811120P Diskreetit rakenteet

Transkriptio

1 811120P Diskreetit rakenteet Kertausta toiseen välikokeeseen Yhteenveto

2 Kurssin sisältö 1. Algoritmin käsite 2. Lukujärjestelmät ja niiden muunnokset; lukujen esittäminen tietokoneessa 3. Logiikka (propositiokalkyyli, predikaattikalkyylin alkeet) 4. Joukot relaatiot ja funktiot 5. Rekursio ja induktio 6. Alkeislukuteoria (jaollisuus ja siihen liittyvät algoritmit) 7. Kombinatoriikka (lukumäärien laskeminen) Toisen välikokeen alue Predikaattilogiikka - Alkeislukuteoria P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2

3 3.2 Predikaattilogiikka Ymmärrettävä predikaatin käsite Ymmärrettävä kvanttorit ja. Osattava mallintaa annettuja väitteitä predikaattilogiikan käsittein Kaikki koneinsinöörit ovat miehiä : x K(x)->M(x), kun K ja M ovat predikaatit K(x): x on koneinsinööri M(x): x on mies T(x,y): x on töissä yrityksessä y. Muotoile propositio Kaikki koneinsinöörit ovat töissä jossakin yrityksessä : x y K(x)->T(x,y) P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 3

4 4.1. Joukot Joukon esittäminen luettelumuodossa ja loogista predikaattia käyttäen Alkion kuuluminen joukkoon Joukon osajoukko Unioni, leikkaus ja komplementti Tehtävä. Olkoon perusjoukko E = {1,2,3,,10} ja A={2,4,6,8,10} sekä B={1,5,6,7,8}. Määrää joukot a) A B b) A B c P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 4

5 4.2. Relaatiot Binäärisen relaation käsite Ekvivalenssirelaatio (osattava päätellä, onko annettu relaatio ekvivalenssi) Refleksiivinen Symmetrinen Transitiivinen Tehtävä. Olkoon relaatio S kokonaislukujen joukossa S = {(x,y) x+y jaollinen 2:lla} Onko S ekvivalenssi? Jos on, niin mitkä ovat sen ekvivalenssiluokat? P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 5

6 4.3. Funktiot Funktion käsite Lähtöjoukko, maalijoukko, kuvajoukko Surjektio, injektio ja bijektio Osattava selvittää annetusta funktiosta sen surjektiivisuus ja injektiivisyys Yhdistetty funktio ja käänteisfunktio Tehtävä. Osoita, että funktio f : IR IR, f(x) = 2x+5 on bijektio ja etsi sen käänteisfunktio P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 6

7 5. Rekursio ja induktio Rekursiiviset lukujonot Osattava tulkita rekursiivinen määritelmä Induktio Idea Osattava todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä induktiolla, esimerkiksi annetun rekursiivisen lukujonon yleinen termi Tehtävä. Lukujono (a n ) määritellään yhtälöillä a 1 = 1; a n+1 = 3 a n + 4 (n IN + ). Osoita, että a n =3 n P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 7

8 6. Alkeislukuteoria Jaollisuuden perusominaisuudet Eukleideen algoritmin soveltaminen Myös laajennetun version Jäännösluokilla laskeminen Kongruenssiyhtälön ratkaiseminen Tehtävä. Laske syt(57,45) ja esitä se muodossa x 57 + y 45. Onko yhtälöllä 57x + 45y = 14 kokonaislukuratkaisuja? Jos on, niin etsi yksi ratkaisu P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 8

9 Kurssin suorittamisesta Syksyllä 2018 kurssin aikana 2 välikoetta Välikokeiden maksimipistemäärä yhteensä 48 pistettä -> saatava yhteensä harjoituksista saatavien bonuspisteiden (max. 6p) kanssa 24 pistettä jotta pääsee läpi Välikokeiden jälkeen suoritustapa tentti Tentissä 5 tehtävää, maksimipistemäärä 30 -> saatava 15 pistettä jotta pääsee läpi Tentit yliopiston yleisinä tenttipäivinä Seuraavat tentit ja P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 9

10 Palaute Muista antaa palautetta osoitteessa Tällä luennolla voi myös antaa suullista palautetta #!? P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 10