LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia"

Transkriptio

1 LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien sisäinen rakenne on usein epäoleellinen. Tämä johtaa ajatukseen, että voitaisiin tarkastella sellaista systeemiä, jossa käsitellään ainoastaan joukkoja. Ensi alkuun tämä saattaa vaikuttaa paradoksaaliselta ja kehäpäätelmiin johtavalta idealta. Joukko-oppi voidaan kuitenkin rakentaa käyttäen toisen kertaluvun predikaattilogiikkaa, jossa kiinteän (logiikan) aakkoston lisäksi on ainoastaan yksi, binäärinen predikaatti- eli relaatiosymboli, niin kutsuttu epsilon-relaatio. Käytetään tästä formaalisesta kielestä merkintää L. Epsilon-relaation x y intuitiivinen tulkinta on tavanomainen x on joukon y alkio. Esimerkki 1.1. Joukko-opin aksioomia: (a) Eksistentiaaliaksiooma: ( x)( y)((x = y) (( z)(z x z y))) Joukot x ja y ovat samat tarkalleen silloin kun niissä on samat alkiot. (b) Parin muodostaminen: ( x)( y)( z)(( u)(u z (u = x u = y))) Mistä tahansa kahdesta alkiosta x ja y voidaan muodostaa joukko z, joka sisältää alkiot x ja y mutta ei muita alkioita. (c) Erotteluaksiooma: Olkoon φ mielivaltainen L-kaava. ( x)( y)(( z)(z y z x φ)). Ylläoleva aksiooma on itse asiassa aksioomakaavio, josta saadaan sijoituksella äärettömän monta aksioomaa. Tämä voitaisiin välttää nk. transformaatiosäännöillä. Aksiooman intuitiivinen sisältö on: Mielivaltaisesta joukosta x voidaan muodostaa sellainen joukko y, joka sisältää tarkalleen ne joukon x alkiot, jotka toteuttavat kaavan φ. Joukko-oppi voidaan Zermelon ja Fraenkelin mallin mukaan esittää kymmenellä aksioomalla, joihin lisätään kiistelty valinta-aksiooma. Tästä järjestelmästä käytetään lyhennystä ZFC. Ei tiedetä, onko ZFC ristiriidaton, mutta tiedetään, että joukkooppi valinta-aksioomalla täydennettynä (ZFC) tai valinta-aksiooman negaatiolla täydennettynä (ZF) ovat molemmat yhtä ristiriidattomia. Tilanne on tällöin samankaltainen kuin vertailtaessa esimerkiksi euklidista ja epäeuklidista geometriaa. 14

2 Aksiomaattinen lähestymistapa on välttämätön joukko-opin kannalta, sillä intuitiivinen joukko-oppi voi johtaa paradokseihin. Näistä monet johtuvat liian laajaalaisesta joukon käsitteestä. Esimerkki 1.2 (Russelin paradoksi). Frege esitti matematiikan perusteita käsittelevässä teoksessaan joukko-opin, joka salli uuden joukon muodostamisen seuraavalla tavalla: Mikäli P (x) on (käytettävässä) kielessä ilmaistava ominaisuus, voidaan muodostaa joukko {x P (x)}, joka sisältää kaikki sellaiset alkiot x, joilla on ominaisuus P. Tämän mukaan voidaan määritellä U = {x x / x}, toisin sanoen joukko U sisältää tarkalleen kaikki sellaiset joukot, jotka eivät ole itsensä alkioita. Tämä johtaa kuitenkin ristiriitaan, sillä jos on voimassa U / U, on määritelmän mukaan U U. Jos taas U U, on oltava U / U. Klassinen matematiikka voidaan rakentaa lähes kokonaan joukko-opin varaan, mutta universaalialgebrassa, mittateoriassa ja algebrallisessa topologiassa on kuitenkin tarpeen voida puhua joukkoja suuremmista käsitteistä. Otetaan tämän vuoksi käyttöön käsite luokka. Luokkateorialle on kehitetty samankaltaiseen aksiomatisointi kuin joukko-opille (Gödel-Bernstein), ja joukkoja voidaankin tässä teoriassa pitää erikoistapauksena luokista. Sanotaan, että luokka x on joukko, mikäli on olemassa sellainen luokka y, että on voimassa -relaatio x y. Myös luokkien teoria voidaan esittää kielen L avulla. Esimerkki 1.3. (a) Luokkateorian aksiomatisointia: Oletetaan, että φ on mielivaltainen L-kaava. ( x)( y)(y x ( z)(y z) φ) On olemassa luokka x, joka sisältää tarkalleen kaikki kaavan φ toteuttavat joukot y. (b) Parinmuodostusaksiooma on rajoitettava joukkoihin. (c) Kohdan (a)-nojalla on olemassa luokka = {x x x}, niin kutsuttu tyhjä luokka. Tämä on myös joukko. 2. Kategoria Määritelmä 2.1. Kategoria C koostuu kolmesta osasta: (a) Luokka, jonka alkioina ovat kategorian objektit. (b) Kutakin objektien paria A, B kohti on joukko Hom(A, B). Nämä ovat kategorian morfismit A B. (c) Jokaista objektikolmikkoa A, B ja C kohti on olemassa kompositiosääntö Hom(A, B) Hom(B, C) Hom(A, C). Morfismien f Hom(A, B) ja g Hom(B, C) kompositiosta käytetään merkintää gf tai g f. 15

3 Lisäksi kategorian on toteutettava seuraavat aksioomat: (A1) Joukot Hom(A 1, B 1 ) ja Hom(A 2, B 2 ) ovat erilliset, ellei A 1 = A 2 ja B 1 = B 2. (A2) Jos f Hom(A, B), g Hom(B, C) ja h Hom(C, D), on voimassa h(gf) = (hg)f. (A3) Jokaista objektia A kohti on olemassa morfismi 1 A Hom(A, A), joka toteuttaa ehdot f1 A = f ja 1 A g = g aina, kun f Hom(A, B) ja g Hom(C, A) joillekin kategorian objekteille B ja C. Esimerkki 2.2. (a) Joukkojen kategoria S. Tämän kategorian objektit ovat kaikki joukot, ja morfismeina ovat kaikki joukkojen väliset kuvaukset. Kompositiosäännöt ovat ilmeisiä. (b) Ryhmien kategoria G. Objekteina ovat kaikki ryhmät ja morfismeina näiden väliset ryhmähomomorfismit. Huomautus 2.3. Luokan määritelmän mukaan sen alkiot ovat joukkoja. Jokainen ryhmä (G, ) voidaan kuitenkin katsoa joukoksi esimerkiksi seuraavalla tavalla: (1) Ryhmän alkiot muodostavat joukon G, samoin karteesiset tulot G G ja (G G) G. (2) Ryhmäoperaatio on karteesisen tulon (G G) G osajoukko. Ryhmä voidaan siis katsoa järjestetyksi pariksi, jossa on komponetteina joukot (1) ja (2). Toisaalta taas järjestetty parin (a, b) määritelmänä voidaan pitää (a, b) = {a, {a, b}}. Näin ollen ryhmä voidaan katsoa ainoastaan joukoksi. 3. Homologia ja kohomologia Olkoon R rengas ja M (additiivinen) abelin ryhmä. Sanotaan, että M on vasen R-moduli, jos on olemassa kuvaus R M M, (r, m) r m, joka toteuttaa seuraavat ehdot: (1) r (m 1 + m 2 ) = r m 1 + r m 2 (2) (r 1 + r 2 ) m = r 1 m + r 2 m (3) 1 R m = m (4) (r 1 r 2 ) m = r 1 (r 2 m) Vastaavasti määritellään oikeanpuoleinen R-moduli. Oletetaan, että on olemassa sellainen modulin M osajoukko W, että jokainen modulin M alkio m voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa r = i I r i w i, r i R, w i W. 16 Silloin sanotaan, että W on modulin M R-kanta tai lyhyesti kanta. Kannan W kardinaliteettia kutsutaan modulin M asteeksi tai rangiksi. Olkoon R rengas, ja C R jokin vasemmanpuoleisten R-modulien kategoria. Sanotaan, että kategoria C R on hyvä kategoria, mikäli seuraavat ehdot toteutuvat:

4 (1) Kategorian objektien luokka on suljettu siinä mielessä, että luokan modulien alimodulit, tekijämodulit ja äärelliset suorat summat ovat myös tässä luokassa. (2) Jokaista objektiparia A, B kohti joukko Hom(A, B) sisältää kaikki R-lineaariset kuvaukset A B. Esimerkki 3.1. Kategoria, jonka objekteina ovat kaikki vasemmat R-modulit, on hyvä kategoria. Olkoon R rengas ja C R hyvä kategoria. Tarkastellaan kategorian objekteista muodostuvaa numeroituvaa jonoa X, joka voi olla joko toisesta tai molemmista päistä päättyvä, ja jossa kahden peräkkäisen objektin välillä on jokin kategorian morfismi ϕ n : X n+1 X n. 17 ϕ n 1 X : X n 1 Xn ϕ n Xn+1 (3-1) Määritelmä 3.2. Jono X on ketjukompleksi, jos ϕ n 1 ϕ n = 0 aina, kun n I. Tämä merkitsee sitä, että Im ϕ n Ker ϕ n 1. Ketjukompleksia kutsutaan jatkossa lyhyesti kompleksiksi. Määritelmä 3.3. Tekijämodulia Ker ϕ n 1 / Im ϕ n kutsutaan kompleksin X n:nneksi homologiaryhmäksi, ja siitä käytetään merkintää H n (X). Tämän ohella voidaan tarkastella myös jonoja Y, joissa kategorian C objektin Y n välillä on morfismit d n : Y n Y n+1. d n 1 Y : Y n 1 Yn d n Yn+1 (3-2) Jos kaikille indekseille pätee d n d n 1 = 0, kutsutaan jonoa Y myös kompleksiksi. Määritelmä 3.4. Tekijämodulia H n (Y ) = Ker d n / Im d n 1 kutsutaan kompleksin Y n:nneksi kohomologiaryhmäksi. Määritelmä 3.5. Kompleksi on eksakti, mikäli Im ϕ n = Ker ϕ n 1 (vastaavasti Ker d n = Im d n 1 ) kaikilla indekseillä n. Eksaktia kompleksia nimitetään myös resoluutioksi. Tarkastellaan kahta kompleksia X ja X. Oletetaan, että jokaisella indeksillä n on olemassa sellainen kategorian morfismi F n, että kaavio ϕ n 1 X : X n 1 Xn ϕ n Xn+1 F n 1 F n F n+1 (3-3) X : X n 1 ϕ n 1 X n ϕ n X n+1 kommutoi. Morfismien jonoa F = {F n } sanotaan ketjukuvaukseksi. Samoin määritellään vastaketjukuvaus. Ketjukuvaus indusoi homologioiden H n (X) ja H n (X ) välille kuvauksen, kun määritellään F n (x + Im ϕ n ) = F n (x) + Im ϕ n.

5 Tästä kuvauksesta käytetään myös merkintää F n. Todetaan, että ϕ n 1 F n = F n 1 ϕ n 1, josta seuraa, että F n (Ker ϕ n 1 ) Ker ϕ n 1. Lisäksi on voimassa ϕ n F n+1 = F n ϕ n, joten F n (Im ϕ n ) Im ϕ n. Näistä seuraa, että homologiaryhmien välille indusoitu morfismi on hyvin määritelty. Kaaviossa 18 0 M X 0 X 1 f F 0 F 1 (3-4) 0 M X 0 X 1 ketjukuvausta nimitetään ketjukuvaukseksi yli f:n. Analogisessa tilanteessa vastaketjukuvausta nimitetään vastaketjukuvaukseksi yli f:n. Olkoot F : X X ja G : X X ketjukuvauksia. Morfismien jonoa {s n }, s n : X n X n+1, kutsutaan homotopiaksi, jos jokaisella indeksillä n on voimassa ϕ ns n + s n 1 ϕ n 1 = F n G n. Tällöin sanotaan, että ketjukuvaukset F ja G ovat homotooppiset. Jos ketjut päättyvät kuten kaaviossa (3-4), määritellään F 1 = G 1 = f ja s 1 = 0. Tilannetta kuvaa seuraava kaavio: ϕ n 1 X n 1 Xn F n 1 G n 1 s n 1 Fn Gn X n 1 ϕ n 1 X n ϕ n Xn+1 ϕ n s n F n+1 G n+1 X n+1 Jos X ja X ovat vastaketjuja, ja F ja G vastaketjukuvauksia, määritellään homotopia s = {s n } vaatimuksella d n 1 s n + s n+1 d n = F n G n. d n 1 X n 1 Xn F n 1 G n 1 s n Fn Gn X n 1 d n 1 X n d n Xn+1 d n s n 1 F n+1 G n+1 X n+1 Lause 3.6. Olkoot F : X X ja G : X X homotooppisia ketjukuvauksia (vastaketjukuvauksia). Silloin F ja G indusoivat saman kuvauksen homologioiden (kohomologioiden) välillä. Todistus. Riittää todistaa ketjukuvauksia koskeva väite, todistus vastaketjukuvauksille on analoginen. Oletetaan, että x Ker ϕ n 1. Silloin F n (x) G n (x) = ϕ ns n (x) + s n 1 ϕ n 1 (x) = ϕ ns n (x) Im ϕ n. Näin ollen F n (x) G n (x) (mod Im ϕ n). Väite nähdään nyt suoraan oikeaksi, sillä H n (X ) = Ker ϕ n 1 / Im ϕ n.

6 19 4. Projektiiviset ja injektiiviset modulit Tässä pykälässä kaikki modulien väliset kuvaukset oletetaan kategorian morfismeiksi, ellei erityisesti toisin mainita. Määritelmä 4.1. Olkoon P moduli hyvässä kategoriassa C. Moduli P on projektiivinen, jos kaaviossa (vaakarivi eksakti) P ψ 0 B C voidaan kuvaus jakaa kuvauksen ψ kautta, olivatpa B ja C mitä tahansa kategorian C moduleja sekä ja ψ kategorian morfismeja, toisin sanoen on olemassa sellainen morfismi : P C, että = φ. Lemma 4.2. Jos P C on projektiivinen ja kaaviossa A P ϕ A ψ A on Ker ϕ = Im ψ ja ϕ = 0, on olemassa sellainen Hom(P, A), että = ψ. (4-1) (4-2) Todistus. Oletuksen nojalla Im Ker ϕ = Im ψ. Asetetaan kaaviossa (4-1) B = Im ψ ja C = A. Vaadittu morfismi saadaan suoraan projektiivisuuden määritelmästä. Esimerkki 4.3. (a) Vapaat modulit ovat projektiivisia, sillä mielivaltainen kuvaus modulin kannalta voidaan laajentaa yksikäsitteisellä tavalla morfismiksi. (b) Jos C on kaikkien vasempien R-modulien kategoria, ovat projektiiviset modulit tarkalleen kaikki vapaiden modulien komponentit suorissa summissa. Jos nimittäin F = P P on vapaa, laajennetaan kuvaus modulille F määrittelemällä (P ) = 0. Koska F on vapaa, on olemassa kuvaus : F C, joka saa kaavion (4-1) kommutoimaan, ja haluttu kuvaus saadaan kuvauksen rajoittumana modulille P. Jos oletetaan kääntäen, että P on projektiivinen, voidaan valita vapaa moduli F ja surjektio ψ Hom(F, P ). Projektiivisuuden määritelmän mukaan on olemassa sellainen : P F, että kaavio ψ 0 P F kommutoi. Tällöin on helppo todeta, että P = Im ja F = Im Ker ψ. Määritelmä 4.4. Resoluutiota id P 0 M X 0 X 1 X 2 (4-3) kutsutaan projektiiviseksi resoluutioksi yli modulin M, jos modulit X i, i 0 ovat projektiivisia.

7 20 Lause 4.5. Olkoot X ja X ketjukomplekseja. Oletetaan, että kaaviossa X : 0 M ϕ 1 ϕ 0 ϕ 1 ϕ 2 X 0 X1 X2 f (4-4) X : 0 M ϕ 1 X 0 ϕ 0 X 1 ϕ 1 X 2 ϕ 2 X on eksakti kompleksi eli resoluutio ja että X on projektiivinen kompleksi yli modulin M. Silloin on olemassa ketjukuvaus F : X X yli f:n. Todistus. Tarkastellaan aluksi kuvausta fϕ 1 : X 0 M. Moduli X 0 oletettiin projektiiviseksi, joten on olemassa kuvaus F 0 : X 0 X 0, jolle pätee ϕ 1 F 0 = fϕ 1. X 0 fϕ 1 F 0 0 M ϕ 1 X 0 Oletetaan nyt, että on konstruoitu F n, jolle pätee sekä tarkastellaan kaaviota ϕ n 1 F n = F n 1 ϕ n 1, X n X n+1 F n ϕ n F n+1 (4-5) X n 1 ϕ n 1 X n ϕ n+1 X n+1 Induktio-oletuksen mukaan on voimassa ϕ n 1 F nϕ n = F n 1 ϕ n 1 ϕ n = 0, ja kompleksi X oletettiin projektiiviseksi, joten lemman 4.2 mukaan on olemassa sellainen kuvaus F n+1 : X n+1 X n+1, joka toteuttaa ehdon ϕ n F n+1 = F n ϕ n. Lause 4.6. Olkoot X ja X komplekseja, joiden modulit ovat kategorian C objekteja, sekä F : X X ja G : X X ketjukuvauksia yli f:n. X : 0 M ϕ 1 ϕ 0 ϕ 1 X 0 X1 F f 0 F 1 G 0 G 1 (4-6) X : 0 M ϕ 1 X 0 ϕ 0 X 1 ϕ 1 Oletetaan lisäksi, että X on eksakti ja että X n on projektiivinen, kun n 0. Silloin ketjukuvaukset F ja G ovat homotooppiset.

8 21 Todistus. Todistus suoritetaan induktiolla. Tarkastellaan aluksi kaaviota f f=0 M ϕ 1 X 0 F 0 G 0 s 0 M ϕ 1 X 0 ϕ 0 X 1 Koska kaavio (4-6) kommutoi, on voimassa ϕ 1 (F 0 G 0 ) = ϕ 1 F 0 ϕ 1 G 0 = fϕ 1 fϕ 1 = 0. Lemman 4.2 nojalla on olemassa sellainen kuvaus s 0, että F 0 G 0 = ϕ 0 s 0. Oletetaan nyt, että on löytynyt sellaiset kuvaukset s i : X i X i+1, että homotopiaehto ϕ i s i + s i 1 ϕ i 1 = F i G i on voimassa, kun i {0, 1,..., n}. Tarkastellaan kaavoita X n ϕ n Xn+1 F n G n s n 1 ϕ n 1 F n+1 G n+1 s n ϕ n s n+1 X n ϕ n X n+1 ϕ n+1 X n+2 Kaavio (4-6) kommutoi, joten ϕ n (F n+1 G n+1 s n ϕ n ) = F n ϕ n G n ϕ n ϕ n s nϕ n = (F n G n ϕ ns n )ϕ n = s n 1 ϕ n 1 ϕ n = 0. Toiseksi viimeinen yhtäsuuruus saadaan induktio-oletuksesta ja viimeinen johtuu siitä, että jono X n on kompleksi. Jono X oletettiin eksaktiksi, ja X projektiiviseksi, joten jälleen lemman 4.2 nojalla on olemassa sellainen kuvaus s n+1 : X n+1 X n+2, että F n+1 G n+1 s n ϕ n = ϕ n+1 s n+1. Määritelmä 4.7. Olkoon I moduli kategoriassa C. Moduli I on injektiivinen, jos kaaviossa (vaakarivi eksakti) I 0 B ϕ C (4-7) kuvaus voidaan jakaa ϕ:n kautta aina, kun B ja C ovat kategorian C moduleja ja ja ϕ sen morfismeja. Tämä merkitsee sitä, että on olemassa sellainen kuvaus : C I, että = ϕ.

9 22 Lemma 4.8. Jos I on injektiivinen ja kaaviossa A I ψ A ϕ A (4-8) on Ker ϕ = Im ψ ja ψ = 0, on olemassa sellainen kuvaus : A I, että kaavio (4-8) kommutoi. Todistus. Oletuksen nojalla Ker Im ψ = Ker ϕ, joten kuvaukset : A/ Ker ϕ I, (a + Ker ϕ) = (a) ja ϕ : A/ Ker ϕ A, ϕ(a + Ker ϕ) = ϕ(a) ovat hyvin määriteltyjä. Valitaan kaaviossa (4-7) B = A/ Ker ϕ ja C = A. I 0 A/ Ker ϕ ϕ A Injektiivisyyden määritelmän mukaan on olemassa sellainen kuvaus : A I, että = ϕ. Kuvaus saa kaavion (4-8) kommutoimaan. Määritelmä 4.9. Resoluutio 0 M X 0 X 1 X 2 on injektiivinen resoluutio yli modulin M, jos modulit X i, i 0 ovat injektiivisiä. Lause Olkoot X ja X komplekseja. X : 0 M d 1 d X 0 d 0 1 X1 X2 f X : 0 M d 1 X 0 d 0 X 1 d 1 X 2 Oletetaan lisäksi, että X on eksakti ja X n injektiivinen, kun n 0. olemassa vastaketjukuvaus F : X X yli f:n. Silloin on Todistus. Todistus on analoginen lauseen 4.5 todistuksen kanssa. Lause Olkoot kompleksit X ja X kuten lauseessa 4.10, sekä F ja G ketjukuvauksia yli f:n. Silloin F ja G ovat homotooppiset. Todistus. Väite todistetaan samoin kuin lause 4.6. Huomautus Käsitteet projektiivinen ja injektiivinen ovat toistensa duaalikäsitteitä, eikä lauseiden 4.10 ja 4.11 todistuksia ole tarpeen kirjoittaa, sillä todistukset ovat analogisia lauseiden 4.5 ja 4.6 todistuksien kanssa. Kategoriateoria tuo tähän lisävalaistusta.

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Determinoiruvuuden aksiooma

Determinoiruvuuden aksiooma Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Luukkonen Sahlqvistin kaavat Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö LUUKKONEN, HEIDI: Sahlqvistin

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Calkinin-Wiln jono 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5...

Calkinin-Wiln jono 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5... Calkinin-Wiln jono Funktio f : X Y on bijektio, jos sillä on käänteisfunktio f : Y X. Joukko X on äärellinen, jos se on thjä tai jos on olemassa bijektio f : X {,,,..., n}. Joukko X on numeroituva, jos

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA HEIKKI PITKÄNEN 1. Johdanto Määritelmä 1. Olkoon I ihmisten joukko ja a, b I. Määritellään relaatio : a b a rakastaa b:tä. Huomautus 2. Määritelmässä esiintyvälle käsitteelle

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen.

on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. 6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli H = { M pysähtyy syötteellä w} on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. Todistus. Todetaan ensin, että kieli H on rekursiivisesti

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Tehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2

Tehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2 Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Induktio kaavan pituuden suhteen

Induktio kaavan pituuden suhteen Induktio kaavan pituuden suhteen Lauselogiikan objektikieli määritellään kurssilla Logiikka 1B seuraavasti: 1. Lausemuuttujat p 1, p 2, p 3,... ovat kaavoja. 2. Jos A on kaava, niin A on kaava. 3. Jos

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

Vadi m Kulikov. Ressun lukio. Työ sijoitt uu kahdelle tieteenalalle: matematiikka ja filoso fia.

Vadi m Kulikov. Ressun lukio. Työ sijoitt uu kahdelle tieteenalalle: matematiikka ja filoso fia. Reaaliluvut: keksitty vai löydetty käsite? Filosofisesti tuettu reaalilukujen johdatus klassisen joukko-opin aksioomista. Vadi m Kulikov Ressun lukio Työ sijoitt uu kahdelle tieteenalalle: matematiikka

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA Heikki Junnila VERKOT LUKU I JOUKOISTA JA RELAATIOISTA 1. Joukkojen symmetrinen erotus.....................................1 2. Relaation sisältämät kuvaukset.................................... 7 Harjoitustehtäviä................................................

Lisätiedot

Luku 5. Löwenheimin ja Skolemin lause. kompaktisuuslause. Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin.

Luku 5. Löwenheimin ja Skolemin lause. kompaktisuuslause. Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin. Luku 5 Löwenheimin ja Skolemin lause, kompaktisuuslause Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin. Löwenheimin ja Skolemin lause Sanomme, että kaavajoukko

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

f 1 (b) kun b f(a) g(b) = a kun b B \ f(a). g(b) = g(b ). (2) b = b. = f(g(b )) iii) = b,

f 1 (b) kun b f(a) g(b) = a kun b B \ f(a). g(b) = g(b ). (2) b = b. = f(g(b )) iii) = b, 1.1 Olkoon f : A B injektio. Tällöin f : A f(a) on bijektio, joten on olemassa bijektiivinen käänteiskuvaus f 1 : f(a) A. Jos f(a) = B, niin tämä f 1 on haluttu surjektio. Voidaan siis olettaa, että f(a)

Lisätiedot

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste

Lisätiedot

Projektiiviset, injektiiviset ja laakeat modulit

Projektiiviset, injektiiviset ja laakeat modulit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Pekka Peltola Projektiiviset, injektiiviset ja laakeat modulit Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2014 Sisältö Tiivistelmä 1 Johdanto

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Jarkko Peltomäki 30. huhtikuuta 2012 Tässä esseessä esitetään Frank Ramseyn vuonna 1929 esittämä tulos logiikassa, jonka todistamiseksi hän osoitti myöhemmin tärkeäksi

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Matematiikka kaikille, kesä 2017

Matematiikka kaikille, kesä 2017 Matematiikka kaikille, kesä 2017 Luentojen 2,4 ja 6 luentokalvoja (päivittyy kurssin aikana) Henrik Wirzenius, henrik.wirzenius@helsinki.fi, June 21, 2017 1/30 Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Kurssin

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot