OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

Transkriptio

1 OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka ja Timo, lähtivät viikon kalareissulle. Reissulla oli kolme kalastuspäivää, tiistai, keskiviikko ja torstai. Kalastuspäivistä tiedetään, että yksi oli sateinen, yksi tuulinen ja yksi aurinkoinen. Kotiin palatessa pojilla oli kolme kalaa, hauki, särki ja ahven, joista kukin oli kalastettu eri päivinä. Kukin poika oli saanut yhden kalan. Lisäksi tiedetään seuraavat yksityiskohdat: - Ahven saatiin tuulisena päivänä. - Timo sai kalan aurinkoisena päivänä. - Hauki saatiin keskiviikkona. - Pekka sai kalan ennen Timoa. - Olli sai kalan ennen sateista päivää. Kuka pojista sai minkäkin kalan ja minä päivänä?

2 A. YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Diplomissa harjoiteltiin erilaisten ensimmäisen asteen yhtälöiden ratkaisemista. Toisen asteen yhtälöistä a + b + c 0, a 0, onnistuttiin ratkaisemaan ns. vaillinaiset toisen asteen yhtälöt. Näissä yhtälöissä toinen kertoimista b tai c on yhtä suuri kuin nolla, jolloin yhtälöt ovat muotoa a + b 0 tai a + c 0. Ennen kuin johdetaan yleinen ratkaisukaava toisen asteen yhtälölle, harjoitellaan vielä neliöksi täydentämistä käyttämällä diplomissa johdettua kaavaa: () ( + y) + y + y. Diplomin tehtävissä binomin neliön tulomuoto laskettiin auki. Nyt harjoitellaan yllä olevan kaavan käyttöä oikealta vasemmalle, jossa kolmen termin summa täydennetään binomin neliöksi. Esimerkki : Minkä binomin neliö on a) b) Ratkaisut: + + c) 9a + a + 4? 4 a) Muokataan lauseketta siten, että se saadaan kaavan () oikean puolen muotoon: + + ( + ). Tässä luku on kaavan () termi y. b) ( ) ( + ). Tässä taas luku on kaavan () termi y. 4 c) 9a + a + 4 (3a) + 3a + (3a + ). Tässä kaavan () termiä vastaa termi 3a ja termiä y vastaa luku.. Muuta seuraavat trinomit binomin neliöksi. a) b) 5a + 0a + c) a + 4 a Mikä täytyy luvun a olla, jotta lauseke on binomin neliö? 5 a) +0 + a b) a 36 3

3 Nyt on aika johtaa täydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisukaava. Kaavan johtamisen ymmärtämisessä voit tarvita opettajan apua, mutta kysy tarvittaessa! Tärkeintä on, ettet luovuta. Toisen asteen yhtälö on muotoa a + b + c 0. Lähdetään hakemaan yhtälön ratkaisua kertomalla kyseinen yhtälö puolittain termillä 4a, jolloin saamme: 4a + 4ab + 4ac 0 (a) + a b + b b + 4ac 0. Kolmessa ensimmäisessä termissä haetaan binomin neliötä, ja lisättäessä termi b se pitää myös vähentää, jotta yhtä suuruus säilyisi. Kolme ensimmäistä termiä voidaan kirjoittaa binomin neliöksi ja muut termit voidaan siirtää yhtälön oikealle puolelle: (a + b) b 4ac. Tästä edelleen ottamalla neliöjuuret puolittain: a + b ± b 4ac a b ± b b ± 4ac b 4ac. a Huomaa, että termillä a on turvallista jakaa, koska a 0. Nyt olemme johtaneet ratkaisukaavan täydelliselle toisen asteen yhtälölle ja on aika harjoitteluun. Esimerkki : Ratkaise toisen asteen yhtälöt. a) b) c) Ratkaisut: a) Sijoitetaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan luvut a (toisen asteen termin kerroin), b - 4 (ensimmäisen asteen termin kerroin) ja c - 5 (vakiotermi): ( 4) ± ( 4) 4 ( 5) 4 ± ± 36 4 ± , josta 5 ja 4 6. Vastaus: - tai 5. b) Nyt a 6, b ja c -. Täten ± ( ) 4 6 ( ) ± + 4 ± 5 ± 5, josta Vastaus: tai. 3 c) Tässä a, b 6 ja c 6. Sijoitetaan ratkaisukaavaan: 5 6 ja 6 ± ( 3± ) 3± 3. 6 ± ± 6 ± ± 3 Vastaus: 3+ 3 tai 3 3.

4 3. Ratkaise. asteen yhtälöt a) 4 0 b) c) Kahden peräkkäisen kokonaisluvun tulo on 39. Ratkaise, mitkä luvut voivat olla. 5. Millä a:n arvoilla 3 on yhtälön + a 8 0 juuri eli ratkaisu? 6. Toisen asteen yhtälöllä a + b + c 0 voi olla kaksi, yksi tai ei yhtään ratkaisua. Pohdi toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta, mistä ratkaisujen lukumäärä riippuu. 7. Kultainen leikkaus tarkoittaa jakoa, jossa lyhyemmän osan suhde pitempään osaan on yhtä suuri kuin pidemmän osan suhde koko pituuteen. Jana, jonka pituus on, jaetaan kultaisen leikkauksen suhteessa. Laske osien pituudet kahden desimaalin tarkkuudella. 8. Matemaattisten aineiden diplomeita tehnyt oppilas Jere innostuu kultaisesta leikkauksesta niin paljon, että maalaa taulun, jossa käyttää kultaista leikkausta hyväkseen. Velipoika Hannu ihastuu työstä niin, että haluaa kehystää taulun hopeisilla kehyksillä. Hopeointiin on varattu materiaalia, joka riittää 0,5m kehystarpeeseen. Maalauksen leveys on m ja korkeus 80 cm. Kuinka leveä kehys voi enimmillään olla? Kehys on saman levyinen kaikkialla. Seuraavassa tarkastellaan kolmannen asteen vaillinaista yhtälöä, jossa vakiotermi on nolla. Tämän yhtälön yleinen muoto on 3 () a + b + c 0, a 0. Tällaisen yhtälön ratkaisemisessa voidaan yhtälön vasen puoli asettaa tulomuotoon ja hyödyntää tieto, että kahden luvun tulo on nolla vain silloin, kun jompikumpi (tai molemmat) tulon tekijöistä on nolla. Saadaan: ( a + b + c) 0. Tulon nollasäännön mukaan joko 0 tai a + b + c 0. Näin saamme kaikki ratkaisut selville. Esimerkki : Ratkaise yhtälöt 3 3 a) 6 0 b) 8 0 Ratkaisut:

5 a) Otetaan yhtälön vasemmalla puolen yhteinen tekijä ja käytetään tulon nollasääntöä: ( 6) 0, josta edelleen 0 tai 6 0. Sijoitetaan saatu toisen asteen yhtälö ratkaisukaavaan: ± ( ) 4 ( 6) ± + 4 ± 5 ± , josta 3 ja. Vastaus: - tai 0 tai 3. b) Yhtälö saadaan muotoon: (8 ) 0, josta edelleen tulon nollasääntöä käyttäen: 0 tai 8 0. Ratkaistaan saatu toisen asteen yhtälö ratkaisukaavalla: ± ( ) 4 8 ( ) ± ± 36 ± 6, josta Vastaus: tai 0 tai ja Ratkaise kolmannen asteen yhtälöt 3 3 a) b) Millä a:n arvoilla yhtälöllä a 0 on vain yksi ratkaisu 0? Vihje: Tutki toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuurilauseketta (vrt. teht. 6).

6 B. FUNKTIO Diplomissa tutustuimme polynomeihin, nyt tutustumme polynomifunktioihin. Tarvittaessa voit kerrata polynomit ja niiden laskusäännöt toisesta diplomista. Matematiikassa kahden eri suureen välistä riippuvuutta kuvaavaa sääntöä kutsutaan funktioksi. Suure tarkoittaa mitattavaa ominaisuutta esimerkiksi nopeutta, massaa tai hintaa. Kun funktion sääntö ilmoitetaan polynomina, kutsutaan funktiota polynomifunktioksi. Nyt on tarkoitus perehtyä tarkemmin polynomifunktioihin sekä niiden kuvaajiin. Ensimmäisen asteen polynomissa polynomin asteluku on yksi. Esimerkiksi + on ensimmäisen asteen polynomi, sillä muuttujaosan korkein eksponentti on yksi. Ensimmäisen asteen polynomifunktio sisältää ensimmäisen asteen termin ja vakiotermin. Tällaisen funktion kuvaaja on suora ja sen yleinen muoto on y k + b, missä k on kulmakerroin ja b on vakiotermi. Suora on nouseva, mikäli k > 0 ja laskeva, mikäli k < 0. Mikäli k 0, niin suora on - akselin suuntainen ja funktiota kutsutaan vakiofunktioksi.. Millä muuttujan arvolla funktio f() 34 saa yhtä suuren arvon kuin 5 a) funktio g() + b) funktio h(). Millä vakion a arvolla funktion f() (a ) + a + kuvaajana on a) laskeva b) nouseva c) -akselin suuntainen suora 3. Venla oli oppinut fysiikan tunnilla, että veden jäätymispiste (0 C) vastaa Fahrenheit-asteikolla lukemaa 3. Lisäksi opettaja oli kertonut, että veden kiehumispiste (00 C) on Fahrenheit-asteikolla. a) Muodosta funktio, jonka avulla voi celsiusasteita muuttaa fahrenheitasteiksi. b) Piirrä funktion kuvaaja. c) Paljonko 68 C on fahrenheit-asteikolla?

7 Toisen asteen polynomifunktio on muotoa f() a + b + c, a 0. Kertoimet b ja c voivat saada arvon nolla, jolloin termit b ja c voivat puuttua. Jos a 0, kyseessä on ensimmäisen asteen polynomifunktio. 4. Tutki Geo Gebran avulla vakioiden a, b ja c vaikutusta paraabelin kuvaajaan. Geo Gebran löydät osoitteesta a) Piirrä funktio f() a ja muuta vakion a arvoa. Miten vakion muutos vaikuttaa kuvaajan muotoon? b) Piirrä funktio f() a + c ja muuta vakion c arvoa. Miten vakio c vaikuttaa kuvaajan muotoon? c) Piirrä funktio f() a + b ja muuta vakion b arvoa. Miten sen muuttaminen vaikuttaa kuvaajan muotoon? Funktion nollakohdat ovat niitä muuttujan arvoja, joilla funktio saa arvon 0 eli f()0. Nollakohdissa funktion kuvaaja leikkaa -akselin. Funktion kuvaajista voidaan tutkia, millä muuttujan arvoilla funktio saa positiivia arvoja ja milloin funktio saa negatiivisia arvoja. Kun funktion kuvaaja on - akselin yläpuolella, niin f ( ) > 0. Vastaavasti, kun funktion kuvaaja on -akselin alapuolella, niin f ( ) < Ratkaise paraabelin f() nollakohdat ja hahmottele kuvaaja vihkoosi. Millä muuttujan arvoilla funktio saa negatiivisia arvoja? Käytä hyväksesi edellisen kappaleen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. 6. Manu potkaisee pallon, jonka lentorataa kuvaa funktio g() + 5. a) Piirrä kuvaaja vihkoosi tai piirrä kuvaaja Geogebran tai graafisen laskimen avulla. b) Kuinka kauas pallo lentää? c) Kuinka korkealla pallo käy? 7. Osoita, että kaikki funktion f() arvot ovat positiivisia. Vinkki: Tutki nollakohtien lukumäärää ja hahmottele kuvaaja.

8 Funktio on kasvava, kun muuttujan arvojen kasvaessa myös funktion arvot kasvavat. Kun muuttujan arvojen kasvaessa funktion arvot pienenevät, kyseessä on vähenevä funktio. Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on suora. Esimerkki : Millä muuttujan arvoilla funktio on vähenevä. Ratkaisu: Tutkitaan kuvaajan avulla, milloin funktio on vähenevä. Kun muuttujan arvot kasvavat arvosta - arvoon 0, niin sillä välillä funktion arvot laskevat arvosta 0,8 arvoon 0. Funktio on siis vähenevä, kun Piirrä graafisella laskimella tai Geo Gebralla funktioiden f() ja q() kuvaajat ja selvitä kuvaajasta yhden desimaalin tarkkuudella: a) funktioiden nollakohdat b) funktioiden pienin arvo. c) Tutki vielä, milloin funktiot ovat kasvavia ja milloin ne ovat väheneviä. Funktiota on ala-asteella käsitelty funktiokoneen avulla. Koneeseen syötettiin luku, kone rouskutti hetken ja sylkäisi toisen luvun ulos. Funktiota kuvataan yleensä matemaattisin lausekkein. Lukua, joka koneeseen syötetään, kutsutaan muuttujaksi. Vastaavasti lukua, jonka kone sylkäisee ulos, kutsutaan funktion arvoksi.

9 Matemaattisesti funktio määritellään seuraavasti: funktio f on sääntö, joka liittää jokaiseen määrittelyjoukon arvoon eli muuttujan arvoon täsmälleen yhden arvojoukon arvon eli funktion arvon. Funktiokoneeseen voi siis syöttää ainoastaan määrittelyjoukon lukuja, ja arvojoukko koostuu kaikista funktion tuottamista luvuista. Polynomifunktioissa määrittelyjoukkona on reaalilukujen joukko, mutta sellaisiakin funktioita on olemassa, joiden määrittelyjoukkona ei ole kaikki reaaliluvut. Esimerkki : Rationaalifunktio on esimerkki funktiosta, jonka määrittelyjoukkona ei ole kaikki reaaliluvut. Rationaalifunktion lausekkeessa jakajana on polynomi. Funktio g() 3+6 on esimerkki rationaalifunktiosta. Sitä ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa. Nimittäjä on nolla, kun Tästä saadaan nimittäjän nollakohdaksi 3 6 : Mikä on seuraavien funktioiden määrittelyjoukko? a) g() b) h() + c) f() Piirrä tehtävän 9 funktioiden kuvaajat joko Geo Gebran tai graafisen laskimen avulla. Miten määrittelyjoukko näkyy funktion kuvaajassa?