l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

Transkriptio

1 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona ja piirrä kuva. Johto on häviötön. Siirtojohdon ominaisimpedanssi l s. c p Aallon kulkuaika johdolla T l v l l s c p. Aallon heijastuskerroin jännitteelle siirtojohdon loppupäässä on missä Z L on johdon päähän kytketty impedanssi. ρ Z L Z L +, Hetkellä t 0 kytkin suljetaan ja kohti johdon loppupäätä lähtee etenemään aalto, jonka jännite on suuruudeltaan U 1. Hetkellä t T aalto saavuttaa johdon loppupään. Johdon loppupää on oikosuljettu (Z L 0), joten heijastuskerroin ρ 1 1. Johdon alkupäätä kohti lähtee etenemään heijastunut aalto, jonka jännite on suuruudeltaan U 2 ρ 1 U 1. Hetkellä t 2T aalto saavuttaa johdon alkupään. Johdon alkupään lähde näyttää oikosululta, koska sen sisäinen resistanssi on nolla. Heijastuskerroin alkupäässä johdon suunnasta lähestyttäessä on ρ 2 1. Johdon loppupäätä kohti lähtee etenemään heijastunut aalto, jonka jännite on suuruudeltaan U ρ 2 U 2. Hetkellä t T aalto saavuttaa jälleen johdon loppupään ja heijastuu sieltä. Heijastelua jatkuu loputtomiin. Hetkellinen jännite pisteessä x siirtojohdolla saadaan summaamaalla kaikki tarkasteluhetkellä pisteessä olevien aaltojen jännitteet u(t, x) u 1 (t, x) + u 2 (t, x) + + u n (t, x), jossa n on tarkasteluhetkeen mennessä paikan x saavuttaneiden aaltojen määrä. Tarkastellaan johdon alkupään kokonaisjännitettä: Aikavälillä 0 t < 2T, u(t, 0) u(0, 0) U 1. Hetkellä t 2T heijastunut aalto, jonka jännite U 2, saapuu johdon alkupäähän, jossa se heijastuu välittömästi. Nyt alkupäässä on kolme aaltoa, alunperin lähtenyt aalto, jonka jännite on U 1, loppupäästä heijastunut aalto, jonka jännite on U 2 ja alkupäästä heijastunut aalto, jonka jännite on U. Johdon alkupään jännite on siis u(2t, 0) U 1 + U 2 + U U 1 + ρ 1 U 1 + ρ 2 ρ 1 U 1 +. Huomaa, että aaltojen määrä johdon alkupäässä lisääntyy aina kahdella, koska loppupäästä saapunut ja heijastunut aalto alkavat vaikuttaa samanaikaisesti. Aikavälillä 2T t < 4T, u(t, 0) U 1 + U 2 + U. Tarkastelua voidaan jatkaa loputtomiin. Johdon alkupäässä jännite on aina, kuten ideaalisen jännitelähteen yli tuleekin olla. Johdon loppupäälle voidaan johtaa samalla tavalla lausekkeet. Johdon loppupään jännite u(t, l) on aina nolla, niinkuin oikosulun ylitse tuleekin olla. Aaltoon liittyvän virran arvo saadaan jakamalla vastaavan aallon jännitteen arvo johdon ominaisimpedanssilla, esim. I 1 U 1 /, ja I 2 U 2 /. 1

2 Kokonaisvirta pisteessä x saadaan summaamaalla kaikki tarkastelusuuntaan eli kohti johdon loppupäätä etenevien aaltojen virrat ja vähentämällä summasta vastakkaiseen suuntaan etenevien aaltojen virrat. i(t, x) i 1 (t, x) i 2 (t, x) + i (t, x) i 4 (t, x) +... ± i n (t, x), missä n on tarkasteluhetkeen t mennessä paikan x saavuttaneiden aaltojen määrä. Johdon alkupään virraksi saadaan siis: Aikavälillä 0 t < 2T, i(t, 0) I 1 /. Hetkellä t 2T etenevä aalto on heijastunut johdon loppupäästä ja saapuu alkupäähän, jossa se jälleen heijastuu välittömästi. Saapuneen aallon virta I 2 U 2 / ρ 1 U 1 / U 1 / /. Saapuva aalto heijastuu välittömästi ja heijastuneen aallon virraksi saadaan I U / ρ 2 U 2 / /. Kokonaisvirta johdon alkupäässä on i(2t, 0) I 1 I 2 + I /. Aikavälillä 2T t < 4T, i(t, 0) I 1 I 2 + I /. Huomataan, että virta hyppää aina 2I 1 verran. Näin voidaan jatkaa loputtomiin. Virran arvo kasvaa aina 2T :n välein 2I 1 askelin. Virran arvo lähestyy ääretöntä niin kuin oikosuljetun jännitelähteen tapauksessa kuuluu tapahtua. Johdon ominaisimpedanssi ei liity mitenkään johtimien resistansseihin, eikä se rajoita virran loppuarvoa. i 7I 1 5I 1 I 1 I 1 cp l s T l v l l s c p I 1 0 2T 4T 6T t Virta i jännitelähteen navoissa ajan t funktiona. 2

3 1.2 R 1, l 1 2, l 2 R u(t) Tasajännitelähde V kytketään oheiseen piiriin hetkellä t 0 s. Häviöttömien siirtojohtojen pituudet ovat l 1 l 2 90 m. Määritä loppupään jännite u(t) ajan funktiona välillä 0 < t < 1µs Ω 2 25 Ω R 50 Ω v 10 8 m/s. Hetkellä t 0 jännitelähde kytketään piiriin, ja ensimmäisellä johdolla lähtee etenemään jänniteaalto kohti johdon loppupäätä. u R 1 2 Jänniteaalto saavuttaa ensimmäisen siirtojohdon loppupään hetkellä Heijastuskerroin johtojen rajakohdassa on T 1 l 1 v 90 m , µs. m/s ρ Läpäisykerroin on siis τ ρ 1 2. Toisella johdolla etenevä jänniteaalto on suuruudeltaan u 2 τ 1 u 1 1. Jänniteaalto saavuttaa toisen siirtojohdon loppupään hetkellä T 2 T 1 + l 2 v 0, µs + 90 m ,6 µs. m/s Heijastuskerroin lopussa on ja läpäisykerroin ρ 2 R 2 R + 2 1, τ ρ 2 4. Kuormaan siirtyy tulevasta jänniteaallosta osa u τ 2 u V. Rajakohdasta heijastuva aalto ei enää ehdi johdon loppuun tarkasteluajan puitteissa. Vastaus: { 0 V, t < 0,6 µs, u(t) 4 V, 0,6 < t < 1µs.

4 1. Z g, l R U b Pituudeltaan l 50 cm häviötön johto ( 50 Ω) on yhdistetty alkupäästään jännitelähteeseen 1/0 V, Z g (10 + j20) Ω ja loppupäästään kuormitukseen R 80 Ω. Laske jännite U b, kun taajuus f 1000 MHz. Johto on ilmaeristeinen. Häviöttömien siirtojohtojen yhtälöt: ] [ [ Ua cos (βl) j 1 sin (βl) j sin (βl) cos (βl) ] [ Ub I b ] U a, l I b U b Matriisiyhtälöstä saadaan: U a cos (βl)u b + j sin (βl)i b ja j 1 sin (βl)u b + cos (βl)i b Johdon alkupäästä näkyvä impedanssi saadaan kun alkupään jännite jaetaan alkupään virralla. Tuntemattomat I b ja U b voidaan eliminoida sijoittamalla U b I b R ja supistamalla I b pois impedanssin lausekkeesta. Z a U a cos (βl)u b + j sin (βl)i b j 1 cos (βl)i br + j sin (βl)i b sin (βl)u b + cos (βl)i b j 1 cos (βl)r + jz0 2 sin (βl). sin (βl)i b R + cos (βl)i b j sin (βl)r + cos (βl) Koska eristeenä on ilma, v 10 8 m/s. Saadaan: βl 2πf l 10 v π, cos (βl) 1 2, sin (βl) 2. Kun sijoitetaan R 80 Ω ja 50 Ω, saadaan: Z a 40,02/ 22,89 Ω (6,87 j15,56) Ω. Z g Z a Z g + Z a 21,24/ 5,41 ma U a Z a 0,850/ 28, V Ratkaistaan Cramerin säännön avulla U b siirtojohtojen ketjumatriisiyhtälöstä: (Koska siirtojohto on resiprookkinen, ketjumatriisin determinantti 1) U a j sin (βl) cos (βl) U b cos (βl)u a j sin (βl) 1,154/104,44 V 4

5 1.4 ε(t) R g 1 2 R Aalto lähtee kulkemaan johtoa pitkin jännitelähteestä. nsimmäisen johdon ominaisimpedanssi on 1 ja toisen 2. Mikä on päätevastuksen R jännite jatkuvuustilassa? 200 kv Ω 2 50 Ω R 150 Ω R g 1. Vastuksen R jännite jatkuvuustilassa u R ( ) muodostuu seuraavasti: R g u 1 2 R u R τ 12 ρ g ρ 12 ρ 21 τ l ρ l - Alussa johdon 1 alkupäähän syntyvä jännite saadaan jännitteenjakokaavasta: U kv. 1 + R g Johdon loppupäätä kohti lähtee aalto jolla on U 100 kv suuruinen jännite. - Johtojen 1 ja 2 liitokseen saapuvasta aallosta osa jatkaa johdolla 2 ja osa heijastuu takaisin alkupäätä kohti. Läpäisseen aallon jännite on τ 12 U ja heijastuneen ρ 12 U. - Johtojen 1 ja 2 liitoksesta syntyvät heijastuneet aallot eivät heijastu takaisin johdon loppupäätä kohti, koska johto 1 on sovitettu generaattorin resistanssiin, t.s., johdon ominaisimpedanssi ja resistanssin arvo ovat yhtäsuuret, ja ρ g Johdon 2 ja vastuksen R liitokseen saapuu aalto τ 12 U, josta pääsee vastukseen R aalto τ l τ 12 U ja heijastuu takaisin alkupäätä kohti aalto ρ l τ 12 U. - Alkupäätä kohti kulkevasta aallosta ρ l τ 12 U heijastuu johtojen 2 ja 1 liitoskohdasta takaisin loppupäätä kohti aalto ρ 21 ρ l τ 12 U. Johdolle 1 läpäisevällä aallolla ei ole merkitystä, koska johdon 1 ja generaattorin resistanssin liitoskohdassa ei synny heijastuksia. (Huom! ρ 21 on laskettava lopusta alkuun kulkevalle aallolle!) - Aallosta ρ 21 ρ l τ 12 U pääsee vastukselle R aalto τ l ρ 21 ρ l τ 12 U. - jne. Vastuksen jännitteeksi saadaan: u R ( ) τ l τ 12 U + τ l ρ 21 ρ l τ 12 U + τ l τ 12 U[1 + ρ 21 ρ l + (ρ 21 ρ l ) 2 + ] Hakasulkulauseke on geometrinen sarja, jonka summa on u R ( ) Tarvittavien heijastus- ja läpäisykertoimien lausekkeet: τ ρ 21 ρ l. Joten τ lτ 12 U 1 ρ 21 ρ l τ l 2R R

6 ρ Sijoitetaan nämä u R ( ):n lausekkeeseen, jolloin saadaan: ρ l R 2 R u R ( ) τ lτ 12 1 ρ 21 ρ l U 2R R R Z U R + 2 Kun vielä sijoitetaan u R ( ):n lausekkeeseen U /2 ja 1 R g, saadaan u R ( ) R R + R g. 2R R + 1 U Yllä oleva kaava on jännitteenjakokaava tilanteessa, jossa vastus R on kytketty suoraan generaattoriin. Tästä voidaan päätellä, että molemmat johdot vain viivästävät u R :n lopullisen arvon saavuttamista. Huomaa vielä, että johtojen ominaisimpedanssit 1 ja 2 eivät liity johtimien resistanssiin mitenkään, eivätkä vaikuta lopputilan jännitteeseen. Lukuarvoilla u R ( ) kv 54,55 kv

7 1.5 Z in Z g Iin, s, T Z L Siirtojohto on häviötön ja ilmaeristeinen ja sen ominaisimpedanssi on 50 Ω. Laske sisäänmenoimpedanssi Z in siirtojohdon ketjumatriisin avulla sekä sisäänmenovirta I in, kun 1/0 V ja Z L 100 Ω sekä Z g 200 Ω. Tarkastellaan neljää eri johdon pituutta a. johdon pituus on λ/4 b. johdon pituus on λ/2 c. johdon pituus on λ/4 d. johdon pituus on 5λ/6 kolmen eri kuorman tapauksessa 1: johdon loppupää on avoin 2: johdon loppupää on oikosuljettu : johto on päätetty impedanssiin Z L 100 Ω. Häviöttömien siirtojohtojen yhtälöt: [ Ua ] [ cos (βl) j 1 sin (βl) j sin (βl) cos (βl) ] [ Ub I b ] U a, l I b U b Matriisiyhtälöstä saadaan: U a cos (βl)u b + j sin (βl)i b ja j 1 sin (βl)u b + cos (βl)i b Johdon alkupäästä näkyvä impedanssi saadaan kun alkupään jännite jaetaan alkupään virralla. Lasketaan ensin βl 2π λ l. Saadaan: Tapaus 1: Johdon loppupää on avoin. I b 0. Z in cos (βl)u b + j sin (βl)i b j 1 sin (βl)u b + cos (βl)i b l βl cos (βl) sin (βl) tan (βl) π a λ/ π 1 b λ/6 2 2 π c λ/ π 1 d 5λ/6 2 2 Z in cos (βl)u b j 1 j cos (βl) Ω j sin (βl)u b sin (βl) tan (βl) Ω a) Z in j tan (βl) Ω 0 Ω b) Z in j tan (βl) Ω j50 Ω j29 Ω. c) Z in j tan (βl) Ω j50 Ω j29 Ω. d) Z in j tan (βl) Ω 0 Ω 7

8 Tapaus 2: Johdon loppupää on oikosuljettu. U b 0. Z in j sin (βl)i b cos (βl)i b a) Z in j tan (βl) Ω Ω b) Z in j tan (βl) Ω j50 Ω j87 Ω. c) Z in j tan (βl) Ω Ω d) Z in j tan (βl) Ω j50 Ω j87 Ω. Tapaus : Johto on päätetty impedanssiin Z L 100 Ω. U b Z L U b. Z in cos (βl)i bz L + j sin (βl)i b j 1 sin (βl)i b Z L + cos (βl)i b cos (βl)z L + jz 2 0 sin (βl) j sin (βl)z L + cos (βl) a) Z in cos (βl)z L + jz0 2 sin (βl) Z Ω. j sin (βl)z L + cos (βl) Z L b) Z in cos (βl)z L + jz 2 0 sin (βl) j sin (βl)z L + cos (βl) 5000 j j100 c) Z in cos (βl)z L + jz0 2 sin (βl) Z Ω. j sin (βl)z L + cos (βl) Z L d) Z in cos (βl)z L + jz0 2 sin (βl) j sin (βl)z L + cos (βl) Lasketaan virta I in. Kuorma Z L on sama kuin tapauksessa j j100 Ω 1 j20 Ω. Ω 1 + j20 Ω. Z g Iin Z in a) I in Z g + Z in 1/0 V Ω 4,4 ma. b) I in 1/0 V Z g + Z in ,77 j19,994 Ω 4,2/4,95 ma. c) I in Z g + Z in 1/0 V Ω 4,4 ma. d) I in 1/0 V Z g + Z in ,77 + j19,99 Ω 4,2/ 4,95 ma. 8