Äärellisten mallien teoria
|
|
- Kai Majanlahti
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 2 ratkaisut Tehtävä 1 Olkoon X = {a, b, c} kolmen alkion joukko. a) Mikä on joukon X eri laskutoimitusten lukumäärä? b) Kuinka moni näistä laskutoimituksista on vaihdannainen? c) Kuinka moni näistä laskutoimituksista on vaihdannainen ja liitännäinen? (Vihje: erilaiset symmetriat helpottavat laskemista. Esim. (a b) c on jokin alkioista a, b tai c.) Ratkaisu 1 a) Jokainen X:n alkiopari voi kuvautua mille tahansa X:n alkiolle. Näin saadaan laskutoimitusten lukumääräksi X X 2 = 3 9 = b) Vaihdannainen laskutoimitus kuvaa parin (a, b) ja parin (b, a) samalle X:n alkiolle. Koska joukon X järjestämättömiä pareja on ( ) X 2 kpl ja pareja (a, a), X kpl, symmetristen laskutoimitusten lukumääräksi saadaan X X +( X 2 ) = 3 6 = 729. c) Symmetrisyyden vuoksi voidaan kiinnittää abc = a. Laskutoimituksia on kolminkertainen määrä tällaisten laskutoimitusten määrästä. Ratkaisussa useimpien laskutoimitusten assosiatiivisuus perustellaan antamalla laskutoimimitukselle kuvaus, jossa usean alkion tulo riippuu vain siitä, montako kertaa mikäkin alkio tulossa esiintyy. Jos bc = a ja ab = a, myös ac = (ab)c = a ja aa = a(bc) = a. Jos x, y ja z ovat eri alkioita (xy)z = az = a = xa = x(yz). Riittävä ja välttämätön ehto laskutoimituksen liitännäisyydelle on (xx)y = x(xy) = xa = a eli jos xx = y, yy = a. Tulot bb ja cc voidaan siis valita seuraavista vaihtoehdoista: (bb, cc) {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a)}. (6 tapausta) Jos bc = a ja ab = b, ac a, sillä jos ac = a, abc = ab = b. Jos bc = a, ab = b ja ac = b, niin aa = a(bc) = a ja bb = (ab)(ac) = (aa)bc = abc = a. Koska acc = bbcc = abc = a, cc ei voi olla b tai c. Siispä cc = a. Näin saadaan laskutoimitus, joka on a, mikäli tulossa b ja c -tekijöiden lukumäärä on parillinen ja b jos se on pariton (1 tapaus). 1
2 Jos bc = a, ab = b ja ac = c, myös aa = a(bc) = a. Sillä abc = (bc)bc = (bb)(cc) = a, ainoat vaihtoehdot ovat (bb, cc) {(a, a), (b, c), (c, b)}. Ensimmäinen vaihtoehto karsiutuu, sillä tällöin olisi (bb)c = ac = c b = ba = b(bc). Toinen vaihtoehto karsiutuu, koska (bb)c = bc = a b = ba = b(bc). Kolmas vaihtoehto sen sijaan toteuttaa laskutoimituksen, joka on itse asiassa kolmen alkion syklinen ryhmä. (1 tapaus) Jos bc = a ja ab = c, niin aa = a(bc) = a ja cc = (ab)c = a. Koska ac = a abc = ab = c ja ac = b b = ac = aac = ab = c, täytyy ac = c. Koska abb = bc = a, täytyy bb = a. Näin saadaan laskutoimitus, joka on a, mikäli tulossa b ja c -tekijöiden lukumäärä on parillinen ja c jos se on pariton (1 tapaus). Näin ollaan saatu käsiteltyä kaikki laskutoimitukset, joissa bc = a. Koska tapaukset bc = b ja bc = c ovat symmetrisiä, tarkastellaan vain tapauksia, joissa bc = b. Nyt ab = a(bc) = a ja ac = (ab)c = a. Ei ole mahdollista, että aa = c, koska tällöin olisi aa = (ab)(ac) = aabc = cbc = bc = b. Jos aa = b, niin bb = b(bc) = (aa)bc = (ab)(ab) = aa = b. Vaihtoehto cc = a ei ole mahdollinen, koska tällöin olisi (cc)a = aa = b a = ca = c(ca). Sekä cc = b että cc = c ovat mahdollisia. Kumpikin näin saaduista laskutoimituksista on sellainen, että tulo, jossa a-tekijöiden määrä on pariton, on a. Ensimmäisessä tapauksessa tulo on aina muutoin b, toisessa tapauksessa se voi olla c, jos se sisältää vain c-tekijöitä. (2 2 tapausta) Oletetaan sitten, että aa = a. Vaihtoehto cc = a ei mahdollinen, koska tällöin olisi abc = bccc = bcc = bc = b. Jos cc = b, niin bb = bcc = bc = b. Laskutoimitus menee aina a:lle, jos tulossa on yksikin a, muutoin b:lle (2 1 tapausta). Lopulta jää jäljelle tapaus, jossa cc = c. Tällöin bb voidaan valita vapaasti kolmesta vaihtoehdosta. (2 3 tapausta) Yhteensä saadaan tapauksia 21 kpl ja näin vaihdannaisia ja liitännäisiä laskutoimituksia on 63 kpl. Yleisemmän lähestymistavan ongelmaan löytää vaikkapa artikkelista Grillet, P.A: The number of commutative semigroups of order N, Semigroup forum, volume 50, Tämä löytyy verkosta googlettamalla vaikkapa artikkelin nimellä. 2
3 Tehtävä 2 Kun k N, olkoon r k (n) joukon {0,..., n 1} k-paikkaisten relaatioiden ja f k (n) k-paikkaisten funktioiden lukumäärä. Osoita, että lim f k(n)/r k (n) = ja lim r k+1 (n)/f k (n) =. n n Ratkaisu 2 Mallin k-paikkaiset relaatiot ovat sen universumin k-pituisten jonojen osajoukkoja. Koska k-pituisia jonoja on n alkion universumissa n k kpl, on relaatioiden lukumäärä r k (n) = 2 nk. Funktiot ovat kuvauksia k-pituisilta jonoilta mallin universumiin. Näin niiden lukumäärä on f k (n) = n nk. ja Raja-arvoiksi saadaan: lim f k(n)/r k (n) = lim (n/2) nk = n n lim r k+1(n)/f k (n) = lim 2 nk+1 /n nk n n = lim n (2 nk+1 n k /n) nk lim n (2 nk /n) nk = Tehtävä 3 Olkoot X ja F äärellisiä joukkoja, joissa on vähintään kaksi alkiota. Liitetään jokaiseen joukon X väritykseen χ: X F kaksi mallia: Mallin A(χ) aakkosto on τ = {U c c F }, missä relaatiot U c, c F, ovat yksipaikkaisia. Mallin B(χ) aakkosto on σ = {E}, missä E on kaksipaikkainen. Kummankin mallin universumi on X. Mallissa A(χ) pätee U A(χ) c kun c F, ja mallissa B(χ) on voimassa = χ 1 ({c}), E B(χ) = {(x, y) X X χ(x) = χ(y)}. a) Osoita, että E B(χ) on ekvivalenssirelaatio kaikilla värityksillä χ: X F. 3
4 b) Osoita, että kaikilla eri χ, χ : X F pätee A(χ) A(χ ), mutta on olemassa sellaiset eri väritykset χ, χ : X F, että B(χ) = B(χ ). c) Osoita, että on olemassa sellaiset eri väritykset χ, χ : X F, että A(χ) = A(χ ). Ratkaisu 3 a) Koska χ(x) = χ(x), (x, x) E B(χ). Siispä E B(χ) on refleksiivinen. Koska (x, y) E B(χ) χ(x) = χ(y) (y, z) E B(χ), E B(χ) on symmetrinen. Jos (x, y), (y, z) E B(χ), χ(x) = χ(y) ja χ(y) = χ(z), joten χ(x) = χ(z) ja (x, z) E B(χ) eli E B(χ) on transitiivinen. b) Jos χ χ, on olemassa x X siten, että χ(x) χ (x). Tällöin x U A(χ) χ(x), mutta x / U A(χ ) χ(x). Siispä A(χ) A(χ ). Olkoon χ: X F mikä tahansa väritys ja f : F F bijektio. Koska (x, y) E B(χ) χ(x) = χ(y) f(χ(x)) = f(χ(y)) (x, y) E B(f χ), pätee B(χ) = B(f χ). Jos f valitaan siten, että kaikilla c F, f(c) c, f χ χ. c) Olkoon χ: X F mikä tahansa väritys, joka ei ole vakio. Olkoon f : X X bijektio. Tällöin f in isomorfismi mallilta B(χ f) mallille B(χ). Tämä nähdään seuraavasti: Jos x Uc B(χ f), (χ f)(x) = c. Tällöin χ(f(x)) = c eli f(x) U B(χ) c. Valitaan x, y X siten että χ(x) χ(y) ja valitaan bijektioksi f joukon X translaatio, joka vaihtaa alkiot x ja y keskenään. Tällöin (χ f)(x) = χ(y) χ(x) eli χ f χ. Tehtävä 4 Olkoon τ äärellinen aakkosto. Osoita, että on olemassa sellainen polynomifunktio p, että mahtavuutta n olevia keskenään epäisomorfisia aakkoston τ-malleja on korkeintaan 2 p(n) kappaletta. Osoita, että jos τ on relationaalinen, niin polynomifunktio p voidaan valita niin, että näitä malleja on myös vähintään 2 p(n) /n! kappaletta. Ratkaisu 4 Todistetaan ensin että mikä tahansa malli on isomorfinen sellaisen mallin kanssa, jonka universumi on {0,..., n 1}. Tästä syystä riittää tarkastella malleja, joiden universumi on {0,..., n 1}. Olkoon A mielivaltainen aakkoston τ malli, jonka universumin A koko on n. Olkoon α: A {0,..., n 1} jokin bijektio. Tällainen löytyy, koska A:n 4
5 kooksi oletettiin n. Muodostetaan malli B, jonka universumi on {0,..., n 1} seuraavasti: Jos c Con(τ), asetetaan c B = α(c A ). Jos R Rel(τ), asetetaan R B = α(r A ) = {(α(a 1 ),..., α(a #(R) )) (a 1,..., a #(R) ) R A }. Jos f Fun(τ), asetetaan kaikilla (a 1,..., a #(R) ) A #(f), f B (a 1,..., a #(f) ) = α(f A (α 1 (a 1 ),..., α 1 (a #(f) ))). Osoitetaan, että α on nyt isomorfismi mallilta A mallille B. Se on oletuksen mukaan bijektio, joten täytyy osoittaa, että se on vahva homomorfismi. Vakiot c Con(τ) määriteltiin siten, että α(c A ) = c B. Jos R Rel(τ), ja (a 1,..., a #(R) ) R A, määritelmästä seuraa suoraan (α(a 1 ),..., α(a #(R) )) R B. Jos toisaalta (α(a 1 ),..., α(a #(R) )) R B, eräillä (a 1,..., a #(R) ) RA, (α(a 1),..., α(a #(R) )) = (α(a 1),..., α(a #(R) )). Koska α on bijektio, a i = a i, joten (α(a 1 ),..., α(a #(R) )) R A. Jos f Fun(τ), f B (α(a 0 ),..., α(a #(f) )) = α(f A (α 1 (α(a 0 )),..., α 1 (α(a #(f) )))) = α(f A (a 0,..., a #(f) )). Äskeisen nojalla kaikkien keskenään epäisomorfisten kokoa n olevien mallien lukumäärän laskemiseksi riittää laskea sellaisten mallien lukumäärä, joiden universumina on joukko {0,..., n 1}. Oletetaan siis A = {0,..., n 1}. Tässä universumissa: Vakiosymbolin c Con(τ) tulkinta c A A voidaan valita n eri tavoin. Relaatiosymbolin R Rel(τ) tulkinta R A A #(R) voidaan valita 2 A#(R) = 2 n#(r) eri tavoin. Funktiosymbolin f Fun(τ) tulkinta f A : A #(f) A voidaan valita A A#(f) = n n#(f) eri tavoin. Eri relaatiosymbolien tulkinnat voidaan valita toisistaan riippumattomasti, joten aakkoston τ malleja, joiden universumi on A on yhteensä n 2 n#(r) n n#(f) c Con(τ) R Rel(τ) f Fun(τ) kpl. Tämä voidaan kirjoittaa muodossa 2 log 2 (n) 2 n#(r) c Con(τ) R Rel(τ) 5 f Fun(τ) 2 log 2 (n)n#(f)
6 = 2 P c Con(τ) log 2 (n)+p R Rel(τ) n#(r) + P f Fun(τ) log 2 (n)n#(f) Käyttämällä hyväksi arviota n log 2 (n) kaikilla n Z + saadaan tehtävän toteuttavaksi polynomifunktioksi p(n) = n + n #(R) + n 1+#(f). c Con(τ) R Rel(τ) f Fun(τ) Oletetaan nyt että aakkosto on relationaalinen. Silloin Fun(τ) = ja Con(τ) =, eli p(n) = R Rel(τ) n#(r). Tässä ei ole käytetty arviota n log 2 (n) (jota käytettiin vain funktiosymboleille ja vakiosymboleille) joten 2 p(n) on tasan kaikien eri mallien lukumäärä joiden universumi on A. Monet näistä ovat keskenään isomorfisia, joten 2 p(n) on enemmän kuin ei-isomorfisten mallien lukumäärä. Relaatio = on ekvivalenssirelaatio, joten ei-isomorfisten mallien lukumäärä on sama kuin =-ekvivalenssiluokkien lukumäärä. Merkitään =-ekvivalenssiluokkien joukkoa symbolilla X. Nyt 2 p(n) = E X card(e), eli kaikkien mallien lukumäärä saadaan summaamalla ekvivalenssiluokkien koot yhteen. Osoitetaan seuraavaksi, että card(e) n! kaikilla E X, mistä seuraa 2 p(n) = E X card(e) E X n! = card(x) n!, eli 2 p(n) /n! card(x), niin kuin haluttiin. Olkoon A mielivaltainen malli jonka universumi on A = {0,..., n 1} ja osoitetaan, että joukossa [A] = {B B = A, domb = A} on korkeintaan n! alkiota. Luku n! on kaikkien joukon A permutaatioiden lukumäärä, joten riittää osoittaa, että on olemassa injektio [A] S n, missä S n on kaikkien joukon A permutaatioiden lukumäärä. Määritellään injektio j seuraavasti: jos B [A], niin on olemassa isomorfismi f : B A, joka on itse asiassa joukon A permutaatio, sillä domb = doma = A. Olkoon j(b) = f. Tämä on injektio, koska jos j(b) = j(b ) = f, niin f 1 f = id on isomorfismi mallien B ja B välillä, joten B = B. 6
7 Tehtävä 5 Kutsutaan kuvausta I äärellisiltä verkoilta luonnollisille luvuille verkkojen invariantiksi, jos isomorfisille verkoille G ja G pätee I(G) = I(G ). Olkoot I 0,..., I k (k N) verkkojen invariantteja. Oletetaan lisäksi, että on olemassa sellainen s N, että kaikilla verkoilla G ja i {0,..., k} pätee I i (G) card(g) s. Osoita, että tällöin invariantit eivät voi kuvata verkkoja isomorfiaa vaille, ts. on olemassa epäisomorfiset G ja G, joille I i (G) = I i (G ), kun i {0,..., k}. Ratkaisu 5 Verkkojen aakkosto on {E} missä E on kaksipaikkainen relaatio. Joukon {0, 1,..., n 1} järjestämättömiä pareja on ( n 2) kappaletta, joten eri verkkoja on 2 (n 2) kappaletta (vrt. harjoituksen 1 tehtävä 4). Kuten äskeisen tehtävän ratkaisun lopussa, saadaan, että epäisomorfisia n-kokoisia verkkoja on vähintään 2 (n 2) /n! kappaletta. Tiedetään, että on olemassa s N, jolle I i (G) n s, missä n = card(g). Annetulla verkolla G, jonka koko on n invarianttijonoja (I 0 (G),..., I k (G)) voi siis olla korkeintaan (n s ) k = n sk kappaletta. Jono 2 (n 2) /n! kasvaa nopeammin kuin jono n sk : peräkkäisten jäsenien suhde ensimmäisessä on ja toisessa 2 (n+1 2 ) 2) (n + 1)! : 2(n n! 2(n+1 2 ) ( n 2) = n + 1 = = = 1 n (n+1)! 1 n n(n+1) 1 n + 1 2n n ( (n + 1) sk : n sk) n 1 2 (n 1)! n! 2 (n 2)! n(n 1) 2 2 lähestyy 1:stä koska kyseessä on kahden samanasteisen polynomin osamäärä. On siis olemassa sellainen n että erilaisia mahdollisuuksia invarianttijonolle on vähemmän kuin ei-isomorfisten n-kokoisten verkkoen lukumäärä. Siispä on olemassa kaksi ei-isomorfista verkkoa G = G, joilla on sama invarianttijono, eli (I 0 (G),..., I k (G)) = (I 0 (G ),..., I k (G )). 7
8 Tehtävä 6 Määritä neljän solmun verkkojen isomorfismityyppien eli keskenään epäisomorfisten verkkojen lukumäärä. Luettele lisäksi nelisolmuisten kolmisärmäisten verkkojen väliset homomorfismit. Mitkä näistä ovat vahvoja? Ratkaisu 6 Nollasärmäisiä verkkoja on vain yksi. Kaikki yksisärmäiset verkot ovat isomorfisia. Kaksisärmäisiä verkkoja on kahta eri isomorfiatyyppiä: Verkko, jossa särmät liittyvät samaan kaksiasteiseen solmuun ja sellainen, jossa ne eivät liity samoihin solmuihin. Kolmisärmäisessä verkossa on oltava ainakin yksi solmu, jonka asteluku on vähintään kaksi. Kiinnitetään tämä ja kaksi särmää, jotka liittyvät solmuun. Kolmannen särmän voi valita neljästä vaihtoehdosta ja kaksi näistä tuottavat isomorfiset mallit. Kun verkossa on yli kolme särmää, sen komplementissa on alle kolme särmää, ja komplementtien isomorfismit ovat täsmälleen verkkojen isomorfismeja. Näin saadaan: särmiä verkkoja yhteensä 11 Olkoon kolmisärmäiset verkot A, B ja C ja oletetaan, että niiden solmujen joukkoina on {0, 1, 2, 3}, ja särmät ovat seuraavasti: A B C \ \ Luetellaan homomorfismit h jokaista verkkoparia kohden: A A Jos h(x) = 0, välttämättä h(x + 1) = 1. Samoin h(x) = 3 h(x + 1) = 2. Olkoon n(h ) = {h: A A h on homomorfismi, h h}. Nyt, jos 8
9 h : {0, 1, 2} A on homomorfismi, { n(h 1 jos h (2) {0, 3}, ) = 2 jos h (2) {1, 2}. Jos h : {0, 1} A on homomorfismi, { n(h 2 jos h (1) {0, 3}, ) = 3 jos h (1) {1, 2}. Jos h : {0} A, n(h ) = { 3 jos h (0) {0, 3}, 5 jos h (0) {1, 2}. Koska h(0) voidaan valita vapaasti, on homomorfismeja yhteensä = 16 kpl. Jos homomorfismi ei ole injektio, välttämättä h(0) ja h(3) välillä on särmä. Niinpä vain isomorfismit (2 kpl) ovat vahvoja. A B Jos h(0) = 0, h(1) {1, 2, 3}, h(2) = 0 ja h(3) {1, 2, 3}. h(1) ja h(3) voidaan valita toisistaan riippumattomasti, koska 1:n ja 3:n välillä ei ole särmää. Siispä vaihtoehtoja on 9 kpl. Jos h(0) {1, 2, 3}, h(1) = 0, h(2) {1, 2, 3} ja h(3) = 0. Nyt h(0) ja h(2) voidaan valita toisistaan riippumattomasti, joten vaihtoehtoja on 9 kpl. Siispä h voidaan valita yhteenä 18 eri tavoin. Vahvoja homomorfismeja näiden verkkojen välillä ei ole, koska kaikilla homomorfismeilla h(0) ja h(3) välillä on särmä. A C Välttämättä h(0) 3, koska solmujen h(0) ja h(1) välillä on oltava särmä. Siispä h(0) voidaan valita kolmesta vaihtoehdosta ja aina kun h(x) on kiinnitetty h(x + 1) voidaan valita vapaasti joukosta {0, 1, 2} \ {h(x)} eli kahdesta vaihtoehdosta. Niinpä vaihtoehtoja on kaikenkaikkiaan = 24 kpl. Vahvoja homomorfismeja ei ole, koska joko h(0) ja h(2) (kun h(0) h(2)) tai h(0) ja h(3) (kun h(0) = h(2)) välillä on särmä. 9
10 B A Jos h(0) = 0, h(x) = 1 kaikilla x {1, 2, 3}. Jos h(0) = 1, voidaan valita vapaasti h(x) {0, 2} kaikilla x {1, 2, 3}. Vaihtoehtoja on siis 2 3 = 8 kpl. Tapaus h(0) = 2 on symmetrinen tämän tapauksen kanssa ja h(0) = 3 ensimmäisen tapauksen kanssa. Yhteensä saadaan siis 18 homomorfismia. Kaikki homomorfismeista ovat vahvoja, koska h(1), h(2) ja h(3) muodostavat riippumattoman joukon. B B Jos h(0) = 0, voidaan h(x), x {1, 2, 3} valita kolmesta vaihtoehdosta h(x) {1, 2, 3} eli yhteensä 3 3 = 27 eri tavoin. Jos h(0) {1, 2, 3}, välttämättä h(1) = h(2) = h(3) = 0, eli tapauksia on 3 kpl. Näin saadaan yhteensä 30 homomorfismia. Kaikki homomorfismeista ovat vahvoja, koska h(1), h(2) ja h(3) muodostavat riippumattoman joukon. B C Kuten aikaisemmassa tapauksessa, jossa C oli maalijoukkona, h(0) 3. Kun h(0) on kiinnitetty, voidaan valita vapaasti h(x) {0, 1, 2} \ {h(0)}, kun x {1, 2, 3}. Vaihtoehtoja on siis 2 3 = 8 kpl, jokaista kiinnitettyä h(0):aa kohden, eli yhteensä 24 kpl. Jos h(1) h(2), näiden solmujen välillä on särmä, joten homomorfismi ei voi olla vahva. Niinpä vahvoja homomorfismeja ovat vain ne, joilla h(1) = h(2) = h(3). Tällaisia on 6 kpl. C A, C B Ei ole olemassa homomorfismeja C A tai C B. Koska C:ssä solmujen 0, 1 ja 2 välillä on särmät, solmujen on kuvauduttava eri solmuille maaliverkossa. Tällöin maaliverkossa pitäisi näiden solmujen muodostaa 3 alkion klikki. Koska A:ssa ja B:ssä ei ole kolmen alkion klikkejä, homomorfismeja ei ole. C C Välttämättä {h(0), h(1), h(2)} = {0, 1, 2} ja h {0, 1, 2} voidaan valita 6 eri tavalla. Lisäksi h(3) voidaan valita vapaasti. Siispä yhteensä homomorfismeja on 24 kpl. 10
11 Jos h(3) = 3, homomorfismi on isomorfismi ja näin vahva. Muutoin homomorfismi ei ole vahva, koska h(3) ja jonkin h(x), missä x {0, 1, 2}, välillä on särmä. Vahvoja homomorfismeja on näin 6 kpl. 11
Äärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 7 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 Olkoot G ja H äärellisiä verkkoja, joilla kummallakin on l yhtenäistä komponenttia Olkoot G i, i {0,,l 1}, verkon G ja H i,
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 1999 2010 Äärellisten mallien teoria on matemaattisen logiikan haara, jossa tutkitaan äärellisiä matemaattisia rakenteita
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 2: Relaatiot 4.2 Relaatiot Relaatioilla mallinnetaan joukkojen alkioiden välisiä suhteita Joukkojen S ja T välinen binaarirelaatio
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotFunktioista. Esimerkki 1
Funktio eli kuvaus on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Seuraavaksi tarkastellaan funktioita ja todistetaan niiden ominaisuuksia. Määritelmä 1 Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotDiskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista
Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotTekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.
3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotLuku 5. Löwenheimin ja Skolemin lause. kompaktisuuslause. Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin.
Luku 5 Löwenheimin ja Skolemin lause, kompaktisuuslause Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin. Löwenheimin ja Skolemin lause Sanomme, että kaavajoukko
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotKvasiryhmistä ja niiden sovelluksista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
LisätiedotMAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenna Laine. Ramseyn teoria
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jenna Laine Ramseyn teoria Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta LAINE, JENNA: Ramseyn teoria Pro
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 8,
Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg Tämän viikon tehtävien teemoina on tulojoukot, relaatiot sekä kuvaukset. Näistä varsinkin relaatiot ja kuvaukset ovat tärkeitä
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 2: Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2
LisätiedotTehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2
Tehtävä 5 : 1 Merkitään kirjaimella H kuvan punaisten solmujen virittämää verkon G yhtenäistä aliverkkoa, jossa on yhteensä kolme särmää. Aliverkosta H voidaan kahdella tavalla valita kahden solmun joukko
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10
Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut / vko 0 Tuntitehtävät - lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät - loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät - tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa.
Lisätiedot6.4. Järjestyssuhteet
6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
LisätiedotTekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}.
Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa suuriin, helpommin käsiteltäviin osiin. Tämän jälkeen voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 Kertausta toiseen välikokeeseen Yhteenveto Kurssin sisältö 1. Algoritmin käsite 2. Lukujärjestelmät ja niiden muunnokset; lukujen esittäminen tietokoneessa 3. Logiikka
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
LisätiedotPredikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka
Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Syksy 1999, kevät 2002, 2005, 2008, syksy 2010 Äärellisten mallien teoria Kotisivu: http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/aemt/
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
Lisätiedotj(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotAbstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista
Abstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista Pro gradu -tutkielma Kari Kostama Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Kahden alkion laskutoimitus
LisätiedotALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN Algebra käsittelee laskemista. Osin tämä tarkoittaa numeroilla laskemista lukualueissa N, Z, Q, R, C laskutoimituksilla + ja ja niiden käänteisoperaatioilla ja / siinä
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotKOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT
Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Lisätiedot1.1. Määritelmä. a) Termit ovat merkkijonoja, jotka muodostuvat induktiivisesti. k 1
Tähän mennessä aakkoston rooli on jäänyt mallin käsitteessä hivenen irralliseksi seikaksi, sillä symboleita on käytetty lähinnä mallin rakenneosien (funktioiden, relaatioiden ja vakioiden) indeksoimiseen.
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
LisätiedotHuom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Avoin yliopisto Kesä 2017 Harjoitus 6, viimeinen harjoitus (15 tehtävää) Viimeinen palautuspäivä 21.6. Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot15. Laajennosten väliset homomorfismit
15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti
LisätiedotNäin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto
Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
LisätiedotMatriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.
Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k
Lisätiedota 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:
LisätiedotTehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2
Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty
LisätiedotEhrenfeucht-Fraïssé-pelistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Hanna Sulonen Ehrenfeucht-Fraïssé-pelistä Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka 2012 2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SULONEN, HANNA: Ehrenfeucht-Fraïssé-pelistä
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
LisätiedotLogiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.
TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedot