Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Transkriptio

1 Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja lause B on pyydät anteeksi. 2. Formalisoi a- ja b-kohdan lauseet samojen lauseiden A ja B avulla. a) jos tuuli tyyntyy, niin pakkanen kiristyy b) jos pakkanen ei kiristy, niin tuuli ei tyynny. c) Tutki, ovatko a- ja b-kohdan lauseet loogisesti ekvivalentit. Pitkä matematiikka 11, WSOY 1

2 Testaa taitosi 1:n ratkaisut 1. A B ŸA B Ø ŸA A (B Ø A) b) Lause on tosi, kun A on tosi ja B on epätosi. c) Olen vihainen, ja jos pyydät anteeksi, niin en ole vihainen. 2. Olkoon lause A: tuuli tyyntyy ja lause B: pakkanen kiristyy. a) A Ø B b) ŸB Ø ŸA c) A B ŸA ŸB A Ø B B Ø A Lauseet ovat loogisesti ekvivalentit. Pitkä matematiikka 11, WSOY 2

3 Testaa taitosi 2: Avoin lause ja kvanttorit 1. Olkoon perusjoukko positiivisten kokonaislukujen joukko ja A(x) avoin lause luku 15 on jaollinen luvulla x ja B(x) avoin lause luku 6 on jaollinen luvulla x. Ratkaise lauseet a) A(x) b) B(x) c) A(x) B(x) d) A(x) ŸB(x). 2. Suomenna avoin lause, kun perusjoukko on reaalilukujen joukko. Onko lause tosi vai epätosi? Perustele. a) x ( x 2 > 0) b) x ( x 2 0) Pitkä matematiikka 11, WSOY 3

4 Testaa taitosi 2:n ratkaisut 1. a) Lauseen toteuttavat luvut 1, 3, 5 ja 15. Ratkaisujoukko on {1, 3, 5, 15}. b) Ratkaisujoukko on {1, 2, 3, 6}. c) Ratkaisujoukko on {1, 2, 3, 5, 6, 15}. d) Ratkaisujoukko on {5, 15}. 2. a) Kaikilla luvuilla x pätee: x 2 > 0. Jokaisen reaaliluvun neliö on positiivinen luku. Lause on epätosi, koska 0 2 = 0. b) On olemassa luku x, jolle pätee: x 2 0. On olemassa reaaliluku, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin nolla. Lause on tosi, koska Pitkä matematiikka 11, WSOY 4

5 Testaa taitosi 3: Jaollisuus ja jakoyhtälö 1. Jaa luku 215 luvulla 7. Mikä osamäärä on ja mikä jakojäännös on? Kirjoita jakoyhtälö. 2. Kun eräs luku jaettiin luvulla 31, osamäärä oli 13 ja jakojäännös 29. Mikä luku jaettiin? 3. Esitä kokonaisluku muodossa q 7 + r, missä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < 7. a) 42 b) 45 c) 40 Pitkä matematiikka 11, WSOY 5

6 Testaa taitosi 3:n ratkaisut 1. Osamäärä on 30 ja jakojäännös 5. Jakoyhtälö on 215 = jaettava = osamäärä jakaja + jakojäännös jaettava = = a) 42 = b) 45 = c) 40 = Pitkä matematiikka 11, WSOY 6

7 Testaa taitosi 4: Suurin yhteinen tekijä 1. a) Luettele luvun 15 tekijät. b) Mikä lukujen 6 ja 15 suurin yhteinen tekijä on? c) Onko olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että 6x + 15y = 14? 2. a) Määritä Eukleideen algoritmilla lukujen 294 ja 210 suurin yhteinen tekijä. b) Ilmaise lukujen 294 ja 210 suurin yhteinen tekijä muodossa 294x + 210y, missä x ja y ovat kokonaislukuja. Pitkä matematiikka 11, WSOY 7

8 Testaa taitosi 4:n ratkaisut 1. a) Luvun 15 tekijät ovat 1, 3, 5 ja 15. b) Luvun 6 tekijät ovat 1, 2, 3 ja 6. Lukujen 6 ja 15 suurin yhteinen tekijä on 3. c) Koska 14 ei ole jaollinen luvulla 3, yhtälöllä ei ole ratkaisua. 2. a) 294 = = = 2 42 Suurin yhteinen tekijä on 42. b) Ratkaistaan yllä olevista yhtälöistä jakojäännökset. 84 = = Aloitetaan viimeisestä yhtälöstä ja sijoitetaan vuorollaan kunkin jakojäännöksen lauseke. 42 = = ( ) = = Siis x = 2 ja y = 3. Pitkä matematiikka 11, WSOY 8

9 Testaa taitosi 5: Alkuluvut ja jaollisuuslauseita 1. Tutki, onko luku 271 alkuluku. Vastaa perustellen. 2. Jaa luvut 198 ja 378 alkutekijöihin ja määritä lukujen suurin yhteinen tekijä. 3. Pitääkö väite paikkansa? Perustele. a) Jos kumpikaan luvuista a ja b ei ole jaollinen luvulla 6, niin tulo ab ei ole jaollinen luvulla 6. b) Luku a on jaollinen luvuilla 7 ja 13, jos ja vain jos se on jaollinen luvulla 91. c) Luku a on jaollinen luvuilla 8 ja 5, jos ja vain jos se on jaollinen luvulla 40. d) Luku a on jaollinen luvuilla 8 ja 6, jos ja vain jos se on jaollinen luvulla 48. Pitkä matematiikka 11, WSOY 9

10 Testaa taitosi 5:n ratkaisut 1. Luvun 271 neliöjuuren likiarvo on 16,462. Riittää tutkia, onko luku 271 jaollinen lukua 16 pienemmillä alkuluvuilla. 271 : 2 = 135,5 271 : 3 90, : 5 = 54,2 271 : 7 38, : 11 24, : 13 20,846 Luku 271 on alkuluku = = Suurin yhteinen tekijä on = a) Väite ei pidä paikkaansa. Esimerkiksi luvut 3 ja 8 eivät ole jaollisia kuudella, mutta luku 3 8 = 24 on kuudella jaollinen. b) Väite pitää paikkansa, koska luvut 7 ja 13 ovat alkulukuja ja 7 13 = 91. c) Väite pitää paikkansa, koska lukujen 8 ja 5 suurin yhteinen tekijä on yksi ja 8 5 = 40. d) Väite ei pidä paikkaansa. Esimerkiksi luku 24 on jaollinen luvuilla 8 ja 6, mutta ei luvulla 48. Pitkä matematiikka 11, WSOY 10

11 Testaa taitosi 6: Kongruenssi 1. Osoita, että a) (mod 9) b) 91 0 (mod 7) c) 12 3 (mod 5). 2. Määritä jakojäännös, joka jää, kun luku jaetaan luvulla 8. Pitkä matematiikka 11, WSOY 11

12 Testaa taitosi 6:n ratkaisut 1. a) 1. tapa. Koska lukujen erotus = 45 = 5 9 on luvulla 9 jaollinen, niin (mod 9). 2. tapa. 77 = ja 32 = Koska jakojäännökset ovat yhtä suuret, niin (mod 9). b) Koska erotus 91 0 = 91 = 13 7 on luvulla 7 jaollinen, niin 91 0 (mod 7). c) Koska erotus 12 ( 3) = 15 = 3 5 on luvulla 5 jaollinen, niin 12 3 (mod 5) (mod 8) 25 1 (mod 8) 44 4 (mod 8) 31 1 (mod 8) ( 1) (mod 8) Jakojäännös on 6. Pitkä matematiikka 11, WSOY 12