Sähkövirran määrittelylausekkeesta

Transkriptio

1 VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien suureiden laskemiseksi KRCHHOFFN SÄÄNNÖT: Kirchhoffin. sääntö (K): - haarautumispisteeseen tulevien virtojen summa on yhtä suuri kuin siitä lähtevien virtojen summa A + 2 = eli yleisesti: tuleva. = lähtevä Kirchhoffin. sääntö on seurausta sähkövarauksen säilymislaista, jonka mukaan sähkövarauksen n kokonaismäärä on vakio; Qi= vakio. Tarkastellaan esim. yllä olevan kuvan mukaistaa kytkennän haarautumiskohtaa. Sähkövarauksen säilymislain mukaan johtimien liitoskohdasta A täytyy lähteä yhtä paljon elektroneja kuin siihen tulee. Q + Q 2 = Q 3 + Q + Q 5. (*) i=

2 Sähkövirran määrittelylausekkeesta Q = t saadaan sähkövaraukselle lauseke Q = t. Näin yhtälö (*) tulee muotoon t + 2 t = 3 t + t + 5 t, josta jakamalla ajalla t seuraa sitten Kirchhoffin. sääntö. Kirchhoffin 2. sääntö (K): - suljetussa virtapiirissä lähdejännitteiden summa on yhtä suuri kuin piirissä tapahtuvien jännitehäviöiden summa m n eli E i= Ri = i= Kirchhoffin 2. sääntö voidaan esittää myös toisessa muodossa: - suljetussa virtapiirissä potentiaalimuutosten summa on nolla eli V = 0, jos muutosten suunnat otetaan huomioon etumerkeillä - merkkisäännöt ovat kuvion mukaisesti seuraavat: Sovelletaan sitten Kirchhoffin 2. sääntöä alla olevan kuvan mukaiseen tasavirtapiiriin: + -

3 Kuvan virtapiirissä on jännitelähde, jonka lähdejännite on E. Sen napoihin on kytketty ulkoinen vastus, jonka resistanssi on R u. Jännitelähteen sisäinen resistanssi on R s. Virta kulkee myös jännitelähteen läpi ja se aiheuttaa jännitehäviön R s jännitelähteessä. Energian säilymislain mukaan jännitelähteen tuottama sähköenergia on yhtä suuri kuin sisäisen ja ulkoisen vastuksen yhteinen energiankulutus. W = W s + W u Pt = P s t + P u t : t P = P s + P u P = E, P = R 2 E = R s 2 + R u 2 : E = R s + R u () missä E = pariston lähdejännite = piirissä kulkevaa sähkövirta R s = jännitelähteen sisäinen resistanssi R u = ulkoisen vastuksen resistanssi Yllä olevasta lausekkeesta () nähdään, että lähdejännite E on yhtä suuri kuin jännitehäviöiden summa piirissä. Vastaava tarkastelu pätee myös sellaisiin virtapiireihin, joissa on useita jännitelähteitä. Lauseke () on sovellettavissa yleisestikin Kirchhoffin 2. m n säännön E i= Ri mukaisesti. = i= Lauseke () saadaan termejä siirtämällä helposti muotoon E - R s - R u = 0, () joka on Kirchhoffin 2. säännön toinen esitystapa:

4 - suljetulla kierroksella potentiaalimuutosten summa on nolla ( V = 0), kun muutosten suunnat otetaan huomioon etumerkeillä (ks. merkkisäännöt). Kun lähdetään kiertämään virtapiiriä myötäpäivään virran suunnassa lähtien liikkeelle jännitelähteestä E, niin tuloksena saadaan lauseke (). VRTAPRLASKUJEN SUORTUSVAHEET: ) Merkitään kytkentäkaavioon sähkövirran suunnat - jos suunta valitaan väärin päin, se ilmenee laskutuloksessa negatiivisena virran arvona. 2) Sovitaan virtapiirin tarkastelusuunta; joko myötäpäivään tai vastapäivään 3) Jos virtapiirissä on johtimien haarautumiskohtia, muodostetaan Kirchhoffin. säännön mukaisesti virtayhtälöt ) Valitaan lähtöpiste suljetussa virtapiirissä, esim. jännitelähde ja kierretään piiri virran suunnassa 5) Sovelletaan Kirchhoffin 2. sääntöä niin moneen suljettuun virtapiiriin ( silmukoihin ), että saadaan tarpeeksi monta yhtälöä tuntemattomien suureiden laskemiseksi. Potentiaalimuutoksien etumerkit otetaan huomioon merkkisääntöjen mukaisesti (ks. ed.). ESM.. Oheisen kaavion mukaisessa kytkennässä sähkölaitteiden lähdejännitteet ovat E =,6 V ja E 2 = 6,2 V sekä sisäiset resistanssit R S = 0,20 Ω ja R S2 = 0,30 Ω. Vastusten resistanssit ovat R =,8 Ω ja R 2 = 3,3 Ω. Määritä pisteiden A, B ja C potentiaalit. (YO-K83-5).

5 Ratkaisu Pisteen A potentiaali V A = 0 V, koska piste A on maadoitettu. Pisteiden B ja C potentiaalien määrittämiseksi lasketaan piirissä kulkeva virta. Merkitään kuvioon virran suunta myötäpäivään. Kirchhoffin 2. säännön mukaan suljetussa virtapiirissä potentiaalimuutosten summa on nolla. Huom! Jännitelähteiden kytkennät ovat erisuuntaiset! Kun lähdetään pisteestä A ja kuljetaan oletetun virran suuntaan ACBA (myötäpäivään) saadaan suljetulla kierroksella Kirchhoffin 2. säännön mukaisesti: E R S E 2 R S2 R R 2 = 0 ja edelleen: E E 2 = R S + R S2 + R + R 2 E E 2 = (R S + R S2 + R + R 2 ) : joten sähkövirraksi saadaan = R S E + R S2 E2 + R + R 2,6 V - 6,2 V = =,50A 0,20Ω + 0,30 Ω +,8 Ω + 3,3Ω Kun kuljetaan pisteestä A pisteeseen B (vastapäivään), mennään virtaa vastaan, joten merkkisääntöjen mukaan Pisteen B potentiaali V B = +R = +,8 Ω,50 A = +2, V.

6 Sama tulos saavutettaisiin tietenkin myös kuljettaessa myötäpäivään suljetussa virtapiirissä kierros ACD pisteestä A alkaen: V B = E R S E 2 R S2 R 2 V B =,6 V 0,20 Ω,50 A 6,2 V 0,30 Ω,50 A 3,3 Ω,50 A = +2, V. Pisteen C potentiaali V C = E R S V C =,6 V 0,20 Ω,50 A = +,3 V + V. Sama tulos tässäkin tapauksessa saataisiin, jos kuljettaisiin suljetussa virtapiirissä päinvastaiseen suuntaan (A B C). Totea! VAST. Pisteiden A, B ja C potentiaalit ovat: V A = 0 V, V B = 2, V ja V C = V. ESM. 2. Oheisessa tasavirtapiirissä on kaksi jännitelähdettä sekä kaksi ulkoista vastusta kytketty kuvion osoittamalla tavalla. Jännitelähteiden lähdejännitteet ovat E = 0 V ja E 2 = 00 V sekä niiden sisäiset resistanssit R S = 0 Ω ja R S2 = 00 Ω. Vastusten resistanssit ovat R = 0 Ω ja R 2 = 00 Ω. Laske virtapiirissä kulkevien virtojen suuruudet.

7 Ratkaisu. Koska virtapiirissä on kolme haarautumaa, niin siinä on kolme tuntematonta virtaa, joiden laskemiseksi tarvitaan kolme yhtälöä. Merkitään virrat kytkentäkaavioon ja valittu positiivinen kiertosuunta sekä jännitelähteiden napojen merkit (ks. kuva). Kirchhoffin. säännöstä saadaan yhtälö: + 2 = 3 () Kirchhoffin 2. sääntöä sovelletaan kierroksella 2 (ks. kuvio), josta saadaan yhtälö: E R S R R 2 3 = 0 E = R S + R + R V = 0Ω + 0Ω + 00Ω 3 Samoin sovelletaan Kirchhoffin 2. sääntöä kierroksella 3 (ks. kuvio), josta saadaan yhtälö: E 2 R S2 2 R 2 3 = 0 E 2 = R S2 2 + R V = 00Ω Ω 3 Näin Kirchhoffin lakeja soveltamalla on saatu yhtälöryhmä, jossa on kolme tuntematonta ja kolme yhtälöä.

8 + 2 = 3 20Ω + 00Ω 3 = 0V 00Ω Ω 3 = 00V Sieventämällä saadaan yhtälöistä ja yhtälöpari: 2Ω + 0Ω 3 = V Ω 2 + Ω 3 = V Yhtälöstä () ratkaistaan 3 = + 2 ja sijoitetaan yhtälöön, jolloin saadaan: 2Ω + 0Ω ( + 2) = V Ω 2 + Ω ( + 2) = V Yhtälöpari tulee nyt muotoon. 2Ω + 0Ω 2 = V Ω + 2Ω 2 = V Eliminoidaan sitten esim. 2 kertomalla alempi yhtälö -5:llä ja laskemalla puolittain yhtälöt ja yhteen: 2Ω - 5Ω + 0Ω -0Ω 2 2 = V = 5V () Ω = - V, josta seuraa, että = Siis = A - 0,5 A. Huom! Miinusmerkki :n edessä ilmoittaa virran kulkevan päinvastaiseen suuntaan kuin piirrokseen on merkitty. Sijoitetaan seuraavaksi = A esim. yhtälöön, jolloin saadaan Ω ( A) + 2Ω 2 = 2Ω 2 = V + V Yhtälön () mukaan 3 = = A + V ja edelleen - V Ω = V. 2 = A 0,86 A. A 0,23 A.. Vast. Piirissä kulkevat virrat: = 0,5 A 2 = 0,9 A 3 = 0,2 A.