HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia"

Transkriptio

1 HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin avulla. Vihje: kannattaa ensin piirtää Vennin kaavioita. 1. Päteekö väite A \ (B \ C) (A \ B) (A \ C) kaikilla joukoilla A, B ja C? Näytetään vastaesimerkillä, ettei väite päde yleisesti. Valitaan esimerkiksi A = C = {1} ja B =. Tällöin A \ (B \ C) = {1} \ = {1} ja (A \ B) (A \ C) = {1} =, joten A \ (B \ C) (A \ B) (A \ C). Siis väite ei päde yleisesti.. Päteekö väite (A \ B) (A \ C) A \ (B \ C) kaikilla joukoilla A, B ja C? Näytetään, että relaatio on voimassa yleisesti. Olkoot A, B ja C mitä hyvänsä joukkoja. Jos (A \ B) (A \ C) =, niin relaatio on voimassa. Muussa tapauksessa valitaan mielivaltainen a (A \ B) (A \ C). Tällöin a A \ B ja a A \ C. Erotuksen määritelmän mukaan a A, a / B ja a / C. Koska a / B, niin a / B \ C. Lisäksi a A, joten a A \ (B \ C). Siis (A \ B) (A \ C) A \ (B \ C).. Päteekö väite (A B) (C D) (A C) (B D) kaikilla joukoilla A, B, C ja D? Näytetään, että väite pätee kaikilla joukoilla. Oletetaan, että t (A B) (C D). Tällöin t A B tai t C D. Tarkastellaan tapaukset erikseen: Oletetaan, että t A B. Tällöin t = (a, b), missä a A ja b B. Yhdisteen määritelmän nojalla a A C ja b B D. Siten t = (a, b) (A C) (B D). Oletetaan, että t C D. Tällöin t = (c, d), missä c C ja d D. Yhdisteen määritelmän nojalla c A C ja d B D. Siten t = (c, d) (A C) (B D). Joka tapauksessa t (A C) (B D). Siis (A B) (C D) (A C) (B D). 4. Päteekö väite (A C) (B D) (A B) (C D) kaikilla joukoilla A, B, C ja D? Näytetään vastaesimerkillä, ettei väite päde yleisesti. Valitaan esimerkiksi A = {1}, B = {}, C = {} ja D = {4}. Tällöin (A C) (B D) = {1, } {, 4} = {(1, ), (1, 4), (, ), (, 4)}

2 ja (A B) (C D) = {(1, )} {(, 4)} = {(1, ), (, 4)}. Huomataan, että (1, 4) (A C) (B D), mutta (1, 4) / (A B) (C D). Näin ollen (A C) (B D) (A B) (C D), joten väite ei päde yleisesti. Tehtäväsarja II Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvojen asioihin 5. Mitkä alla olevissa kuvissa esiintyvistä säännöistä ovat kuvauksia? Mitkä niistä ovat injektioita? Mitkä niistä ovat surjektioita? 1 A f B θ β γ ϕ 1 A g B θ β γ ϕ 1 A h C β γ ϕ 1 4 D ρ B θ β γ ϕ 1 4 D υ C β γ ϕ 1 4 D τ C β γ ϕ Kuvauksen on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon alkioon täsmälleen yksi maalijoukon alkio. Huomataan, ettei sääntö ρ ei täytä tätä ehtoa, sillä nyt ρ() = β ja ρ() = γ, eikä se täten ole kuvaus. Myöskään v ole kuvaus D C, sillä lähtöjoukossa on alkio, jota v ei kuvaa minnekään. Muut säännöt toteuttavat ehdon. Kuvaus on injektio, jos mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle. Siis injektioita ovat kuvaukset g ja h. Kuvaus on surjektio, jos se täyttää maalijoukon, eli jos jokaiselle maalijoukon alkiolle kuvautuu jokin lähtöjoukon alkio. Siis surjektioita ovat kuvaukset h ja τ. 6. Ovatko seuraavat kuvaukset injektioita? (a) f : R R, jolle x x 4x kaikilla x R. (b) g : R R, jolle x x kaikilla x R. (c) h: R \ { 4} R, jolle x x kaikilla x R \ { 4}. x + 4 (a) Huomataan, että nyt f(0) = = 0 ja f( 4) = ( 4 ) 4 4 = 0. Siis kahdella eri lähdön alkiolla on sama kuva-alkio, joten kuvaus ei ole injektio.

3 (b) Oletetaan, että g(a) = g(b) joillakin a, b R. Tällöin Siis kuvaus g on injektio. a = b a = b a = b. (c) Oletetaan, että h(x 1 ) = h(x ) joillakin x 1, x R \ { 4}. Tällöin Siis kuvaus h on injektio. 7. Ovatko tehtävän 6 kuvaukset surjektioita? x 1 x = x x + 4 x 1(x + 4) = x (x 1 + 4) x 1 x + 4x 1 = x 1 x + 4x 4x 1 = 4x x 1 = x. (a) Olkoon y R ja oletetaan, että x 4x = y. Tällöin x 4x y = 0 ja toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta saadaan x = 4 ± y = ± 4 + y. Diskriminantin 4 + y on oltava epänegatiivinen, eli täytyy olla y 4. Toisin sanoen, jos esimerkiksi y =, yhtälöllä x 4x = y ei ole ratkaisua. Näin ollen kuvaus ei ole surjektio. (b) Oletetaan, että y R. Tällöin y + R ja lisäksi ( g y + ) ( = y + ) = + y = y Siis g on surjektio. (c) Olkoon y R ja oletetaan, että x x+4 = y. Tästä saadaan x( y) = 4y, josta voidaan ratkaista x, kunhan y. Jos kuitenkin y =, niin yhtälö on epätosi. Siis kuvaus ei ole surjektio. 8. Merkitään V = ]0, [. Olkoon h: R R funktio, jolle x, jos x < 1; h(x) = x 1, jos x 1. Piirrä funktion h kuvaaja ja määritä sen avulla kuva hv sekä alkukuva h V. hv V V h V

4 Kuvaajista nähdään, että hv = ] 1, 0] [1, ] ja h V = ], 0[ [ 1, [ Olkoon f : [, ] R funktio, jolle x x. Olkoon A = [, 1]. Piirrä koordinaatistoon funktion f kuvaaja ja määritä sen avulla (a) kuva fa (b) alkukuva f [fa] (c) alkukuva f A (d) kuva f[f A]. Piirrä jokainen kohta omaan koordinaatistoonsa! fa A fa f A f A f [fa] A f[f A] (a) fa =[, 6]. (b) f [fa] =[, ]. (c) f fa [ 1, 9; 1, 9]. (d) f[f A] =[, 1]. 10. Onko kuvaus τ : R R, jolle injektio? Entä surjektio? x 8, jos x < ; τ(x) = x, jos x ; 6 x, jos x >, Huomataan, että τ(0) = 0 ja τ() = 6 = 0. Näin ollen kuvaus ei ole injektio. Ensimmäisellä osavälillä ], [ funktion τ kuvaaja on laskeva suora ja τ saa kaikki arvot väliltä ], [. Välillä [, ] τ on identtinen kuvaus ja saa siis kaikki arvot väliltä [, ]. Välillä ], [ funktion τ kuvaaja on taas laskeva suora ja siten τ saa kaikki arvot väliltä ], [. Kaiken kaikkiaan kuvauksen arvojoukko on siis ], [ [, ] ], [ = R, eli kyseessä on surjektio. Tehtäväsarja III Seuraavat tehtävät liittyvät yhdistetyn kuvauksen käsitteeseen. 11. Oletetaan, että f : R R, f(x) = x+4 ja g : [0, 5] R, g(x) = x 5. Muodosta seuraavista kuvauksista ne, jotka ovat hyvinmääriteltyjä: f g, g f, f f, g g.

5 (a) f g(x) = (x 5) + 4 = x (b) Kuvaus g f ei ole hyvin määritelty, sillä kuvauksien f ja g maali- ja lähtöjoukot eivät kohtaa. (c) f f(x) = (x + 4) + 4 = 4x + 1. (d) g g ei ole hyvin määritelty. 1. Määritellään kuvaukset f : R R ja g : R R asettamalla x, jos 0 x 1; f(x) = 1, muulloin, x, jos 0 x 1; g(x) = 0, muulloin. Määritä yhdistetyt kuvaukset g f ja f g. Piirrä niiden kuvaajat (kumpikin omaan koordinaatistoonsa). Suoralla laskulla saadaan g(x), jos 0 x 1; (g f)(x) = g(f(x)) = g(1), muulloin. Näin ollen (x) = 4x, jos 0 x 1; (g f)(x) = 0, jos 1 < x 1; 1 = 1, muulloin. Suoralla laskulla saadaan f(x ), jos 0 x 1; (f g)(x) = f(g(x)) = f(0), muulloin. Näin ollen x, jos 0 x 1; (f g)(x) = 0, muulloin. y = f(x) y = g(x) y = (g f)(x) y = (f g)(x)

6 Tehtäväsarja IV Tehtävissä 1 15 oletetaan, että f : X Y on kuvaus, A X ja B Y. 1. (a) Osoita, että A f [fa]. (b) Osoita vastaesimerkillä, että sisältyminen toiseen suuntaan ei päde yleisesti. (a) Oletetaan, että a A. Tällöin f(a) fa (kuvan määritelmä). Tästä seuraa, että a f [fa] (alkukuvan määritelmä). Siis A f [fa]. (b) Olkoon f : R R kuvaus, jolle x x. Olkoon A = {, } R. Nyt fa = {f(), f()} = {4, 9} ja f [fa] = f {4, 9} = {,,, }, joten f [fa] A. 14. Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Osoita, että kuvaus f on injektio, jos ja vain jos f [fa] = A kaikilla A X. Vihje: pieni osa on tehty tehtävässä 1. (a) Oletetaan, että kuvaus f on injektio. Osoitetaan, että f [fa] = A kaikilla A X perustelemalla sisältyminen molempiin suuntiin. i. Oletetaan, että x f [fa]. Tällöin f(x) fa (alkukuvan määritelmä). Tämä tarkoittaa, että f(x) = f(a) jollakin a A. Koska f on injektio, seuraa yhtälöstä f(x) = f(a), että x = a. Koska a A ja x = a, niin x A. ii. Tämä on osoitettu edellisessä tehtävässä. (b) Oletetaan, että f [fa] = A kaikilla A X. Osoitetaan, että f on injektio. Oletetaan, että x 1, x X ja f(x 1 ) = f(x ). Valitaan A = {x 1 }, jolloin A X. Joukon A kuva on fa = {f(x 1 )}. Koska x 1 f(x 1 ) ja x f(x ) = f(x 1 ), niin x 1, x f {f(x 1 )} = f [fa] = A = {x 1 }. Siis x 1, x {x 1 }, joten x 1 = x. 15. Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Osoita, että kuvaus f on surjektio, jos ja vain jos f[f B] = B kaikilla B Y. (a) Oletetaan, että kuvaus f on surjektio. Osoitetaan, että f[f B] = B kaikilla B Y perustelemalla sisältyminen molempiin suuntiin. i. Oletetaan, että y f[f B]. Tällöin y = f(x) jollakin x f B. Koska x f B, niin f(x) B. Koska f(x) = y, niin y B. Näin ollen f[f B] B. ii. Oletetaan, että y B. Koska f on surjektio, niin on olemassa sellainen x X, että f(x) = y. Oletuksen mukaan y B ja koska y = f(x) niin f(x) B. Tällöin x f B. Tämä tarkoittaa, että f(x) f[f B]. Lisäksi f(x) = y, joten y f[f B]. Siis B f[f B].

7 (b) Oletetaan, että f[f B] = B kaikilla B Y. Osoitetaan, että f on surjektio. Oletetaan, että y Y. Valitaan B = {y}, jolloin B Y. Oletuksen nojalla f[f B] = B, minkä vuoksi alkukuva f B : jos nimittäin olisi f B =, niin f[f B] = f =, mikä on ristiriidassa oletuksen f[f B] = B kanssa. Koska f B, niin on olemassa x f B. Tällöin x X ja f(x) B = {y}, joten f(x) = y. Siis on olemassa x X, jolla f(x) = y. Näin ollen f on surjektio. Kompleksiluvut 16. Kompleksiluvun z 0 negatiivinen eksponentti määritellään kuten reaaliluvuille: z n = (z n ) 1 kaikilla n N. Todista De Moivrén kaava: Olkoon z C, z 0 ja φ luvun z vaihekulma. Tällöin kaikilla n Z. Vihje: induktio ja lauseen 11 a ja c-kohta. z n = z n (cos nφ + i sin nφ) Olkoon z = r(cos φ + i sin φ) mikä hyvänsä kompleksiluku. Todistetaan väite aluksi luonnollisille luvuille käyttäen induktiota. Alkuaskel n = 0 toteutuu selvästi: z 0 = 1 = 1 (1 + 0) = z 0 (cos 0φ + i sin 0φ). Oletetaan sitten, että väite pätee luonnolliselle luvulle k N. Nyt z k+1 = zz k = z ( z k (cos kφ + i sin kφ) ) = r(cos φ + i sin φ) r k (cos kφ + i sin kφ) = r k+1 (cos φ + i sin φ)(cos kφ + i sin kφ) = r k+1 (cos φ cos kφ + i cos φ sin kφ + i sin φ cos kφ + i sin φ sin kφ) = r k+1 (cos φ cos kφ sin φ sin kφ + i (cos φ sin kφ + sin φ cos kφ) = r k+1 (cos(k + 1)φ + i sin(k + 1)φ) = z k+1 (cos(k + 1)φ + i sin(k + 1)φ), joten väite saatiin johdettua myös luvulle k + 1. Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi kaikilla luonnollisilla luvuilla. Olkoon sitten n N ja tarkastellaan lukua z n. Määritelmän perusteella z n = (z n ) 1, joten z n = ( z n (cos nφ + i sin nφ)) 1. Lauseen perusteella oikea puoli voidaan kirjoittaa muodossa z n (cos nφ + i sin nφ), joten väite pätee myös luvulle n. Näin ollen väite on tosi kaikilla n Z. 17. Piirrä kompleksitasoa esittävä kuva ja merkitse siihen seuraavat kompleksiluvut: z 1 = e πi, z = 1 e π 4 i, z = e π i, z 4 = e 5π 4 i, z 5 = e 6πi, z 6 = 7 4 e π i, z 7 = 4e 5π 6 i, z 8 = e π i

8 Muistutus: e φi = cos φ + i sin φ, missä φ R. I z 7 z 6 z 1 z z 5 R z 4 z 8 z 18. Osoita, että cos θ = eiθ + e iθ ja sin θ = eiθ e iθ kaikilla θ R. i Muistetaan, että cos θ = cos( θ) ja sin θ = sin( θ). Tällöin ja e iθ + e iθ = = cos θ + i sin θ + cos( θ) + i sin( θ) cos θ + i sin θ + cos θ i sin θ = cos θ = cos θ e iθ e iθ i = = cos θ + i sin θ (cos( θ) + i sin( θ)) i cos θ + i sin θ cos θ + i sin θ i sin θ = i i = sin θ. 19. Merkitään z 1 = 4e iπ, z = e i π ja z = 6e i 5π 4. Määritä seuraavien kompleksilukujen itseisarvo, vaihekulma, reaaliosa ja imaginaariosa: (i) z 1 z (ii) z 1 z (iii) z (iv) z z z 1. (i) Sievennetään z 1 z = 4e iπ e i π = 8e i(π+ π ) = 8e i 5π = 8e i π. Eksponenttiesityksestä voidaan lukea luvun z 1 z itseisarvon olevan 8 ja vaihekulman π/. Reaali- ja imaginaariosiksi saadaan Re(z 1 z ) = 8 cos(π/) = 0 ja Im(z 1 z ) = 8 sin(π/) = 8 1 = 8.

9 (ii) Sievennetään z 1 = 4eiπ = 4 π z e i π ei(π ) = e i π = e i π. Eksponenttiesityksestä voidaan lukea luvun z 1 /z itseisarvon olevan ja vaihekulman π/. Reaali- ja imaginaariosiksi saadaan Re Im ( ) z1 z ( ) z1 z ( π = cos ( π = sin (iii) Huomioidaan miinusmerkki luvun edessä: ) = 0 = 0 ) = ( 1) =. z = 6e i 5π 4 = ( 1) 6e i 5π 4 = e iπ 6e i 5π 4 = 6e i(π+ 5π 4 ) = 6e i 9π 4 = 6e i π 4. Eksponenttiesityksestä voidaan lukea luvun z itseisarvon olevan 6 ja vaihekulman π/4. Reaali- ja imaginaariosiksi saadaan ( ) π 1 Re z = 6 cos = 6 = 6 = 4 ( ) π 1 Im z = 6 sin = 6 = 6 =. 4 (iv) Huomataan, että Itseisarvoksi saadaan z z z 1 = ( ) z1 1 z. z z z z = z 1 1 z = 1 1 z 6 = ja vaihekulmaksi π + π 4 = 5π 4 eli π 4. Reaali- ja imaginaariosiksi saadaan ( ) z z Re z 1 ( ) z z Im z 1 ( π = cos 4 ( π = sin 4 ) ( = 1 ) = ) = 1 =. 0. Määritä luvun z itseisarvo, vaihekulma, reaaliosa ja imaginaariosa, jos (a) z = (1 i ) 14 (b) z = (1 + i) ( i) ( + i 6) 1. (a) Merkitään w = 1 i ja etsitään luvun w napaesitys. Itseisarvo on w = 1 + = ja vaihekulmaksi saadaan 5π/. Näin w = (cos(5π/)+i sin(5π/))

10 ja Moivrén kaavan mukaan ( z = w 14 = 14 cos 70π ) 70π + i sin ( = (cos π + 4π ) ( + i sin 11 π + 4π )) = 14 ( cos 4π + i sin 4π Siten luvun z itseisarvo on z = 14, vaihekulma on 4π/ sekä ). Re z = 14 cos 4π = 14 ( 1 ) = 1, Im z = 14 sin 4π ( ) = 14 = 1. (b) Merkitään w 1 = 1 + i, w = i ja w = + i 6. Näiden kompleksilukujen napaesitykset ovat Siten w 1 = ( cos π 4 + i sin π ) 4 w = 4 ( cos π + i sin π ). ( w = cos 11π 6 ) 11π + i sin 6 z = w1w w 1 = ( ) ( ( 4 cos π π 6 π ) ( + i sin π π 6 π )) ( = cos 49π 1 ) 49π + i sin 1 ( = cos π 1 + i sin π ). 1 Näin luvun z itseisarvo on, vaihekulma on π 1 sekä Re z = cos π 1 = 1 ( 6 + ) Im z = sin π 1 = 1 ( 6 ). 1. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (a) x + 4x + = 0 (b) x + 1 = 1x (c) x x + 18 = x + 4x 40 (a) Diskriminantti on 4 4 = 8 < 0, joten yhtälön juuret saadaan kaavasta x = 4 ± i 8 = 4 ± 8 4 = ± i Yhtälöllä on siis tasan kaksi juurta, jotka ovat x = 1 + i ja x = 1 i.

11 (b) Yhtälö on yhtäpitävä yhtälön x 1x+1 = 0 eli myös yhtälön x 4x+4 = 0 kanssa. Diskriminantti on ( 4) = 0. Yhtälön juuri on siis x = 4 ± 0 1 = (c) Yhtälö on yhtäpitävä yhtälön x 6x+58 = 0 kanssa. Diskriminantti on ( 6) = 196 < 0, joten juuret saadaan kaavasta 6 ± i 196 = 6 ± 14i Yhtälön juuret ovat siis x = + 7i ja x = 7i. = ± 7i. Oletetaan, että s R ja tarkastellaan yhtälöä x + sx + 1 = 0. (a) Määritä ne reaaliluvut s, joilla tämän yhtälön ratkaisut eivät ole reaalilukuja. (b) Ratkaise yhtälö a-kohdan tilanteessa kompleksilukujen joukossa. (a) Yhtälön diskriminantti on (s) 4 1 = 4s 1. Koulutiedoilla saadaan: 4s 1 < 0 4s < 1 s < < s <. Näin ollen yhtälöllä ei ole reaalilukujuuria, jos ja vain jos < s <. (b) Oletetaan, että < s <. Tällöin yhtälön ratkaisut ovat x = s ± i 4s 1 = s ± i 4 s = s ± i s = s ± i s.

12 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa. Anna ja Antti ovat veneilemässä Helsingin edustalla ja haluavat vierailla seuraavilla saarilla: Harakka, Harmaja, Lonna, Pihlajasaari ja Vasikkasaari. (a) Kuinka monta eri tapaa on kiertää nämä saaret eri järjestyksessä? Edellä saaret lueteltiin aakkosjärjestyksessä; se olisi yksi mahdollinen tapa. (b) Kuinka monta eri tapaa on kiertää nämä saaret niin, että Lonna ja Vasikkasaari ovat kiertojärjestyksessä vierekkäin. Esimerkiksi Lonna, Vasikkasaari, Harakka, Harmaja, Pihlajasaari tai Harakka, Vasikkasaari, Lonna, Harmaja, Pihlajasaari ovat kaksi tällaista tapaa. (a) Tapoja on = 5! = 10 erilaista. (b) Lonna ja Vasikkasaari voivat olla kiertojärjestyksessä vierekkäin olemalla saaret numero 1 ja, ja, ja 4 tai 4 ja 5 - siis neljällä eri tavalla. Tällöin muut saaret voivat olla! erilaisessa järjestyksessä. Toisaalta Lonna ja Vasikkasaari voivat olla keskenään kahdessa erilaisessa järjestyksessä. Erilaisia tapoja kiertää saaret niin, että Lonna ja Vasikkasaari ovat peräkkäin, on siis 4! = 48 kappaletta. 4. Määritä termin x 9 y 8 kerroin polynomissa (x + y) 17. Kerroin on ( ) 17 8 = Määritä seuraavat logaritmit tai niiden likiarvot jakolaskun avulla: (i) log 16 (ii) log 80 (iii) log (iv) log 600 (i) -kantainen logaritmi luvusta 16 kertoo kuinka monta kertaa se on jaettava luvulla, jotta tulos olisi 1. Tutkitaan, voidaanko lukua 16 toistuvasti luvulla jakamalla saada osamääräksi = 8, 8 = 4, 4 =, = 1 Kun luku 16 jaettiin luvulla neljä kertaa saatiin osamääräksi 1, joten log 16 = 4. (ii) Jaetaan lukua 80 toistuvasti luvulla. 80 = 40, 40 = 0, 0 = 10, 10 = 5, 5 =,5,,5 = 1,5, 1,5 = 0,65 Huomataan, että jakamalla lukua 80 toistuvasti luvulla ei saada osamääräksi lukua 1. Lähimmäksi päästiin jakamalla se kuusi kertaa, joten log (iii) log = 0, sillä jakolaskuja ei tarvita. (iv) Jaetaan lukua 600 toistuvasti luvulla. 600 = 00, 00 66,7, 66,7,,, 7,4, 7,4,5,5 0,8 Huomataan, että jakamalla lukua 600 toistuvasti luvulla ei saada osamääräksi lukua 1. Lähimmäksi päästiin jakamalla se kuusi kertaa, joten log

13 6. Ratkaise seuraavat yhtälöt logaritmin määritelmän avulla: (i) log (x) = 5 (ii) log (x) =, 5 (iii) x = 16 (iv) x 1 = 100 (i) log (x) = 5 x = 5 = (ii) log (x) =,5 x =,5 = 0,5 = 4 (iii) x = 16 x = log (16) = 4 (iv) x 1 = 100 x 1 = log (100) x = log (100) Oletetaan, että a R ja a > 1. Päättele, miten paljon luvun a -kantainen logaritmi kasvaa, jos luku itse (a) kasvaa 8-kertaiseksi (b) kasvaa 51-kertaiseksi (c) korotetaan potenssiin 4 (d) korotetaan potenssiin 16 Vihje: esimerkiksi a-kohdassa on tarkoitus vertailla lukuja log (a) ja log (8a). (a) Koska log (8a) = log (8) + log (a) = + log (a), niin luvun a -kantainen logaritmi kasvaa kolmella, jos a kasvaa 8-kertaiseksi. (b) Koska log (51a) = log (51) + log (a) = 9 + log (a), niin luvun a -kantainen logaritmi kasvaa yhdeksällä, jos a kasvaa 51-kertaiseksi. (c) Koska log (a 4 ) = 4 log (a), niin luvun a -kantainen logaritmi kasvaa nelinkertaiseksi, jos a korotetaan potenssiin 4. (d) Koska log (a 16 ) = 16 log (a), niin luvun a -kantainen logaritmi kasvaa 16- kertaiseksi, jos a korotetaan potenssiin Kyyhkyslakkaperiaate (Pigeonhole principle) sanoo seuraavaa: jos kyyhkysiä on enemmän kuin pesäkoloja ja jokainen kyyhkynen lentää johonkin pesäkoloon, niin ainakin yhdessä pesäkolossa on ainakin kaksi kyyhkystä. Ratkaise seuraava tehtävä kyyhkyslakkaperiaatetta soveltaen: Opiskelijalla A on seitsemän päivää aikaa tehdä JYMin harjoitustehtäviä. Oletetaan, että hän teki yhteensä 10 tehtävää. Tekikö hän silloin varmasti jonakin päivänä tehtävää? Entä tekikö hän varmasti jonakin päivän tehtävää? Opiskelija ei tehnyt varmasti jonain päivänä kolmea tehtävää. Hän olisi voinut tehdä esimerkiksi kolmena ensimmäisenä päivänä kaksi tehtävää ja neljäntenä yhden, jolloin yhtenäkään päivänä ei olisi tehty kolmea tehtävää. Kyyhkyslakkaperiaatteen nojalla opiskelija teki kuitenkin varmasti kaksi tehtävää jonain samana päivänä, sillä nyt tehtäviä on enemmän kuin päiviä ja jokainen tehtävä on tehtävä jonain päivänä.

14 9. Osoita, että neljän mielivaltaisen eri kokonaisluvun joukosta voidaan valita kaksi eri numeroa siten, että niiden erotus on jaollinen luvulla. Esimerkiksi joukosta {1,,, 4} lukujen 1 ja 4 erotus 1 4 = on jaollinen luvulla. Vastaavasti joukosta { 5, 400, 015, 000} lukujen -5 ja 015 erotus = 040 on jaollinen luvulla. Vihje: Kyyhkyslakkaperiaate sekä jakojäännös. Vapaaehtoinen lisäkysymys: Olkoon n N \ {0}. Osoita, että n + 1 mielivaltaisen eri kokonaisluvun joukosta voidaan valita kaksi eri numeroa siten, että niiden erotus on jaollinen luvulla n. Jaettaessa mielivaltainen luku luvulla on jakojäännös joko 0, 1 tai. Kyyhkyslakkaperiaatteen nojalla neljän mielivaltaisen luvun joukosta voidaan valita kaksi lukua niin, että kolmella jaettaessa näillä on sama jakojäännös. Merkitään näitä kahta lukua a = k 1 +r ja b = k +r, missä k 1, k Z ja r on jakojäännös kolmella jaettaessa. Lukujen erotus on nyt a b = (k 1 + r) (k + r) = k 1 + r k r = k 1 k = (k 1 k ) Tämä luku on siis jaollinen kolmella.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske

Lisätiedot

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 2 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot