FYSA220/K2 (FYS222/K2) Vaimeneva värähtely

Transkriptio

1 FYSA/K (FYS/K) Vaimeneva värähtely Työssä tutkitaan vaimenevaa sähköistä värähysliikettä. Erityisesti pyritään havainnollistamaan kelan inuktanssin, konensaattorin kapasitanssin ja ohmisen vastuksen suuruuksien vaikutusta värähtelyn jaksonaikaa sekä vaimenemiseen. Lue työtä varten University Physics (Young & Freeman), 1 th eition, s (11 th eition s ). Vaimenevaa värähtelyä on käsitelty myös kirjoissa Alonso-Finn, Vol. 1, s ja Vol., s Vaimenevan värähysliikkeen teoriaa Mekaanisen harmonisen värähtelijän liikeyhtälö voiaan kirjoittaa muotoon missä x x x (1) γ λ m ja ω k m. Kyseessä on toisen kertaluvun homogeeninen lineaarinen ifferentiaaliyhtälö, joka on lisäksi vakiokertoiminen. Yhtälön ratkaisuista voiaan λ:n, m:n ja k:n arvoista riippuen erottaa kolme erityyppistä ratkaisua sen mukaan, ovatko karakteristisen polynomin (r +γr+(ω ) ) juuret reaalisia, imaginaarisia vai onko sillä kaksoisjuuri. Eri tapausten fysikaaliset tulkinnat ovat jaksoton, ylivaimennettu tapaus (juuret reaalisia) jaksoton rajatapaus eli kriittisesti vaimennettu värähtely (kaksoisjuuri) jaksollinen, vaimeneva värähtely (juuret imaginaarisia) Tarkasteltaessa sähköistä värähtelyä LCR -piirissä saaaan hyvin samanlainen ifferentiaaliyhtälö q q 1 L R q, () C missä q on konensaattorin varaus. Merkitsemällä R/L=γ ja 1/LC= ω saaaan yhtälö () yhtälön (1) kaltaiseen muotoon q q q (3)

2 Vertailemalla yhtälöitä (1) ja (3) pääytään seuraaviin analogioihin: Taulukko 1. Mekaanisen ja sähköisen värähtelijän vertailu Mekaaninen Sähköinen Poikkeama x Varaus q Nopeus v = x/ Virta I = q/ Massa m Kelan inuktanssi L Vaimennuskerroin λ Ohminen vastus R Jousivakio k 1/C, kapasitanssin käänteisarvo Liike-energia mv / Kelan energia LI / Potentiaalienergia kx / Konensaattorin energia q /C Tehohäviö λv Tehohäviö RI Ieaalisessa tapauksessa (λ =, R = ei vaimennusta) mekaanisen värähtelijän energia muuttuu vuoroin liike-energiaksi, vuoroin potentiaalienergiaksi. Vastaavasti sähköisen värähtelijän energia muuttuu vuoroin sähkömagneettiseksi (kelan) energiaksi, vuoroin sähköstaattiseksi (konensaattorin) energiaksi. Kela eustaa hitautta, varausten liiketilaa säilyttämään pyrkivää tekijää (vrt. massa), konensaattori taas varausten liikettä aiheuttavaa tekijää. Vastuksessa R syntyvä tehohäviö pienentää systeemin kokonaisenergiaa ja aiheuttaa näin ollen värähtelyn vaimenemisen. Jos R = ( γ = ), sievenee yhtälö (3) muotoon q q (4) Kyseisen yhtälön yleinen ratkaisu on muotoa t c sin t c t q 1 cos (5) Värähtelyä kutsutaan vaimenemattomaksi, sillä konensaattorin varaus q ei lähesty nollaa kun t lähestyy ääretöntä. Vaimenemattoman värähtelyn kulmataajuus on ω. Kyseinen tapaus on kuitenkin fysikaalisesti mahoton, koska piirin kokonaisresistanssi on aina suurempi kuin nolla. Toellisen (häviöllisen) sähköisen värähtelyn yhteyessä voiaan mekaanisen värähtelijän tavoin erottaa yhtälön (3) ratkaisuissa kolme erilaista tapausta:

3 3 a) Ylivaimennettu tapaus, kun γ > ω eli kun R > 4L/C b) Kriittisesti vaimennettu, kun γ = ω eli kun R = 4L/C c) Vaimeneva värähtely, kun γ < ω eli kun R < 4L/C. Kuva 1. Vaimenevan värähtelyn muoot Kuva. Värähtelyn vaimeneminen Myös vaimenevan värähtelyn kuten teoreettisen vaimenemattoman värähtelynkin kulmataajuus on vakio. Vaimenevan värähtelyn tapauksessa värähtelyn kulmataajuueksi saaaan 1 R LC 4L, (6) missä ω on teoreettisen vaimenemattoman värähtelyn kulmataajuus. Vaimenevan värähtelyn jaksonaika T (kuva ) saaaan yhtälöstä

4 4 T 1 R LC 4L (7) Värähtelyn eksponentiaalisen vaimenemisen (ks. kuva ) määrää funktio R e t e L t (8) Kahen peräkkäisen samalle puolelle tapahtuvan heilahuksen amplituien suhetta A n /A n+1 = k kutsutaan vaimennukseksi. Sen arvoksi saaaan k A ( ) t n A t e T e An 1 A( t T ( ) t T ) e (9) Mittauslaitteisto LCR -piirin tutkimiseen käytetään kuvan 3 mukaista kytkentää. Kuva 3. LCR -värähtelypiiri Pulssigeneraattorista G syötetään suorakaiepulssia 5 Hz:n taajuuella piiriin, jonka aktiivisena osana myös itse generaattori on. Koska kyseessä on LCR -värähtelypiiri, eivät konensaattorin ja kelan jännitteet seuraa pulssigeneraattorin kanttipulssin muotoa, vaan alkavat värähellä, kun jännitetason muutos tapahtuu. Vaimeneva värähtelyilmiö toistuu nyt 1 kertaa sekunnissa, ja sitä päästään tutkimaan mittaamalla konensaattorin jännitteen muutoksia oskilloskooppilla (koska U c = q/c, nouattaa myös konensaattorin jännitteen värähtely eellä esitettyä teoriaa). Piirin ohminen vastus muoostuu pääasiassa ulkoisesta säätövastuksesta R e, pulssigeneraattorin sisäisestä resistanssista R sekä kelan ohmisesta resistanssista R L. Työssä on käytettävissä erikokoisia konensaattoreita ja keloja, joien kapasitanssit ja

5 5 inuktanssit on ilmoitettu työpaikalla noin 1 % tarkkuuella. 3 Työn suoritus 1. Tutustu käyttämääsi oskilloskooppiin ja sen perustoimintoihin.. Valitse RCL -piirin muoostamista varten kela jonka inuktanssi L 1 mh ja konensaattori jonka kapasitanssi C 1 nf. Mittaa aluksi pulssigeneraattorin sisäinen vastus R sekä kelan ohminen vastus R L. Kytkennät pulssigeneraattorin sisäisen resistanssin mittaamiseksi on esitetty kuvassa 4 (käytä jännitteen mittaamiseen oskilloskooppia). Kuva 4. Pulssigeneraattorin sisäisen resistanssin mittaaminen. 3. Laske teoreettiset arvot konensaattorin jännitteen heilahtelun jaksonajalle T sekä värähtelyn vaimennukselle k kuvan 3 mukaisessa piirissä (huom: tässä ulkoinen vastus R e = Ω!!!). Toteuta kytkentä luonnossa ja mittaa kokeelliset arvot jaksonajalle T ja vaimennukselle k Varmista laskujesi ja mittaustesi onnistuminen kokeellisia ja teoreettisia arvoja vertailemalla. 4. Laske värähtelyn kriittisesti vaimenevaa rajatapausta vastaava R e :n arvo. Varmista kokeellisesti saamasi tuloksen oikeellisuus etuvastusta R e säätämällä. 5. Tutki lopuksi R e :n, L:n ja C:n vaikutusta konensaattorin jännitteen heilahtelun jaksonaikaan T sekä värähtelyn vaimennukseen k. Päättele ensin miten kyseisten suureien tulisi käyttäytyä ja varmista päättelysi oikeellisuus tämän jälkeen mittaamalla.