3. Differen*aalilaskenta
|
|
|
- Armas Nurmi
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on hetkellinen nopeus on v = d [ A ] = d [ B ] dt dt Muita derivaatan merkintätapoja: df(x) = f'(x) = f (1) (x) = D x f(x) = Df(x)
2 df(x) = f'(x) = f (1) (x) = D x f(x) = Df(x) Kaikissa näissä derivoidaan x:n suhteen. Jos funk*o f riippuu myös muista muu9ujista, ja halutaan erikseen korostaa e9ä derivoidaan (vain ja ainoastaan) x:n suhteen, käytetään osi9aisderivaatan merkintää: f(x) x = ( f(x) x ) y,z,... nämä pidetään vakiona osi9aisderivaa9aa laske9aessa
3 Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. df (x) = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h
4 Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. df (x) = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h
5 Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. df (x) = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h
6 Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. df (x) = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h
7 Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. df (x) = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h
8 Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. df (x) = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h
9 Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. df (x) = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h
10 Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. df (x) = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h
11 Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. df (x) = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h
12 Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. df (x) = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h
13 Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. df (x) = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x+h) f'(x) h
14 Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. df (x) = lim f (x + h) f (x) h 0 h f'(x)
15 Derivaa9a kohdassa x = funk*on kulmakerroin, voidaan kuvata tangenrviivalla
16 Esim: Vetyjodidin hajoamisreaak*o 2HI(g) H 2 (g) + I 2 (g) Etenemistä voi seurata mi9aamalla HI:n konsentraa*ota ajan funk*ona. Mi9austulokset 50 C lämpö*lassa: [HI],mol/L t,s Mikä on vetyjodidin hetkellinen hajoamisnopeus kun t = 70 s?
17 Ratkaisu: piirretään tangenr t = 70 s kohdalle [HI],mol/L t,s
18 Ratkaisu: piirretään tangenr t = 70 s kohdalle [HI],mol/L Δ[HI] Δt t,s
19 Ratkaisu: piirretään tangenr t = 70 s Kohdalle [HI],mol/L Δ[HI] Δt Nyt voidaan arvioida muutosnopeus t,s d [ HI] dt Δ [ HI ] Δt 0,24 mol/l 72 s 0,0033 mol/ls
20 Alkeisfunk*oiden derivaatat Vakio D x a = 0 Esim D x 8 = 0 Potenssifunk*o D x x n = nx n 1 Esim. D x x 7 = 7x 7 1 = 7x 6 D x x 2 = 2x 3 D x x = D x x 1 = 1x 0 = 1 D x (1/x 3 ) = D x x 3 = 3x 4 D y y ab+2 = (ab+2)y ab+1
21 Missä sin(x) muu9uu nopeiten? Entä vähiten? Missä cos(x) muu9uu nopeiten ja vähiten? cos(x) sin(x)
22 Alkeisfunk*oiden derivaatat Trigonometriset funk*ot D x sin x = cos x D x cos x = sin x EksponenRfunk*o D x e x = e x Logaritmifunk*o D x ln x = 1/x
23 Derivoin*säännöt Vakiokertoimen käsi9ely (tässä k = vakio) D x k = 0 D x [kf(x)] = kd x f(x) =kf'(x) Esim. D x (5e x ) = 5D x e x = 5e x Summa ja erotus D x [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x) Esim. D x [3x 2 4x +2] = D x 3x 2 + D x ( 4x) + D x (2) = 3 2x x = 6x 4
24 Tulo Derivoin*säännöt D x [f(x) g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) Esim. D x [x sin(x)] = D x (x) sin x + x D x (sin x) = 1 sin x + x cos x = sin x + x cos x Esim. D x [(x 2 1)e x cos(x)] = 2x e x cos(x) +(x 2 1)e x cos(x) (x 2 1)e x sin(x)
25 Derivoin*säännöt Osamäärä Esim. D x f(x) g(x) = f'(x)g(x) f(x)g'(x) g(x) [ ] 2 d e x d x x = D x (ex ) x - e x D x (x) x 2 = xex e x x 2 Toinen tapa: d e x d x x = d (e x x 1 ) = D x (e x ) x 1 + e x D x (x 1 ) d x = e x x 1 + e x ( 1 x 2 ) = e x (x 1 x 2 ) = ex x ex x 2 = xex e x x 2
26 Osamäärä Esim. D x f(x) g(x) Derivoin*säännöt = f'(x)g(x) f(x)g'(x) g(x) [ ] 2 d x 1 d x x +1 = D (x 1) (x+1) D x x (x +1) 2 = 1 (x+1) 1 (x 1) (x +1) 2 = x+1 x+1 (x +1) 2 = (x+1)(x 1) 2 (x +1) 2
27 Yhdistetyn funk*on derivaa9a Funk*o f jossa muu9ujana on funk*o g: f(g(x)) Esim f(x) = e x ulkofunk*o g(x) = x 2 sisäfunk*o f(g(x)) = e x2 yhdiste9y funk*o D x f(g(x)) = df(u) du dg(x) u=g(x) D x e x2 = deu du u=x 2 2 = e u u=x 2 2x = e x2 2x
28 Ketjusääntö ( chain rule ) Äsken näh*in tulos D x f(g(x)) = df(u) du dg(x) u=g(x) Tämä on esimerkki yleisemmästä ns. ketjusäännöstä: df = df du du Esimerkissä u = g(x), mu9a sääntö pätee yleises* mille tahansa muu9ujalle u. Säännön avulla saadaan helpos* johde9ua monia derivaa9oja.
29 Tavallisia esimerkkejä yhdistetyistä funk*oista 1: D x [f(x) n ] = n f(x) n 1 f'(x) Esim. D x (sin 3 x) = D x (sin x) 3 = 3 sin 2 x cos x D x cos[f(x)] = sin[f(x)] f'(x) D x sin[f(x)] = cos[f(x)] f'(x) Esim. D x [cos(2x)] = sin(2x) 2 D x [sin(x 2 1)] = cos(x 2 1) 2x D x [e f(x) ] = e f(x) f'(x) Esim. D x (e x2 ) = e x2 2x
30 Tavallisia esimerkkejä yhdistetyistä funk*oista 2: D x ln[ f(x) ] = 1 f'(x) f'(x) = f(x) f(x) Esim D x ln(x+1) Esim D x ln(cos(x)) = 1/(x+1) D x (x+1) = 1/(x+1) 1 = 1/(x+1) = 1/(cos(x)) D x cos(x) = 1/(cos(x)) sin(x) = sin(x)/cos(x) = tan(x)
31 Derivoimiskaavoja Näitä löytyy MAOLin taulukoista, muista taulukkokirjoista, ne*stä, jnpp... Useimmat kaavat johde9avissa melko helpos* edellä esite9yjen sääntöjen perusteella, kunhan alkeisfunk*oiden derivaatat muistaa Esim D x (tan x) = D x (sin x / cos x) = (cos x cos x sin x sin x)/(cos 2 x) = (cos 2 x + sin 2 x )/cos 2 x = 1/cos 2 x Ope9ele ymmärtämään ja käy9ämään; älä ope9ele ulkoa pitkää listaa kaavoja...
32 d n n# 1! x " nx DERIVATIVE RULES $! sin x" $ cos x! cos x" d d $# sin x d! a x " ln a x 2 $ %a! " d tan x d 2 $ sec x! cot x" $# csc x d! f ( x) % g( x) " $ f( x) % g& ( x) ' g( x) % f& ( x)! sec x" $ sec x tan x! " d d csc x $# csc xcot x d ( f( x) ) g( x) % f& ( x) # f( x) % g& ( x) * + $, g( x) - gx ( )! " 2 d 1! arcsin x" $ 2 1# x d 1 $ 1 ' x! arctan x" 2 d d d 1 x x! f ( gx ( ))" $ f& ( gx ( ))% g& ( x)! arc sec x" $ 2 1 x! ln x" $! sinh x" $ cosh x! cosh x" d # 1 d $ sinh x
33 Esimerkki: d/dt[e t t 2 + (2t cos(3t) 1) 8 e t ] =D t [e t t 2 ] + D t [(2t cos(3t) 1) 8 e t ] =D t (e t ) t 2 + e t D t [t 2 ] + D t [(2t cos(3t) 1) 8 ] e t + (2t cos(3t) 1) 8 D t (e t ) = 1 e t t 2 + e t 2 t + 8 (2t cos(3t) 1) 7 D t [2t cos(3t) 1] e t + (2t cos(3t) 1) 8 e t = t 2 e t + 2te t + 8 (2t cos(3t) 1) 7 (D t [2t cos(3t)] D t (1)) e t + (2t cos(3t) 1) 8 e t
34 = t 2 e t + 2te t + (2t cos(3t) 1) 8 e t + 8 (2t cos(3t) 1) 7 [D t (2t) cos(3t) + 2t D t (cos(3t)) 0)] e t = t 2 e t + 2te t + (2t cos(3t) 1) 8 e t + 8 (2t cos(3t) 1) 7 [2cos(3t) + 2t 3 sin(3t)] e t = t 2 e t + 2te t + (2t cos(3t) 1) 8 e t + 8 (2t cos(3t) 1) 7 (2cos(3t) 6tsin(3t)) e t
35 Derivaatan käy9ö kemiassa Muutosnopeuden laskeminen Esim. reak*onopeus = konsentraa*on muutosnopeus Minimi- ja maksimiarvojen löytäminen Jatkuva funk*on saavu9aa minimi- ja maksimiarvonsa joko määri9elyalueen rajoilla tai derivaatan nollakohdissa. Jos funk*o ei ole jatkuva, ääriarvo voi löytyä myös yksi9äisestä pisteestä (näitä tapauksia ei käsitellä tässä). KvanRkemian operaa9oreissa usein mukana derivaa9a Tarvitaan esim. aaltofunk*oiden ratkaisemiseen.
36 Esimerkki: Hückelin approksimaa*on avulla kuvataan konjugoituneen hiiliketjun (muotoa - C=C- C=C- C=) omaavan molekyylin orbitaalienergioita. Teorian mukaan eteenin C 2 H 4 pi- elektronien orbitaalienergiat (ε) ovat ε = α + 2c(1 c 2 ) 0.5 β α ja β ovat Hückelin parametrit ja c on muu9uja. Sta*onääririssä pisteissä dε/dc = 0. Laske ε:n mahdolliset arvot. Ratkaisu: aloitetaan laskemalla ne c:n arvot joilla dε/dc = 0. dε & dc = 0 + 2β D c( c(1 c2 ) '(, 1. & = 2β - D c (c) (1 c 2 ) 2 + c D c ((1 c 2 ) /. '( 1 2 ) + * ) * + 2.
37 % 1 ' = 2β 1 (1 c 2 ) 2 + c 1 2 (1 c2 ) 1 ) & 2 ' ( 2c)) * (' +' % ' = 2β &(1 c 2 ) ' ( 1 2 c 2 (1 c 2 ) 1 2 ) ' * ' + dε dc = 0 (1 c2 ) (1 c 2 ) - c 2 = 0 1 2c 2 = c 2 (1 c 2 ) = 0 (1 c) 2 c = ± 1 2 = ± 1 2
38 Sijoitetaan nyt lasketut c:n arvot alkuperäiseen yhtälöön: c = ε = α (1- ( )2 ) 2 β = α (1-1 2 ) 1 2 β = α β = α + β c = 1 2 ε = α (1- ( 1 2 )2 ) = α (1-1 2 ) 1 2 β 1 2 β = α β = α β
39 Derivaa9a ja ääriarvot Funk*on derivaa9aa *etyssä pisteessä kuvataan tangenrviivalla.
40 Derivaa9a ja ääriarvot Funk*on derivaa9aa *etyssä pisteessä kuvataan tangenrviivalla.
41 Derivaa9a ja ääriarvot Funk*on derivaa9aa *etyssä pisteessä kuvataan tangenrviivalla. Missä kohdissa derivaa9a (tangen*n kulmakerroin) on nolla?
42 Derivaa9a ja ääriarvot Funk*on derivaa9aa *etyssä pisteessä kuvataan tangenrviivalla. Missä kohdissa derivaa9a (tangen*n kulmakerroin) on nolla? Vastaus: funk*on ääriarvokohdissa
43 Derivaatan nollakohdat f'(x) = 0 voi merkitä f(x):n maksimia f'(x) = 0 f(x):n minimiä ei kumpaakaan (engl. saddle point") f'(x) = 0 f'(x) = 0
44 Derivaatan etumerkki Jos f'(x) > 0, funk*o on kasvava Jos f'(x) < 0, funk*o on pienenevä f'(x)=0: kasvuvauh* on nolla f'(x) = 0 f'(x) = 0 f'(x) > 0 funk*o kasvaa f'(x) < 0 funk*o pienenee f'(x) > 0 funk*o kasvaa
45 Ääriarvotehtävät Funk*on ääriarvokohdat voivat löytyä: Derivaatan nollakohdista Määri9elyalueen rajoilta Derivaatan nollakohdan luonne (maksimi, minimi vai ei kumpaakaan) selviää tarkastelemalla derivaatan etumerkkiä nollakohdan molemmin puolin f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0
46 Funk*on maksimikohdassa derivaatan f'(x) etumerkki on posi*ivinen sen nollakohdan vasemmalla (pienempi x) puolella ja nega*ivinen sen oikealla (suurempi x puolella) Funk*on minimikohdassa derivaatan f'(x) etumerkki on nega*ivinen sen nollakohdan vasemmalla (pienempi x) puolella ja posii*ivinen sen oikealla (suurempi x puolella) Jos derivaatan etumerkki on sama nollakohdan molemmin puolin, kyseessä ei ole funk*on minimi- tai maksimikohta. f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0
47 Toimintastrategia ääriarvotehtävissä ("löydä funk*on pienin/suurin arvo") 1) Selvitä f(x) määri9elyjoukko Joskus tämä on selkeäs* anne9u tehtävässä, joskus taas se täytyy itse päätellä. Kemialliset ja fysikaaliset perustelut käyvät hyvin, esim "konsentraa*o tai massa ei voi olla nega*ivinen => yksi raja on c=0 tai m=0". 2) Derivoi f(x) 3)Etsi derivaatan f'(x) nollakohdat 4)Selvitä f'(x):n etumerkin avulla onko kyseessä minimi vai maksimi 5)Laske f(x) arvo derivaatan nollakohdissa sekä määri9elyalueen rajoilla
48 Esim: mikä on funk*on f(x) = x 2 3x + 2 suurin ja pienin arvo välillä [ 5,+5]? Ratkaisu: 1)Määri9elyjoukko on anne9u; välillä [ 5,+5] 2)f'(x) = 2x 3 3)f'(x)=0 => 2x 3 = 0 => x = 3/2 = 1,5 4) kyseessä on minimi f'(x) + 5) f( 5) = 42 f(1.5) = 0,25 f(5) = 12 esim. f (1) = 1 x=1,5 è pienin arvo on 0,5 ja suurin arvo 42. esim. f (2) = 1
49
50 Esimerkki: Lennard- Jones - poten*aali Molekyylien välistä poten*aalienergiaa V(r) kuvataan usein Lennard Jones poten*aalienergiafunk*olla! V(r) = 4ε ( δ r )12 - ( δ $ " # r )6 % & missä r on molekyylien etäisyys toisistaan, ε on vuorovaikutuksen voimakkuu9a kuvaava parametri ja δ on etäisyys jolla V(r) = 0. Selvitä poten*aalienergiafunk*on minimin paikka ja arvo.
51 Ratkaisu: 1)Määri9elyjoukkoa ei ole erikseen anne9u, mu9a etäisyys ei voi olla nega*ivinen: määri9elyjoukko on siis ]0, [ 2)Derivoidaan:! V(r) = 4ε ( δ r )12 - ( δ $ " # r )6 % & = 4ε(δ12 r 12 δ 6 r 6 ) V '(r) = 4ε(δ 12 ( 12) r 13 δ 6 ( 6) r 7 ) = 4ε( 12δ 12 r δ 6 r 7 ) 3)Lasketaan derivaatan nollakohdat: V '(r) = 4ε( 12δ 12 r δ 6 r 7 ) = 0 12δ 12 r δ 6 r 7 = 0 2δ 6 r 13 + r 7 = 0
52 2δ 6 r 13 + r 7 = 0 2δ 6 r 6 +1= 0 2δ 6 r 6 = 1 r 6 = 1 r 6 = 1 2δ 6 r 6 = 2δ 6 6 r = 2δ 4)Onko kyseessä minimi vai maksimi? V'(r) + esim. V (1δ) = 24εδ 1 r=(2) 1/6 δ Huom: -edetään e3ä ε,δ > 0. esim. V (2δ) =24ε( ) δ εδ 1
53 5)Lasketaan V((2) 1/6 δ)! V(r) = 4ε ( δ 6 2δ )12 - ( δ $ 6 " # 2δ )6 % &! δ 12 = 4ε ( )-( δ 6 $ # )& 12 6 # " 2 6 δ & δ 6 %! = 4ε ( 1 " # 4 )-(1 2 ) $ % & = 4ε 1 4 = ε V(0) ei ole määritelty (tosin helpos* huomataan e9ä V(r) kun r 0, ja V(r) 0 kun r ). Löyde9y derivaatan nollakohta r = (2) 1/6 δ on siis poten*aalienergian minimikohta, jonka arvo on ε.
54 V(r) V=0 r=(2) 1/6 δ V= ε
55 Esimerkki: Maxwell- Bolzmann jakauma Todennäköisyys e9ä m- massaisen hiukkasen nopeus lämpö*lassa T on v saadaan Maxwell Bolzmannin jakaumasta: 3 m f (v) = 4π ( 2πkT ) 2 v 2 e 2 mv2 kt missä k on Bolzmannin vakio. Määritä molekyylin todennäköisin nopeus. Ratkaisu: 1)Määri9elyjoukkoa ei ole erikseen anne9u, mu9a nopeus ei voi olla nega*ivinen: määri9elyjoykko on siis ]0, [
56 2)Derivoidaan: 3 m f '(v) = 4π ( 2πkT ) 2 D v (v 2 e mv2 2 kt ) 3 m = 4π ( 2πkT ) 2 # D v (v 2 ) e 2 mv2 kt + v 2 D v (e mv2 $% 2 kt ) 3 m = 4π ( 2πkT ) 2 # 2v e 2 mv2 kt + v 2 e 2 mv2 kt D ( v $% mv2 3 m = 4π ( 2πkT ) 3 m = 4π ( 2πkT ) 2 e mv2 2 e 2 mv2 kt # 2 kt 2v + v 2 2mv & $ % 2kT ' ( v(2 mv2 kt ) & '( 2kT ) & '(
57 3)Lasketaan derivaatan nollakohdat: 3 m 4π ( 2πkT ) 2 e 2 mv2 kt v(2 mv2 kt ) = 0 tulo on nolla jos joku sen tekijöistä on nolla, eli e mv 2 2 kt = 0 tai v=0 tai (2 mv2 kt ) = 0 v = ± 2kT m EksponenRfunk*o on aina nollaa suurempi, ja nega*ivinen nopeus (2kT/m) 0.5 on määri9elyalueen ulkopuolella. Jää siis kaksi nollakohtaa: v=0 ja v=(2kt/m) 0.5
58 4) Tarkastellaan f'(v) etumerkkiä: f'(v) + 3 m f '(v) = 4π ( 2πkT ) v=0 v=(2kt/m) e 2 mv2 kt v(2 mv2 kt ) = 0 Huom: koska vakio ja eksponenrosa ovat aina > 0, ja määri9elyjoukko on v > 0, etumerkin laskemiseksi tarvitsee laskea ainoastaan tekijän (2 mv 2 /kt) etumerkki. 5) v = (2kT/m) 0.5 vastaa siis f(v) maksimiarvoa, ja vastaus on: molekyylin todennäköisin nopeus on (2kT/m) 0.5 (huom: f(v) arvoa ei kysy3y joten sitä ei tarvitse laskea)
3. Differen*aalilaskenta
3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A > B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on
3. Differen/aalilaskenta
3. Differen/aalilaskenta Differen/aali "hyvin pieni muutos" Keskeinen käsite: derivaaba (kuvaa muutosnopeuba). Ennen derivaatan käsibelyä tarvitaan tärkeä työkalu: raja- arvo eli limes (merkitään lim ).
3. Differen-aalilaskenta
//. Differen-aalilaskenta Differen-aali "yvin pieni uutos" Derivaa
Osi+aisintegroin3. Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö:
9//3 Osi+aisintegroin3 Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) = df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x)
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,
Osi*aisintegroin2. Osi*aisintegroin2: esimerkkejä. Osi*aisintegroin2tapauksia 1/29/13. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x) f(x)g'(x)dx. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)
/9/ Osi*aisintegroin Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x) g(x)
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
![Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on](/thumbs/47/23658224.jpg "Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on")
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
Korkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
Differentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Korkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion
Funktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta
8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun /lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu /lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö/lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk/o kolmiulo*eisessa
763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 2012
763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 01 1 Sisältö: 1 Differentiaalilaskentaa Integraalilaskentaa 3 Vektorit 4 Potenssisarjoja 5 Kompleksiluvut 6 Differentiaaliyhtälöistä
Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi
Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla
saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Trigonometriset funk4ot
Trigonometriset funk4ot Suorakulmainen kolmio sin() = a c cos() = b c hypotenuusa c tan() = sin() cos() = a b kulma b katee= a katee= a = c sin() b = c cos() cot() = cos() sin() = b a Trigonometriset funk4ot
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
Korkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
Rautaisannos. Simo K. Kivelä 30.8.2011
Yhteenlasku Rautaisannos 30.8.011 Yhteenlasku sin x + cos x Yhteenlasku sin x + cos x = 1 sin x + cos x = 1 x R Yhteenlasku sin x + cos x = 1 x C Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta
8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun /lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu /lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö/lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk/o kolmiulo*eisessa
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
Fysiikan matematiikka P
Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.
Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Trigonometriset funk/ot
Trigonometriset funk/ot Suorakulmainen kolmio sin(θ) = a c cos(θ) = b c hypotenuusa c tan(θ) = sin(θ) cos(θ) = a b kulma θ b katee8 a katee8 a = c sin(θ) b = c cos(θ) cot(θ) = cos(θ) sin(θ) = b a Trigonometriset
4. Integraalilaskenta
4. Integraalilaskenta Johda3eleva esimerkki: kun hiukkasen paikka s(t) derivoidaan ajan suhteen, saadaan hiukkasen nopeus: v(t) = s'(t) Kun nopeus derivoidaan ajan suhteen saadaan kiihtyvyys a(t) = v'(t)
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia 31 l Hospitalin sääntö 1 Määritä 2 5 4 2 + 2 7 12 + 11, e 1 2, (c) tan sin 2 Määritä 2012 3 704 + 2 6 30 13 10 + 7, 3 2017
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
7. Monen muu/ujan funk4on differen4aalilaskenta
7. Monen muu/ujan funk4on differen4aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun 4lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu 4lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö4lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk4o kolmiulo/eisessa
Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011
Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Jatkuvuuden
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
Matematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Esimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:
Korkeammat erivaatat Jo kerran erivoitu funk6o voiaan erivoia uuelleen.! f(x) x " # x % & = 2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) x 2 Yleisemmin merkitään: n f(x) = f (n) (x) x n erkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän
Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
Matematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
Differentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali
Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut 4-4.2.5, Prujut2008: s. 89-6 Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen,
Funktiotehtävät, 10. syyskuuta 005, sivu 1 / 4 Perustehtävät Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x. kun x on parillinen, f : N {0, 1, }, f(x) = 1 kun x on alkuluku,
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi