Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto"

Transkriptio

1 Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen etäisyyden arvona on täsmälleen siinä tapauksessa, kun tarkasteltavat solmut ovat verkon G eri komponenteissa. Jos verkko G on epäyhtenäinen, voidaan suoraan tulkita ehtojen rad(g) = ja diam(g) = olevan voimassa. Tällöin kysytty epäyhtälö toteutuu. Täten voidaan jatkossa olettaa verkon G olevan yhtenäinen. Olkoon a jokin verkon G keskinen solmu eli sellainen solmu, että arvo sup d G (a,x) : x V(G) N on pienin mahdollinen. Tällöin ehto rad(g)=sup d G (a,x) : x V(G) toteutuu. Toisaalta on diam(g)=sup d G (x,y) :(x,y) V(G) 2 sekä pätee d G (a,x) : x V(G) d G (x,y) :(x,y) V(G) 2. Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto d G (x,y) d G (x,a)+d G (a,y) 2rad(G). Jäljellä olevan epäyhtälön diam(g) 2rad(G) huomataan olevan tosi supremumin määritelmän perusteella. Todistuksessa ei olennaisesti tarvittu verkkojen erityispiirteitä. Havaittu tulos voidaan suoraviivaisesti laajentaa myös yleisiin metrisiin avaruuksiin. Äärellisten ja yhtenäisten verkkojen tapaus vastaa tällöin rajoitetun metriikan tilannetta. Tehtävä 3 : 2 Olkoon G verkko, jossa on vähintään kaksi solmua. Verkon G mahtavuudelle ei aseteta ylärajaa, joten tarkastelussa käytetään kardinaalilukuja yleisenä joukkojen mahtavuuden mittana. Jos verkko G on äärellinen, voidaan tarkastelussa rajoittua käyttämään luonnollisia lukuja. 1

2 Osoitetaan aluksi epäyhtälön κ(g) λ(g) olevan voimassa. Olkoon k jokin sellainen kardinaali, jolla verkko G on k-solmuyhtenäinen. Osoitetaan nyt väitteen k λ(g) olevan tosi. Tehdään vastaoletus, että l on sellainen kardinaali, jolla pätee l < k ja jolla verkko G ei ole l-särmäyhtenäinen. Särmäyhtenäisyyden määritelmän nojalla on olemassa joukko F E(G) siten, että pätee F <l ja että verkko G F ei ole yhtenäinen. Väittämä F 1toteutuu, sillä muutoin vähintään kaksi solmua sisältävä verkko G olisi epäyhtenäinen ja toisaalta l-yhtenäisyyden nojalla myös yhtenäinen. Olkoon edelleen A kaikkien niiden joukkoon F kuuluvien särmien kokoelma, joiden molemmat päätepisteet ovat verkon G F samassa yhtenäisessä komponentissa. Käsitellään ensin tilanne, jossa jollakin verkon G solmulla a on väittämä a / e voimassa joukon F \ A jokaisella särmällä e. Olkoon C a se verkon G (F \ A) yhtenäinen komponentti, johon solmu a kuuluu. Merkitään kirjaimella K joukkoa x V(C a ) :x,y F jollakin y V(G)\V(C a ). Tällöin ehto K F < k toteutuu. Toisaalta verkko G K on epäyhtenäinen. Muutoin olisi nimittäin olemassa sellaiset solmut x V(C a ) ja y V(G)\V(C a ), joilla väite x, y E(G)\ F toteutuisi. Tämä tilanne olisi kuitenkin ristiriidassa epäyhtenäisen verkon G (F\ A) komponentin C a valinnan kanssa. Verkko G ei vastoin oletusta ole k-solmuyhtenäinen. Täten väitteen k λ(g) on oltava tosi. Jatkossa voidaan olettaa, että verkon G jokainen solmu on jonkin joukon F\A särmän päätepiste. Olkoon verkon G solmu b mielivaltainen ja olkoon C b verkon G (F\ A) yhtenäinen komponentti, johon solmu b kuuluu. Olkoon solmu x V(G) sellainen, että ehto b,x E(G) toteutuu. Jos on b,x / F, niin jollakin solmulla y V(G)\V(C b ) pätee ehto x,y (F \ A). Toisin sanoen solmun b jokaista naapurisolmua kohti on jokin sellainen joukon F särmä, joka ei liity mihinkään toiseen solmun b naapurisolmuun. Tällöin pätee deg G (b) F eli solmun b naapuruston N G (b) mahtavuus on vähemmän kuin k. Toisaalta verkko G N G (b) ei ole yhtenäinen, sillä b on sen eristetty solmu. Vastoin oletusta verkko G ei siis ole k-solmuyhtenäinen. Väitteen k λ(g) on osoitettu olevan voimassa kaikissa tapauksissa. Lisäksi supremumin määritelmän nojalla myös väite κ(g) λ(g) pätee. 2

3 Osoitetaan vielä epäyhtälön λ(g) δ(g) olevan voimassa. Olkoon l sellainen kardinaali, että verkko G on l-särmäyhtenäinen. Näytetään ehdon l δ(g) olevan tosi. Tehdään vastaoletus, että verkon G jollakin solmulla a pätee deg G (a) < l. Olkoon F kaikkien solmusta a lähtevien särmien joukko. Tällöin verkko G F on epäyhtenäinen, sillä solmu a on sen erakkosolmu. Toisaalta on F < l, joten vastoin oletusta verkko G ei ole l-särmäyhtenäinen. Saadun ristiriidan perusteella on oltava l δ(g). Näin ollen saadaan λ(g) δ(g) eli haluttu lopputulos. Tehtävä 3 : 3 Osoitetaan, että jokaisella k Z + ja n N on olemassa sellainen verkko, jonka minimiaste on vähintään n ja joka ei kuitenkaan ole k-solmuyhtenäinen. Olkoon luku n N kiinnitetty. Muodostetaan verkko G valitsemalla solmujoukoksi joukko sekä särmäjoukoksi joukko (x,k) : x V(K n+1 ) k 0,1 (x,k),(y,k) :x,y E(Kn+1 ) k 0,1. Toisin sanoen verkko G koostuu kahdesta erillisestä yhtenäisestä komponentista, jotka molemmat ovat isomorfisia täydellisen verkon K n+1 kanssa. Tällöin toisaalta jokaisesta verkon G solmusta on särmä jokaiseen muuhun saman komponentin solmuun, joita on tasan n kappaletta. Siis ehto δ(g) = n toteutuu. Verkko G ei kuitenkaan ole yhtenäinen, joten se ei voi olla k-yhtenäinen millään k Z +. Olkoon joukko A N ja kuvaus f : A N sellaisia, että jokaisella k Apätee, että jos verkko G on äärellinen ja sen minimiaste on vähintään f(k), niin verkko G on k-solmuyhtenäinen. Edellä osoitetun perusteella on oltava A 0, joten tehtävässä kysyttyä ehdon A=N toteuttavaa kuvausta ei ole olemassa. Ylimääräisenä tuloksena havaitaan tapauksen A = 0 olevan mahdollinen. Olkoon nimittäin G sellainen verkko, että ehto δ(g) 1 toteutuu. Tällöin verkko G ei ole tyhjä, sillä siinä on vähintään yksi särmä. Verkko G on siten 0-yhtenäinen. 3

4 Tehtävä 3 : 4 Olkoon aluksi T mielivaltainen äärellinen puu. Jos on (T)=0, niin puussa T on yhtenäisyyden nojalla korkeintaan yksi solmu eikä siis yhtään lehteä. Määritelmän mukaan puun T lehtiä ovat nimittäin tasan ne solmut x T, joilla ehto deg T (x)=1 toteutuu. Jatkossa voidaan siis olettaa ehdon (T) 1olevan voimassa. Olkoon alkio a jokin ehdon deg T (a)= (T) toteuttava puun T solmu. Olkoon edelleen joukkox 1,..., x (T) solmun a kaikkien naapurisolmujen joukko ilman toistoja lueteltuna. Jokaisella k 1,..., (T) olkoon P k pisin puun T polku, jonka päätepisteinä ovat x k sekä jokin solmu y k ja jolla särmä a,x k ei esiinny. Osoitetaan nyt, että joukkoy 1,..., y (T) sisältää (T) kappaletta puun T lehtiä. Olkoon indeksi k 1,..., (T) kiinnitetty. Tällöin solmu y k on puun T lehti. Siihen nimittäin tulee särmä joko solmusta a tai polkua P k pitkin, joten ehto deg T (y k ) 1 on tosi. Toisaalta solmun y k aste ei voi olla tätä suurempi. Polku P k on pisin mahdollinen, joten ehdosta deg T (y k ) 2 seuraisi, että solmusta y k olisi särmä johonkin toiseen polulla P k jo olevaan solmuun. Tässä tapauksessa saataisiin ristiriitaisesti muodostettua puun T sykli. Solmu y k on siis lehti. Perustellaan vielä, että joukon y 1,..., y (T) solmut ovat kaikki eri alkioita. Oletetaan vastaoletuksena joukon 1,..., (T) lukujen i ja j olevan sellaisia, että ehdot i j ja y i = y j pätevät. Tällöin puussa T on jokin sellainen polku P solmujen x i ja x j välillä, joka ei kulje solmun a kautta. Polku P ei voi olla tyhjä, sillä x i ja x j ovat eri alkioita. Kulkemalla polkua P pitkin sekä särmiä x i,a ja a,x j käyttäen saadaan jälleen ristiriitaisesti puun T sykli. Näin ollen on saatu perusteltua, kuinka puussa T on vähintään (T) lehteä. Osoitetaan vielä, ettei vastaava tulos kuitenkaan päde, mikäli tarkasteltavassa puussa on vähintään numeroituvasti ääretön määrä solmuja. Olkoon H sellainen verkko, jonka pistejoukko on Z ja jonka särmäjoukko on m,m+1 : m Z. Tällöin verkko H on sekä syklitön että yhtenäinen ja siten puu. Sen jokaisella solmulla x pätee deg H (x)=2, joten yksikään solmuista ei ole lehti. Toisaalta myös ehto (T) = 2 0 toteutuu. Verkkoon voidaan lisätä äärettömiä haaroja, jolloin maksimiastetta voidaan edelleen kasvattaa lisäämättä yhtään lehteä. 4

5 Tehtävä 3 : 5 Käsitellään aluksi ennen varsinaisen väitteen tutkimista eräs tehtävän varsinaista ratkaisua selkeyttävä lyhyt aputulos. Lemma. Olkoon H puu ja olkoon x 0,y 0,z 0 V(H) mielivaltainen. Olkoon P x solmujen x 0 ja y 0 välinen polku, P y solmujen y 0 ja z 0 välinen polku ja P z solmujen z 0 ja x 0 välinen polku. Tällöin ehto V(P x ) V(P y ) V(P z ) toteutuu. Todistus. Oletetaan vastaoletuksena ehdon V(P x ) V(P y ) V(P z )= toteutuvan. Tällöin erityisesti solmut x 0 ja y 0 sekä z 0 ovat kaikki eri alkioita. Olkoot joukon V(H) sisältämät osajoukot x 0,..., x k ja y 0,..., z l sekä z 0,..., z m ilman toistoja lueteltuja sekä sellaisia, että pätee P x =( x0,..., x k, x0,x 1,...,x k 1,x k ), P y =( y0,..., y l, y0,y 1,...,y l 1,y l ) sekä P z =( z0,..., z m, z0,z 1,...,z m 1,z m ). Olkoon seuraavaksi r joukon i 0,..., k : x i V(P y ) pienin alkio, s joukon i 0,..., l : y i V(P z ) pienin alkio ja t joukoni 0,..., m : z i V(P x ) pienin alkio. Nämä luvut ovat positiivisia. Lisäksi jollakin u 1,..., k pätee x u = z t, jollakin v 1,..., l on y v = x r ja edelleen jollakin w 1,..., m pätee z w = y s. Olkoon C verkko, jonka solmujoukkona on x u,..., x r 1,y v,..., y s 1,z w,..., z t 1 ja jonka särmäjoukko saadaan edellisestä esityksestä ottamalla mukaan luettelon kaikkien peräkkäisten jäsenten muodostamat särmät ja lopuksi särmä z t 1,x u. Tällöin verkko C on vastoin oletusta puun H sykli. Saatu ristiriita osoittaa halutun väitteen olevan voimassa. Olkoon puu T mielivaltainen. Kokoelman T kuitenkin oletetaan lisäksi olevan äärellinen ja epätyhjä. Tyhjän kokoelman tapauksessa yhteistä leikkauspistettä ei tunnetusti löydy. Tehtävän väite ei myöskään päde, jos kokoelma T on ääretön. Tämä todistetaan eräässä neljännen harjoituskerran tehtävässä. 5

6 Osoitetaan induktiolla kokoelman D koon suhteen, että jos puun T alipuiden epätyhjä kokoelma D on sellainen, että sen jäsenet leikkaavat pareittain toisiaan, niin kokoelman D puilla on yhteinen solmu. Väite toteutuu suoraan, jos tällaisessa kokoelmassa on vain yksi jäsen. Oletetaan induktio-oletuksena, että luku n Z + on sellainen, että jokaisella puun T alipuiden epätyhjällä kokoelmalla, jonka koko on n ja johon kuuluvat puut leikkaavat pareittain toisiaan, on kokoelman kaikille puille yhteinen solmu. Olkoon puun T alipuiden kokoelma D sellainen, jonka koko on n+1 ja jonka jäsenet leikkaavat pareittain toisiaan. Näytetään, kuinka kokoelmasta D voidaan tuottaa sellainen uusi kokoelma, joka täyttää induktio-oletuksen ehdot. Olkoot A ja B kokoelmand kaksi eri jäsentä ja olkoon x niiden jokin yhteinen solmu. Käytetään merkintää A B siitä epätyhjästä verkosta, joka on solmujoukon V(A) V(B) virittämä puun T aliverkko ja jopa alipuu. Jokainen puun T aliverkko on nimittäin syklitön. Olkoot toisaalta v ja w jotkin joukon V(A) V(B) solmut. Jos ne molemmat ovat puussa A tai puussa B, niin niiden välillä on polku puiden A ja B yhtenäisyyden nojalla. Muussa tapauksessa solmuista v ja w molemmista on polku solmuun x. Näiden polkujen ensimmäisen yhteisen solmun kautta saadaan edelleen polku solmujen v ja w välille. Täten verkko A B on puu. Oletuksen nojalla kahdella kokoelman D\A, B jäsenellä on vähintään yksi yhteinen solmu. Olkoon toisaalta C D\A, B mielivaltainen. Osoitetaan, että myös puut C ja A B leikkaavat keskenään. Kokoelmasta D tehdyn oletuksen perusteella on olemassa solmu y V(A) V(C) ja solmu z V(B) V(C). Puiden yhtenäisyydestä seuraa, että on olemassa puun A polku P A solmujen x ja y välillä, puun B polku P B solmujen z ja x välillä sekä vastaavasti puun C polku P C solmujen y ja z välillä. Aputuloksen nojalla ehto V(P A ) V(P B ) V(P C ) toteutuu, sillä tarkastellut polut ovat puun T polkuja. Tällöin saadaan V(A) V(B) V(C). Kokoelman(D\A, B) (A B) jäsenet leikkaavat pareittain toisiaan ja sen koko on n. Induktio-oletuksen nojalla kyseisen kokoelman puilla on ainakin yksi yhteinen solmu. Induktioperiaatteen nojalla väite pätee jokaisella vaaditut ehdot toteuttavalla kokoelmallad. Erityisesti kokoelmant puilla on yhteinen solmu. 6

7 Tehtävä 3 : 6 Osoitetaan suoraan tehtävän väitettä vahvempi tulos, että jokaisessa epätyhjässä äärellisessä puussa T on sellainen solmu tai särmä, joka pysyy paikallaan puun T jokaisessa automorfismissa eli isomorfismissa puulta T itselleen. Esitetään tälle tulokselle kaksi eri todistusta, jotka palautuvat samaan ajatukseen eräästä puun osajoukosta. Luonnollisesti on oletettava tarkasteltavan puun olevan epätyhjä. Todistetaan väite ensin induktiolla puun koon suhteen. Olkoon nyt T epätyhjä äärellinen puu, jossa on korkeintaan kaksi solmua. Jos on V(T) =x, niin puun T ainoa automorfismi(x,x) pitää solmun x paikallaan. Jos taas on V(T)=x,y ja x y, niin puun T ainoat automorfismit (x,x),(y,y) ja (x,y),(y,x) pitävät särmän x, y paikallaan. Jälkimmäisessä tapauksessa särmä x, y on olemassa puun T yhtenäisyyden nojalla. Oletetaan induktio-oletuksena luvun n 2,3,4,... olevan sellainen, että jokaisessa epätyhjässä äärellisessä puussa, jossa on korkeintaan n solmua, pysyy jokin solmu tai särmä paikallaan jokaisessa automorfismissa. Olkoon T sellainen puu, jossa on tasan n + 1 solmua. Merkitään kirjaimella L puun T lehtien joukkoa ja osoitetaan, että väite voidaan palauttaa induktio-oletukseen poistamalla puusta T joukon L kaikki solmut. Perustellaan väitteen L V(T) olevan tosi. Puun T jokaisella solmulla x pätee deg T (x) 1, sillä puussa T on vähintään kaksi solmua ja se on yhtenäinen. Jos puun T jokaisella solmulla x olisi deg T (x) 2, niin kurssikirjan lauseen perusteella puussa T olisi ristiriitaisesti sykli. Täten väite L toteutuu. Jos toisaalta olisi L = V(T), niin puun T jokaisesta solmusta lähtisi tasan yksi särmä, jolloin havainnosta V(T) = deg T (x)=2 E(T) =2 V(T) 2 x V(T) saataisiin V(T) = 2, mikä olisi ristiiradassa oletuksen V(T) 3 kanssa. Olkoon nyt H joukon V(T)\ L virittämä puun T aliverkko, jolloin H on puun T aliverkkona syklitön. Olkoot toisaalta x ja y verkon H solmuja. Niiden välillä on jokin polku P puussa T. Tällöin polku P on myös verkon H polku. Nimittäin 7

8 polun P jokaisella solmulla z, jolla ehto z / x,y toteutuu, pätee deg T (z) 2 ja siis myös z / L. Näin ollen verkko H on epätyhjä äärellinen puu. Olkoon f puun T mielivaltainen automorfismi. Ensimmäisen harjoituskerran tehtävän 1 ratkaisuehdotuksen yhteydessä esitetyn päättelyn perusteella jokaisella solmulla x V(T) on solmuilla x ja f(x) keskenään sama aste. Täten kuvauksen f rajoittuma joukkoon L on injektio joukolle L. Joukko L on äärellinen, joten kyseinen rajoittuma on itse asiassa bijektio. Kuvauksen f rajoittuma joukkoon V(T)\L on siten myös joukon V(T)\L bijektio. Osoitetaan seuraavaksi, että kuvauksen f rajoittuma joukkoon V(T)\ L on puun H automorfismi. Joukon V(T)\L kaikilla alkioilla x ja y pätee x,y E(H) x,y E(T) f(x), f(y) E(T) f(x), f(y) E(H) f (V(T)\L) (x), f (V(T)\L) (y) E(H), sillä f on puun T automorfismi. Siten kuvauksen f rajoittuma joukkoon V(T)\ L on puun H automorfismi. Toisaalta puu H on epätyhjä ja siinä on korkeintaan n solmua. Nyt induktio-oletuksen nojalla puussa H on jokin solmu tai särmä, jonka jokainen verkon H automorfismi pitää paikallaan. Erityisesti siis myös kuvaus f rajoittumansa kautta pitää kyseisen solmun tai särmän paikallaan. Näin ollen jokainen puun T automorfismi pitää tämän solmun tai särmän paikallaan. Induktioaskeleen on osoitettu onnistuvan. Yleisen induktioperiaatteen nojalla haluttu väite pätee tällöin jokaisella epätyhjällä äärellisellä puulla. Todistuksesta voidaan huomata, kuinka eräs puun automorfismeissa paikallaan pysyvä solmu tai särmä vaikuttaisi tietyssä mielessä sijaitsevan kyseisen puun keskellä. Erilaisia paikallaan pysyviä solmuja ja särmiä voi löytyä muualtakin. Äärettömien verkkojen tapauksessa tehtävän väite ei kuitenkaan päde. Olkoon G se verkko, jonka solmujoukkona onzja särmäjoukkona m,m+1 : m Z, jolloin verkko G on puu. Lisäksi voidaan määritellä bijektio f : Z Z asettamalla f(m)=m+1 jokaisella m Z. Verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee x,y E(G) x y =1 f(x) f(y) =1 f(x), f(y) E(G), 8

9 joten kuvaus f on puun G automorfismi. Jokaisella alkiolla m Z kuitenkin pätee m f(m) sekäm,m+1 f(m), f(m+1), joten yksikään verkon G solmuista tai särmistä ei pysy automorfismissa f paikallaan. Näin ollen tehtävän väite ei päde yleisessä tapauksessa edes numeroituvasti äärettömissä puissa. Todistetaan tehtävän väite seuraavaksi myös eräällä vaihtoehtoisella tavalla, jonka Topi Talvitie esitti harjoitusryhmän kokoontumisessa. Kyseisessä todistuksessa annetaan suoraan määritelmä eräälle osajoukolle, joka säilyy automorfismeissa. Käsitellään aluksi eräs aputulos. Lemma. Olkoot G ja H yhtenäisiä verkkoja ja olkoon f : V(G) V(H) jokin niiden välinen isomorfismi. Tällöin verkon G kaikilla solmuilla x ja y on ehto d G (x,y)=d H ( f(x), f(y)) voimassa. Todistus. Olkoot x ja y verkon G solmuja. Väite pätee suoraan tapauksessa x=y, joten voidaan olettaa ehdon x y olevan voimassa. Olkoon P solmujen x ja y välinen lyhyin polku verkossa G. Olkoon osajoukko x 0,..., x m V(G) ilman toistoja lueteltuna sellainen, että pätee x 0 = x ja x m = y sekä m=d G (x,y) ja P=( x0,..., x m, x0,x 1,...,x m 1,x m ). Kuvaus f on isomorfismi, joten verkossa H on solmujen x ja y välillä polku ( f(x0 ),..., f(x m ), f(x 0 ), f(x 1 ),..., f(x m 1 ), f(x m ) ). Tämä osoittaa väitteen d G (x,y) d H ( f(x), f(y)) olevan voimassa. Kuvauksen f käänteiskuvaus on verkkojen H ja G isomorfismi, joten vastaavasti pätee myös ( ) ( d H f(x), f(y) dg f 1 ( f(x) ), f 1( f(y) )) = d G (x,y). Näin ollen haluttu väite toteutuu. Siirrytään nyt varsinaisen tehtävän todistukseen. Olkoon T epätyhjä äärellinen puu ja olkoon A V(T) puun T keskisten solmujen joukko. Määritellään kuvaus g: V(T) N asettamalla g(x)=maxd T (x,y) : y V(T) jokaisella x V(T). Tällöin joukko A on luvun rad(g) alkukuva kuvauksen g suhteen. Verkko T on 9

10 epätyhjä, joten jollakin solmulla x V(T) arvo g(x) on pienin mahdollinen, jolloin siis pätee x A. Täten joukko A on epätyhjä. Osoitetaan, että joukon A kaikilla eri alkioilla a ja b on väite d T (a,b)=1 tosi. Oletetaan nyt vastaoletuksena, että joukon A joillakin alkiolla a ja b on voimassa ehto d T (a,b) 2. Tällöin on olemassa puun T solmu x, joka on solmujen a ja b välisellä lyhyimmällä polulla ja on solmun a naapurisolmu. Tällöin on x / a, b. Olkoon puun T solmu y mielivaltainen. Verkko T on puu, joten tunnetusti verkko T a,x on epäyhtenäinen ja sillä on kaksi epäyhtenäistä komponenttia. Lisäksi solmut a ja b ovat eri komponenteissa. Solmun a sisältävä komponentti olkoon C a ja solmun b sisältävä komponentti olkoon C b. Komponenttien C a ja C b välillä ei ole polkua, joten jos on y C a, niin solmujen y ja b välinen polku puussa T sisältää välttämättä särmäna,x. Tällöin pätee d T (x,y)<d T (b,y). Vastaavasti tapauksessa y C b on ehto d T (x,y)<d T (a,y) voimassa. Kuitenkin tiedona,b A nojalla on d T (a,y) rad(g) ja d T (b,y) rad(g). Täten on d T (x,y) < rad(g). Solmu y on mielivaltainen, jolloin saadaan ristiriita luvun rad(g) määritelmän kanssa. Näin ollen väittämän deg T (a,b) 1 on oltava voimassa. Edelleen puun T yhtenäisyyden sekä oletuksen a b perusteella väite deg T (a,b)=1 toteutuu. Nyt voidaan perustella epätyhjässä joukossa A olevan enintään kaksi alkiota. Edellisen päättelyn nojalla solmujoukon A virittämä puun T aliverkko on nimittäin täydellinen verkko, jolloin tapauksessa A 3 puussa T olisi sykli. Täten väite 1 A 2on välttämättä tosi. Olkoon toisaalta f puun T mielivaltainen automorfismi. Olkoon puun T solmu x mielivaltainen. Edeltävän aputuloksen nojalla pätee g(x)=g( f(x)), joten väite x A g(x)=rad(g) g ( f(x) ) = rad(g) f(x) A on voimassa. Täten ehto f(a)=a toteutuu. Joukko A pysyy siis paikallaan puun T jokaisessa automorfismissa. Jos joukko A sisältää vain yhden solmun a, niin tämä solmu pysyy siis paikallaan puun T kaikissa automorfismeissa. Jos taas a ja b ovat joukon A kaksi eri alkiota, pysyy särmä a,b paikallaan jokaisessa automorfismissa. Kysytty väite on täten voimassa. 10

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2

Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2 Tehtävä 5 : 1 Merkitään kirjaimella H kuvan punaisten solmujen virittämää verkon G yhtenäistä aliverkkoa, jossa on yhteensä kolme särmää. Aliverkosta H voidaan kahdella tavalla valita kahden solmun joukko

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3) 1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla? 7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan Kirjan Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan harjoitustehtävien ratkaisuja 18. maaliskuuta 2005 Ratkaisut ovat laatineet Jukka Ilmonen ja Ismo Korkee. Ratkaisuissa olevista mahdollisista virheistä

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot