sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π

Transkriptio

1 Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä arvoilla x π + nπ, n Z. Laventamalla ja ottamalla huomioon peruskaava cos x + sin x = saadaan + tan x = = + cos x cos x+sin x cos x = cos x = cos x =. Arvoilla > 0 on = ja x ] π + nπ, π + nπ[, n Z. Arvoilla < 0 taas = ja x ] π + nπ, π + nπ[, n Z. Siten ks. myös kuvaajat alla: + tan x = + tan x = = = arvoilla x ] π + nπ, π + nπ[, n Z. = = arvoilla x ] π + nπ, π + nπ[, n Z Tarkkoja oltaessa: kaava on voimassa myös pisteissä π + nπ, joissa alkuperäisen yhtälön vasen ja oikea puoli saavat arvon nolla ja joissa kuvaajilla olisi leikkauspisteet.. Sievennä lauseke mahdollisimman yksinkerseksi. Ratkaisu. Oletetaan, että nimittäjät eivät ole nollia, eli että x nπ ja x π/ + nπ kaikilla n Z. Sievennetään muuttamalla aluksi samannimisiksi: = = = =.

2 . Ratkaise yhtälöt: a =, b =, c + = 0. 4 Ratkaisu. a Tämä on perustyyppiä T αx = a muodossa =. Ratkaistaan suoraan luentomateriaalin pohjalta ks. myös kuvio alla: = x = ±π + nπ, n Z. π_ π _ b Ratkaistaan ensin ja sitten haaraudutaan kahteen linjaan: ratkaistaan perustyyppiset sinαx = a ks. myös kuvio alla: sin x = 4 = + = Yhdistettyinä ratkaisut: x = ± π + nπ, n Z. x = + π + nπ x = π π + nπ, n Z x = π + nπ x = π + π + nπ, n Z π π_ 4 π π _ Toinen, jopa helpompi tapa on muuntaa sin x kosiniksi muuttujasta x kaavalla = sin x, jota käyttäen yhtälö saadaan ekvivalenttiin muotoon =, ja siitä normaaliin tapaan x = ±π/ + nπ, n Z, ja edelleen sama vastaus kuin ylläkin oli. c Ratkaistaan ks. myös kuvio alla: + = 0 sin x + = 0 + = 0 sin x = 0 = x = nπ, n Z x = π + nπ, n Z.

3 π_ π 0 4. Ratkaise epäyhtälö <. Ratkaisu. Muunnetaan epäyhtälö ekvivalenttiin muotoon < 0. Funktio f : R R, fx := on selvästikin jatkuva, joten se voi vaihtaa merkin + + vain nollakohdissa. Ratkaistaan siis ensin yhtäsuuruus, eli funktion f nollakohdat perustyyppiyhtälöstä: x = π + nπ, n Z = x = π 6 + nπ, n Z x = 5π 6 + nπ, n Z x = 5π + nπ, n Z. Funktion f jaksollisuuden mukaan riittää tarkastella merkinvaihtelua ja siten selvittää funktion f negatiivisyysvälit sinin yhden perusjakson [0, π] matkalla, ja niinpä sitä voidaan tarkastella muuttujan kulmamerkitystä hyödyntäen ympyrän avulla. Merkitään yllä lasketut funktion f nollakohdat sen kehälle. Koska peräkkäisten nollakohtien välillä ei merkki vaihdu, riittää kokeilla kultakin väliltä yhdessä pisteessä minkä merkkinen f sillä välillä on. Tässä tapauksessa voidaan valita mahdollisimman helpoiksi muuttujan arvoiksi kuviossa katkoviivoin: x = 0 fx = < 0 x = π 4 fx = > 0 x = π fx = < 0 x = 5π 4 fx = > 0 Merkkikaaviosta alla nähdään lausekkeen etumerkki näillä neljällä välillä, joista kahdella se on negatiivinen: π + 7π 5π + π 5π Ratkaisuksi saadaan ottamalla huomioon välien symmetrisyys: 5π π + nπ < x < + nπ, n Z. Oikeastaan tässä olisi voinut rajoittua tarkastelemaan funktion f yhtä perusjaksoa, joka tässä on π, ja valita väliksi vaikkapa [ π, π ].

4 5. Määritä a arc sin, b arc cos, c sin arc cos, d arc sin cos π. Ratkaisu. a Koska sin π 6 = ja π 6 [ π, π ], on arc sin = π 6. b Koska cos 5π 6 = ja 5π 6 [0, π], on arc cos = 5π 6. c Koska cos π = ja π [0, π], on arc cos = π, ja siten sin arc cos = sin π =. d Koska cos π = 0 ja sin0 = 0, on tarkemmin miksi? arc sin cos π = arc sin 0 = Esitä algebrallisena lausekkeena a cosarc, b tanarc. Ratkaisu. a Olkoon x. Tällöin cosarc = sin arc = sinarc = x. b Olkoon x ja x ± miksi tämä?. Merkitään hetkeksi t := arc. Nyt kaksinkersten kulmien kaavoilla pyritään saamaan aikaan lausekkeita cost = cosarc = x: tanarc = tan t = sin t cos t = sin t cos t cos t = sin tx x. Jotta saadaan ilmaistuksi sin t lausekkeen cos t avulla, käytetään kaavaa Kumpi merkki? sin t = ± cos t = ± x. Koska arvot t = arc ovat välillä [0, π], jolla sini on einegatiivinen, on valittava +. Näin ollen tanarc = sin tx x = cos tx x = x x x. 4

5 7. Todista, että arc + arc = π kaikilla x [, ]. Ratkaisu. Merkitään y := arc + arc. Koska [ arc π, π ] ja arc [0, π], on y [ π/, π/] ja miksi? sin y = sinarc + arc = sinarc cosarc + cosarc sinarc = x x + x x = x + x =. Saatiin siis, että sin y = ja y [ π, π], joten y = π. Väite on siis tosi. II tapa, jopa helpompi: Arvoilla x [, ] voidaan myös laskea näin: Koska x = cosarc = sin π/ arc, on arc = arc sin sin π arc = π arc. Siis arc + arc = π. 8. Osoita, että arvoilla < x < on ar tanh x = +x ln. x Ratkaisu. Merkitään y := ar tanh x eli x = tanh y. Tämä voidaan kirjoittaa muodossa x = ey e y e y + e y = ey e y +, mistä voidaan edelleen ratkaista y, koska < x = tanh y =< : e y = xe y + e y x = x + e y = + x x y = ln + x x y = ln. + x x Näin on saatu ratkaistuksi välillä ], [ määritellyksi funktioksi tuo väitetty ar tanh x = y = +x ln. x 5