25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto

Transkriptio

1 5 INTERFEROMETRI 5.1 Johdanto Interferometrin toiminta perustuu valon interferenssiin. Interferenssillä tarkoitetaan kahden tai useamman aallon yhdistymistä yhdeksi resultanttiaalloksi. Kuvassa 1 tarkastellaan kahden koherentin eli samantaajuisen ja samansuuntaisen siniaallon interferenssiä. Mikäli interferoivat aallot ovat samanvaiheisia, summa-aallolla on suurempi amplitudi (konstruktiivinen interferenssi) ja jos niiden vaihe-ero on aallonpituuden puolikas, jää summa-aalto pieneksi (destruktiivinen interferenssi). Jos aalloilla on lisäksi sama amplitudi, ne jälkimmäisessä tapauksessa sammuttavat toisensa täydellisesti. a) b) 1.. Summa Kuva 1: Kahden siniaallon a) konstruktiivinen, b) destruktiivinen interferenssi Valon interferenssin avulla voidaan suorittaa hyvin tarkkoja pituusmittauksia tai valon aallonpituuden mittauksia, ja sillä voidaan mitata myös aineiden taitekertoimia erittäin tarkasti. Taitekertoimesta voidaan edelleen laskea aineen permittiivisyys eli dielektrisyysvakio. 5. Michelsonin interferometri Michelsonin interferometrin periaate on esitetty kuvassa. Laitteisto koostuu laserista, kahdesta tasopeilistä, puoliläpäisevästä peilistä ja varjostimesta. Tuleva tasoaalto jaetaan puoliläpäisevällä peilillä kahteen aaltorintamaan A ja B. eijastuttuaan peileistä aallot palaavat puoliläpäisevälle peilille ja yhtyvät sen jälkeen tasoaalloksi, joka etenee varjostimelle. Varjostimella havaitaan valon interferenssi. Kirjoitetaan tuleva valoaalto harmonisena aaltona A = A 0 sin( ks! "t), (1) missä A o on amplitudi, k = π/λ on aaltoluku (λ on aallonpituus) ja ω = πf on kulmataajuus (f on taajuus). Aaltorintaman kulkema matka on s ja aika t, joten aallon vaihe on (ks ωt). Valon nopeus v riippuu väliaineesta ja sen taitekertoimesta n v = c / n. Voidaan näyttää, että valon etenemisnopeus on sama kuin sen vaihenopeus, joka saadaan aaltoluvun ja kulmataajuuden avulla muodossa v = ω / k, () (3)

2 A L 1 B Puoliläpäisevä peili L Kuva : Michelsonin interferometrin periaate Varjostin joten myös aaltoluku k on väliaineesta riippuva. Jos aaltolukua tyhjiössä merkitään k o :lla, on aaltoluku väliaineessa k = n k o. Jos interferometrissä valo kulkee reitillä A matkan, jossa taitekerroin on n 1, ja reitillä B matkan s, jossa taitekerroin n, on vaihe-ero aaltorintamien yhtyessä ( ) =!! = (k 1 " #t) " (k s " #t) = k 0 n 1 " n s (4) ( n 1 # n s ), (5) " 0 missä λ o on valon aallonpituus tyhjiössä. Yhtälö (5) kuvaa interferometrin toimintaa ja siinä esiintyvää tuloa ns kutsutaan optiseksi matkaksi. Jos optisten matkojen ero on aallonpituuden monikerta, vaihe-ero on π:n monikerta, ja kyseessä on konstruktiivinen interferenssi. Jos optisten matkojen ero on (N+½)λ o, on kyseessä destruktiivinen interferenssi. Jos Michelsonin interferometrissä matka L 1 kasvaa aallonpituuden puolikkaan verran, edestakainen matka kasvaa aallonpituuden verran, ja varjostimella havaitaan täysi jakso, esim. valoisasta pimeän kautta valoisaan. Peilin sijainti voidaan siis mitata tarkkuudella, joka on pienempi kuin käytetyn valon aallonpituus. Samoin, jos taitekerroin reitillä A muuttuu (esim. ilmanpaine muuttuu) mutta peilien etäisyydet ja taitekerroin reitillä B pysyy vakiona, aiheuttaa aallonpituuden suuruinen muutos optisessa matkassa varjostimella täyden jakson. Tämän avulla voi arvioida taitekertoimen mittauksen tarkkuudeksi Δn 1 = λ o / 5.3 Interferenssiviivat Kuvassa oletetaan, että peilit ovat tarkasti kohtisuorassa valonsäteitä vastaan ja että tuleva aalto on tasoaalto. Tässä ideaalisessa tapauksessa koko varjostimen valoisuus vaihtelee jaksollisesti, kun optisten matkojen ero muuttuu. Todellisessa Michelsonin interferometrissä nähdään sen sijaan varjostimella valoisia ja tummia raitoja, interferenssiviivoja, koska peilit voivat olla hiukan vinossa ja koska tuleva aalto ei ole tarkasti tasoaalto vaan laajeneva palloaalto.

3 ! A! Tasavaihepinnat " Ajatellaan ensin, että kuvan reitillä A peili on vinossa hyvin pienen kulman θ (kuva 3). Puoliläpäisevästä peilistä heijastunut tasoaalto etenee reittiä A ja heijastuu kulmaan θ. eijastunut tasoaalto läpäisee puoliläpäisevän peilin ja kohtaa varjostimen kulmassa θ. Kun tasoaallon vaihe muuttuu etenemissuunnassa täyden jakson aallonpituuden matkalla, vaihekulma muuttuu varjostimen suuntaan kuljettaessa täyden jakson matkalla d = d = "/sin(!) Kuva 3: eijastavan peilin vinous aiheuttaa interferenssikuvion.! sin " #! ". (6) Aaltorintaman B vaihe on puolestaan vakio koko varjostimen alueella, jos oletetaan, että reitillä B oleva peili on tarkasti kohtisuorassa valonsädettä vastaan. Varjostimella nähdään reiteiltä A ja B tulevien säteen muodostama interferenssikuvio, jossa on vuorotellen konstruktiivinen ja destruktiivinen interferenssi yhtälön (6) ilmoittamalla jaksolla. Kuvio on ajallisesti vakio, koska molempien aaltojen vaihekulman A L L 1 B L Kuva 4: itaasti laajenevan palloaallon kulku interferometrissä R

4 ajasta riippuva termi on sama. Jotta raidat erottuisivat selvästi toisistaan, on oltava d > 0, mm. Jos valon aallonpituus on λ 600 nm (e-ne-laser), peilin vinous saa kaavan (6) perusteella olla korkeintaan 0,09. Vaikka peilit saataisiin tarkoin kohtisuoriin asentoihin, varjostimella esiintyy edelleen raitoja, sillä tuleva aalto ei ole tarkasti tasoaalto, vaan linssillä aikaansaatu hitaasti laajeneva palloaalto. Jos heijastavat peilit ovat hieman eri etäisyyksillä puoliläpäisevästä peilistä, (L 1 > L kuvassa 4) nähdään, että hiukan eri kulmaan lähteneet säteet interferoivat varjostimella etäisyydellä R keskipisteestä ja näin varjostimelle muodostuu joukko tummia ja valaistuja ympyröitä. Säteiden vaihe-ero on yhtälön (5)! = " ( # s $ ). (7) Oikaistaan seuraavaksi pallorintamia vastaavat säteet (kuva 5) ja kirjoitetaan geometrian perusteella tan! = R y = X 1 L 1 " L ( ) # y = R X 1 L 1 " L Toisaalta Pythagoraan lauseen avulla voidaan kirjoittaa ( ). (8) (! s ) = "# ( L 1! L ) $ % + y R = "# ( L 1! L ) $ % + ( L 1! L ) X "# $ %, (9) 1 josta voidaan ratkaista optisten matkojen erotus! s = ( L 1! L ) 1+ R X. (10) 1 Jos peilien etäisyyksien ero L 1 L on pieni, voidaan arvioida X 1 X X, ja säde R on pieni matkaan X verrattuna, saadaan yhtälö (10) sievenemään muotoon X L L s α R L 1 L X 1 s - y Kuva 5: Oikaistut säteet hitaasti laajenevasta palloaallosta interferometrissä. Yläkuvassa on esitetty koko säteet, alakuvassa suurennus alkuosasta.

5 ! s = L 1! L " # $ ( ) 1 + R Yhtälön (11) avulla todetaan seuraavaa: % X ', (11) 1) Keskiakselilla (R=0) todellinen Michelsonin interferometri käyttäytyy kuten ideaalitapauksessa: kun L 1 tai L muuttuu matkan ½λ, varjostimella nähdään yksi valoisa tai tumma jakso. ) Keskiakselin ympärillä nähdään valoisia ja tummia renkaita, jotka tihenevät ulospäin mentäessä (R -riippuvuus). Mitä lähempänä L 1 on L :ta sitä harvempia renkaita näkyy varjostimella. Jos L 1 = L, koko varjostin on valoisa tai tumma. 3) Kun L 1 kasvaa tai L pienenee, akselilla syttyy uusia valoisia ja tummia renkaita, jotka laajenevat ulospäin. Jos L 1 pienenee tai L kasvaa, renkaat kutistuvat kohti akselia ja sammuvat siellä. Vastaavia muutoksia havaitaan taitekertoimien muuttuessa. Yleensä interferometrisovellutuksissa on saatava aikaan hidas ja jatkuva optisen matkan muutos, jolloin renkaita laskemalla tämä muutos saadaan mitattua hyvin tarkasti. Tämä todetaan myös laboratoriotyössä. 5.4 Mittaukset Kun peili 1 tai siirtyy hitaasti matkan L ilmassa, jonka taitekerroin n i 1, optisen matkan muutos on n i L. Interferenssiviivojen jaksojen siirtymisiä havaitaan N = n i L! 0. (1) Kun valon aallonpituus tunnetaan, peilin siirtymälle saadaan L = N! 0 n i " N! 0. (13) Lasin taitekertoimen mittaus Työssä mitataan lasin taitekerroin n. Työn onnistumisen kannalta on tärlkeää, että lasilevy on hiottu tasapaksuiseksi (paksuus ) ja että sen pinnan ovat yhdensuuntaisia. Kun lasilevyä käännetään hitaasti kohtisuorasta asennosta kulmaan θ, säteen kulkumatka lasissa pitenee ja ilmassa lyhenee, kuten kuvassa 6 on esitetty. Varjostimella lasketaan N syttyvää tai sammuvaa interferenssiviivaa. Optisen matkan muutos on lasissa edestakaisin kuljetun matkan lisäys vähennettynä ilmassa kuljetun matkan lyhenemällä # n $ % cos! " * ' ( " +, cos! cos ) "! ( ) " n cos# cos! + sin# sin! " n " + 1 = N$ cos! cos! Käyttäen hyväksi taittumislakia sinθ = nsinα saadaan 1! n! cos" + n! sin " / n cos# 1! n! cos" + n! sin " = N# n! sin $ " = N# ' % ( ) -. / = N0 (14) = 1! n! cos" + n 1! sin " / n 1! sin " / n = N$ (15) (16) (17) + 1+ n + cos "! N# + N# n + N# cos"! n! cos" + n cos" (18)

6 θ Lasissa kuljetun matkan lisäys cos! " α Ilmassa kuljetun matkan lyhenemä cos! cos (" #! ) # Kuva 6. Valon kulkeman matkna muutos, kun lasilevyä käännetään. Lasissa kuljettu matka kasvaa ja ilmassa kuljettu matka lyhenee. n! n cos"! N# N# n =! cos"! + N# $ N# ' cos" + % ( ) cos! + N" n = 1+ 4 $ N" ' # cos! # N" % ( ) (0) Lopulta saadaan käyttökelpoinen lauseke, jossa virhearviota tehtäessä voi perustellen edelleen yksinkertaistaa. n = 1 + cos! + N" 4 N" 1 # cos! ( ) # 1 (19) (1) Ilman taitekertoimen mittaus Aineen taitekerroin n saadaan aineen sähköisistä ja magneettisista ominaisuuksista, joita kuvaavat suhteellinen permittiivisyys ε r ja suhteellinen permiabiliteetti µ r. Taitekerroin voidaan kirjoittaa muotoon n =! r µ r. (3) Aineen suhteellinen permittiivisyys voidaan kirjoittaa atomin tai molekyylin sähköistä polarisoitumista kuvaavan vakion α ja aineen atomitiheyden N avulla 1! r = 1 + "N (4) Koska termi αn << 1, ja suhteellinen permiabiliteetti on yksi, voidaan kirjoitaa n = 1 +!N " 1 + 1!N (5) Ilmalle atomitiheys saadaan riittävän tarkasti ideaalikaasun tilanyhtälöstä ja havaitaan, että taitekerroin vakiolämpötilassa riippuu paineesta. Kirjoitetaan uuden verrannollisuuskertoimen C avulla n = 1+! p kt = 1+ Cp (6) 1 Esimerkiksi R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics II, Addison-Wesley, 1964, Luku 11.

7 Mittauksissa asetetaan toisen säteen kulkemalle reitille kaasukyvetti, jossa säde kulkee päätylasien välillä matkan kahteen kertaan. Imetään kyvettiin alipaine p 1 ja päästetään sinne hitaasti ilmaa. Paineen nousetessa arvoon p lasketaan N interferenssiviivaa. Tällöin muutos optisessa matkassa on ( ) = ( 1 + Cp ) " ( 1 + Cp 1 )! ns #$ % = N' (7) josta voidaan määrittää verrannollisuuskertoimen arvo N! C = p " p 1 ( ) ja sen avulla ilman taitekerroin normaalipaineessa. (8)