Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Transkriptio

1 MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. NIMI. a) Laske polynomien ja + tulo. ( p) b) Ilmaise tulomuodossa: ( p) c) Sievennä: 6 ( p) d) Ratkaise yhtälö 6 = 0. ( p). a) Ratkaise epäyhtälö + 9 ( p) b) Ratkaise yhtälö 6 + = 0. ( p) c) Alapuoleisessa kuvassa on erään. asteen polynomifunktion f () kuvaaja. Vastaa kuvaajan perusteella. i) Mitkä ovat funktion f() nollakohdat? ii) Millä muuttujan arvoilla funktion f() arvot ovat negatiivisia? ( p)

2 B-osio. Saa käyttää laskinta ja taulukkokirjaa. Valitse neljä seuraavista viidestä tehtävästä, joihin vastaat!.. a) Määritä vakio a siten, että yhtälöllä ( + a) + = 0 on tasan yksi ratkaisu. b) Millä välillä funktio f() = 5 on määritelty? a) Määritä vakio p siten että polynomi 8 p on jonkun binomin neliö, eli tulomuodossa (a + b) b) Ratkaise epäyhtälö > 0. Perustele vastauksesi merkkikaavion avulla. Pelkkä laskimen vastaus tuottaa korkeintaan yhden pisteen. 5. a) Osoita polynomin jakokulmassa jakamista hyväksikäyttäen, että polynomi P() = on tasan jaollinen polynomilla -7. b) Vuonna 008 Helsingin puistoissa arvioitiin elävän noin 000 kpl citykaneja. Kanikanta kasvoi eksponentiaalisesti. Vuonna 05 citykaneja arvioitiin olevan 0000 kpl. Jos kanikanta jatkaisi kasvua samaan tahtiin, paljonko kaneja olisi vuonna 05? 6. Perhe osti lampaita, joille he halusivat aidata pellolta ruokailualueen. Halpa-Hallissa oli tarjouksessa 00 m aitaa. Perhe halusi aidata 0,55 hehtaarin suorakulmion muotoisen alueen lampaita varten. Miten aitauksen mitat oli suunniteltava? 7. Autotie kulkee tunnelin läpi. Tunnelin poikkileikkaus noudattaa funktiota missä h tarkoittaa tunnelin korkeutta. Jos tietä ajatellaan koordinaatistossa, niin kaksikaistaisen tien keskiviiva kulkee kohdassa = 0. h( ) 6, a) Mikä on tunnelin suurin korkeus? b) Kuinka leveä tunneli on? c) Mahtuuko, metriä ja,0 metriä korkea auto kulkemaan tunnelin läpi? Auton on pysyttävä omalla kaistallaan.

3 RATKAISUT:. a) ( )( + ) = = b) = ( ) c) 6 = 6( ) (+)( ) = 6 + d) 6 = 0 = 6 = ± 6. a) Ratkaisu Kuvaaja: vastaus kuvaajaa analysoimalla. Nollakohdat tarkasti: + 9 = 0 = ± ( 9) = ± 9+7 = ± 8 = ±9 = 6 = { = = Kuvaajasta nähdään, että funktio saa negatiivisia arvoja, kun.. c) 6 + = 0 = ± 6 ( ) 6 = = { = 6 = = ± + = ±5 c) i) Kuvasta luetaan nollakohdat = - tai = tai =. ii) < < tai < a) ( + a) + = 0 + a + = 0. Tällöin muuttuja ratkaistaan = a± a = a± a 6. Nyt Diskriminantin a 6 = 0, jotta yhtälöllä olisi tasan yksi ratkaisu. Ratkaistaan a:

4 a 6 = 0 a = 6 a = ± Nyt a:n täytyy olla tai -, jotta alkuperäisellä yhtälöllä olisi vain yksi ratkaisu. b) f() = on määritelty, kun neliöjuuren sisusta ei jää negatiiviseksi ja jakaja ei ole nolla. 5 => Neliöjuuri: > 0 > Jakaja: 5 0. ( )± ( ) ( 5). { 0 5 määritelty, kun = ± 6+0 = ± 6 = ±6. Nyt > mutta se ei saa olla 5, joten todetaan että funktio (f) on < < 5 ja 5 < a) 8 p on binomin neliö: 8 + p + = (9) + p + Kantaluvut ovat siis 9 ja. Binomin neliö on aina muotoa (a + b) = a + ab + b, joten p:n pitäisi olla 9 => p = 9 p = 8 b) > 0 ( 8 9) > 0 => Merkkikaavio: 8 9 = 0 laskimesta: =9 ja = kertolasku Joten kertolasku ja täten alkuperäinen ey ovat positiivisiä, kun 0 tai 9 5. a) => On tasan jaollinen polynomilla -7. b) Kanien lisääntymisprosentti on tuntematon. Olkoon se vaikka p. 000p 7 = 0000 : 000 p 7 = p = 5,585.

5 Kanikanta siis noin,6-kertaistuu joka vuosi. (Laskennassa kannattaa tietenkin käyttää tarkkaa arvoa!) Tahti jatkuu samana vuoteen 05 asti: ( 5) 7 = kania. 6. Merkitään aitauksen leveyttä :llä ja pituutta y:llä. Tällöin ympärysmitasta, jonka pitäisi olla 00 m, muodostuu lauseke + y = 00m. Lisäksi tiedetään, että pinta-alan pitäisi olla 0,55 ha = 5500 m, joten siitä muodostuu lauseke y = 5500 m. + y = 00m y = 50m Yhtälöpari: { y = 5500 m Nyt pinta-alan lausekkeeseen sijoitetaan ratkaistu y, joten (50m ) = 5500 m = 0 Laskin: = ,8m = ,m 7. a) Koska 0, niin h () on suurimmillaan, kun = 0, joten tunnelin suurin korkeus on h (0) b) Merkitsemme tunnelin korkeudeksi nolla, saamme h() tai 8, joten tunnelin leveys on ( ) 6 8, ,5. c) Auto varmimmin mahtuu tunnelin läpi, jos kuskin puoleinen auton sivu on keskiviivalla ( = 0) ja toinen sivu on kohdassa =,0. Kun = 0, niin h (0) Kun =,0, niin h () 6,0,0, joka on alle,, joten auto ei mahdu tunnelista mikäli auto ajaa omalla kaistallaan.