Goldblatt Thomasonin lause transitiivisille kehyksille

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mikko Kivinen Goldblatt Thomasonin lause transitiivisille kehyksille Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2009

2 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos KIVINEN, MIKKO: Goldblatt Thomasonin lause transitiivisille kehyksille Pro gradu -tutkielma, 52 s. Matematiikka Marraskuu 2009 Tiivistelmä Tässä tutkielmassa tehdään tutkimusmatka modaalilogiikan määriteltävyyteen. Erityisenä tarkastelun kohteena on eräs tunnetuimmista modaalilogiikan lauseista, nimittäin Goldblatt Thomasonin lause. Tämä lause antaa välttämättömän ja riittävän ehdon sille, että ensimmäisen kertaluvun logiikan kehysten luokka on modaalisesti määriteltävissä. Tässä työssä tarkastelua rajoitetaan perusmodaalilogiikkaan, eli modaalilogiikan kieleen määritellään yksi yksipaikkainen modaalioperaattori, sekä keskitytään erikoistapauksena (äärellisiin) transitiivisiin kehyksiin. Tutkielman alkupuolella määritellään modaalilogiikan kieli sekä tulevan tarkastelun kannalta olennaiset modaalilogiikan mallit sekä kehykset. Työssä pyritään tarkastelemaan sitä, miten erilaiset mallit ja kehykset toteuttavat samat modaalilogiikan kaavat sekä pyritään esittämään kuinka tällaisia samat kaavat toteuttavia malleja ja kehyksiä voidaan rakentaa. Tarkastelu tapahtuu ensin mallien tasolla, siirtyen sitten kehysten tasolle, josta tarkastelu jatkuu kohti äärellisiä malleja ja äärellisiä kehyksiä. Tämän työn viimeinen osio keskittyy määriteltävyyteen, tavoitteenaa esittää ja todistaa Goldblatt Thomasonin lauseen analogia (äärellisille) transitiivisille kehyksille.

3 Sisältö Johdanto 1 1 Modaalilogiikan kieli 3 2 Mallikonstruktiot Erilaiset mallikonstruktiot Bisimulaatio Määriteltävyydestä Modaalilogiikan vastaavuuskielistä Kehykset ja määriteltävyys Äärelliset mallit ja kehykset Äärellisen mallin ominaisuus Goldblatt Thomasonin lause transitiivisille kehyksille Viitteet 52 i

4 Johdanto Matematiikassa tavataan usein rakenteita, joissa on eri pisteistä, tiloista tai maailmoista muodostuva universumi sekä näiden pisteiden, tilojen tai maailmojen välisiä suhteita kuvaava relaatio. Tällaista rakennetta voidaan kutsua nimellä relationaalinen struktuuri. Esimerkkinä relationaalisesta struktuurista voidaan mainita vaikkapa luonnolliset luvut seuraajarelaatiolla varustettuna. Modaaliset kielet, erityisesti tässä tutkielmassa käsittelemämme propositiologiikan symboleja käyttävä modaalilogiikan kieli, tarjoavat yksinkertaisen tavan tutkia erilaisia relationaalisia struktuureja. Propositiomodaalilogiikan kieli käyttää logiikassa tuttuja propositiosymboleja, konnektiiveja (,,,, ja ), sekä näiden lisäksi modaalioperaatoreita. Määrittelemme kielen tarkemmin luvussa 1. Lisäksi tässä samassa luvussa määrittelemme tarkemmin kaksi tärkeää relationaalista struktuuria, mallin ja kehyksen. Modaalilogiikka ei tarkastele struktuureja ylhäältä, vaan laskeutuu pisteiden, tilojen tai maailmojen tasolle ja tarkastelee relationaalisia struktuureja paikallisesti, jostakin tietystä pisteestä, tilasta tai maailmasta katsoen. Yksi erityispiirre on, että valittuamme jonkin tietyn mallin maailman, niin modaalilogiikan avulla voimme tarkastella vain niitä maailmoja, jotka ovat yhteydessä valitsemaamme maailmaan. Esimerkiksi kaksi eri mallia voivat olla ylhäältä tarkasteltuna hyvinkin erilaisia, mutta silti sisältää sellaiset maailmat, joiden tasolta tarkasteltuna mallit ovat täysin samankaltaiset. Jopa niin, ettei näiden valittujen maailmojen tasolta katsottuna malleista löydetä eroavaisuutta. Tätä asiaa tutkimme tarkemmin luvussa 2. Modaalilogiikka ei ole kuitenkaan ainut tapa tutkia relationaalisia struktuureja. Erityisesti ensimmäisen ja toisen kertaluvun logiikat ovat käytettyjä kieliä tutkittaessa relationaalisia struktuureja. Nämä modallilogiikan vastaavuuskielet tutkivat struktuureja ylhäältä. Kuitenkin on mahdollista määritellä standardikäännös, joka muuttaa modaalilogiikan kaavan vastaavuuskielen kaavaksi. Tätä asiaa tarkastelemme hieman luvussa 3.1. Tämän tutkielman pääpaino on modaalilogiikan kielen ilmaisuvoiman tutkimisessa. Luvussa 3 tutkimme määriteltävyyttä erityisesti äärellisten kehysten tapauksessa. Luvussa 4 päätämme tutkielman esittämällä ja todista- 1

5 malla päätuloksemme Goldblatt Thomasonin lauseen transitiivisille kehyksille. Lukijalta edellytämme logiikan perusasioiden hallintaa sekä induktiotodistuksen metodin tuntemista. Modaalilogiikan osalta tämä tutkielma aloittaa perusteista, eikä näin ollen modaalilogiikan tunteminen ole aivan välttämätöntä. 2

6 1 Modaalilogiikan kieli Aloitamme tutkielman määrittelemällä ensimmäiseksi modaalilogiikan kielen sekä modaalilogiikan kaavanmuodostussäännöt. Määritelmä 1.1. Modaalilogiikan kieli määritellään propositiosymbolien joukosta Φ olevien propositiosymbolien p, q, s,..., sekä yksipaikkaisen modaalioperaattorin joukoksi. Määritelmä 1.2. Modaalilogiikan kaavat φ muodostetaan (tässä tutkielmassa) säännöllä φ = df p φ φ ψ φ, missä p on propositiosymboli joukosta Φ. Modaalilogiikan kieltä voidaan merkitä merkinnällä ML(Φ). Tässä tutkielmassa määrittelemme muut loogiset konnektiivit negaation ja disjunktion avulla seuraavasti: φ ψ = df ( φ ψ) φ ψ = df φ ψ φ ψ = df (φ ψ) (ψ φ) = df. Yksipaikkaista modaalioperaattoria sanotaan timanttioperaattoriksi. Timanttioperaattorin duaalioperaattori laatikko-operaattori,, määritellään seuraavasti: φ = df φ. Muitakin tapoja määritellä tavallinen modaalilogiikan kieli on olemassa. Erityisesti voidaan primitiivioperaattoriksi ottaa laatikko-operaattori ja määritellä loogiset konnektiivit negaation ja konjunktion avulla. Tässä seuraamme Blackburnin, de Rijken ja Veneman [1] esitystapaa. Huomautus. Kuinka timantti- ja laatikko-operaattoreita voisi tulkita? Suomenkielinen tulkinta merkinnästä φ voidaan lukea on mahdollista, että φ. 3

7 Samoin merkintä φ voidaan lukea määritelmänsä mukaisesti ei ole mahdollista että ei φ tai yhtäpitävästi välttämättä φ. Tämä tulkinta on alkuperäinen ajatus tulkita modaalioperaattoreita tavallisella kielellä. Tämä tutkielma ei kuitenkaan käsittele tätä tulkintatapaa paria havainnollistavaa esimerkkiä enempää, vaan keskittyy modaalilogiikan yleisempään käsittelyyn. Seuraavassa esimerkki perusmodaalilogiikan kaavan lukemisesta ja yrityksestä tulkita annetut lauseet tosiksi tai epätodeksi. Esimerkki 1.1. Merkitään lausetta huomenna sataa kirjaimella p. Tällöin modaalilogiikan lause p p luetaan jos huomenna välttämättä sataa, niin huomenna mahdollisesti sataa. Tämä lause tuntuisi intuitioon pohjautuen olevan totta. Sen sijaan modaalilogiikan lause p p, joka luetaan jos huomenna mahdollisesti sataa, niin huomenna sataa tuntuisi olevan epätosi. Modaalilogiikan kaavan lukeminen ja sen totuuksien tulkitseminen äskeisessä esimerkissä perustui pitkälti intuitioon eikä täsmälliseen määritelmään. Modaalilogiikan kaavojen totuuksia voidaan kuitenkin tulkita huomattavan matemaattisemmin, nimittäin relationaalisissa struktuureissa. Tähän tarkoitukseen määrittelemme seuraavaksi kehyksen ja mallin. Määritelmä 1.3. Perusmodaalilogiikan kehys F = W, R on järjestetty pari, jolle pätevät seuraavat ehdot: (i) Joukko W on epätyhjä. (ii) R W W on kaksipaikkainen relaatio. Joukon W alkioita kutsutaan maailmoiksi (tai pisteiksi, tiloiksi). Määritelmä 1.4. Perusmodaalilogiikan malli M = F, V on järjestetty pari, missä F on perusmodaalilogiikan kehys ja V on funktio lausemuuttujien joukolta Φ joukolle P(W ). Funktio V liittää jokaiseen lausemuuttujaan p joukon W osajoukon V (p). Funktiota V sanotaan valuaatiofunktioksi tai valuaatioksi. Mallin M = F, V sanotaan perustuvan kehykseen F. Yleistäen voidaan todeta, että relationaalinen struktuuri on rakenne, jossa on epätyhjä universumi tai maailmojen joukko sekä vähintään yksi relaatio. Valuaatiofunktio V kertoo meille ne maailmat, joissa lausemuuttuja p on tosi. Tarkastellaan tätä toteamusta lyhyen esimerkin muodossa. 4

8 Esimerkki 1.2. Olkoon M = W, R, V perusmodaalilogiikan malli. Olkoot W = {1, 2, 3} ja V (p) = {1, 2}. Nyt voimme todeta, että propositiosymboli p on totta mallin M maailmoissa 1 ja 2, mutta ei ole totta (epätosi) mallin M maailmassa 3. Huomaamme, että propositiosymbolien totuudet määräytyvät suoraan valuaatiofunktion määrittelemänä. Seuraava määritelmä kertoo kuinka totuus määräytyy modaalilogiikan kaavoille. Määritelmä 1.5. Olkoon M = W, R, V malli ja w W mallin M maailma. Määrittelemme modaalilogiikan kaavan φ totuuden mallin M maailmassa w (merkitään M, w φ) seuraavasti: M, w p w V (p), kun p Φ, M, w ei koskaan, M, w φ ei ole niin että M, w φ (merkitään M, w φ), M, w φ ψ M, w φ tai M, w ψ, M, w φ v W : (w, v) R ja M, v φ. Näistä määritelmistä seuraa, että kaava φ on totta mallissa M maailmassa w, jos ja vain jos kaikilla v W joille pätee (w, v) R on M, v φ. Tällöin merkitään M, w φ. Huomautus. Kun puhutaan modaalilogiikan mallin M = W, R, V maailmasta w tulisi tarkkaan ottaen kirjoittaa w W, mutta mikäli sekaannuksen vaaraa ei ole, voidaan myös kirjoittaa w M. Huomautus. Maaritelma 1.5 kertoo, että modaaliset operaattorit ja eivät tarkista modaalilogiikan lauseiden totuutta kaikissa annetun joukon W maailmoissa, vaan ainoastaan niissä maailmoissa, jotka ovat saavutettavissa relaation R avulla. Ääritapauksissa voimme antaa relaation R olla sellainen, että kaikista maailmoista on mahdollista saavuttaa jokainen maailma, R = W W, tai että mistään maailmasta ei ole yhteyttä toiseen maailmaan. Toinen huomautuksen arvoinen asia koskee modaalisia kaavoja, joissa on enemmän kuin yksi timanttioperaattori. Miten esimerkiksi merkintä M, w φ tulisi tulkita? Täsmällisemmin kaava tulisi kirjoittaa muodossa M, w 5

9 ( φ), jolloin on helpompaa määritelmään 1.5 nojautuen tulkita, että on olemassa ensinnäkin sellainen maailma v että on (w, v) R ja M, v φ sekä toisekseen sellainen maailma u että (v, u) R sekä M, u φ. Voidaan siis sanoa, että kaava φ on tosi kahden R-askeleen päässä maailmasta w. Monissa sovelluksissa sellaiset mallit, jotka ovat ulkoasultaan puun mallisia ovat suuressa roolissa. Tämä tutkielma ei tee tähän poikkeusta, vaan määrittelemme tässä myöhempää käyttöä varten puun ja puu-tyyppisen mallin käsitteet. Tätä varten määrittelemme ensin seuraavat käsitteet. Määritelmä 1.6. Olkoon W epätyhjä maailmojen joukko ja olkoon R kaksipaikkainen relaatio R W W. Relaation R transitiivinen sulkeuma on pienin transitiivinen relaatio R + W W, joka sisältää relaation R. Toisin sanoen R + = {R R W W on transitiivinen relaatio ja R R }. Relaation R refleksiivinen transitiivinen sulkeuma on pienin refleksiivinen ja transitiivinen relaatio R W W, joka sisältää relaation R. Siis R {R R = W W on refleksiivinen ja transitiivinen relaatio ja R R }. Havaitaan, että (u, v) R + jos ja vain jos on olemassa sellainen maailmojen jono u = w 0, w 1,..., w n = v ( i : w i W, n > 0) että jokaisella indeksillä i < n pätee (w i, w i+1 ) R. Toisin sanoen maailma v on saavutettavissa maailmasta u äärellisellä määrällä R-askeleita. Määritelmä 1.7. Puu T = T, S on relationaalinen struktuuri, missä (i) Universumin T joukossa on sellainen maailma r T että t T : (r, t) S. Tätä maailmaa sanotaan puun juureksi. (ii) Jokaisella maailmalle t r on olemassa sellainen yksikäsitteinen maailma t T että (t, t) S. (iii) Relaatio S on asyklinen, eli t : (t, t) / S +. Sanotaan, että perusmodaalilogiikan malli M = W, R, V on puu-tyyppinen, jos sen rakenne W, R on määritelmän 1.7 mukaisesti puu. Huomasimme jo aiemmin kehysten ja mallien määritelmien yhteydessä kuinka kehykset ovat tavallaan mallien yläpuolella. Modaalilogiikan kaavojen totuuksia tarkasteltaessa liikumme mallien tasolla, jossa totuuden mää- 6

10 räävät valuaatiofunktio sekä kyseessä olevan relaation rakenne. Näitä havaintoja tarkennamme seuraavissa määritelmissä. Määritelmä 1.8. Modaalilogiikan kaavojen joukko Σ on totta mallissa M maailmassa w, jos joukon Σ kaikki kaavat ovat totta maailmassa w. Tällöin merkitään M, w Σ. Määritelmä 1.9. Modaalilogiikan kaava φ on globaalisti totta tai universaalisti totta mallissa M, jos se on totta mallin M kaikissa maailmoissa; kaikilla w W pätee M, w φ. Jos modaalilogiikan kaava φ on universaalisti totta mallissa M, niin merkitään M φ. Modaalilogiikan kaavojen joukko Σ on universaalisti tosi mallissa M, jos kaikilla w W pätee M, w Σ. Jos modaalilogiikan kaavojen joukko Σ on universaalisti tosi mallissa M, niin merkitään M Σ. Määritelmä Modaalilogiikan kaava φ on toteutuva mallissa M, jos on olemassa maailma w M, jossa kaava φ on tosi. Vastaavasti modaalilogiikan kaavojen joukko Σ on toteutuva jos on olemassa maailma w M, jolle pätee M, w Σ. Mallien ja kehysten määritelmiä vertaamalla huomaamme, että kehysten tasolla yksittäisen valuaation merkitys poistuu. On siis järkevää tarkastella modaalilogiikan kaavojen totuuksia kaikilla mahdollisilla valuaatioilla. Määritelmä Perusmodaalilogiikan kaava φ on validi kehyksen F maailmassa w, jos kaava φ on tosi maailmassa w jokaisessa mallissa F, V. Tällöin merkitään F, w φ. Kaava φ on validi kehyksessä F, jos se on validi jokaisessa kehyksen F maailmassa. Tällöin merkitään F φ. Kaava φ on validi kehysluokassa K, merkitään K φ, jos se validi jokaisessa kehyksessä F K. Huomautus. Edellä määrittelimme perusmodaalilogiikan kielen, jonka erikoisuutena on rajoittuminen yhteen yksipaikkaiseen modaalioperaattoriin. Yleisemmin modaalilogiikan kielen modaalioperaattorit voidaan määritellä ottamaan argumenteikseen enemmän kuin yhden kaavan tai voidaan määritellä enemmän kuin yksi primitiivinen modaalioperaattori. 7

11 Blackburn, de Rijke ja Venema [1, s. 11] määrittelevät modaalisen similariteettityypin järjestettynä parina τ = O, ρ, missä O on epätyhjä joukko modaalioperaattoreita ja ρ : O N on funktio, joka liittää jokaiseen operaattoriin äärellisen luvun, joka kertoo monikopaikkainen tämä operaattori on. Joukon O modaalioperaattoreita merkitään kolmioilla, 1, 2,..., ja yksipaikkaista operaattoria kutsutaan timanttioperaattoriksi, kuten perusmodaalilogiikassa. Modaalilogiikan kieli ja modaalilogiikan kaavat määritellään propositiosymbolien ja loogisten konnektiivien tapauksissa kuten perusmodaalilogiikassa. Varsinaiset modaaliset kaavat määritellään säännöllä φ = df (ψ 1,..., ψ ρ( ) ). Jokaiselle modaalioperaattorille O määritellään duaalioperaattori säännöllä (φ 1,..., φ n ) = df ( φ 1,..., φ n ). Yksipaikkaista operaattoria sanotaan laatikko-operaattoriksi, kuten perusmodaalilogiikassa. Yleisen modaalilogiikan kehys tai τ-kehys F on rakenne, jossa on epätyhjä maailmojen joukko W sekä jokaista n-paikkaista modaalioperaattoria vastaava (n+1)-paikkainen relaatio R, missä n > 0. Jos similariteettityyppi τ sisältää äärellisen määrän modaalioperaattoreita 1,..., n, kirjoitetaan F = W, R 1,..., R n, muutoin kirjoitetaan F = W, R τ. Yleisen modaalilogiikan malli tai τ-malli on järjestetty pari M = F, V, missä F on τ-kehys ja V on valuaatiofunktio propositiosymbolien joukolta Φ joukolle P(W ). Yleisen modaalilogiikan kaavan φ totuus mallin M maailmassa w määritellään induktiivisesti. Modaalilogiikan kaavojen totuudet määräytyvät kuten perusmodaalilogiikassa ja määritelmässä 1.5 paitsi modaalisten operaattoreiden osalta. Kun ρ( ) > 0 (modaalioperaattori ottaa kaavan argumentikseen), niin kaavan totuus määritellään seuraavasti: M, w (φ 1,..., φ n ) joss on olemassa sellaiset maailmat v 1,..., v n W että (w, v 1,..., v n ) R ja jokaisella indeksillä i on M, v i φ i. Kolmio-operaattorin duaalin totuus määritellään vastaavalla tavalla seu- 8

12 raavasti: M, w (φ 1,..., φ n ) joss kaikilla maailmoilla v 1,..., v n W pätee: jos (w, v 1,..., v n ) R niin M, v i φ i jokaisella indeksillä i. Jatkossa rajoitumme tarkastelemaan vain perusmodaalilogiikan tapauksia. 9

13 2 Mallikonstruktiot 2.1 Erilaiset mallikonstruktiot Tarkasteltaessa malleja ja modaalilogiikan kaavojen totuuksia ei ole niinkään kiinnostavaa rakentaa erilaisia malleja yksi kerrallaan ja tutkia erilaisien kaavojen totuuksia näissä yksittäisissä malleissa. Paljon kiinostavampaa on tutkia kuinka samankaltaisia erilaiset mallit ovat. Erityisesti on kiinnostavaa tutkia minkälaiset mallit toteuttavat samat modaalilogiikan kaavat. Lisäksi meitä kiinnostaa tutkia, voidaanko malleista valita tiettyjä osia tai tuoda malliin uusia maailmoja sillä tavalla, että alkupeäinen malli ja uusi malli toteuttavat yhä samat modaalilogiikan kaavat. Aloitamme näiden asioiden tutkimisen määrittelemällä mitä tarkoitetaan modaalisen ekvivalenssin käsitteellä. Määritelmä 2.1. Olkoot M ja M modaalilogiikan malleja ja w ja w sellaiset näiden mallien maailmat että w M ja w M. Maailman w teoria on niiden kaavojen joukko, jotka ovat tosia maailmassa w, eli joukko { φ M, w φ }. Mallin M teoria on niiden kaavojen joukko, jotka ovat tosia mallin M kaikissa maailmoissa, siis joukko { φ M φ }. Maailmojen w ja w sanotaan olevan modaalisesti ekvivalentteja, jos niillä on samat teoriat. Tällöin merkitään M, w M, w. Jos mallit ovat yhteydestä selviä, voidaan kirjoittaa lyhyemmin w w. Vastaavasti mallit M ja M ovat modaalisesti ekvivalentteja, jos niillä on samat teoriat. Tällöin merkitään M M. Seuraavaksi esittelemme kolme tärkeää mallikonstruktiota, erilliset yhdisteet, generoidut alimallit sekä rajoitetut morfismit, jotka säilyttävät mallien maailmoiden teoriat muuttumattomina. Jos mallikonstruktion jälkeen uuden mallin maailmoilla on sama teoria kuin alkuperäisen mallin vastaavilla maailmoilla, niin sanotaan että modaalinen totuus säilyy kyseisessä mallikonstruktiossa. Toteamme vielä ennen erillisen yhdisteen määritelmää, että kaksi mallia M = W, R, V ja M = W, R, V ovat erillisiä, jos W W =. Määritelmä 2.2 (Erilliset yhdisteet). Erillisten mallien M i = W i, R i, V i, missä i I, erillinen yhdiste on rakenne i M i = W, R, V, missä W on 10

14 joukkojen W i yhdiste, R on relaatioiden R i yhdiste ja jokaiselle propositiosymbolille p on voimassa V (p) = i I V i(p). Aina eivät mallien universumit kuitenkaan ole automaattisesti erillisiä, vaan on tarpeen ensin tehdä niistä erilliset. Tätä huomiota tarkastelemme seuraavassa esimerkissä. Esimerkki 2.1. Olkoot M 1 = W 1, R 1, V 1 ja M 2 = W 2, R 2, V 2 perusmodaalilogiikan malleja, joiden univerumit ovat W 1 = {w 1, w 2 } ja W 2 = {w 2, w 3 }. Lisäksi mallien sisäiset relaatiot ovat R 1 = {(w 1, w 2 )} ja R 2 = {(w 2, w 3 )} sekä valuaatiot V 1 (p) = {w 1 } ja V 2 (p) = {w 3 }. Nyt malleilla M 1 ja M 2 on yhteinen maailma w 2, joten ne eivät ole erilliset. Määritellään mallit M 1 = W 1, R 1, V 1 ja M 2 = W 1, R 1, V 1 seuraavasti: W i = {(w, i) w W i }, i {1, 2}, R i = {( (w, i), (v, i) ) (w, v) R i }, i {1, 2}, V i (p) = {(w, i) w V i (p)}, i {1, 2}. Tämä indeksöinti takaa sen, että mallit M 1 ja M 2 ovat erilliset. Erillinen yhdiste on nyt i M i = i W i, i R i, i V i (p). Joten meidän esimerkissämme lopullinen malli i M i = W, R, V on mallien M 1 ja M 2 erillinen yhdiste, jolle W = {(w 1, 1), (w 2, 1), (w 2, 2), (w 3, 2)}, R = {( (w 1, 1), (w 2, 1) ), ( (w 2, 2), (w 3, 2) )}, V (p) = {(w 1, 1), (w 3, 2)}. Seuraavaksi todistamme, että modaalinen totuus säilyy luotaessa erillinen yhdiste. Lause 2.1. Olkoot M i perusmodaalilogiikan malleja kaikilla indekseillä i I. Tällöin jokaiselle modaalilogiikan kaavalle φ, jokaiselle i I ja jokaiselle mallin M i maailmalle w pätee M i, w φ jos ja vain jos i I M i, w φ. 11

15 Todistus. Todistamme lauseen induktiolla kaavan φ pituuden suhteen. Olkoon i mikä tahansa indeksi ja merkitään erillistä yhdistettä i I M i symbolilla M. On osoitettava, että M i, w φ joss M, w φ Oletetaan ensin, että kaava φ ei sisällä konnektiiveja. Oletetaan, että kaava φ on propositiossymboli p ja oletetaan aluksi, että M i, w φ. Tällöin on w V i (p) ja erillisen yhdisteen valuaatiofunktion V (p) määritelmän perusteella on w V (p), joten M, w φ. Oletetaan sitten, että M, w φ jollakin maailmalla w M i. Erillisen yhdisteen valuaatiofunktion määritelmän perusteella on w V j (p) jollakin indeksillä j. Mallien erillisyyden perusteella on oltava i = j. Täten w V i (p) ja M i, w φ. Jos kaava φ on, on kaava φ triviaalisti epätosi maailmassa w molemmissa malleissa, joten M i, w φ joss M, w φ. Seuraavaksi teemme induktio-oletuksen, jonka mukaan ekvivalenssi pätee jos kaavassa φ on enintään n konnektiivia, n 0. On osoitettava, että ekvivalenssi pätee kaikille kaavoille φ, jotka sisältävät n + 1 konnektiivia. Oletetaan, että kaava φ on muotoa ψ ja oletetaan, että M i, w ψ. Tällöin M i, w ψ ja induktio-oletuksen perusteella M, w ψ. Siis M, w ψ. Oletetaan sitten, että M, w ψ. Tällöin on M, w ψ ja induktiooletuksen perusteella M i, w ψ. Siis M i, w ψ. Oletetaan, että kaava φ on muotoa ψ θ ja oletetaan, että M i, w ψ θ. On siis M i, w ψ tai M i, w θ. Induktio-oletuksen perusteella on M, w ψ tai M, w θ. Molemmissa tapauksissa on siis M, w ψ θ. Oletetaan sitten, että M, w ψ θ. On siis M, w ψ tai M, w θ. Induktiooletuksen perusteella on M i, w ψ tai M i, w θ. Molemmissa tapauksissa on siis M i, w ψ θ. Oletetaan lopuksi, että kaava φ on muotoa ψ. Oletetaan, että M i, w ψ. Tällöin on olemassa sellainen maailma v että (w, v) R i ja M i, v ψ. induktio-oletuksen perusteella M, v ψ. Mallin M määritelmän mukaan (w, v) R, joten M, w ψ. Oletetaan sitten, että M, w ψ pätee jollekin maailmalle w M i. Tällöin on olemassa sellainen maailma v, että (w, v) R ja M, v ψ. Relaation R määritelmän mukaan on (w, v) R j jollakin indeksillä j. Mallien universumien erillisyyden perusteella on oltava j = i. Tällöin maailma v kuuluu malliin M i, joten induktio-oletuksen perusteella M i, v ψ ja M i, w ψ. 12

16 Huomautus. Edellä oleva todistus käytiin vaihe vaiheelta läpi, mukaan lukien vaiheet, jossa kaava φ on muotoa ψ ja ψ θ. Nämä vaiheet seuraavat suoraan induktio-oletuksesta ja tulevissa vastaavissa modaalista totuutta tarkastelevissa todistuksissa keskitytäänkin mielenkiintoiseen vaiheeseen, eli vaiheeseen, jossa kaava on muotoa ψ. Huomautimme aiemmin, kuinka modaalioperaattorit ja tarkistavat modaalilogiikan kaavojen totuuksia vain niissä maailmoissa, jotka ovat saavutettavissa relaation R avulla. Lisäksi muistamme, että laatikko-operaattori ( kaava on totta kaikissa yhden R-askeleen päässä olevissa maailmoissa - modaalioperaattori ) on lyhennysmerkintä kaavasta. Näiden havaintojen pohjalta voisi olla ainakin periaatteessa mahdollista määritellä perusmodaalilogiikan kielellä sellainen modaalioperaattori, joka tarkistaisi modaalilogiikan kaavan totuuden kaikissa annetun mallin maailmoissa, relaation R rajoituksista huolimatta. Tällainen globaali timantti E määriteltäisiin seuraavasti: M, w Eφ joss M, v φ jollakin maailmalla v M. Globaalin timantin duaalioperaattori, globaali laatikko A määriteltäisiin vastaavasti: M, w Aφ joss M, v φ kaikilla maailmoilla v M. Koska kuitenkin operaattorit ja tarkistavat kaavojen totuuksia paikallisesti, tuntuu tällaisen operaattorin rakentaminen niiden avulla mahdottomalta. Voimme osoittaa tämän käyttämällä lausetta 2.1. Esimerkki 2.2. Oletetaan, että voisimme määritellä globaalin laatikon eli operaattorin A. Tällöin voisimme kirjoittaa operaattorin A lausekkeen käyttämällä vain perusmodaalilogiikan symboleja. Olkoon tämä lauseke α(p) sellainen, että jokaiselle mallille M ja maailmalle w on voimassa M, w α(p) joss M p. Olkoon M 1 sellainen perusmodaalilogiikan malli, jossa propositiosymboli p on totta kaikissa maailmoissa w M 1 ja olkoon M 2 (mallista M 1 erillinen) sellainen perusmodaalilogiikan malli, jossa propositiosymboli p ei ole totta missään maailmassa v M 2. On siis M 1, w α(p). Koska α(p) sisältää vain 13

17 perusmodaalilogiikan symboleja, on lauseen 2.1 perusteella M 1 M2, w α(p). Tästä seuraa globaalin laatikon määritelmän mukaisesti M 1 M2 α(p). Tällöin on M 1 M2, v p jokaisella v M 2 ja edelleen lauseen 2.1 perusteella M 2 p, mikä on ristiriidassa sen oletuksen kanssa, että propositiosymboli p ei ole totta missään mallin M 2 maailmassa. Täten globaali laatikko (sekä duaalina globaali timantti) ei ole määriteltävissä perusmodaalilogiikan kielessä. Erilliset yhdisteet rakentavat pienemmistä malleista suurempia säilyttäen samalla modaalisen totuuden. Seuraavaksi esittelemme mallikonstruktion, jonka avulla voimme tehdä päinvastoin, eli rakentaa suuremmasta mallista pienemmän, modaalisen totuuden tietysti säilyttäen. Määritelmä 2.3 (Generoidut alimallit). Olkoot M = W, R, V ja M = W, R, V perusmodaalilogiikan malleja. Malli M on mallin M alimalli jos seuraavat ehdot ovat voimassa: (i) W W, (ii) R = R (W W ), (iii) jokaiselle propositiosymbolille p pätee V (p) = V (p) W. Malli M on mallin M generoitu alimalli, jos malli M on mallin M alimalli sekä kaikille maailmoille w on voimassa seuraava ehto: (2.1) jos w M ja (w, v) R, niin v M. Jos M on mallin M generoitu alimalli, niin merkitään M M. Määritelmä 2.4. Olkoon M = W, R, V malli ja X mallin M universumin W osajoukko. Joukon X generoima alimalli on pienin sellainen mallin M generoitu alimalli, jonka universumi sisältää joukon X. Juurellinen tai pistegeneroitu malli on sellainen malli, jonka generoiva joukko sisältää täsmälleen yhden pisteen. Tätä pistettä sanotaan mallin juureksi. Seuraavaksi todistamme, että modaalinen totuus säilyy generoiduissa alimalleissa. 14

18 Lause 2.2. Olkoot M ja M sellaiset perusmodaalilogiikan mallit, joille pätee M M. Tällöin jokaiselle kaavalle φ ja jokaiselle mallin M maailmalle w on voimassa seuraava ehto: M, w φ joss M, w φ. Todistus. Todistetaan induktiolla kaavan φ pituuden suhteen. Oletetaan ensin, että kaava φ ei sisällä konnektiiveja. Jos kaava φ on propositiosymboli p, niin M, w φ joss w V (p) joss w V (p) joss M, w φ. Jos kaava φ on, niin se on epätosi molemmissa malleissa ja haluttu ekvivalenssi on voimassa. Tehdään induktio-oletus, että ekvivalenssi pätee, kun kaavassa φ on n konnektiivia, missä n 0. On osoitettava, että ekvivalenssi pätee, kun kaavassa φ on n + 1 konnektiivia. Jos kaava φ on muotoa ψ tai ψ θ, niin väite seuraa suoraan induktiooletuksesta. Tarkastellaan tapausta, jossa kaava φ on muotoa ψ. Oletetaan ensin, että M, w ψ. Tällöin on olemassa sellainen v W, että (w, v) R ja M, v ψ. Oletuksen perusteella on w W ja koska (w, v) R, niin edelleen generoidun alimallin määritelmän perusteella on v W. Induktio-oletuksen perusteella on tällöin M, v ψ. On siis w W ja v W ja koska R = R (W W ) on (w, v) R, joten M, w ψ. Oletetaan sitten, että M, w ψ. Tällöin on olemassa sellainen v W, että (w, v) R ja M, v ψ. Induktio-oletuksen perusteella on M, v ψ. Relaation R määritelmän perusteella on (w, v) R ja koska on w W W, niin on w W Siis saamme M, w ψ. Havaitsemme, että lause 2.1 on erikoistapaus lauseesta 2.2; erillisen yhdisteen jokainen komponentti on kyseisen erillisen yhdisteen generoitu alimalli. Tämän havaitaksemme oletetaan, että malli M i = W i, R i, V i on mikä tahansa erillisen yhdisteen i M i = W, R, V komponentti. Näin ollen määritelmän 2.3 alimallin ehdot (i), (ii) ja (iii) täyttyvät suoraan erillisen yhdisteen määritelmän perusteella. Oletetaan siis, että w M i ja (w, v) R. Tällöin relaation R määritelmän ja mallien erillisyyden perusteella on v M i. Siis malli M i on erillisen yhdisteen i M i generoitu alimalli. Vastaavasti kuten esimerkissä 2.2 osoitimme, ettei perusmodaalilogiikassa voi määritellä globaalia operaattoria, voimme osoittaa, ettei perusmodaali- 15

19 logiikka voi katsoa taaksepäin. Seuraava esimerkki osoittaa tämän käyttämällä lausetta 2.2. Esimerkki 2.3. Oletetaan, että voisimme määritellä modaalioperaatorin P, joka tarkastaa tietyn maailman edeltäjän toteuttamat propositiosymbolit käyttämällä vain perusmodaalilogiikan symboleja. Olkoon operaattorin P lauseke β(p) sellainen, että jokaiselle mallille M ja maailmalle w on voimassa M, w β(p) joss v M : ( (v, w) R ja M, v p ). Olkoon M = Z, <, V perusmodaalilogiikan malli, jonka maailmoja ovat kokonaisluvut ja relaatio on kokonaislukujen tavallinen järjestysrelaatio. Olkoon M + = Z +, <, V perusmodaalilogiikan malli, jonka maailmoja ovat positiiviset kokonaisluvut ja relaationa tavallinen järjestysrelaatio. Olkoon propositiosyboli p globaalisti totta molemmissa malleissa. Koska propositiosymboli p on globaalisti totta on M, 1 β(p). On helppoa havaita, että M + M joten lauseen 2.2 perusteella on oltava M +, 1 β(p). Mutta mallissa M + ei ole maailmaa v jolle pätisi ehto (v, 1) < (tai kuten yleisemmin kirjoitetaan v < 1), mikä johtaa ristiriitaan. Näin ollen taaksepäin katsovaa modaalioperaattoria P ei voi määritellä perusmodaalilogiikassa. Matematiikassa morfismin käsite on usein tärkeässä roolissa. Tämän tutkielman tapauksessa meitä luonnollisesti kiinnostavat sellaiset morfiakuvaukset, jotka säilyttävät modaalisen totuuden. Lähestymme meitä kiinnostavaa morfismin muotoa palauttamalla mieleen ensin homomorfismin, vahvan homomorfismin sekä isomorfismin käsitteet. Määritelmä 2.5. Olkoot M = W, R, V ja M = W, R, V perusmodaalilogiikan malleja. Funktio f joukolta W joukkoon W on homomorfismi, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (i) Jokaiselle propositiosymbolille p ja maailmalle w M on voimassa ehto: jos w V (p) niin f(w) V (p), (ii) jos (w, v) R, niin (f(w), f(v)) R. Vahva homomorfismi on homomorfismi f : M M joka toteuttaa ehdot (i) ja (ii) seuraavassa vahvennetussa muodossa: 16

20 (i*) Jokaiselle propositiosymbolille p ja maailmalle w M on voimassa ehto: w V (p) joss f(w) V (p), (ii*) (w, v) R, joss ( f(w), f(v) ) R. Isomorfismi on bijektiivinen vahva homomorfismi. Mallien M ja M sanotaan olevan isomorfiset, merkitään M = M, jos on olemassa isomorfismi mallista M malliin M. Vahva homomorfismi kuvaa maailmojen väliset relaatiot lähtömallista maalimalliin ja takaisin. Tällöin on ilmeistä, että modaalinen totuus säilyy surjektiivisen vahvan morfismin tapauksessa. Lisäksi isomorfiset mallit ovat matemaattisesti identtisiä, joten modaalisen totuuden säilyminen isomorfian tapauksessa on vieläkin selkeämpi asia. Nämä havainnot osoitetaan seuraavassa lauseessa. Lause 2.3. Olkoot M = W, R, V ja M = W, R, V perusmodaalilogiikan malleja. Tällöin seuraavat ehdot ovat voimassa: (i) Kaikille maailmoille w M ja w M pätee: jos on olemassa surjektiivinen vahva homomorfismi f : M M, jolle pätee f(w) = w, niin maailmat w ja w ovat modaalisesti ekvivalentit. (ii) Jos M = M, niin M M. Todistus. (i): Oletetaan, että M = W, R, V ja M = W, R, V ovat perusmodaalilogiikan malleja. Oletetaan, että f on surjektiivinen vahva morfismi mallien M ja M välillä ja jokaiselle maailmalle w M pätee f(w) = w. Osoitetaan induktiolla kaavan φ pituuden suhteen, että maailmoilla w ja f(w) on samat teoriat. Siis osoitamme, että w f(w) jokaisella maailmalla w. Perusaskel ja vaiheet, joissa kaava φ on muotoa ψ ja ψ θ ovat samanlaisia kuin aiemmissa todistuksissa. Induktio-oletuksemme on myös sama kuin aiemmin. (Oletamme, että väite pätee, kun kaavassa on n konnektiivia, missä n > 0.) Oletetaan siis, että kaava φ on muotoa ψ. Oletetaan ensin, että M, w ψ. Tällöin on olemassa sellainen maailma v M että (w, v) R ja M, v ψ. Induktio-oletuksen perusteella on M, f(v) ψ. Määritelmän 2.5 kohdan (ii*) perusteella on ( f(w), f(v) ) R ja on siis M, f(w) ψ. 17

21 Oletetaan sitten, että M, w ψ. On siis olemassa sellainen maailma v M että (w, v ) R ja M, v ψ. Koska f on surjektiivinen on jokaisella maailmalla u M alkukuva mallissa M. On siis voimassa f(w) = w ja f(v) = v. Näin ollen induktio-oletuksen perusteella on M, v ψ ja määritelmän 2.5 kohdan (ii*) perusteella on (w, v) R. Täten M, w ψ, mikä todistaa lopullisesti väitteemme. (ii): Koska isomorfismi on bijektiivinen vahva homomorfismi, seuraa väite suoraan kohdasta (i). Edellä olevan perusteella (surjektiivinen) vahva homomorfismi antaa työkalun, jonka avulla modaalinen totuus säilyy, mutta on osoittautunut, että vahva homomorfismi on hieman liian vahva ehto ollakseen täydellinen työkalu tarkasteltaessa modaalisen totuuden säilymistä. Tarkkaan ottaen syy on se, että on olemassa morfiakuvauksia, jotka säilyttävät modaalisen totuuden, mutta eivät kuitenkaan ole vahvoja homomorfismeja. Tarvitsemme jotain hieman pehmeämpää ja seuraavaksi määrittelemmekin tarvittavan rajoitetun morfismin käsitteen. Määritelmä 2.6 (Rajoitettu morfismi). Olkoot M = W, R, V ja M = W, R, V perusmodaalilogiikan malleja. Funktio f : M M on rajoitettu morfismi, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (i) w ja f(w) toteuttavat samat propositiosymbolit, (ii) jos (w, v) R, niin ( f(w), f(v) ) R (homomorfiaehto), (iii) Jos ( f(w), v ) R, niin on olemasssa sellainen v, että (w, v) R ja f(v) = v (palautusehto). Jos on olemassa surjektiivinen rajoitettu morfismi mallilta M malliin M, niin sanotaan, että malli M on mallin M rajoitettu morfinen kuva, merkitään M M. Seuraavassa esimerkissä esitetään mallien välinen morfiakuvaus, joka ei ole vahva homomorfismi, mutta on kuitenkin rajoitettu morfismi. Esimerkki 2.4. (Vrt. [1, s ]) Tarkastellaan perusmodaalilogiikan malleja M = N, R, V ja M = {e, o}, R, V, missä R = { (m, n) n = m + 1} 18

22 ja R = {(e, o), (o, e)}. Olkoot valuaatiot seuraavat: V (p) = {n N n on parillinen} ja V (p) = {e}. Määritellään kuvaus f : M M seuraavasti: o, kun n on pariton, (2.2) f(n) = e, kun n on parillinen. Kuva 1 esittää mallit selventävässä kuvamuodossa. Kuva 1: Esimerkin 2.4 mallit M ja M Kuvaus f ei ole vahva homomorfismi, sillä esimerkiksi (1, 4) / R, mutta ( f(1), f(4) ) R. Osoitetaan, että kuvaus f on kuitenkin rajoitettu morfismi. Määritelmän 2.6 kohta (i) on selvästi voimassa. (Homomorfiaehto): Oletetaan, että n N on pariton. Tällöin (n, n + 1) R ja n+1 on parillinen, joten f(n) = o ja f(n+1) = e. Siis ( f(n), f(n+1) ) R. Tapaus, jossa n on parillinen menee vastaavasti. Siis määritelmän 2.6 ehto (ii) on voimassa. (Palautusehto): Olkoon n N mielivaltainen ja oletetaan, että pätee ( f(n), w ) R. On osoitettava, että on olemassa sellainen m N, jolle pätee (n, m) R ja f(m) = w. Oletetaan, että n on parillinen (tapaus, jossa n on pariton menee vastaavasti). Koska n on parillinen on f(n) = e, joten relaation R määritelmän perusteella on oltava w = o. Nyt n + 1 on pariton 19

23 ja relaation R määritelmän perusteella on (n, n + 1) R. Siis f(n + 1) = w ja n + 1 = m. Täten määritelmän 2.6 kohta (iii) on voimassa. On vielä osoittamatta, että rajoitettu morfismi säilyttää modaalisen totuuden. Tämä osoitetaan seuraavassa lauseessa. Lause 2.4. Olkoot M ja M sellaisia perusmodaalilogiikan malleja, että on olemassa rajoitettu morfismi f : M M. Tällöin jokaiselle kaavalle φ ja maailmalle w M pätee seuraava ehto: M, w φ joss M, f(w) φ. Todistus. Olkoot M ja M perusmodaalilogiikan malleja ja olkoon f rajoitettu morfismi mallilta M mallille M. Todistetaan väite induktiolla kaavan φ pituuden suhteen. Perusaskel ja vaiheet, joissa kaava φ on muotoa ψ ja ψ θ ovat samanlaisia kuin aiemmissa todistuksissa. Induktio-oletuksemme on myös sama kuin aiemmin. Tarkastelemme ainoastaan vaihetta, jossa kaava φ on muotoa ψ. Oletetaan ensin, että M, w ψ. Tällöin on olemassa sellainen maailma v, että (w, v) R ja M, v ψ. Induktio-oletuksen perusteella M, f(v) ψ. Homomorfiaehdon perusteella on ( f(w), f(v) ) R, joten M, f(w) ψ. Oletetaan sitten, että M, f(w) ψ. Näin ollen on olemassa sellainen maailma v M, että ( f(w), v ) R ja M, v ψ. Palautusehdon perusteella on olemassa sellainen maailma v M, että (w, v) R ja f(v) = v. Induktio-oletuksen perusteella saamme M, v ψ, jolloin M, w ψ. Tässä luvussa esittelemämme mallikonstruktiot ja erityisesti rajoitetun morfismin käsite antavat meille mahdollisuuden todistaa erään mielenkiintoisen tuloksen. Nimittäin sen, että jokainen toteutuva modaalilogiikan kaava on toteutuva puu-tyyppisessä mallissa. Tämän osoitamme seuraavaksi. Lause 2.5. Jokaista juurellista perusmodaalilogiikan mallia M kohti on olemassa sellainen puu-tyyppinen malli M että M M. Siis jokainen toteutuva modaalilogiikan kaava on toteutuva puu-tyyppisessä mallissa. Todistus. (Vrt. [1, s. 63]) Olkoon M = W, R, V juurellinen perusmodaalilogiikan malli ja olkoon w sen juuri. Määritellään malli M = W, R, V. seuraavasti. Universumin W alkioita ovat kaikki sellaiset maailmojen jonot (w, u 1,..., u n ) että n 0 ja mallissa M on olemassa polku wru 1... Ru n. 20

24 (Merkinnällä wru 1 tarkoitamme samaa kuin merkinnällä (w, u 1 ) R.) Määritellään relaatio R seuraavalla ehdolla: (w, u 1,..., u n )R (w, v 1,..., v m ) jos m = n + 1, u i = v i kun i = 1,..., n ja u n Rv m. Siis relaatio R yhdistää kaksi jonoa jos ja vain jos jälkimmäinen jono on ensimmäisen sellainen laajennus että sen viimeinen maailma on ensimmäisen jonon viimeisen maailman seuraaja mallissa M. Valuaatio V määritellään asettamalla (w, u 1,..., u n ) V (p) jos ja vain jos u n V (p). Määritellään mallien M ja M välinen kuvaus asettamalla säännöksi f ( (w, u 1,..., u n ) ) u n. On osoitettava, että kuvaus f on surjektiivinen rajoitettu morfismi. Koska maailma w on mallin M juuri, saadaan sen alkukuva mallissa M, kun n = 0. Lisäksi koska universumin W alkioina ovat sellaiset maailmojen jonot (w, u 1,..., u n ), että mallissa M on polku wru 1... Ru n, on jokaisella mallin M juuresta eroavalla maailmalla u n M alkukuva mallissa M. Siis kuvaus f on surjektio. On vielä osoitettava, että kuvaus f on rajoitettu morfismi. Seuraavassa kohdat (i), (ii) ja (iii) viittaavat määritelmän 2.6 (i): Valuaation V (p) määritelmän mukaan (w, u 1,..., u n ) V (p) jos ja vain jos u n V (p), joten alkiot (w, u 1,..., u n ) ja u n toteuttavat samat propositiosymbolit. (ii): Oletetaan, että (w, u 1,..., u n )R (w, v 1,..., v m ). Tällöin relaation R määritelmän mukaan on m = n + 1, u i = v i kun i = 1,... n ja u n Rv m. Koska f ( (w, u 1,..., u n ) ) = u n ja f ( (w, v 1,..., v m ) ) = v m, niin olemme saaneet f ( (w, u 1,..., u n ) ) Rf ( (w, v 1,..., v m ) ). (iii): Oletetaan sitten, että f ( w, u 1,..., u n ) ) Rv i. Kuvauksen f määritelmän ja surjektiivisuuden perusteella on olemassa sellaiset maailmat v 1,..., v i, että f ( w, u 1,..., u n ) ) = u n ja f ( (w, v 1,..., v i ) ) = v i. On siis u n Rv i. Täten on oltava i = n + 1, u j = v j kun j = 1,... i ja (w, u 1,..., u n )R (w, v 1,..., v i ). Siis kuvaus f on surjektiivinen rajoitettu morfismi, f : M M. Näin ollen mallit ovat lauseen 2.4 nojalla modaalisesti ekvivalentit. On vielä tarkastettava, että malli M on todella puu määritelmän 1.7 tarkoittamalla tavalla. Seuraavassa kohdat (i), (ii) ja (iii) viittavat määritelmään 1.7. (i): Mallissa M on olemassa sellainen maailmojen jono (w), että kai- 21

25 killa sellaisilla maailmojen jonoilla (w, u 1,..., u n ), missä n 0, pätee ehto ( (w), (w, u1,..., u n ) ) (R ). Nimittäin relaation R määritelmän nojalla on voimassa ehto (w, u 1,..., u n )R (w, v 1,..., v m ) jos m = n + 1, u i = v i kun i = 1,..., n ja u n Rv m. Näin ollen käyttämällä tätä ehtoa tarvittava määrä kertoja voidaan löytää ne maailmojen jonot, jotta ehto ( (w), (w, u 1,..., u n ) (R ) toteutuu. (ii): Olkoon jono (w, v 1,..., v m ) W mielivaltainen ja jonosta (w) W eroava. Tällöin relaation R määritelmän nojalla on olemassa sellainen jono (w, u 1,..., u n ) että m = n + 1, u i = v i kun i = 1,... n ja u n Rv m. Tämä jono on relaation R määritelmän nojalla yksikäsitteinen. Näin ollen jokaisella mallin M juuresta eroavalla maailmalla on yksikäsitteinen edeltäjä. (iii): On osoitettava, että millään mallin M maailmalla t ei päde ehto (t, t) (R ) +, missä t on siis oikeastaan maailmojen jono universumin W määritelmän mukaisesti. Tämän osoittamiseksi tehdään vastaoletus, että jollakin maailmalla t tämä ehto pitäisi paikkansa, siis (t, t) (R ) +. Tällöin olisi olemassa sellaiset maailmojen jonot t = (w, u 1,..., u n ), (w, u 1,..., u n+1 ),..., (w, u 1,..., u m ) = t, että jokaisella indeksillä n < m pätee (w, u 1,..., u n )R (w, u 1,..., u n+1 ) relaation R määritelmän mukaisesti. Mutta tällöin maailmalla t olisi kaksi eri edeltäjää, mikä on kohdan (ii) perusteella mahdotonta. Siis malli M on puu-tyyppinen. Nyt voimme todeta, että jokainen toteutuva kaava on toteutuva puutyyppisessä mallissa. Tämän toteamiseksi oletetaan, että kaava φ on toteutuva jonkin mallin maailmassa w. Olkoon M maailman w generoima alimalli. Lauseen 2.2 perusteella on M, w φ ja koska malli M on juurellinen, voimme muodostaa tätä mallia vastaavan ekvivalentin puu-tyyppisen mallin M juuri kuvailemallamme tavalla jolloin on M M. Nyt lauseen 2.4 perusteella saamme M, w φ. 2.2 Bisimulaatio Mitä yhteistä modaalisen totuuden säilyttävillä konstruktioilla sitten on? Tarkastelemalla asiaa tarkemmin huomataan, että modaalisesti ekvivalentit maailmat toteuttavat samat propositiosymbolit ja lisäksi, jos toisen mallin maailmasta on mahdollista siirtyä naapurimaailmaan, niin myös toisen mal- 22

26 lin vastaavasta maailmasta on vastaava siirtyminen mahdollinen. Nämä havainnot johtavat meidät bisimulaation käsitteeseen. Määritelmä 2.7. Olkoot M = W, R, V ja M = W, R, V kaksi perusmodaalilogiikan mallia. Epätyhjää kaksipaikkaista relaatiota Z W W sanotaan bisimulaatioksi mallien M ja M välillä, jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa: (i) Jos (w, w ) Z, niin w ja w toteuttavat samat propositiosymbolit. (ii) Jos (w, w ) Z ja (w, v) R, niin on olemassa sellainen maailma v M, että (v, v ) Z ja (w, v ) R. (iii) Jos (w, w ) Z ja (w, v ) R, niin on olemassa sellainen maailma v M, että (v, v ) Z ja (w, v) R. Jos on olemassa bisimulaatio Z, joka yhdistää maailmat w M ja w M, niin sanotaan, että maailmat w ja w ovat bisimilaarisia, merkitään Z : M, w M, w tai joskus pelkästään M, w M, w. Jos mallit ovat yhteydestä selvät voidaan myös merkitä w w. Jos mallien M ja M välillä on bisimulaatio, merkitään M M. Kuvassa 2 esitetään määritelmän 2.7 ehto (iii) kuvallisessa muodossa. Kuva 2: Bisimilaarisuuden ehto (iii). Esimerkki 2.5. (Vrt. [1, s ]) Olkoot M = W, R, V ja M = W, R, V perusmodaalilogiikan malleja, missä mallien universumit ovat seuraavat: W = {1, 2, 3, 4, 5}, W = 23

27 {a, b, c, d}. Olkoot mallien sisäiset relaatiot: R = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5)} ja R = {(a, b), (b, c), (b, d)}. Olkoot lisäksi valuaatiot määritelty seuraavalla tavalla: V (q) = {1, 2, 3} V (p) = {4, 5} V (q) = {a, b} V (p) = {c, d} Kuva 3 esittää tämän kaiken selventävästi kuvallisessa muodossa. Kuva 3: Bisimilaariset mallit Mallit M ja M ovat bisimilaarisia, sillä relaatio Z = {(1, a), (2, b), (3, b), (4, c), (5, d)} on bisimulaatio. Tämän nähdäksemme huomaamme, että määritelmän 2.7 kohta (i) on selvästi voimassa, sillä relaation Z linkittämät maailmat toteuttavat samat propositiosymbolit. Lisäksi on helppoa nähdä, että mikä tahansa siitymä mallissa M on toistettavissa mallissa M määritelmän 2.7 ehdon (ii) toteuttaen. Samoin on myös toisinpäin, toteuttaen näin määritelmän 2.7 ehdon (iii). Edellinen esimerkki kertoo meille myös sen, että bisimulaatio on aito laajennus mallikonstruktiohin. Mallit M ja M ovat bisimilaarisia, mutta kumpikaan ei ole toisen generoitu alimalli tai rajoitettu morfinen kuva. Seuraava lause yleistää tämän havainnon. Lause 2.6. Olkoot M, M ja M i (i I) perusmodalilogiikan malleja. Tällöin seuraavat ehdot ovat voimassa. 24

28 1. Jos M = M, niin M M. 2. Jokaiselle i I ja w M i on voimassa M i, w i M i, w. 3. Jos M M, niin M, w M, w kaikilla w M. 4. Jos f : M M, niin M, w M, f(w) kaikilla w M. Todistus. 1: Oletetaan, että M = M ja kuvaus f : M M on isomorfismi. Määritellään relaatio Z = {( w, f(w) ) w M }. Tällöin relaatio Z on bisimulaatio, sillä määritelmän 2.7 ehdot toteutuvat triviaalisti. 2: Määritellään relaatio Z mallin M i = W i, R i, V i ja erillisen yhdisteen i M i = W, R, V välille seuraavasti: Z = {(w, w) w M i }. Osoitetaan, että relaatio Z on bisimulaatio. Määritelmän 2.7 kohta (i) on triviaalisti voimassa. Olkoon i mielivaltainen indeksi. Kohta (ii) on voimassa, sillä jokaisella maailmalla w M i on voimassa ehto (w, w) Z ja jokaiselle maailmalle v M i, jolle pätee (w, v) R i on erillisen yhdisteen määritelmän mukaan myös voimassa ehdot (w, v) R ja (v, v) Z. Toisin sanoen: Jokainen siirtymä mallissa M i on toistettavissa mallissa i M i. Kohta (iii) on voimassa, sillä jokaisella maailmalla w i M i on voimassa ehto (w, w) Z jollakin indeksillä i. Lisäksi jokaiselle maailmalle v, jolle pätee (w, v) R on universumien erillisyyden perusteella voimassa myös ehdot (w, v) R i ja (v, v) Z samalla indeksillä i. Toisin sanoen: jokainen siirtymä mallissa i M i maailmasta, joka kuuluu malliin M i on universumien erillisyyden perusteella toistettavissa mallissa M i. 3: Oletetaan, että M M. Määritellään relaatio Z = {(w, w) w M }. Osoitetaan, että relaatio Z on bisimulaatio. 25

29 Määritelmän 2.7 kohta (i) on triviaalisti voimassa. Oletetaan ensin, että (w, w) Z ja (w, v) R, missä w M. Tällöin generoidun alimallin määritelmän mukaan v M ja (v, v) Z sekä (w, v) R. Siis määritelmän 2.7 kohta (ii) on voimassa. Oletetaan sitten, että (w, w) Z ja (w, v) R, missä w M. Tällöin määritelmän 2.3 kaavan (2.1) perusteella on v M. Näin ollen on (v, v) Z ja relaation R määritelmän mukaan on (w, v) R. Siis määritelmän 2.7 kohta (iii) on voimassa. 4: Oletetaan, että M M. Määritellään relaatio Z = {( w, f(w) ) w M}, missä f : M M on surjektiivinen rajoitettu morfismi. Osoitetaan, että Z on mallien M ja M välinen bisimulaatio. Oletetaan, että w M. Tällöin ( w, f(w) ) Z ja määritelmän 2.6 kohdan (i) perusteella w ja f(w) toteuttavat samat propositiosymbolit. Siis määritelmän 2.7 kohta (i) on voimassa. Oletetaan sitten, että (w, w ) Z ja (w, v) R. Nyt w = f(w) ja määritelmän 2.6 kohdan (ii) perusteella ( f(w), f(v) ) R. On siis (v, v ) Z ja (w, v ) R (sillä v = f(v)). Siis määritelmän 2.7 kohta (ii) on voimassa. Oletetaan lopuksi, että (w, w ) Z ja (w, v ) R. Nyt w = f(w) ja määritelmän 2.6 kohdan (iii) perusteella on olemassa sellainen maailma v että (w, v) R ja f(v) = v. Siis on voimassa (v, v ) Z ja (w, v) R. Näin ollen määritelmän 2.7 kohta (iii) on voimassa. Edellisen lauseen perusteella ei tule yllätyksenä, että jos kaksi mallia ovat bisimilaarisia, niin ne ovat myös modaalisesti ekvivalentteja. Osoitamme tämän seuraavaksi. Lause 2.7. Olkoot M = W, R, V ja M = W, R, V kaksi perusmodaalilogiikan mallia. Tällöin jokaisella maailmalla w M ja w M on voimassa seuraava ehto: jos w w, niin w w. 26

30 Todistus. Todistetaan induktiolla kaavan φ pituuden suhteen, että seuraava ehto on voimassa: jos w w, niin w w. Olkoon Z W W mallien M ja M välinen bisimulaatio ja olkoon (w, w ) Z. Jos kaava φ on propositiosymboli, niin väite seuraa suoraan määritelmän 2.7 kohdan (i) perusteella. Jos kaava φ on muotoa, niin väite on triviaalisti tosi. Oletetaan, että väite pätee kun kaavassa φ on enintään n 0 konnektiivia. On osoitettava, että väite pätee kun kaavassa φ on n + 1 konnektiivia. Vaiheet, jossa kaava φ on muotoa ψ tai ψ θ seuraavat suoraan induktiooletuksesta. Oletetaan, että kaava φ on muotoa ψ ja oletetaan, että M, w ψ. Tällöin on olemassa sellainen maailma v M, että (w, v) R ja M, v ψ. Koska maailmat w ja w ovat bisimilaarisia on määritelmän 2.7 kohdan (ii) nojalla olemassa sellainen maailma v M, että (w, v ) R ja (v, v ) Z. Induktio-oletuksen perusteella on M, v ψ, joten M, v ψ. Oletetaan sitten, että M, w ψ. Tällöin on olemassa sellainen maailma v M, että (w, v ) R ja M, v ψ. Koska maailmat w ja w ovat bisimilaarisia on määritelmän 2.7 kohdan (iii) nojalla olemassa sellainen maailma v M, että (w, v) R ja (v, v ) Z. Induktio-oletuksen perusteella on M, v ψ, joten M, w ψ. Entä lauseen 2.7 käänteinen versio? Toisin sanoen, ovatko kaksi mallia bisimilaariset, jos ne ovat modaalisesti ekvivalentteja? Seuraava vastaesimerkki kertoo, että näin ei ole. Esimerkki 2.6. Olkoot M ja M kaksi perusmodaalilogiikan mallia. Määritellään mallit siten, että molemmissa malleissa on jokaista lukua n > 0 vastaavan pituinen äärellinen polku, w 0 Rw 1 Rw 2... w n 1 Rw n. Lisäksi mallissa M on ääretön polku. Olkoot mallien valuaatiofunktiot V ja V tyhjiä joukkoja. Mallit ovat kuten kuvassa 4. Voidaan osoittaa (n-bisimilaarisuuden avulla, määr. 4.2 ja 4.3), että kaikilla perusmodaalilogiikan kaavoilla φ on voimassa M, w φ joss M, w φ, jolloin maailmat w ja w ovat modaalisesti ekvivalentit. Tällöin voidaan merkitä myös M, w ML M, w. 27

31 Kuva 4: Ekvivalentit, mutta eivät bisimilaariset mallit. Esimerkkimme maailmat w ja w eivät ole kuitenkaan bisimilaarisia, eli niiden välillä ei ole bisimulaatiota. Tämä osoitetaan seuraavasti. Olkoon w mallin M äärettömän polun ensimmäinen maailma. Tehdään vastaoletus, että maailmojen w ja w välillä on bisimulaatio Z. Tällöin maailmalla w on oltava seuraaja v 0, joka on bisimilaarinen mallin M äärettömän polun ensimmäisen maailman v 0 kanssa ( (w, w ) Z ja (w, v 0 ) R (v 0, v 0) Z ja (w, v 0) R ). Olkoon n pisimmän (äärellisen) polun pituus, joka alkaa maailmasta w ja kulkee maailman v 0 kautta ja olkoot w, v 0, v 1,..., v n 1 tämän polun peräkkäiset maailmat. Käyttämällä bisimilaarisuusehtoa vielä n 1 kertaa löydämme maailmat v 1, v 2,..., v n 1 mallin M äärettömällä polulla. On siis v 0R v 1... R v n 1 ja v i Zv i jokaisella indeksillä i. Nyt kuitenkin maailmalla v n 1 on seuraaja, mutta maailmalla v n 1 ei ole. Koska oletuksen perusteella maailmat v n 1 ja v n 1 ovat modaalisesti ekvivalentteja, ne toteuttavat samat perusmodaalilogiikan kaavat. Tämä on kuitenkin mahdotonta, sillä on varmasti M, v n 1 ψ millä tahansa kaavalla ψ, (tämä siksi, koska maailmalla v n 1 ei ole seuraajaa, jolloin tätä muotoa olevat kaavat ovat totta) mutta koska maailmalla v n 1 on seuraaja, niin valuaatioiden määritelmien perusteella on oltava M, v n 1 ψ. Näin ollen maailmat w ja w eivät voi olla bisimilaarisia. 28

32 3 Määriteltävyydestä 3.1 Modaalilogiikan vastaavuuskielistä Modaalilogiikka ei ole pelkästään erillinen systeemi, jota tutkitaan omassa yksiössään, vaan sillä on suoria yhteyksiä predikaattilogiikkaan. Tässä luvussa tutustumme hieman näihin vastaavuuskieliin ja määrittelemme standardikäännöksen, jonka avulla modaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen yhteyksiä voidaan tarkastella tarkemmin. Ensin kuitenkin määrittelemme ensimmäisen kertaluvun vastaavuuskielen. Määritelmä 3.1. (Vrt. [1, s. 84]) Olkoon Φ propositiosymbolien joukko. Määritellään ensimmäisen kertaluvun kieli L 1 (Φ), jossa on yksipaikkaiset predikaattisymbolit P 0, P 1, P 2,... asetettu vastaamaan joukon Φ propositiosymboleja p 0, p 1, p 2,... ja 2-paikkainen relaatiosymboli R vastaamaan yksipaikkaista modaalioperaattoria. Lisäksi kielessä L 1 (Φ) on mukana yhtäsuuruus =. Seuraavana on vuorossa itse standardikäännöksen määritteleminen. Määritelmä 3.2 (Standardikäännös). Olkoon x ensimmäisen kertaluvun muuttuja. Määritellään standardikäännös ST x, joka muuntaa modaalilogiikan kaavat ensimmäisen kertaluvun kielelle L 1 (Φ) seuraavasti: ST x (p i ) = P i (x), ST x ( ) = x x, ST x ( φ) = ST x (φ), ST x (φ ψ) = ST x (φ) ST x (ψ), ST x ( φ) = y ( R(x, y) ST y (φ) ), ST x ( φ) = y ( R(x, y) ST y (φ) ), missä y on uusi muuttuja, jota ei ole vielä käytetty käännöksessä. On luontevaa tarkastella heti miten tämä käännös toimii. Seuraavassa esimerkki käännöksestä. 29