Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Transkriptio

1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus siitä, mitä epäyhtälöille saa tehdä. 1. Jos meillä on epäyhtälö a > b, voidaan se kertoa positiivisella luvulla, jolloin sen suunta säilyy. Eli jos c > 0, c a > c b Syy tähän on selvä: esimerkiksi 5 > 2, joten 2 5 > 2 ( 2), koska 10 > Jos epäyhtälön kertoo negatiivisella luvulla, sen suunta muuttuu: jos a > b ja c < 0, c a < c b Tätä voi testata esimerkillä: 5 > 1, mutta 5 < 1, jossa siis epäyhtälön kumpikin puoli on kerrottu luvulla 1. Itseisarvolle pätee sääntö x y = x y eli tulon itseisarvo on itseisarvojen tulo. Täten esimerkiksi 5 x = 5 x = 5 x. Kun nämä asiat ovat hallussa, voimme siirtyä tarkastelemaan epäyhtälöjä, jotka sisältävät itseisarvoja. Muodostetaan epäyhtälö: x > a, jossa a on jokin luku. Palautetaan mieleen pari riviä ylempää epäyhtälön määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 1

2 Sijoittamalla tämä määritelmä epäyhtälön x :n paikalle saadaan: x > a x > a tai x > a. Muokkaamalla tämä saadaan muotoon: x > a tai x < a. Tässä siis jälkimmäinen epäyhtälö kerrottiin luvulla 1, jolloin yhtälön suunta vaihtui. Tämä kannattaa havainnollistaa graasesti. Edellisessä kohdassa tarkasteltavana oli epäyhtälö, jossa x:n itseisarvo oli suurempi kuin jokin luku, a. Toinen tapaus on muotoa x:n itseisarvo on pienempi kuin jokin luku, a > 0 (itseisarvo aina positiivinen, joten se ei voi olla pienempi kuin jokin negatiivinen luku). Eli: x < a. Jälleen voidaan käyttää itseisarvon määritelmää: se, että x on pienempi kuin jokin luku a tarkoittaa, että joko x on pienempi kuin a tai x on pienempi kuin a. Eli: x < a x < a tai x < a. Taas voidaan muokata kyseistä yhtälöä: x < a x < a tai x > a. Tässä tapauksessa voidaan tehdä hieman yhdistelyä: jos a on sekä pienempi kuin jokin positiivinen luku, että suurempi kuin jokin negatiivinen luku, on se näiden kahden luvun välissä: x < a tai x > a a < x < a. Tämä tule selväksi kun luvut piirtää janalle. Esimerkki 1. Sievennetään x + 1 < 3: x + 1 < 3 3 < x + 1 < 3 4 < x < 2 2

3 Edellisessä esimerkissä siis siirryttiin suoraan epäyhtälöstä f(x) < a epäyhtälöön a < f(x) < a. Esimerkki 2. Sievennetään x + 1 > 3: x + 1 > 3 x + 1 > 3 tai (x + 1) > 3 x > 2 tai x 1 > 3 x > 2 tai x > 4 x > 2 tai x < 4 Jälleen kannattaa piirtää jana, ja tutkia epäyhtälön ratkaisua graasesti. Jos meillä on epäyhtälö a < 1/x < b, jossa a ja b ovat suurempia kuin nolla, miten tästä saa x:n kätevästi osoittajasta nimittäjään? Vastaus paljastuu tarkastelemalla kumpaakin epäyhtälöä erikseen: a < 1/x ax < 1 x < 1/a 1/x < b 1 < bx 1/b < x Laittamalla nämä kaksi yhteen saadaan 1/b < x < 1/a, joten yhtälö ratkaistiin seuraavasti: a < 1/x < b 1/b < x < 1/a. Eli kaikki termit nostettiin ainoastaan potenssiin 1, ja epäyhtälöiden suunnat muutettiin. Kolmioepäyhtälö kertoo meille seuraavaa: x + y x + y Epäyhtälön pitävyys tulee selväksi, kun sen paikalle sijoittaa eri arvoja: jos x = 1 ja y = 1, se näyttää seuraavalta: 1 + ( 1)

4 0 2, mikä tietenkin pitää paikkansa. Jos x ja y ovat kumpikin suurempia kuin nolla, kyseinen epäyhtälö pätee yhtälönä. Esimerkki 3. Osoita kolmioepäyhtälön avulla, että x+y +z x + y + z Ratkaisu. Kolmioepäyhtälössä on vain kaksi termiä, mutta tässä tehtävässä on kolme: kolmioepäyhtälö sanoo a + b a + b. Tehdään lausekkeeseen x + y + z sijoituksia: x + y + }{{}}{{} z, =a =b jolloin voimme sijoittaa epäyhtälöön a + b a + b arvot a = x + y ja b = z: a + b a + b x + y + z x + y + z Jälkimmäiseen epäyhtälöön voi soveltaa kolmioepäyhtälöä vielä kerran: koska x + y x + y. x + y + z x + y + z x + y + z, Käytännössä kolmioepäyhtälön käytössä kannattaa käyttää luovuutta a:n ja b:n valinnassa. Luovuutta voi käyttää myös lisäämällä älykkäästi nollan kyseiseen epäyhtälöön: Esimerkki 4. Osoita, että a + b a + c + b c. Ratkaisu: a + b voidaan muokata muotoon a + c }{{ } c +b. =0 Nyt kolmioepäyhtälöä voi soveltaa sijoituksilla x = a + c ja y = c + b: Tässä tuli siis todistettua: (a + c) + ( c + b) a }{{}}{{}}{{ + } c + c }{{ + } b =x =y =x =y a + b = a + c c + b a + c + b c 4

5 2 Supremum ja innum Olkoon A jokin joukko reaalilukuja. Ajatellaan joukkoa S, joka sisältää kaikki luvut, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin A:n kaikki luvut. Siis: S = {x x a a A} Esimerkki 5. Jos A = {a a < 1}, joukko S, joka sisältää kaikki luvut jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kaikki a:n luvut on muotoa S = {y y 1}. Esimerkki 6. Jos A = {a a 6}, joukko S, joka sisältää kaikki luvut jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kaikki a:n luvut on muotoa S = {y y 6}. Esimerkki 7. Jos A = {a 88 a 6}, joukko S, joka sisältää kaikki luvut jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin kaikki a:n luvut on edelleen muotoa S = {y y 6}. Supremum on tämän suurempi tai yhtä suuri kuin -joukon pienin alkio (eli minimi) esimerkissä 3 joukon A supremum oli 1, esimerkkien 4 ja 5 joukon A supremum oli 6. Esimerkki 8. Joukon A = {1, 4, 5} supremum on 5. Esimerkki 9. Joukolla A = {y y 6} ei ole supremumia eli pienintä ylärajaa; sillä ei ole ollenkaan ylärajaa. Joukon innum löydetään vastaavalla tavalla: muodostetaan pienempi kuin -joukko, ja etsitään tämän suurin alkio. Innum on siis joukon A suurin alaraja. Esimerkki 10. Joukon A = {a 88 a 6} suurin alaraja on 88. Esimerkki 11. Joukolla A = {a a < 1} ei ole suurinta alarajaa, sillä se ei ole alhaalta rajoitettu (eli sillä ei ole yhtään alarajaa). Esimerkki 12. Joukon A = {1, 4, 5} innum on 1. Mitä eroa on supremumilla ja maksimilla tai toisaalta innumilla ja minimillä? Alla oleva esimerkki valaisee: Esimerkki 13. Joukon A = {a a < 1} supremum on 1. Sillä ei ole maksimia, sillä se on avoin joukko. Toisaalta joukon A = {a a 1} supremum on myös 1. Tällä joukolla on myös maksimi: 1. Siis ylhäältä suljetun joukon maksimi on sama kuin sen supremum. Vielä pari esimerkkiä: Esimerkki 14. Joukon A = {x 2 x R} innum on 0. Ylhäältä rajoittamattomana joukkona sillä ei ole supremumia. Esimerkki 15. Joukon A = {1/x x R + } innum on 0. Esimerkki 16. Joukon A = {1/x 2 x Q \ {0}} innum on 0. 5

6 3 Algebraa Raja-arvoja voi laskea muokkaamalla raja-arvon sisässä olevaa lauseketta muotoon, jolla funktio on raja-arvopisteessä määritelty: esimerkiksi ( ) x 2 = (1) = 1. x 2 x 2 x 2 Vaikkakaan kyseisen funktion arvo ei ole määritelty pisteessä x = 2, on tämän funktion arvo määritelty pisteen 2 läheisyydessä; itse asiassa tämä funktio on määritelty mielivaltaisen lähellä pistettä x = 2, vaikkakaan ei itse tässä pisteessä. Tästä syystä raja-arvon laskemiseksi funktion voi muokata yllä olevalla tavalla. Raja-arvo kertoo kuinka funktio käyttäytyy kun x lähestyy jotain pistettä x 0 ; raja-arvo ei ota kantaa miten miten funktio käyttäytyy itse tuossa pisteessä. Edellisessä tehtävässä x 0 oli 2 ja funktio ei ollut edes määritelty siinä, sillä nimittäjässä oli tuolloin nolla. Raja-arvotehtäviä lasketaan käytännössä yleensä nimenomaan muokkaamalla raja-arvon sisässä olevaa lauseketta. Yllä tämä muokkaus oli helppoa; usein tämä vaatii vähän enemmän algebraaista manipulaatiota. Tämän vuoksi tämä kappale käsittelee osittain jo lukiosta tuttua yhtälöiden manipulaatiota. Tämä on tärkeä tekninen taito, josta on tenteissä hyötyä muissakin kuin raja-arvotehtävien ratkaisemisessa. Alla yksi tärkeimmistä identiteeteistä: (a + b)(a b) = a 2 b 2 Tämän todistus on helppo lasketaan vain (a + b)(a b) auki: (a + b)(a b) = a 2 ab + ba b 2 = a 2 b 2 Näin esimerkiksi (3 + 4)(3 4) = = 9 16 = 7. Käytännössä kyseistä identiteettiä tarvitaan kuitenkin useimmin toiseen suuntaan: lähdetään lausekkeesta, joka on muotoa a 2 b 2 (usein on hieman vaativaa tunnistaa, onko lauseke tätä muotoa), ja muokataan se muotoon(a + b)(a b). Esimerkki 17. Laske raja-arvo x 1 ( ) x 2 1 x 1 Ratkaisu: Huomataan, että x 2 1 on muotoa a 2 b 2, joten x 2 1 = (x 1)(x + 1). Ratkaistaan raja-arvo tämän avulla: ( ) ( ) x 2 1 (x + 1)(x 1) = = (x + 1) = 2. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 6

7 Esimerkki 18. Laske raja-arvo n 2 ( ) x 2 4 x 2 Ratkaisu: Huomataan, että x 2 4 on muotoa a 2 b 2, joten x 2 4 = (x 2)(x + 2). Ratkaistaan raja-arvo tämän avulla: ( ) ( ) x 2 4 (x + 2)(x 2) = = (x + 2) = 4. x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Myös lausekkeet muotoa a 3 b 3 voidaan muokata parempaan muotoon: a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ). Edellisen voi todistaa jälleen laskemalla lausekkeen auki. Se kertoo esimerkiksi: = (5 3)( ). Yleisessä tapauksessa, kun lauseke on muotoa a n b n, on tulos seuraava: a n b n = (a b)(a n 1 + a n 1 b + a n 2 b 2 + a n 3 b b n 1 ). Edellisen yhtälön jälkimmäisessä lausekkeessa on n termiä. Esimerkki 19. Lauseke x 5 y 5 saadaan yllä olevaa kaavaa käyttämällä muotoon x 5 y 5 = (x y)(x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 ). Lausekkeen a n + b n hajotelma on lähes sama kuin a n b n :n hajotelma: siinä missä a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + a n 3 b 2 + a n 4 b b n 1 ), a n + b n = (a + b)(a n 1 a n 2 b + a n 3 b 2 a n 4 b b n 1 ), eli ainoastaan jälkimmäisissä sulkeissa joka toinen termi saa miinus-merkin, ja ensimmäisissä sulkeissa on plus eikä miinus. Kumpikin on helppo (?) todistaa kertomalla termit auki. Esimerkki 20. Faktoroi x 5 + y 5 Ratkaisu: Edellistä kaavaa käyttäen: x 5 + y 5 = (x + y)(x 4 x 3 y + x 2 y 2 xy 3 + y 4 ). 7

8 Joskus raja-arvolausekkeen nimittäjässä tai osoittajassa esiintyy toisen asteen polynomi, jolloin tämä polynomi on usein faktoroitava tekijöihin. Tämä tapahtuu seuraavasti: Jos meillä on toisen asteen polynomi ax 2 + bx + c, ja kyseisen polynomin nollakohdat (eli yhtälön ax 2 + bx + c = 0 ratkaisut) ovat x 0 ja x 1, voidaan kyseinen polynomi faktoroida seuraavasti: ax 2 + bx + c = (x x 0 )(x x 1 ) Esimerkki 21. Polynomin x 2 + x + 6 nollakohdat ovat 2 ja 3, joten x 2 + x + 6 = (x 2)(x + 3). Toisen asteen polynomin nollakohdat löytyvät joko kokeilemalla tai seuraavalla kaavalla: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± (b 2 4ac) 2a Harjoitus 1. Ratkaise x:n arvot, jotka toteuttavat epäyhtälön x + 2 a Harjoitus 2. Ratkaise x:n arvot, jotka toteuttavat epäyhtälön x + 2 a Harjoitus 3. Osoita kolmioepäyhtälön avulla, että x y x + y Harjoitus 4. Osoita kolmioepäyhtälön avulla, että 7x 12y 7 x + 12 y Harjoitus 5. Mikä on joukon A = {1/x x R + } innum? Harjoitus 6. Mikä on joukon A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} supremum? Innum? Harjoitus 7. Laske raja-arvo: x 2 Harjoitus 8. Laske raja-arvo: Harjoitus 9. Laske raja-arvo: ( ) x 2 + x 6 x 1 x 2 x 2 ( ) x 3 1 x 2 1 ( ) x 4 16 x 2 8