Äärellisten mallien teoria

Transkriptio

1 Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 7 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 Olkoot G ja H äärellisiä verkkoja, joilla kummallakin on l yhtenäistä komponenttia Olkoot G i, i {0,,l 1}, verkon G ja H i, i {0,,l 1}, verkon H yhtenäiset komponentit a) Osoita, että jos jokaisella i {0,,l 1} pätee p i Part(G i,h i ), niin i {0,,l 1} p i Part(G,H) b) Olkoon k N Osoita, että jos jokaisella i {0,,l 1} pätee G i =k H i, niin G = k H c) Osoita, että vastaavasti jos jokaisella i {0,,l 1} pätee G i = k H i, niin G = k H Ratkaisu 1 a) Koska kuvauksilla p i on erilliset kuvajoukot ja jokainen niistä on injektio, on yhdiste p = i {0,,l 1} p i myöskin injektio Olkoon a,b dom(p) Jos jollakin i < l, a,b H i, pätee (a,b) E G (p i (a),p i (b)) E H (p(a),p(b)) E H Jos toisaalta a ja b kuuluvat verkon eri komponentteihin, myös p(a) ja p(b) kuuluvat eri komponentteihin Siispä pari (a,b) ei ole verkon G eikä pari (p(a),p(b)) verkon H särmä Tämä osoittaa, että kuvaus p on osittainen isomorfismi b) Olkoon (I i,0,,i i,k ): G i =k H i kaikilla i {0,,l 1} Voidaan olettaa, että joukot I i,j ovat rajoittumien suhteen suljettuja ja p I i,j+1 p I i,j Muodostetaan J j = { i {0,,l 1} p i p i I i,j } Edellisessä tehtävässä osoitettiin, että J j Part(G,H) Olkoon p = i {0,,l 1} p i J j+1, missä p i I i,j+1 kaikilla i < l ja a G s Tällöin löytyy sellainen p s I s,j, että dom(p s ) {a} dom(p s ) Olkoon kaikilla i s, p i = p i Nyt p = i {0,,l 1} p i J j ja dom(p) {a} dom(p ) Samalla tavoin p:tä voidaan laajentaa taaksepäin Tämä osoittaa, että (J 0,,J k ): G = k H c) OlkoonI i : G i = k H i kaikilla i < l Muodostetaan J = { i {0,,l 1} p i p i I i } Joukko on epätyhjä, koska kaikki I i ovat epätyhjiä Se on rajoittumien suhteen suljettu, koska kaikki I i ovat 1

2 Olkoon p = i {0,,l 1} p i J, missä p i I i kaikilla i < l ja a G s Tällöin löytyy sellainen p s I s, että dom(p s ) {a} dom(p s) Olkoon kaikilla i s, p i = p i Nyt p = i {0,,l 1} p i J ja dom(p) {a} dom(p ) Samalla tavoin p:tä voidaan laajentaa taaksepäin Tämä osoittaa, että J: G = k H Tehtävä 2 Perinteisessä vuosilukutehtävässä muodostetaan kulloisenkin vuoden vuosiluvusta peräkkäisiä luonnollisia lukuja peruslaskutoimitusten avulla: 0 = 1 ( 6 3)), 1 = , Logiikan avulla tehtävän voi määritellä näin: Tehtävänä on löytää sellainen luku M N, että luvut 0,,M ovat esitettävissä mutta M+1 ei Ratkaise vuoden 163 vuosilukutehtävä Ratkaisu 2 Luvut 0 13 voidaan esittää: termi tulkinta (1 ) (1/) (1 )/(6 3) 3 1+/(6 3) 4 ((1+)/6) (6/3) 8 (1 6) / Osoitetaan, ettei lukua 14 voida esittää Oletetaan, että t olisi termi, joka täyttää tehtävän ehdot ja sen tulkinta olisi 14 Olkoon t sen alitermi, jonka tulkinnan osoittajassa tai nimittäjässä (supistetussa muodossa) on luku 7 tekijänä, mutta jonka missään alitermissä näin ei ole Koska 7 on alkuluku, termi t ei voi olla tulo tai osamäärä Summan ja erotuksen nimittäjä jakaa summattavien nimittäjien tulon, joten 7 on oltava tekijänä termin tulkinnan osoittajassa Koska {1+,1, + 6, 6,6+3,6 3} = { 8,3,,10,15}, joista mikään ei ole jaollinen 7:llä, ainakin kolmen vakiosymbolin on esiinnyttävä t :ssa Tällaisia ovat 2

3 (1+)+6 16 (1 )+6-2 (1 ) (1/)+6 (1+) 6 4 (1 ) 6-14 (1 ) 6 3 (1/) 6 1+(+6) 16 1+( 6) 4 1+( 6) (/6) 1 (+6) ( 6) -2 1 ( 6) (/6) 1 2 (+6)+3 18 ( 6)+3 6 ( 6)+3 57 (/6)+3 2 (+6) 3 12 ( 6) 3 0 ( 6) 3 51 (/6) (6+3) 18 +(6 3) 12 +(6 3) 27 +(6/3) 11 (6+3) 0 (6 3) 6 (6 3) - (6/3) 7 Näistä ainoat seitsemällä jaolliset ovat -14, joka voidaan muodostaa kolmesta ensimmäisestä vakiosta ja 0 ja 7, jotka voidaan muodostaa kolmesta viimeisestä Koska 3

4 / / / 7 7 tämä ei ole mahdollista Termin ensimmäisen funktion on siis oltava summa tai erotus Jos t = t +3 tai t = t 3 pitäisi termint tulkinnan olla 11 tai 17 Edellä olleesta taulukosta nähdään, ettei tämä ole mahdollista, jos t :n ensimmäinen funktio on summa tai erotus Jos t :n ensimmäinen funktio olisi tulo tai osamäärä pitäisi 11 tai 17 alkulukuina esiintyä jo jommassa kummassa alitermissä osoittajan tai nimittäjän tekijänä Vakioissa tai peräkkäisten vakioiden summissa tai erotuksissa nämä alkuluvut eivät esiinny, samoin ei peräkkäisten vakioiden tulossa tai osamäärässä Jost = 1+t tai1 t pitäisi termint tulkinnan olla 13 tai -13 Taulukosta nähdään taas, ettei t voi olla tällöin summa tai erotus Jos se olisi tulo, luku 13 esiityisi sen alitermissä osoittajan tai nimittäjän tekijänä, joka on mahdotonta, koska se ei esiinny vakioiden tai niiden summan tai erotuksen tekijänä Tapaukset t = t + t ja t = t t, missä sekä t että t sisältävät vain kaksi vakiosymbolin esiintymää voidaan karsia pois seuraavaa taulukkoa tarkastelemalla / /3 2 4

5 Tehtävä 3 Esitä esimerkki mahdollisimman alhaista kvanttoriastetta r olevasta ensimmäisen kertaluvun logiikan lauseesta ϕ, joka on totta kuvan verkossa G, mutta ei verkossa G G G Ratkaisu 3 Lause x y 1 y 2 y 3 (Exy 1 Exy 2 Exy 3 y 1 y 2 y 2 y 3 y 3 y 1 ) ilmaisee, että verkossa on vähintään kolmiasteinen solmu Tämä pitää paikkansa vain ensimmäisen verkon tapauksessa, joten lause erottaa verkot toisistaan Lauseen kvanttoriaste on neljä Aikaisemman laskuharjoituksen perusteella verkot ovat asteeseen kolme saakka osittaisesti isomorfisia Niinpä niitä ei voi erottaa kvanttoriasteen kolme lauseella Tehtävä 4 Aakkoston {R}, #(R) = 2, malleissa A ja B on kuvan mukaiset relaatiot Kuinka korkeata kvanttoriastetta r N oleva FO:n lause tarvitaan erottamaan mallit A ja B toisistaan? A B Ratkaisu 4 Lause x( y(eyx zezy) y( z(eyz Ezy) z(exz Ezy))) erottaa mallit toisistaan ja sen kvanttoriaste on 3 Osoitetaan, ettei malleja voi erottaa toisistaan kvanttoriasteella 2 Tämä tehdään osoittamalla ne asteeseen 2 saakka osittaisesti isomorfisiksi 5

6 Olkoon{A 0,A 1,A 2 } universuminaositus, missäa 0 sisältää kaksi solmua, joista on särmät toisiinsa, A 2 sisältää solmut (2 kpl), joihin tuloaste on 0 ja A 1 sisältää muut solmut (6 kpl) Olkoon {B 0,B 1,B 2 } universumin B ositus samoin perustein Olkoon I 0 kaikkien mallien välisten osittaisten isomorfismien joukko, I 1 = {{(a,b)} (a,b) (A 0 B 0 ) (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 )} ja I 2 = { } Koska p I 1 dom(p) = A 0 A 1 A 2 = A ja p I 1 dom(p) = B 0 B 1 B 2 = B laajenee edestakaisesti joukkoon I 1 Jokainen p I 1 laajenee toisaalta joukkoon I 0 Tämä johtuu siitä, että jos a A i ja b B i, niin relaatiot, jotka parit (a,x) ja (x,a) toteuttavat, kun x A, ovat samoja joita parit (b,x) ja (x, b) toteuttavat, kun x B Tehtävä 5 Todista, ettei ensimmäisen kertaluvun lauseella voi ilmaista aakkostossa {U,V} (#(U) = #(V) = 1), että U:n ja V :n tulkinnat ovat yhtämahtavia Toisin sanoen: Ei ole olemassa sellaista ϕ FO[{U,V}], että jokaisessa {U,V}-mallissa M pätee M = ϕ, jos ja vain jos U M = V M Ratkaisu 5 Olkoon A = A,U A,V A ja B = B,U B,V B sellaisia {U,V} -malleja, että min{ U A, V A, U B, V B } k Osoitetaan, että A k B Valitaan osittaisten isomofismien systeemiksi I i = {p Part(A,B) p k i} Koska I k, I k Olkoon p I i+1 ja a A mielivaltaisia Jos a V A \dom(p), on olemassa alkio b V B \ ran(p), jolloin p {(a,b)} I i Jos taas a U A \ dom(p), on olemassa alkio b U B \ ran(p), jolloin p {(a,b)} I i Laajentuminen taaksepäin menee samalla tavoin Tämä osoittaa, että (I 0,,I k ): A k B Jos nyt valitaan mallit siten, että U A = V A = U B = k, mutta V B = k+1, niin A k B, mutta vain mallissa A relaatioiden U ja V tulkinnat ovat yhtä mahtavia Koska luku k on valittu vapaasti, ei millään ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan lauseella voida ilmaista relaatioiden U ja V tulkinnan yhtämahtavuutta Tehtävä 6 Olkoon τ = {E}, missä E on kaksipaikkainen a) Kirjoita FO:n lause, joka ilmaisee E:n tulkinnan olevan mallin universumin ekvivalenssirelaatio Onko kirjoittamasi lauseen kvanttoriaste 3? b) Etsi sellaiset τ-mallitajab, ettäe A ondom(a):n ekvivalenssirelaatio, A = 2 B, mutta E B ei ole transitiivinen c) Osoita, että kohdan a lausetta ei voi korvata lauseella, jonka kvanttoriaste olisi 2 6

7 Ratkaisu 6 a) Lause x y z(exx (Exy Eyx) ((Exy Eyz) Exz))) ilmaisee, että E:n tulkinta on ekvivalenssirelaatio Lauseen kvanttoriaste on 3 b) Olkoon A = {0,1,2,3},({0,1} {0,1}) ({1,2} {1,2}) ({2,3} {2,3}) ja B = {0,1,2,3},({0,1} {0,1}) ({2,3} {2,3})} Olkoon I 0 = Part(A,B), I 1 = {{(a,b)} (a,b) A B} ja I 2 = { } Osoitetaan, että (I 0,I 1,I 2 ): A 2 B Selvästi laajenee edestakaisin joukkoon I 1 Olkoon p = {(a,b)} I 1 mielivaltainen Nyt on olemassa sellaiset a,a A\{a}, että (a,a ) E A ja (a,a ) / E A ja samoin sellaiset b,b B \ {b}, että (b,b ) E B ja (b,b ) / E B Siksipä p:tä voidaan laajentaa edestakaisesti joukkoon I 0 millä tahansa alkiolla c) Lause, joka tunnistaa mallit, joissa E on ekvivalenssirelaatio voi olla tosi vain edellisessä kohdassa konstruoidussa mallissa B mutta ei mallissa A Kuitenkin mallit ovat osittaisesti isomorfisia asteeseen 2 Tämä osoittaa, ettei ekvivalenssirelaatiota voida määritellä kvanttoriasteella 2 7