jonka peruslait tiivistyvät neljään ns. Maxwellin yhtälöön.

Transkriptio

1 71 4. SÄHKÖMAGNEETTINEN AALTO Sähköön ja magnetismiin liittyvät havainnot yhdistettiin noin 1800luvun puolessa välissä yhtenäiseksi sähkömagnetismin teoriaksi, jonka peruslait tiivistyvät neljään ns. Maxwellin yhtälöön. Maxwellin yhtälöt osoittavat, että muuttuva magneettikenttä toimii sähkökentän lähteenä ja päinvastoin, muuttuva sähkökenttä synnyttää magneettikentän. Sähkökenttä E (sähkökentän voimakkuus, V/m) ja magneettikenttä B (magneettivuon tiheys, Vs/m = T) voivat siis ylläpitää toisiaan ja muodostaa näin sähkömagneettisen aallon, joka etenee avaruudessa. Sähkömagneettinen aalto on poikittaista aaltoliikettä. Aalto muodostuu kahdesta komponentista, sähkökentästä E ja magneettikentästä B. Molemmat komponentit ovat kohtisuorassa aallon etenemissuuntaan nähden ja vielä siten, että ristitulo E B osoittaa aallon etenemissuuntaan. Komponentit ovat kohtisuorassa myös toisiaan vastaan Esimerkiksi positiivisen x-akselin suuntaan etenevä harmoninen (sinimuotoinen) sähkömagneettinen aalto on ìïe( x, t ) = E0 sin(kx - w t ) ˆj, í ˆ ïîb ( x, t ) = B0 sin(kx - w t ) k missä sähkökenttä on valittu värähtelemään xy-tasossa ja magneettikenttä xz-tasossa. Vektori ˆj on y-akselin suuntainen yksikkövektori ja kˆ z-akselin suuntainen. Värähtelevän sähkökentän amplitudi on E0 ja magneettikentän B

2 7 Sähkömagneettisessa aallossa kentät ovat samassa vaiheessa (sama argumentti sinin sisällä) ja kenttien suuruudet E = E ja B = B kytkeytyvät toisiinsa yhtälöllä 1 (4..1) B = E, missä on valon tyhjiönopeus m/s. Näin edellä esitetyssä aallossa myös amplitudeille pätee B0 = E0 / Esimerkki: Hiilidioksidi(CO)laser emittoi sinimuotoista sähkömagneettista aaltoa aallonpituudella 10.6 m m siten, että sähkökentän maksimiarvo on V/m. Kirjoita lasersäteen sähköja magneettikentät E ja B ajan ja paikan funktiona, kun laser on käännetty sellaiseen asentoon, että E - kenttä värähtelee z-akselin suunnassa ja säde etenee negatiivisen x-akselin suuntaan. Ratkaisu: Sähkökenttä värähtelee z-suunnassa ja aalto etenee negatiivisen x-akselin suuntaan, joten r E = E = E0 sin(kx + w t ) kˆ, missä E0 = V/m. Lisäksi E B osoittaa aallon etenemissuuntaan, ts. -iˆ -suuntaan, joten magneettikentälle (magneettivuon tiheydelle) voimme kirjoittaa r B = B = B0 sin(kx + w t ) ˆj, koska kˆ ˆj = -ˆi. Magneettikentän amplitudiksi laskemme E V/m -3 Vs B0 = = = = 5.00 mt m/s m ja lisäksi aallon aaltoluvulle ja kulmataajuudelle saamme p p k= = = m-1-6 l m

3 m/s 14-1 = s. w = pn = p = p m l CO-laserin aallonpituus sijoittuu infrapuna-alueelle eikä siten ole silmin nähtävää Huom! Sähkömagneettisten aaltojen yhteydessä taajuuden symboli on n. Sähkömagneettinen aalto eristeessä Edellä tarkastelimme sähkömagneettista aaltoa tyhjiössä. Totesimme, että aallon kuvaamiseen riittää tarkastella vain esim. sähkökenttää, joka suuruus ( E = E ) harmonisen aallon tapauksessa on E ( x, t ) = E0 sin(kx - w t ), missä aallon tyhjiönopeus saadaan laskemalla = w / k. Sähkömagneettinen aalto voi edetä myös aineessa. Tavalliset optiset läpinäkyvät materiaalit (ilma, lasi, vesi, ) ovat eristeitä, joissa aalto on muodoltaan sama kuin tyhjiössä E ( x, t ) = E0 sin(kx - w t ), mutta nopeus on muuttunut arvoon w (4..) v= =, k n missä =v 0 on valon nopeuden tyhjiöarvo ja n on väliaineen ns. taitekerroin. Valon nopeus tavallisissa eristeissa on aina pienempi kuin tyhjiönopeus, joten taitekerroin n on aina > 1. Voidaan kirjoittaa (laske nämä tulokset): nopeus on v = v 0 / n = / n taajuus n = n 0 ei muutu

4 74 aallonpituus l = l0 / n lyhenee aaltoluku k = nk0 kasvaa kulmataajuus w = w0 ei muutu. Näissä alaindeksi 0 viittaa tyhjiöarvoon Esimerkki: Natrium(Na)-lamppu emittoi keltaista valoa taajuudella Hz. Laske nopeus ja aallonpituus seuraavissa optisissa materiaaleissa: Tyhjiö n =1 Ilma n = Vesi n = 1.33 Lasi n = 1.50 Timantti n =.4 Ratkaisu: ì = m/s v ja l =, missä í v= 14 n n în = /s v /() v /(108 m/s) l / nm Tyhjiö Ilma Vesi Lasi Timantti Sähkömagneettinen aalto johteessa Johteessa taitekerroin n on kompleksinen ja aalto absorboituu materiaaliin sitä nopeammin mitä suurempi materiaalin johtavuus on.

5 ENERGIA JA LIIKEMÄÄRÄ On tuttu tosiasia, että sähkömagneettinen aalto kuljettaa mukanaan energiaa. Esimerkiksi auringon säteet lämmittävät ihoa. Liikkuvaan energiaan liittyy aina myös liikemäärä. Sähkömagneettisen säteilyn liikemäärä havaitaan ns. säteilypaineena. Irradianssi Sähkömagneettisen aallon intensiteetti eli irradianssi saadaan ns. Poyntingin vektorin S = e 0 E B, e 0 = tyhjiön permittiivisyys itseisarvon (siis pituuden) S = S aikakeskiarvona I= S. (4.3.1) Itse vektori S osoittaa energian virtaussuuntaan. Poyntingin vektorin "keksi" brittifyysikko John Poynting ( ). Harmonisen aallon irradianssi Sovelletaan tulosta (4.3.1) positiivisen x-akselin suuntaan etenevään lineaarisesti polarisoituneeseen ( E - ja B -kenttien suunnat kiinnitetty) harmoniseen aaltoon (ks. esimerkki sivulla 71): ìïe( x, t ) = E0 sin(kx - w t ) ˆj í ïîb ( x, t ) = B0 sin(kx - w t ) kˆ Poyntingin vektori saa muodon S = e 0 E B = e 0 E0 B0 sin (kx - w t ) éë ˆj kˆ ùû = e 0 E0 B0 sin (kx - w t )ˆi, jonka itseisarvoksi tulee S = e 0 E0 B0 sin (kx - w t ).

6 76 Tämä on hetkellinen energiavirta pinta-alayksikköä kohti aikayksikössä (hetkellinen teho pinta-alayksikköä kohti, W/m). Koska E ja B vaihtelevat nopeasti (optisella alueella taajuudella 1014 Hz Hz), Poyntingin vektorin suuruus vaihtelee nopeasti ajan funktiona ja hetkellistä arvoa ei pystytä käytännössä mittaamaan. Irradianssi onkin määritelty aikakeskiarvona (4.3.1) I = S = e 0 E0 B0 sin (kx - w t ). Trigonometristen funktioiden neliöiden, niin sin f (t ) :n kuin os f (t ) :nkin, aikakeskiarvot ovat arvoltaan 1/ (laskuharjoitus), joten 1 I = e 0 E0 B0. joka voidaan kirjoittaa relaation B0 = E0 / nojalla muotoon 1 (4.3.) I = e 0 E0. Voidaan osoittaa, että tulos (4.3.) pätee yleisesti sähkömagneettisille aalloille, ts. ei ainoastaan harmonisille aalloille. Tulos kertoo myös, että sähkömagneettisesta aallosta tarvitsee tarkastella vain toista komponenttia, tavallisesti sähkökenttää. Magneettikenttää tarvitaan vain harvoin ja aina tarvittaessa se voidaan kirjoittaa näkyviin lähtien tunnetusta sähkökennttäkomponentista Esimerkki: Radioaseman keskimääräinen teho on 50 kw. Oletetaan, että teho jakautuu tasaisesti maan pinnan yläpuoliseen puoliavaruuteen (ks. kuva). Laske amplitudit E0 ja B0, jotka havaitaan 100 km:n korkeudella lentävässä satelliitissa.

7 77 Ratkaisu: Irradianssi (4.3.) on keskimääräinen teho pinta-alayksikköä kohti: josta I= E0 = PAV 1, E = e r p (4 ) PAV, e 0 p r PAV = W e 0 = AsV-1m-1 = m/s r = m. Sähkökentän amplitudiksi tulee missä W Vm s» V/m (W=VA) m As m ja magneettikentän amplitudille saadaan E0 = E V/m -11 Vs -11 T. B0 = = =» m/s m Kommentti: Tässä sähkökentän amplitudi E0 on suuruusluokaltaan sitä, mitä havaitaan tavallisissa sähkökokeissa laboratorioissa. Magneettivuon tiheys sitävastoin on hyvin heikko. Tästä johtuen monet sähkömagneettisen aallon havainnointiin tarkoitetut ilmaisimet (detektorit) toimivat mittaamalla nimenomaan sähkökentän aiheuttamaa vastetta anturissa

8 78 Säteilypaine Vuonna 1619 Johannes Kepler esitti, että komeetan pyrstö kääntyy aina poispäin Auringosta, koska Auringon valo aiheuttaa siihen paineen. Sen ajan laboratoriokokeissa tällaista valopainetta ei kuitenkaan pystytty havaitsemaan, onhan kysymys erittäin heikoista voimista. Ajatus säteilypaineesta vaipui unholaan. Vuonna 1873 Maxwell pystyi osoittamaan teoreettisesti, että sähkömagneettinen aalto todellakin kohdistaa materiaaliin paineen. Kun sähkömagneettinen aalto kohtaa materiaalin pinnan, se vuorovaikuttaa materiaalissa olevien varausten kanssa. Riippumatta siitä absorboituuko vai heijastuuko aalto, se kohdistaa varauksiin voimia, ja siten voiman itse pintaan. Esimerkiksi johdemateriaaliin aallon sähkökenttä generoi virtoja, jotka kytkeytyvät aallon magneettikenttään voimien välityksellä. Voimien suuruus voidaan laskea sähkömagneettisen teorian avulla. Kun aalto tulee pintaan kohtisuorasti ja absorboituu siihen täydellisesti, säteilypaineen Prad keskimääräiseksi arvoksi saadaan I (4.3.3) Prad =, missä I on irradianssi. Tämä sama paine kohdistuu luonnollisesti myös säteilyn lähteeseen aallon "poistuessa" siitä. Jos valaistu pinta on täysin heijastava, tuleva valo saapuu nopeudella + ja heijastuva aalto lähtee nopeudella -. Tämä vastaa kaksinkertaista liikemäärän muutosta verrattuna absorptioon, joten I (4.3.4) Prad =

9 79 Esimerkki: Auringon valon irradianssi juuri ilmakehän ulkopuolella on noin 1.4 kw/m. Maata kiertävän satelliitin aurinkopaneelien kokonaispinta-ala on 4.0 m. Oletetaan, että auringon valo osuu paneeleihin kohtisuorasti ja että paneelit absorboivat valon täydellisesti. Laske millä keskimääräisellä teholla energiaa absorboituu ja säteilypaineeseen liittyvä voima. Ratkaisu: Irradianssi (teho pinta-alayksikköä kohti) on I = W/m. Keskimääräiseksi tehoksi laskemme P = IA = ( W / m )(4.0m ) = W = 5.6 kw. Säteilypaine on I W / m Prad = = = Pa» Pa m/s Kokonaisvoimaksi F tulee F = Prad A = Pa 4.0m = N» N Energiaa absorboituu huomattavan suurella teholla. Osa muutetaan sähkösi satelliitin laitteita varten ja loput muuttuu paneleissa lämmöksi joko suoraan tai valokennojen epätäydellisyyden takia (hyötysuhde ei ole 100%). Säteilyn aiheuttama voima vastaa suolahitusen painoa maan pinnalla. Ajan mittaan näinkin pieni, mutta jatkuvasti vaikuttava voima saattaa aiheuttaa ongelmia, jos rataa ei korjata aika ajoin

10 POLARISAATIO Edellä olemme todenneet, että sähkömagneettiseen aaltoon liittyvät kentät ovat vektorisuureita, siten että jokaisessa pisteessä sähkökenttä, magneettikenttä ja Poyntingin vektori, joka kertoo aallon etenemissuunnan, ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja vielä siten, että E B osoittaa aallon etenemissuuntaan. Siten sähkömagneettinen aalto on yksikäsitteisesti määrätty, kun esimerkiksi sähkökenttä on annettu. Tarkastellaan esimerkkinä positiivisen z-akselin suuntaan etenevää sähkömagneettista aaltoa, jonka sähkökenttä värähtelee x-akselin suunnassa: E = E0 sin(kz - w t )ˆi. Tähän liittyvä magneettikenttä on muotoon 1 B = E0 sin( kz - w t ) ˆj ja Poyntingin vektoriksi tulee S = e 0 E B = e 0E0 sin (kz - w t )kˆ. Sähkömagneettisen aallon ns. polarisaation suunta (polarisaatio) on sähkökentän suunta. Polarisaatio antaa käytännössä suunnan sille voimalle (Lorentz-voimalle), jonka sähköisesti varattu hiukkanen kokee ollessaan aallon vaikutuksen alaisena. Lorentz-voimassa F = q (E + v B), missä q on hiukkasen varaus ja v sen nopeus, magneettikentän antama osuus qv B on olematon ei-relativistisilla nopeuksilla. Monet optiset sovellukset perustuvat sähkömagneettisen aallon polarisaation luonteeseen ja sen suunnan manipuloimiseen.

11 Esimerkki: Positiivisen z-akselin suuntaan etenevällä aallolla E( z, t ) = E0 sin(kz - w t ) ˆi sähkökenttä E värähtelee xsuunnassa ja pysyy koko ajan xz-tasossa. Aalto on lineaarisesti polarisoitunut x-suuntaan Tarkastellaan positiivisen z-akselin suuntaan etenevää aaltoa yleisemmin. Aallon sähkökentän suunta on xytasossa (ks. kuva) ja se voidaan kirjoittaa kahden komponentin summana E( z, t ) = E ( z, t )ˆi + E ( z, t )ˆj x missä komponentit ovat y ì E x ( z, t ) = E0 x sin(kz - w t ) í î E y ( z, t ) = E0 y sin( kz - w t + e ) Tässä E0 x ja E0 y ovat amplitudit x- ja y-suunnassa ja e on komponenttien välinen mahdollinen vaihe-ero. Vaihe-ero määrää polarisaation luonteen. Lineaarinen polarisaatio Jos vaihe-ero on nolla, ts. e = 0, komponenttiaallot ovat samassa vaiheessa ja kokonaisaalloksi tulee E( z, t ) = ( E0 x ˆi + E0 y ˆj)sin(kz - w t ). (4.4.1) Sähkökentällä on siis vakioamplitudi ( E0 x ˆi + E0 y ˆj), joka osoittaa aina samaan suuntaan. Amplitudin suuruudeksi tulee

12 8 E0 = E0x + E0y, ja värähtelysuunnan kulmaksi x-akselista mitattuna (ks. kuva) tan a = E0 y / E0 x. Kuvassa valo tulee kohti katsojaa z-suuntaan. Jos vaihe-ero on e = p, voidaan kirjoittaa E( z, t ) = ( E ˆi - E ˆj)sin(kz - w t ), 0x 0y (4.4.) koska sin(j + p ) = sin j os p + os j sin p = - sin j. Siis myös tällöin päädytään lineaarisesti polarisoituun aaltoon. Edelliseen verrattuna amplitudi on sama, mutta värähdyssuunta on kiertynyt. Ympyräpolarisaatio Toinen tärkeä erikoistapaus saadaan, kun komponenttiaaltojen vaihe-ero on p e=, ja niillä on sama amplitudi, ts. E0 x = E0 y = E0. Tällöin nimittäin, koska sin(j + p / ) = os j, tulee E( z, t ) = E0 [sin(kz - w t )ˆi + os(kz - w t )ˆj]. (4.4.3) Tässä sähkökenttävektorin pituus säilyy E = E0 sin (kz - w t ) + os (kz - w t ) = E0, mutta se pyörii, ts. on ympyräpolarisoitunut Esimerkki: Tarkastellaan aallon (4.4.3) sähkökenttävektorin käyttäytymista kiinnitetyssä avaruuden pisteessä z = 0. Vektori on E = E0 éësin(-w t )ˆi + os(-w t )ˆjùû. Koska sin(-a ) = - sin a ja os( -a ) = os a ja kulmataajuus voidaan kirjoittaa muodossa w = pn = p /T, saadaan

13 83 é æ p ö æ p ö ù E = E0 ê - sin ç t ˆi + os ç t ˆjú èt ø èt ø û ë Lasketaan eri ajan hetkillä: Kun t = 0, E = E0 éë0ˆi + 1ˆjùû = + E0 ˆj Kun t = T / 4, E = E0 éë -1ˆi + 0ˆjùû = - E0ˆi Kun t = T /, E = E0 éë0ˆi - 1ˆjùû = - E0ˆj Kuvassa sähkökenttävektori kiertää vastapäivään ajan kuluessa Kun sähkökenttävektori kiertää kiinnitetyssä paikassa vastapäivään, kun valo tulee kohti katsojaa, valo on ns. vasenkätisesti ympyräpolarisoitunutta. Jos e = -p / ja E0 x = E0 y = E0, aalto on oikeakätisesti ympyräpolarisoitunut (sähkökenttä kiertää kiinnitetyssä paikassa myötäpäivään, kun aalto tulee kohti katsojaa) ja E( z, t ) = E0 [sin(kz - w t )ˆi - os(kz - w t )ˆj]. (4.4.4) Elliptinen polarisaatio Yleisessä tapauksessa, kun vaihe-ero on mielivaltainen ja osa-aaltojen amplitudit erisuuria, sähkökenttä pyörii ja samalla sen pituus

14 84 muuttu. Sähkäkenttävektorin kärki piirtää ellipsin ja puhutaan elliptisesti polarisoituneesta aallosta. Molemmat erikoistapaukset edellä (lineaarinen- ja ympyräpolarisaatio) ovat elliptisen polarisaation erikoistapauksia Esimerkki: Kirjoita lauseke positiivisen x-akselin suuntaan etenevälle lineaarisesti polarisoituneelle aallolle, jonka amplitudi on E0 ja sähkökenttävektori värähtelee kulmassa 30 xy-tasoon nähden. Lisäksi sähkökentän on oltava positiivisessa maksimissaan (siis arvossa E0 ) paikassa x = 0 ajan hetkellä t = 0. Ratkaisu: Aalto etenee x-akselin suuntaan, joten sähkökentän suunta on yztasossa. Yleinen muoto on E = ( E0 y ˆj + E0 zkˆ )sin(kx - w t + j0 ), missä Paikassa x = 0 ajan hetkellä t = 0 aalto on maksimissa, ts. sin(kx - w t + j0 ) = sin j0 = 1 Þ j0 = p /. Vastauseksi kirjoitamme: æ 3ˆ 1 ö E = E0 ç j + kˆ sin(kx - w t + p / ). ø è

15 Esimerkki: Osoita, että sama-amplitudisten oikea- ja vasenkätisten ympyräpolarisoituneiden aaltojen summa antaa lineaarisesti polarisoituneen aallon. Ratkaisu: E R = E0 [sin(kz - w t )ˆi - os(kz - w t )ˆj], missä R on right (oikea) E L = E0 [sin(kz - w t )ˆi + os(kz - w t )ˆj], missä L on left (vasen) E R + Ε L = ( E0ˆi )sin(kz - w t ). Tulos on lineaarisesti polarisoitunut SÄHKÖMAGNEETTINEN SPEKTRI Sähkömagneettiset aallot kattavat hyvin laajan taajuusalueen. Niitä on havaittu ainakin taajuusvälillä : 1 : 104 Hz. Taajuuksilla ei ole varsinaista teoreettista ylärajaa. Kuvassa seuraavalla sivulla on esitetty sähkömagneettinen spektri sekä taajuus- että aallonpituusasteikolla. Muunnos asteikkojen välillä toteutetaan yhtälöllä = l f, missä = m/s. Taajuudet (ja aallonpituudet) jaetaan erillisiin osa-alueisiin lähinnä sen mukaan miten aallot syntyvät ja/tai miten niitä havaitaan. Alueiden väliset rajat eivät ole tarkkoja, etenkin kun alueet jaetaan tavallisesti vielä osa-alueisiin.