Yhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).

Transkriptio

1 Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta voidaan yhdistää ja kirjoittaa muodossa n on parillinen n 2 on parillinen. Nuolta kutsutaan ekvivalenssinuoleksi, ja merkintä luetaan joko n on parillinen jos ja vain jos n 2 on parillinen tai n on parillinen täsmälleen silloin, kun n 2 on parillinen. Merkintä P Q tarkoittaa siis (P Q) ja (Q P). 1 / 11

2 Yhtäpitävyys Esimerkki 1 Osoita, että luonnollinen luku n on parillinen jos ja vain jos luonnollinen luku n + 1 on pariton. Väite koostuu kahdesta väitelauseesta: n on parillinen (oletus) = n + 1 on pariton (väite) ja n + 1 on pariton (oletus) = n on parillinen (väite). Todistetaan nämä erikseen. Oletus 1: luku n on parillinen. Väite 1: luku n + 1 on pariton. Koska Oletuksen 1 perusteella n on parillinen, niin n = 2k jollakin k N. Nyt n + 1 = 2k + 1, joten n + 1 on pariton. Siis Väite 1 on totta. 2 / 11

3 Yhtäpitävyys Oletus 2: luku n + 1 on pariton. Väite 2: luku n on parillinen. Oletuksen 2 nojalla n + 1 = 2l + 1 jollakin l N, joten n = (n + 1) 1 = (2l + 1) 1 = 2l. Näin ollen n on parillinen eli Väite 2 on totta. Koska molemmat väitelauseet ovat totta, myös alkuperäinen väite on totta. 3 / 11

4 Yhtäpitävyys Esimerkki 2 Todista väite: luonnollinen luku n on jaollinen luvulla 6 jos ja vain jos se on jaollinen sekä luvuilla 2 että 3. Väite koostuu kahdesta väitelauseesta. Todistetaan ne erikseen. Oletus 1: luku n on jaollinen luvulla 6. Väite 1: luku n on jaollinen luvuilla 2 ja 3. Käytetään Oletusta 1 ja jaollisuuden määritelmää: Koska n = 6k jollakin k N, niin n = 2 (3k) = 2l, missä l = 3k N. Siis n on jaollinen 2:lla. Lisäksi n = 3 (2k) = 3m, missä m = 2k. Näin n on jaollinen 3:lla. Väite 1 on siis totta. Oletus 2: luku n on jaollinen luvuilla 2 ja 3. Väite 2: luku n on jaollinen luvulla 6. 4 / 11

5 Esimerkki 2 jatkuu Oletuksen 2 ja jaollisuuden määritelmän perusteella n = 2l jollakin l N ja n = 3m jollakin m N. Osoitetaan aluksi, että m on parillinen. Käytetään epäsuoraa päättelyä. Vastaoletus: m on pariton. Tällöin m = 2p + 1 jollakin p N, joten n = 3m = 3(2p + 1) = 2(3p + 1) + 1. Siis n on pariton. Tämä on ristiriita, sillä n = 2l eli n on parillinen. Koska päädyttiin ristiriitaan, on vastaoletus väärä. Luvun m on siis oltava parillinen eli m = 2k jollakin k N. Tästä saadaan n = 3m = 3 (2k) = 6k, joten n on jaollinen 6:lla eli väite 2 on totta. Koska sekä väitelause että väitelause ovat tosia, on alkuperäinen väite totta. 5 / 11

6 Lause 1 Olkoon a,b,c N. Tällöin 1 1 jakaa luvun a ja a jakaa luvun a, 2 a jakaa luvun 0, 3 jos 0 jakaa luvun a, niin a = 0, 4 jos a jakaa 1, niin a = 1, 5 jos a jakaa luvun b ja b jakaa luvun a, niin a = b, 6 jos a jakaa luvun b ja b jakaa luvun c, niin a jakaa luvun c, 7 jos a jakaa luvun b ja a jakaa luvun c, niin a jakaa luvun b + c, 8 jos a jakaa luvun b, niin ma jakaa luvun mb kaikilla m N, 9 jos m N \ {0} ja ma jakaa luvun mb, niin a jakaa luvun b. 6 / 11

7 Määritelmä 1 Kokonaisluku n on parillinen, jos on olemassa sellainen k Z, että n = 2k, ja pariton, jos on olemassa sellainen l Z, että n = 2l + 1. (Vertaa vastaavat määritelmät luonnollisille luvuille.) Määritelmä 2 Jos a,b Z ja on olemassa sellainen luku k Z, että b = ka, niin a jakaa luvun b. Tästä käytetään merkintää a b. Jos a ei jaa lukua b, niin merkitään a b. Edelleen, jos a b, niin lukua a kutsutaan luvun b tekijäksi. 7 / 11

8 Lause 2 Olkoon a,b,c Z. Tällöin 1 ±1 a ja ±a a, 2 a 0, 3 jos 0 a, niin a = 0, 4 jos a 1, niin a = ±1, 5 jos a b ja b a, niin a = ±b, 6 jos a b ja b c, niin a c, 7 jos a b ja a c, niin a (b + c) ja a (b c), 8 jos a b ja a (b + c), niin a c, 9 jos a b, niin ma mb kaikilla m Z, 10 jos m Z \ {0} ja ma mb, niin a b. 8 / 11

9 Todistetaan Lauseen 2 kohdan 7 jälkimmäinen kohta (a (b c)). Koska a b ja a c, niin on olemassa sellaiset k Z ja l Z, että b = ka ja c = la. Nyt b c = ka la = (k l)a, missä k l Z, joten a (b c). 9 / 11

10 Todistetaan Lauseen 2 kohta 8. Koska a b, a (b + c) ja c = (b + c) b niin edellisen kohdan perusteella (Lauseen 2 kohdan 7 jälkimmäinen kohta) a c. 10 / 11

11 Määritelmä 3 Jos n Z ja luvun n ainoat tekijät ovat ±1 ja ±n, niin n on jaoton luku. Määritelmä 4 Jos p Z, p 2 ja luvulla p ei ole muita tekijöitä kuin ±1 ja ±p, niin lukua p sanotaan alkuluvuksi (prime number). Jos luku n Z voidaan esittää muodossa n = ab, missä a,b Z ja a, b 2, niin sanotaan, että n on yhdistetty luku (composite number). 11 / 11