Mikroskooppi yksinkertaisimmillaan muodostuu kahdesta positiivisesta linssistä. Lähellä tutkittavaa esinettä eli objektia sijaitsee

Transkriptio

1 MIKROSKOOPPI Mikrskppi yksinkertaisimmillaan mudstuu kahdesta psitiivisesta linssistä. Lähellä tutkittavaa esinettä eli bjektia sijaitsee hyvin lyhytplttvälinen bjektiivilinssi ja lähellä silmää sijaitsee suurennuslasi eli kulaari. Tutkittava esine sijitetaan bjektiivin eteen siten, että sen etäisyys s n hieman pitempi kuin bjektiivin plttväli. Tällöin bjektiivi mudstaa esineestä suurennetun tdellisen (väli)kuvan etäisyydelle s '. Okulaari timii suurennuslasina, jlla välikuvaa katstaan. Js välikuva sijitetaan kulaarin plttpisteeseen, lpullinen kuva mudstuu kaukpisteeseen (äärettömyyteen) ja sitä n helpp katsa. Kuvassa d n mikrskpin linssien välimatka ja L ns. ptinen pituus (plttpisteiden välimatka). Mikrskpin suurennus. Mikrskpissa bjektiivi mudstaa esineestä suurennetun välikuvan, jta katstaan kulaarilla kuten suurennuslasilla. Suurennus mudstuu siis kahdesta tekijästä M = m M e, (8.6.1)

2 202 jista ensimmäinen ( m ) n bjektiivin pikittainen suurennus ja tinen ( M e) kulaarin kulmasuurennus. Kuvausta bjektiivilla hallitaan yhtälöllä s + s' = Þ s s ' = s - ja bjektiivin suurennukseksi saadaan s' m =- =-. s s - Okulaarin suurennus n 25 M e =, kun kuva säädetään kaukpisteeseen ja e 25 M e = + 1, kun kuva säädetään lähipisteeseen e Kun lpullinen kuva n säädetty kaukpisteeseen, välikuvan sijaitsee kulaarin plttpisteessä, ts. s' = + L. Alkuperäisen esineen etäisyydeksi laskemme s s' ( + L) ( + L) = = = s' - + L- L ja bjektiivin suurennukseksi tulee m L =-. Mikrskpin kknaissuurennukseksi saamme L 25 M =-. (8.6.2) e Tässä siis L n mikrskpin ptinen pituus (linssien plttpisteiden väli) ja kuva n säädetty kaukpisteeseen, ts. sitä n helpp katsa.

3 Esimerkki: Mikrskpin bjektiivin plttväli n 3.80 cm ja kulaarin 5.00 cm. Linssien välimatka n 16.4 cm. Laske suurennus, kun lpullinen kuva n säädetty a) kaukpisteeseen b) lähipisteeseen Ratkaisu: L 25, missä e = 3.80 cm e = 5.00 cm d = 16.4 cm L = d - - e = 7.60 cm a) Suurennus (8.6.2) M = - Tulee M= -10 b) Lpullinen kuva n lähipisteessä, ts. kulaari kuvaa välikuvan etäisyydeltä se lpulliseen etäisyyteen s 'e = -25 cm: Þ se = cm» 4.17 cm. + = 6 se -25cm 5.00cm Siis välikuva n 4.17 cm kulaarista eli 16.4 cm 4.17 cm = cm bjektiivista. Kuvaus bjektiivilla ( s ' = cm): s' s = = cm s ' - s' m = - = = s ja kknaissuurennukseksi tulee æ 25 ö + 1» -13 M = m M e = ç è 5.00 ø kska kuva n lähipisteessä

4 204 Mikrskpissa bjektiivi timii tulpupillina ja lähtöpupilli n bjektiivi kuvattuna kulaarilla. Mikrskpin läpäisseen sädekimpun maksimienergiatiheys n lähtöpupillin khdalla, jten silmä kannattaa sijittaa juuri siihen. Mikrskpin sisään täsmälleen välikuvan khdalle sijitetaan lisäksi ylimääräinen kaihdin, jka timii kenttäkaihtimena. Silmä näkee siten sekä kuvan että näkökentän täsmällisesti rajatun reunan yhtäaikaa terävänä: 8.7 KAUKOPUTKET Kuten mikrskpissa niin myös kaukputkessa bjektiivi mudstaa välikuvan, jta katstaan kulaarilla kuten suurennuslasilla. Kaukputki eraa mikrskpista siinä, että sillä katstaan kaukana (äärettömyydessä) levia suuria esineitä. Lisäksi kaukputkessa bjektiivilinssi vidaan krvataan kveralla peilillä. Tähtitieteellisen kaukputken (astrnmical telescpe, Keplerian telescpe) periaatekuva n esitetty yllä. Objektiivi mudstaa käytännössä äärettömyydessä levasta esineestä tdellisen väli-

5 205 kuvan hyvin lähelle maa plttpistettään etäisyydelle. Tätä kuvaa katstaan kulaarilla kuten suurennuslasilla. 1) 2) Js lpullinen kuva tarkennetaan kaukpisteeseen (äärettömyyteen, helpp katsa), niin välikuva n myös kulaarin plttpisteessä, etäisyydellä e kulaarista. Suurennus määritellään kulmasuurennuksena: a' h / e (8.7.1) ==-, M= h / e a missä miinus-merkki tarkittaa kuvan kääntymistä. Js lpullinen kuva tarkennetaan lähipisteeseen ( s 'e = -25 cm), niin välikuvan etäisyys kulaarista n -25 e 25 e s' = se = e e = s 'e - e e 25 + e ja suurennukseksi tulee h / se æ ö a' M = == - = - (25 + e ) = - ç 1 + e. (8.7.2) h / se e è 25 ø 25 e a Esimerkki: Tähtitieteellisen kaukputken bjektiivin plttväli n 30 cm ja kulaarin 4 cm. Laske kulmasuurennus, kun lpullinen kuva n säädetty a) kaukpisteeseen b) lähipisteeseen

6 206 Ratkaisu: 30 cm a) M = - = = -7.5 e 4 cm Näin menetellään tavallisessa käytössä, kska kuvaa n helpp katsa kauan silmiä rasittamatta æ e ö 4ö æ ç 1 + = -7.5 ç1 + = = -8.7 e è 25 ø è 25 ø Suurennus n "parempi" kuin edellä, mutta nyt kuvaa n rasittava katsa pitkään b) M = - Tähtitieteellisen kaukputken kuva n siis kääntynyt ja suuren kulmasuurennuksen kaukputkessa bjektiivin plttväli n pitkä ja kulaarin lyhyt. Tähtitieteellisessä kaukputkessa kuvan kääntyminen ei le ngelma. Kiikareissa (maakaukputkissa) kuva ei saa kääntyä. Kiikarit timivat kuten tähtitieteelliset kaukputket. Kuva käännetään ikein päin erilaisilla prismasysteemeillä, jtka eivät vaikuta suurennusminaisuuksiin. Vieressä esimerkki ns. Prr-prismjen käytöstä. Kiikareissa usein esiintyvä merkintä, esimerkiksi "6 30 " tarkittaa sitä, että laitteen kulmasuurennus n 6 ja bjektiivin halkaisija 30 mm. Kaukputkissa bjektiivi timii aukkkaihtimena ja siten myös tulpupillina. Lähtöpupilli n bjektiivin kuva kuvattuna kulaarilla. Kaukputkella katsttaessa silmän ma pupilli sijitetaan silmän pupillin kkiseksi suunnitellun lähtöpupillin khdalle.

7 Esimerkki: Kiikarissa (6 30 ) bjektiivin plttväli n 15,0 cm ja kulaarin halkaisija 1,50 cm. (a) Laske lähtöpupillin sijainti ja kk ja (b) laske näkökulma ja näkökentän suuruus, kun katsttava esine n yhden kilmetrin etäisyydellä. Ratkaisu: Okulaarin plttväli saadaan laskemalla 15 cm e = - = = 2,5 cm M -6 ja laitteen pituudeksi tulee d = + e = 15 cm + 2,5 cm = 17,5 cm. Hum. merkki Aukkkaihdin n bjektiivi, jnka kuva kuvattuna kulaarilla n lähtöpupilli. Kuvauksessa s = d = 17,5 cm ja = e = 2,5 cm: s' = s (17,5)(2,5) = cm = 2,92 cm s- 15 m = - s '/ s = -2,92 /17,5 = Lähtöpupillin halkaisija n mm» 5,1 mm ja se sijaitsee nin 2,9 cm kulaarista silmän suuntaan. Piirretään kuva: b) Kenttäkaihdin n kulaari, jten näkökulmaksi laskemme a = (kulaarin halk.) / d = 1,50 /17,5 = 0,0857 (rad) Näkökenttä h etäisyydellä 1000 m n h = 1000m a» 86 m tarkasti ttaen lasku menee näin

8 LJ l(entrrävath0t,u ^) öl-laaq-t, Jra"l Ö /\) OVv LAAAI kvvnr-ttna BJr LTt tvt LLA 5 = cl = l),run (= A = lkn't S'= # = l{<r,-, )n ty)= 5- r k ^i1r-å VAtt+7p tljat't-sfå ({*t Bl ELilvt,'.r (e*e) E}r s så. 5e,.-l HA r- vats tja ^J 6 x l, cn', 3 X wq ' )/ s Tt-rt-<l IVYtuNA lrlaw Vv Lt'lA l tsjektltv, Y,{ctn -"---'T" l4- E-W I tcrv-l E-P TAP (a/z) =.^ :) & : O, ö S.t? u/- :> b:ty la nl T1 ntlel TtrLS 'vletr tt FAgl,)S LASru: LA s \LE-raAN "vååqttlä " (t-< Q u1r:r 1 r-la ( " vlar're(lla J A a R.t Vrt tv ILLA ) Lurep Eastt-t s guå s tvvt-ua TE*rt tu.

9 208 Peilikaukputkessa bjektiivilinssi krvataan kveralla peilillä. Peilikaukputken yksi selkeä etu n siinä, että peilikuvauksessa ei synny värivirheitä (ei le taitekerrinta, jnka arv riippuisi aallnpituudesta). Myös peilin pallaberraati n helpmpi krjata kuin linssien pallaberraati. Usein peilikaukputken peili n parablinen. Erilaisia peilikaukputkiratkaisuja: (a) Newtnin kaukputki (b) Cassegrain-kaukputki (c) Gregriaaninen kaukputki Js kaukputkella halutaan valkuvata (tai ilmata) khdetta, niin kulaari pistetaan ja ilmi asetetaan bjektiivin mudstaman tdellisen kuvan khdalle. Useimmissa nykyisin käytössä levissa peilikaukputkissa ei le kskaan käytetty kulaaria.

10 209 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kappaleissa lemme tutkineet valn heijastumista peileissä ja taittumista linsseissä gemetrisen ptiikan apprksimaatin avulla. Apprksimaatissa valn aaltlunnetta ei teta humin ja valn eteneminen ymmärretään sädemallin avulla. Val n kuitenkin aaltliikettä. Tässä ja seuraavissa kappaleissa tutkimme millaisia ilmiöitä (intererenssi, dirakti, ) valn aaltlunteesta seuraa. Aaltlunteesta jhtuvat ptiset ilmiöt kuuluvat ns. ysikaalisen ptiikan (physical ptics) aihepiiriin. 9.1 VALOAALTO Yleisesti psitiivisen x-akselin suuntaan etenevää harmnista aalta (esim. köydessä) lemme esittäneet unktilla y ( x, t ) = A sin( kx - w t + j0 ). Valaalt mudstuu kahdesta kmpnentista, sähkökentästä E ja magneettikentästä B. Kentät riippuvat tisistaan yksikäsitteisellä tavalla ja siten riittää tarkastella vain tista, esimerkiksi sähkökenttää E. Psitiivisen x-akselin suuntaan etenevän harmnisessa valaallssa sähkökentän suuruudelle E = E pätee E ( x, t ) = E0 sin(kx - w t + j0 ). (9.1.1) On humattava, että unktin esittämä valaalt n 3-ultteinen. Näin n, kska ensinnäkin matemaattisesti se tteuttaa 3-ultteisen aaltyhtälön 1 2E 2 Ñ E= 2 2 (9.1.2) v t ja tiseksi se täyttää kk 3-ultteisen avaruuden.

11 210 2 Aaltyhtälössä (9.1.2) paikkaderivaattaperaattri Ñ Ñ = x y z n ns. Laplacen peraattri ja yhtälöä vidaan pitää 1-ultteisen aaltyhtälön 2 2 E 1 E = x v t yleistyksenä. On suraviivaista tdeta, että aalt (9.1.1) tdellakin tteuttaa 3-ultteisen aaltyhtälön. Miten sitten aalt (9.1.1) täyttää kk avaruuden? Tarkastellaan aalta kiinnitetyllä ajan hetkellä (valitaan t = 0 ja lisäksi j 0 = 0), jllin aalt n "jähmettynyt" avaruuteen mutn E( x) = E sin( kx). 0 Tutkitaan tätä aalta khdassa x = vaki (kuva alla). Matemaattisesti kysymyksessä n x-akselia vastaan khtisurassa leva pinta, jka tässä tapauksessa n tas. Tällä äärettömän suurella taslla (millä tahansa y:n ja z:n arvilla) aalln vaiheella j = kx n vakiarv ja siten myös sähkökentän E arv n vaki. Tämä vakivaiheen pinta n juuri aalln aaltrintama. Aalt mudstuu äärettömän mnesta äärettömän tiheään pitkin x-akselia levasta vakivaiheen pinnasta täyttäen siten kk avaruuden. Aalt n ns. tasaalt, kska vakivaiheen pinnat vat tasja. Kun aika vapautetaan juksemaan, vakivaiheen tast etenevät pitkin x-akselia.

12 Esimerkki: Harmninen tasaalt E( x, t ) = E0 sin(kx - w t ), missä E0 = 1.0, k = 2.0 ja w = 3.0 etenee psitiivisen x-akselin suuntaan. Laske E:n arv avaruuden pisteissä a) (x, y, z) = (2, 0, 0) b) (x, y, z) = (2, 3, 4) hetkellä t = 1.0. Humaa, että mlemmat pisteet vat taslla x = vaki = 2, jka n khtisurassa etenemissuuntaa vastaan. Ratkaisu: = 1.0sin( ) = 1.0sin(1.0) = 0.84 a) E b) E= 1.0sin( ) = 1.0sin(1.0) = 0.84 Aalt tdellakin täyttää kk avaruuden (3-dim) ja sen vaihe taslla x = 2 n vaki (1.0 ajan hetkellä t = 1.0 ) ja siten myös E:n arv n vaki (0.84) Tähän saakka lemme tarkastelleet aaltja, jtka etenevät vain krdinaattiakseleiden (x, y, tai z) suuntaan. Yleistetään suunta. Vektrin k suuntaan etenevä harmninen tasaalt n muta missä E (r, t ) = E0 sin(k r - w t + j0 ), k = k x ˆi + k y ˆj + k zkˆ n ns. aaltvektri, jnka suuntaan aalt siis etenee, k = k = k x2 + k y2 + kz2 = 2p / l n j tuttu aaltluku, jka n nyt aaltvektrin pituus ja r = xˆi + yˆj + zkˆ (9.1.3) (9.1.4) (9.1.5) (9.1.6) n paikkavektri (radiusvektri), jnka sittamassa paikassa kenttä E lasketaan.

13 Esimerkki: Sähkömagneettinen harmninen tasaalt etenee amplitudilla E0, kulmataajuudella w ja aallnpituudella l. Kirjita aalta kuvaava unkti, kun aalt etenee a) y-akselin suuntaan b) 30:n kulmassa x-akselista mitattuna y-akselin suuntaan. Ratkaisu: Yleinen mut n E (r, t ) = E0 sin(k r - w t + j0 ). a) Tässä k = k x î + k y ˆj + k zkˆ = 0î + k y ˆj + 0kˆ = k y ˆj k = k = k y = 2p / l r = xî + yˆj + zkˆ ja pistetulksi laskemme k r = k x x + k y y + k z z = k y y = ky jten E (r, t ) = E0 sin(ky - w t + j0 ) b) Nyt k = k x2 + k y2 + k z2 = r = xî + yˆj + zkˆ ja k + k = k (k!, pelkkä tarkistus) kx + ky = k ( 3x + y ), æ1 ö jten E (r, t ) = E0 sin ç k ( 3x + y ) - w t + j0, missä k = 2p / l è2 ø k r = kx x + k y y + kz z =

14 213 Kätevä merkintätapa: Yleisessä tapauksessa unkti (9.1.3) E (r, t ) = E0 sin(k r - w t + j0 ) esittää etenevää harmnista tasaalta alla esitetyn kuvan mukaisesti, jssa siis aaltvektri k kert aalln etenemissuunnan ja paikkavektri r sittaa pisteen P, jssa kentän E arv lasketaan. Kuvassa reerenssikhta (-piste) n spivasti valittu piste (eräänlainen nllakhta), jnka kautta aalt etenee tarkastelupisteeseen P. Yleisessä tapauksessa krdinaatistn rig ei le reerenssipisteessä. Kuvasta perusteella k r = k (r0 + r1 ), ja js rig asetetaan reerenssipisteeseen, niin r0 = 0 ja k r = k r1 = kr1. Tässä pistetul k r1 n suraan vektreiden pituuksien tul kr1, kska vektrit vat saman suuntaisia. Aalt (9.1.3) vidaan kirjittaa mudssa E = E0 sin(kr1 - w t + j0 ), (9.1.7)

15 214 Esimerkiksi, js reerenssipiste n asetettu krdinaatistn rign ja aalt etenee x-akselin suuntaan, niin r1 = x ja päädymme tuttuun aaltn E = E0 sin(kx - w t + j0 ). Mnissa svellutuksissa tarkastella pelkästään aalln (9.1.7) E = E0 sin(kr1 - w t + j0 ) aikariippuvuutta pisteessä P, jllin n tapana kirjittaa missä n riippumatn ajasta. E = E0 sin(a - w t ), (9.1.8) a = kr1 + j0 9.2 SUPERPOSITIO J aikaisemmin lemme tdenneet, että js useampi aaltliike vaikuttaa samanaikaisesti määrätyssä pisteessä, niin aaltjen yhteisvaikutus saadaan laskemalla yhteen eri aaltjen erikseen aiheuttamat vaikutukset. Valaaltjen tapauksessa n humattava, että kysymyksessä n vektriyhteenlasku. Kahden sähkömagneettisen aalln (sähkövektrit E1 ja E 2 ) superpsiti n siis E = E1 + E 2, missä tuls riippuu hyvin merkittävästi vektreiden keskinäisistä suunnista. Resultanttikentän suuruudelle saamme E = E = E E = (E1 + E2 ) (E1 + E2 ) = E12 + E22 + 2E1 E2.