2. Minkä joukon määrittelee kaava P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ) mallissa M = ({0, 1, 2, 3}, P M 0, P M 1 ), kun P M 0 = {0, 1} ja P M 1 = {1, 2}?

Transkriptio

1 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan II, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Mitkä muuttujat esiintyvät vapaina kaavassa x 2 ( x 0 R 0 (x 1, x 2 ) ( x 3 R 0 (x 3, x 0 ) R 0 (x 3, x 0 )))? Ratkaisu: Muuttujan x i esiintymä on vapaa, jos se ei esiinny kvanttorin x i tai x i vaikutusalueella. Tehtävän kaavassa esiintyvät muuttujat x 0, x 1, x 2 ja x 3. Analysoidaan näiden vapautta. Muuttujan x 2 kaikki esiintymät ovat kvanttorin x 2 vaikutusalueella, joten yksikään niistä ei ole vapaa. Muuttujan x 1 ainoa esiintymä on kvanttoreiden x 2 ja x 0 vaikutusalueella, mutta koska kumpikaan näistä ei sido sitä, se on vapaa. Kumpikin muuttujan x 0 esiintymistä on kvanttorin x 2 vaikutusalueella, ja lisäksi ensimmäinen esiintymä on kvanttorin x 3 vaikutusalueella. Kumpikaan kvanttoreista ei siis sido kumpaakaan esiintymää, joten x 0 on vapaa. Muuttujan x 3 esiintymät ovat samojen kvanttoreiden vaikutusalueella kuin muuttujan x 0 esiintymät. Näistä x 2 ei sido kumpaakaan esiintymää, mutta x 3 sitoo muuttujan x 3 ensimmäisen esiintymän. Toinen esiintymä on kuitenkin vapaa. Siis muuttujat x 0, x 1 ja x 3 esiintyvät kaavassa vapaina (tosin x 3 esiintyy myös sidottuna). 2. Minkä joukon määrittelee kaava P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ) mallissa kun P M 0 = {0, 1} ja P M 1 = {1, 2}? M = ({0, 1, 2, 3}, P M 0, P M 1 ), Ratkaisu: Tarskin totuusmääritelmän nojalla millä tahansa tulkintafunktiolla s pätee M = s P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ), joss M = s P 0 (x 0 ) tai M = s P 1 (x 0 ), joss s(x 0 ) / P M 0 tai s(x 0 ) / P M 1, joss s(x 0 ) (P M 0 ) c (P M 1 ) c, joss s(x 0 ) (P M 0 P M 1 ) c, 1

2 missä (Pi M ) c := M \ Pi M. Siis kaava määrittelee joukon (P M 0 P M 1 ) c = ({0, 1} {1, 2}) c = {1} c = {0, 2, 3} Olkoon M = ({0, 1, 2, 3}, R M 0, c M 0 ), missä R M 0 = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)} ja c M 0 = 2. Minkä joukon kaava x 1 (R 0 (c 0, x 1 ) R 0 (x 0, x 1 )) määrittelee? Ratkaisu: Tarskin totuusmääritelmän nojalla jokaisella tulkintafunktiolla s pätee M = s x 1 (R 0 (c 0, x 1 ) R 0 (x 0, x 1 )) joss M = s(a/x1 ) R 0 (c 0, x 1 ) R 0 (x 0, x 1 ) kaikilla a dom(m), joss M = s(a/x1 ) R 0 (c 0, x 1 ) tai M = s(a/x1 ) R 0 (x 0, x 1 ) kaikilla a dom(m), joss (c M 0, a) / R M 0 tai (s(x 0 ), a) R M 0 kaikilla a dom(m), joss (2, a) / R M 0 tai (s(x 0 ), a) R M 0 kaikilla a dom(m). Esitämme kaksi tapaa, kuinka edetä tästä. Tapa 1 : Siis kaava määrittelee sellaisen joukon X dom(m), että b X, jos ja vain jos kaikilla a dom(m) pätee joko (2, a) / R M 0 tai (b, a) R M 0. Tutkitaan jokaisesta mallin alkiosta yksitellen, kuuluuko se joukkoon X. 0 X, sillä ehto (0, a) R0 M jää toteutumatta vain, jos a = 0. Kuitenkin tällöin toteutuu ehto (2, a) / R0 M, sillä pari (2, 0) ei ole relaatiossa. 1 / X, sillä (2, 1) R M 0 ja (1, 1) / R M 0 (eli löytyi sellainen a, että kumpikaan ehdoista ei toteudu). 2 X, sillä totta kai jokaisella a dom(m) pätee joko (2, a) R0 M (2, a) / R0 M. 3 / X, sillä (2, 1) R M 0 ja (3, 1) / R M 0. 1 Nähdään, että kaava P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ) on loogisesti ekvivalentti kaavan (P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 )) kanssa (jos tämä ei ole selvää, todista se käyttämällä totuusmääritelmää). Voidaan huomata, että ainakin tapauksessa, jossa kaavassa esiintyy vain yksi vapaa muuttuja ja relaatiosymbolit ovat yksipaikkaisia, konnektiivit ja vastaavat suoraan joukkojen leikkausta ja komplementtia. tai 2

3 Siis X = {0, 2}. Tapa 2 : Huomataan, että ehto (2, a) / R0 M tai (s(x 0 ), a) R0 M kaikilla a dom(m) on yhtäpitävä ehdon kaikilla a dom(m) jos (2, a) R M 0, niin (s(x 0 ), a) R M 0 kanssa. Nähdään, että sellaiset luvut a, joilla pätee (2, a) R0 M, ovat a = 1 ja a = 3. Siten kaava määrittelee sellaisen joukon X, että b X, jos ja vain jos (b, 1) R0 M ja (b, 3) R0 M. Katsomalla kaikki alkiot läpi samalla tavalla kuin tavassa 1 (joskin hieman vähemmällä vaivalla) nähdään, että vain luvut b = 0 ja b = 2 toteuttavat ehdon. Siis X = {0, 2}. 4. Olkoon X joukon {0, 1, 2} osajoukkojen perhe (eli potenssijoukko) ja M = (X, R M 0 ), missä R M 0 = {(a, b) X 2 a b}. Näytä, että joukko {, {0, 1, 2}} on määriteltävä mallissa M. Ratkaisu: Relaatio R0 M on joukkojen sisältyvyysrelaatio, joka on osittaisjärjestys. Tyhjä joukko on osittaisjärjestyksen pienin alkio ja joukko {0, 1, 2} sen suurin alkio. Näiden kaksion voi siis määritellä ilmaisemalla juuri tämän seikan. Olkoon A siis kaava x 1 R 0 (x 1, x 0 ) x 1 R 0 (x 0, x 1 ). Ensimmäinen disjunkti määrittelee alkion {0, 1, 2} sanomalla, että x 0 :n tulkinta on suurin alkio, ja toinen disjunkti määrittelee alkion sanomalla, että x 0 :n tulkinta on pienin alkio. Näin ollen jos kaava A toteutuu tulkintafunktiolla s, niin s(x 0 ) on joko tai koko joukko {0, 1, 2}, ja toisaalta jos s(x 0 ) =, toteutuu ensimmäinen disjunkti, ja jos s(x 0 ) = {0, 1, 2}, toteutuu toinen disjunkti. Näytetään tämä vielä täsmällisesti: kaikilla tulkintafunktioilla s 3

4 pätee M = s A joss M = s x 1 R 0 (x 1, x 0 ) tai M = s x 1 R 0 (x 0, x 1 ) joss kaikilla a dom(m)m = s(a/x1 ) R 0 (x 1, x 0 ) tai kaikilla a dom(m)m = s(a/x1 ) R 0 (x 0, x 1 ) joss (a, s(x 0 )) R0 M kaikilla a dom(m) tai (s(x 0 ), a) R0 M kaikilla a dom(m) joss a s(x 0 ) kaikilla a dom(m) tai s(x 0 ) a kaikilla a dom(m) joss s(x 0 ) = {0, 1, 2} tais(x 0 ) =. Siis kaava A määrittelee joukon {, {0, 1, 2}}. 5. Mikä kaava A(x 1 /x 0 ) on kun (a) A = x 2 x 0 (R 0 (x 0, x 2 ) x 2 R 0 (x 1, x 0 )), (b) A = x 2 ( x 0 R 0 (x 0, x 2 ) x 2 R 0 (x 1, x 0 ))? Ratkaisu: Kaava A(x 1 /x 0 ) on se, joka saadaan korvaamalla kaavasta A kaikki muuttujan x 0 vapaat esiintymät muuttujalla x 1, kunhan muuttuja x 1 on vapaa muuttujalle x 0 kaavassa A. Jos x 1 tulisi sidotuksi, notaatiota ei luentomonisteen mukaan ole lupa käyttää. (a) Muuttujalla x 0 ei ole vapaita esiintymiä, sillä molemmat esiintymät ovat kvanttorin x 0 vaikutusalueella. Siten A(x 1 /x 0 ) = A. (b) Muuttujan x 0 ainoa vapaa esiintymä on implikaation takajäsenessä. Koska kaavassa A ei esiinnyt kvanttoreita, jotka voisivat sitoa muuttujan x 1, muuttujan sijoitus on sallittu ja A(x 1 /x 0 ) = x 2 ( x 0 R 0 (x 0, x 2 ) x 2 R 0 (x 1, x 1 )). 6. Onko x 0 vapaa muuttujalle x 1 kaavassa A kun (a) A = x 2 x 0 (R 0 (x 0, x 2 ) x 2 R 0 (x 1, x 0 )), (b) A = x 2 ( x 0 R 0 (x 0, x 2 ) x 2 R 0 (x 1, x 0 ))? Ratkaisu: 4

5 (a) Muuttujan x 1 ainoa vapaa esiintymä on implikaation takajäsenessä. Se on kvanttorin x 0 vaikutusalueella, joten jos termi x 0 sijoitettaisiin sen tilalle, tämä tulisi sidotuksi. Siis x 0 ei ole vapaa muuttujalle x 1 kaavassa A. (b) Nyt muuttujan x 1 vapaa esiintymä ei ole kvanttorin x 0 (tai minkään muunkaan muuttujan x 0 sitovan kvanttorin) vaikutusalueella, joten x 0 on vapaa muuttujalle x 1 kaavassa A. 5