Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto"

Transkriptio

1 Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen etäisyyden arvona on täsmälleen siinä tapauksessa, kun tarkasteltavat solmut ovat verkon G eri komponenteissa. Jos verkko G on epäyhtenäinen, voidaan suoraan tulkita ehtojen rad(g) = ja diam(g) = olevan voimassa. Tällöin kysytty epäyhtälö toteutuu. Täten voidaan jatkossa olettaa verkon G olevan yhtenäinen. Olkoon a jokin verkon G keskinen solmu eli sellainen solmu, että arvo sup d G (a,x) : x V(G) N on pienin mahdollinen. Tällöin ehto rad(g)=sup d G (a,x) : x V(G) toteutuu. Toisaalta on diam(g)=sup d G (x,y) :(x,y) V(G) 2 sekä pätee d G (a,x) : x V(G) d G (x,y) :(x,y) V(G) 2. Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto d G (x,y) d G (x,a)+d G (a,y) 2rad(G). Jäljellä olevan epäyhtälön diam(g) 2rad(G) huomataan olevan tosi supremumin määritelmän perusteella. Todistuksessa ei olennaisesti tarvittu verkkojen erityispiirteitä. Havaittu tulos voidaan suoraviivaisesti laajentaa myös yleisiin metrisiin avaruuksiin. Äärellisten ja yhtenäisten verkkojen tapaus vastaa tällöin rajoitetun metriikan tilannetta. Tehtävä 3 : 2 Olkoon G verkko, jossa on vähintään kaksi solmua. Verkon G mahtavuudelle ei aseteta ylärajaa, joten tarkastelussa käytetään kardinaalilukuja yleisenä joukkojen mahtavuuden mittana. Jos verkko G on äärellinen, voidaan tarkastelussa rajoittua käyttämään luonnollisia lukuja. 1

2 Osoitetaan aluksi epäyhtälön κ(g) λ(g) olevan voimassa. Olkoon k jokin sellainen kardinaali, jolla verkko G on k-solmuyhtenäinen. Osoitetaan nyt väitteen k λ(g) olevan tosi. Tehdään vastaoletus, että l on sellainen kardinaali, jolla pätee l < k ja jolla verkko G ei ole l-särmäyhtenäinen. Särmäyhtenäisyyden määritelmän nojalla on olemassa joukko F E(G) siten, että pätee F <l ja että verkko G F ei ole yhtenäinen. Väittämä F 1toteutuu, sillä muutoin vähintään kaksi solmua sisältävä verkko G olisi epäyhtenäinen ja toisaalta l-yhtenäisyyden nojalla myös yhtenäinen. Olkoon edelleen A kaikkien niiden joukkoon F kuuluvien särmien kokoelma, joiden molemmat päätepisteet ovat verkon G F samassa yhtenäisessä komponentissa. Käsitellään ensin tilanne, jossa jollakin verkon G solmulla a on väittämä a / e voimassa joukon F \ A jokaisella särmällä e. Olkoon C a se verkon G (F \ A) yhtenäinen komponentti, johon solmu a kuuluu. Merkitään kirjaimella K joukkoa x V(C a ) :x,y F jollakin y V(G)\V(C a ). Tällöin ehto K F < k toteutuu. Toisaalta verkko G K on epäyhtenäinen. Muutoin olisi nimittäin olemassa sellaiset solmut x V(C a ) ja y V(G)\V(C a ), joilla väite x, y E(G)\ F toteutuisi. Tämä tilanne olisi kuitenkin ristiriidassa epäyhtenäisen verkon G (F\ A) komponentin C a valinnan kanssa. Verkko G ei vastoin oletusta ole k-solmuyhtenäinen. Täten väitteen k λ(g) on oltava tosi. Jatkossa voidaan olettaa, että verkon G jokainen solmu on jonkin joukon F\A särmän päätepiste. Olkoon verkon G solmu b mielivaltainen ja olkoon C b verkon G (F\ A) yhtenäinen komponentti, johon solmu b kuuluu. Olkoon solmu x V(G) sellainen, että ehto b,x E(G) toteutuu. Jos on b,x / F, niin jollakin solmulla y V(G)\V(C b ) pätee ehto x,y (F \ A). Toisin sanoen solmun b jokaista naapurisolmua kohti on jokin sellainen joukon F särmä, joka ei liity mihinkään toiseen solmun b naapurisolmuun. Tällöin pätee deg G (b) F eli solmun b naapuruston N G (b) mahtavuus on vähemmän kuin k. Toisaalta verkko G N G (b) ei ole yhtenäinen, sillä b on sen eristetty solmu. Vastoin oletusta verkko G ei siis ole k-solmuyhtenäinen. Väitteen k λ(g) on osoitettu olevan voimassa kaikissa tapauksissa. Lisäksi supremumin määritelmän nojalla myös väite κ(g) λ(g) pätee. 2

3 Osoitetaan vielä epäyhtälön λ(g) δ(g) olevan voimassa. Olkoon l sellainen kardinaali, että verkko G on l-särmäyhtenäinen. Näytetään ehdon l δ(g) olevan tosi. Tehdään vastaoletus, että verkon G jollakin solmulla a pätee deg G (a) < l. Olkoon F kaikkien solmusta a lähtevien särmien joukko. Tällöin verkko G F on epäyhtenäinen, sillä solmu a on sen erakkosolmu. Toisaalta on F < l, joten vastoin oletusta verkko G ei ole l-särmäyhtenäinen. Saadun ristiriidan perusteella on oltava l δ(g). Näin ollen saadaan λ(g) δ(g) eli haluttu lopputulos. Tehtävä 3 : 3 Osoitetaan, että jokaisella k Z + ja n N on olemassa sellainen verkko, jonka minimiaste on vähintään n ja joka ei kuitenkaan ole k-solmuyhtenäinen. Olkoon luku n N kiinnitetty. Muodostetaan verkko G valitsemalla solmujoukoksi joukko sekä särmäjoukoksi joukko (x,k) : x V(K n+1 ) k 0,1 (x,k),(y,k) :x,y E(Kn+1 ) k 0,1. Toisin sanoen verkko G koostuu kahdesta erillisestä yhtenäisestä komponentista, jotka molemmat ovat isomorfisia täydellisen verkon K n+1 kanssa. Tällöin toisaalta jokaisesta verkon G solmusta on särmä jokaiseen muuhun saman komponentin solmuun, joita on tasan n kappaletta. Siis ehto δ(g) = n toteutuu. Verkko G ei kuitenkaan ole yhtenäinen, joten se ei voi olla k-yhtenäinen millään k Z +. Olkoon joukko A N ja kuvaus f : A N sellaisia, että jokaisella k Apätee, että jos verkko G on äärellinen ja sen minimiaste on vähintään f(k), niin verkko G on k-solmuyhtenäinen. Edellä osoitetun perusteella on oltava A 0, joten tehtävässä kysyttyä ehdon A=N toteuttavaa kuvausta ei ole olemassa. Ylimääräisenä tuloksena havaitaan tapauksen A = 0 olevan mahdollinen. Olkoon nimittäin G sellainen verkko, että ehto δ(g) 1 toteutuu. Tällöin verkko G ei ole tyhjä, sillä siinä on vähintään yksi särmä. Verkko G on siten 0-yhtenäinen. 3

4 Tehtävä 3 : 4 Olkoon aluksi T mielivaltainen äärellinen puu. Jos on (T)=0, niin puussa T on yhtenäisyyden nojalla korkeintaan yksi solmu eikä siis yhtään lehteä. Määritelmän mukaan puun T lehtiä ovat nimittäin tasan ne solmut x T, joilla ehto deg T (x)=1 toteutuu. Jatkossa voidaan siis olettaa ehdon (T) 1olevan voimassa. Olkoon alkio a jokin ehdon deg T (a)= (T) toteuttava puun T solmu. Olkoon edelleen joukkox 1,..., x (T) solmun a kaikkien naapurisolmujen joukko ilman toistoja lueteltuna. Jokaisella k 1,..., (T) olkoon P k pisin puun T polku, jonka päätepisteinä ovat x k sekä jokin solmu y k ja jolla särmä a,x k ei esiinny. Osoitetaan nyt, että joukkoy 1,..., y (T) sisältää (T) kappaletta puun T lehtiä. Olkoon indeksi k 1,..., (T) kiinnitetty. Tällöin solmu y k on puun T lehti. Siihen nimittäin tulee särmä joko solmusta a tai polkua P k pitkin, joten ehto deg T (y k ) 1 on tosi. Toisaalta solmun y k aste ei voi olla tätä suurempi. Polku P k on pisin mahdollinen, joten ehdosta deg T (y k ) 2 seuraisi, että solmusta y k olisi särmä johonkin toiseen polulla P k jo olevaan solmuun. Tässä tapauksessa saataisiin ristiriitaisesti muodostettua puun T sykli. Solmu y k on siis lehti. Perustellaan vielä, että joukon y 1,..., y (T) solmut ovat kaikki eri alkioita. Oletetaan vastaoletuksena joukon 1,..., (T) lukujen i ja j olevan sellaisia, että ehdot i j ja y i = y j pätevät. Tällöin puussa T on jokin sellainen polku P solmujen x i ja x j välillä, joka ei kulje solmun a kautta. Polku P ei voi olla tyhjä, sillä x i ja x j ovat eri alkioita. Kulkemalla polkua P pitkin sekä särmiä x i,a ja a,x j käyttäen saadaan jälleen ristiriitaisesti puun T sykli. Näin ollen on saatu perusteltua, kuinka puussa T on vähintään (T) lehteä. Osoitetaan vielä, ettei vastaava tulos kuitenkaan päde, mikäli tarkasteltavassa puussa on vähintään numeroituvasti ääretön määrä solmuja. Olkoon H sellainen verkko, jonka pistejoukko on Z ja jonka särmäjoukko on m,m+1 : m Z. Tällöin verkko H on sekä syklitön että yhtenäinen ja siten puu. Sen jokaisella solmulla x pätee deg H (x)=2, joten yksikään solmuista ei ole lehti. Toisaalta myös ehto (T) = 2 0 toteutuu. Verkkoon voidaan lisätä äärettömiä haaroja, jolloin maksimiastetta voidaan edelleen kasvattaa lisäämättä yhtään lehteä. 4

5 Tehtävä 3 : 5 Käsitellään aluksi ennen varsinaisen väitteen tutkimista eräs tehtävän varsinaista ratkaisua selkeyttävä lyhyt aputulos. Lemma. Olkoon H puu ja olkoon x 0,y 0,z 0 V(H) mielivaltainen. Olkoon P x solmujen x 0 ja y 0 välinen polku, P y solmujen y 0 ja z 0 välinen polku ja P z solmujen z 0 ja x 0 välinen polku. Tällöin ehto V(P x ) V(P y ) V(P z ) toteutuu. Todistus. Oletetaan vastaoletuksena ehdon V(P x ) V(P y ) V(P z )= toteutuvan. Tällöin erityisesti solmut x 0 ja y 0 sekä z 0 ovat kaikki eri alkioita. Olkoot joukon V(H) sisältämät osajoukot x 0,..., x k ja y 0,..., z l sekä z 0,..., z m ilman toistoja lueteltuja sekä sellaisia, että pätee P x =( x0,..., x k, x0,x 1,...,x k 1,x k ), P y =( y0,..., y l, y0,y 1,...,y l 1,y l ) sekä P z =( z0,..., z m, z0,z 1,...,z m 1,z m ). Olkoon seuraavaksi r joukon i 0,..., k : x i V(P y ) pienin alkio, s joukon i 0,..., l : y i V(P z ) pienin alkio ja t joukoni 0,..., m : z i V(P x ) pienin alkio. Nämä luvut ovat positiivisia. Lisäksi jollakin u 1,..., k pätee x u = z t, jollakin v 1,..., l on y v = x r ja edelleen jollakin w 1,..., m pätee z w = y s. Olkoon C verkko, jonka solmujoukkona on x u,..., x r 1,y v,..., y s 1,z w,..., z t 1 ja jonka särmäjoukko saadaan edellisestä esityksestä ottamalla mukaan luettelon kaikkien peräkkäisten jäsenten muodostamat särmät ja lopuksi särmä z t 1,x u. Tällöin verkko C on vastoin oletusta puun H sykli. Saatu ristiriita osoittaa halutun väitteen olevan voimassa. Olkoon puu T mielivaltainen. Kokoelman T kuitenkin oletetaan lisäksi olevan äärellinen ja epätyhjä. Tyhjän kokoelman tapauksessa yhteistä leikkauspistettä ei tunnetusti löydy. Tehtävän väite ei myöskään päde, jos kokoelma T on ääretön. Tämä todistetaan eräässä neljännen harjoituskerran tehtävässä. 5

6 Osoitetaan induktiolla kokoelman D koon suhteen, että jos puun T alipuiden epätyhjä kokoelma D on sellainen, että sen jäsenet leikkaavat pareittain toisiaan, niin kokoelman D puilla on yhteinen solmu. Väite toteutuu suoraan, jos tällaisessa kokoelmassa on vain yksi jäsen. Oletetaan induktio-oletuksena, että luku n Z + on sellainen, että jokaisella puun T alipuiden epätyhjällä kokoelmalla, jonka koko on n ja johon kuuluvat puut leikkaavat pareittain toisiaan, on kokoelman kaikille puille yhteinen solmu. Olkoon puun T alipuiden kokoelma D sellainen, jonka koko on n+1 ja jonka jäsenet leikkaavat pareittain toisiaan. Näytetään, kuinka kokoelmasta D voidaan tuottaa sellainen uusi kokoelma, joka täyttää induktio-oletuksen ehdot. Olkoot A ja B kokoelmand kaksi eri jäsentä ja olkoon x niiden jokin yhteinen solmu. Käytetään merkintää A B siitä epätyhjästä verkosta, joka on solmujoukon V(A) V(B) virittämä puun T aliverkko ja jopa alipuu. Jokainen puun T aliverkko on nimittäin syklitön. Olkoot toisaalta v ja w jotkin joukon V(A) V(B) solmut. Jos ne molemmat ovat puussa A tai puussa B, niin niiden välillä on polku puiden A ja B yhtenäisyyden nojalla. Muussa tapauksessa solmuista v ja w molemmista on polku solmuun x. Näiden polkujen ensimmäisen yhteisen solmun kautta saadaan edelleen polku solmujen v ja w välille. Täten verkko A B on puu. Oletuksen nojalla kahdella kokoelman D\A, B jäsenellä on vähintään yksi yhteinen solmu. Olkoon toisaalta C D\A, B mielivaltainen. Osoitetaan, että myös puut C ja A B leikkaavat keskenään. Kokoelmasta D tehdyn oletuksen perusteella on olemassa solmu y V(A) V(C) ja solmu z V(B) V(C). Puiden yhtenäisyydestä seuraa, että on olemassa puun A polku P A solmujen x ja y välillä, puun B polku P B solmujen z ja x välillä sekä vastaavasti puun C polku P C solmujen y ja z välillä. Aputuloksen nojalla ehto V(P A ) V(P B ) V(P C ) toteutuu, sillä tarkastellut polut ovat puun T polkuja. Tällöin saadaan V(A) V(B) V(C). Kokoelman(D\A, B) (A B) jäsenet leikkaavat pareittain toisiaan ja sen koko on n. Induktio-oletuksen nojalla kyseisen kokoelman puilla on ainakin yksi yhteinen solmu. Induktioperiaatteen nojalla väite pätee jokaisella vaaditut ehdot toteuttavalla kokoelmallad. Erityisesti kokoelmant puilla on yhteinen solmu. 6

7 Tehtävä 3 : 6 Osoitetaan suoraan tehtävän väitettä vahvempi tulos, että jokaisessa epätyhjässä äärellisessä puussa T on sellainen solmu tai särmä, joka pysyy paikallaan puun T jokaisessa automorfismissa eli isomorfismissa puulta T itselleen. Esitetään tälle tulokselle kaksi eri todistusta, jotka palautuvat samaan ajatukseen eräästä puun osajoukosta. Luonnollisesti on oletettava tarkasteltavan puun olevan epätyhjä. Todistetaan väite ensin induktiolla puun koon suhteen. Olkoon nyt T epätyhjä äärellinen puu, jossa on korkeintaan kaksi solmua. Jos on V(T) =x, niin puun T ainoa automorfismi(x,x) pitää solmun x paikallaan. Jos taas on V(T)=x,y ja x y, niin puun T ainoat automorfismit (x,x),(y,y) ja (x,y),(y,x) pitävät särmän x, y paikallaan. Jälkimmäisessä tapauksessa särmä x, y on olemassa puun T yhtenäisyyden nojalla. Oletetaan induktio-oletuksena luvun n 2,3,4,... olevan sellainen, että jokaisessa epätyhjässä äärellisessä puussa, jossa on korkeintaan n solmua, pysyy jokin solmu tai särmä paikallaan jokaisessa automorfismissa. Olkoon T sellainen puu, jossa on tasan n + 1 solmua. Merkitään kirjaimella L puun T lehtien joukkoa ja osoitetaan, että väite voidaan palauttaa induktio-oletukseen poistamalla puusta T joukon L kaikki solmut. Perustellaan väitteen L V(T) olevan tosi. Puun T jokaisella solmulla x pätee deg T (x) 1, sillä puussa T on vähintään kaksi solmua ja se on yhtenäinen. Jos puun T jokaisella solmulla x olisi deg T (x) 2, niin kurssikirjan lauseen perusteella puussa T olisi ristiriitaisesti sykli. Täten väite L toteutuu. Jos toisaalta olisi L = V(T), niin puun T jokaisesta solmusta lähtisi tasan yksi särmä, jolloin havainnosta V(T) = deg T (x)=2 E(T) =2 V(T) 2 x V(T) saataisiin V(T) = 2, mikä olisi ristiiradassa oletuksen V(T) 3 kanssa. Olkoon nyt H joukon V(T)\ L virittämä puun T aliverkko, jolloin H on puun T aliverkkona syklitön. Olkoot toisaalta x ja y verkon H solmuja. Niiden välillä on jokin polku P puussa T. Tällöin polku P on myös verkon H polku. Nimittäin 7

8 polun P jokaisella solmulla z, jolla ehto z / x,y toteutuu, pätee deg T (z) 2 ja siis myös z / L. Näin ollen verkko H on epätyhjä äärellinen puu. Olkoon f puun T mielivaltainen automorfismi. Ensimmäisen harjoituskerran tehtävän 1 ratkaisuehdotuksen yhteydessä esitetyn päättelyn perusteella jokaisella solmulla x V(T) on solmuilla x ja f(x) keskenään sama aste. Täten kuvauksen f rajoittuma joukkoon L on injektio joukolle L. Joukko L on äärellinen, joten kyseinen rajoittuma on itse asiassa bijektio. Kuvauksen f rajoittuma joukkoon V(T)\L on siten myös joukon V(T)\L bijektio. Osoitetaan seuraavaksi, että kuvauksen f rajoittuma joukkoon V(T)\ L on puun H automorfismi. Joukon V(T)\L kaikilla alkioilla x ja y pätee x,y E(H) x,y E(T) f(x), f(y) E(T) f(x), f(y) E(H) f (V(T)\L) (x), f (V(T)\L) (y) E(H), sillä f on puun T automorfismi. Siten kuvauksen f rajoittuma joukkoon V(T)\ L on puun H automorfismi. Toisaalta puu H on epätyhjä ja siinä on korkeintaan n solmua. Nyt induktio-oletuksen nojalla puussa H on jokin solmu tai särmä, jonka jokainen verkon H automorfismi pitää paikallaan. Erityisesti siis myös kuvaus f rajoittumansa kautta pitää kyseisen solmun tai särmän paikallaan. Näin ollen jokainen puun T automorfismi pitää tämän solmun tai särmän paikallaan. Induktioaskeleen on osoitettu onnistuvan. Yleisen induktioperiaatteen nojalla haluttu väite pätee tällöin jokaisella epätyhjällä äärellisellä puulla. Todistuksesta voidaan huomata, kuinka eräs puun automorfismeissa paikallaan pysyvä solmu tai särmä vaikuttaisi tietyssä mielessä sijaitsevan kyseisen puun keskellä. Erilaisia paikallaan pysyviä solmuja ja särmiä voi löytyä muualtakin. Äärettömien verkkojen tapauksessa tehtävän väite ei kuitenkaan päde. Olkoon G se verkko, jonka solmujoukkona onzja särmäjoukkona m,m+1 : m Z, jolloin verkko G on puu. Lisäksi voidaan määritellä bijektio f : Z Z asettamalla f(m)=m+1 jokaisella m Z. Verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee x,y E(G) x y =1 f(x) f(y) =1 f(x), f(y) E(G), 8

9 joten kuvaus f on puun G automorfismi. Jokaisella alkiolla m Z kuitenkin pätee m f(m) sekäm,m+1 f(m), f(m+1), joten yksikään verkon G solmuista tai särmistä ei pysy automorfismissa f paikallaan. Näin ollen tehtävän väite ei päde yleisessä tapauksessa edes numeroituvasti äärettömissä puissa. Todistetaan tehtävän väite seuraavaksi myös eräällä vaihtoehtoisella tavalla, jonka Topi Talvitie esitti harjoitusryhmän kokoontumisessa. Kyseisessä todistuksessa annetaan suoraan määritelmä eräälle osajoukolle, joka säilyy automorfismeissa. Käsitellään aluksi eräs aputulos. Lemma. Olkoot G ja H yhtenäisiä verkkoja ja olkoon f : V(G) V(H) jokin niiden välinen isomorfismi. Tällöin verkon G kaikilla solmuilla x ja y on ehto d G (x,y)=d H ( f(x), f(y)) voimassa. Todistus. Olkoot x ja y verkon G solmuja. Väite pätee suoraan tapauksessa x=y, joten voidaan olettaa ehdon x y olevan voimassa. Olkoon P solmujen x ja y välinen lyhyin polku verkossa G. Olkoon osajoukko x 0,..., x m V(G) ilman toistoja lueteltuna sellainen, että pätee x 0 = x ja x m = y sekä m=d G (x,y) ja P=( x0,..., x m, x0,x 1,...,x m 1,x m ). Kuvaus f on isomorfismi, joten verkossa H on solmujen x ja y välillä polku ( f(x0 ),..., f(x m ), f(x 0 ), f(x 1 ),..., f(x m 1 ), f(x m ) ). Tämä osoittaa väitteen d G (x,y) d H ( f(x), f(y)) olevan voimassa. Kuvauksen f käänteiskuvaus on verkkojen H ja G isomorfismi, joten vastaavasti pätee myös ( ) ( d H f(x), f(y) dg f 1 ( f(x) ), f 1( f(y) )) = d G (x,y). Näin ollen haluttu väite toteutuu. Siirrytään nyt varsinaisen tehtävän todistukseen. Olkoon T epätyhjä äärellinen puu ja olkoon A V(T) puun T keskisten solmujen joukko. Määritellään kuvaus g: V(T) N asettamalla g(x)=maxd T (x,y) : y V(T) jokaisella x V(T). Tällöin joukko A on luvun rad(g) alkukuva kuvauksen g suhteen. Verkko T on 9

10 epätyhjä, joten jollakin solmulla x V(T) arvo g(x) on pienin mahdollinen, jolloin siis pätee x A. Täten joukko A on epätyhjä. Osoitetaan, että joukon A kaikilla eri alkioilla a ja b on väite d T (a,b)=1 tosi. Oletetaan nyt vastaoletuksena, että joukon A joillakin alkiolla a ja b on voimassa ehto d T (a,b) 2. Tällöin on olemassa puun T solmu x, joka on solmujen a ja b välisellä lyhyimmällä polulla ja on solmun a naapurisolmu. Tällöin on x / a, b. Olkoon puun T solmu y mielivaltainen. Verkko T on puu, joten tunnetusti verkko T a,x on epäyhtenäinen ja sillä on kaksi epäyhtenäistä komponenttia. Lisäksi solmut a ja b ovat eri komponenteissa. Solmun a sisältävä komponentti olkoon C a ja solmun b sisältävä komponentti olkoon C b. Komponenttien C a ja C b välillä ei ole polkua, joten jos on y C a, niin solmujen y ja b välinen polku puussa T sisältää välttämättä särmäna,x. Tällöin pätee d T (x,y)<d T (b,y). Vastaavasti tapauksessa y C b on ehto d T (x,y)<d T (a,y) voimassa. Kuitenkin tiedona,b A nojalla on d T (a,y) rad(g) ja d T (b,y) rad(g). Täten on d T (x,y) < rad(g). Solmu y on mielivaltainen, jolloin saadaan ristiriita luvun rad(g) määritelmän kanssa. Näin ollen väittämän deg T (a,b) 1 on oltava voimassa. Edelleen puun T yhtenäisyyden sekä oletuksen a b perusteella väite deg T (a,b)=1 toteutuu. Nyt voidaan perustella epätyhjässä joukossa A olevan enintään kaksi alkiota. Edellisen päättelyn nojalla solmujoukon A virittämä puun T aliverkko on nimittäin täydellinen verkko, jolloin tapauksessa A 3 puussa T olisi sykli. Täten väite 1 A 2on välttämättä tosi. Olkoon toisaalta f puun T mielivaltainen automorfismi. Olkoon puun T solmu x mielivaltainen. Edeltävän aputuloksen nojalla pätee g(x)=g( f(x)), joten väite x A g(x)=rad(g) g ( f(x) ) = rad(g) f(x) A on voimassa. Täten ehto f(a)=a toteutuu. Joukko A pysyy siis paikallaan puun T jokaisessa automorfismissa. Jos joukko A sisältää vain yhden solmun a, niin tämä solmu pysyy siis paikallaan puun T kaikissa automorfismeissa. Jos taas a ja b ovat joukon A kaksi eri alkiota, pysyy särmä a,b paikallaan jokaisessa automorfismissa. Kysytty väite on täten voimassa. 10

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa

TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa Heikki Junnila TOPOLOGISET RYHMÄT I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä, perusominaisuuksia..... 1 2. Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Tulot..... 13 3. Yhtenäisyys ja epäyhtenäisyys

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

VERKOT. SUHTEIKOT JA VERKOT 1. Johdanto... 1 2. Pisteiden asteet...7 3. Yhtenäisyys... 11 4. Kulku suhteikossa... 18 5. Hamiltonin kulut...

VERKOT. SUHTEIKOT JA VERKOT 1. Johdanto... 1 2. Pisteiden asteet...7 3. Yhtenäisyys... 11 4. Kulku suhteikossa... 18 5. Hamiltonin kulut... Heikki Junnila VERKOT. LUKU I SUHTEIKOT JA VERKOT 1. Johdanto..... 1 2. Pisteiden asteet...7 3. Yhtenäisyys.... 11 4. Kulku suhteikossa.... 18 5. Hamiltonin kulut....... 26 Harjoitustehtäviä......35 LUKU

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg.

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Olkoon L = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma, Y hteys(x, y)}. Kuvan 3.1. kaupunkiverkko vastaa seuraavaa L-mallia

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Äärettömistä joukoista

Äärettömistä joukoista Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA Heikki Junnila VERKOT LUKU I JOUKOISTA JA RELAATIOISTA 1. Joukkojen symmetrinen erotus.....................................1 2. Relaation sisältämät kuvaukset.................................... 7 Harjoitustehtäviä................................................

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Toitteko minulle ihmisen, joka ei osaa laskea sormiaan? Kuolleiden kirja JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Alkusanat Tämä tiivistelmä on allekirjoittaneen

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

ALGEBRA Tauno Mets ankyl a Marjatta N a at anen 2010

ALGEBRA Tauno Mets ankyl a Marjatta N a at anen 2010 ALGEBRA Tauno Metsänkylä Marjatta Näätänen 2010 c Tauno Metsänkylä ja Marjatta Näätänen ALGEBRA Tauno Metsänkylä Marjatta Näätänen Esipuhe Tämä kirja on syntynyt toisen tekijän(t.m.) Turun yliopistossa

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

Pienin virittävä puu (minimum spanning tree)

Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Jatkossa puu tarkoittaa vapaata puuta (ks. s. 11) eli suuntaamatonta verkkoa, joka on yhtenäinen: minkä tahansa kahden solmun välillä on polku syklitön: minkä

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Verkko eli graafi: Määritelmä 1/2 Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien

Lisätiedot

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Jarkko Peltomäki 30. huhtikuuta 2012 Tässä esseessä esitetään Frank Ramseyn vuonna 1929 esittämä tulos logiikassa, jonka todistamiseksi hän osoitti myöhemmin tärkeäksi

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin

Lisätiedot

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Lukuteorian helmiä lukiolaisille Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 0. Taustaa Sain 24.4.2007 Marjatta Näätäseltä sähköpostiviestin, jonka aihe oli Fwd: yhteistyökurssi,

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Kukin alkio (viite) talletettuna solmuun (node) vastaa paikan käsitettä

Lisätiedot

Cantorin joukko. Heikki Valve. Helsinki, 25. marraskuuta 2012 Pro Gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Cantorin joukko. Heikki Valve. Helsinki, 25. marraskuuta 2012 Pro Gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Cantorin joukko Heikki Valve Helsinki, 25. marraskuuta 2012 Pro Gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto

Lisätiedot

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.

Lisätiedot

VERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen 28.2.2013

VERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen 28.2.2013 VERKKOTEORIAN ALKEITA Martti E. Pesonen 28.2.2013 1 Sisältö 1 VERKOISTA 1 1.1 Mitä matemaattiset verkot ovat?................ 1 1.1.1 Verkkoteorian synty.................... 1 1.2 Suuntaamaton verkko.......................

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Ville-Pekka

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Matti Åstrand Helsinki 25.5.2009 Pro gradu -tutkielma HELSINGIN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY

Lisätiedot

Automaatit. Muodolliset kielet

Automaatit. Muodolliset kielet Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten

Lisätiedot

Muodolliset kieliopit

Muodolliset kieliopit Muodolliset kieliopit Luonnollisen kielen lauseenmuodostuksessa esiintyy luonnollisia säännönmukaisuuksia. Esimerkiksi, on jokseenkin mielekästä väittää, että luonnollisen kielen lauseet koostuvat nk.

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarno Haapaniemi. Youngin taulut

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarno Haapaniemi. Youngin taulut TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarno Haapaniemi Youngin taulut Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HAAPANIEMI, JARNO: Youngin

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa

Lisätiedot

HUOKOISET JOUKOT TUOMAS SAHLSTEN. Kandidaatintutkielma Opiskelijanumero: 013310787

HUOKOISET JOUKOT TUOMAS SAHLSTEN. Kandidaatintutkielma Opiskelijanumero: 013310787 HUOKOISET JOUKOT TUOMAS SAHLSTEN Kandidaatintutkielma Opiskelijanumero: 013310787 1 2 TUOMAS SAHLSTEN Sisällysluettelo Johdanto....................................................... 2 1. Huokoiset joukot.............................................

Lisätiedot

5.1 Semanttisten puiden muodostaminen

5.1 Semanttisten puiden muodostaminen Luku 5 SEMNTTISET PUUT 51 Semanttisten puiden muodostaminen Esimerkki 80 Tarkastellaan kysymystä, onko kaava = (( p 0 p 1 ) (p 1 p 2 )) toteutuva Tätä voidaan tutkia päättelemällä semanttisesti seuraavaan

Lisätiedot

HUOKOISUUS JA DIMENSIOT TUOMAS SAHLSTEN

HUOKOISUUS JA DIMENSIOT TUOMAS SAHLSTEN HUOKOISUUS JA DIMENSIOT TUOMAS SAHLSTEN Pro Gradu -tutkielma Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 1. helmikuuta 2009 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen

Lisätiedot

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011 Sisältö 1 Laskutoimitukset 6 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset..................... 6 1.1.1 Joukko..............................

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Graafin virittävä puu 1 / 20

Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu PuuT on graafingvirittävä puu (spanning tree), jos se sisältää kaikkig:n pisteet. Virittäviä puita: 2 / 20 Yhdistämisongelma Yhdistämisongelma:(Connector

Lisätiedot

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Tommi Syrjänen 1 Yleistä pumppauslemmoista Pumppauslemmalla voidaan todistaa, että kieli ei kuulu johonkin kieliluokkaan.

Lisätiedot

Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat

Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat TRAK-vierailuluento 13.4.2010 Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Tietojenkäsittelytiede Tietojenkäsittelytiede tutkii 1. mitä tehtäviä voidaan

Lisätiedot

Alkusanat korjattuun 2. painokseen

Alkusanat korjattuun 2. painokseen Alkusanat Kirja on suunniteltu käytettäväksi oppimateriaalina Helsingin ja Turun yliopistojen kursseilla Analyysi I ja II. Se soveltuu materiaaliksi myös muiden yliopistojen ensimmäisen vuoden matemaattisen

Lisätiedot

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 1 / 28 14A.1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Tehtävä: Määrää ryhmän karakteritaulu,

Lisätiedot

Algebra, 1. demot, 18.1.2012

Algebra, 1. demot, 18.1.2012 Algebra, 1. demot, 18.1.2012 1. Mielivaltaisen joukon X potenssijoukko eli kaikkien osajoukkojen joukko P(X) määritellään asettamalla P(X) = {A A X}. Päteekö ehto X P(X) a) aina, b) ei koskaan tai c) joskus?

Lisätiedot

Stokesin lause LUKU 5

Stokesin lause LUKU 5 LUU 5 Stokesin lause 5.1. Integrointi monistolla Olkoot W R k alue, W kompakti Jordan-joukko ja ω jatkuva k-muoto alueessa W, ω f dx 1 dx k. Asetetaan ω : f, t.s. f dx 1 dx k : f(x dx f(x 1,, x k dx 1

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

Voidaanko verkkoteoriaa opettaa lukiolaisille?

Voidaanko verkkoteoriaa opettaa lukiolaisille? Voidaanko verkkoteoriaa opettaa lukiolaisille? Tuotetun oppimateriaalin analysointia aiheesta painotetut verkot Pro gradu -tutkielma Mika Koponen Itä-Suomen yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 1.

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Syksy 1999, kevät 2002, 2005, 2008, syksy 2010 Äärellisten mallien teoria Kotisivu: http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/aemt/

Lisätiedot

Verkkojen värittäminen

Verkkojen värittäminen Verkkojen värittäminen Pro gradu -tutkielma Tiina Aaltonen 165231 Itä-Suomen yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 10. tammikuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Verkkojen peruskäsitteitä 4 2.1 Solmu,

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Funktiot ja yhtälöt Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Funktiot ja yhtälöt (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Pikatesti

Lisätiedot