Tehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2"

Transkriptio

1 Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty eräs mahdollinen väritys neljällä värillä Kuvassa on merkitty katkoviivoilla kuusi eri särmää, jotka yhdessä virittävät neljän solmun täydellisen aliverkon. Kyseisen aliverkon värittäminen vaatii neljä eri väriä, jolloin Etelä-Amerikan karttaa ei voida värittää halutulla tavalla ilman jonkin neljännen värin käyttämistä. Näin ollen myöskään maailmankarttaa ei ole mahdollista värittää pelkästään kolmea väriä käyttäen. Tehtävä 0 : 2 Todistetaan eräs yleinen havainto äärellisen verkon väritysluvun ja astelukujen välisestä yhteydestä. Tuloksen muotoiluun on lisäksi yhdistetty kurssikirjassa ja luennoilla esitettyjä tuloksia. Lemma. Olkoon H mielivaltainen äärellinen verkko. Tällöin kirjoluku col(h) on vähintään luvun δ(h)+ suuruinen sekä korkeintaan luvun (H)+ suuruinen. Lisäksi ehto χ(h) col(h) toteutuu.

2 Todistus. Olkoon kirjoluvun määritelmän mukaisesti relaatio H jokin sellainen joukon V(H) lineaarijärjestys, että verkon H jokaisella solmulla x pätee ehto { y N H (x) : y< H x + col(h). Verkon H jokaisen solmun naapurustossa on korkeintaan (H) solmua, joten väite col(h) (H)+ toteutuu. Olkoon joukon V(H) alkio a lineaarijärjestyksen H suhteen suurin alkio. Tällöin havainnon δ(h) N H (a) { y N H (a) : y< H a nojalla myös väite δ(h) + col(h) on voimassa. Lisäksi tehtävän 4 yhteydessä esitetyllä menettelyllä voidaan lineaarijärjestyksen H avulla määritellä sellainen verkon H väritys, jolla on joukko{0,..., col(h) arvojoukkonaan. Näin ollen väite χ(h) col(h) toteutuu. Erona edellisen aputuloksen ja tehtävän 4 tilanteen välillä kannattaa huomata, että ahneen algoritmin toiminnan kannalta parhaat mahdolliset lineaarijärjestykset eivät välttämättä toteuta kirjoluvun määritelmän vaatimusta. Väritysluku voi olla aidosti kirjolukua pienempi. Tehtävässä kysytyksi ensimmäiseksi verkoksi voidaan valita esimerkiksi jokin äärellinen epätyhjä täydellinen verkko. Olkoon nimittäin G 0 epätyhjä täydellinen verkko sekä olkoon kokonaisluku n verkon G 0 solmujen määrä. Verkon G 0 kaikki solmut ovat toistensa naapureita, jolloin verkon G 0 jokainen väritys on injektio. Siten ehto χ(g 0 )=n on voimassa. Täydellisen verkon jokaisella solmulla on n naapuria, jolloin ehdot δ(g 0 )+ = n sekä (G 0 )+ = n toteutuvat. Edellisen aputuloksen perusteella myös väite col(g 0 )=n on siis voimassa. Olkoon G jokin ainakin kolme solmua sisältävä äärellinen puu. Verkossa G 0 ei ole syklejä, joten sen kaikki syklit ovat parillista pituutta. Tällöin kurssikirjan lauseen.6. nojalla verkko G on kaksijakoinen, jolloin väite χ(g )=2 pätee. Toisaalta kurssikirjan korollaarin.5.2 mukaisesti puun G kaikki solmut voidaan luetella järjestyksessä siten, että ensimmäistä solmua lukuun ottamatta jokaisella solmulla on täsmälleen yksi naapuri, joka edeltää kyseistä solmua luettelossa. Nyt 2

3 ehto col(g )=2 on siis voimassa. Lisäksi puussa G on vähintään kolme solmua, jolloin sen kaikki solmut eivät ole lehtiä. Siten väite (G )+ 3 pätee. Valitaan verkoksi G 2 jokin parillista pituutta oleva sykli. Suoraan kurssikirjan lauseen.6. nojalla verkko G 2 on kaksijakoinen, joten ehto χ(g 2 )=2 toteutuu. Verkon G 2 jokaisella solmulla on tasan kaksi naapuria, joten ehdot δ(g 0 )+=3 ja (G 0 )+=3 ovat voimassa. Siis myös väite col(g 2 )=3 toteutuu. Toisaalta tehtävän 3 ratkaisun lopussa esitetään eräs vaihtoehtoinen verkon G 2 valinta. Etsitään vielä jokin verkoksi G 3 kelpaava esimerkki. Olkoon aluksi C jokin parillista pituutta oleva sykli ja olkoon a sen jokin solmu. Valitaan jokin alkio b joukon V(C) ulkopuolelta. Olkoon G 3 tällöin verkko, jolla on joukko V(C) {b solmujoukkonaan ja joukko E(C) { {a, b särmäjoukkonaan. Verkko G 3 on nyt kaksijakoinen, joten väite χ(g 3 )=2 toteutuu. Ehto (G 3 )+=4 on voimassa, sillä solmulla a on kolme naapuria ja muilla solmuilla on enintään kaksi naapuria. Lisäksi tarkastelemalla joukon V(G 3 ) jotakin sellaista lineaarijärjestystä, jolla on solmu b suurimpana alkionaan, havaitaan väitteen col(g 3 ) 3 pätevän. Tällöin tiedosta δ(g 3 )+=3 seuraa ehdon col(g 3 )=3 olevan voimassa. Tehtävä 0 : 3 OlkoonA kaikkien niiden joukon N N parien (m, n) joukko, joilla on olemassa jokin äärellinen verkko G siten, että molemmat ehdoista χ(g)=m ja col(g)=n toteutuvat. Osoitetaan väitteen { (0, ) ( ) A (m, ) = 0,, { n N N : 2 m n olevan voimassa. Väite (0, 0) A pätee väritysluvun ja kirjoluvun määritelmien nojalla, sillä tyhjän verkon solmujoukolta on olemassa kuvaus tyhjälle joukolle ja jokaisella tyhjän solmujoukon alkiolla on väite 0 < 0 voimassa. Toisaalta jokaisen ehdon χ(g)=0 toteuttavan verkon G solmujoukolta on olemassa kuvaus tyhjälle joukolle, jolloin verkko G on tyhjä verkko ja väite col(g)=0 toteutuu. Käytetään kirjainta U verkon ( {0, ) merkitsemiseen. Joukolta V(U) ei ole olemassa kuvausta tyhjälle joukolle, mutta siltä on olemassa injektio jokaiselle 3

4 yhden alkion joukolle. Siten ehto χ(u)= on voimassa. Verkon U ainoan solmun naapurustossa ei ole yhtään solmua, jolloin havaintojen 0 0 ja 0< perusteella väite col(u)= pätee. Siten väite(, ) A toteutuu. Toisaalta jokaisella ehdon χ(g) = toteuttavalla verkolla G ovat ehdot V(G) ja E(G) = voimassa, jolloin verkon G jokaisen solmun naapurustona on tyhjä joukko, mistä edelleen seuraa väitteen col(g)= olevan voimassa. Olkoon luku m N jatkossa sellainen, että ehto m 2 on voimassa. Luentojen ja kurssikirjan nojalla jokaisella ehdon χ(g) = m toteuttavalla verkolla G on myös ehto col(g) m voimassa. Olkoon toisaalta ehdon n m toteuttava luku n N mielivaltainen. Muodostetaan seuraavaksi äärellinen verkko H siten, että väitteet χ(h) = m ja col(h) = n toteutuvat. Käytetään kirjainta M joukon {k Z + : k m 2 merkitsemiseen, jolloin tapauksessa m=2 myös väite M = on voimassa. Käytetään kirjainta R joukon {m,..., n lyhenteenä ja kirjainta S joukon {n,..., 2n m lyhenteenä. Tällöin joukoissa R ja S on kummassakin yhteensä n m+ alkiota. Olkoon H sellainen verkko, jonka solmujoukko on M R S ja jonka särmäjoukko on { {x, y [ M R S ] 2 : { x, y \ R { x, y \ S. Tällöin esimerkiksi joukko M {m, n virittää verkon H täydellisen aliverkon, jossa on yhteensä m solmua. Kyseisen aliverkon värittämiseen tarvitaan m väriä, jolloin myös ehto χ(h) m toteutuu. Toisaalta joukon S solmulla n pätee NH (n) = M R = (m 2)+(n m ) = n, jolloin erityisesti ehto δ(h) n on voimassa. Näin ollen tehtävän 2 yhteydessä esitetyn aputuloksen perusteella väite col(h) n pätee. Määritellään seuraavaksi kuvaus c: V(H) {,..., m siten, että jokaisella solmulla x V(H) on vaatimus x, jos x M c(x) = m, jos x R m, jos x S 4

5 voimassa. Tällöin kuvaus c on verkon H eräs väritys, jolloin väite χ(h) = m on osoitettu oikeaksi. Olkoon toisaalta relaatio joukon V(H) lineaarijärjestys, joka saadaan suoraan luonnollisten lukujen tavallisen järjestysrelaation rajoittumana. Nyt jokaisella solmulla a S pätee { y N H (a) : y<a = M R = n. Vuorostaan jokaisella joukon M R solmulla on lineaarijärjestyksen suhteen aidosti pienempiä naapureita enintään n 2 kappaletta. Väittämä col(h) = n siis toteutuu, jolloin väite(m, n) A on todistettu. Lukujen m ja n valinnan perusteella joukona kaikki eri alkiot on nyt määritetty. Kurssin harjoitusryhmän kokoontumisessa Tuomo Lempiäinen esitti tehtävän loppuosalle vaihtoehtoisen ja lyhyemmän ratkaisun. Olkoot luvut m N ja n N edelleen sellaisia, että ehdot m 2 ja n m ovat voimassa. Olkoon R sellainen kahdesta komponentista koostuva verkko, jonka yksi komponentti on isomorfinen verkon K m kanssa ja jonka toinen komponentti on vuorostaan isomorfinen verkon K 2,n kanssa. Verkko K 2,n on sellainen täydellinen kaksijakoinen verkko, että sen molemmissa jako-osissa on n solmua. Tällöin ehdot χ(k m ) = m sekä χ(k 2,n ) = 2 ovat voimassa, jolloin haluttu väite χ(r)=m toteutuu. Lisäksi ehdot δ(k 2,n )=n sekä (K 2,n )=n ovat voimassa, jolloin väite col(k 2,n )=n toteutuu. Tällöin tiedon col(k m )=m perusteella myös väite col(r)=n pätee. Tehtävä 0 : 4 Olkoon G epätyhjä äärellinen verkko ja olkoon c : V(G) {0,..., χ(g) sen jokin väritys. Tällainen väritys on olemassa luvun χ(g) määritelmän nojalla. Nimittäin jokaiselta χ(g) alkiota sisältävältä joukolta on olemassa jokin joukkoon {0,..., χ(g) vievä injektio. Verkko G on äärellinen, joten sen solmuista koostuvat joukot ovat äärellisiä. Olkoon jokaisella k {0,..., χ(g) kuvaus f k : c {k N jokin injektio. Määritellään kuvaus f : V(G) N niin, että jokaisella solmulla a V(G) on ehto 5

6 f(a)= f c (a)(a) voimassa. Olkoon seuraavaksi joukon V(G) relaatio sellainen, että jokaisella solmuparilla (x, y) V(G) 2 ehto ( ) x y c (x)<c (y) c (x)=c (y) f(x) f(y) on voimassa. Merkinnällä tarkoitetaan joukon N tavallista lineaarijärjestystä. Näytetään aluksi relaation olevan joukon V(G) lineaarijärjestys. Olkoon u jokin joukon V(G) alkio. Väitteet c (u) = c (u) ja f(u) f(u) toteutuvat suoraan. Olkoon solmu v V(G) mielivaltainen. Jos ehdot u v ja v u toteutuvat, niin väitteet c (u)=c (v) ja f(u)= f(v) ovat voimassa, jolloin kuvauksen f c (u) injektiivisyyden nojalla myös väite u=v pätee. Toisaalta alkiot u ja v ovat vertailtavissa relaation suhteen. Nimittäin tapauksessa c (u) c (v) toinen ehdoista c (u)<c (v) ja c (v)<c (u) on voimassa. Lisäksi tapauksessa c (u)=c (v) vähintään toinen ehdoista f(u) f(v) ja f(v) f(u) toteutuu. Olkoon seuraavaksi ehto u v voimassa ja olkoon solmu w V(G) sellainen, että väite v w toteutuu. Jos ehto c (u)<c (w) on voimassa, niin väite u w pätee suoraan. Oletetaan seuraavaksi ehdon c (u)=c (w) toteutuvan. Tällöin ehto c (u)=c (v) toteutuu, jolloin ehdot f(u) f(v) ja f(v) f(w) ovat voimassa. Siten väitteet f(u) f(w) sekä u w toteutuvat. Relaatio on osoitettu erääksi joukon V(G) lineaarijärjestykseksi. Olkoon nyt c: V(G) N tehtäväpaperissa määritelty relaatioon liittyvä kuvaus, jolla jokaisella joukon V(G) solmulla x vaatimus c(x) = min (N\ { c(y) : y N G (x) y< x ) toteutuu. Tällöin kuvaus c on verkon G väritys. Olkoot nimittäin verkon G solmut a ja b toistensa naapureita niin, että vertailtavuuden nojalla oletetaan ehdon a b olevan voimassa. Kuvaus c on verkon G väritys, joten ehto c (a) c (b) pätee. Siten väite a< b toteutuu, jolloin myös haluttu ehto c(a)<c(b) on voimassa. Todistetaan kuvauksen c kuvajoukon olevan joukon {0,..., χ(g) eräs osajoukko. Luvun χ(g) määritelmän mukaan joukko{0,..., χ(g) on tällöin täsmälleen sama joukko kuin kuvauksen c kuvajoukko. Jokaisella x V(G) on ehto c (x) {0,..., χ(g) voimassa. Riittää siis osoittaa, että jokaisella joukon V(G) solmulla x myös väite c(x) c (x) toteutuu. 6

7 Tehdään vastaoletus, että haluttu tilanne ei toteudu verkon G jokaisella solmulla. Olkoon tällöin joukon V(G) solmu r lineaarijärjestyksen suhteen pienin alkio, jolla väite c (r)<c(r) on voimassa. Olkoon s N G (r) jokin ehdon s< r toteuttava solmu. Nyt väite c(s) c (s) on voimassa. Kuvaus c on verkon G väritys, joten oletuksen s N G (r) perusteella ehto c (r) c (s) pätee. Oletuksen s < r mukaan väite c (s) < c (r) toteutuu, jolloin havainto c (s)+2 c(r) on näytetty oikeaksi. Saadaan tulos ( min N\ { c(y) : y N G (r) y< r ) + c(r), mikä on ristiriidassa kuvauksen c määritelmän kanssa. Siten verkon G jokaisella solmulla x on väite c(x) c (x) voimassa. Näin ollen joukko {0,..., χ(g) on halutusti värityksen c arvojoukko. Tehtävä 0 : 5 Olkoon luku n N\{0, jatkossa kiinnitetty. Merkitään kirjaimella A joukon {0,..., 2n kaikkien parillisten alkioiden kokoelmaa ja edelleen kirjaimella B joukon {0,..., 2n parittomien alkioiden kokoelmaa. Olkoon G nyt sellainen verkko, jonka solmujoukko on{0,..., 2n ja jonka särmäjoukko on { {a, b : ( a, b ) A B a+ b. Verkko G on tällöin äärellinen kaksijakoinen verkko. Lisäksi luonnollisten lukujen tavallisen suuruusjärjestyksen rajoittuma on joukon V(G) eräs lineaarijärjestys. Olkoon c: V(G) N tehtävän 4 mukainen joukon V(G) relaatioon liittyvä väritys. Tavoitteena on näyttää kuvauksen c kuvajoukossa olevan tasan n alkiota. Osoitetaan verkon G jokaisella solmulla x väitteen { c(y) : y N G (x) y<x = {i N : i< x/2 olevan voimassa. Verkon G solmuilla 0 ja kyseinen väite pätee, sillä niillä ei ole lineaarijärjestyksen suhteen aidosti edeltäviä naapureita. Olkoon seuraavaksi solmu r A sellainen, että solmut r ja r+ toteuttavat halutun väitteen. Suoraan 7

8 värityksen c määritelmän nojalla ehdot c(r)= r/2 sekä c(r+ )= (r+ )/2 ovat tällöin voimassa. Jos ehto r+ 2 A toteutuu, niin saadaan tulos { { c(y) : y N G (r+ 2) y<r+ 2 = i N : i< r/2 (r+ { )/2. Siten solmulla r+ 2 on haluttu ehto voimassa. Vastaavasti huomataan, että ehdon r+ 2 A toteutuessa myös joukon B alkio r+ 3 toteuttaa halutun ehdon. Haluttu väite on induktioperiaatteen nojalla voimassa joukon V(G) jokaisella solmulla. Saman todistuksen perusteella havaitaan solmua 2n tarkastelemalla, että kuvauksen c arvojoukossa on täsmälleen n erilaista arvoa. Tehtävä 0 : 6 Käsitellään tehtävänannon väite suoraan myös hieman yleisemmässä tapauksessa, mutta tehdään edelleen eräitä yksinkertaistavia oletuksia. Olkoon G jokin epätyhjä verkko, jolla on numeroituva määrä lohkoja ja jolla ehto χ(g) N on voimassa. Todistetaan, että verkon G väritysluku saadaan verkon G lohkojen värityslukujen pienimpänä ylärajana. Jatkossa jokaisella osajoukolla A N ja jokaisella osajoukolla B N sanotaan joukon A olevan joukon B alkuosa, jos jokaisella joukon A alkiolla x on väittämä {y N : y x A B voimassa. Erityisesti jokaiselta numeroituvalta joukolta on olemassa bijektio täsmälleen yhdelle joukon N alkuosalle. Olkoon nyt joukonnalkuosa S G sellainen, että kuvaus c G : V(G) S G on eräs verkon G väritys ja että ehto S G = χ(g) toteutuu. Tällöin verkon G jokaisella lohkolla B kuvauksen c G rajoittuma joukkoon V(B) on lohkon B väritys, jolloin väite χ(b) χ(g) toteutuu. Olkoon jatkossa S + joukonnpienin alkuosa, jolla on jokaisella verkon G lohkolla olemassa jokin sellainen väritys, jonka arvojoukko on joukon S + alkuosa. Edellinen päättely osoittaa ehdon S + S G pätevän. Oletuksen nojalla on olemassa jokin surjektio f joukolta N verkon G kaikkien lohkojen joukolle. Toisaalta kurssin aikana on osoitettu, että jokaisen yhtenäisen verkon lohkoverkko on puu. Tulos on voimassa myös äärettömillä verkoilla, joten verkon G lohkoverkko on metsä. Muodostetaan nyt lohkoverkon syklittömyyden avulla kuvauksesta f eräs toinen verkon G lohkojen numerointi. 8

9 Voidaan määritellä kuvaus g joukoltanverkon G lohkojen joukolle siten, että jokaisella luvulla k N arvoksi g(k) asetetaan kuvauksen f saama arvo joukonn pienimmässä mahdollisessa alkiossa l siten, että jos joukko{g(i) : i N i<k ei sisällä verkon G kaikkia lohkoja, niin lohko f(l) on eri komponentissa kuin yksikään kyseisen joukon lohkoista tai sillä on täsmälleen yksi sellainen solmu, joka on mukana jossakin kyseisen joukon lohkossa. Jos verkolla G on äärellinen määrä lohkoja, niin lohko f(0) on kuvauksen g arvona äärettömän monesti. Kuvauksen g osalta verkon G jokaisen komponentin lohkoverkossa edetään järjestyksessä siten, että joukon N alkuosia vastaavien kuvajoukkojen yhdisteenä olevat verkot rajoitettuna kulloinkin tarkasteltavaan komponenttiin muodostavat kasvavan jonon yhtenäisiä aliverkkoja. Verkon G jokainen lohko on myös mukana kuvauksen g arvojoukossa. Jos nimittäin B on jokin lohko, niin on olemassa pienin luku m N siten, että lohko f(m) on lohkon B kanssa samassa komponentissa, jolloin lohkoja B ja f(m) vastaavien lohkoverkon solmujen välillä on olemassa äärellinen polku. Tällaisella polulla sijaitsevat lohkot numeroituvat suoraan polun etenemisjärjestyksen mukaisesti. Peräkkäisillä lohkoilla on yksi yhteinen solmu. Määritellään vaiheittain kuvausta g hyödyntäen kuvaus c joukolta N eräiden verkon G aliverkkojen värityksille. Olkoon c (0) jokin lohkon g(0) väritys, jonka arvojoukko S 0 on kooltaan pienin mahdollinen väritysehdon toteuttava joukon S + alkuosa. Erityisesti ehto S 0 S + pätee. Olkoon seuraavaksi luku k N sellainen, että väritys c (k) on jo määritelty ja että c (k) on joukon{g(i) : i N i k lohkojen yhdisteenä olevan aliverkon sellainen väritys, että sen arvojoukko S k on joukon S + alkuosa. Ehto S k S + siis toteutuu. Määritellään kuvaus c (k+ ) tapauksittain. Jos ehto g(k+)=g(0) toteutuu, niin valitaan ehdon c (k+)=c (k) olevan voimassa. Olkoon muutoin c eräs lohkon g(k+) väritys, jonka arvojoukko S on kooltaan pienin kyseiseen väritykseen riittävä joukon S + alkuosa. Jos kuvausten c (k) ja c joukko-opillinen yhdiste on joukon{g(i) : i N i k+ lohkojen yhdisteen väritys, niin valitaan arvoksi c (k+ ) kyseinen väritys. Muutoin on olemassa lohkon g(k+) solmu x siten, että solmu x sisältyy myös värityksen c (k) määrittelyjoukkoon ja että värityksen c (k) solmulle x antamalla 9

10 värillä s on ehto s c (x) voimassa. Lohkon B ohella solmu x on tällöin myös jonkin toisen lohkon solmu. Olkoon nyt kuvaus q: S {s S {s sellainen, että se vaihtaa alkiot s ja c (x) keskenään ja pitää muut alkiot paikallaan. Tällöin kuvaus q c on lohkon g(k+ ) väritys riippumatta ehdon s S toteutumisesta ja sen arvojoukko on joukon S + alkuosa. Jos ehto s / S nimittäin toteutuu, niin alkio s on kuitenkin joukon S k alkio. Kuvausten c (k) ja q c yhdisteenä saadaan joukon{g(i) : i N i k+ sisältämien lohkojen yhdisteenä olevan verkon väritys. Kyseisen verkon jokaisen särmän molemmat päätepisteet sisältyvät kuvauksista c (k) ja q c täsmälleen toisen määrittelyjoukkoon. Kuvaukset antavat määrittelyjoukkojensa leikkauksen muodostavalle alkiolle x lisäksi saman värin. Edellisen rekursiivisen määrittelyn perusteella jokaisella luvulla k N pätee, että väritys c (k) on värityksen c (k+) eräs rajoittuma ja että kuvauksen c (k) arvojoukko on joukon S + alkuosa. Toisaalta verkon G jokainen solmu sisältyy johonkin lohkoon sekä siten myös kokoelman {c (k) : k N jonkin kuvauksen määrittelyjoukkoon. Lisäksi jokainen verkon G solmupari sisältyy jonkin kyseisen kokoelman värityksen määrittelyjoukkoon. Siten kuvaus c (k) k N on verkon G väritys, jonka arvojoukko on joukon S + alkuosa. Tällöin väritysluvun määritelmän perusteella ehto S + χ(g) on voimassa. Nyt väitteet S + S G ja S G S + toteutuvat, joten alkuosan määritelmästä seuraa ehdon S G = S + olevan voimassa. Lisäksi joukko S + on joukon N pienin alkuosa, joka sisältää verkon G jokaisen lohkon jonkin värityksen arvojoukon. Siten joukon S + koko on lohkojen värityslukujen pienin yläraja. Haluttu tulos on siis osoitettu oikeaksi. Jos verkossa G on vain äärellinen määrä lohkoja, niin todistuksessa voidaan käyttää induktiota verkon lohkojen lukumäärän suhteen. Induktioaskeleessa riittää tällöin tarkastella jotakin sellaista lohkoa, jolla on lohkoverkossa korkeintaan yksi naapuri. Toisaalta myös rajoitukset verkon lohkojen määrästä sekä värityslukujen numeroituvuudesta voidaan poistaa valinta-aksioomaa käyttäen. 0

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2

Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2 Tehtävä 5 : 1 Merkitään kirjaimella H kuvan punaisten solmujen virittämää verkon G yhtenäistä aliverkkoa, jossa on yhteensä kolme särmää. Aliverkosta H voidaan kahdella tavalla valita kahden solmun joukko

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Miten osoitetaan joukot samoiksi?

Miten osoitetaan joukot samoiksi? Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.

Lisätiedot

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 166 Luku 4 Erilaisia graafeja 4.1 Eulerin graafi 4.2 Hamiltonin graafi 4.3 Tasograafi 4.4 Graafin värittäminen

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta

Luonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta Solmu 1/2019 19 Luonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta Tuomas Korppi Johdanto Kuten lukija varmaan tietääkin, luonnollisille luvuille voidaan tehdä induktiotodistuksia. Tämä mahdollisuus on ominainen

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6) Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10

Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut / vko 0 Tuntitehtävät - lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät - loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät - tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },

Lisätiedot

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenna Laine. Ramseyn teoria

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenna Laine. Ramseyn teoria TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jenna Laine Ramseyn teoria Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta LAINE, JENNA: Ramseyn teoria Pro

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Puiden karakterisointi

Puiden karakterisointi Puiden karakterisointi LuK-tutkielma Airta Ella 2502661 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Johdatus verkkoteoriaan 3 1.1 Verkko käsitteenä.........................

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.

14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo. 14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

T Kevät 2003 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Laskuharjoitus 11 Ratkaisut

T Kevät 2003 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Laskuharjoitus 11 Ratkaisut T-79.146 Kevät 2003 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : a P P f Q, R Q e P a) M, a = A(P UQ), sillä (esim.) (a,,,,,...) on tilasta a alkava täysi polku, joka

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ma Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ma Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ma 26.2.2018 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman

Lisätiedot

Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3]

Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3] Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3] Yhteydettömille kielille pätee samantapainen pumppauslemma kuin säännöllisille kielille. Siinä kuitenkin pumpataan kahta osamerkkijonoa samaan tahtiin. Lause 2.25

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2 Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen

Lisätiedot