MAA2 POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT

Transkriptio

1 MAA POLYNOMIFUNKTIOT JA YHTÄLÖT Nimi: 1 3 Yhteensä Kokeessa on kolme osaa: A, B1 ja B. Aosa: Tehtävät tehdään ilman laskinta Tee kaikki neljä () tehtävää (jokainen max 6p) Kun palautat tämän osan opettajalle, saat ottaa laskimen käyttöön. B1osa: Tehtävissä saa käyttää laskinta. Valitse kolmesta tehtävästä kaksi mieluisinta tehtävää, joihin vastaat. Tehtävät ratkaistaan abitissa Bosa Tehtävissä saa käyttää laskinta Vastaa toiseen tehtävistä. Tehtävä ratkaistaan abitissa Jos vastaat ylimääräiseen tehtävään, niin sen osan parhaiten mennyt tehtävä hylätään. Tsemppiä kokeeseen! :)

2 A OSA Ratkaise kaikki neljä tehtävää. Tehtävät tehdään ilman laskinta tehtäväpaperiin. 1. Yhdistä kuvaaja sen yhtälöön. Yksi kuvaaja on ylimääräinen. Määritä sen yhtälö taulukkoon. a b c d e f Yhtälö g Kuvaaja y = x b) y = x c) y = x f) y=x g) y= 1 x d) 1 y = x a) y = x e)

3 . Ratkaise yhtälö a) x 3 x = 0 b) (x 7)( x 16)=0 c) 6 x = x a) x= 3± 3 ( ) 3± 916 3± 5 3±5 = = = x= = tai x= = x 16=0 b) x 7=0 tai x= 7 x= tai x= c) 6 x x =0 x (3 x 1)=0 x =0 tai 3 x 1=0 1 x=0 tai x= 3 3. Sievennä a) (x 3)( x 3) ( x 1) b) c) Kirjoita x 10 x 5 binomin neliönä eli muodossa (a b) tai (a b). a) x 3 (( x ) x 11 )=x 9 x x 1= 3 x x 10 b) = = 5 5 c) x 5 x 5=( x 5)

4 . a) Millä muuttujan x arvoilla funktio f (x )= x 7 saa positiivia arvoja? (p) b) Ratkaise epäyhtälö x 6 3 x. (p) a) x 7>0 x > 7 7 x< b) x 6 3 x 0 x 6 3 x =0 x ( x 3)=0 x =0 tai x 3=0 x=0 tai x =± X 3 tulo x Vast. 3 x 3 Palauta tämä paperi opettajalle, jotta voit siirtyä jatkamaan koetta abittiin.

5 B1OSA Abittiin Ratkaise kaksi tehtävää. 5. a) Koiralle rakennetaan aitaus omakotitalon pihalle. Suorakulmion muotoinen aitaus tehdään vain kolmelle sivulle, koska talon seinä rajaa aluetta yhdeltä sivulta. Mitkä ovat aitauksen mitat, kun aitauksen pintaala on 1 m ja aitaa on käytettävissä 6 m. (p) b) Kolmion sivujen pituudet ovat x, x3 ja x5. Millä muuttujan x arvoilla, kolmion piiri on alle 50? (p)

6 6. a) Anna esimerkki toisen asteen polynomifunktiosta, jolla ei ole nollakohtia. Esimerkiksi käy toisen asteen polynomifunktio, jonka diskriminantti on negatiivinen esim. y = x x 5, koska (1) ˑˑ5= 39 b) Anna esimerkki toisen asteen polynomifunktiosta, jolla on nollakohdat x=3 ja x= muodossa ax^bxc. esim. y = (x )(x3)= x x 6. Kertoimen a voi valita vapaasti. c) Anna esimerkki kolmannen asteen polynomifunktiosta f, joka kulkee pisteen (1, 3) kautta. esim. y = x3, koska 13 = 3 7. Vastaa kysymyksiin kuvaajien perusteella. a) Määritä funktion f nollakohdat. Nollakohdat ovat niitä muuttujan x arvoja, joilla funktion arvo on nolla. Näissö kohdissa kuvaaja ylittää xakselin. Eli f:n nollakohdat ovat x=0,5 ja x=3,5 b) Mikä on funktion f pienin arvo? Funktion pienin arvo on pienin yakselin arvo, jonka funktio saa. Kuvasta nähdään, että funktion pienin arvo on noin,3 c) Määritä f(0). F(0)= d) Millä muuttujan x arvoilla f(x)<0? f(x)<0, kun 0,5 < x < 3,5 e) Mitä osaat sanoa funktion h asteluvusta? Asteluku on vähintään viisi, sillä nollakohtia on viisi kappaletta. Kuvaajan muodosta voi päätellä myös, että asteluku on pariton. f) Millä muuttujan x arvoilla, funktion g kuvaaja on funktion k alapuolella? Funktion g kuvaaja on funktion k alapuolella, kun g(x) < k(x), kun 1 < x < 1

7 BOSA Ratkaise yksi tehtävä. 8. Päättele oheisten kuvaajien perusteella, millä muuttujan x arvoilla funktion h(x)=f(x)g(x) arvo on a) nolla h(x) on nolla funktioiden f(x) ja g(x) nollakohdissa (tulon nollasäännön mukaan). Näin ollen h(x) on nolla, kun x=3, x= ja kun x=3. b) positiivinen h(x) on positiivinen, kun f(x) ja g(x) ovat molemmat positiivisia tai kun molemmat ovat negatiivisia. Tämä on seurausta siitä, että positiivinen luku positiivisella kerrottuna sekä negatiivinen luku negatiivisella luvulla kerrottuna antavat positiivisen vastauksen. Näin ollen 3 3 g(x) f(x) h(x) h(x)>0, kun 3<x< tai x>3 c) negatiivinen h(x) saa negatiivisia arvoja, kun toinen funktioista on negatiivinen, mutta toinen positiivinen, eli kun x < 3 tai < x < 3

8 9. Pesäpallo heitetään kohtisuoraan ylöspäin alkunopeudella m/s. Ilmanvastusta ei oteta huomioon, ja painovoiman kiihtyvyydelle g käytetään likiarvoa 10 m/s. Jos alkunopeus on v o, niin lennon aikana pallo on ajan t kuluttua korkeudella s = v o t 0,5gt. a) Piirrä kuva ja liitä se vastaukseen. (1 p) b) Kuinka pitkän ajan kuluttua pallo putoaa maahan? ( p) c) Kuinka korkealla pallo käy? (3 p)