d+tv 1 S l x 2 x 1 x 3 MEI Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen

Transkriptio

1 MEI Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen Tehtävä 1: Tarkastellaan luentojen esimerkkiä, jossa johepalkki liikkuu kahen johelevyn välissä homogeenisessä magneettikentässä, ks. kuva. Kuvassa on piirretty tilanne ortonormaalin kannan (ê 1,ê 2,ê 3 ) määräämään Karteesiseen koorinaatistoon ajanhetkellä t. Kanta (ê 1,ê 2,ê 3 ) on ortonormaali pistetulolla mitattuna. +tv 1 V S S B = B 3 ê 3 v = v 1 ê 1 l x 2 x 3 x 1 Tarkastellaan Faraayn lakia pinnan S tapauksessa, ja tulkitaan pinnan venymisen vaikutus pinnan läpäisevään magneettivuohon muuttuvan pistetulon avulla. Muutetaan siis pituuksien ja kulmien referenssiä siten, että uutta referenssiä vasten mitattuna pinta pysyy ajan suhteen muuttumattomana. Tämä tarkoittaa, että käytämme uutta pistetuloa, jolla mitattuna kanta (ê 1,ê 2,ê 3), jossa ê 1 = +tv 1 ê 1, ê 2 = ê 2, ê 3 = ê 3, on ortonormaali. Huomaa, että ajanhetkellä t = 0, kanta (ê 1,ê 2,ê 3) täsmää kannan (ê 1,ê 2,ê 3 ) kanssa. 1

2 Nyt jokaisella ajanhetkellä t mikä tahansa piste x S voiaan antaa muoossa x = i x iê i mutta myös muoossa x = i x iê i. (Koorinaatit x i ovat pisteen x Eulerin koorinaatit ja koorinaatit x i sen Lagrangen koorinaatit 1.) Merkitään x = (x 1,x 2,x 3 ) T ja x = (x 1,x 2,x 3) T. (a) Anna koorinaatit x i koorinaattien x i ja ajan t funktiona. Määritä siis kuvausχsiten,ettäx = χ(x,t),elikomponenteittainx i = χ i (x 1,x 2,x 3,t). (b) Määritä nopeusvektorikenttä v pinnalla S lausekkeesta v( x,t) = i χ i t (x 1,x 2,x 3,t)ê i. Anna v:n komponentit kannassa (ê 1,ê 2,ê 3 ) koorinaattien x i funktiona. Tarkista, että kun x 1 = +tv 1 niin nopeus on v 1 ê 1. (c) Perustele luennoilla esitetty tulos v B l = B 3 v 1 l. S (Vektorikenttä v on nyt määritelty koko pinnalla S.) Lasketaan vielä lopuksi pinnan S läpäisevän magneettivuon aikaerivaatta lausekkeesta /t S B n a, jossa B on pistetulon suhteen määritetty magneettivuontiheysvektorikenttä. Merkitään ja B = B 1ê 1 +B 2ê 2 +B 3ê 3, B = (B 1,B 2,B 3) T, B = B 1 ê 1 +B 2 ê 2 +B 3 ê 3, B = (B 1,B 2,B 3 ) T. Harjoitusten 1 perusteella tieämme, että B = etf F 1 B, (1) jossa F = +tv Kontinuumimekaniikassa Eulerin ja Lagrangen koorinaatteja käytetään materiaalikappaleisiin kuuluville pisteille, mutta tässä vastaavia koorinaatteja voiaan käyttää myös ilma-alueen pisteille, kun jäykän kappaleen liike tulkitaan ilma-alueen venymisenä. 2

3 (Matriisi F vastaa kontinuumimekaniikan eformaatiograienttia.) () Näytä yhtälön (1) avulla, että t B n a = B 3 v 1 l, S jossa siis pinta S ei muutu ajan suhteen vasemman puolen integraalissa. Tehtävä 2: Tarkastellaan aikaharmonista mallia pitkässä ja kapeassa johinparissa etenevälle sähkömagneettiselle aallolle, ks. kuva. Mallinnetaan johtimet ja niitä ympäröivät eristeet ieaalisina (ei lämpöhäviöitä). Generaattori Kuorma x 1 x 2 x 3 Aikaharmonisessa mallissa jännitteen U(x 3,t) ja virran I(x 3,t) aikariippuvuus on sinimuotoista: U(x 3,t) = Re{Ū(x 3)e jωt }, I(x 3,t) = Re{Ī(x 3)e jωt }, jossa Ū(x 3) ja Ī(x 3) ovat kompleksiset jännite ja virta. (a) Hae reaaliosan Re{Ū(x 3)e jωt } lauseke. (Anna ensin kompleksiluku Ū(x 3) osoitinmuoossa Ū(x 3) e jarg(ū(x 3)).) Jännite U ja virta I ovat tätä muotoa jos (i) generaattorin jännite on aikaharmoninen (sinimuotoinen), 3

4 (ii) materiaalit (generaattorissa, johinparissa ja kuormassa) ovat lineaarisia, (iii) generaattorin jännite on ollut kytkettynä tarpeeksi kauan aikaa jotta aalto on eennyt järjestelmän joka osaan (transientit ovat vaimentuneet). Luennoillanäytettiin,ettäjännitejavirtatoteuttavat1D-aaltoyhtälönx 3 -suunnassa, esim. 2 U x 2 3 = LC 2 U t 2. (b) Näytä, että aikaharmonisessa tapauksessa tämä voiaan pakottaa toteutuvaksi vaatimalla 2 Ū x 2 3 = γ 2 Ū, (2) jossa γ = jω LC. (c) Näytä, että kaikki muotoa Ū(x 3 ) = U + 0 e γx 3 +U 0 e γx 3, jossa U + 0 ja U 0 ovat vakioita, olevat funktiot käyvät ratkaisuksi yhtälölle (2). () Hae termiä U + 0 e γx 3 vastaava aikatason ratkaisu. Perustele itsellesi, että tämä esittää generaattorilta kuormalle etenevää aaltoa. Mikä on aallon (vakiovaihepisteen) etenemisnopeus? Tuntemattomat vakiot U 0 + ja U0 voiaan kiinnittää antamalla reunaehot kohissa x = 0 ja x = l, jolloin ratkaisu määräytyy yksikäsitteiseksi. Esimerkiksi reunaehtoina voiaan kiinnittää Ū(0) ja Ū(l)/Ī(l). Tällaista pitkää ja kapeaa johinparia, jolla ohjataan(tarkoituksella tai sattumalta) sähkömagneettisia aaltoja, sanotaan siirtolinjaksi (engl. transmission line). Palautustehtävä: Tarkastellaan kulmanopeuella ω pyörivän homopolaarigeneraattorin tuottamaa jännitettä V, ks. kuva 1. Määritä jännitemittarin jännite V magneettivuontiheyen pystysuuntaisen komponentin B, kulmanopeuen ω ja säteen R funktiona. Opastus: sovella Faraayn lakia sopivan ajassa muuttuvan pinnan tapauksessa. 4

5 ω R V B Kuva 1: Pyörivä kiekko ja siinä kiinni oleva tanko ovat ei-magnetoituvaa johemateriaalia (esim. alumiinia). Jännitemittari on kytketty harjaksin pyörivään osaan (mittari ei pyöri). Kiekko on kohtisuorassa homogeenista ajan suhteen muuttumatonta magneettikenttää vasten. Täyentävää tietoa: Palautustehtävän sähkömekaaninen järjestelmä toimii myös toiseen suuntaan: kytkemällä jännitemittarin paikalle jännitelähe, saaaan paikallaan oleva johekiekko pyörimään. Tämän kaltaisen homopolaarimoottorin voit tehä helposti kiinnittämällä (johtavan) nappimagneetin sormipariston päähän, ja kytkemällä kuparijohtimen sormipariston vastakkaisesta päästä nappimagneetin reunaan. 5