b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan
|
|
- Simo Katajakoski
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla A V(G) ja F E(G) pätee, että verkot G A ja G F ovat yhtenäisiä. Siten verkko G on määritelmän perusteella sekä 0-solmuyhtenäinen että 0-särmäyhtenäinen. Toisaalta verkko G on epäyhtenäinen. Lisäksi väittämät V (G) E(G) sekä < 1 pätevät. Verkko G ei ole 1-solmuyhtenäinen eikä 1-särmäyhtenäinen, joten ehdot κ(g) = 0 ja λ(g) = 0 ovat voimassa. b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan myös ääretön. Verkko G on yhtenäinen, joten verkko G on 1-solmuyhtenäinen sekä 1-särmäyhtenäinen. Toisaalta yhtenäisyyden ja tiedon V(G) 2 perusteella verkon G särmäjoukko on epätyhjä, joten voidaan valita alkioksi e jokin verkon G mielivaltainen särmä. Nyt verkko G e on epäyhtenäinen, sillä särmän e päätepisteiden välillä ei ole polkua. Jos nimittäin verkon G e polku P yhdistäisi särmän e päätepisteitä, niin verkko P+e olisi puun G sykli. Verkko G ei siis ole 2-särmäyhtenäinen, joten ehto λ(g) = 1 toteutuu. Väite κ(g) = 1 saadaan tällöin suoraan oletuksen V(G) 2 ja tiedon κ(g) λ(g) seurauksena. c) Olkoon G sellainen äärellinen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 5} ja jonka särmäjoukkona on { } {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5} Tällöin verkko G on yhtenäinen. Toisaalta verkko G 3 on epäyhtenäinen, joten väite κ(g) = 1 toteutuu. Verkosta G voidaan poistaa mikä tahansa särmä siten, 1
2 että lopputulos säilyy yhtenäisenä. Väite λ(g) 2 on siis voimassa. Toisaalta havainnon δ(g) = 2 perusteella ehto λ(g) = 2 toteutuu. Todistetaan verkon G olevan pienintä mahdollista kokoa oleva verkko, jolla tehtävänannon ehdot toteutuvat. Oletetaan vastaoletuksena, että on olemassa jokin väitteen κ(h) < λ(h) toteuttava verkko H siten, että joko ehto V(H) < V(G) toteutuu tai että kumpikin ehdoista V(H) V (G) ja E(H) < E(G) toteutuu. Tällöin väite λ(h) 2 on voimassa. Jos nimittäin ehto λ(h) = 1 toteutuisi, niin verkko H olisi yhtenäinen sekä sisältäisi vähintään kaksi solmua, jolloin myös ehto κ(h) 1 olisi ristiriitaisesti voimassa. Toisaalta verkko H ei ole puu, joten yhtenäisyyden nojalla verkossa H on vähintään yksi sykli. Väittämän V(H) 4 havaitaan suoraan olevan voimassa. Tehdään nimittäin vastaoletus, että ehto V(H) = 5 toteutuu. Verkosta H tehdyn oletuksen mukaan ehto E(H) 5 on tällöin voimassa. Edelleen tietojen λ(h) 2 ja λ(h) δ(h) perusteella saadaan tulos 2 E(H) = deg H (x) 6 2 = 12, x V(H) mikä on ristiriidassa oletuksen E(H) 5 kanssa. Jatkossa voidaan siis oletetaan ehdon V(H) 4 olevan voimassa. Verkossa H on vähintään yksi sykli, joten myös väittämä V(H) 3 toteutuu. Ehto V(H) = 3 ei ole voimassa, sillä muutoin verkon H kaikki solmut ja särmät olisivat saman syklin varrella, jolloin ehdot κ(h) = 2 ja λ(h) = 2 toteutuisivat. Kaikki syklit ovat nimittäin 2-yhtenäisiä verkkoja ja kahden särmän poistaminen tekee syklistä epäyhtenäisen. Näin ollen jäljellä on enää se mahdollisuus, että väite V (H) = 4 on voimassa. Verkossa H on virittävä sykli. Oletetaan vastaoletuksena verkon H kooltaan suurimman syklin sisältävän kolme solmua. Tällöin verkon H jokin solmu a ei ole millään syklillä, jolloin väite deg H (a) 1 on voimassa. Nimittäin kolme muuta verkon H solmua muodostavat syklin, jolloin solmusta a voi lähteä enintään yksi särmä ilman neljän solmun syklin muodostumista. Väittämä δ(h) < λ(h) on siis ristiriitaisesti voimassa. Nyt verkon H kaikki solmut ovat saman syklin varrella, joten ehto κ(h) 2 on 2
3 voimassa. Siten myös väite λ(h) 3 pätee, jolloin verkon H jokaisella solmulla on ainakin kolme eri naapuria. Verkko H on siis neljän solmun täydellinen verkko, jolloin väittämät κ(h) = 3 ja λ(h) = 3 toteutuvat vastoin oletusta. Näin ollen on osoitettu, että verkko G toteuttaa kaikki tehtävänannossa asetetut ehdot. Tehtävä 7 : 2 Olkoot A ja B kaksi täydellistä verkko, joissa kummassakin on yhteensä l + 1 solmua ja joilla ei ole yhtään yhteistä solmua. Olkoon a jokin verkon A solmu ja olkoon b verkon B solmu. Olkoon G sellainen verkko, joka saadaan verkosta (V (A) V(B), E(A) E(B) { {a, b} }) särmän {a, b} kutistamisella. Olkoon lisäksi u alkio, joka syntyy särmän {a, b} kutistamisessa. Tällöin väite V(G) \ {u } = ( V (A) V(B) ) \ {a, b} on voimassa. Ehdot V (A) \ {a} V(G) sekä V (B) \ {b} V(G) toteutuvat. Käytetään jatkossa merkintää H A verkon G ( V (B) \ {b} ) merkitsemiseen ja vastaavasti merkintää H B verkon G ( V(A)\{a} ) merkitsemiseen. Tällöin ehdot V (H A ) = V(A) {u } ja V(H B ) = V (B) {u } ovat voimassa. Näytetään aluksi verkkojen H A ja H B olevan täydellisiä verkkoja. Olkoon R {A, B} sekä olkoon r yksiön {a, b} R sisältämä alkio. Olkoon lisäksi joukon V (H R ) \ {u } solmu v mielivaltainen. Nyt väite v V(R) toteutuu. Jos verkon H R solmulla w ehto w / {v, u } toteutuu, niin ehto {v, w} E(H R ) on voimassa verkon R täydellisyyden nojalla. Toisaalta ehto {v, r} E(R) pätee, jolloin väite {v, u } toteutuu. Verkko H R on siis täydellinen verkko. Edellisen päättelyn perusteella verkon G jokaisesta solmusta on solmuun u vievä polku, joten verkko G on yhtenäinen. Verkossa G on ainakin kolme solmua, joten ehto κ(g) 1 pätee. Toisaalta verkko G u on epäyhtenäinen. Nimittäin jokaisen ehdon u / e toteuttavan verkon G särmän e päätepisteet ovat molemmat joko joukon V (A) \ {a} alkiota tai joukon V (B) \ {b} alkiota. Verkolta G haluttu ehto κ(g) = 1 siis toteutuu. Verkot H A ja H B ovat täydellisiä, jolloin niiden jokainen indusoitu aliverkko on yhtenäinen. Verkoissa H A ja H B on kummassakin yhteensä l + 1 alkiota, joten 3
4 ehdot κ(h A ) l ja κ(h B ) l ovat voimassa. Toisaalta tällöin verkot H A ja H B ovat myös l-särmäyhtenäisiä, sillä niissä molemmissa on ainakin kaksi solmua. Osoitetaan ehdon λ(g) = l olevan voimassa. Olkoon F E(G) sellainen, että ehto F < l toteutuu. Edellisten havaintojen perusteella verkot H A ( F E(H A ) ) ja H B ( F E(H B ) ) ovat yhtenäisiä, jolloin solmusta u on verkossa G F polku joukon V(G) jokaiseen solmuun. Verkko G F on siis yhtenäinen ja ehto λ(g) l on voimassa. Toisaalta tiedon λ(g) δ(g) perusteella väite λ(g) = l toteutuu. Verkossa G on nimittäin oletuksen mukaan vähintään kolme solmua ja jokaisella joukon V (G) \ {u } solmulla v on väite deg G (v) = l voimassa. Tehtävä 7 : 3 Jokaisen äärellisen verkon solmujoukolta on jokin injektio joukon R osajoukolle. Toisaalta joukolta R on olemassa bijektio joukon R 3 osajoukolle { (r, r 2, r 3) : r R}. Merkitään kyseistä joukkoa kirjaimella K ja osoitetaan, että joukon K mitkään neljä eri pistettä eivät ole samalla avaruuden R 3 tasolla. Olkoon T mielivaltainen avaruuden R 3 taso. Tällöin on tunnetusti olemassa kerroinjono (a, b, c, d) R 4 siten, että ehto {a, b, c} {0} pätee ja että jokaisella joukon R 3 alkiolla (x, y, z) on voimassa väite (x, y, z) T ax + by + cz + d = 0. Siten jokaisella luvulla r R joukon K alkio (r, r 2, r 3 ) on tason T piste täsmälleen silloin, kun ehto ar + br 2 + cr 3 + d = 0 toteutuu. Jokaisella korkeintaan kolmatta astetta olevalla polynomilla, jonka kertoimet ovat joukon R alkiota, on enintään kolme joukkoon R kuuluvaa juurta. Siten on olemassa korkeintaan kolme sellaista joukon K pistettä, jotka ovat myös tason T pisteitä. Esitettyjen havaintojen perusteella jokainen äärellinen verkko voidaan esittää joukon R 3 avaruusverkkona siten, että verkon solmut asetetaan joukon K pisteiksi jollakin injektiolla sekä särmät näiden pisteiden välisiksi yhdysjanoiksi. Verkon 4
5 eri särmiä vastaavat yhdysjanat leikkaavat tällöin toisiaan vain verkon solmuja vastaavissa joukon K pisteissä. Muussa tapauksessa kaksi eri yhdysjanaa määräisi avaruuden R 3 tason, jolla olisi vähintään neljä joukon K pistettä. Tehtävä 7 : 4 a) Olkoon G A kuvan mukaista tasoon piirrettyä verkkoa A vastaava tasoverkko sekä olkoon G B jokin tasoon piirrettyä verkkoa B vastaava tasoverkko. Näytetään, että tällöin verkko G A on isomorfinen verkon K 5 e kanssa ja että verkko G B on isomorfinen verkon K 3,3 e kanssa. B A Verkon G A komplementtiverkossa ja verkon K 5 e komplementtiverkossa on kummassakin kolme erakkosolmua sekä kahden solmun muodostama yhtenäinen komponentti. Komplementtiverkoilla on sama lukumäärä keskenään isomorfisia komponentteja, joten verkot G A ja K 5 e ovat isomorfisia. Verkko K 5 e on näin ollen erityisesti tasoverkko. Verkon G B komplementtiverkossa on kaksi sellaista kolme solmua sisältävää sykliä, joilla ei ole yhteisiä solmuja ja jotka liittyvät toisiinsa tasan yhden särmän välityksellä. Verkon K 3,3 e komplementtiverkolla on vastaavanlainen rakenne. Verkkojen G B ja K 3,3 e komplementtiverkkojen välille voidaan kahdeksalla eri tavalla määritellä jokin kyseisen rakenteen säilyttävä isomorfismi. Verkot G B ja K 3,3 e ovat keskenään isomorfiset, joten verkko K 3,3 e on tasoverkko. b) Todistetaan aluksi eräitä havaintoja verkon ja sen mielivaltaisen topologisen minorin välisestä yhteydestä. Kyseiset havainnot riittävät käsittelemään tilanteen, 5
6 jossa verkoista K 5 ja K 3,3 poistetaan kummastakin yksi särmä. Lemma. Olkoon H mielivaltainen verkko ja olkoon X sen topologinen minori. Tällöin väitteet V(X) V(H) ja E(X) E(H) ovat voimassa. Jos verkko X on epätyhjä, niin myös väite (X) (H) toteutuu. Todistus. Verkko X on verkon H topologinen minori, joten on olemassa injektio f : V(X) V(H) ja kokoelma { P h : h E(H) } verkon G riippumattomia polkuja siten, että jokaisella g E(H) polku P g on särmän g päätepisteiden kuvapisteiden välinen polku kuvauksen f suhteen. Erityisesti kuvaus f on injektio, joten väite V (X) V(H) toteutuu. Toisaalta jokaisella särmällä g E(H) polussa P g on ainakin yksi särmä ja mikään polun P g särmistä ei ole mihinkään muuhun verkon H särmään liittyvän polun varrella. Siten ehto E(X) E(H) on voimassa. Olkoon jatkossa solmu a V (X) sellainen, että ehto deg X (a) = (X) toteutuu. Jokaista solmusta a lähtevää särmää vastaa yksikäsitteinen solmusta f (a) lähtevä verkon H polku siten, että solmusta a lähteviä eri särmiä vastaavilla poluilla ei pareittain ole yhteisiä särmiä. Tällöin solmusta f (a) lähtee solmuun a verrattuna vähintään yhtä monta särmää. Siten väite (X) (H) pätee. Verkossa K 5 e on vain viisi solmua, joten kuusi solmua sisältävä verkko K 3,3 ei ole sen topologinen minori. Toisaalta verkossa K 5 e on yhdeksän särmää, joten kymmenen särmää sisältävä verkko K 5 ei myöskään voi olla sen topologinen minori. Siten verkko K 5 e on tasoverkko Kuratowskin lauseen nojalla. Vastaavasti verkossa K 3,3 e on kahdeksan särmää, joten yhdeksän särmää sisältävä verkko K 3,3 ei voi olla sen topologinen minori. Ehdot (K 3,3 e ) = 3 sekä (K 5 ) = 4 ovat toisaalta voimassa, joten verkko K 5 ei ole verkon K 3,3 e topologinen minori. Verkko K 3,3 e on siis tasoverkko. Tehtävä 7 : 5 Väitteen käsittely voidaan tehdä kurssikirjan lauseen avulla. Kyseistä tulosta ei ole mainittu luennoilla, joten esitetään siitä tarvittavalle osalle todistus. Ensin kuitenkin käsitellään eräs todistuksessa tarvittava havainto. 6
7 Lemma. Olkoon H verkko ja olkoon F joidenkin verkon H virittävien alimetsien muodostama äärellinen joukko. Olkoon joukon E(H) osajoukko D sellainen, että eräs särmä e D ei ole mukana joukon F metsissä ja että eräs särmä e 0 D voidaan lisätä johonkin joukon F jäseneen niin, että tuloksena on verkon H metsä. Olkoon q bijektio joukolta D\{e } joukkoon D\{e 0 } sekä olkoon h jokin kuvaus joukolta D \ {e } joukon F metsien sisältämien polkujen kokoelmalle. Oletetaan lisäksi, että jokaisella särmällä e D \ {e } ehto e E ( h(e) ) on voimassa ja pätee, että verkko h(e)+q(e) on verkon H sykli. Tällöin on olemassa enintään F alkiota sisältävä joukko verkon H virittäviä alimetsiä, jotka sisältävät yhden särmän enemmän kuin joukon F alimetsät. Todistus. Todistetaan väite induktiolla tarkasteltavan särmäjoukon koon suhteen kiinnittämättä verkon H alimetsien muodostamaa kokoelmaa. Oletetaan induktion alkuaskelta varten, että verkon H joidenkin virittävien alimetsien muodostama kokoelma F on sellainen, että jokin verkon H särmä e ei ole mukana joukon F metsissä ja että lisäksi jollakin F F verkko F + e on metsä. Tällöin virittävien alimetsien kokoelma ( F \{F} ) {F +e } sisältää enintään F alkiota. Kyseisen kokoelman metsät sisältävät yhden särmän enemmän kuin joukon F metsät. Oletetaan seuraavaksi luvun k Z + olevan sellainen, että haluttu lopputulos on voimassa jokaisella verkon H virittävien alimetsien muodostamalla äärellisellä joukolla sekä jokaisella asetetut ehdot toteuttavalla ja tasan k alkiota sisältävällä verkon H särmistä koostuvalla joukolla. Olkoot nyt joukot F ja D sekä näihin liittyvät kuvaukset ja särmät sellaisia kuin väitteen muotoilussa siten, että lisäksi oletetaan joukossa D olevan tasan k + 1 alkiota ja ehdon e e 0 toteutuvan. Olkoon oletuksen mukaisesti kokoelmaan F sisältyvä metsä F sellainen, että verkko F + e 0 on metsä. Olkoon toisaalta F F sellainen, että polku h(e 0 ) on metsän F polku. Oletusten e e 0 ja e 0 E ( h(e 0 ) ) mukaan sykli h(e 0 ) + q(e 0 ) on verkon F +q(e 0 ) sykli. Kyseinen sykli on lisäksi verkon F +q(e 0 ) ainoa sykli. Jos nimittäin verkossa F + q(e 0 ) olisi kaksi eri sykliä, niin särmä q(e 0 ) sisältyisi kumpaankin niistä, jolloin syklien kaarista saataisiin ristiriitaisesti yhdistettyä eräs metsän F sykli. Tiedon e 0 E ( h(e 0 ) ) perusteella verkossa ( F + q(e 0 ) ) e 0 ei ole yhtään sykliä. Näin ollen särmän q(e 0 ) lisääminen metsään F e 0 säilyttää 7
8 syklittömyyden. Kokoelma ( F \ {F, F } ) {F + e 0, F e 0 } toteuttaa tällöin induktio-oletuksen ehdot joukon D \ {e 0 } ja uutena aloituksena toimivan särmän q(e 0 ) sekä kuvausten q ja h rajoittumien kohdalla. Kyseisessä kokoelmassa on lisäksi korkeintaan yhtä monta alkiota kuin joukossa F ja siihen sisältyvät täsmälleen samat särmät joukon F metsien kanssa. Haluttu tulos seuraa nyt induktio-oletuksesta. Tavoiteltu väite pätee induktioperiaatteen nojalla. Edellistä aputulosta hyödyntäen voidaan nyt todistaa kurssikirjan lauseen sisältämä osuus, jota tarvitaan tehtävän ratkaisemisessa. Sovelletaan kurssikirjan todistusta hieman eri merkinnöin sekä rajoittumalla tavanomaisiin verkkoihin. Lause. Olkoon H jokin äärellinen verkko ja olkoon luku r Z + sellainen, että verkon H jokaisessa epätyhjässä aliverkossa U on korkeintaan r ( V (U) 1 ) särmää. Tällöin on olemassa r kappaletta verkon H virittäviä alimetsiä siten, että niillä ei pareittain ole yhteisiä särmiä ja että verkon H jokainen särmä on mukana jossakin näistä metsistä. Kyseisistä metsistä osa voi olla keskenään samoja. Todistus. Olkoon jatkossa F jokin sellainen enintään r jäsentä sisältävä kokoelma verkon H virittäviä alimetsiä, että kokoelman F metsillä ei pareittain ole yhteisiä särmiä ja että mahdollisimman suuri määrä verkon H särmistä on mukana joukon F metsissä. Näytetään verkon H jokaisen särmän kuuluvan tällöin kokoelman F johonkin metsään. Oletetaan vastaoletuksena, että verkon H jokin särmä e ei ole mukana missään joukon F metsässä. Väittämä F = r toteutuu, sillä muutoin joukkoon F voitaisiin lisätä sellainen virittävä alimetsä, joka ei sisällä särmän e lisäksi muita verkon H särmiä. Otetaan käyttöön eräitä merkintöjä. Jokaisella metsällä F F kokoelma E F olkoon kaikkien sellaisten metsän F särmien joukko, joiden päätepisteitä yhdistää jokin verkon F polku. Tällöin jokaisella metsällä F F ja särmällä e E F pätee, että verkossa F on tasan yksi polku särmän e päätepisteiden välillä, sillä muutoin verkossa F olisi sykli. Jokaisella kokoelman F metsällä F voidaan siis määritellä 8
9 sellainen injektio P F joukolta E F metsän F polkujen kokoelmaan, että jokaisella särmällä e E F polku P F (e) yhdistää särmän e päätepisteitä. Määritellään kuvaus A joukolta N verkon H aliverkkojen kokoelmaan siten, että verkoksi A(0) asetetaan verkko ( e, {e } ) ja että jokaisella luvulla k N verkko A(k + 1) saadaan lisäämällä verkkoon A(k) kaikki polut joukosta { P F (e) : F F e E F E ( A(k) )}. Tällöin jokaisella k N verkko A(k) on verkon A(k + 1) aliverkko. Verkko H on äärellinen, joten sillä on vain äärellinen määrä aliverkkoja. Näin ollen on olemassa jokin verkon H aliverkko U ja luku k U N siten, että jokaisella ehdon k k U toteuttavalla luvulla k N on väite A(k) = U voimassa. Tavoitteena on näyttää, että jokaisella F F verkon U virittämä metsän F aliverkko on yhtenäinen. Voidaan määritellä kuvaus q: E(U) E(U) ja kuvaus h joukolta E(U)\{e } kokoelman F metsien sisältämille poluille siten, että ehto q(e ) = e toteutuu ja että jokaisella särmällä e E(U) \ {e } valitaan ensin pienin mahdollinen ehdon e E ( A(k) ) toteuttava luku k Z + ja asetetaan arvoksi q(e) verkon A(k 1) eräs särmä e ja arvoksi h(e) eräs polku P siten, että jollakin F F ehdot P = P F (e ) ja e E(P) ovat voimassa. Jokaisella särmällä e E(U)\{e } verkko h(e)+q(e) on tällöin verkon H sykli. Osoitetaan seuraavaksi kuvausten q ja h avulla, että kuvauksen A määritelmää voidaan pelkistää siltä osin, että jokaisella luvulla k N ja metsällä F F ehto E ( A(k) ) E F on voimassa. Oletetaan vastaoletuksena, että jollakin luvulla l N ja jollakin metsällä L F verkon A(l) särmäjoukko ei ole joukon E L osajoukko. Olkoon särmä e 0 joukon A(l)\E L alkio. Tällöin verkko L +e 0 on metsä. Muutoin särmä e 0 olisi jollakin verkon L + e 0 syklillä, jolloin ristiriitaisesti olisi olemassa jokin metsän L polku, joka yhdistäisi särmän e 0 päätepisteet. Väittämän e 0 = e toteutuminen on mahdollista. Olkoon D sisältymisen suhteen pienin mahdollinen joukon E(U) osajoukko, joka sisältää särmän e 0 ja jonka jokaisella alkiolla e on väite q(e) D voimassa. Tällöin joukkoon D \ {e } rajoitettuna kuvaus q on injektio, sillä joukon D \ {e } jokaisella särmällä e on olemassa luku k N siten, että ehdot e / E ( A(k) ) sekä q(e) E ( A(k) ) toteutuvat. Toisaalta joukossa D on vain äärellinen määrä särmiä, 9
10 joten särmä e on myös joukon D alkio. Nyt joukko D \ {e 0 } on kyseessä olevan rajoittuman arvojoukko. Edellisen aputuloksen perusteella on olemassa sellainen enintään F jäsentä sisältävä kokoelma verkon H virittäviä alimetsiä, jotka sisältävät yhden särmän enemmän kuin joukon F metsät. Kyseisen kokoelman metsistä voidaan poistaa särmiä siten, että tuloksena olevilla metsillä ei pareittain ole yhteisiä särmiä, mutta aputuloksen todistuksen etenemisen mukaan tälle ei tosin ole tarvetta. Näin ollen saadaan ristiriita joukon F valinnan kanssa. Jokaisella luvulla k N ja metsällä F F siis väite E ( A(k) ) E F toteutuu. Olkoon x särmän e toinen päätepiste. Osoitetaan induktiolla luvun k N suhteen, että verkon A(k) jokaisella solmulla v on joukon F jokaisella metsällä jokin kyseisen metsän ja verkon A(k + 1) yhteinen polku solmujen v ja x välillä ja että vuorostaan jokaisella verkon A(k + 1) solmulla w on joukon F jollakin metsällä olemassa polku, joka yhdistää solmut w ja x kyseisessä metsässä ja joka on myös verkon A(k + 1) polku. Joukon F jokaisella jäsenellä F joukko E F sisältää verkon A(0) särmäjoukon, jolloin särmän e kummastakin päätepisteestä on solmuun x jokin verkkojen F ja A(1) yhteinen polku. Olkoon toisaalta w jokin verkon A(1) solmu. Tällöin on olemassa verkon A(1) sellainen polku, että solmu w on sen varrella ja että kyseinen polku on joukon F jonkin metsän polku. Induktion alkuaskel toteutuu. Oletetaan induktio-oletuksena luvun k N olevan sellainen, että se toteuttaa väitteen muotoilussa asetetut ehdot. Olkoon ensin v jokin verkon A(k +1) solmu ja olkoon F F mielivaltainen. Oletuksen perusteella on olemassa verkon A(k + 1) polku Q niin, että polku Q yhdistää solmut v ja x toisiinsa sekä on kokoelman F jonkin jäsenen polku. Muodostetaan polusta Q halutut ehdot toteuttava polku. Olkoon verkkojen F ja Q yhdisteeseen sisältyvä verkon A(k + 2) polku P v nyt sellainen, että se yhdistää solmut v ja x toisiinsa sekä sisältää mahdollisimman pienen määrän polun Q särmistä. Näytetään polun P v olevan metsän F aliverkko tekemällä vastaoletus, että jokin sen särmä e v ei ole metsän F särmä. Särmä e v on näin ollen polun Q ja verkon A(k+1) särmä. Tiedon E ( A(k+1) ) E F perusteella jokin metsän F polku yhdistää särmän e v päätepisteet ja on eräs verkon A(k + 2) 10
11 poluista. Tällaisen polun avulla voidaan kiertää särmä e v ja muodostaa samalla sellainen verkkojen F ja Q yhdisteeseen sisältyvä verkon A(k + 2) polku, joka yhdistää solmut v ja x toisiinsa sekä sisältää ainakin yhden särmän vähemmän polusta Q kuin polku P v sisältää. Saatu ristiriita osoittaa polun P v olevan metsän F aliverkko. Induktioaskeleen ensimmäinen osa on käsitelty. Olkoon seuraavaksi w jokin verkon A(k + 2) solmu. Jos w on verkon A(k + 1) solmu, niin induktio-oletuksen perusteella jokin verkon A(k + 1) polku yhdistää solmut w ja x toisiinsa sekä sisältyy aliverkkona kokoelman F johonkin jäseneen. Jokainen verkon A(k + 1) polku on myös verkon A(k + 2) polku, joten voidaan olettaa, että alkio w ei ole verkon A(k + 1) solmu. Nyt jossakin metsässä F w F on verkon A(k + 1) särmä e w siten, että solmu w on polun P Fw (e w ) varrella. Särmän e w päätepisteet ovat verkon A(k + 1) solmuja, joten induktioaskeleen ensimmäisen osan perusteella ne voidaan yhdistää solmuun x joillakin verkkojen F w ja A(k + 2) yhteisillä poluilla. Näistä poluista saadaan polun P Fw (e w ) avulla muodostettua sellainen verkkojen F w ja A(k + 2) yhteinen polku, joka yhdistää solmut w ja x toisiinsa. Näin ollen induktioaskel on käsitelty ja haluttu väite seuraa yleisestä induktioperiaatteesta. Jokaisella jäsenellä F F pätee, että verkon A(k U ) jokaisesta solmusta on jokin sellainen solmuun x vievä polku, joka sisältyy verkkojen A(k U + 1) ja F leikkaukseen. Tietojen A(k U ) = U ja A(k U + 1) = U perusteella jokaisella F F verkon U virittämä metsän F aliverkko on näin ollen yhtenäinen sekä edelleen metsän F syklittömyyden nojalla myös puu. Tasan r alkiota sisältävän joukon F jäsenet ovat verkon H virittäviä alimetsiä, joilla ei pareittain ole yhteisiä särmiä ja joihin särmä e ei kuulu, joten verkon U virittämässä verkon H aliverkossa on vähintään r ( V(U) 1 ) +1 särmää. Saatu tulos on ristiriidassa verkosta H tehdyn oletuksen kanssa. Näin ollen kokoelman F metsät sisältävät verkon H jokaisen särmän. Palataan varsinaisen tehtävän käsittelyyn. Olkoon G mielivaltainen äärellinen tasoverkko sekä olkoon pari (W, A) jokin sitä vastaava tasoon piirretty verkko. Olkoon pariin (W, A) liittyen kuvaus f : V (G) W jokin verkon G piirtämistä tasoon vastaava bijektio. 11
12 Olkoon U jokin verkon H epätyhjä aliverkko ja olkoon U verkon U virittämä verkon G aliverkko. Verkko U on tasoverkko, sillä sitä vastaa tasoon piirretty verkko, jonka solmujoukko on f (U ) ja jonka särmäjoukon muodostavat kaikki ne joukon A murtoviivat, jotka yhdistävät joukon W solmuja x ja y siten, että solmujen f 1 (x) ja f 1 (y) välinen särmä kuuluu verkon U särmäjoukkoon. Jos verkossa U on enintään kaksi solmua, niin ehto E(U ) 3 ( V(U ) 1 ) on voimassa. Verkko U on tasoverkko, joten tapauksessa V(U ) 3 se sisältää kurssikirjan korollaarin mukaan korkeintaan 3 V(U ) 6 särmää. Tiedon V (U) = V (U ) mukaan siis erityisesti väite E(U ) 3 ( V(U) 1 ) toteutuu. Siten verkon G esittämiseen tarvitaan enintään kolme sellaista verkon G virittävää alimetsää, joilla ei pareittain ole yhteisiä särmiä. Verkko G voidaan siis esittää kolmen metsän yhdisteenä. Tehtävä 7 : 6 Olkoon G jokin äärellinen 6-yhtenäinen verkko. Erityisesti verkko G sisältää siis enemmän kuin yhden solmun. Tällöin tiedon κ(g) δ(g) perusteella verkon G jokaisesta solmusta lähtee vähintään kuusi särmää, jolloin saadaan tulos E(G) = 1 2 x V(G) deg G (x) 1 6 V(G) = 3 V(G). 2 Toisaalta kurssikirjan korollaarin nojalla jokaisessa tasan V(G) solmua sisältävässä tasoverkossa on enintään 3 V (G) 6 särmää. Siten verkko G ei voi olla tasoverkko. Näin ollen 6-yhtenäisiä tasoverkkoja ei ole olemassa. Toisaalta samalla idealla saadaan vahvempi tulos, että jokaisessa epätyhjässä tasoverkossa on jokin solmu, jolla on korkeintaan viisi naapuria. 12
verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotNäin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto
Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotTehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2
Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty
LisätiedotTehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2
Tehtävä 5 : 1 Merkitään kirjaimella H kuvan punaisten solmujen virittämää verkon G yhtenäistä aliverkkoa, jossa on yhteensä kolme särmää. Aliverkosta H voidaan kahdella tavalla valita kahden solmun joukko
LisätiedotYhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi
Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 166 Luku 4 Erilaisia graafeja 4.1 Eulerin graafi 4.2 Hamiltonin graafi 4.3 Tasograafi 4.4 Graafin värittäminen
LisätiedotPuiden karakterisointi
Puiden karakterisointi LuK-tutkielma Airta Ella 2502661 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Johdatus verkkoteoriaan 3 1.1 Verkko käsitteenä.........................
LisätiedotAlgoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotTehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)
Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 126 Luku 3 Puut 3.1 Puu 3.2 Virittävä puu 3.3 Virittävän puun konstruointi 3.4 Minimaalinen virittävä puu
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10
Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut / vko 0 Tuntitehtävät - lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät - loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät - tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotKysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?
7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,
Lisätiedot5.6 Yhdistetty kuvaus
5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotLiite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Lisätiedotj(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!
LisätiedotInduktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.
Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotLause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat
jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotMääritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki
Alkuluvut LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Jokainen luku 0 on jaollinen ainakin itsellään, vastaluvullaan ja luvuilla ±1. Kun muita eri ole, niin kyseinen luku on alkuluku. Määritelmä, alkuluku/yhdistetty
LisätiedotV. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
Lisätiedotkeskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a
LisätiedotPysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,
Lisätiedot15. Laajennosten väliset homomorfismit
15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti
LisätiedotRatkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut
Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotHieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).
Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotTarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.
Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotRyhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotEi-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3]
Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3] Yhteydettömille kielille pätee samantapainen pumppauslemma kuin säännöllisille kielille. Siinä kuitenkin pumpataan kahta osamerkkijonoa samaan tahtiin. Lause 2.25
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotEräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.
5. Verkkoalgoritmeja Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. Palauttaminen edellyttää usein ongelman ja algoritmin pientä modifioimista,
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
Lisätiedot0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.
Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
Lisätiedot