3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

Transkriptio

1 .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun tulee olla vähintään yksi. Osoittajassa tosin saa olla vaikka nollannenkin asteen polynomi, siis vakio. Jos nimittäjä on vakio, kyseessä on polynomifunktio. Murtofunktion kulun ja kuvaajan piirtäminen vahvistuu tuntuvasti, jos paikallisten ääriarvojen ja funktion kasvamisen/vähenemisen lisäksi määritetään kuvaajan ns. asymptootit. Nämä ovat tavallisimmin suoria, joita funktion kuvaaja rajattomasti lähestyy. Joskus sanotaan, että kuvaaja sivuaa asymptoottiaan äärettömän kaukana. Kun murtofunktion kuvaajien piirtämiseen perehtyy, saa huomata, että asymptootit määräävät funktion kulun kaikkein oleellisimmin. Näissä yhteyksissä on nyt hyvä osata määrittää ns. epäoleellisia raja-arvoja, joissa itse raja-arvo saattaa olla ääretön (usein vain toispuoleisesti) taikka sitten tutkitaan lausekkeen/funktion arvoja muuttujan itseisarvon lähestyessä ääretöntä. Kun yhdellä lausekkeella ilmoitetusta polynomifunktiosta voi aina sanoa sen olevan derivoituva (ja siten jatkuva) koko R:ssä, niin rationaalifunktion laita ei ole samalla tavalla kovinkaan usein. Edellä on jo toisteltu sitä alkeistosiasiaa, ettei nollalla saa jakaa. Mikäli reaalilukujen joukosta poistetaan ne, jotka tekevät nimittäjän Q() nollaksi, niin määritysjoukko on käsissä. Tällainen funktio ei tietysti ole jatkuva millään sellaisella suljetulla välillä, joka sisältää nimittäjän nollakohtia. Muutoin voidaan käyttää sanontaa, että rationaalifunktio on määritysjoukossaan derivoituva ja siten jatkuva. Esim. 1 Piirrä funktion R() kuvaaja. Mitä arvoja funktio saa? Tällä funktiolla ei ole nimittäjän nollakohtia, joten funktio on määritelty koko R:ssä. Onhan ( + 1) + 1 > 1. Tällaisella funktiolla ei ole koskaan y-akselin suuntaista asymptoottia,

2 sillä koskaan ei jouduta funktion arvoja laskettaessa muotoon, jossa vakiota jaettaisiin nollalla. On hyvä huomata sekin, että funktion nimittäjä on kaikilla :n arvoilla positiivinen. Mitenkähän R käyttäytyy, kun rajattomasti itseisarvoltaan kasvaa? lim lim Itseisarvoltaan suurilla :n arvoilla funktion arvot lähestyvät rajattomasti -akselia, kuten aina niissä tapauksissa, joissa funktion lausekkeessa osoittajan asteluku on nimittäjän astelukua alempi. Sen, kummasta suunnata funktion kuvaaja lähestyy -akselia, määrää funktion merkki. Tässä nimenomaisessa esimerkissä R() > 0 silloin 1 kun > 0 eli kun >. 4 Paikallisten ääriarvojen määrittämistä varten derivoidaan, ja saadaan R() 4 R () ( R () ) (4 + 1) ( + ) ( + + ) ( ) ( + + ) ( + + ) Derivaatan merkin määrää sen osoittaja yksin. Haetaan osoittajan nollakohdat: tai. Derivaattalausekkeen osoittaja on 4 + 6, ja tämä saa positiivisia arvoja nollakohtiensa välissä. Huomaa, ettei derivaattaa itseään saa mennä kertomaan esim. luvulla 1, vaikka siinä olisi kuinka monta miinusmerkkiä tahansa. Koska tarkasteltava funktio on derivoituva koko R:ssä, ainoat mahdolliset ääriarvokohdat ovat derivaatan nollakohdat, joissa ääriarvo myös saavutetaan, koska derivaatta vaihtaa niissä merkin. Tämä näkyy derivaatan merkkikaaviosta:

3 1 R () + R() väh kas väh 4( ) R( ) 4 1 ( ) + ( ) R(1) 1 ma min, Funktio saa arvot 4 < R() < 1. Tämä voidaan varmuudella sanoa nojautuen siihen, että tiedetään funktion arvojen lähestyvän asymptoottisesti nollaa, kun itseisarvoltaan kasvaa tunnetaan derivaatan merkkikaavio

4 Esim. Piirrä funktion R() 6 4 kuvaaja. Mitä arvoja funktio saa? Tätä funktiota ei ole määritelty pisteissä tai. Määritettäessä raja-arvoa lim R() saadaan todeta, että funktion arvot joko kasvavat tai pienenevät rajattomasti. Funktion kuvaajalla on ns. pystyasymptootit näissä kahdessa kohdassa. Toisaalta 6 6 lim R() lim lim Funktion arvot kummassakin äärettömyydessä lähestyvät suoraa y. Tässä, kuten aina murtolausekkeen osoittajan ja nimittäjän ollessa samanasteiset, kuvaajalla on -akselin suuntainen asymptootti, jonka yhtälö on korkeinta astetta olevien termien kertoimien suhde. Kummalla puolen vaaka-asymptoottia käyrä milloinkin sijaitsee, saadaan selville arvioimalla erotusta R() : Kun ollaan hyvin kaukana origosta, joka tapauksessa alueessa, missä >, on 4 > 0. Kun ollaan alueessa >, niin 8 6 < 0 ja ollaan siten suoran alapuolella. Kun ollaan alueessa <, tilanne on päinvastainen. R() 4 R () 6 ( R () R () ( 4) ( ( 4) )(4 6) ( ) ( 4) 6)

5 Derivaatalla ei ole nollakohtia, koska yhtälön diskriminantti on negatiivinen. Derivaatta on aina positiivinen, missä se on määritelty, ja R() siten aidosti kasvava. On otettava kuitenkin huomioon, että nimittäjän nollakohdissa R() on epäjatkuva. Kuvaajan piirtämisessä auttaa kovasti, jos piirretään derivaatan merkkikaavion sijasta itse funktion merkkikaavio: 6 > 0 ( ) > 0 < 0 4 > 0 < tai > tai > R()

6 Funktio R saavuttaa kaikki reaaliarvot. Funktion kasvaminen nimittäjän nollakohtien läheisyydessä on erittäin jyrkkää. Toisaalta R kasvaa varsin loivasti, kun ollaan kaukana nimittäjän nollakohdista. Esim. Piirrä funktion R() + kuvaaja. Mitä arvoja funktio saa? Funktio on määritelty, derivoituva ja jatkuva, kun 1. Funktio vaihtaa merkkinsä tässä pisteessä, koska nimittäjäpolynomin merkki muuttuu, mutta osoittajan ei. Entä funktion merkki muuten? ± R() + + Kun 1, niin funktion arvot lähestyvät ääretöntä, jos lähestytään ykköstä pluspuolelta, oikealta. Funktion arvot lähestyvät miinus-ääretöntä, kun lähestytään ykköstä vasemmalta, miinuspuolelta. Kun ±, myös R() ±, mutta varsin lineaarisesti. Kun funktion R määrittelevässä yhtälössä osoittaja jaetaan nimittäjällä, ja sovelletaan varhaislapsuudessa opittua lainalaisuutta: jaettava jakaja kertaa osamäärä plus jakojäännös, saadaan + ( + )( ) Jakolasku suoritetaan jakokulmassa tavalliseen tapaan jatkaen jakoa niin kauan, että jakojäännös on alempaa astetta kuin jakaja (ellei satu menemään tasan).

7 Funktion kuvaajan ja suoran y + y koordinaattien erotus R() ( + ) 1 0, kun ±. Suora y + on funktion kuvaajan (ns. vino) asymptootti, ja äkkiä nähdään erotuksesta käyrä asymptootti, että käyrä on vinon asymptoottinsa yläpuolella, kun > 1 ja alapuolella, kun < 1. Kuvaajan asymptootit ovat siis 1 ja y + +. R() + ( )( + ) ( R () ( ) + ) ( ) ( ) 0 1 ( ) + + R () + + R() kas väh väh kas R(0) 1 on paikallinen maksimi ja R() on paikallinen minimi. Paikallinen minimi on paikallista maksimia suurempi!!. Tämä selittyy sillä, että funktio on epäjatkuva pisteessä 1. Funktio saa muutoin kaikki reaaliarvot, mutta ei arvoja väliltä 1 < R() < koskaan. Käyrä saattaa olla vaikka hyperbeli, katso kuvaa.

8 Käsiteltyjen esimerkkien jälkeen voidaan rationaalifunktioiden asymptooteista esittää jonkinlainen yhteenveto. Asia on kiinteässä yhteydessä epäoleellisiin rajaarvoihin. Tilanteet, joissa muuttuja lähestyy nimittäjän nollakohtaa, liittyvät rajaarvotarkasteluissa tapauksiin. Jos nimittäjän nollakohta on ns. parillinen, vakio 0 kohdassa on epäoleellinen raja-arvo ääretön tai miinus-ääretön. Nimittäjän nollakohdan ollessa pariton, kyseessä ovat toispuoleiset epäoleelliset raja-arvot (kuten oheisessa kuvassa). Muiden asymptoottien määrityksissä ovat kyseessä raja-arvot äärettömyyksissä. Kootaan yhteenveto lauseeksi:

9 ****************************************************************** LAUSE 1 Jokaista nimittäjäpolynomin nollakohtaa vastaa y-akselin suuntainen asymptootti. Osoittajan ollessa alempaa astetta kuin nimittäjä akseli on asymptootti. Osoittajan asteluvun ollessa nimittäjän asteluku kuvaajalla on - akselin suuntainen asymptootti, jonka yhtälö on korkeinta astetta olevien termien kertoimien suhde Osoittajan asteluvun ollessa yhtä suurempi kuin nimittäjän kuvaajalla on muotoa y k + b oleva asymptootti, jonka yhtälö saadaan selville jakamalla osoittaja nimittäjällä ja jatkamalla jakoa, kunnes jakojäännös on alempaa astetta kuin jakaja. Vaillinainen osamäärä antaa suoraan asymptoottisuoran lausekkeen. Jos osoittajan asteluku on vähintään kaksi nimittäjän astelukua suurempi, kuvaajalla on käyräviivainen asymptootti, jonka yhtälö selviää edelliskohdassa esitellyllä jakomenetelmällä. Asymptootin asteluku osoittajan asteluvun ja nimittäjän asteluvun erotus. ******************************************************************