Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa

Transkriptio

1 Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016

2 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun esitys polaarimuodossa: z = r(cos θ + i sin θ). Matriisilaskenta 2/16

3 Eulerin kaava Eksponenttifunktiolle ja trigonometrisille funktioille ovat voimassa seuraavat sarjaesitykset: e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! x n n! +... (1) sin x = x x 3 3! + x 5 5!... + ( 1)k x 2k+1 (2k + 1)! +... (2) cos x = 1 x 2 2! + x 4 4!... + ( 1)k x 2k (2k)! +... (3) Matriisilaskenta 3/16

4 Eulerin kaava, jatkoa Jos hyväksytään annetut sarjaesitykset, niin: e ix = 1 + ix + (ix)2 2! = 1 + ix + i2 x 2 + (ix)3 3! i3 x ! 3! = 1 x 2 2! + x 4 ( 4! i x x 3 = cos(x) + i sin(x). Saadaan Eulerin kaava: 3! + x 5 5!... ) e iθ = cos θ + i sin θ. (4) Matriisilaskenta 4/16

5 Seurauksia, identiteetit trigonometrisille funktioille 1/2 Koska e iθ = cos( θ) + i sin( θ) = cos(θ) i sin(θ). Saadaan seuraavat kaavat: cos θ = eiθ + e iθ, sin θ = eiθ e iθ. 2 2i (5) Matriisilaskenta 5/16

6 Seurauksia, identiteetit trigonometrisille funktioille 2/2 Yleisesti kompleksiluvulle z = x + iy voidaan kirjoittaa cos z = 1 2 (eiz + e iz ), sin z = 1 2i (eiz e iz ). Edelleen, voidaan myös määritellä tan z = sin z cos z, cos z cot z = sin z. Matriisilaskenta 6/16

7 Kertolaskun geometrinen tulkinta Sovelletaan Eulerin kaavaa kompleksilukujen kertolaskuun: w = z 1 z 2 = r 1 e iθ1 r 2 e iθ 2 = (r 1 r 2 )e i(θ 1+θ 2 ). Kompleksilukujen kertolaskussa: Modulit kerrotaan: z 1 z 2 = z 1 z 2. Argumentit lasketaan yhteen: arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ). Matriisilaskenta 7/16

8 Identiteettejä eksponenttifunktiolle e iθ = cos θ + i sin θ = cos 2 θ + sin 2 θ = 1. Siis e iθ = 1. (6) Koska e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y), saadaan e z = e x, arg(e z ) = y, (7) e i2π = 1, e iπ/2 = i, e iπ = 1 ja e iπ/2 = i. (8) e z+i2π = e z e i2π = e z. (9) Matriisilaskenta 8/16

9 De Moivren kaava Lasketaan esitys kompleksiluvun kokonaislukupotenssille: z n = (re iθ ) n = r n e i(nθ) = r n (cos nθ + i sin nθ). Erityisesti, jos r = 1, saadaan: Lause (De Moivre) (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ. (10) Matriisilaskenta 9/16

10 Kompleksiluvun juuret De Moivren kaava on erityisen hyödyllinen etsittäessä kompleksiluvun z 0 0, n:nsiä juuria. Jos z n = z 0, voidaan kirjoittaa z = re iθ ja z 0 = r 0 e iθ 0, ja saadaan eli r n e inθ = r 0 e iθ 0, r = n r 0 ja nθ = θ 0 + 2kπ, missä r = n r 0 on positiivisen reaaliluvun r 0 n:s juuri. Matriisilaskenta 10/16

11 Kompleksiluvun juuret, jatkoa Kaikki luvun z n:net juuret saadaan siis kaavasta n z0 e i(θ0+2kπ)/n, (11) missä k on mikä tahansa kokonaisluku. Havaitaan myös, että jokainen k = 0, 1,..., n 1 antaa eri arvon, mutta muut k:n arvot vain toistavat jonkun edellisistä, koska e 2πik = 1. Siten kompleksiluvulla z 0 0 on täsmälleen n erillistä n:ttä juurta. Kaavasta (11) havaitaan myös, että kaikki juurilla on sama itseisarvo n z 0, ja argumentit ovat tasavälisiä. Siksi kaikki juuret sijaitsevat origokeskisen ympyrän, jonka säde on n z 0 kehällä. Matriisilaskenta 11/16

12 Kompleksiluvun juuret, jatkoa Olemme osoittaneet: Lause Jos z = re iθ 0, yhtälöllä w n = z on täsmälleen n erillistä ratkaisua, jotka saadaan kaavasta w k = n re i(θ+2kπ)/n, (12) missä k = 0, 1,..., n 1, juuri ja θ = arg z. n r on luvun r = z positiivinen n:äs Matriisilaskenta 12/16

13 Ykkösen juuret Esimerkki Ykkösen n:net juuret saadaan kaavasta ω k = e i2kπ/n, k = 0, 1,..., n 1. (13) Kuva: Ykkösen n:net juuret, kun n = 3, 4 ja 8. Matriisilaskenta 13/16

14 Ykkösen juuret, jatkoa Jos asetetaan ω = e 2πi/n, niin kaikki ykkösen n:nnet juuret ovat 1, ω, ω 2, ω 3,..., ω n 1. Jos ω 1, saadaan ω n = 1, eli Saadaan: 0 = ω n 1 = (ω 1)(1 + ω + ω ω n 1 ). 1 + ω + ω ω n 1 = 0 (ω = e i2π/n ). Matriisilaskenta 14/16

15 Kompleksiset matriisit 1/2 Matriisilaskennassa avaruuden C n alkioita käsitellään sarakevektoreina (pystyvektoreina) v = (v 1, v 2,..., v n ) = Tällöin lineaarikuvaukset ovat aina muotoa v 1. v n C n. Av = (a 11 v a 1n v n,..., a m1 v a mn v n ) a 11 v a 1n v n a 11 a 1n v 1 =. =.... a m1 v a mn v n a m1 a mn v n Matriisilaskenta 15/16

16 Kompleksiset matriisit 2/2 Edellisessä käytettiin aikaisemmilta luennoilta tuttua matriisituloa. Käytännössä siis lineaarikuvaukset A: C n C m ja matriisit A C m n voidaan samastaa keskenään. Tällöin kuvausten A: C n C p ja B: C p C m yhdistetty kuvaus B A: C n C m vastaa matriisituloa BA C m n. Matriisiyhtälö Av = w vastaa lineaarista yhtälöryhmää a 11 v a 1n v n = w 1,.. a m1 v a mn v n = w m. Matriisilaskenta 16/16