Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka"

Transkriptio

1 Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia relaatioita Olkoon D joukko. Silloin: - 1-paikkainen relaatio joukossa D on mikä tahansa D:n osajoukko. - 2-paikkainen relaatio joukossa D on mikä tahansa joukko, jonka jäsenet ovat järjestettyjä pareja (kahden pituisia jonoja; 2-jonoja) (a, b), missä a ja b ovat D:n alkioita. Ts. 2-paikkainen relaatio on mikä tahansa D 2 :n osajoukko. - 3-paikkainen relaatio joukossa D on mikä tahansa joukko, jonka jäsenet ovat 3-jonoja (a, b, c), missä a, b ja c ovat D:n alkioita, eli 3-paikkainen relaatio on mikä tahansa D 3 :n osajoukko n-paikkainen relaatio joukossa D on mikä tahansa joukko, jonka jäsenet ovat n-jonoja (a 1, a 2,..., a n ), missä jokainen a i on D:n alkio, eli n-paikkainen relaatio on mikä tahansa D n :n osajoukko. Esimerkkinä, olkoon D luonnollisten lukujen joukko, D = {0, 1, 2, 3,... }. - 1-paikkaisia relaatioita ovat muun muassa: on pariton: {1, 3, 5, 7,... } on parillinen: {0, 2, 4, 6,... } on jaollinen kolmella: {0, 3, 6, 9,... } on eri kuin 0: {1, 2, 3, 4,... } - Mutta myös {0}, {1}, {2},... ovat 1-paikkaisia relaatioita joukossa D, kuten myös tyhjä joukko, 1

2 - 2-paikkaisia relaatioita ovat esimerkiksi: on pienempi kuin: {(0, 1), (0, 2), (1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 3),... } on suurempi kuin: {(1, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1), (3, 2),...} - Myös {(0, 1)}, {(0, 2)}... ovat 2-paikkaisia relaatioita. - 3-paikkaisia relaatioita ovat esim.: on pienempi kuin... ja suurempi kuin... {(1, 2, 0), (1, 3, 0), (2, 3, 0), (1, 4, 0),... } on luvun... ja luvun... summa {(0, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (2, 1, 1)... } jne. Huomautus. Tyhjä joukko on myös 2-paikkainen relaatio universumissa D, sillä D 2 (koska tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko). Yleisesti ottaen, kaikille n, tyhjä joukko on n-paikkainen relaatio. Tyhjä joukko on se relaatio, johon mikään n-jono ei kuulu. Mallin käsite Logiikassa malli on matemaattinen struktuuri, joka esittää jokaisen sellaisen maailman piirteen, joka on relevantti lauseen totuuden ja epätotuuden kannalta. Kun aakkosto L on annettu, L-mallin tehtävä on spesifioida: Universumi D Aakkoston L yksilövakioiden ja predikaattisymbolien tulkinnat Määritelmä (L-malli) Olkoon L aakkosto. L-malli M = (D, I) koostuu kahdesta elementistä: universumista D, joka on epätyhjä joukko alkioita (ts. D ), sekä tulkintafunktiosta I, joka liittää jokaiseen L:n yksilövakioon ja predikaattisymboliin tulkinnan seuraavasti: 1. Jos c on L:n yksilövakio, niin c:n tulkina I(c) on jokin universumin alkio, eli I(c) D 2. Jos P on L:n n-paikkainen predikaattisymboli, niin P :n tulkinta I(P ) on jokin n-paikkainen relaatio universumissa D (I(P ) D n ) ) Huomaa, että P voi myös olla tyhjä, ts. on mahdollista, että I(P ) =. Esimerkki 1 Olkoon L = {c 0, c 1, c 2, c 3, P, R}, jossa P on 1-paikkainen ja R on 2-paikkainen. Rakennamme L-mallin M = (D, I) valitsemalla universumiksi D = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma} 2

3 ja tulkintafunktion I seuraavalla tavalla: I(c 0 ) = Lontoo I(c 1 ) = Lontoo I(c 2 ) = P ariisi I(c 3 ) = Rooma ja I(P ) = {Lontoo, P ariisi} I(R) = {(P ariisi, Lontoo)(Lontoo, P ariisi)} Kun L-malli M = (D, I) on annettu, jokainen 1-paikkainen predikaattisymboli P jakaa universumin D kahteen osaan: alkiot, joilla on ominaisuus P (ts. alkiot jotka kuuluvat P :n ekstensioon I(P )) ja alkiot, joilla ei ole ominaisuutta P. Samalla tavalla jokainen 2-paikkainen predikaattisymboli R jakaa kaikki universumin parien joukot kahteen osaan: pareihin, jotka ovat keskenään relaatiossa R (ts. parit jotka kuuluvat R:n ekstensioon I(R)) ja pareihin, jotka eivät ole keskenään relaatiossa R. Malliteoreettiselle tulkinnalle on ominaista se, että aakkoston symbolien tulkinta muuttuu mallista toiseen. Tyypillinen tapaus on sellainen, että universumi pysyy samana mutta tulkintafunktio muuttuu. Esimerkki 2 Olkoon L = {c 0, c 1, P } missä P on 1-paikkainen predikaattisymboli. Olkoon D = {Aatami, Eeva}. Tässä on taulukko L-malleista, jotka saadaan kun L:n symbolien tulkinta muuttuu (tässä D 1 = D 2 =... = D 5 = D): M c 0 c 1 P (D 1, I 1 ) Aatami Eeva (D 2, I 2 ) Aatami Eeva {Aatami} (D 3, I 3 ) Aatami Eeva {Eeva} (D 4, I 4 ) Aatami Eeva {Aatami, Eeva} (D 5, I 5 ) Eeva Eeva jne Tulkinnan M 1 = (D 1, I 1 ) mukaan yksilövakio c 0 viittaa Aatamiin ja yksilövakio c 1 viittaa Eevaan. - Tulkinnan M 5 = (D 5, I 5 ) mukaan yksilövakio c 0 viittaa Eevaan ja yksilövakio c 1 viittaa myös Eevaan. - Tulkinnan M 2 = (D 2, I 2 ) mukaan predikaattisymbolin P ekstensio koostuu Aatamista. - Tulkinnan M 3 = (D 3, I 3 ) mukaan predikaattisymbolin P ekstensio koostuu Eevasta. 3

4 jne. Toinen tyypillinen esimerkki on sellainen, että jonkun annetun mallin universumi muuttuu. Silloin luonnollisesti myös tulkintafunktio muuttuu. Esimerkiksi universumissa D = {Aatami} mikään kielen L yksilövakio ei voi viitata Eevaan, joka ei kuulu universumiin. Atomilauseiden totuus mallissa Oletamme, että aakkosto L on annettu ja myös L-malliM = (D, I) on annettu. Muistamme, että L-atomilauseet ovat muotoa R(t 1, t 2,..., t n ), missä R on n-paikkainen predikaattisymboli ja jokainen termi t i on yksilövakio (atomilauseissa ei esiinny muuttujia lainkaan). Sanomme, että atomilause R(t 1, t 2,..., t n ) on tosi mallissa M joss jono, joka koostuu termien tulkinnasta kuuluu predikaattisymbolin R ekstensioon eli jos Tarkastellaan, mitä se tarkoittaa seuraavissa erity- Tämä on yleinen muoto. istapauksissa: (I(t 1 ), I(t 2 ),..., I(t n )) I(R) n = 1 : Kun R on 1-paikkainen predikaattisymboli ja t 1 on yksilövakio, R(t 1 ) on tosi mallissa M joss (I(t 1 )) I(R). Koska voimme korvata (a):n tässä a:lla (siis poistaa sulut, sillä voimme samaistaa 1-jonot (a) ja alkiot a), tämä tarkoittaa, että R(t 1 ) on tosi mallissa M joss I(t 1 ) I(R). n = 2 : Kun R on 2-paikkainen predikaattisymboli ja t 1 ja t 2 ovat yksilövakioita, R(t 1, t 2 ) on tosi mallissa M joss (I(t 1 ), I(t 2 )) I(R). n = 3 : Kun R on 3-paikkainen predikaattisymboli ja t 1, t 2 ja t 3 ovat yksilövakioita, R(t 1, t 2, t 3 ) on tosi mallissa M joss ((I(t 1 ), I(t 2 ), I(t 3 )) I(R). jne. Esimerkki 3 Olkoon L = {c 0, c 1, c 3, P, R} ja L-malli M = (D, I) kuten esimerkissä 1. a) Kysymys: Onko atomilause P (c 0 ) tosi mallissa M? Vastaus: Määritelmän mukaan P (c 0 ) on tosi mallissa M joss I(c 0 ) I(P ). Huomaamme, että I(c 0 ) = Lontoo ja I(P ) = {Lontoo, P ariisi}, ja siten I(c 0 ) I(P ). Siispä atomilause P (c o ) on tosi mallissa M. b) Kysymys: Onko atomilause R(c 0, c 2 ) tosi mallissa M? Vastaus: Määritelmään mukaan lause R(c 0, c 2 ) on tosi mallissa M joss (I(c 0 ), I(c 2 )) I(R) Tiedetään, että I(c 0 ) = Lontoo, I(c 2 ) = P ariisi ja I(R) = {(P ariisi, Lontoo), (Lontoo, P ariisi)}, joten (I(c 0 ), I(c 2 )) I(R). Siispä lause R(c 0, c 2 ) on tosi mallissa M. 4

5 c) Kysymys: Onko atomilause P (c 3 ) tosi mallissa M? Vastaus: Määritelmän perusteella P (c 3 ) on tosi mallissa M joss I(c 3 ) I(P ). I(c 3 ) = Rooma. Koska Rooma / I(P ), lause P (c 3 ) ei ole tosi mallissa M. Kun aakkosto L on annettu, atomilauseiden joukko aakkostossa L (L-atomilauseet) on myös annettu. Myös aakkoston L totuusfunktionaalisten lauseiden joukko on annettu. Olemme nyt valmiina määritelemään sellaisten lauseiden totuus mallissa M: Määritelmä. Olkoon L aakkosto ja M = (D, I) L-malli. Määritellään relaatio lause A on tosi mallissa M jossa A on totuusfunktionaalinen lause: 1. Atomilause R(t 1, t 2,..., t n ) on tosi mallissa M joss (I(t 1 ), I(t 2 ),..., I(t n )) I(R) 2. A on tosi mallissa M joss ei pidä paikkaansa, että A on tosi mallissa M (ts. A ei ole tosi mallissa M) 3. A B on tosi mallissa M joss A tai B on tosi mallissa M. 4. A B on tosi mallissa M joss A on tosi mallissa M ja B on tosi mallissa M. 5. A B on tosi mallissa M joss jos A on tosi mallissa M, niin myös B on tosi mallissa M (ekvivalenttisti: jos A ei ole tosi mallissa M tai B on tosi mallissa M) Esimerkki 4 Olkoon L ja M kuten aiemmassa esimerkissä 1. Olemme nähneet esimerkissä 6, että atomilause P (c 3 ) ei ole tosi mallissa M. Edellisen määritelmän kohdan (2) perusteella päättelemme, että lause P (c 3 ) on tosi mallissa M. Tutkimme atomilauseen R(c 0, c 3 ) totuutta mallissa M kohdan (1) perusteella. R(c 0, c 3 ) on tosi mallissa M joss (I(c 0 ), I(c 3 )) I(R). Koska I(c 0 ) = Lontoo, I(c 3 ) = Rooma ja I(R) = {(P ariisi, Lontoo), (Lontoo, P ariisi)} näemme, että (I(c 0 ), I(c 3 )) / I(R). Kohdan (2) perusteella päättelemme, että lause R(c 0, c 3 ) on tosi mallissa M. Olemme nähneet aikaisemmin, että atomilauseet P (c 0 ) ja R(c 0, c 2 ) ovat tosia mallissa M. Kohdan (4) perusteella päättelemme, että lause P (c 0 ) R(c 0, c 2 ) on tosi mallissa M. Koska lause P (c 3 ) ei ole tosi mallissa M, päättelemme kohdan (4) perusteella, että lause P (c 3 ) R(c 0, c 2 ) ei ole tosi mallissa M. Kohdan (2) perusteella, päättelemme, että lause (P (c 3 ) R(c 0, c 2 )) on tosi mallissa M. Atomikaavojen totuus mallissa Oletetaan, että predikaattilogiikan aakkosto L on kiinnitetty, kuten myös aakkoston malli M = (D, I). Olkoon L = {c 0, c 1, P } ja M = M 4 = (D 4, I 4 ) kuten 5

6 esimerkissä 2. Yritämme määritellä lauseen xp (x) totuuden mallissa M. Intuitiivisesti se on tosi silloin, kun kaavat P (Aatami) ja P (Eeva) ovat tosia mallissa M. Toisin sanoen, lause xp 0 (x) on tosi mallissa M joss kaikki universumin alkiot kuuluvat predikaattisymbolin P ekstensioon. Ajatus on oikea, mutta sen toteutus ei toimi tässä muodossa, sillä P (Aatami) ja P (Eeva) eivät ole L-kaavoja: 1-paikkainen L-atomikaava saadaan ainoastaan 1-paikkaisesta predikaattisymbolista ja yksilövakoista. Aatami ja Eeva eivät kuitenkaan ole yksilövakioita. Parempi strategia on sanoa: xp (x) on tosi mallissa M joss P (c 0 ) ja P (c 1 ) ovat tosia mallissa M ja nämä puolestaan ovat tosia mallissa M joss sekä Aatami että Eeva kuuluvat predikaattisymbolin P ekstensioon. Lopputulos on intuitiivisesti oikea: xp (x) on tosi mallissa M joss kaikki universumin alkiot kuuluvat predikaattisymbolin P ekstensioon. Nyt voimme yrittää määritellä kaavan xp (x) totuuden mallissa M seuraavalla tavalla: (*) L-kaava xp (x) on tosi mallissa M joss kaikille aakkoston L yksilövakioille c pätee, että kaava P (c) on tosi mallissa M ( P (c) saadaan kaavasta P (x) sijoittamalla x:n tilalle yksilövakio c.) Vaikka tämä strategia toimii tässä esimerkissä, se ei toimi yleisessä tapauksessa, sillä kaikilla universumin alkiolla a ei välttämättä ole nimeä (eli kieleen kuuluvaa yksilövakiota c, siten että I(c) = a). Esimerkiksi jos L = {c 0, c 1, P } ja M = (D, I), missä D = {P irjo, Jaana, Risto} I(c 0 ) = {P irjo} I(c 1 ) = {Risto} I(P ) = {P irjo, Risto} sekä P (c 0 ) että P (c 1 ) ovat tosia mallissa M, mutta oikesti lause xp (x) ei ole tosi mallissa M (vaikka jos käyttäisimme (*)-tyylistä määritelmää, se olisi tosi!). Siksi tarvitsemme yleisen tavan kuvata kielen muuttujia mallin universumin alkiolle. Tätä tarkoitusta palvelee tulkintajonon käsite. Kun M = (D, I) on L-malli, tulkintajono w mallissa M on funktio, joka kuvaa jokaisen L:n muuttujan x i jollekin universumin D alkiolle: siis w(x i ) D. Tulee huomata, että tulkintajono on eri käsite kuin tulkintafunktio. Aiemmin esitetty tulkintafunktio antaa tulkinnan kielen yksilövakioille ja predikaattisymboleille. Tulkintajono sen sijaan antaa arvot muuttujille. Esimerkki 5 Olkoon L,M = (D, I),D = {P irjo, Jaana, Risto} kuten edellä. Seuraavalla tavalla määritelty funktio w on eräs D:n tulkintajono: w(x) = P irjo w(y) = Jaana w(z) = Risto w(t) = Risto, kaikille muille muttujille 6

7 Tulkintajonon käsitteen avulla voimme nyt antaa yleisen määritelmän kaikille jonkin kielen ei-loogisten vakioiden tulkinnalle kielen mallissa. Määritelmä Olkoon M = (D, I) L-malli ja w tulkintajono mallissa M. L- termin t tulkinta mallissa M tulkintajonolla w (merkitään t M,v ) on: t M,w = w(x), jos ton muuttuja x t M,w = I(c), jos ton yksilövakio c. Predikaattisymbolin P tulkinta mallissa M tulkintajonolla w (merkitään P M,w ) on: P M,w = I(P ) Esimerkki 6 Tutkitaan aakkostoa L = {c 0, c 1, c 2, c 3, P, R} olkoon M = (D, I) L-malli, missä D = {F in, Swer, N or, Den} ja tulkinnalle I pätee seuraava: I(c 0 ) = F in, I(c 1 ) = Swe, I(c 2 ) = Nor, I(c 3 ) = Den, I(P ) = {F in, Den} ja I(R) = {(F in, Nor), (Swe, Den), (Nor, Den), Den, Den)}. Olkoon lisäksi w sellainen D:n tulkintajono, että w(x) = F in, w(y) = Swe, w(z) = Nor ja w(t) = Den, kaikille muille muttujille. Nyt voimme luetella tulkinnat kaikille kielen L ei-loogisille simboleille mallissa M tulkintajonolla w : c M,w 0 = I(c o ) = F in Myös: c M,w 1 = I(c 1 ) = Swe c M,w 2 = I(c 2 ) = Nor c M,w 3 = I(c 3 ) = Den x M,w = w(x) = F in y M,w = w(y) = Swe z M,w = w(z) = Nor t M,w = w(t) = Den P M,w = I(P ) = {F in, Den} R M,w = I(R) = {(F in, Nor), (Swe, Den), (Nor, Den), Den, Den)} 7

8 Ennen kuin siirrymme tarkastelemaan tulkintajonon hyödyllisyyttä predikaattilogiikan totuusarvojen ratkaisemisassa, on hyvä ottaa käyttöön uusi merkintätapa sille, että haluamme muuttaa tulkintajonoa. Olkoon M malli, w sen tulkintajono ja a D. Merkitsemme nyt w[x/a] tarkoittaen sitä tulkintajonoa, joka on muuten sama kuin w, mutta muuttujalla x se saa arvon a. Siis { w(y), kun x y w[x/a](y) = a, kun x = y Esimerkki 7 Olkoon L, M ja w kuten edellisessä esimerkissä. Nyt tulkintajono w[t/n or] antaa seuraavat tulkinnat kielen L muuttujille mallissa M: x M,w[t/Nor] = w[t/nor](x) = w(x) = F in y M,w[t/Nor] = w[t/nor](y) = w(y) = Swe t M,w[t/Nor] = w[t/nor](t) = Nor Näillä käsitteillä ja merkintätavoilla voimme määritellä toteuttamisrelaation ja sen avulla totuuden predikaattilogiikan kielelle L. Määritelmä (Tarskin toteuttamisrelaatio). Olkoon M = (D, I) kielen L malli sekä A ja B kielen L kaavoja. Mallin M tulkintajono w toteuttaa kaavan C tulkinnassa M, w (merkitään M, w C) kun: 1. Jos C on P (t 1,..., t n ), niin M, w C joss (t M,w 1,..., t M,w n ) P M,w. 2. Jos C on A, niin M, w C joss M, w A. 3. Jos C on A B, niin M, w C joss M, w A tai M, w B. 4. Jos C on A B, niin M, w C joss M, w A tai M, w B. 5. Jos C on A B, niin M, w C joss M, w A, tai M, w B. 6. Jos C on xa, niin M, w C joss M, w[x/a] A kaikilla a D. 7. Jos C on xa, niin M, w C joss M, w[x/a] A jollakin a D. Määritelmä (Lauseen totuus mallissa) 1. Sanomme, että L-lause C on tosi L-mallissa M (merkitään M C), jos M, w C jokaiselle mallin M tulkintajonolle w. 2. Sanomme, että lausejoukko X on tosi mallissa M (merkitään M X), jos M A jokaiselle A X. Esimerkki 8 Olkoon L, M ja w kuten esimerkissä Toteuttaako w kaavan P (c 0 )? 2. Toteuttaako w kaavan P (x)? 3. Toteuttaako w kaavan P (y)? 8

9 4. Toteuttaako w kaavan R(c 1, c 3 )? 5. Toteuttaako w kaavan P (z) P (t)? 6. Toteuttaako w kaavan yp (y)? 7. Toteuttaako w kaavan yp (y)? 8. Toteuttaako w kaavan y zr(y, z)? 1. Toteuttamisrelaation määritelmän 1. kohdasta saamme, että M, w P (c 0 ) joss c M,w 0 P M,w joss I(c 0 ) I(P ) joss F in {F in, Den}. Koska selvästi F in {F in, Den}, päättelemme, ettäm, w P (c 0 ). 2. Vastaavalla tavalla kuin kohdassa 1. saamme seuraavan väittämäketjun määritelmän kohdasta 1: M, w P (x) joss x M,w P M,w joss w(x) I(P ) joss F in {F in, Den}. Koska viimeinen ehto pitää paikkansa, päättelemme, että M, w P (x). 3. Edellisen kohdan tavalla saamme, että M, w P (y) joss y M,w P M,w joss w(y) I(P ) joss Swe {F in, Den}. Koska viimeinen näistä ei pidä paikkaansa, päättelemme että M, w P (y) ja siten M, w P (y). 4. Määritelmästä saamme, että M, w R(c 1, c 3 ) joss (c M,w 1, c M,w 3 ) R M,w joss joss (I(c 1 ), I(c 3 )) I(R) (Swe, Den) {(F in, Nor), (Swe, Den), (Nor, Den), (Den, Den)}. Viimeinen näistä pätee, joten M, w R(c 1, c 3 ). 5. Määritelmän kohdan 5. nojalla M, w P (z) P (t) joss M, w P (z) tai M, w P (t) joss w(z) / {F in, Den} tai Den {F in, Den}. Koska itseasiassa molemmat ehdot pätevät, M, w P (z) P (t). 6. Määritelmän kohdan 7. nojalla M, w yp (y) joss jollakin a D: M, w[y/a] P (y) joss jollakin a D: a I(P ) joss jollakin a D: a {F in, Den}. Valitaan a = F in, jolloin päättelemme, että M, w yp (y). 7. Määritelmän kohdan 6. nojalla M, w yp (y) joss kaikilla a D: M, w[y/a] P (y) joss kaikilla a D: a I(P ) joss kaikilla a D: a {F in, Den}. Koska Swe / {F in, Den}, päättelemme, että M, w yp (y). 9

10 8. Määritelmän kohdan 7. nojalla M, w y zr(y, z) joss jollakin a D: M, w[y/a] zr(y, z) joss jollakin a D: jollakin b D : joss jollakin a D, jollakin b D: joss jollakin a D, jollakin b D: M, w[y/a][z/b] R(y, z) (y M,w[y/a][z/b], z M,w[y/a][z/b] I(R) (a, b) {(F in, Nor), (Swe, Den), (Nor, Den), (Den, Den)}. Valitaan a = F in ja b = Nor ja päättelemme, että M, w y zr(y, z). Esimerkki 9. Olkoon aakkosto L = {P } ja L-malli M = (D, I), missä D = {Aatami, Eeva}, I(P ) = {Aatami} ja I(G) = {Eeva}. Olkoon w tulkintajono mallissa M siten että w(x) = Aatami ja w tulkintajono siten, että w (x) = Eeva. Määritelmän mukaan: M, w P (x) joss w(x) I(P ) joss Aatami {Aatami}. Päättelemme, että M, w P (x). Toisaalta: M, w P (x) joss w (x) I(P ) joss Eeva {Aatami}. Päättelemme, että M, w P (x). Huomaamme siis, että tulkintajono w toteuttaa kaavan P (x) mutta tulkintajono w ei toteuta sitä. Tämä ei koskaan voi tapahtua lauseiden kohdalla. Osoitamme, että M, w xp (x): M, w xp (x) joss jollakin a D : M, w[x/a] P (x) joss jollakin a D : x w[x/a] I(P ) joss jollakin a D : a I(P ) joss jollakin a D : a {Aatami}. Valitaan a = Aatami, jolloin päättelemme, että M, w xp (x). Osoitamme nyt, että myös M, w xp (x) (oikeastaan kaikki tulkintajonot mallissa M toteuttavat lauseen xp (x) ). M, w xp (x) joss jollakin a D : M, w [x/a] P (x) joss jollakin a D : x w [x/a] I(P ) joss jollakin a D : a I(P ) joss jollakin a D : a {Aatami}. Valitaan a = Aatami, jolloin päättelemme, että M, w xp (x). Esimerkin tarkoitus on osoittaa (todistamme tämän myöhemmin), että lauseiden kohdalla aina pätee: jos jokin tulkintajono toteuttaa lauseen mallissa M, niin kaikki tulkintajonot toteuttavat sen. Olemme nähneet, että tilanne on erilainen kaavoissa, joissa on vapaita muuttujia. On hyvin mahdollista, että jokin tulkintajono toteuttaa kaavan P (x) mutta toinen ei. Määritelmä (Looginen seuraus). 1. L-lause A on validi (loogisesti tosi, tautologia), merkitään A, jos A on tosi kaikissa L-malleissa M = (D, I), (M A) 2. Olkoon X joukko L-lauseita. L-lause A on lausejoukon X looginen seuraus, merkitään X A, jos kaikissa L-malleissa, joissa X on tosi (M X), myös A on tosi (M A). 10

11 (1) on selvästi (2):n erikoistapaus, missä X =. Määritelmästä seuraa, että X A (A ei ole X:n looginen seuraus) joss on olemassa L-malli M siten, että M X mutta M A. Vastaavasti L-lause A ei ole validi, (merk. A), joss on olemassa L-malli M siten, että M A. Esimerkki 10 Osoitetaan, että { xp (x)} P (c). Oletetaan, että M = (D, I) on sellainen malli, että M { xp (x)}, ja olkoon w sen tulkintajonon. Määritelmän mukaan tällöin M xp (x), ja siten myös M, w xp (x). Mutta M, w xp (x) joss kaikille a D : M, w[x/a] P (x), jolloin erityisesti M, w[x/i(c)] P (x). Edelleen M, w[x/i(c)] P (x) joss x w[x/i(c) I(P ) joss I(c) I(P ). Mutta jos I(c) I(P ), niin M, w P (c) ja edelleen M P (c), sillä P (c) on lause. Siispä { xp (x)} P (c). Esimerkki 11 Osoitetaan, että { xp (x) xg(x)} x(p (x) G(x)): Tämä tehdään rakentamalla malli M siten, että M xp (x 1 ) xp (x), ja M x(p (x) G(x)). Olkoon M = (D, I), missä D = {u, v}, I(P ) = {u} ja I(G) = {v}. On selvää, että jokaiselle tulkintajonolle w pätee, M, w xp (x) xg(x), sillä sekä M, w xp (x), että M, w xg(x) pätevät. Kuitenkaan millekään tulkintajonolle w ei päde, että M, w x(p (x) G(x)), sillä jos näin olisi, niin olisi sellainen a D, että M, w[x/a] P (x) G(x), mistä seuraisi, että a {u} ja a {v}, mikä on mahdotonta, sillä sellaista a ei ole olemassa. Lause Olkoon M = (D, I) kielen L malli ja A kielen L kaava. Jos w ja w ovat mallin M universumin tulkintajonoja siten, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa A, niin pätee, että w toteuttaa kaavan joss w toteuttaa kaavan A. Todistus. Induktiolla kaavan rakenteen suhteen. TapausA on muotoa R(t 1,..., t n ). Olkoon w ja w tulkintajonoja siten, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa A. Tiedämme, että t M,w = t M,w kaikilla i {1, 2,..., n}, sillä jos t i on vakio c j, niin selvästi c M,w j = c M,w j = I(c j ) Jos taas t i on muuttuja y, niin oletuksemme nojalla w(y) = w (y) ja siten y M,w = y M,w. Tästä saadaan seuraava väiteketju: M, w = R(t 1,..., t n ) joss (t M,w 1,..., t M,w ) I(R) joss (t M,w 1,..., t M,w n ) I(R) joss M, w = R(t 1,..., t n ). Tapaus A on muotoa B. Induktio-oletus on: (*) Kaikille tulkintajonoille s, s mallissa M: Jos s(y) = s (y) aina, kun y esiintyy vapaana kaavassa B, niin M, s = B joss M, s = B. Oletetaan, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa B. Silloin pätee myös, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa B (kaavoilla B ja B on samat vapaat muuttujat). Siten induktio-oletuksen 11

12 etujäsen on tosi (kun s:n tilalle laitetaan w ja s :n tilalle laitetaan w ), joten myös sen takajäsenen täytyy olla tosi, eli (a) M, w = B joss M, w = B mistä seuraa, että (b) M, w B joss M, w B mistä määritelmän nojalla seuraa, että (c) M, w = B joss M, w = B. Tapaukset A on muotoa B C, B C, ja B C todistetaan samalla tavalla. Tapaus A on muotoa xb. Induktio-oletus on (*). Oletetaan, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa A. Oletamme aluksi, että M, w = xb eli M, w[x/a] = B, jollakin a D. Selvästi tulkintajonot w[x/a] ja w [x/a] yhtyvät kaikilla kaavassa B vapaina esiintyvillä muuttujilla, eli induktio-oletuksen etujäsen on tosi (kun s:n tilalle laitetaan w ja s :n tilalle laitetaan w ). Siispä myös sen takajäsen on tosi, eli M, w[x/a] = B joss M, w [x/a] = B. Mutta M, w[x/a] = B, joten M, w [x/a] = B. Tästä seuraa toteuttamisrelaation määritelmän mukaan, että M, w = xb. Käänteinen implikaatio (oletetaan ensin, että M, w = xb ja todistetaan, että M, w = xb ) todistetaan samalla tavalla. Tapaus A on muotoa xb todistetaan samalla tavalla. Nyt meidän on mahdollista vakuuttumisen lisäksi todistaa, että jos jokin tulkintajono w toteuttaa lauseen A, niin kaikki tulkintajonot toteuttavat. Korollaari. Olkoon A L-lause. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja: 1. M A 2. M, w A jollakin M:n tulkintajonolla w. 3. M, w A kaikilla M:n tulkintajonoilla w. Todistus. ehdot 1. ja 3. ovat määritelmän mukaan ekvivalentteja. On enää osoitettava, että 2. ja 3. ovat ekvivalentteja. Selvästi ehdosta 3. seuraa 2. ehto, joten riittää osoittaa, että ehdosta 2. seuraa 3. ehto. Oletetaan, että M, w A jollakin w, ja olkoon w mielivaltainen tulkintajono. Koska A:ssa ei ole vapaita muuttujia (A on lause), niin triviaalisti w(x) = w (x) aina, kun x on vapaana kaavassa A. Siten edellisen lauseen nojalla meillä on: M, w = A joss M, w = A. Koska oletimme, että M, w = A, pätee myös M, w = A w, ja koska w oli mielivaltainen tulkintajono, M, w A kaikilla tulkintajonoilla w. Huomaamme, että korollarista seuraa, että seuraavatkin ehdot ovat ekvivalentteja - M A - M, w A jollakin universumin D tulkintajonolla w. 12

13 - M, w A kaikilla universumin D tulkintajonoilla w. Esimerkki 12. Olkoon x A ja xa L-lauseita. Osoitetaan, että { x A} xa Määritelmän mukaan väite pitää kaikkansa, joss jokaiselle L-malllille M, jolle pätee M x A, pätee myös M xa. Oletetaan, että M x A. Siis (i) jokaiselle w : M, w x A. Olkoon w mielivaltainen M:n tulkintajono. Osoitetaan, että M, w xa, mikä on sama kuin M, w xa. Tämän todistamiseksi teemme vastaoletuksen: M, w xa. Siis M, w [x/a] A jollakin a D. Olkoon b tällainen D:n alkio. Väitteestä (i) seuraa, että M, w x A ja tästä edelleen, että M, w [x/a] A kaikilla a D. Mutta tällöin erityisesti M, w [x/b] A, mikä on ristiriita. Siis ei voi olla niin, etttä M, w xa, joten M xa. Esimerkki 13. Olkoon x A ja xa kuten edellisessä esimerkissä. Osoitetaan, että { xa} x A. Olkoon M sellainen L-malli, että M xa. Osoitamme, että M, w x A, kun w on mielivaltainen tulkintajono mallissa M. Eli osoitamme, että M, w[x/a] A jokaisella a D. Olkoon a mielivaltainen D:n alkio. Meidän on siis osoitettava, että M, w[x/a] A. Mutta näin on oltava, sillä jos olisikin niin, että M, w[x/a] A, niin toteuttamisrelaation määritelmän nojalla M, w xa, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että M xa. Siispä M x A. Harjoitus Olkoon L = {P, R}. Luo sellainen L-malli M = (D, I) jossa lauseet xp (x) ja x yr(x, y) ovat tosia, ts. M xp (x) ja M x yr(x, y) mutta lause x yr(x, y) on epätosi, ts. M x yr(x, y) 2. Osoita että { x yr(x, y)} xr(x, x). 3. Osoita, että { xp (x) xg(x)} x(p (x) G(x)) 4. Osoita että { x(p (x) G(x))} xp (x) xg(x) 5. Ratkaise tehtävät (3) ja (4) semanttisten puitten menetelmän avulla. 6. Osoita, että x(x = x) 7. Osoita, että x y(x = y) 8. *(Ekstratehtävä)*: Rakenna malli lausejoukolle { x yr(x, y), x R(x, x), x y z((r(x, y) R(y, z)) R(x, z))} 13

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg.

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Olkoon L = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma, Y hteys(x, y)}. Kuvan 3.1. kaupunkiverkko vastaa seuraavaa L-mallia

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Modaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen vastaavuus

Modaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen vastaavuus TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Sanna Kari Modaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen vastaavuus Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Toukokuu 2002 Sisältö 1 Johdanto

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Loogiset konnektiivit

Loogiset konnektiivit Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Luukkonen Sahlqvistin kaavat Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö LUUKKONEN, HEIDI: Sahlqvistin

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.3001 Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3 3.4) 21. 24.3.2006 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen.

Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen. Lause: Tyhjyysongelma ei ole osittain ratkeava; ts. kieli ei ole rekursiivisesti lueteltava. L e = { w { 0, 1 } L(M w ) = } Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia,

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut

T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

DFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet

DFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet säännölliset kielet TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. marraskuuta 2015 Sisällys toiminta formaalisti Olkoon M = (Q, Σ, δ, q 0, F) deterministinen

Lisätiedot

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R): Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

4.3. Matemaattinen induktio

4.3. Matemaattinen induktio 4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi: 1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Jarkko Peltomäki 30. huhtikuuta 2012 Tässä esseessä esitetään Frank Ramseyn vuonna 1929 esittämä tulos logiikassa, jonka todistamiseksi hän osoitti myöhemmin tärkeäksi

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1]

Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1] Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1] Yleisesti sanomme, että ongelma P voidaan palauttaa ongelmaan Q, jos mistä tahansa ongelmalle Q annetusta ratkaisualgoritmista voidaan jotenkin muodostaa ongelmalle

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät.

Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät. Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät. Tehtäviä on osittain muokattu, jotta ne vastaisivat paremmin kokeilumonistetta Rantala & Virtanen, Logiikan peruskurssi.

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka 10.3. 11.4) 26. 30.3. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 10.5 Allaolevat kolme graafia pyrkivät selventämään

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

LAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi.

Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi. Tehtävä A1 Kirjoita essee aiheesta: Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi. Vastaa esseemuotoisesti, älä käytä ranskalaisia viivoja. Piirroksia voi käyttää. Vastauksessa luetaan ansioksi selkeä

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé

Lisätiedot

Ratkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus

Ratkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus Luku 6 Ratkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus Proseduurit Olkoon A aakkosto. Proseduuri aakkoston A sanoille on mikä hyvänsä prosessi (algoritmi) P, jolle annetaan syötteeksi sana w A, ja joka etenee

Lisätiedot

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään

Lisätiedot