Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2"

Transkriptio

1 Tehtävä 5 : 1 Merkitään kirjaimella H kuvan punaisten solmujen virittämää verkon G yhtenäistä aliverkkoa, jossa on yhteensä kolme särmää. Aliverkosta H voidaan kahdella tavalla valita kahden solmun joukko A siten, että verkko G A ei ole yhtenäinen. Toisaalta kuvan avulla voidaan huomata, että verkon G jokaisella solmulla x verkko G x on yhtenäinen. Ehto κg)=2 siis toteutuu. Mikäli verkosta G poistetaan mitkä tahansa korkeintaan kaksi särmää, säilyy lopputuloksena oleva verkko edelleen yhtenäisenä. Kuitenkaan verkko G EH) ei ole yhtenäinen. Verkko G on siis 2-särmäyhtenäinen mutta ei 3-särmäyhtenäinen. Siten väite λg)=3 on voimassa. Kuvan perusteella havaitaan verkossa G olevan kaksi solmua, joista on särmä viiteen eri solmuun. Kaikilla muilla verkon G solmuilla on kullakin yhteensä neljä särmää verkon muihin solmuihin. Näin ollen väite δg)=4pätee. Tehtävä 5 : 2 Olkoon G jokin äärellinen verkko, jossa on luvun n verran solmuja. Olkoon lisäksi luku c verkon G komponenttien lukumäärä ja olkoon m verkon G erakkosolmujen lukumäärä. Näytetään verkossa G olevan enintään n+m 2c leikkaussolmua. Suoraan määritelmän mukaan verkossa G olevat m kappaletta erakkosolmuja eivät ole verkon G leikkaussolmuja. Olkoon toisaalta C jokin sellainen verkon G komponentti, jossa on ainakin kaksi solmua. Olkoon P tämän komponentin jokin suurinta pituutta oleva polku ja olkoon solmu a polun P päätepiste. Näytetään nyt, että solmu a ei ole verkon C leikkaussolmu. Polku P on suurinta mahdollista pituutta oleva verkon C polku, joten solmun a kaikki naapurisolmut ovat polun P solmuja. Tällöin verkko C a on yhtenäinen. Olkoot nimittäin x ja y sen mielivaltaisia solmuja. Verkko C on yhtenäinen, joten 1

2 on olemassa jokin verkon C polku P C solmujen x ja y välillä. Jos ehto a / VP C ) toteutuu, niin P C on myös verkon C a polku. Oletetaan ehdon a VP) olevan jatkossa voimassa. Solmu a ole polun P C päätepiste, joten solmulla a on ainakin kaksi eri naapuria polun P C varrella. Olkoon P jokin verkon P suurinta mahdollista pituutta oleva sellainen polku, että polun P päätepisteet ovat polun P C varrella. Tällöin solmu a ei ole polun P varrella. Nyt solmujen x ja y välille saadaan polku verkossa C a jatkamalla polkua P tarvittaessa polun P osilla solmuihin x ja y asti. Verkko C a on siten osoitettu yhtenäiseksi. Toisaalta oletuksen perusteella komponentissa C on ainakin yksi särmä kahden solmun välillä, joten polulla P on kaksi eri päätepistettä. Siten komponentissa C on vähintään kaksi sellaista solmua, jotka eivät ole leikkaussolmuja. Vastaava tulos pätee jokaisella vähintään kaksi solmua sisältävällä verkon G komponentilla. Verkossa G on m kappaletta yhden solmun komponentteja. Vähintään kaksi solmua sisältäviä komponentteja on siten c m kappaletta. Näin ollen verkossa G on enintään n m 2c m) eli n+m 2c leikkaussolmua. Toisaalta huomataan, että ylärajaa vastaavat tilanteet ovat mahdollisia. Nimittäin jokaisessa vähintään kaksi solmua sisältävässä polussa on tasan kaksi sellaista solmua, jotka eivät ole kyseisestä polusta muodostuvan komponentin leikkaussolmuja. Tehtävä 5 : 3 Huomataan ehdon 2r r + s olevan voimassa. Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on{1,..., r + s} ja jonka särmäjoukkona on { } { } {k, k+ 1} : k {1,..., r+ s} {1, 2r}. Tällöin äärellinen verkko G on yhtenäinen, sillä sen kaikki eri solmut ovat saman polun varrella. Näytetään ehtojen radg)=r ja diamg)=s toteutuvan. Käsitellään aluksi tapaus, jossa ehto r=1on voimassa. Jos ehto s=1 toteutuu, niin verkko G koostuu kahdesta solmusta ja niiden välisestä särmästä. Muussa tapauksessa oletuksen s 2r nojalla väite s = 2 on voimassa, jolloin verkko G on 2

3 kolmen solmun muodostama polku. Molemmissa tapauksissa väitteet radg)=1 ja diamg)=s ovat voimassa. Oletetaan jatkossa ehdon r 2 toteutuvan. Olkoon C solmujoukon{1,..., 2r} virittämä verkon G aliverkko. Verkko C on verkon G sykli ja verkon C jokainen alkio on tällöin verkon C keskinen solmu. Syklissä C on yhteensä 2r alkiota, joten ehdot radc)=r ja diamc)=r toteutuvat. Jos ehto s=r toteutuu, niin halutut väitteet ovat näin ollen voimassa. Käsitellään seuraavaksi tapaus, jossa väite s>r toteutuu. Solmu 2r on tällöin verkon G leikkaussolmu. Tiedon s 2r perusteella solmusta 2r on korkeintaan pituutta r oleva polku verkon G jokaiseen solmuun, joten väite radg) r pätee. Toisaalta jokainen polku joukkojen VC) sekä {2r+ 1,..., r+ s} välillä kulkee leikkaussolmun 2r kautta. Siten verkon G säde ei voi olla aidosti pienempi kuin aliverkon C säde. Väite radg) = r on siis voimassa. Edelleen solmujen r ja r + s välillä on verkossa G tasan kaksi eri polkua, jotka eroavat toisistaan ainoastaan syklin C kaaren valinnan kohdalla. Molemmat polut kulkevat solmun 2r kautta. Saadaan tulos d G r, r+ s)=d G r, 2r)+d G 2r, r+ s)=r+r+ s 2r)=r+s r)=s. Toisaalta jokaisella luvulla p {2r,..., r+ s 1} verkon G solmujen 2r ja r+ p välinen etäisyys on enintään luvun s r 1 suuruinen, jolloin luku s 1 on yläraja solmun r+ p etäisyydelle verkon G muista solmuista. Solmujen r ja r+ s väliset lyhyintä pituutta olevat polut ovat näin ollen verkon G suurinta pituutta olevia polkuja. Siten ehto diamg)=s toteutuu. Tehtävä 5 : 4 Sovelletaan tunnettua tapaa esittää Petersenin verkko joukon {1,..., 5} alkioista koostuvien kaksioiden avulla. Käytetään kirjainta N kyseisten kaksioiden perheen [ {1,..., 5} ] 2 merkitsemiseen. Olkoon H sellainen verkko, jonka solmujoukkona on N ja jonka särmäjoukkona on {{v, w} [ N ] 2 : v w= }. 3

4 Oheisen kuvan avulla voi huomata, kuinka verkko H on isomorfinen Petersenin verkon kanssa. Näin ollen Petersenin verkon automorfismiryhmän rakenne selviää tutkimalla verkon H automorfismiryhmää. Olkoon jatkossa A verkon H kaikkien automorfismien joukko ja olkoon S 5 joukon{1,..., 5} permutaatioiden joukko. {1,2} {3,5} {3,4} {4,5} {2,5} {1,3} {2,4} {1,4} {1,5} {2,3} Muodostetaan aluksi joukossa S 5 määritelty funktioarvoinen kuvaus ϕ siten, että jokaisella jäsenellä σ S 5 kuvauksen ϕσ) yksikäsitteisesti määritteleväksi ehdoksi asetetaan se, että jokaisella joukon N alkiolla{x, y} pätee ) ) ϕσ) {x, y} ={σx), σy)}. Tavoitteena on näyttää kuvauksen ϕ kuvajoukon sisältyvän joukkoon A ja olevan lisäksi bijektio joukkojen S 5 ja A välillä. Olkoon σ joukon S 5 alkio sekä olkoon {x, y} joukon N mielivaltainen alkio. Väite {σx), σy)} N voimassa, sillä kuvaus σ säilyttää injektiona äärellisten joukkojen koon. Toisaalta kuvaus σ on myös bijektio ja joukko S 5 sisältää sen käänteiskuvauksen, joten voidaan havaita tuloksen ϕσ 1 ) ϕσ) ) {x, y} ) = ϕσ 1 ) ) {σx), σy)} ) ={x, y} olevan voimassa. Vastaavasti saadaan myös tulos ϕσ) ϕσ 1 ) ) {x, y} ) = ϕσ) ) {σ 1 x), σ 1 y)} ) ={x, y}. Kuvaus ϕσ) on siis joukon N bijektio. Näin ollen kuvauksen ϕ kuvajoukko on joukon N permutaatioiden osajoukko. Olkoon σ edelleen joukon S 5 alkio ja olkoot joukon N alkiot {a, b} ja {c, d} mielivaltaiset. Jos joukot {a, b} ja {c, d} eivät ole erillisiä, niin myös joukkojen 4

5 {σa), σb)} sekä {σc), σd)} leikkaus on epätyhjä, sillä σ on kuvaus. Jos taas joukot {σa), σb)} ja {σc), σd)} leikkaavat toisiaan, niin joukkojen {a, b} ja {c, d} leikkaus on epätyhjä johtuen kuvauksen σ injektiivisyydestä. Siis pätee { } {a, b},{c, d} EH) {a, b} {c, d}= {σa), σb)} {σc), σd)}= { ϕσ) ) {a, b} ), ϕσ) ) {a, b} ) } EH). Kuvaus ϕσ) on osoitettu verkon H automorfismiksi. Kuvauksen ϕ kuvajoukko on näin ollen joukon A osajoukko. Näytetään nyt kuvauksen ϕ olevan injektio. Olkoot σ ja τ sellaisia joukon S 5 alkioita, että ehto ϕσ)=ϕτ) toteutuu. Olkoon alkio x S 5 mielivaltainen sekä olkoot r ja s jotkin joukon{1,..., 5}\{x} kaksi eri alkiota. Oletuksen perusteella ehdot {σx), σr)} = {τx), τr)} ja {σx), σs)} = {τx), τs)} ovat voimassa. Kuvauksen τ injektiivisyyden perusteella joukossa{τx), τr), τs)} on kolme eri alkiota, jolloin saadaan tulos σx) {σx), σr)} {σx), σs)}={τx), τr)} {τx), τs)}={τx)}. Ehto σx) = τx) siis toteutuu. Toisaalta alkio x valittiin mielivaltaisesti, joten myös väite σ=τpätee. Kuvaus ϕ on osoitettu injektioksi. Osoitetaan verkon H automorfismiryhmän A, ) toiminnan joukossa VH) olevan transitiivista. Olkoot v ja w joukon N mielivaltaiset alkiot. Jos ehto v = w toteutuu, niin väite ϕid {1,...,5} ) ) v ) = w toteutuu. Olkoon ehto v w jatkossa voimassa. Olkoon a joukon v\w alkio sekä olkoon b yksiön v\{a} alkio. Valitaan kaksion w muodostavat alkiot c ja d siten, että jos ehto b w pätee, niin myös väite b=c toteutuu. Ehdot a d ja{a, d} {b, c}= ovat voimassa. Joukon S 5 alkio bd) kuvaa joukon {a, b} joukolle {a, d} sekä toisaalta joukko {c, d} on joukon {a, d} kuvajoukko kuvauksen ac) suhteen. Alkio v kuvautuu siis alkioksi w muun muassa kuvauksen ϕ ac)bd) ) kohdalla. Siten verkon H automorfismiryhmän toiminta on transitiivista. Osoitetaan joukon A sisältyvän kuvauksen ϕ kuvajoukkoon. Olkoon f jokin verkon H automorfismi. Näytetään nyt, että jollakin alkiolla σ S 5 kuvaus ϕσ) 5

6 on kuvauksen f käänteiskuvaus. Suoraan edellisen päättelyn nojalla on olemassa joukon S 5 alkio σ 1 siten, että ehto ϕσ 1 ) f ) {1, 2} ) = {1, 2} toteutuu. Väite f {1, 2} ) N on nimittäin voimassa. Valitaan seuraavaksi joukon S 5 eräiden alkioiden jonoσ 2, σ 3, σ 4 ) vaiheittain. Kuvaus ϕσ 1 ) f on verkon H eräs automorfismi, joten se kuvaa solmun {3, 4} jollekin solmun{1, 2} naapurille. Valitaan joukon S 5 alkio σ 2 siten, että ehto σ 1 σ 2 = 45) σ 1 35) σ 1 jos jos jos ϕσ1 ) f ) {3, 4} ) ={3, 4} ϕσ1 ) f ) {3, 4} ) ={3, 5} ϕσ1 ) f ) {3, 4} ) ={4, 5} on voimassa. Kuvaus ϕσ 2 ) f on siis verkon H automorfismi, joka pitää solmut {1, 2} ja {3, 4} paikallaan. Lisäksi kyseinen automorfismi kuvaa solmun {3, 5} jollekin solmusta{3, 4} eroavalle solmun{1, 2} naapurille. Valitaan tällöin alkio σ 3 S 5 siten, että ehto σ 2 σ 3 = 34) σ 2 jos jos ϕσ2 ) f ) {3, 5} ) ={3, 5} ϕσ2 ) f ) {3, 5} ) ={4, 5} toteutuu. Molemmissa tapauksissa kuvaus ϕσ 3 ) f pitää solmun{1, 2} sekä sen kaikki naapurit paikallaan. Joukot {1, 2} ja {3, 4} eivät nimittäin muutu alkiolla 34) kuvattaessa. Toisaalta solmu{4, 5} kiinnittyy solmun{1, 2} ainoana jäljellä olevana naapurina. Solmut {1, 5} ja {2, 5} ovat verkossa H solmun {1, 2} ohella solmun {3, 4} ainoat naapurit. Voidaan valita joukon S 5 alkio σ 4 niin, että väittämä σ 3 jos ϕσ2 ) f ) {1, 5} ) ={1, 5} σ 4 = 12) σ 2 jos ϕσ2 ) f ) {1, 5} ) ={2, 5} on myös voimassa. Tällöin kuvaus ϕσ 4 ) f on verkon H sellainen automorfismi, joka aikaisempien tietojen perusteella kiinnittää jokaisen alkion kokoelmasta { } {1, 2},{1, 5},{3, 4},{3, 5},{4, 5}. 6

7 Automorfismi ϕσ 4 ) f pitää solmun {2, 4} paikallaan, sillä se on verkossa H solmujen {1, 5} ja {3, 5} ainoa yhteinen naapuri. Edelleen myös solmu {1, 3} kiinnittyy solmujen{2, 4} ja{4, 5} ainoana yhteisenä naapurina. Vastaavasti havaitaan, että kuvaus ϕσ 4 ) f säilyttää joukon N jokaisen alkion. Näin ollen ehto ϕσ 4 ) f = id N toteutuu, joten alkio σ 4 on alkion f käänteisalkio ryhmän A, ) suhteen. Verkon H jokaisen automorfismin käänteisalkio kuuluu kuvauksen ϕ kuvajoukkoon, joten kuvauksen ϕ injektiivisyyden perusteella väite fs 5 )=A on osoitettu todeksi. Joukossa S 5 on tunnetusti yhteensä 5! eri alkiota. Verkko H on isomorfinen Petersenin verkon kanssa ja toisaalta isomorfismien yhdiste on isomorfismi, joten voidaan päätellä Petersenin verkolla olevan yhteensä 120 automorfismia. Lisäksi kyseessä olevan automorfismiryhmän toiminta on transitiivista. Tehtävä 5 : 5 Todistetaan ensin huomio verkkojen isomorfisuudesta yhtenäisten komponenttien avulla ilmaistuna. Rajoitutaan kuitenkin tarkastelemaan sellaisia verkkoja, joilla on yhteensä vain äärellinen määrä komponentteja. Lemma. Olkoot U ja W äärellisestä määrästä komponentteja koostuvia verkkoja. Tällöin verkot U ja W ovat keskenään isomorfisia täsmälleen silloin, kun niillä on sama lukumäärä kutakin eri isomorfialuokkaa edustavia komponentteja. Todistus. Osoitetaan induktiolla luvun c Z + suhteen, että jos kahdella verkolla on kummallakin c komponenttia, niin kyseiset verkot ovat isomorfisia keskenään täsmälleen silloin, kun niillä sama määrä kutakin eri isomorfialuokkaa edustavia komponentteja. Induktion alkuaskel toteutuu, sillä kaksi yhtenäistä verkkoa ovat isomorfiset juuri silloin, kun niiden ainoat komponentit ovat isomorfiset. Oletetaan luvun c Z + olevan sellainen, että mitkä tahansa c komponenttia sisältävät verkot ovat isomorfisia keskenään juuri silloin, kun niillä on yhtä paljon kutakin eri isomorfialuokkaa edustavia komponentteja. Olkoot U ja W sellaisia verkkoja, joilla on kummallakin yhteensä c+1 komponenttia. Olkoon lisäksi C U jokin verkon U komponentti. 7

8 Oletetaan ensin kuvauksen g: VU) VW) olevan eräs verkkojen U ja W välinen isomorfismi. Olkoon K verkon W aliverkko, jonka virittää joukon VC U ) kuvajoukko kuvauksen g suhteen. Kuvauksen g rajoittumana saadaan isomorfismi verkkojen K ja C U välille. Siten verkko K on yhtenäinen. Lisäksi verkko K on verkon W komponentti, sillä muutoin verkko C U ei olisi verkon U komponentti. Edelleen kuvauksen g rajoittumana saadaan isomorfismi verkkojen U VC U ) ja W VK) välille. Näissä verkoissa on c komponenttia, joten induktio-oletuksen nojalla niillä on sama määrä kutakin isomorfiatyyppiä edustavia komponentteja. Verkoille U ja W pätee sama lopputulos, sillä verkot C U ja K ovat isomorfiset. Oletetaan seuraavaksi, että verkoilla U ja W on sama lukumäärä kutakin eri isomorfialuokkaa edustavia komponentteja. Tällöin jokin verkon W komponentti C W on isomorfinen verkon C U kanssa. Nyt verkoilla U VC U ) sekä W VC W ) on kummallakin c komponenttia ja myös yhtä paljon kutakin eri isomorfialuokkaa edustavia komponentteja. Olkoon induktio-oletuksen perusteella h jokin kyseisten verkkojen välinen isomorfismi. Kuvaus h voidaan laajentaa jollakin verkkojen C U ja C W välisellä isomorfismilla verkkojen U ja W väliseksi isomorfismiksi. Näin ollen induktioaskel on käsitelty. Palataan varsinaisen tehtävän käsittelyyn ottamalla ensin merkintöjä käyttöön. Kirjaimella n merkitään joukon VG) kokoa, jolloin ehto n 3 toteutuu. Kuvaus f on bijektio, joten myös verkossa H on n solmua. Oletusta n 3 tarvitaan, jotta verkon G epäyhtenäisyyden avulla voidaan osoittaa verkko H epäyhtenäiseksi. Jokaisella verkolla R merkinnälläsr) tarkoitetaan verkon R eri aliverkkojen kokoelmaa ja merkinnällä CR) tarkoitetaan verkon R komponenttien kokoelmaa. Olkoon D jokin kiinnitetty joukon SG) SH) isomorfialuokkien edustajisto ja jokaisella verkolla A olkoon lisäksi DA) kaikkien sellaisten joukon D verkkojen kokoelma, joiden jokin aito aliverkko on isomorfinen verkon A kanssa. Jos toisaalta R on jokin äärellinen verkko ja A on mielivaltainen verkko, niin merkinnällä sr, A) tarkoitetaan kaikkien verkon A kanssa isomorfisten verkon R aliverkkojen määrää ja merkinnällä cr, A) tarkoitetaan kaikkien verkon A kanssa isomorfisten verkon R komponenttien lukumäärää. Tavoitteena on todistaa, että jokaisella verkolla A on väite cg, A)=cH, A) voimassa. 8

9 Todistetaan nyt eräs aputulos, jota kirjallisuudessa kutsutaan Kellyn lemmaksi. Sen todistuksessa ei tarvita oletusta verkon G epäyhtenäisyydestä. Olkoon A jokin enintään n 1 solmua sisältävä verkko. Tällöin Kellyn lemman mukaan väittämä sg, A) = sh, A) toteutuu. Nimittäin oletuksen VA) n 1 nojalla joukossa { X, x) : x VG) X SG x) X } = A on tasan sg, A) n VA) ) alkiota, sillä kyseisen kokoelman sisältämien parien ensimmäisenä jäsenenä oleva aliverkko voidaan valita sg, A) tavalla sekä toisena jäsenenä oleva solmu voidaan valita aliverkon ulkopuolelta n VA) eri tavalla. Kuvaus f on bijektio ja jokaisella solmulla x VG) ehto G x = H fx) on voimassa, joten myös joukossa { Y, y) : y VH) Y SH y) Y } = A on täsmälleen sg, A) n VA) ) alkiota. Kyseisessä joukossa on toisaalta tasan sh, A) n VA) ) alkiota. Tällöin oletuksen n VA) 0 nojalla on osoitettu haluttu väittämä sg, A) = sh, A) todeksi. Näytetään seuraavaksi verkon H olevan epäyhtenäinen. Tehdään vastaoletus, että verkko H on yhtenäinen. Verkossa H on vähintään kolme eri solmua, joten tehtävän 2 perusteella on olemassa kaksio{a, b} VH) siten, että solmut a ja b eivät ole verkon H leikkaussolmuja. Siten verkot H a ja H b ovat yhtenäisiä. Kuvaus f on bijektio, jolloin oletettujen isomorfioiden nojalla verkot G f 1 a) ja G f 1 b) ovat yhtenäisiä. Väite f 1 a) f 1 b) on myös voimassa. Yhtenäisyyden perusteella verkolla G f 1 a) on vain yksi komponentti. Verkko G on toisaalta epäyhtenäinen, joten solmun f 1 a) on oltava verkon G erakkosolmu. Tällöin solmu f 1 a) on myös verkon G f 1 b) erakkosolmu, sillä ehto f 1 a) G f 1 b) on voimassa. Toisaalta verkossa G f 1 b) on solmun f 1 a) lisäksi ainakin yksi toinen solmu. Siten verkko G f 1 b) ei ole yhtenäinen. Saatu ristiriita osoittaa verkon H olevan yhtenäinen. Verkot G ja H ovat epäyhtenäisiä, joten niiden jokaisessa komponentissa on enintään n 1 alkiota. Verkkojen G ja H kaikkiin komponentteihin voidaan siten soveltaa Kellyn lemman väitettä. Toisaalta samasta syystä jokaisella vähintään n solmua sisältävällä verkolla A ehdot cg, A)=0 ja ch, A)=0ovat voimassa. 9

10 Olkoon seuraavaksi A mielivaltainen enintään n 1 solmua sisältävä verkko ja olkoon alkio R {G, H} mielivaltainen. Tällöin edellisten päättelyjen perusteella havaitaan joukossa { L, K) : K CR) L SK) L } = A olevan tasan sr, A) alkiota, sillä jokainen verkon A kanssa isomorfinen verkon R aliverkko sisältyy täsmälleen yhteen verkon R komponenttiin. Toisaalta kyseisessä joukossa on toisella tavalla laskettuna yhteensä ) cr, A)+ sb, A) cr, B) B DA) alkiota. Jos nimittäin K on edustajistond jäsen, niin verkko K esiintyy verkon R komponenttina isomorfiaa vaille tasan cr, K) kertaa ja sisältää sf, A) kappaletta verkon A kanssa isomorfisia aliverkkoja. Jokaisella K D\ DA) on lisäksi ehto sf, A)>0 voimassa täsmälleen silloin, kun väite F = A toteutuu. Luku cr, A) voidaan siis määrittää luvun sr, A) avulla tutkimalla verkon R komponentteja, joiden jokin aito aliverkko on isomorfinen verkon A kanssa. Todistetaan jokaisella verkolla A ehdon cg, A) = ch, A) olevan voimassa. Oletetaan vastaoletuksena, että kyseinen väite ei päde. Jokaisella ainakin n solmua sisältävällä verkolla A ehto cg, A) = ch, A) toteutuu, joten on olemassa jokin korkeintaan n 1 solmua sisältävä verkko M siten, että ehto cg, M) ch, M) toteutuu ja että jokaisella verkon M aitona aliverkkonaan sisältävällä verkolla K on myös väite cg, K) = ch, K) voimassa. Toisin sanoen verkon M oletetaan olevan eräs sisältymisen suhteen maksimaalinen verkko, jolla haluttu ehto ei päde. Jokaisella kokoelman DM) jäsenellä B ehto cg, B) = ch, B) toteutuu, sillä verkko B on isomorfinen jonkin sellaisen verkon kanssa, joka sisältää verkon M aitona aliverkkonaan. Aikaisempien päättelyjen perusteella saadaan tulos cg, M)=sG, M) B DM) sb, M) cg, B) ) ) = sh, M) sb, M) ch, B) B DM) = ch, M). 10

11 Saadaan siis ristiriita verkosta M tehtyjen oletusten kanssa. Näin ollen jokaisella verkolla A on väite cg, A) = ch, A) voimassa. Verkoilla G ja H on täsmälleen sama lukumäärä kutakin eri isomorfialuokkaa edustavia komponentteja. Tällöin äärelliset verkot G ja H ovat ratkaisun alussa esitetyn aputuloksen perusteella isomorfisia keskenään. Tehtävä 5 : 6 Täsmennetään eräitä kaksijakoisiin verkkoihin liittyviä käsitteitä. Jos H on jokin verkko ja D on joukon VH) sellainen osajoukko, että verkon H jokaisen särmän päätepisteistä tasan toinen on joukon H jäsen, niin verkko H on kaksijakoinen ja joukon D sanotaan olevan sen eräs jako-osa. Lisäksi verkossa H toteutuu Hallin ehto joukon D suhteen, jos jokaisella joukolla S D väite N H S) S pätee. Osoitetaan tehtävän väitettä yleisemmin induktiolla luvun n Z + suhteen, että jos G on äärellinen kaksijakoinen verkko, jonka jako-osassa D on tasan n solmua ja jossa Hallin ehto on voimassa jako-osan D suhteen, niin verkossa G on jokaisella ehdon r min{deg G u) : u D} toteuttavalla luvulla r N ainakin r! max{r n, 0})! kappaletta joukon D pariutuksia. Käsittelyssä ei vaadita Hallin ehdon toteutuvan kulloinkin tarkasteltavan verkon muiden jako-osien suhteen. Sovelletaan väitteen todistuksessa samaa menettelyä kuin luentojen ja kurssikirjan varsinaisen Hallin lauseen käsittelyn yhteydessä. Olkoot äärellinen kaksijakoinen verkko G ja solmu x VG) sellaisia, että solmun x muodostama yksiö on verkon G eräs jako-osa ja että verkossa G on Hallin ehto voimassa kyseisen jako-osan suhteen. Olkoon r N sellainen, että ehto r deg G x) toteutuu. Jokaisella solmulla y N G x) pätee, että särmän{x, y} muodostama yksiö on eräs joukon{x} pariutus. Jako-osan{x} pariutuksia on siten ainakin r kappaletta eli vähintään luvun r! max{r 1, 0})! 11

12 verran. Jos nimittäin ehto r=0toteutuu, niin myös väite max{r 1, 0}=0pätee. Jos vuorostaan ehto r 0 toteutuu, niin väite max{r 1, 0} = r 1 on voimassa. Näin ollen induktion alkuaskel on käsitelty. Oletetaan induktio-oletuksena luvun n Z + olevan sellainen, että jokaisella äärellisellä kaksijakoisella verkolla, jonka epätyhjässä jako-osassa D on enintään n solmua ja jolla Hallin ehto toteutuu kyseisen jako-osan suhteen, on jokaisella joukon D solmujen asteiden alarajana olevalla luvulla r Nvähintään r! max{r n, 0})! kappaletta joukon D pariutuksia. Olkoon lisäksi G jokin äärellinen kaksijakoinen verkko sekä olkoon A sen jako-osa siten, että verkossa G on Hallin ehto voimassa jako-osan A suhteen ja että joukossa A on tasan n+1 solmua. Olkoon r N jokin luku, jolla ehto r min{deg G u) : u A} toteutuu. Verkossa G on suoraan Hallin lauseen nojalla jokin joukon A pariutus, jolloin tällaisia pariutuksia on vähintään 0! kappaletta. Ehdon r = 0 ollessa voimassa on jako-osan A pariutuksia siten vähintään halutun alarajan verran. Voidaan olettaa ehdon r 1 olevan jatkossa voimassa. Käsitellään ensimmäisenä tapaus, jossa jokaisella joukon A aidolla epätyhjällä osajoukolla R on ehto N G R) R +1 voimassa. Olkoon x joukon A jokin alkio ja olkoon y solmun x mielivaltainen naapuri. Tällöin erityisesti ehto y / A toteutuu. Verkko G {x, y} on kaksijakoinen ja joukko A\{x} on sen epätyhjä jako-osa. Joukossa A on nimittäin ainakin kaksi alkiota. Verkossa G {x, y} on Hallin ehto voimassa jako-osan A\{x} suhteen, sillä jokaisella joukon A\{x} aidolla epätyhjällä osajoukolla S pätee oletuksen mukaan NG {x,y} S) = NG y S) = NG S)\{y} NG S) 1 S. Lisäksi tyhjän joukon naapurustossa ei ole yhtään solmua ja koko joukon A\{x} naapurustossa on vähintään A 1 solmua. Verkossa G {x, y} jokaisella joukon A\{x} solmulla on korkeintaan yksi naapuri vähemmän kuin verkon G yhteydessä. Toisin sanoen ehto r 1 min { deg G {x,y} u) : u A {x} } 12

13 on voimassa. Joukossa A\{x} on korkeintaan n alkiota, jolloin induktio-oletuksen perusteella verkossa G {x, y} on vähintään r 1)! max{r 1) n, 0})! kappaletta joukon A\{x} pariutuksia. Nyt jokainen näistä pariutuksista voidaan verkossa G laajentaa joukon A pariutukseksi särmän{x, y} lisäämisellä. Määritelmän mukaan solmu x on jokaisella joukon A pariutuksella tasan yhden pariutukseen kuuluvan särmän päätepisteenä. Toisaalta solmulla x on vähintään r naapuria ja solmu y valittiin solmun x naapurustosta mielivaltaisesti. Verkossa G on induktio-oletuksen nojalla ainakin r r 1)! max{r 1) n, 0})! erilaista joukon A pariutusta. Haluttu väite on siis tässä tapauksessa voimassa, sillä tulos r n+1)=r 1) n on voimassa. Oletetaan seuraavaksi, että joukon A jollakin aidolla epätyhjällä osajoukolla R on ehto N G R) = R voimassa. Olkoon G R joukon R N G R) virittämä verkon G aliverkko ja olkoon K joukon VG)\VG R ) virittämä verkon G aliverkko. Tällöin verkko G R on kaksijakoinen ja joukko R on sen epätyhjä jako-osa. Verkko K on myös kaksijakoinen ja joukko A\ R on sen epätyhjä jako-osa. Lisäksi joukossa R on korkeintaan n eri alkiota. Näytetään nyt, että verkossa K on Hallin ehto voimassa joukon A\R suhteen. Olkoon S jokin joukon A\R osajoukko. Väite N K S) = N G S) VK) toteutuu, jolloin tietoa N G R) = R soveltaen saadaan tulos N K S) = N K S) + N G R) R = N G S)\N G R) + N G R) R = N G S) N G R) R. Joukot N G S)\N G R) ja N G R) ovat nimittäin erilliset. Toisaalta väite S R= pätee ja verkossa G on Hallin ehto voimassa joukon A suhteen, joten saadaan tulos N G S) N G R) R S R R = S. 13

14 Haluttu lopputulos N K S) S on voimassa. Siten verkossa K on Hallin ehto voimassa joukon A\R suhteen. Nyt verkossa K on Hallin lauseen nojalla jokin pariutus M EK) siten, että joukko M on eräs joukon A\R pariutus. Edelleen myös verkossa G R on Hallin ehto voimassa jako-osan R suhteen, sillä jokaisella joukon R osajoukolla S pätee verkosta G tehdyn oletuksen nojalla N GR S) = N G S) N G R) = N G S) S. Toisaalta jokaisella solmulla x A pätee, että jos solmu y VG) on verkossa G solmun x naapuri, niin solmu y on myös verkossa G R solmun x naapuri. Nimittäin väite N G R) VG R ) on voimassa. Siten ehto r min{deg G u) : u R} toteutuu. Tällöin verkossa G R on induktio-oletuksen nojalla vähintään r! max{r R, 0})! kappaletta joukon R pariutuksia. Toisaalta ehdot N G R) = R ja r N G R) ovat voimassa, joten väite max{r R, 0}=0 toteutuu. Verkossa G on siis joukon A\R pariutuksia ainakin r! kappaletta. Jokainen joukon R pariutuksista voidaan edelleen verkossa G laajentaa koko joukon A pariutukseksi joukon M lisäämisellä, sillä ehto VK) VG R )= pätee. Siten verkossa G on vähintään r! kappaletta joukon A pariutuksia. Lisäksi tiedon R <n+1 nojalla väite max{r n+1), 0}=0 on voimassa. Verkossa G toteutuu haluttu alaraja joukon A pariutusten lukumäärälle. Nyt induktioaskel on käsitelty ja ratkaisun alussa esitetty väite seuraa yleisestä induktioperiaatteesta. Kyseisen tuloksen seurauksena voidaan todistaa varsinainen tehtävässä kysytty väite. Jos nimittäin H on mielivaltainen epätyhjä äärellinen kaksijakoinen verkko, jonka jako-osan D suhteen on Hallin ehto voimassa, niin jokaisella ehdon r δh) toteuttavalla luvulla r N myös väite r N H D) D toteutuu, jolloin verkossa H on edellisen tuloksen mukaan ainakin r! kappaletta joukon D erilaisia pariutuksia. 14

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

15. Laajennosten väliset homomorfismit

15. Laajennosten väliset homomorfismit 15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

ei ole muita välikuntia.

ei ole muita välikuntia. ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 2 ratkaisut Tehtävä 1 Olkoon X = {a, b, c} kolmen alkion joukko. a) Mikä on joukon X eri laskutoimitusten lukumäärä? b) Kuinka moni näistä laskutoimituksista on

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenna Laine. Ramseyn teoria

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenna Laine. Ramseyn teoria TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jenna Laine Ramseyn teoria Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta LAINE, JENNA: Ramseyn teoria Pro

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)

Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Testaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin

Testaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin Yhteydettömien kielioppien ja pinoautomaattien yhteys [Sipser s. 117 124] Todistamme, että yhteydettömien kielioppien tuottamat kielet ovat tasan samat kuin ne, jotka voidaan tunnistaa pinoautomaatilla.

Lisätiedot

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 8,

Algebra I, harjoitus 8, Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen

Lisätiedot

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E. Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3]

Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3] Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3] Yhteydettömille kielille pätee samantapainen pumppauslemma kuin säännöllisille kielille. Siinä kuitenkin pumpataan kahta osamerkkijonoa samaan tahtiin. Lause 2.25

Lisätiedot

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot