 1975 [3] M. Niemenmaa: Ryhmäteoria-luentomateriaali. Toimittanut luentojen pohjalta Jukka Kauppi, Oulun yliopiston matemaattisten tieteiden laitos 2009 [4] M. Niemenmaa: Algebra II-luentomateriaali. Toimittanut luentojen pohjalta Jukka Kauppi, Oulun yliopiston matemaattisten tieteiden laitos

Eräitä ratkeavuustarkasteluja

Eräitä ratkeavuustarkasteluja Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................

Lisätiedot

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala

Lisätiedot

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................

Lisätiedot

1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä

1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä LUKUTEORIAA 1 Jakajat ja jäännökset Luonnollisten lukujen joukko N = { 0, 1, 2, 3,... } on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä Z + = {1,

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

Frobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä

Frobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä Frobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä Pro Gradu-tutkielma Mikko Korhonen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perustuloksia 4 2.1 Lukuteoriaa............................

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3

Lisätiedot

Permutaatioista alternoivaan ryhmään

Permutaatioista alternoivaan ryhmään Permutaatioista alternoivaan ryhmään Pro Gradu-tutkielma Sini-Susanna Fetula Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 3 Permutaatioista. 6 3.1 Symmetrinen

Lisätiedot

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20 Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät 6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,

Lisätiedot

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Matti

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Äärettömistä joukoista

Äärettömistä joukoista Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea

Lisätiedot

Avainsanat Nyckelord Keywords algebra, rengas, moduli, Noether, nouseva ketju, äärellisviritteinen

Avainsanat Nyckelord Keywords algebra, rengas, moduli, Noether, nouseva ketju, äärellisviritteinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Vesa

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 3.5. Sisäiset symmetriat. Kuution väritysesimerkissä 3.14 tarkasteltiin yksittäisten alkioiden sijaan niiden konjugaattiluokkia ja todettiin, että konjugaattiluokkia vastaavat luonnollisella tavalla erityyppiset

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Matti

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

Johdatus p-adisiin lukuihin

Johdatus p-adisiin lukuihin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 1 / 28 14A.1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Tehtävä: Määrää ryhmän karakteritaulu,

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot