Integroimistekniikkaa 1/5 Sisältö ESITIEDOT: integraalifunktio, määrätty integraali, derivointisäännöt Hakemisto

Transkriptio

1 Integroimistekniikk /5 Sisältö Sijoitsmenettely Annetn fnktion integrlifnktiot lskettess fnktiot pyritään mntmn siten, että tlos voidn tnnist jonkin lkeisfnktion derivtksi. Usein mntminen jodtn tekemään sess viheess. Tärkein menettely on sopivn sijoitksen tekeminen integrliin. Kyseessä voi oll integrlifnktion etsiminen, jolloin integroimismttj vihdetn toiseksi, ti määrätyn integrlin lskeminen, jolloin lisäksi mnnetn rjt. Menettely pohjt yhdistetyn fnktion derivoimissääntöön. Sijoitsmenettely on serv: Olkoon lskettvn integrli f(x) ti b f(x). Vlitn si mttj t, jot sitoo vnhn mttjn x yhtälö x = g(t). Tässä fnktio g vlitn päämääränä sd integrli yksinkertistmn. Derivoimll sdn dt = g (t) eli = g (t) dt, missä derivttsymboli on käsitelty ikäänkin se olisi osmäärä. Jos kyseessä on määrätty integrli, rtkistn lisäksi mttjlle t rjt α j β yhtä- dt löistä = g(α) j b = g(β). Sijoitetn tlokset integrliin: f(x) = f(g(t))g (t) dt ti b f(x) = β α f(g(t))g (t) dt. integrlifnktio derivointi (lkeisfnktioiden) määrätty integrli derivtt (yhdistetyn fnktion) yhtälö Sijoits voidn ivn yhtä hyvin tehdä den mttjn t shteen rtkistist modoist, mikäli tämä on helpomp: t = h(x), dt = h (x), α = h(), β = h(b). Kivelä, M niinkin mtemtiikk, versio.

2 Integroimistekniikk /5 Sisältö Esimerkkejä sijoitsmenettelystä I ) Integrli x + voidn pltt rctn-fnktion derivtn integroimiseen sijoittmll t = x, jolloin dt = : x + = dt t + = dt t + = rctn t + C Lopksi on siis pltt tkisin lkperäiseen mttjn x. ) R-säteisen poliympyrän l voidn lske integrlist R R R x. = rctn( x)+c. Tämä sdn lsketksi sijoittmll x = R sin t, jolloin = R cos tdt.ylärj mnnetn rtkisemll yhtälö R = R sin t; tällä on seit rtkisj, mtt lontevint on vlit rcsin-fnktion päährn mkinen rvo t = π/. Alrjn mntminen nt vstvsti t = π/. Tlost voidn sieventää trigonometrin kvoill: = R R π/ π/ R x = π/ π/ R cos tdt=r π/ R R sin trcos tdt π/ / π/ = R (t + sin t) = πr. π/ ( + cos t) dt integrlifnktio rcs-fnktio integrointi (kvt) integrointi (kvt) ympyrä (esimerkki) ympyrä ympyrä (l) määrätty integrli pint-l (integroimll) trigonometri (johdnniskvt) Kivelä, M niinkin mtemtiikk, versio.

3 Integroimistekniikk /5 Sisältö Esimerkkejä sijoitsmenettelystä II ) Hiemn hnklmpn esimerkkinä olkoon serv, missä integrli lksi jetn khteen osn: sin x +cosx = +cosx + sin x +cosx. integrlifnktio Tässä jälkimmäiseen sijoitetn t =+cosx, jolloin dt = sin x. Syynä on se, että osoittj on sm kin nimittäjän derivtt j osoittjss on siis sorn dt. Edelliseen integrliin sijoitetn hiemn erikoisemp: =tn(x/) eli x = rctn, jolloin = d +. Trigonometrin kvojen vll voidn osoitt, että Integrli mnt siis motoon + + cos x = tn (x/) +tn (x/) = +. d + + dt t = 4 dt + d + t. Jälkimmäinen integroit sorn logritmiksi. Edellinen voidn sijoitksell = v, d = dv pltt rctn-fnktioon: 4 dt (v +) dv + t = 4 rctn v +lnt+c. Plmll lkperäiseen mttjn x sdn trigonometri (johdnniskvt) rcs-fnktio integrointi (kvt) integrointi (kvt) 4 rctn(/ ) + ln t + C = 4 rctn( tn(x/)) + ln( + cos x)+c. Kivelä, M niinkin mtemtiikk, versio.

4 Integroimistekniikk 4/5 Sisältö Osittisintegrointi Toinen tärkeä menettely integrlien lskemisess on osittisintegrointi. Tätäkin voidn käyttää sekä integrlifnktion etsimiseen että määrättyjen integrlien lskemiseen. Perstn on tlon derivoimiskv kirjoitettn motoon v = d (v) v. Integroimll tämä sdn osittisintegroinnin kvt (x)v(x) = (x)v(x) (x)v (x), integrlifnktio määrätty integrli derivtt (tlon) b (x)v(x) = / b (x)v(x) b (x)v (x). Osittisintegroinniss mnnetn siis integrli v integrliksi v sekä integrli sisältämättömäksi lisätermiksi. Kvoj sovellettess on lkperäinen integroitv fnktio tlkittv fnktioiden j v tloksi siten, että mnnett integrli on modostettviss, ts. fnktio (jonk derivtt tnnetn) voidn helposti lske. Lisäksi tvoitteen tietenkin on, että mnnett integrli olisi yksinkertisempi. Kivelä, M niinkin mtemtiikk, versio.

5 Integroimistekniikk 5/5 Sisältö Esimerkkejä osittisintegroinnist ) Integrli x e x integrlifnktio voidn lske khdell peräkkäisellä osittisintegroinnill. Ensimmäinen nt serv: }{{} x }{{} e x = }{{} x }{{} e x }{{} x }{{} e x. v v v Kn stn integrliin sovelletn delleen osittisintegrointi sdn kikkin x e x }{{} x }{{} e x = x e x }{{} x }{{} e x + }{{} }{{} e x v v v = x e x xe x +e x +C=e x (x x+)+c. ) Integroitvn fnktion tlkitseminen sopivksi tloksi edellyttää toisinn lsekkeen hhmottmist dell tvll. Logritmifnktio voidn integroid osittisintegroinnin vll servsti: e ln x = e = e }{{} }{{} ln x = v e / e }{{} x = e (e )=. }{{} ln x v e }{{} x (/x) } {{ } v määrätty integrli logritmifnktio ) Lkij miettiköön, mitä vik on servss päättelyssä: Osittisintegroinnill sdn x = x = x x + x x =+ x. Siis =+ x x, mistä ser 0=, kn integrlit spistetn pois. Kivelä, M niinkin mtemtiikk, versio.