MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

Transkriptio

1 MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä kun x = Laske vielä P( ) Kirjoita se muuttujan y neljättä astetta oleva polynomi Q(y), jonka kertoimet korkeimman asteen termin kertoimesta alkaen ovat 6, 0, 1, 14, 8 On annettu kaksi muuttujan z polynomia: P(z) = 6z 7z + 17 ja Q(z) = 5z 7z Laske P(z) + Q(z) b) P(z) Q(z) c) Q(z) P(z) 4 Laske yhteen ax + bx + ja x + bx +1 5 b b b) c c + c 6 c) 4x ( 8x ) d) x (x) 4 e) m n m n 6 Kerro polynomi P(x) = x 4x + x 8 monomilla x y x 7 Ratkaise yhtälö x 5 + = 8x 1 ( 4x 5) 5x + 9(x + 4) 8 8 Poista sulkeet [ ] 9 Poista sulkeet 4x x [ x + (6x 4) ] { + 5x ( + x x )} 10 Kerro keskenään kolmostehtävän polynomit P(z) ja Q(z) 11 Kerro (x )(x + x + 4) 1 Kerro allekkain (x x x + 4)(4x + x 1) 1 Paperiarkki on suorakulmion muotoinen, sen pituus on cm ja leveys 14 cm Paperiin pitää pidemmälle sivulle jättää marginaali, jonka leveys on x ja lyhemmälle sivulle marginaalin leveydeksi x (senttimetrejä) (Marginaali tulee siis kaikille neljälle sivulle) Kuinka suuri on sen jäljelle jäävän alueen ala A(x), jolle voi piirtää, kun marginaali on jätettävä 1(8)

2 MAA koskemattomaksi Ilmoita tarkasti perustellen, mitkä x:n arvot ovat niin sanotusti realistisen järkeviä? Laske lopuksi A() Mitä tulos tarkoittaa? 14 Sovella lausetta 8 ja laske sen avulla ns päässälaskuna, siis ilman laskinta b) 5 48 c) d) ( 5 )( 5 + ) 15 Neliön sivu on alun perin a Sivua pienennetään b:n verran Paljonko neliön ala pienenee (a:n ja b:n avulla lausuttun? 16 Olkoon m eräs kokonaisluku Mikä on sen tulon arvo, joka saadaan, kun kerrotaan keskenään luvut, joista toinen on ykkösen verran suurempi kuin m ja toinen ykkösen verran m:ää pienempi Onko tämä tulo suurempi vain pienempi kuin m:n neliö Kuinka paljon suurempi tai pienempi? 17 Sovella lausetta 9: (4m + 5s) b) (k 5) 18 Sievennä lauseke (a + b) (a b) ja laske vasta sievennettyä muotoa hyväksesi käyttäen sen tarkka arvo, kun a = ja b = (yo k91) 19 Lavenna murtolauseketta voit binomilla + 1 Supista lopuksi, jos 0 0 Osoita käyttämättä likiarvoja, että = (yo k86) Vihje: Jos a = b, niin mitä on b? 1 Suorita jakolaskut: 18ab c abc z k b) k z 5 4(z 4) c) 4 (z 4) p+ 16x d) p+ 4 8x Suorita jakolaskut: 0b c + 16b c 4bc 4 4 1b c d 4k+ k 4 z 4z b) k 5 z Esitä mahdollisimman pienten jaottomien lukujen = alkutekijäin tulona Ykköstä ei tule käyttää 15 b) 169 c) 81 d) 47 keksi jokin luku joka on suurempi kuin 1000, mutta joka on jaoton (8)

3 MAA Jaa polynomit alkutekijöihin tehtävissä 4 9 : 4 ma + mb b) k b + k b + 4kb c) 4 z b d) z b 5 4a + 4ab + b b) ka + kab + kb c) m 48 d) b + ab a a b b) 81a 16 Näissä molemmissa pitäisi olla kaksikin tapaa, joihin tullaan lauseitten 1 ja 1 johdattelemana kun toinen, ainakin aluksi, johtaa kolmitekijäiseen tulomuotoon ja toinen kaksitekijäiseen, mitä tästä voidaan päätellä? a ) x x b)18x 1xy + xy c) a + a b + ab + b 8 8 x + x 9x 7 Opastus: Ryhmittele Toiseen ryhmään kaksi tekijää ja toiseen niinikään kaksi Lopputulokseen pitäisi saada kolme tekijää, joista kaksi on keskenään samoja 9 9 a + ab + b 9 0 Supista: z 5z 4y 10y b) Lavenna ensin käyttäen yhtä kolmesta ET-kaavasta ja supista sitten: Tarkastellaan edellistehtävän lauseketta 1 Määritä laskimella lausekkeen likiarvo näppäilemällä se sellaisenaan b) Määritä laskimella lausekkeen karkeampi arvio käyttämällä likiarvoa 17 Kuinka monta prosenttia tämä poikkeaa laskimen antamasta melko hyvästä likiarvosta, siis kohdan tuloksesta? c) Määritä lopuksi laskimella sen lausekkeen likiarvo, johon tehtävässä 1 päädyit (ja jossa neliöjuuri ei siis esiinny nimittäjässä) käyttämällä likiarvoa 1 7 Kuinka monta prosenttia tämä poikkeaa kohdassa saamastasi tuloksesta? d) Kuinka monta prosenttia 17 on pienempi kuin? (8)

4 MAA Osoita, että nelinumeroisen kokonaisluvun ja sen numeroiden summan erotus on jaollinen yhdeksällä Tästä on edelleen pääteltävä, että jos luvun numeroiden summa on jaollinen luvulla 9, niin itse lukukin on jaollinen luvulla 9 ja kääntäen, jos luku on jaollinen luvulla 9, niin sen numeroiden summa on myös luvulla 9 jaollinen Opastus: Nelinumeroinen kokonaisluku on 1000a + 100b + 10c + d Mikähän sitten on sen numeroiden summa? Jatka tämän johdattelun avulla 4 Lavenna erinimiset murtolausekkeet samannimisiksi ja suorita yhteenlaskut: a + b a b 1 + a 1 a a + b a + b a b + b) c) d) a a a a a b a + b 5 Murtolukuhan jaetaan murtoluvulla kertomalla jaettava jakajan käänteisluvulla Sovella tätä sääntöä, ja muista sekin, että ennen kertomista supistetaan, mikäli voidaan Tekijöihin jaon jälkeen supistuu melko paljon: a a 1 a : b b 1 b x 1 6 Ratkaise yhtälö 1 x + = x 7 Ratkaise yhtälöt x = 0 b) x 6 = 0 c) x + = 0 8 Ratkaise yhtälöt x = 0 b) x = 0 c) 666x = 0 9 Ratkaise yhtälöt x x = 0 b) x 6x = 0 c) x + x = 0 40 Ratkaise yhtälöt (x ) = 5 b) (x ) = 0 c)( x ) = 0 41 Käytä ratkaisukaavaa Etsi yhtälön juuret: x + 9x 18 = 0 b) 4x 1x + 9 = 0 c) x + 9x + 11 = 0 4 Saata ennen ratkaisukaavaan sijoittamista muotoon, jossa kertoimet ovat yksin-kertaisia kokonaislukuja: x x = 0 b) 4500x 7500x 000 = (8)

5 MAA 4 Määritä vakio b siten, että x = on yhtälön x bx 4 = 0 on tällöin toinen juuri vai onko sitä lainkaan? juuri Mikä 44 On eräs luku ja toinenkin, joka saadaan lisäämällä ensimmäiseen Näiden 5 lukujen tulo on Mikä on ensimmäinen luku? 9 45 Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen vauhdin neliöön, siis s = kv Eräästä vauhdista jarrutusmatka on 6 m Kun vauhtia lisätään 0 km/h, jarrutus-matka on 16 m Laadi verranto ja ratkaise sen avulla, mitkä ovat kyseiset vauhdit, jota käyttäen päädytään sanottuihin jarrutusmatkoihin 46 Määritä c siten, että yhtälöllä x + 6x + c = 0 on täsmälleen yksi juuri Mikä tämä juuri on? 47 Jaa tekijöihin polynomit x + 5x + 6 b) 9x + 1x + 4 c) x + 6x Supista x + x + 1 x + 7x + x 1 x + 10x + b) 49 Laske lausekkeen k m ( k ) m arvo, kun k ja m ovat yhtälön x 10x + = 0 juuret Taitava laskija saa vastaukseksi 51, eikä ollenkaan ratkaise yhtälöä, vaan nojautuu tiukasti lauseeseen 0 50 Jenna kuuluu 4H-kerhoon ja hänellä on ihan ikioma suorakulmion muotoinen kasvimaa, jonka pituus on 5 m sen leveyttä suurempi Kuinka pitkä on tämän pinta-alaltaan 076 aarin suuruisen kasvimaan ympäri pystytetty aita? 51 Ratkaise yhtälöt 4 ( x 1)( x )( x ) = 0 b) x x 6x = 0 c) x 4x = 0 5 Ratkaise yhtälöt x x = x 1 b) x = x(x ) (Siirrä tavara vasemmalle, jaa sopivasti ryhmitellen tekijöihin ja käytä tulon nollasääntöä) Tarkista, että saamasi juuret toteuttavat 5(8)

6 MAA 5 Ratkaise yhtälö x 5x + x + 1 = 0, kun tiedetään, että x = 1 on sen yksi juuri A9nakin 1 pitäisi löytyä) 54 Yhtälön x + kx + x = yksi juuri on x = Määritä muut juuret 55 Määritä sellainen kolmannen asteen yhtälö, jonka juuret ovat x =, x = 5 sekä x = 4, ja jonka kertoimet ovat pienimmät mahdolliset kokonaisluvut 56 Suorakulmaisen särmiön pituus on 9 x, leveys 6 x ja korkeus x Määritä x siten, että särmiön tilavuus on 8 Tarkat arvot ja likiarvot yhden desimaalin tarkkuudella Yhtälöllä on kolme ratkaisua, joista yksi on rationaalinen ja kaksi irrationaalista Näistä toinen ei jostain syystä kelpaa (miksei) ja toisen likiarvo vaadittua suuremmalla tarkkuudella on 1654 Se yksi ratkaisu on hyvin yksinkertainen, kokeilemalla löytyvä kokonaisluku Ratkaise epäyhtälöt tehtävissä x < x 6 b)) 5( x) 4(1 x) > x + 7 < (x + ) b (x 1) < x 1 59 x (x 4) 4x x < x b) > (x ) 60 ( 1 + x) < 4(1 + x ) 6(8)

7 MAA 61 * ax < a b) x a < tapausta!!!) a( x + 1) (Huomaa kumpaisessakin kolme 6 Viiden peräkkäisen kokonaisluvun summa ylittää 900 Määritä pienimmät tällaiset luvut 6 Sähköyhtiö tarjoaa kuluttajalle kahdenlaista tariffia: Joko vuotuista perusmaksua 10 ja energian hinta 885 senttiä/kwh taikka vuotuinen perusmaksu 491 ja energian hinta 61 senttiä/kwh Kuinka monta kilowattituntia asiakas voi kuluttaa sähköenergiaa vuodessa, jotta pienemmän vuotuisen perusmaksun vaihtoehto olisi hänelle edullisempi? Ratkaisussa käytettävä epäyhtälöä 64 Määritä vakio a siten, että yhtälöllä x 4x + a = 0 ei olisi yhtään reaalista ratkaisua 65 Piirrä pääpiirtein funktioiden kuvaajat y = x b) y = x + x c) y = x x 66 Ratkaise epäyhtälöt x 4x + 1 < 0 b) 4x x > 0 67 Ratkaise epäyhtälöt x < 9 b) 4x < x d) y = x 68 Ratkaise yhdistetyt yhtälö-epäyhtälöt x + 5( x 1) b) x + 1x x 6 69 Millä vakion a arvoilla yhtälöllä x ax + a = on kaksi juurta? 70 Suorakulmion viereiset sivut ovat x ja x + Millä x:n arvoilla suorakulmion pinta-ala A toteuttaa ehdot 4 < A < Määritä vakiot a ja b, kun tiedetään, että epäyhtälön x + ax + b < 0 ratkaisu on < x < 4 7(8)

8 MAA 7 Tutki, millä x:n arvoilla x 5x on olemassa? 7 Ratkaise epäyhtälö (x 1)(x )(x 7) > 0 74 Ratkaise epäyhtälö (x + )( x 4) > 0 75 Ratkaise epäyhtälö x + x < 6x x 76 Ratkaise epäyhtälö x 77 Ratkaise epäyhtälö x + 1< x 78 Ratkaise epäyhtälö x 1+ x > 0 x 79 Ratkaise epäyhtälö x 1 > 1 80 x + 1 > x 81 Millä m:n arvoilla yhtälöllä mx + ( m 1) x + m = 0 on kaksi juurta? Näytä, että tällöin juuret ovat myös samanmerkkiset Mitä arvoja m saa siinä tapauksessa, että yhtälön molemmat juuret ovat positiiviset? Jos mietityttää, käyhän syventymässä lauseeseen, joka puhui toisen asteen yhtälön juurien summasta ja tulosta 8(8)