. Lasketaan muutamia pisteitä ja piirretään kuvaajat:
|
|
- Ari Melasniemi
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 RATKAISUOHJEET Harjoitus 1 1. a) Tässä paikka x ja aika t esiintyvät muodossa xv t, joten funktio etenee muotonsa säilyttäen. Nopeus on 1 m/s positiivisen x-akselin suuntaan. b) Tässä paikka z ja aika t esiintyvät muodossa zv t, joten funktio etenee muotonsa säilyttäen. Nopeus on 1 m/s negatiivisen z-akselin suuntaan. c) Paikkaa x ja aikaa t ei mitenkään saada muotoon x v t, joten funktio ei etene muoto säilyen. 3. Tässä y. Lasketaan muutamia pisteitä ja piirretään kuvaajat: ( x t) 1 3 Paikassa x = 1 on y (1 t) 1 ja saadaan y 4(1 t) v y. t [(1 t) 1] Annetuilla ajanhetkillä v ( t y ) 4/ 9,7 (m/s) ylöspäin, v ( t y,5) (m/s) huipussa ja v ( t y 1,) 4/ 9,7 (m/s) alaspäin. y y 3. a) y Asin( kx t ), k y, y. Sijoitus aaltoyhtälöön antaa x t tuloksen k / v, mikä on tosi. b) y f ( x v t) f ( ), missä xv t y f ( ) f ( ) f ( ) x x x y f ( ) f ( ) f ( ) x x x y f ( ) f ( ) f ( ) v t t t y f ( ) f ( ) f ( ) v v v t t t f( ) f( ) Sijoitus aaltoyhtälöön antaa, mikä on tosi.
2 4. Peräkkäiset vakiovaiheen käyrät ovat yhden aallonpituuden etäisyydellä toisistaan. Vaiheessa tämä vastaa :tä. Näin ollen a) Pisteillä A ja B on sama vaihe, joten vaihe-ero on rad. b) Pisteiden C ja D väli on kaksi aallonpituutta, joten vaihe-ero on 4 rad. Pisteet ovat kyllä vaiheella mitaten 4 :n etäisyydellä toisistaan, mutta ne ovat aallon samassa vaiheessa (molemmat esim. huippukohdassa). Näin ajatellen vaihe-ero on rad. c) Pisteiden E ja F väli on puoli aallonpituutta, joka vastaa vaihe-eroa rad. 5. Annettujen numeroarvojen avulla ( /T, k / v ) aalto voidaan SI-yksiköissä kirjoittaa muodossa y( x, t),sin x t 5. Poikkeama origossa ( x ) hetkellä t on,1 m, joten y(,),sin,1 tai Poikkeama on laskevassa vaiheessa kohti tasapainoasemaa. Tämä tarkoittaa, että nopeus y ( x, t), cos v x t, 5 kun x ja t, on negatiivinen? Tämä toteutuu vain, kun 5 / a) Signaalin nopeus on v F /, missä m/ L ja alhaalla F Mg keskellä F ( M m/ ) g ylhäällä F ( M m) g b) Korkeudella y jännitysvoima on ( ) F y M y g, missä m/ L. F( y) M Nopeudelle tulee v ( y) y g ja nousuaika saadaan laskemalla dy dy v dt dt v ja integroimalla dy 1 dy t y g, missä v y a y Integroimisvihjeen avulla saadaan t a L a. g yl yl M ML a m.
3 RATKAISUOHJEET Harjoitus 1. Pätee joten a) b) ip e = cosp + isinp = 1+ i = 1, ip/ e = cos p /+ isin p /= + i 1= i ip e = cosp + isinp =- 1+ i =- 1, Ae = Ae e = Ae i i i i i Ae = e Ae = Ae i i i i - 1 Ae = e Ae = Ae i( j + p ) i j i p i j j p / j ( j + p /) j p j ( j+ p). y1 = 4Asina ja y = 5Asin( a + j) = 5Asinacosj + 5Acosasinj. Summaksi tulee y + y = (4A+ 5Acos j )sin a+ (5Asin j )cosa. Kun tässä merkitään 1 a= Bcos b = 4A+ 5Acosj b= Bsin b = 5Asinj tulee summaksi B sin( a + b), missä amplitudi on B a b A 41 4cosj = + = +. Tästä maksimi, kun cosj =+ 1 ja minimi, kun cosj =- 1. Lisäksi cos p /3= 1/. 3. a) Solmupisteiden väli on l/ = ( p / k)/, missä k = ( p /1) cm -1. Paikassa x = 5,cm on sin( kx) = sin( p / ) = 1 ja y( t) = 3cos(5 pt), vy ( t) =-15psin(5 pt) ja a t =- t, Ajanhetkellä t =, s on 5pt = 11p ja tulee y( ) 75p cos(5 p ) yt ( ) = 3cos(11 p) =-3cm vy( t) =- 15psin(11 p) = a ( t) 75p cos(11 p) 75p y =- = cm/s b) Tehokaavan (1.5.) avulla tehoksi lasketaan ensin P = Ø º 4FA wk sin( kx) cos( kx) ø ß sin( wt) cos( wt), [ ] missä vain jälkimmäinen tekijä riippuu ajasta. Sen aikakeskiarvo häviää. 4. a) Kielen pituus L ja perusvärähdystaajuus f 1 annetaan. Laske nopeus (.4.3):sta. b) Taajuus säilyy, kun siirrytään väliaineesta toiseen. Taajuus ilmassa on siis f 1 ja nopeus v annetaan. Aallonpituuden saat laskemalla l =v / f1. 5. Katso (3.4.3) ja (3.4.4). I P/(4 pr ) a) 13dB = (1dB)log = (1dB)log, missä r = 3,4m ja I I b) 13 Tästä I = 1 I ja P» 145,67 W P/(4 pr ) P 9 db = (1 db)log r = = 34 m. I 4p 1 I 9 I 1-1 = W/m.
4 c) 13 r 1 I tai = r = 1 3, 4 m = 34 m. 9 Ł3, 4m ł 1 I P/(4 pr ) P db = (1 db) log r = = I 4p 1 I 13 r 1 I 13 tai = r = 1 3,4m = m. Ł3, 4m ł 1 I m. Tässä P» 145,67 W. d) Lasketaan ensin äänilähteen teho P, kun 3,4 m:n etäisyydellä havaitaan 13 db: db 13 db = P (1 db) log 3, 4 m P 1475,59678 W 4 p(3, 4 m) I - 1 m = Ł ł Erotuksessa ensimmäinen termi on desibelimäärä, kun absorptiota ei ole. Jälkimmäinen termi sitten absorptio matkalla 3,4 m. Seuraavaksi lasketaan (tunnetulla teholla P) desibelimäärä etäisyydellä r = 35 m: P db b = (1 db)log - 35 m =-,18378dB Ł 4 p (35 m) I ł 1 m Tulos on negatiivinen, joten ääni ei kuulu. 6. Kokeessa aallonpituus ei muutu, koska aallonpituus kytkeytyy pillin pituuteen, joka ei muutu. Taajuuksien suhteelle saadaan fhe vhe / l vhe ghe Milma = = = fhe. f v / l v M g Laskussa on käytetty tulosta (3..3). ilma ilma ilma He ilma
5 RATKAISUOHJEET Harjoitus s -1 ja 1 s -1. Pätee 51. Lisäksi I1 I. 1 pmax I B A. B Poikkeama-amplitudeille: Paineamplitudeille: p A max(1) max() A 1 A A1 pmax() p 1 p max(1). a) Korva toimii kuten,5 cm pitkä suljettu pilli, jossa syntyvät seisovat aallot kuullaan erityisen hyvin. Taajuuskaavasta (3.5.4) lasketaa: n 1 fn 344 Hz 35 Hz 3 13 Hz 5 17 Hz 7 48 Hz (jo ultraäänialueella) b) Korva ei ole erityisen herkkä taajuudella 7 Hz, mutta on taas taajuudella 15 Hz. 3. a) Viritettävän kielen taajuus muuttuu huojuntataajuuden verran. Nopeuskaavan (1.4.1) ja kaavan f v / perusteella tiedämme, että taajuus kasvaa, kun jännitys kasvaa ja taajuus pienenee, kun jännitys pienenee. b) Monisteen sivulla 54 olevassa esimerkissä jännityksen muutos kytkettiin taajuuden muutokseen approksimatiivisella kaavalla F f. F f Tässä tehtävässä lasku on tarkoitus laskea tarkasti. Jos jännite ja taajuus ovat aluksi F ja f ja muutoksen jälkeen F ' ja f ', saadaan kaavapari josta saadaan tarkka muutos F f F' f ' F F ' F f f F F f f, missä on käytetty merkintää f ' f f., 4. Kallio "kuulee" taajuuden f ( kallio) v v v v 34 m/s on äänen nopeus ilmassa, f 4 Hz on junan pillin taajuus ja S v S 3 m/s on junan nopeus S f S, missä
6 Kallio "palauttaa" äänen, joka junassa kuullaan taajuudella ( juna) v vs ( kallio) v vs f f fs v v v S Voit ajatella laskun myös niin, että junan peilikuva kallion takana lähettää äänen kohti junaa. juna - + peilikuva vs vs 5. Merkkisäännöt: Numeroarvot: v 1 km/h 1/3,6 m/s ja v 34 m/s a fa fb f 4 Hz ja huojunta f 1 Hz. a) Havaitsija C kuulee autosta A taajuuden ( A) 34 f L 4 Hz 435,587 Hz 34 1/3,6 Havaitsija C kuulee autosta B taajuuden ( B) 34 fl 4 Hz. Tässä vb v B ja sen yksikkö on m/s. 34 v Huojuntataajuus on B f f f 1 Hz (plus, jos va v b ja miinus, jos v a<v b). ( A) ( B) L L Ratkaistaan v b : , vb vb 34,78 m/s tai,44 m/s eli 15 km/h tai 73,6 km/h. b) Jos B:n nopeus on 34,78 m/s, niin ( A) 34 1/3,6 f L 4Hz 48 Hz 34 34, 78 Jos B:n nopeus on,44 m/s, niin ( A) 34 1/3,6 f L 4Hz 46 Hz 34, Katso luentomonisteen sivulta 61. Lasketaan v h h v vs. v ( v T) h h ( vt) S S Viereisen kuvaajan perusteella shokkiaaltokartion kulman sinille saadaan v h h sin v S d ( v T) h ja tästä ratkaistaan v S. S
7 RATKAISUOHJEET Harjoitus 4 1. a) Poimi annetusta aallosta k,, E x ja laske, ja E E x E y E z. Polarisaation suunta on sähkökentän suunta ja aallon etenemissuunnan näet sinin sisältä: 6 14 (31 z9 1 t). Etenemisvauhti on / k ja värin selvität aallonpituudesta (sivu 87). b) Sähkökenttä on x-akselin suuntainen, joten magneettivuon tiheyden on oltava y-akselin suuntainen, jotta EB osoittaisi aallon etenemissuuntaan eli z-akselin suuntaan. Siis vain By on nollasta poikkeava. Muoto on sama kuin sähkökentällä. Amplitudin saat sähkökentän amplitudista jakamalla valonnopeudella. c) Irradianssin saat sähkökentän amplitudista, katso (4.3.) sivulla 76.. Kokonaissäteilypaine muodostuu absorboituvasta irradianssista ja heijastuvasta irradianssista. Kokonaisirradianssista I absorboituu irradianssi,6 I ja heijastuu,4 I. Käytä näitä ja sovella tuloksia (4.3.4) ja (4.3.3). Laske sitten voima säteilypaineen ja pinta-alan avulla ja lopuksi liikemäärä voiman ja ajan avulla. 3. Lineaarisesti polarisoitunut aalto: E( x, t) ( E ˆ ˆ yj Ezk )sin( kx t) etenee nopeudella c. Aaltoluvun ja kulmataajuuden saat laskettua annetuista tiedoista. Samoin amplitudin komponentit. Magneettivuon tiheyden kokonaisamplitudin B arvon saat laskemalla E / c ja jaa se komponentteihin siten, että B( x, t) ( B ˆ ˆ yj Bzk )sin( kx t) ja EB osoittaa aallon etenemissuuntaan eli x-akselin suuntaan. 4. a) Laske Ee I suoraan (4.3.):sta. b) Taulukko s. 89. Katso miten saat säteilyvirran säteilytysvoimakkuuden ja pinta-alan avulla. Ala on laserin poikkipinnan ala (halkaisija d) c) Muuta säteilyvirta valovirraksi (4.7.1):n avulla (sivu 97). Aallonpituuden saat annetusta aaltoluvusta ja herkkyyskäyrästä saat V(511),5. 5. a) Taulukko sivulla 96. Esitä lampun valovoima valaistusvoimakkuuden ja etäisyyden avulla (mieti siis kaava Iv Evr ) ja laske tulos. b) Kohdassa a laskettu valovoima on sama kaikkiin suuntiin. Pieni pinta-ala da (katso kuva) näkyy lampusta dacos :n kokoisena. Tästä saat avaruuskulman ja siitä edelleen valovoiman avulla saat valovirran. Valaistusvoimakkuus on tämä valovirta jaettuna pinta-alalla da. Sinun pitäisi saada IvdAcos / r1 Iv Ev cos da r1 ja tästä tulos.
8 6. a) Muuta ensin annetut säteilyvirrat valovirroiksi käyttäen muunnosta (4.7.) ja silmän herkkyyskäyrää. Kirjoita sen jälkeen lasereiden valaistusvoimakkuudet pinta-alalle A ja laske niiden suhde. Suhteesta tuntematon pinta-ala A supistuu pois ja huomaat, että HeCdtäplä on noin 1,5 kertaa kirkkaampi kuin HeNe-täplä. Tässä on käytetty arvoja V(441,6), ja V(63,8),. b) Yhtä kirkkaiden täplien valaistusvoimakkuuksien suhteen pitää olla yksi. Edelleen, koska täplät ovat saman kokoisia (pinta-ala A), valovirtojen suhteen pitää olla yksi. Herkkyyskäyrän avulla voit laskea vastaavan suhteen säteilyvirroille, ja koska HeNe-säteilyvirta on,5 mw saat argon-laserille,4 mw. Käytetty arvoja V(488,), ja V(543,3),95.
9 RATKAISUOHJEET Harjoitus 5 1. Tässä tehtävässä on laskettava sivulla 11 esitetty integraali, missä spektraalinen säteilemisvoimakkuus on Planckin lain (4.8.1) mukainen. Käytä vihjeenä annettua sijoitusta ja laske sen avulla myös mitä on d. Tarkista integroimisrajat. Pitää tulla 4 3 kt x M hc dx x hc e 1, josta annetun vihjeen avulla saat lopputuloksen (4.8.3).. a) Käytä kokonaisheijastuksen kriittisen tulokulman määritelmää (5.4.1). b) Hahmottele kuvaaja (esimerkiksi viereisen kuvan mukainen) ja ratkaise säde siitä geometrisesti kulmien ja pituuksien avulla. 3. Ohjeena annetun kuvaajan merkintöjä käyttäen valon kulkuajaksi tulee ni nt t( x) a x b ( c x) c c. Huomaa tässä, että taitekertoimien alla oleva c on valon tyhjiönopeus ja neliöjuuren sisällä oleva c on pisteiden A ja B vaakasuora eräisyys kuvassa. Älä sekoita näitä. Derivoi aika x:n suhteen ja aseta se nollaksi. Perustele miksi näin saatu ääriarvo on minimi eikä maksimi. Ääriarvosta saat helposti taittumislain. 4. a) Laske viereisestä kuvasta ensin kriittinen tulokulma c ja sitten kulma. Edelleen taittumislain avulla saat kulma. Mieti tarkasti pitääkö tulokulman olla suurempi vai pienempi kuin, jotta säde etenisi kuidussa kokonaisheijastuen. b) Alemmassa kuvassa säde saapuu kuituun aivan kuidun alareunaan. Mieti itsellesi selväksi miksi juuri tämä säde on se kriittisin säde kokonaisheijastusta ajatellen. Laske kuvan avulla sin c käyttäen ensin taitekertoimia ja sitten toisaalta geometriaa soveltaen käyttäen R:ää ja D:tä. Laita tulokset yhtäsuuriksi, jolloin saat suhteen R/D taitekertoimien avulla. Mieti pitääkö suhteen olla suurempi vai pienempi verrattuna laskemaasi arvoon, jotta säde etenisi kokonaisheijastuen. Lisäpohdinta: kokonaisheijastuuko kriittinen säde seuraavassa heijastuksessa, jos kuitu on taivutettu 9 asteen kulmaan (kuten kuvassa)? 5. Laske Malusin lain (5.5.1) avulla ensin läpi mennyt irradianssi, kun väliin lisätään vain yksi (N = 1) lisäpolarisaattori. Transmissioakselin kulmaksi on tällöin laitettava 45 astetta suhteessa ensimmäiseen polarisaattoriin. Laske sitten tapaus N = (lisäpolarisaattoreiden kulma on 3 astetta suhteessa edelliseen), sitten N = 3 (kulma on,5 astetta),... jne. Hahmotat pian yleisen tapauksen (lisäpolarisaattoreita N kpl) ja se onkin haettu tulos. Yleisestä kaavasta näet, että valoa menee systeemin läpi sitä enemmän mitä enemmän lisäpolarisaattoreita asetetaan.
10 6. Laske sivun 134 merkkisäännöt huomioon ottaen kuvausyhtälöllä (6.3.4) ja suurennusyhtälöllä (6.3.5) tulokset s' 4cm ja m /5. Analysoi nämä numeeriset tulokset merkkisääntöihin peilaten esimerkiksi muotoon: Kuva on säteen jatkeilla muodostunut virtuaalinen kuva 4 cm peilin takana. Kuva on samoin päin kuin esine ja sen koko on /5 esineen koosta. Graafisessa tarkastelussa sopiva mittakaava vaakasuunnassa on 1:5. Piirrä esineestä lähtevä optisen akselin suuntainen säde ja kohti peilin huippupistettä etenevä säde. Huomaa myös, että säteet heijastuvat peili kohdalla olevasta pystysuorana janasta (ei kaarevasta pinnasta).
11 RATKAISUOHJEET Harjoitus 6 1. Laske taittumislain (5.1.) avulla veteen taittuvalle säteelle ( nvesi sin t ) ensin ilman lasikantta ja sitten lasikannen ollessa paikoillaan. Jälkimmäisessä tapauksessa huomaat, että lasilevyn sisällä ilma-lasi rajapinnassa taitekulma lasiin on sama kuin lasi-vesi rajapinnassa oleva tulokulma. Näin suunnan muutokset lasilevyn sisällä eliminoituvat ja tulos nvesi sint nilma sin on sama riippumatta siitä onko lasilevy paikoillaan vai ei.. Käytä linssintekijän yhtälöä (6.5.3). Kun linssi siirretään ilmasta ( n 1 1) nesteeseen ( n 1 n), linssin taitekerroin n ja kaarevuussäteet R 1 ja R eivät muutu. Kirjoita linssintekijän yhtälö polttovälille ilmassa ( 1/ f ilma ) ja nesteessä ( 1/ f neste ) ja laske näiden suhde. Taitekertoimen n saat sitten suoraviivaisella laskennalla. 3. a) Mieti O:n (S) kuvautumista I:ksi (P), kun linssi on paikassa (1) ja toisaalta I:n kuvautumista O:ksi, kun linssi on paikassa (). Linssi on sama molemmissa tapauksissa ja etäisyys L ei muutu, kun linssi siirretään paikasta (1) paikkaan (). Tilanne on sama molempiin suuntiin, joten on oltava: L si so ja d si so. Ratkaise tästä yhtälöparista s I ja s ja O sijoita ne kuvausyhtälöön, jolloin saat tuloksen. b) Kun todellinen esine kuvataan positiivisella linssillä todelliseksi kuvaksi, esineen ja kuvan etäisyys L on aina vähintään 4 f. Tämä osoitetaan siten, että sijoitetaan si L so kuvausyhtälöön, jolloin s I eliminoituu ja saadaan tulos L s O/( so f ). Tämä kertoo, miten L muuttuu, kun esineen etäisyyttä muutetaan. Haetaan, esimerkiksi menetelmällä dl / dso, L:n ääriarvo, joka on helppo perustella minimiksi. Kun L 4 f, niin d ja f L/4. 4. Esine on musta täplä viereisessä kuvassa. Tasopinnan suunnasta katsottaessa nähdään kaksi kuvaa: Kuva 1: Esineestä lähtee kaksi sädettä kohti tasopintaa. Toinen säde etenee optisen akselin suuntaisena suoraan pinnan läpi ja toinen pienessä kulmassa tasopinnasta taittuen. Läpi menneiden säteiden jatkeet leikkaavat 3,33 cm tasopinnasta oikealle. Tämän saat, kun lasket kuvauksen (6.4.1) asettamalla R. Saat s' 3,33 cm.
12 Kuva. Kaksi sädettä lähtevät kohti pallopintaa, joka on nyt peili. Heijastumisen jälkeen säteet jatkavat kohti tasopintaa, jossa tapahtuu taittuminen. Lopullinen kuva syntyy taas säteenjatkeilla ja sen etäisyys on 1 cm tasopinnan takana (katso kuva). Tuloksen saat, kun lasket ensin kuvauksen (6.3.) koverassa peilissä ( s' 7,5cm) ja sen jälkeen kuvauksen (6.4.1) tasopinnassa. Jälkimmäisessä kuvauksessa esineen etäisyys on s 15,cm. Lopulta s' 1, cm. 5. a) Suoraan kuvausyhtälöllä (6.3.) saat s' 15cm. 6. b) Tarkastele kolmioita OPC ja OPI ja menettele kuten johtamisessa sivulla 13. c) Kuvaviivan toinen pää on paraksiaalinen kuvapiste, jonka laskit a-kohdassa. Tämä piste muodostuu säteillä, joilla h. Toisen pään muodostavat säteet, jotka heijastuvat korkeudelta h d/. Laske kolmioista kulmat tarkasti ja sovella b-kohdan kulmakaavaa. Näiden säteiden kuvapisteen etäisyydeksi saat 14,64 cm, joten kuvaviivan pituudeksi tulee,36 cm. Kuvaviiva ulottuu paraksiaalisesta kuvapisteestä kohti peiliä. Tässä välituloksia: h h 1 cm, R R h,67949 cm, arctan,139 s h h arctan 3,, ' 39,8961 arctan s ' 14, 641cm R s '
13 RATKAISUOHJEET Harjoitus 7 y y 1. a) Sisäänmenotasossa säde on ja ulostulotasossa Kirjoita matriisiyhtälö 1 x 1 y f 1 / R 1 ja ratkaise siitä x. y f f. f b) Säteen eteneminen lasilevyn läpi on piirretty viereisessä kuvassa. Sisäänmenotasossa säde on y ja ulostulotasossa y f yb f. B yb 1 1 t 1 Laske B n 1 1/ n josta näet, että B eli tapahtuu yhdensuuntaissiirtymä. Näet myös, että y / t n. Kuvaajasta laskemme, että ilman lasilevyä säteen korkeus ulostulotasossa olisi ya t, joten korkeuden muutokseksi tulee ya yb. Koska kulma on pieni, yhdensuuntaissiirtymä d ya yb. A B 1 1 t 1. a) C D ( n 1) / R n 1 1/ n, missä R 5,cm ja 5, t cm. b) Laske y f A B y A B 1 f C D C D ja lue tuloksesta f. 3. Jatkettu systeemimatriisi on tehtävän matriisi. Kirjoita matriisiyhtälö B 1 x A B M 1 C D, missä ABCD-matriisi on 1 M f ja ratkaise siitä x.
14 y f A B y 4. Käytä matriisiyhtälöä f C D ja viereisen kuvan kolmioita etäisyyksien ja kulmien merkit huomioiden samalla tavalla kuin luennossa (esinepuolen laskussa). Esimerkiksi q saadaan laskemalla y f y f f ja toisaalta f Cy C. q A 5. Viereisen kuvan avulla systeemimatriisiksi voit kirjoittaa: A B 1 x f f f / C D 1 1/ f 1 1 / R 1 1 1/ f 1 1. Huomaa, että linssimatriiseissa (toinen ja kuudes) polttoväli on negatiivinen, joten vastaavan matriisielementti on kirjoitettava muodossa 1/ f, koska tässä laskussa f f (mieti ankarasti). Koveran peilin kaarevuussäde R on merkkisäännön mukaan positiivinen, joten R f. Tässä tehtävässä systeemi on laajennettu sisältämään pelkkien optisten komponenttien lisäksi myös siirrot esineestä ensimmäiseen pintaan (matka 3 f / ) ja viimeisestä pinnasta kuvaan (matka x), joten systeemimatriisissa B (katso sivu 166 luennossa). Tästä saat kuvan paikan ja suurennuksen (A). A B a) Systeemimatriisi C D 1/ / 6 1 ja katso taulukko s. 17. b) Esineen etäisyys s mitataan esinepuolen pääpisteestä O H 1 ja vastaavasti kuvan etäisyys s I mitataan kuvapuolen pääpisteestä H. Käytä ohuen linssin kuvausyhtälöä ja suurennuksen kaavaa. Polttoväli on efektiivinen polttoväli f f. c) Kuva:
15 RATKAISUOHJEET Harjoitus 8 1. a) Laske ensin b-kohta, josta saat kuvan paikan ja pystyt valitsemaan mittakaavan. Koko systeemin pituudeksi tulee 9 cm, joten pystysuuntaiselle A4-paperille (leveys n. 1 cm) sopiva mittakaava vaakasuunnassa on 1:5. Pystysuunnassa hyvä mittakaava on 1:1. b) Laske kuvaus ensin linssillä L1. Huomaat, että välikuva sattuu aukon A kohdalle. Sen jälkeen "jatko"kuvaus linssillä L vie lopullisen kuvan cm linssistä L oikealle. c) Usein (ei suinkaan aina) optisen systeemin aukkokaihdin on ensimmäinen komponentti, joten kokeillaan sitä ensin. Piirrä esinetason optisella akselilla olevasta pisteestä säde (katkoviiva kuvassa yllä), joka kulkee oletetun aukkokaihtimen (L1) reunan kautta. Kohdassa b laskit, että välikuva sattuu aukon A kohdalle, joten säde kulkee aukon keskipisteen läpi suoraan linssille L, josta se taittuu kuvatasolle optisella akselilla olevaan pisteeseen. Säteen kulun perusteella päättelet, että L1 on aukkokaihdin. Tulopupilli on aukkokaihdin kuvattuna sitä edeltävällä optiikalla. Tässä edeltävää kuvaavaa optiikkaa ei ole, joten tulopupilli on linssin L1 kohdalla ja se on samankokoinen kuin L1. Lähtöpupillin löydät, kun kuvaat (kuvaus ja suurennus) L1:n L:lla. d) Kenttäkaihtimen löydät pääsäteen (piirretty kuvassa yllä) avulla. Jos olet piirtänyt kuvan tarkasti mittakaavaan, näet että kenttäkaihdin on A (ei siis L, joka on sitä "melkein"). Tuloikkunan saat, kun kuvaat (kuvaus ja suurennus) A:n L1:llä ja lähtöikkunan, kun kuvaat A:n L:lla. e) Näkökulma on esinepuolella ja kuvapuolella ' (katso kuvat vieressä).. Punainen ja violetti säde tulevat samalla tulokulmalla 1 prismaan, mutta vain punainen säde etenee symmetrisesti (minimideviaatio) prisman läpi. Laske ensin punaisen säteen (n = 1,55) avulla tulokulma 1 taittumislakia sin1 nsin ' soveltaen. Tässä ' :n saat säteen symmetrisen etenemisen perusteella (kuva sivulla 181) laskemalla A (9 ') 18. Laske edelleen punaisen säteen deviaatiokulma 1 A. Violetille säteelle (n = 1,535) tulokulma
16 1 on siis sama kuin punaiselle, mutta deviaatio pitää laskea tarkasta yhtälöstä (8..1). Laske lopuksi deviaatiokulmien erotus. 3. a) Kirjoita ensin yhtälö (8..4) kahdelle (i = 1,) aallonpituudelle: B ni A. i Näiden erotuksesta saat ensin B :n ja laske sitten lopuksi A. b) Laske ensin a-kohdan vakioilla taitekerroin n D ja sitten tarkalla kaavalla (8..) deviaatio. c) Laske ensin taitekertoimien n i avulla deviaatiot i yhtälöstä (8..). Tässä i F, D, C. Prisman dispersion saat ensimmäisestä yhtälöstä sivulla 185 ja dispersiokyvyn (8..5):stä. 4. Muodosta ensin itsellesi kokonaiskuva millaista systeemiä probleemassa käsitellään: a) Laske s ' ja m ohuen linssin yhtälöillä ja sitten lopuksi kuvan korkeus. b) Laske ensin s ' 1 ja m 1 ensimmäisellä (positiivisella) linssillä. Laske seuraavaksi esineen ja kuvan etäisyys ( s 4,483 cm ja s' 15,75377 cm) toisessa kuvauksessa (negatiivisella linssillä). Laske sitten polttoväli kuvausyhtälöllä ja vielä suurennus m. Kokonaissuurennukseksi tulee mtot m1 m ja kuvan koko on koko b:ssä 18 mtot koko a:ssa 18 m kertaa suurempi kuin a-kohdassa.
17 5. fvasen 1 m cm, foikea 1 m cm vasemman silmän kaukopiste Äärettömyydessä ( s ) oleva esine kuvautuu henkilön kaukopisteeseen ( s'?). 1 Kuvausyhtälöllä s ' cm 14,3 cm (silmän edessä) 7 oikean silmän kaukopiste Äärettömyydessä ( s ) oleva esine kuvautuu henkilön kaukopisteeseen ( s'?). 1 Kuvausyhtälöllä s ' cm, cm (silmän edessä) 5 vasemman silmän lähipiste 15 cm:n etäisyydellä ( s 15cm) oleva esine kuvautuu henkilön lähipisteeseen ( s'?). 3 Kuvausyhtälöllä s ' cm 7,3 cm (silmän edessä) 41 oikean silmän lähipiste 15 cm:n etäisyydellä ( s 15cm) oleva esine kuvautuu henkilön lähipisteeseen ( s'?). 3 Kuvausyhtälöllä s ' cm 8,57 cm (silmän edessä) L Efektiivinen polttoväli on, missä ( n 1) ( n 1) Ki f f1 f f1 f fi R1i Ri ja L on linssien välimatka. Tästä derivoidaan d(1/ f) K1 K LK1K ( n 1), dn josta L f1 f K1( n 1) K( n 1)
18 RATKAISUOHJEET Harjoitus 9. a) L d fo fe ja M saadaan yhtälöstä (8.6.). b) Lopullinen kuva muodostuu kaukopisteeseen (äärettömyyteen), joten välikuva on okulaarin polttotasossa. Objektiivikuvauksessa on siis so' fo L ja kohteen etäisyys ( s o ) saadaan kuvausyhtälöllä. c) Okulaarikuvauksessa lopullinen kuva pitää saada katsojan kaukopisteeseen eli 5 cm:n etäisyydelle okulaariin eteen. On siis se ' 5mm. Kuvausyhtälöllä saadaan välikuvan etäisyys okulaarista s e ja suurennus kulmasuurennuksena Me 5/ se (katso sivu 197). Edelleen objektiivikuvauksessa kuvan etäisyys on s ' d s ja kuvausyhtälöllä päästään kohteen etäisyyteen s o ja suurennukseen m so'/ so. Vertaamalla b-kohtaan havaitaan, että kohdetta on siirrettävä lähemmäksi objektiivia 9,3 m. Suurennus lasketaan yhtälöstä (8.6.1). o e
19 3. Kaukoputken objektiivi on aukkokaihdin ja sen kuva okulaarilla kuvattuna on lähtöpupilli. Lähtöpupillin koko suhteessa aukkokaihtimen kokoon antaa tämän kuvauksen suurennuksen s ' m. s 3 Kun lisäksi oletetaan, että objektiivin ja okulaarin polttopisteet yhtyvät kaukoputken sisällä, saadaan s fo fe ja kun tämä sijoitetaan kuvausyhtälöön, tulee s fo fe 1. s s ' f s ' f Suurennukselle M f / f voidaan lopulta kirjoittaa o e e fo s 3 M f s'. e e
20 RATKAISUOHJEET Harjoitus Paikkavektori on aina r xˆi yˆj zk ˆ. Lisäksi v / k ja k /. a) k k ˆ z k ja k k. Laske pistetulo ja kokoa vastaus. b) k k ˆ ˆ xi kyj, missä ky kx. k k. Laske pistetulo ja kokoa vastaus. c) Aaltovektori on kohtisuorassa tasoja f ( x, y, z) x y z vakio vastaan. Se on siis vektorin f ˆi ˆj k ˆ suuntainen eli muotoa k ( k / 3)( ˆi ˆj k ˆ). Laske pistetulo ja kokoa vastaus
21 RATKAISUOHJEET Harjoitus 1 1. Mittaustulos on ryhmänopeus eli v 9971,6 km/s. Vaihenopeus on v c/ n. Ratkaise dn ryhmänopeuden lausekkeesta vg v p 1 n d tyhjiönopeus numeroarvot. g p 1 B cnv g 1 ja sijoita n.
22 3. 4. Viereisen kuvan merkintöjä käyttäen vaihe-erolle saadaan ehto asin ( 1) m. a) Kun 1, tulee sin m/ ja tästä saadaan kulmat. b) Kun 1 /, tulee 1 1 sin ( m ) ja tästä kulmat Käytä (min) y m ja Kirjoita yhtäsuuruus (max) y m lausekkeita sivulla 31. Huomaa, että 4. minimi saadaan, kun m = 3. y y ja ratkaise tuntematon aallonpituus. (min) (max) a) y s / a b) Laske ensin optiset matkat (AP) säteelle 1 ja (BP) säteelle. Optiseksi matkaeroksi saat sitten ( n 1) t ay / s. Kun laitat vastaavan vaihe-eron vastaamaan maksimeja (siis m ) saat tuloksen (max) s ts ym m ( n 1), a a missä jälkimmäinen termi kerto lisälevyn vaikutuksen.
23 RATKAISUOHJEET Harjoitus 11 1.
24
25 3.
26
7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI
67 7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli
LisätiedotGeometrinen optiikka. Tasopeili. P = esinepiste P = kuvapiste
Geometrinen optiikka Tasopeili P = esinepiste P = kuvapiste Valekuva eli virtuaalinen kuva koska säteiden jatkeet leikkaavat (vs. todellinen kuva, joka muodostuu itse säteiden leikkauspisteeseen) Tasomainen
LisätiedotRatkaisu: Taittuminen ensimmäisessä pinnassa on tietysti sama kuin edellisessä esimerkissä. Säteet taittuvat ja muodostaisivat kuva 40 cm:n
141 ------------------------------------------------Esimerkki: Paksu linssi. Edellisessä esimerkissä materiaali 2 ulottuu niin pitkälle, että kuva muodostuu sen sisälle. Miten tilanne muuttuu, jos jälkimmäinen
Lisätiedot9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO
09 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kappaleissa olemme tutkineet valon heijastumista peileissä ja taittumista linsseissä geometrisen optiikan approksimaation avulla Approksimaatiossa valon aaltoluonnetta
Lisätiedot6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA
127 6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan
Lisätiedot766349A AALTOLIIKE JA OPTIIKKA kl 2017, viikko 3 Harjoitus 1 Viimeinen näyttöpäivä ke 1.2.
766349A AALTOLIIKE JA OPTIIKKA kl 017, viikko 3 Harjoitus 1 Viimeinen näyttöpäivä ke 1.. 1. Mitkä funktioista a) y( x, t) ( x t) b) y( z, t) 5sin [4 ( t z)] ja c) y( x, t) 1/( x t) etenevät muotonsa säilyttäen
Lisätiedot5.3 FERMAT'N PERIAATE
119 5.3 FERMAT'N PERIAATE Fermat'n periaatteen mukaan valo kulkee kahden pisteen välisen matkan siten, että aikaa kuluu mahdollisimman vähän, ts. ajalla on ääriarvo (minimi). Myös Fermat'n periaatteesta
LisätiedotKuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): ja kuvausyhtälö (6.3.2) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon + =. (6.3.
135 Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): R ì f > 0, kovera peili f = í (6.3.3) î f < 0, kupera peili ja kuvausyhtälö (6.3.) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon 1 1 1 + =.
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotRATKAISUT: 16. Peilit ja linssit
Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,
Lisätiedot3. Optiikka. 1. Geometrinen optiikka. 2. Aalto-optiikka. 3. Stokesin parametrit. 4. Perussuureita. 5. Kuvausvirheet. 6. Optiikan suunnittelu
3. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Aalto-optiikka 3. Stokesin parametrit 4. Perussuureita 5. Kuvausvirheet 6. Optiikan suunnittelu 3.1 Geometrinen optiikka! klassinen optiikka! Valoa kuvaa suoraan
LisätiedotTeoreettisia perusteita I
Teoreettisia perusteita I - fotogrammetrinen mittaaminen perustuu pitkälti kollineaarisuusehtoon, jossa pisteestä heijastuva valonsäde kulkee suoraan projektiokeskuksen kautta kuvatasolle - toisaalta kameran
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lisätiedot6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA
127 6 GEOMETISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on 1,50:
173 ------------------------------------------------Esimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on 1,50: Kaarevuussäteet R1 3 cm ja R. Systeemimatriisi on M R T R1,
LisätiedotYHDEN RAON DIFFRAKTIO. Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11.
YHDEN RAON DIFFRAKTIO Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11. Vanha tenttitehtävä Kapean raon Fraunhoferin diffraktiokuvion irradianssijakauma saadaan lausekkeesta æsin b ö I = I0 ç b è ø, missä b = 1
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotKuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.
FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin
LisätiedotFYSI1040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus 1 1 / 6
FYSI040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus / 6 Laskuharjoitus 2. Halogeenilampun käyttöhyötysuhde on noin 6 lm/w. Laske sähköiseltä ottoteholtaan 60 watin halogenilampun tuottama: (a) Valovirta. (b) Valovoima
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedot23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen
3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista
LisätiedotValon luonne ja eteneminen. Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen
Valon luonne ja eteneminen Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen 1 Valonlähteitä Perimmiltään valon lähteenä toimii kiihtyvässä liikkeessä olevat sähkövaraukset Kaikki
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotTyö 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1
Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012
LisätiedotRatkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:
LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotTyö 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA TYÖN TAVOITE Työssä perehdytään optisiin ilmiöihin tutkimalla valon kulkua linssisysteemeissä ja prismassa. Tavoitteena on saada
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalampi LUENTO 12 Aallot kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa Toistaiseksi on tarkasteltu aaltoja, jotka etenevät yhteen suuntaan. Yleisempiä tapauksia ovat
Lisätiedot521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3
51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 1. Tutkitaan mikroliuskajohtoa, jonka substraattina on kvartsi (ε r 3,8) ja jonka paksuus (h) on,15 mm. a) Mikä on liuskan leveyden w oltava, jotta ominaisimpedanssi
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
LisätiedotDiplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut
A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 8.5.014, malliratkaisut Kalle ja Anne tekivät fysikaalisia kokeita liukkaalla vaakasuoralla jäällä.
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedotd sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila
Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Lisätiedoteli HUOM! - VALEASIAT OVAT AINA NEGATIIVISIA ; a, b, f, r < 0 - KOVERALLE PEILILLE AINA f > 0 - KUPERALLE PEILILLE AINA f < 0
PEILIT KOVERA PEILI JA KUPERA PEILI: r = PEILIN KAAREVUUSSÄDE F = POLTTOPISTE eli focus f = POLTTOVÄLI eli polttopisteen F etäisyys pelin keskipisteestä; a = esineen etäisyys peilistä b = kuvan etäisyys
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotAaltoliike ajan suhteen:
Aaltoliike Aaltoliike on etenevää värähtelyä Värähdysliikkeen jaksonaika T on yhteen värähdykseen kuluva aika Värähtelyn taajuus on sekunnissa tapahtuvien värähdysten lukumäärä Taajuuden ƒ yksikkö Hz (hertsi,
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 9 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Dispersio Lähde: https: //www.flickr.com/photos/fastlizard4/5427856900/in/set-72157626537669172,
LisätiedotLuento 15: Ääniaallot, osa 2
Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa
Lisätiedotx 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
Lisätiedotja siis myös n= nk ( ). Tällöin dk l l
Tästä havaitaan, että jos nopeus ei riipu aallonpituudesta, ts. ei ole dispersiota, vg = v p. Tilanne on tällainen esimerkiksi tyhjiössä, missä vg = v p = c. Dispersiivisessä väliaineessa v p = c/ n, missä
Lisätiedot8.3 KAMERAT Neulanreikäkamera
88 Analysoitava valo tulee vasemmalta. Se okusoidaan kapeaan rakoon S (tulorako), josta se kollimoidaan linssillä L yhdensuuntaiseksi sädekimpuksi. Rako S on siis linssin polttovälin päässä linssistä.
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotTyö 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1
Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Lisätiedot34. Geometrista optiikkaa
34. Geometrista optiikkaa 34. Kuvan muodostuminen 2 Lähtökohta: Pistemäisestä esineestä valonsäteet lähtevät kaikkiin suuntiin. P P 3 s s Arkihavainto: Tasopeili muodostaa kuvan heijastamalla esineen pisteistä
LisätiedotYLEINEN AALTOLIIKEOPPI
YLEINEN AALTOLIIKEOPPI KEVÄT 2017 1 Saana-Maija Huttula (saana.huttula@oulu.fi) Maanantai Tiistai Keskiviikko Torstai Perjantai Vk 8 Luento 1 Mekaaniset aallot 1 Luento 2 Mekaaniset aallot 2 Ääni ja kuuleminen
LisätiedotS-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö
S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1
763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedot25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto
5 INTERFEROMETRI 5.1 Johdanto Interferometrin toiminta perustuu valon interferenssiin. Interferenssillä tarkoitetaan kahden tai useamman aallon yhdistymistä yhdeksi resultanttiaalloksi. Kuvassa 1 tarkastellaan
Lisätiedot9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO
09 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kaaleissa olemme tutkineet valon heijastumista eileissä ja taittumista linsseissä geometrisen otiikan aroksimaation avulla Aroksimaatiossa valon aaltoluonnetta
Lisätiedot5. Optiikka. Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman. HTTPK I, kevät 2012, luento 5
5. Optiikka Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, 16.2. 2012 Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman 1 5. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Peilit ja linssit 3. Perussuureita 4. Kuvausvirheet 5. Aalto-optiikka
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotYOUNGIN KOE. varmistaa, että tuottaa vaihe-eron
9 10. YOUNGIN KOE Interferenssin perusteella voidaan todeta, onko jollakin ilmiöllä aaltoluonne. Historiallisesti ajatellen Youngin (ja myös Fresnelin) kokeet 1800-luvun alussa olivat hyvin merkittäviä.
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Aalto köydessä Kohdassa x olevan ainehiukkasen poikkeama tasapainosta y ajan funktiona on y( x, t) Asin( kx t 0) Ketjusääntö: Ainehiukkasen
Lisätiedot3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotJakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina
Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotValon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen
Näkö Valon havaitseminen Silmä Näkö ja optiikka Näkövirheet ja silmän sairaudet Valo Taittuminen Heijastuminen Silmä Mitä silmän osia tunnistat? Värikalvo? Pupilli? Sarveiskalvo? Kovakalvo? Suonikalvo?
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedot