Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2"

Transkriptio

1 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella solmulla x on täsmälleen yksi sellainen joukon V(G)\A solmu, joka on solmun x naapuri. Olkoon relaatio kyseessä olevien solmuparien kaksioista määräytyvä joukon V(G) ekvivalenssirelaatio. Suoraan relaation valinnan mukaan relaation jokaisen ekvivalenssiluokan solmujen virittämä verkon G aliverkko on yhtenäinen. Relaation jokaista kahta eri ekvivalenssiluokkaa yhdistää jokin verkon G särmä. Näin ollen verkko G/ on täydellinen. Siten verkko K 5 on verkon G minori, jolloin Kuratowskin lauseen nojalla verkko G ei ole tasoverkko. Tehtävä 8 : 2 Perustellaan aluksi erästä sellaista aputulosta, jonka todistaminen on sivuutettu kurssikirjan esityksessä. Perustelussa jätetään kuitenkin yhä monia yksityiskohtia ilman täsmällistä käsittelyä. Lemma. Olkoon P jokin joukonr 2 murtoviiva sekä olkoon jollakin luvulla n N jono (D 0,..., D n ) avaruuden R 2 avoimia kuulia sellainen, että sen peräkkäiset jäsenet leikkaavat pareittain toisiaan. Oletetaan lisäksi, että jonon jokainen kuula leikkaa yhtä tai kahta murtoviivan P erisuuntaista yhdysjanaa ja että jos sen jokin kuula B sisältää kaksi tällaista janaa, niin näillä janoilla on yhteinen piste, joka on kuulan B alkio. Tällöin jokainen joukon D 0 \ P piste voidaan yhdistää johonkin joukon D n \ P pisteeseen murtoviivalla, joka sisältyy jonon (D 0,..., D n ) kuulien yhdisteeseen ja joka ei sisällä joukon P pisteitä. Todistus. Todistetaan väite induktiolla kokoelman sisältämien avoimien kuulien lukumäärän suhteen. Käsitellään ensin alkuaskel hieman yleisemmässä muodossa. Jos avaruudenr 2 avoin kuula B 1 leikkaa murtoviivaa P vain yhden suoran viivan osalta, niin mitkä tahansa aliavaruuden B 1 \ P samaan yhtenäiseen komponenttiin 1

2 kuuluvat kaksi pistettä voidaan konveksiuden perusteella yhdistää toisiinsa niiden välisellä yhdysjanalla. Olkoon toisaalta B 2 avoin kuula sekä olkoot S ja S sellaiset joukonr 2 suorat, että joukot S P ja S P ovat murtoviivan P jananpätkiä, joiden yhteinen piste on joukon B 2 alkio. Oletetaan, että joukko B 2 leikkaa murtoviivaa P vain joukkojen S P ja S P kohdalla. Olkoot nyt joukon B 2 \P pisteet y ja z aliavaruuden B 2 \P samassa yhtenäisessä komponentissa. Jos pisteet y ja z voidaan yhdistää toisiinsa joukon B 2 \ P yhdysjanalla, niin haluttu lopputulos on voimassa. Muussa tapauksessa suorien S ja S poistaminen osittaa tason R 2 neljään eri avoimeen yhtenäiseen joukkoon. Tällöin pisteet y ja z voidaan yhdistää kahdesta yhdysjanasta koostuvalla murtoviivalla, joka kulkee sellaisen joukonr 2 \(S S ) alueen kautta, joka sisältyy samaan yhtenäiseen avaruuden B 2 \ P komponenttiin solmujen y ja z kanssa mutta joka ei kuitenkaan sisällä kyseisiä pisteitä. Oletetaan seuraavaksi induktio-oletuksena luvun n N olevan sellainen, että jokaisella tasan n kappaletta avoimia kuulia sisältävällä ja väitteen vaatimukset toteuttavalla jonolla on haluttu lopputulos voimassa. Olkoon jono(d 0,..., D n+1 ) joukonr 2 avoimia kuulia sellainen, että se toteuttaa väitteen vaatimukset. Olkoon lisäksi y jokin joukon D 0 \P piste. Jono(D 0,..., D n ) toteuttaa induktio-oletuksen ehdot, joten on olemassa joukon D n \ P piste w siten, että pisteet y ja w voidaan yhdistää jollakin joukkoon ( ) D0 D n \ P sisältyvällä murtoviivalla. Valitaan pisteeksi z jokin joukon(d n D n+1 )\P alkio. Edellisen induktion alkuaskelta hieman yleistävän päättelyn perusteella pisteet w ja z voidaan yhdistää joukon D n+1 \ P murtoviivalla. Tällöin pisteet y ja z voidaan halutulla tavalla yhdistää murtoviivalla toisiinsa. Palataan takaisin varsinaisen tehtävän käsittelyyn. Tarkastellaan kurssikirjan todistuksen tavoin tehtävänannon kaikkia kohtia samalla kerralla. Olkoon S jokin joukko, joka saadaan murtoviivan e jostakin janasta poistamalla sen päätepisteet. Olkoon x 0 jokin joukon S piste. Tällöin joukko ( V(G) ) E(G) \ S 2

3 on suljettu, joten on olemassa joukon R 2 avoin kuula D x0 siten, väite x 0 D x0 on voimassa ja että joukko D x0 leikkaa tasoon piirrettyä verkkoa G vastaavia joukon R 2 pisteitä vain joukon S kohdalla. Avoimella joukolla D x0 \S on kaksi yhtenäistä komponenttia, jotka voidaan laajentaa verkon G tahkoiksi f 1 ja f 2 siten, että väite D x0 \(f 1 f 2 ) pätee. Tapaus f 1 = f 2 on mahdollinen. Piste x 0 on tahkojen f 1 ja f 2 reunalla. Toisaalta piste x 0 ei ole minkään muun tasoon piirretyn verkon G tahkon reunalla, sillä D x0 on avoin kuula, joka sisältää pisteen x 0 ja kohtaa joukon V(G) E(G) vain särmän e osajoukon S kohdalla. Näytetään aluksi, että särmä e sisältyy kokonaan tahkojen f 1 ja f 2 reunoihin. Olkoon y joukon e\{x 0 } piste, joka ei kuitenkaan ole murtoviivan e päätepiste. Olkoon P murtoviivaan e sisältyvä murtoviiva siten, että pisteet x 0 ja y ovat sen päätepisteitä. Olkoon D joukon R 2 kaikkien niiden avointen kuulien kokoelma, jotka eivät kohtaa joukon V(G) E(G) pisteitä särmän e ulkopuolella ja joiden keskipisteet ovat särmän e alkioita. Olkoon nytd kaikkien niiden kokoelmand jäsenten muodostama joukko, jotka toteuttavat edellisen aputuloksen vaatimukset murtoviivan P sisältämien janojen osalta. Vastaavasti kuin solmun x 0 ja avoimen kuulan D x0 tapauksessa havaitaan ehdon P D toteutuvan. Euklidisen avaruudenr 2 osajoukko P on kompakti, joten jokin kokoelmand äärellinen osajoukko peittää sen kokonaan. Tällaisen äärellisen osajoukon kuulat voidaan järjestää sellaiseksi jonoksi, että sen kaikki peräkkäiset jäsenet leikkaavat toisiaan. Pisteet x 0 ja y sisältyvät jonon joihinkin kuuliin, joten kyseisten kuulien jokainen piste voidaan yhdistää toisen kuulan johonkin pisteeseen. Jos pisteistä x 0 ja y ainakin toinen on verkon G jonkin tahkon reunalla, niin myös toinen piste on kyseisen tahkon reunalla. Tahkot ovat nimittäin murtoviivayhtenäisiä joukkoja. Särmän e päätepisteiden jokaisessa ympäristössä on jokin joukon e piste, joka ei ole särmän e päätepiste. Tällöin edellinen päättely osoittaa, että särmä e sisältyy kokonaan tahkojen f 1 ja f 2 reunoihin. Käsitellään nyt tapaus, jossa jollakin verkon G syklillä C väite e E(C) on voimassa. Tasoon piirretyn verkon G murtoviivat leikkaavat toisiaan ainoastaan yhteisissä päätepisteissään, joten joukko E(C) on tasonr 2 monikulmio. Tällöin Jordanin monikulmiolauseen nojalla joukollar 2 \ E(C) on tasan kaksi erillistä 3

4 yhtenäistä komponenttia, joista molempia avoin joukko D x0 leikkaa. Alueet f 1 ja f 2 sisältyvät joihinkin joukon R 2 \ E(C) yhtenäisiin komponentteihin, jolloin oletuksen D x0 \(f 1 f 2 ) nojalla väite f 1 f 2 = toteutuu. Piste x 0 on verkon G kahden eri tahkon reunalla. Siis myös särmä e on kahden eri tahkon reunalla. Oletetaan seuraavaksi, että särmä e ei sijaitse verkon G syklillä. Verkko G e on tällöin epäyhtenäinen, jolloin se voidaan esittää erillisten aliverkkojen H 1 ja H 2 yhdisteenä. Murtoviiva e yhdistää tason erillisiä osajoukkoja V(H 1 ) E(H 1 ) ja V(H 2 ) E(H 2 ) sekä leikkaa niitä vain päätepisteissään. Voidaan havaita, että joukko f 1 f 2 sisältyy verkon G e sellaiseen tahkoon, johon myös murtoviiva e päätepisteitään lukuun ottamatta sisältyy. Olkoon f kyseisen tahko. Tällöin kurssikirjan lemman perusteella joukko f \ e on verkon G tahko. Oletuksen f 1 f 2 f mukaan väittämät f 1 = f \ e sekä f 2 = f \ e ovat voimassa. Siten särmä e sisältyy täsmälleen yhden verkon G tahkon reunaan. Tehtävä 8 : 3 Todistetaan induktiolla luvun m N suhteen, että jokaisella äärellisellä tasoon piirretyllä ja m särmää sisältävällä metsällä on tasan yksi tahko. Olkoon ensin G jokin sellainen äärellinen tasoon piirretty verkko, jolla ei ole särmiä. Joukko V(G) sisältää vain äärellisen määrän joukon R 2 pisteitä, jolloin joukko R 2 \V(G) on avoin ja yhtenäinen. Oletuksen E(G)= nojalla joukko R 2 \ ( V(G) E(G) ) on myös avoin ja yhtenäinen. Verkolla G on siis täsmälleen yksi tahko. Oletetaan induktio-oletuksena luvun m N olevan sellainen, että jokaisella äärellisellä tasoon piirretyllä ja m särmää sisältävällä metsällä on tasan yksi tahko. Olkoon F jokin sellainen äärellinen tasoon piirretty metsä, jolla on m+1 särmää. Olkoon lisäksi e jokin metsän F särmä. Tällöin tasoon piirretty verkko F e on metsä, jolla on tasan m särmää. Nyt induktio-oletuksen nojalla tasoon piirretyllä verkolla F e on vain yksi tahko. JoukkoR 2 \ ( V(F e) E(F e) ) on toisin sanoen avoin ja yhtenäinen. Merkitään kirjaimella f kyseistä joukkoa. Tasoon piirretty metsä F e on epäyhtenäinen, sillä muutoin verkossa F olisi jokin särmän e sisältävä sykli. Olkoot H 1 ja H 2 sellaiset tasoon piirretyn metsän 4

5 F e aliverkot, että metsä F e saadaan näiden aliverkkojen yhdisteenä ja että särmän e päätepisteistä toinen on verkon H 1 solmu ja toinen verkon H 2 solmu. Joukot V(H 1 ) E(H 1 ) ja V(H 2 ) E(H 2 ) ovat joukonr 2 sellaisia erillisiä osajoukkoja, jotka koostuvat äärellisen monesta murtoviivasta ja vain äärellisen monesta murtoviivojen ulkopuolisesta pisteestä. Toisaalta särmä e yhdistää näitä joukkoja sekä leikkaa joukon V(F) E(F) pisteitä vain päätepisteissään. Siten särmä e sisältyy verkon F e tahkoon f päätepisteitään lukuun ottamatta, jolloin kurssikirjan lemman nojalla joukko f \ e on avaruuden (V(H1 R \( 2 ) E(H 1 ) ) ( V(H 1 ) E(H 1 ) ) ) e avoin ja yhtenäinen joukko. Joukko f \e on siis yhtenäinen avaruudessa f \e sekä toisaalta joukko f on avaruudenr 2 avoin joukko, joten joukko f \e on avaruuden R 2 alue. Näin ollen joukko R 2 \ ( V(F) E(F) ) on avoin ja yhtenäinen, jolloin tasoon piirretyllä metsällä F on täsmälleen yksi tahko. Induktioaskel on käsitelty ja haluttu väite seuraa induktioperiaatteesta. Tehtävä 8 : 4 Todistetaan ennen varsinaista väitettä kurssikirjan korollaaria vastaava tulos. Todistuksen jälkeen tehtävänannon väite voidaan yhtäpitävästi ilmaista niin, että jokaisen 2-yhtenäisen tasoon piirretyn verkon jokaisen tahkon reuna muodostuu jostakin verkon murtoviivojen yhdisteeseen sisältyvästä monikulmiosta. Lemma. Olkoon K tasoon piirretty verkko ja olkoon g sen tahko. Olkoon X R 2 tahkon f reuna. Tällöin on olemassa täsmälleen yksi verkon K tasoon piirretty aliverkko, jonka pisteiden ja murtoviivojen yhdisteen joukko X muodostaa. Todistus. OlkoonA kaikkein niiden joukon E(K) murtoviivojen kokoelma, jotka kohtaavat joukon X päätepisteidensä ulkopuolella. Tällöin tehtävän 2 perusteella jokaisella murtoviivalla e A on ehto e X voimassa. Toisaalta jokainen joukon A murtoviiva sisältää omat päätepisteensä, jotka lisäksi tasoon piirretyn verkon määritelmän mukaan ovat myös joukon V(K) alkioita. Siten pari ( V(K) X,A ) 5

6 on verkon K tasoon piirretty aliverkko, jolla ehto ( ) V(K) X A = X toteutuu. Perustellaan kyseisen verkon olevan pienin mahdollinen halutun ehdon toteuttava verkon K tasoon piirretty aliverkko. Kokoelman A jokainen murtoviiva kuuluu kaikkiin väitteen ehdon toteuttaviin aliverkkoihin, sillä tasoon piirretyn verkon K murtoviivat leikkaavat toisiaan vain päätepisteissään. Lisäksi joukon A murtoviivojen päätepisteet kuuluvat halutun ehdon toteuttavien aliverkkojen solmujoukkoihin. Toisaalta kokoelman A särmien päätepisteiden ohella joukon V(K) muut solmut eivät ole tahkon g reunan alkioita. Nimittäin joukon V(K) äärellisyyden perusteella jokainen joukon X piste kuuluu jonkin verkon K murtoviivan pistejoukkoon. Toisin sanoen verkon ( V(K) X,A ) aidot aliverkot eivät pidä sisällään joukon X jokaista pistettä. Jos jokin verkon K murtoviiva leikkaa joukkoa X enintään päätepisteidensä kohdalla, niin se sisältää jonkin pisteen, joka ei ole joukon X alkio. Joukon E(K) eri murtoviivat nimittäin yhdistävät tasonr 2 kahta eri pistettä, jolloin päätepisteet erityisesti eivät muodosta murtoviivaa kokonaan. Verkko ( V(K) X,A ) on ainoa halutun ehdon toteuttava verkko. Näytetään seuraavaksi, kuinka jokaisen 2-yhtenäisen tasoon piirretyn verkon jokaista tahkoa vastaa verkon jokin sykli, jonka solmut ja särmät muodostavat kyseessä olevan tahkon reunan. Tehdään vastaoletus, että 2-yhtenäinen verkko G on särmien lukumäärän suhteen pienintä mahdollista kokoa oleva tasoon piirretty verkko, jolla on tahko f siten, että minkään verkon G syklin pistejoukko tasossa R 2 ei ole tahkon f reuna. Tällöin verkko G ei ole sykli. Muussa tapauksessa joukko V(G) E(G) olisi nimittäin tasonr 2 monikulmio, jolloin Jordanin monikulmiolauseen nojalla tahko f olisi toinen kyseisen monikulmion rajaamista alueista. Näin ollen kurssikirjan lauseen perusteella on olemassa jokin verkon G tasoon piirretty 2-yhtenäinen aliverkko H sekä tasoon piirretty ja ainakin yhden särmän sisältävä polku P siten, että verkko G saadaan kyseisten aliverkkojen yhdisteenä ja että joukko ( V(P) ) ( E(P) V(H) ) E(H) 6

7 on polun P päätepisteiden joukko. Tahko f ei ole verkon H tahko. Verkoilla H ja P ei nimittäin ole yhteisiä särmiä, jolloin oletuksesta E(P) 1 seuraa lisäksi ehdon E(H) < E(G) olevan voimassa. Siten verkon H jokaisen tahkon reuna on jonkin verkon H syklin muodostama joukko. Toisaalta polku P ei kohtaa verkon H solmuja ja murtoviivoja päätepisteidensä ulkopuolella, joten on olemassa verkon H tahko f siten, että ehto ( V(P) ) ( E(P) \ V(H) ) E(H) f on voimassa. Nyt on olemassa verkon H tasoon piirretty sykli C niin, että joukko V(C) E(C) on tahkon f reuna. Verkon G tahko f ei ole verkon H tahko ja verkko H on verkon G aliverkko, joten jokin alueen f reunan pisteistä ei kuulu verkon H solmujen ja murtoviivojen yhdisteeseen. Siten alueen f reuna leikkaa polkua P päätepisteiden ulkopuolella, joten ehto f f toteutuu. Avoin ja murtoviivayhtenäinen joukko f kuitenkin sisältyy johonkin verkon H tahkoon, jolloin väittämä f f toteutuu. Verkon H eri tahkot eivät nimittäin leikkaa toisiaan. Lisäksi tällöin tahkon f reuna sisältyy alueen f reunan sekä polun P solmujen ja murtoviivojen yhdisteeseen. Kurssikirjan lemman perusteella joukko f sisältyy johonkin joukon ( R \( 2 V(C) ) ( E(C) V(C) ) ) E(C) avoimeen ja yhtenäiseen komponenttiin. Verkon G tahkon f reuna siis muodostuu sellaisesta monikulmiosta, joka on osajoukko verkon G solmujen ja murtoviivojen yhdisteelle. Tahkon f reuna virittää edellisen aputuloksen sovelluksena verkon G syklin, mikä on ristiriidassa vastaoletuksen kanssa. Haluttu väite siis pätee. Tehtävä 8 : 5 Oletetaan ensin, että äärellinen tasoon piirretty verkko G on kolmiointi. Näytetään verkon G olevan maksimaalinen tasoon piirretty verkko. Tehdään vastaoletus, että jotkin verkon G solmut x ja y ovat sellaisia, että niitä ei yhdistä mikään verkon G 7

8 särmä ja että ne kuitenkin voidaan yhdistää tasonr 2 murtoviivalla P siten, että se leikkaa joukkoa V(G) E(G) vain solmujen x ja y kohdalla. Tällöin joukko P\{x, y} sisältyy tasoon piirretyn verkon G johonkin tahkoon. Olkoon g kyseinen tahko ja olkoon R tehtävän 4 yhteydessä esitetyn aputuloksen mukainen verkon G tasoon piirretty aliverkko, joka muodostuu tahkon g reunalla olevista joukon V(G) alkioista ja niistä joukon E(G) murtoviivoista, joiden jokin muu piste kuin päätepiste on tahkon g reunalla. Murtoviiva P on yhtenäisen joukon kuvajoukko jatkuvan kuvauksen suhteen, jolloin reunanylityslauseen perusteella solmut x ja y sijaitsevat tahkon g reunalla. Nyt ehto {x, y} V(R) toteutuu, jolloin oletuksen R = K 3 nojalla solmuja x ja y yhdistää jokin verkon G särmä. Saadaan ristiriita murtoviivan P valinnan kanssa. Näin ollen verkko G on maksimaalinen tasoon piirretty verkko. Oletetaan seuraavaksi verkon G olevan jokin äärellinen maksimaalinen tasoon piirretty verkko. Olkoon f verkon G mielivaltainen tahko ja olkoon H tahkon f virittämä verkon G tasoon piirretty aliverkko tehtävän 4 aputuloksen mukaisesti. Olkoon lisäksi n joukon V(H) koko ja olkoon U joukon V(H) virittämä verkon G tasoon piirretty aliverkko. Näytetään tasoon piirretyn verkon U olevan täydellinen. Tehdään vastaoletus, että joukon V(U) joitakin solmuja x ja y ei yhdistä toisiinsa mikään joukon E(U) murtoviiva. Tahko f on avoin ja murtoviivayhtenäinen tason R 2 osajoukko, joten sen reunalla olevat pisteet x ja y voidaan yhdistää murtoviivalla, joka on tahkon f ulkopuolella vain päätepisteidensä kohdalla. Tällaisen murtoviivan lisäämisellä joukkoon E(G) saadaan tasoon piirretty verkko, joka on verkon G aito laajennos. Saatu ristiriita osoittaa väitteen U = K n olevan voimassa. Osoitetaan seuraavaksi, että verkossa H on vähintään yksi sykli. Oletetaan vastaoletuksena verkon H olevan syklitön. Tällöin tehtävän 3 perusteella tasoon piirretyllä metsällä H on vain yksi tahko, jolloin kyseinen tahko muodostaa joukon V(H) E(H) komplementin perusjoukon R 2 suhteen. Edelleen havaitaan, että väite V(H) E(H)= V(G) E(G) on voimassa. Nyt tehtävän 4 yhteydessä todistetun aputuloksen mukaan myös väitteet H = G ja U = G toteutuvat. Jos ehto n 3 on voimassa, niin täydellisessä verkossa U on vähintään yksi 8

9 sykli, jolloin tieto H = U johtaa ristiriitaan verkon H syklittömyyden kanssa. Jos toisaalta väite n 2 pätee, niin täydellinen verkko U sisältää korkeintaan kaksi eri solmua, mikä johtaa ristiriitaan tietojen U = G ja V(G) 3 kanssa. Näin ollen verkossa H on oltava ainakin yksi sykli, jolloin myös väittämä n 3 pätee. Näytetään seuraavaksi väitteen n 3 toteutuvan olettamalla vastaoletuksena ehdon n 4 pätevän. Tällöin täydellisellä verkolla U on tasoon piirretty sykli C siten, että se sisältää neljä solmua. Olkoon {v 1, v 2, v 3, v 4 } syklin C solmujoukon sellainen numerointi, että solmut v 1 ja v 3 eivät ole syklin C vierekkäisiä solmuja. Joukko f on avoin ja murtoviivayhtenäinen joukon ( R 2 \ V(G) ) E(G) osajoukko, joten tasoon piirretyn verkon G aliverkolla C on jokin tahko f C siten, että ehto f f C toteutuu. Toisaalta syklin C solmut ja murtoviivat muodostavat tason R 2 monikulmion, joten Jordanin monikulmiolauseen nojalla on olemassa verkon C tahko f C niin, että ehto f C f C on voimassa. Tiedon V(U)= V(H) perusteella verkon U kaikki solmut sijaitsevat tahkon f reunalla. Sykli C on toisaalta verkon U aliverkko, joten pisteet v 1 ja v 3 voidaan yhdistää murtoviivalla, joka sisältyy joukkoon f päätepisteitään lukuun ottamatta. Tällöin oletuksen f f C sekä kurssikirjan lemman perusteella solmuja v 2 ja v 4 yhdistävä joukon E(U) murtoviiva ei kulje tahkon f C kautta, joten solmujen v 2 ja v 4 välinen särmä on päätepisteitään lukuun ottamatta joukon f C osajoukko. Vastaavalla tavalla solmujen v 1 ja v 3 välinen verkkoon U kuuluva murtoviiva on päätepisteitään lukuun ottamatta joukon f C osajoukko. Näin ollen kurssikirjan lemman mukaan kahdella eri syklin C reunalta lähtevällä ja tahkon f C kautta kulkevalla murtoviivalla, joista yksi yhdistää solmut v 1 ja v 3 toisiinsa sekä toinen solmut v 2 ja v 4 toisiinsa, on ainakin yksi yhteinen piste. Saadaan siis ristiriita tasoon piirretyn verkon määritelmän kanssa. Ehto n 3 on voimassa, jolloin edelleen tiedon n 3 perusteella verkko H on kolmesta solmusta koostuva sykli. Toisaalta tahko f valittiin mielivaltaisesti, joten verkko G on osoitettu kolmioinniksi. 9

10 Tehtävä 8 : 6 Olkoon H jokin isomorfialuokkien edustajisto sellaisille täsmälleen kuusi solmua sisältäville verkoille, jotka eivät ole tasoverkkoja. Olkoon H 1 joukon H niiden verkkojen kokoelma, joilla on verkko K 3,3 minorina. Olkoon edelleenh 2 joukon H niiden verkkojen kokoelma, joiden jokin aliverkko on isomorfinen verkon K 5 kanssa. Viimeisenä valitaan joukkoonh 3 kokoelmanh sellaiset verkot, joilla on verkko K 5 minorina ja jotka eivät kuitenkaan ole joukonh 2 jäseniä. Näillä merkinnöillä väite H =H 1 H 2 H 3 on voimassa, sillä Kuratowskin lauseen nojalla jokaisella sellaisella äärellisellä verkolla, joka ei ole tasoverkko, on minorina verkoista K 5 ja K 3,3 ainakin toinen. Kyseinen yhdiste ei ole erillinen, mutta ehtoh 2 H 3 = kuitenkin toteutuu. Lasketaan ensin joukon H 1 koko. Havaitaan aluksi, että jokaisella kolme eri solmua sisältävällä syklillä on tasan neljä keskenään epäisomorfista aliverkkoa ja että kolmesta solmusta koostuvien syklien aliverkkojen isomorfisuus määräytyy suoraan särmien lukumäärän perusteella. Verkossa K 3,3 on kuusi solmua, joten jokainen kokoelman H 1 jäsen sisältää jonkin aliverkon, joka on isomorfinen verkon K 3,3 kanssa. Toisaalta verkon K 3,3 komplementtiverkko koostuu kahdesta erillisestä syklistä, joissa kummassakin on kolme eri solmua. Tällöin kokoelman H 1 jokaisen verkon komplementtiverkko sisältää kaksi erillistä kolmen solmun aliverkkoa, joiden välillä ei ole särmiä ja joista kumpikin on jonkin kolmesta solmusta koostuvan syklin aliverkko. Viidennen harjoituskerran tehtävän 5 ratkaisun yhteydessä esitetyn tuloksen mukaan jokaisen äärellisen verkon isomorfialuokka määräytyy suoraan verkon kutakin eri isomorfialuokkaa edustavien komponenttien lukumäärien perusteella. KokoelmanH 1 koko saadaan määritettyä laskemalla niiden tapojen määrä, joilla joukon H 1 verkkojen komplementtiverkkojen komponentit voidaan valita kolme solmua sisältävien syklien aliverkkojen isomorfialuokista. Saadaan tulos ( ) ( ) 4 4 H 1 = + = 4+6 = Näin monella tavalla voidaan nimittäin valita jokin enintään kaksi alkiota sisältävä osajoukko jostakin neljä alkiota sisältävästä joukosta. 10

11 Tarkastellaan nyt joukon H 2 kokoa. Jokaisella kokoelman H 2 jäsenellä G on aliverkko A siten, että verkot A ja K 5 ovat isomorfisia keskenään, jolloin havaitaan, että verkon G komplementtiverkossa G ei joukon V(A) virittämässä aliverkossa ole särmiä ja että yksiön V(G)\V(A) sisältämästä solmusta voi verkossa G olla särmä mihin tahansa joukon V(A) solmuun. Toisin sanoen joukon H 2 jokaisen verkon komplementtiverkossa ovat kaikki särmät samassa komponentissa siten, että korkeintaan yhdellä solmulla on enemmän kuin yksi naapuri. Näin ollen joukonh 2 \H 1 jokaisella verkolla on täsmälleen yksi solmu, jolla on ainakin kolme naapuria. Jos nimittäin jollakin verkolla G H 2 ehto (G) 2 on voimassa, niin verkon G komplementtiverkko voidaan jakaa kahteen erilliseen kolme solmua sisältävään aliverkkoon, joiden välillä ei ole särmiä. Verkko G olisi tällöin isomorfinen kokoelmanh 1 jonkin jäsenen kanssa. Täydellisessä verkossa K 5 on kymmenen särmää, joten joukon H 2 verkkojen komplementtiverkkojen kokoelmassa esiintyy joukon {0,..., 5} jokaista alkiota kohti jokin sellainen verkko, jolla on kyseistä lukua vastaava lukumäärä särmiä. Jokaista tällaista lukumäärää vastaa täsmälleen yksi kokoelmanh 1 verkko, joten joukossah 2 \H 1 on tasan kolme jäsentä. Lasketaan vielä joukonh 3 \H 1 alkioiden määrä. Olkoon R joukonh 3 jäsen. Verkko K 5 on verkon R minori mutta ei kuitenkaan aliverkko, jolloin verkon K 5 kanssa isomorfisen aliverkon muodostamisessa eräänä vaiheena on jonkin särmän kutistaminen. Olkoot verkon R solmut a ja b kyseisen särmän päätepisteet. Minorin määritelmän nojalla kaksiosta {a, b} on särmä joukon V(R)\{a, b} jokaiseen solmuun. Vastaavasti jokaisesta joukon V(R)\{a, b} solmusta x lähtee vähintään yksi särmä joukkoon {a, b} sekä tasan yksi särmä jokaiseen joukon V(R)\{a, b, x} solmuun. Solmut a ja b ovat siis verkon R ainoat solmut, joilla voi verkon R komplementtiverkossa R olla enemmän kuin yksi naapuri. Toisaalta saadaan myös havainto 2 E(R) = 21, joten verkossa R on vähintään yksitoista särmää. Verkossa R on näin ollen enintään neljä eri särmää. 11

12 Verkossa R solmujen a ja b välillä ei ole särmää. Niistä kummastakin lähtee ainakin yksi särmä, sillä muussa tapauksessa verkko K 5 olisi suoraan isomorfinen jonkin verkon R aliverkon kanssa. Verkko R voidaan siis esittää kahden sellaisen aliverkon yhdisteenä, joiden välillä ei ole särmiä ja joista kumpikaan ei sisällä kaksion{a, b} molempia solmuja. Jos ehto R H 3 \H 1 toteutuu, niin kaksion {a, b} toisella solmulla on kolme naapuria ja toisella vain yksi naapuri. Ehdon R H 3 \H 1 toteutuminen määrää verkon R rakenteen isomorfiaa vaille yksikäsitteisesti. Näin ollen joukossah 3 \H 1 on korkeintaan yksi alkio. Toisaalta sellainen verkko, joka saadaan laajentamalla verkon K 5 jokin särmä kahdeksi eri särmäksi ja niiden yhteiseksi päätepisteeksi, ei sisällä kumpaakaan verkoista K 5 ja K 3,3 aliverkkonaan, mutta sisältää kuitenkin verkon K 5 minorinaan. Siten ehto H 3 \H 1 =1 toteutuu. Kokoelmat H 2 ja H 3 ovat suoraan määritelmiensä perusteella erilliset. Siten kokoelman {H 1, H 2 \H 1, H 3 \H 1 } joukot ovat pareittain ja kolmittain erilliset. Joukossa H on näin ollen yhteensä neljätoista jäsentä. Toisin sanoen on olemassa tasan neljätoista keskenään epäisomorfista kuusi solmua sisältävää verkkoa, jotka eivät ole tasoverkkoja. 12

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2

Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2 Tehtävä 5 : 1 Merkitään kirjaimella H kuvan punaisten solmujen virittämää verkon G yhtenäistä aliverkkoa, jossa on yhteensä kolme särmää. Aliverkosta H voidaan kahdella tavalla valita kahden solmun joukko

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé

Lisätiedot

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E. Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla? 7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä 6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot

Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.

Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. 5. Verkkoalgoritmeja Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. Palauttaminen edellyttää usein ongelman ja algoritmin pientä modifioimista,

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenna Laine. Ramseyn teoria

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenna Laine. Ramseyn teoria TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jenna Laine Ramseyn teoria Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta LAINE, JENNA: Ramseyn teoria Pro

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I. Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan - tarinaosasto Tero Kilpeläinen

Johdatus matematiikkaan - tarinaosasto Tero Kilpeläinen Tero Kilpeläinen Syksy 2011 Mitä todistettavaa? Seuraavassa esimerkkejä lauseista, joiden todistukset eivät ole ilmeisiä. Aritmetiikan peruslause Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää yksikäsitteisellä

Lisätiedot

VERKOT. SUHTEIKOT JA VERKOT 1. Johdanto... 1 2. Pisteiden asteet...7 3. Yhtenäisyys... 11 4. Kulku suhteikossa... 18 5. Hamiltonin kulut...

VERKOT. SUHTEIKOT JA VERKOT 1. Johdanto... 1 2. Pisteiden asteet...7 3. Yhtenäisyys... 11 4. Kulku suhteikossa... 18 5. Hamiltonin kulut... Heikki Junnila VERKOT. LUKU I SUHTEIKOT JA VERKOT 1. Johdanto..... 1 2. Pisteiden asteet...7 3. Yhtenäisyys.... 11 4. Kulku suhteikossa.... 18 5. Hamiltonin kulut....... 26 Harjoitustehtäviä......35 LUKU

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot