Mttaustulosten kästtely Vrhettä ja epävarmuutta lmasevat kästteet Tostokoe ja satunnasten vrheden tlastollnen kästtely. Mttaustulosten jakaumaa kuvaavat tunnusluvut. Normaaljakauma 7. Tostokoe ja suurmman uskottavuuden menetelmä 9. Vahteluväl ja t-jakauma Laskettujen suureden vrheden arvont. Maksmvrheen laskemnen kokonasdfferentaaln avulla. Logartmnen dervont. Vrhebudjett. Ohjeta vrhearvon tekemseen Lukuarvosta ja yksköstä. Dmensoanalyys. Lkarvot ja tarkat-arvot. Pyörstämnen 7 Suureden välsen rppuvuuden tutkmnen 9. Mttaustulosten graafnen estys 9. Penmmän nelösumman menetelmästä
Vrhettä ja epävarmuutta lmasevat kästteet Kokeellsen fyskan tehtävänä on hankka systemaattsta tetoa luonnon lanalasuukssta mttausten avulla. Jotta tämä päämäärä votasn luotettavalla tavalla saavuttaa, mttaajan on tutkmansa lmön lsäks tunnettava myös käytetyn mttausmenetelmän mahdollsuudet ja rajotukset. Tarkkohn tuloksn pääsemnen edellyttää luonnollsest korkeatasosten nstrumentten käyttöä. Mttalatteden hallnnan lsäks on kutenkn tedettävä, kunka latteden tuottamaa tetoa on kästeltävä mahdollsmman tehokkaast. Tämä merktsee stä, että mttaustulokssta lasketun lopputuloksen lsäks pyrtään ana järjestelmällsest arvomaan, kunka luotettava saatu tulos on. Vakka mtattavasta suureesta tedettäsn etukäteen, että sllä on tetty okea arvo, mttaustuloksena e yleensä saada tätä arvoa melvaltasen tarkast. Mttausmenetelmen epätarkkuudesta, mttaajasta tsestään ta mttauskohteen tlastollsesta luonteesta (esm. radoaktvsuusmttaukset) johtuen on tyydyttävä joukkoon mttaustuloksna saatuja lkarvoja. Nästä etstään erlasn havantojen kästtelymenetelmn mahdollsmman todennäkönen arvo etstylle suureelle. Mttaustulosten kästtelyn tarkotuksena on ss laskea kaksta havantoarvosta ykskästtenen tulos selvttää tuloksen ja/ta mttausmenetelmän luotettavuus Vrhettä (error of measurement, mätfel) vodaan ylesest luonnehta mttauksn saadun suureen arvon ja suureen "okean" arvon erotuksena. Er tapauksssa mttausvrhetä tutkttaessa käytetään erlasa vrhekästtetä. Mttauksssa esntyvät vrheet ryhmtellään tavallsest karkesn, systemaattsn ja satunnasn vrhesn. Vrheen suuruus taas vodaan lmottaa absoluuttsena ta suhteellsena vrheenä. Karkea vrhe (parastc error, grovt fel) on seurausta mttaamsvälneen epätarkotuksenmukasesta ja väärästä kästtelystä, lukemavrheestä ym. Sen oletetaan kutenkn ana olevan postettu huolella tehdyssä mttauksssa. Systemaattnen vrhe (systematc error, systematsk fel) lmenee saman suurusena merkkeneen uusttaessa saman suureen tetyn arvon mttausta samossa olosuhtessa, ta se vahtelee säännönmukasest olosuhteden mukaan. Usen syy systemaattsn vrhesn löytyy käytetystä lattesta: sellanen syntyy, jos mttarn astekkoa e ole laadttu oken (ns. kalbrontvrhe) ta käytettäessä väärän ptusta ptuusmttaa, suortettn mttaus kunka huolellsest hyvänsä. Systemaattnen vrhe johtuu mttaajasta esm. sllon, kun analogsen mttauslatteen osotnta luetaan vnost (ns. parallaksvrhe). Systemaattnen vrhe vo aheutua myös stä, että mttausparametrt ovat lmötä kuvaavan matemaattsen lan pätevyysalueen ulkopuolella. Esmerkks, jos lämpötlassa C mtataan ptuutta mttasauvalla, jonka osotukset ovat okeat lämpötlassa C. Elle oteta huomoon mttasauvan lämpölaajenemsesta aheutuvaa korjausta, on ptuuden mttauksessa systemaattnen vrhe. Systemaattnen vrhe ols pyrttävä löytämään, arvomaan ja sen jälkeen postamaan. Jossakn tapauksssa stä e pystytä postamaan ja systemaattsten vrheden kästtelemnen joudutaan suorttamaan yhdessä muden vrheden kanssa. Jos systemaattsten vrheden osuus on pen, sanotaan, että mttauksen ulkonen tarkkuus (accuracy) on hyvä. Pentä systemaattsta vrhettä kuvaa mttauksen hyvä tostettavuus (reproducblty). Tostettavuus on tetyn suureen yksttäseen mttaukseen käytettävään akaan nähden ptkän akaväln ssällä er olosuhtessa, er havatsjan, er latteston ja menetelmn ta er laboratorossa saatujen tulosten yhteensopvuus. Satunnasvrhettä (random error, tllfällgt fel) votasn kutsua myös hajontavrheeks ta tlastollseks vrheeks. Se on vrhe, joka satunnasest vahtelee uusttaessa saman suureen tetyn arvon mttausta samossa olosuhtessa, mutta se e väärstä tulosta mhnkään tettyyn suuntaan. Satunnasten vrheden olemassaolo vodaan todeta esm. tostamalla sama mttaus useaan kertaan ja prtämällä mttaustu-
lokssta hstogramm. Tuloksena on tällön jakauma, jossa mttaustulokset ovat jakautuneet tetyn todennäkösmmän arvon ympärlle. Satunnasten vrheden tapauksessa vrhearvont tapahtuu tlastomatematkan kenon. Tällön sanalla vrhe tarkotetaan yleensä suuretta, joka kuvaa mttaustulosten muodostaman jakauman leveyttä. Jos satunnasten vrheden osuus lopputuloksen vrheessä on pen, sanotaan, että tuloksen ssänen tarkkuus (precson) on hyvä. Jos myös systemaattset vrheet ovat penä, saavutettu lopputulos on lähellä okeaa arvoa. Kuvassa on estetty kaks mttaustulosta, jossa vasemmanpuolesessa on hyvä ssänen tarkkuus, sllä psteden vrherajat ovat penet ja psteet sopvat hyvn samalle suoralle, mutta huono ulkonen tarkkuus, sllä ne evät sov teoreettselle suoralle, jonka ptäs kulkea orgon kautta. Okeanpuolesessa kuvassa ulkonen tarkkuus on hyvä, sllä teoreettnen suora kuvaa mttauspstetä hyvn, mutta ssänen tarkkuus on huono, sllä psteden vrherajat ovat suuret ja pstestössä on selvää hajontaa. Vodaan myös sanoa, että vasemmanpuolesessa mttauspstestössä satunnasen vrheen osuus on pen ja systemaattsen vrheen osuus suur, kun taas okeanpuolesessa satunnanen vrhe on suur mutta systemaattnen vrhe pen. Jos mttauksen ssänen tarkkuus on hyvä, tostomttaukslla saadaan ana hyvn lähellä tosaan oleva tuloksa, ja jos mttauksen ulkonen tarkkuus on hyvä, nn tostomttausten keskarvo osuu hyvn lähelle okeaa arvoa. Pentä satunnasvrhettä kuvaa myös mttauksen hyvä tostuvuus (repeatablty, repeterbarhet). Tostuvuus on tetyn suureen lyhyenä akavälnä samossa olosuhtessa, saman havatsjan, samon latteston ja menetelmn sekä samassa laboratorossa saatujen tulosten yhteensopvuus. Mttausvälnettä kuvaava käste on mttausvälneen tarkkuus (accuracy of a measurng nstrument, noggrannhet hos mätdon). Tämä on välneellä saadun suureen mttaustuloksen ja suureen "okean " arvon yhteensopvuus. Mttavälneen tarkkuus määrttää mttaustapahtumassa mtatun parametrn vrherajat. Absoluuttnen vrhe (absolute error, absolutfel) on saadun mttaustuloksen ja ns. vertaluarvon välnen erotus x x o, mssä x on mttaustulos ja x o etstyn suureen okea arvo. Vertaluarvo vo olla suureen okea arvo, slle sovttu arvo (taulukkoarvo ym.) ta mttaussarjan perusteella määrtetty arvo. Suhteellnen vrhe määrtellään samon merknnön suureena a b VIRTA (A) JÄNNITE (V) JÄNNITE (V) Kuva. Ssäsen ja ulkosen tarkkuuden ero. Ssänen tarkkuus on hyvä kuvassa a) ja huono kuvassa b). Ulkonen tarkkuus verrattuna katkovvalla estettyyn teoreettseen arvoon on a) kuvassa huono ja b) kuvassa hyvä.
x! x o x o. () Käytännössä okea arvo x o joudutaan korvaamaan mttaustulokssta saadulla todennäkösmmällä arvolla. Epävarmuus (uncertanty of measurement, mätosäkerhet) lmasee mttaustulosten hajontaa ja johtuu ss satunnasvrhestä. Sen kvanttatvsta esttämstä varten lasketaan tlastollnen luottamus- ta varmuusväl, joka pettää suureen "okean" arvon etukäteen sovtulla todennäkösyydellä (yleensä % ta 9%). Epätarkkuus (naccuracy, onoggrannhet) lmasee mttauksen kakk vrheet, sekä systemaattset vrheet että satunnasvrheet. Jos systemaattset vrheet on postettu, on epätarkkuus sama kun epävarmuus.
Tostokoe ja satunnasvrheden tlastollnen kästtely. Mttaustulosten jakaumaa kuvaavat tunnusluvut Suuretta, jonka arvo vahtelee satunnasest havantokerrasta toseen, kutsutaan tlastomatematkassa satunnasmuuttujaks. Jotta satunnasmuuttujan jakauma votasn kuvalla tarkast, satunnasmuuttujasta ols tehtävä ääretön määrä havantoja. Käytännössä joudutaan tyytymään äärellseen joukkoon havantoja, josta laskettuja jakaumaa kuvaava tunnuslukuja kutsutaan estmaateks el arvoks jakauman todellslle tunnusluvulle. Jakauman todellset tunnusluvut ovat ss estmaatten raja-arvoja, kun havantojen määrä lähenee ääretöntä. Havantosarjan tlastollsen kästtelyn tehtävänä on löytää jakauman tunnusluvulle parhaat mahdollset estmaatt. Olkoon x satunnasmuuttujasta x tehty yksttänen havanto, ja olkoon havantoja tehty N kpl. Havantojen muodostaman jakauman keskarvo µ määrtellään raja-arvona % µ! lm $ x ' N"# & N (. Kun havantoja on äärellnen määrä N, keskarvon m estmaatt on otoskeskarvo x : N x =! N x. = Jakauman leveyttä kuvaava suure on hajonta (standardpokkeama) σ, joka määrtellään raja-arvona! " lm N#$ &( x % µ ), N mssä µ on kaavassa () määrtelty jakauman keskarvo. Kun havantoja on äärellnen määrä N, hajonnan σ estmaatt on otoskeskhajonta s: () () () s = "( x! x ), N! () mssä x on kaavassa () määrtelty otoskeskarvo. Nän laskettuna otoskeskhajonta kuvaa hajontaa, jonka ssälle mahtuu % havannosta. Mkäl halutaan, että 9% tapahtumsta mahtuu hajonnan ssälle, tulee hajonnan estmaattna käyttää arvoa s. Otoskeskhajonnan käyttö tarkkuusmttana perustuu shen, että se lmottaa alueen, johon seuraavan tostomttauksen tuloksen tuls tetyllä todennäkösyydellä osua. Tästä syystä yhtälön () määrttelemää otoskeskhajontaa vodaan kutsua myös yksttäsen havannon keskvrheeks. Fyskan tostomttauksssa on kutenkn tavallsest päämääränä laskea lopputulos mttaussarjan keskarvona ja pyrkä lttämään tähän lopputulokseen jokn vrheraja Δx. Tähän tarkotukseen otoskeskhajonta e kelpaa.
Mtattu arvo, otoskeskarvo ja otoskeskhajonta 7 7 7 7 Mttaustapahtuma: tostettu x kertaa Kuva Mttaustulokset tostomttauksesta, jossa on tostettu kertaa tostomttauksen sarja. Kuvn prretyt vvat vastaavat otoskeskarvoa ja otoskeskhajontaa lsättynä ja vähennettynä otoskeskarvosta. Otoskeskarvon vahtelua on havannollstettu kuvassa, jossa on estetty neljän tostomttaussarjan tulokset mustlla pstellä. Kussakn mttaussarjassa on tehty tostomttausta suureelle, jonka "okea" arvo on.. Kuhunkn kuvaan on laskettu mttaussarjan otoskeskarvo ja otoskeskhajonta lsättynä ja vähennettynä keskarvosta. Kuvasta nähdään, että otoskeskarvo vahtelee "okean" arvon molemmn puoln ja että kakk otoskeskarvot ovat huomattavast lähempänä tosaan kun otoskeskhajonnan avulla laskettu yhden mttauksen hajonta. Jos mttaus vodaan tostaa rttävän monta kertaa, vodaan tulokselle määrttää vrhearvo sten, että suortetaan useta mttaussarjoja ja lasketaan kullekn otoskeskarvo x. Saadut arvot vahtelevat satunnasest, ja nlle vodaan laskea uus otoskeskarvo ja otoskeskhajonta. Nän laskettu otoskeskhajonta kertoo alueen, johon seuraavan mttaussarjan keskarvo tetyllä todennäkösyydellä osuu Nän saatua arvoa vodaan käyttää fyskaalsen mttauksen vrherajona. Tlastomatematkassa vodaan kutenkn osottaa, että keskarvolle vodaan laskea vrhearvo jo yhden mttaussarjan perusteella. Tätä vrhearvota kutsutaan keskarvon keskvrheeks m, ja sen rppuvuus otoskeskhajonnasta s on m = s N. Keskarvon x vrhearvo Δx lasketaan ss kaavalla ()!x = #( x " x ). N( N ") Keskarvon keskvrhe lmottaa sen alueen, jolle (seuraavan) mttaussarjan keskarvo %:n todennäkösyydellä osuu. Keskarvon keskvrheen lausekkeesta nähdään, että havantojen määrän N kasvaessa keskarvon keskvrhe Δx penenee. Tostokokeen avulla vodaan ss parantaa lopputuloksen tarkkuutta verrattuna yksttäsen mttauksen tarkkuuteen, ja saavutettu tarkkuus on stä paremp mtä pdemp mttaussarja suortetaan. (7)
7. Keskarvo... Tostokertojen lukumäärä Hajonta.. Tostokertojen lukumäärä ( mttausta) Kuva Otoskeskarvon ja hajonnan muuttumnen tostokertojen lukumäärän kasvaessa, kun kussakn tostokokeessa on on tehty mttausta suureesta, jonka okea arvo on. Yläkuvassa näkyy kunka otoskeskarvo lähestyy okeaa arvoa. Alakuvassa on pstellä prretty mttaussarjasta saatu otoskeskhajonta ja yhtenäsellä vvalla keskarvon keskvrhe. Keskarvon keskvrhettä on ylemmässä kuvassa käytetty mttausarjan keskarvon vrheenä. Mttaustarkkuuden parantumsta tostomttauksen lukumäärän kasvaessa on havannollstettu kuvassa. Snä on estetty otoskeskarvo mttauksesta jossa mttauksen sarja on tostettu nn monta kertaa kun vaaka-aksel osottaa. Kuvasta nähdään, että otoskeskarvo lähenee okeaa arvoa, joka on, kun tostomttausten määrä kasvaa. Kuvan. alaosassa on estetty otoskeskhajonnan ja keskarvon keskvrheen erlanen käyttäytymnen tostojen määrän kasvaessa. Otoskeskhajonta sälyy lkman vakona vakka mttaus tostettasn yhä uudelleen, koska se kuvaa yhteen mttaukseen lttyvää hajontaa. Keskarvon keskvrhe penenee mttausten määrän kasvaessa osottaen, että tostomttaukslla vodaan mttaustarkkuutta parantaa. Keskarvon keskvrhettä on ylemmässä kuvassa käytetty myös tostomttauksen keskarvon vrheenä, ja kuvasta vo havata, että okea arvo jää usemmssa tapauksssa mtatun suureen vrherajojen ssälle. Nän ollen keskarvon keskvrhe on hyvä estmaatt tostomttauksen vrheelle.. Normaaljakauma Satunnasten vrheden kästtelyssä oletetaan tavallsest, että useden, samossa olosuhtessa tostettujen mttausten tulokset noudattavat normaaljakaumaa el normtettua Gaussn jakaumaa G(x) =! " e# $ x # µ ' & ) %! ( ()
mssä µ on jakauman keskarvo ja σ on hajonta. Normtus tarkottaa, että yhtälön () kuvaajan ja x- akseln väln jäävä pnta-ala on, el " # G(x)dx =. (9)!" Normaaljakauman suur käyttökelposuus fyskan mttaustulosten kästtelyssä perustuu shen, että sen on kokeellsest todettu olevan hyvä arvo lukusten ertyyppsten mttaussarjojen antamen tulosten jakaumalle. Lsäks normaaljakauman erkosprre on, että paras mahdollnen estmaatt jakauman keskarvolle µ on juur kaavan () mukanen otoskeskarvo x. Normaaljakauma vodaan tulkta todennäkösyystheydeks. Todennäkösyys slle, että normaaljakautuneeseen satunnaslmöön lttyvä havantotulos on penellä välllä (x, x+dx) on dp = G(x) dx () Todennäkösyys slle, että havantotulos on välllä (a,b), saadaan ntegromalla yhtälöä (): P(a < x < b) =! G(x)dx, () a el todennäkösyys on yhtä suur kun sen alueen pnta-ala, jota kuvassa rajottavat x-aksel, suorat x=a ja x=b sekä käyrä G(x). Usen tarkastellaan van symmetrstä tapausta el välä (-a,a). Jos yhtälössä () suortetaan muuttujanvahdos b z = x! µ ", () saadaan Gaussn jakauma () muotoon G(z) = z! e". () Yhtälö () on Normaaljakauman tapauksessa, jossa havantoaneston keskarvo µ = ja hajonta σ =. Muuttujanvahdoksen () avulla mkä tahansa G (x)-jakauma vodaan muuttaa G, (z)- jakaumaks. Tästä on hyötyä laskuteknsest, sllä jakaumaa G(z) e voda ntegroda suljetussa muodossa. Muuttujanvahdoksen ansosta tarvtsee van tuntea jakauman G, (z) arvot. Taulukkoon on laskettu jakauman () avulla todennäkösyys slle, että muuttujan z pokkeama keskarvosta µ = on penemp kun, ts. z <. Taulukon todennäkösyys P on ss ntegraal P = P (!" < z < ") = # " e! z $ dz.!" µ = σ = P(a<x<b) Kuva. Todennäkösyyden laskemnen sllon, kun normaaljakautuneen satunnaslmön yksttänen havantotulos on välllä (a,b) Taulukosta nähdään, että havannon pokkeama keskarvosta on % todennäkösyydellä välllä (- σ,+σ) ja 9% todennäkösyydellä välllä ( σ,+σ). Tosaalta tarkastelemalla todennäkösyyttä P=, (λ=,) nähdään, että suuresta havantosarjasta puolet on sellasa havantoja, joden pokkeama keskarvosta on korkentaan,σ. ()
9 Taulukko. Jakauman () avulla laskettu todennäkösyys (P) slle, että muuttujan z pokkeama keskarvosta µ = on tsesarvoltaan penemp kun parametr λ. λ,,,,,, P,,,,7,9,997. Tostokoe ja suurmman uskottavuuden menetelmä Fyskan mttaustulosten kästtelyssä esntyy tosnaan tlanteta, jossa tostomttaussarjan jokasella yksttäsellä mttauksella x on myös oma vrheraja Δx. Tällön keskarvon ja sen vrheen laskemseen käytetään tlastomatematkassa suurmman uskottavuuden menetelmää. Snä oletetaan, että mttaustulosten x jakauma on normaaljakauma (nän e käytännössä ana ole), ja vrherajat vodaan tulkta tämän normaaljakauman standardpokkeamks, σ Δx. Todennäkösyys slle, että mttaustulos x pokkeaa todennäkösmmästä arvosta x, on kaavan () mukaan P(x ) =! " e# $ & % x # x! ' ) (, () Huomattakoon, että kaavan () eksponentssa esntyy tostomttauksen vuoks kaklle pstelle x yhtenen keskarvo x. Jos tostomttaukset ovat tosstaan rppumattoma, todennäkösyys koko mttaussarjan pokkeamalle keskarvosta on termen () tulo, jota kutsutaan lkelhoodfunktoks. Paras arvo mttaussarjan keskarvolle on nyt se, joka maksmo lkelhoodfunkton arvon. Kaavan () perusteella tämä merktsee lkelhoodfunkton eksponentn mnmomsta, ts. ) # % $ x! x " & ( ' Tästä vodaan osottaa, että keskarvon paras estmaatt on mttaustulosten panotettu keskarvo x = N x " ( ) = N!x " ( ) =!x (), (7) mssä panona ovat vrherajojen nelöden kääntesluvut. Keskarvon keskvrheen Δx lauseke johdetaan kehttämällä keskarvon lauseke (7) sarjaks muuttujen x avulla ja määrttämällä sopvast katkastulle sarjakehtelmälle hajonta. Tulokseks saadaan panotettu summa (!x) ) = (!x ) # % "x &, / ( + * $ "x '., - mssä panona on yksttäsen mttapsteen keskarvoon aheuttaman vakutuksen nelö. Sjottamalla kaavasta (7) saatava keskarvo kaavaan () saadaan keskarvon keskvrheeks!x = N " = ( )!x. (9) ()
. Vahteluväl ja t-jakauma Mtattavan suureen satunnasta vahtelua keskarvon ympärllä vodaan kuvata jakauman hajonnan lsäks käyttämällä vahteluvälä. Suureen (-α) %:n luottamusvälks kutsutaan aluetta, joka todennäkösyydellä -α pettää alleen suureen todellsen arvon. Tavallsmmn käytetään 9 %:n luottamusvälä. Jos normaaljakautuneen suureen hajonta σ tunnettasn tarkast, 9 %:n luottamusrajat saatasn yksnkertasest kaavan () ntegraalsta valtsemalla ntegrontrajat ±λ sten, että ntegraaln arvo ols.9 (taulukon mukaan tällön λ σ). Käytännössä tuntemattoman suureen hajontaa e tunneta tarkast, vaan sen estmaatt on kaavan () antama otoskeskhajonta s. Otoskeskhajonta on N:n satunnasmuuttujan funkto, joten luottamusvälen laskemnen muuttuu monmutkaseks tlastomatemaattseks ongelmaks. Tässä yhteydessä todetaan van, että rppumattomsta satunnasmuuttujsta vodaan er laskutomtukslla muodostaa useta uusa muuttuja, joden jakaumat ovat keskesessä osassa tlastollsten luottamusrajojen laskemsessa. Luottamusvälejä haettaessa tällanen jakauma on t-jakauma (ta Student-jakauma), t(n) = x, () N! x mssä muuttujat x ja x ovat normaaljakautuneta s.e x = x = ja σ(x) = σ(x ) =. Normaaljakautuneen suureen keskarvon x (-α) %:n luottamusväl on nyt x ± t!" / (N!) s N, () mssä alandeks -α/ johtuu stä, että t-jakauma (kuten normaaljakaumakn) on symmetrnen orgon suhteen. t-jakauman arvoja 9 %:n luottamusrajolle vapausasteden funktona on estetty taulukossa. Laadunvalvonnassa käytetty keno tostomttauksen luotettavuuden arvontn on vahteluväln käyttö, josta saadaan helpost arvo vrheelle. Vahteluväl R on suurmman ja penmmän mttaustuloksen erotus. Normaaljakautunelle suurelle vodaan osottaa, että vahteluväln ja hajonnan σ välllä on yhteys W = R/σ, () mssä W on nmeltään suhteellnen vahteluväl, ja se rppuu anoastaan havantojen lukumäärästä N. Yhdstämällä kaavat () ja () saadaan luottamusväln lausekkeeks x ± x max! x mn F () jota vodaan käyttää vrhearvon tekemseen, kun tostokokeden määrä on pen. Tekjän F arvoja on laskettu taulukkoon vastaamaan 9%:n vahteluvälä. F-tekjään perustuva vrhearvo on hekomp kun t-jakauman käyttöön perustuva, koska koko havantoanestoa e käytetä hyväks, ja F-tekjän antamat 9 %:n luottamusrajat vovat olla hukan t- jakaumaa suuremmat. Vahteluväln käyttötarkotus onkn nopean lkmääräsen vrhearvonnn tekemnen. Taulukko. 9%:n vahteluväln F-tekjän arvo tostokokeden lukumäärän N funktona ja t- jakauman ylemmän (-α/) -psteen arvo (α =.) vapausasteden N funktona. N 7 9 F -,,7,77,,,,9,, t,77,,,77,7,7,,,,
Laskettujen suureden vrheden arvont Ensmmänen askel tutkttavan suureen vrheen arvonnssa on mtata ta arvoda mtattujen parametren vrherajat Δx. Tämä tulee tehdä jokaselle mtatulle suureelle. Harvassa mttaustapahtumassa vodaan kutenkaan tutkttavaa suuretta mtata suoraan. Se onnstuu, jos ollaan knnostuneta metalltangon ptuudesta ta jänntteestä akun napojen välllä, mutta yleensä mttaustapahtuma on monmutkasemp ja tutkttava suure saadaan jonkun ta jodenkn apusuureden avulla. Yksnkertasmmllaan tämä on vastuksen arvon mttauksessa jänntteen ja vrran avulla ta sylntern tlavuuden mttauksessa ptuuden ja halkasjan avulla. Jos tutkttavaa suuretta e voda mtata suoraan, mttaukset kohdstetaan suuresn, joden funkto tutkttava suure on. Fyskaalsta lmötä kuvaava matemaattnen mall oletetaan tunnetuks, ja tutkttavan suureen arvot lasketaan malln avulla mtatusta suuresta. Tällön tutkttavan suureen arvo saadaan laskemalla suuretta esttävän funkton arvo, jonka muuttujna ovat välttömäst mtattavat suureet. Funkto olkoon F(x, x,...), jossa (x, x...) ovat edellä sanotut välttömäst mtattavat, tosstaan rppumattomat suureet. Esmerkknä manttakoon ohuen lnssn polttoväln f määrtys lnssyhtälön f = a + b avulla, jollon mtattavat suureet (x, x ) ovat a ja b el kuvan ja esneen etäsyys lnssstä. Jotta votasn sanoa jotan tehdyn mttauksen tarkkuudesta, tulee arvoda funkton F vrhe ΔF, kun muuttujen vrheet Δx, Δx,... ovat annetut. Kunka pääsemme yksttässtä mtatusta vrhestä Δx, Δx,... vrheeseen ΔF? Vodaan kysyä, mllä tavalla vrhe etenee mttaustapahtumasta lopputulokseen? Ensmmänen askel on luonnollsest mttauslatteen antamen tulosten vreen arvont. Nän saadaan vrheet Δx, Δx,.... Maksmvrheen laskemnen kokonasdfferentaaln avulla Matemaattsest funkton arvon F vahtelua muuttujan x vahdellessa hukan kuvaa funkton F dervaatta muuttujan x suhteen. Yhden muuttujan tapauksessa tämä vastaa käyrän korvaamsta sen tangentlla psteen x lähesyydessä. Jos jokasessa muuttujassa tapahtuu pen muutos dx, funkton arvon muutoksen antaa kokonasdfferentaal df =!F!x dx +!F!x dx +. () Kaavassa () on käytetty hyväks osttasdervonta. Se tapahtuu lähes samojen sääntöjen mukaan kun dervont yhden muuttujan tapauksessa. Erona on, että dervont tehdään kunkn muuttujan suhteen vuorollaan ptäen muta muuttuja vakona. Fyskan mttauksssa lopputuloksen F vrhettä laskettaessa kaavassa () esntyvät dfferentaalt korvataan suureden x vrherajolla Δx. Vrheden suuntaa e yleensä tedetä, mutta eräs yläraja-arvo lopputuloksen vrheelle saadaan, kun kakka vrherajoja pdetään postvsna. Lsäks, koska tavotteena on laskea vrheelle yläraja-arvo, kakk osttasdervaatat oletetaan postvsks. Elle nän tehtäs, vastakkasmerkkset termt saattasvat kumota tosaan. Vrhearvo lasketulle suureelle saadaan ss kaavalla!f = "F "x!x + "F "x!x + ()
Esmerkk. Lasketaan funkton f = ax y vrhe Δf, kun x ja y ovat muuttuja ja a on tarkka vako. Dervodaan x:n suhteen! "f "x = axy Dervodaan y:n suhteen! "f "y = ax Krjotetaan lauseke maksmvrheelle!f = axy!x + ax!y Esmerkk. Lasketaan funkton g = ax + by vrhe Δg, kun x ja y ovat muuttuja, sekä a ja b ovat parametreja, jolla on epätarkkuutta. Nyt tulee dervoda sekä muuttujen että parametren suhteen:!g!x = ax!g!y = b!g!a =!g x!b = y " #g = ax #x + b #y + x #a + y #b Esmerkk : Lasketaan vrhearvokaava lnssyhtälön antamalle polttovällle. Samon kun edellsessä esmerkssä muodostetaan osttasdervaatat ja lasketaan ne yhteen. Tässä tapauksessa sekä a että b ovat muuttuja.!f = "f "f!a + "a "b!b = b a + b ( )!a + a!b ( a + b). Logartmnen dervont Jos matemaattnen mall ssältää van kerto- ja jakolaskuja sekä potenssn korotuksa, vodaan vrhearvon laskemsessa vaadttaven laskutomtusten määrää penentää ns. logartmsen dervonnn avulla. Matemaattsest logartmnen dervont ja kokonasdfferentaaln avulla tapahtuva vrheen laskemnen ovat denttsä, ja tuottavat sten saman lausekkeen vrhearvolle. Logartmsessa dervonnssa funktosta otetaan ensn logartm, jonka jälkeen se dervodaan. Logartmnen dervont perustuu shen, että ottamalla luonnollnen logartm dervotavasta funktosta kertoja jakolaskut vodaan käteväst muuttaa yhteen- ja vähennyslaskuks. Lsäks luonnollnen logartm on helppo dervoda: d dx ln x ( ) = x () Usen on helpompaa johtaa yhtälöä suhteellselle vrheelle kun absoluuttselle vrheelle. Lopullnen absoluuttnen vrhe vodaan tällön laskea helpost suhteellsesta vrheestä kertomalla se lopputuloksen arvolla Esmerkk : Lasketaan funkton f = kx a y b z c vrhe Δf, mssä k, a, b ja c ovat postvsa ta negatvsa reaallukuja. Ensn otetaan funktosta puolttan logartmt: ln f = ln kx a y b z c ( ) = ln k + a ln x + b ln y + c ln z Saadun yhtälön kumpkn puol dervodaan, ja termt asetetaan tsesarvomerkken ssälle vastakkas-
merkksten termen kumoutumsen estämseks:!f f = a!x x + b!y y + c!z z Lauseke antaa suureen f suhteellsen vrheen Δf/f suureden x, y ja z suhteellsten vrheden avulla. Tästä päästään absoluuttseen vrheeseen Δf kertomalla suhteellnen vrhe lopputuloksella. Esmerkk : Lasketaan funkton f = ax y vrhe Δf, kun x ja y ovat muuttuja ja a on tarkka vako.! f! x! y = + f x y Krjotetaan lauseke maksmvrheelle!f =!x x +!y joka antaa saman lausekkeen kun esmerkssä. " # y $ % ax y, Esmerkk : Tehtävänä on selvttää funkton Fl R = bh suurn mahdollnen systemaattnen vrhe, kun muuttujna oleven suureden F, l, b ja h arvot arvodaan votavan mtata sten, että " F " l " b " h!,%,!,%,!,%,!,% F l b h Esmerkssä estetyn lausekkeen mukasest vodaan krjottaa! R! F! l! b! h " + + + R f l b h, " R R josta saadaan!,%.. Esmerkk 7: Eräässä kokeessa pyrttn määrttämään gravtaatovakon g arvo pudottamalla koekappale korkeudelta h= m ja mttaamalla putoamseen kulunut aka t. Pudotuskorkeus kyettn mttaamaan Δh=, m:n tarkkuudella. Klasssen mekankan mukaan pudotuskorkeus on verrannollnen putoamsakaan yhtälön h = gt mukasest. Ajan mttaustarkkuuden parantamseks suortettn kymme- nen tostomttausta, jossa saatn taulukossa E olevat tulokset: Tulokssta laskettn putoamsajalle keskarvo ja keskarvon keskvrhe kaavolla (.) ja (.), jollon putoamsajaks saatn t = (, ±,) s. Koska pudotuskorkeus ja putoamsaka tunnetaan, vodaan gravtaatovakon lausekkeeks ratkasta g = h t. Tällön tulokseks saadaan g = 9, m/s. Lasketaan seuraavaks lopputuloksen vrheraja Δg. Lausekkeessa esntyy anoastaan kerto- ja jakolaskuja, joten logartmsen dervonnn avulla saadaan helpost g:n suhteellnen vrhe:! g! h! t = +. g h t Sjottamalla tähän Δh=, m ja Δt=, s saadaan gravtaatovakon vrhearvoks Δg=, m/s. Lopputulos lmotetaan muodossa g = (9, ±,) m/s.
Esmerkstä 7 nähdään, että mtattujen suureden vrherajat, jota käytetään lasketun suureen vrhettä arvotaessa, vovat määräytyä erlasn perusten, esm. yksttäsen mttauksen tarkkuudesta (kuten Δh) ta tostomttauksesta (kuten Δt). Esmerkssä näytetään, mten lausekkeeseen, jossa on mukana vähennyslasku, vodaan soveltaa logartmsta dervonta. Esmerkk. Ratkastaan funkton f kokonasdervaatta ja maksmvrhe logartmsella dervonnlla. f = a! b cd ln( f ) = ln(a! b ) + ln(c) + ln(d ) "f f = $ "f = & % # #a (a! b ) "a + (a! b ) # #b (a! b ) "b + "c (a! b ) c + "d d "a (a! b ) + b"b (a! b ) + "c c + "d d ' ) * f (. Vrhebudjett. Kun mttaustulos rppuu monesta muuttujasta on tärkeää saada selvlle, mtkä muuttujat aheuttavat suurmman vrheen mtattavaan lopputulokseen. Tämä teto auttaa mttausten suunnttelussa, jollon vodaan tehdä tarvttava parannuksa suurmman epävarmuuden aheuttavan parametrn mttaamseen. Vrhebudjetn tekemnen fyskan laboratorotössä hodetaan taulukon avulla, johon kerätään kunkn muuttujan nm, vrhe(arvo) ja muuttujan vakutus lopputuloksen vrheeseen, kuten taulukossa on estetty. Tällä tavalla vodaan laskea kunkn suureen epätarkkuuden vakutus lopputulokseen ja lopputulemana saadaan tuloksen kokonasvrhe. Vrhebudjett tulee tehdä kakssa sellasssa fyskan laboratorotössä, jossa lopputulokseen vakuttaa vähntään kaks mtattua suuretta. Yleensä vrhebudjett saadaan suoravvasest käyttämällä kokonasdfferentaaln lauseketta. Taulukosta havataan, että muuttujen z ja x merktys lopputulokseen on suurn, joten nden mttaukset tuls tehdä suuremmalla tarkkuudella. Vrhebudjetn perusteella vo sellasten muuttujen vrheet, joden vakutus lopputulokseen on hävävän pen, jättää pos lopputa vältulosten laskettaessa. Taulukon tapauksessa tällasa ovat muuttujat k ja y. Mkäl nän tehdään, on stä kutenkn ana oltava mannta selostuksen tekstssä. Seuraava esmerkk kuvaa yhtä tyypllstä tlannetta fyskan laboratorotössä. Graafsen estyksen perusteella on saatu kulmakertomen arvo vrheneen laskettua, mutta lopputuloksen vrheeseen vakuttaa lsäks jodenkn mtattujen suureden vrheet. Ongelman kuvaus, tulokset ja graafnen estys on otettu esmerkstä 7. Esmerkk 9: Vrhebudjetn käyttö kahden muuttujan tapauksessa Taulukko. Vrhebudjett funktolle f = k x y / / z muuttuja arvo vrhe kokonasdfferentaal x,, f x / x, f y,, f y / y, f z,, f z / z, f k 9,, f k / k. f f,9, f,77 Korkea sylnternmuotonen putk (halkasja d=(9,±,) mm) on täytetty nesteellä. Putken alapäässä on ohut kapllaar, josta ajanhetkellä t = aletaan juoksuttaa nestettä. Nesteen ulosvrtaus kapllaarn läp on melko tarkast suoraan verrannollnen nestepatsaan korkeuteen. Kapllaarputken vrtausvastus esmerkn 7 mukaan saadaan kaavasta
R =! A = " ka = " k#d, mssä putken pokkpnta-ala A on lmotettu putken halkasjan d avulla ja τ on aka, jonka kuluessa nestepatsaan korkeus penenee puoleen alkuperässtä. Tämä akasuure saadaan kulmakertomen k käänteslukuna. Vrtausvastuksen vrhearvo saadaan helpommn logartmsella dervonnlla: "!R = R!k k +!d $ # d %. Tämän lausekkeen perusteella vodaan tehdä taulukon vrhebudjett ja nähdä kummankn muuttujan aheuttavan yhtä suuren vrheen lopputulokseen. Taulukko. Vrhebudjett funktolle R = / (kπd ) muuttuja arvo vrhe kokonasdfferentaal k,, R k / k, R d 9,, R d / d, R R,, R. Ohjeta vrhearvon tekemseen Edellä on kuvattu useta erlasa tapoja laskea ta arvoda vrhettä. Yhteenvetona nästä er tavosta on seuraavassa estetty ohjestus: Yksttäsen mttaustuloksen kohdalla käytetään annettua mttalatteen tarkkuutta, lukematarkkuutta ta havattua mttauksen epätarkkuutta. Tostokokeen tapauksessa, kun tostokertojen lukumäärä on pen, käytetään F-tekjää Tostokokeen tapauksessa, kun tostokertojen määrä on suur, lasketaan keskarvon keskvrhe Nän saadut mttaustulokset vrheneen sjotetaan graafseen estykseen Tällön saattaa olla tarpeellsta käyttää kokonasdfferentaala vrheen laskemseks graafsta estystä varten. Graafsen estyksen perusteella määrtetään yleensä kulmakertomen ja mahdollsest jodenkn muden parametren vrhe. Nästä edetään lopputuloksen vrheeseen kokonasdfferentaaln avulla.
Lukuarvosta ja yksköstä. Dmensoanalyys Jokasella fyskassa mtatulla suureella on sekä lukuarvo että dmenso, laatu. Dmensoden kästtelyssä olemme Euroopassa varsn onnellsessa asemassa, koska SI-järjestelmä on otettu käyttöön vuosa stten ja se on pohjana myös arkpävän mttaykskössä. SI-järjestelmän heno prre, on snä, että laskettaessa fyskaalslla suurella, nden laadulla vo tehdä algebrallsa laskutomtuksa lman vakeast mustettava muunnoskertoma. Mahdollsuutta tehdä tällasa laskutomtuksa vo Fyskan laboratoron mttauksssa käyttää kahdella tavalla hyödyks: Yhtäältä lopputuloksen laatu tulee laskea mtattujen suureden ja annettujen parametren laatujen avulla. Tosaalta pelkken laatujen tarkastelu auttaa monessa tapauksessa havatsemaan onko käytetyt kaavat oken. Jos laatujen tarkastelu (dmensoanalyys) e anna lopputulokselle okeaa laatua, on käytetyt kaavat syytä tarkastaa ja tarvttaessa korjata. Tyypllsest tällä tavalla vodaan löytää esm. kneettsen energan kaavasta mv potenssvrhe, koska laatu e tule oken. Vakotermen vrhetä dmensoanalyys e kutenkaan paljasta. Dmensoanalyysn avulla vo myös löytää anakn lähes oketa rppuvuussuhteta fyskaalslle parametrelle, vakka e mustaskaan käytettävää malla tarkast. Esmerkk. Mllanen on jänntetyssä kelessä etenevän aallon etenemsnopeus jänntyksen ja langan massan välllä? Laadut ovat v = [m/s], T = [N] = [kgm/s ] ja m =[kg]. Oletetaan että kaava on muotoa v! T a m b, mssä a ja b ovat knnostuksen kohtena oleva parametreja. Kysymys muokkautuu nyt muotoon, mllaset eksponentn arvot a ja b antavat nopeudelle okean laadun? Sjottamalla laadut yhtälöön saadaan m / s = ( kgm / s ) a ( kg) b = kg a+ b m a s!a Tämän perusteella saadaan uudet yhtälöt: a + b =, -a = - ja a =. Havataan, että nälle e ole ratkasua, joten kaavaa tulee velä hukan muuttaa. Korvaamalla langan massa m langan massalla ptuusykskköä koht ρ = [kg/m], saadaan yhtälö muotoon ( ) a kg / m m / s = kgm / s ( ) b = kg a+ b m a!b s!a Tällön yhtälöt a + b =, -a = - ja a - b = antavat ratkasuks, a = / ja b = -. Nän saatn nopeudelle lauseke v = C T /!, mssä C on laaduton vako. Kaavassa esntyvän vakon arvoa dmensoanalyys e pysty selvttämään.. Lkarvot ja tarkat-arvot Tulosten kästtelyn kannalta luvut ovat joko lkarvoja ta tarkkoja arvoja. Lkarvoja ovat havantoarvot, väl- ja lopputulokset. Tarkkoja arvoja ovat matemaattset vakot kaavossa ja kästeltävn lkarvohn verrattuna tarkast tunnetut fyskaalset vakot. Monet tarkat arvot ovat joko päättymättömä desmaallukuja, kuten /, π ja e, ta muuten erttän monnumerosa lukuja. Laskussa nämä on katkastava ja pyörstettävä nn, että nstä e laskuhn aheudu merkttävä vrhetä. Matematkan kannalta tällaset luvut ovat ss lkarvoja, mutta laskjan kannalta tarkkoja, koska nhn vo ana tarvttaessa ottaa lsää numerota. Tässä melessä e luvulla / =,..., =,... ta π =,9... ole mtään eroa, ne ovat kakk tarkkoja arvoja. Nden pyö-
rstämsessä noudatetaan samoja sääntöjä, jotka estetään tuonnempana lukuarvojen pyörstämsen yhteydessä. Lähtökohdaks tuloksssa käytettäven numeroden lukumäärälle vodaan tehdä seuraava määrtelmä: Suureen lukuarvon numeroden tulee lmasta mttauksn saadun suureen arvon suuruus, ja sen lsäks vmesen merktsevän numeron tulee lmasta mttauksen vrhettä ta epätarkkuutta. Tehtäessä kokeellsa mttauksa saadaan tuloksks lukuja (laatuneen). Mttaustapahtuman yhteydessä on syytä ottaa ylös mtatun suureen lukuarvo rttävän monella numerolla. Mttalatteen vrhe on syytä selvttää ennen mttauksen tekemstä, jotta yhtäältä tuloksa krjattaessa vo tehdä tarkkalla tapahtuuko mtattavassa sgnaalssa mttaustarkkuuden puttessa merkttävä muutoksa ja tosaalta tetää, mllä tarkkuudella tulokset kannattaa merktä mustn. Yleensä kutenkaan lan suuren numeromäärän käyttämnen e hattaa mttausten tekemstä. Jos esmerkks dgtaalsen ylesmttarn näyttämässä vmen numero vahtelee, sen vahtelun suuruus kannattaa krjata mttaustuloksn, vakka stä e välttämättä tarvttasnkaan. Laskussa saataven vältuloksen kohdalla vodaan käyttää runsaast numerota. Mkäl nätä halutaan vähentää, tulee ptää huol stä, että vältuloksen suhteellnen tarkkuus on paremp kun shen astsen laskun epätarkmmn lmastun suureen suhteellnen tarkkuus. Lopputuloksen kohdalla käytettäven numeroden määrään on syytä knnttää ertystä huomota. Vrhearvon perusteella vodaan päätellä mtkä lopputuloksen lukuarvon numerot ovat luotettava. Rppuen mttausten luonteesta, käytetystä lattesta ja myöskn selttävän teoran hyvyydestä, lopputuloksen vrhe lmotetaan yhden ta korkentaan kahden merktsevän numeron tarkkuudella. Fyskan laboratorotössä yhden merktsevän numeron tarkkuus vrherajossa on ana rttävä. Vrherajan perusteella saadun lopputuloksen lukuarvo on helppo katkasta, nn että sen vmenen annettu luku kuvaa vrheen suuruutta. Esmerkk. Tulokseks saatn luvut,,,9,,79,,,,77,,77,,7,,9,,,,7. Mten tulos estetään? Kakk lukuarvot ovat ss välllä, < x <,77 ja keskarvo on,. Lukuarvossa varmoja numerota ovat van,, sllä van ne löytyvät kaksta mttaustulokssta. Kutenkn tuloksen tarkkuus on hukan tätä paremp. Käytetään vrherajan laskemsessa taulukon F-tekjää. Rppuen stä, mnkälanen on tuloksen luonne, krjotetaan x =,7 ±,7 jos x on lähtöarvo ta vältulos x =, ±, jos x on lopputulos. 7. Pyörstämnen Pyörstyssäännöks sovtaan seuraavat:. Jos ensmmänen posjäävä numero on <, e vmestä mukaan tulevaa numeroa muuteta.. Jos ensmmänen posjäävä numero on >, korotetaan vmestä mukaan tulevaa numeroa yhdellä.. Jos ensmmänen posjäävä numero on =, jota seuraa nollaa suuremp luku, korotetaan vmestä mukaan tulevaa numeroa yhdellä.. Jos ensmmänen posjäävä numero on =, jota seuraa nolla ta e mtään, pyörstetään vmenen mukaan tuleva numero lähmpään parllseen numeroon. Säännöt ja ovat luultavast kaklle tuttuja ja sääntöjen ja kohdalla on olemassa myös muta tulkntoja. E ole ss vrheellstä pyörstää ylöspän vmesen numeron ollessa.
Esmerkk. Seuraavat luvut on pyörstetty kolmnumerosks: Luku pyörstys sääntö Luku pyörstys sääntö,7,,,,,,,,,,, Taulukossa käytetään usen ns. desmaalsta tarkkuuslmotusta, jossa taulukkoarvon vrhettä e ana merktä näkyvn. Desmaalsessa tarkkuuslmotuksessa esm. x =, merktsee, että x on välllä,7 < x <,, ja arvo x =,, että x on välllä,79 < x <,. Tätä vodaan kutenkn ptää huonona tarkkuuden lmasutapana, elle stä ole erkseen lmotettu. Tähän lttyvät sanonnat: n:n desmaaln tarkkuus sekä n:n numeron tarkkuus. Tonen taulukkotedossa käytetty (huomattavast paremp) tapa on,() ta,, jossa sulussa ta alandeksnä oleva luku tarkottaa lukuarvon vmesen numeron suuruusluokassa annettua vrherajaa, ss x =,±,. Lukuarvojen pyörstämsen perussääntö mttaykskkömuunnoksssa on seuraava: lukuarvojen ssältämän nformaaton tulee sälyä muunnoksssa. Yleensä muunnoksen seurauksena saatu uus lukuarvo ssältää "turha" desmaaleja, jotka ols karsttava. Tämä käy pänsä pyörstämällä muunnettu lukuarvo sten, että muunnetun lukuarvon suhteellnen vrhe on yhtä suur kun alkuperäsen lukuarvon suhteellnen vrhe Δx/x. Käytännössä edellä manttu menettelytapa on kutenkn hankala. Käytännöllnen sääntö, jonka perusteella vodaan pyörstää lukuarvot ja samalla noudattaa anakn lkman edellä estettyä peraatetta on, että alkuperäsen lukuarvon ja muunnetun lukuarvon merktseven numeroden lukumäärät valtaan yhtä suurks, jos muunnettu lukuarvo on suuremp kun alkuperänen. Jos muunnetun arvon numeroden muodostama luku on penemp kun alkuperäsen arvon numeroden muodostama luku, otetaan muunnettuun lukuarvoon yks merktsevä numero lsää. Esmerkk., hv on lmastava klowattena. ( hv =,7 kw). Klowattena lmastavan suureen lukuarvo on x' =,7, kw=, kw. Koska alkuperäsessä lukuarvossa on merktsevää numeroa, nn myös muunnettuun lukuarvoon otetaan anakn merktsevää numeroa. Koska kutenkn nden muodostama luku on penemp kun alkuperäsen lukuarvon numeroden muodostama luku, otetaan muunnettuun lukuarvoon yks lsänumero. Ss vastaukseks saadaan, hv =, kw, jossa vmenen numero on korotettu akasemmn estetyn säännön mukasest.
Suureden välsen rppuvuuden tutkmnen 9 Kokeellsessa fyskassa ollaan yleensä knnostuneta pats tarkkojen mttaustulosten saamsesta, myös fyskan teoroden pätevyysalueden testaamsesta käytännössä. Tähän tarkotukseen vakona pdettävssä olosuhtessa suortettavat tostomttaukset soveltuvat huonost. Tavallsest koeolosuhteta halutaan nmenomaan aktvsest muuttaa, jotta malln pakkansaptävyyttä vodaan testata mahdollsmman laajast. Fyskan laboratoromttaukset pyrtään mahdollsuuksen mukaan suorttamaan sten, että vahdellaan jonkn suureen x arvoja (esm. vrtaprn jännte) ja tutktaan, mten tämä vakuttaa mtattavaan suureeseen y (esm. prssä kulkeva vrta). Suureta x ja y yhdstää tosnsa mall y = f(x) (esm. Ohmn lak). Tarkotuksena on tutka noudattavatko mtatut y ja x malln f mukasta käyttäytymstä (esm. Ohmn laka), määrttää malln f lttyvät fyskaalset vakot (esm. prn sähkövastus).. Mttaustulosten graafnen estys.. Graafsen estyksen laatmnen Paras ja ylesmmn käytetty tapa tutka, noudattavatko mttaustulokset malln ennustamaa käyttäytymstä, on esttää mttaustulokset graafsest. Graafnen estys on lmasuvomanen tapa esttää fyskaalsta rppuvuutta, koska sen avulla vo arvoda tutkttavan lan pätevyysaluetta, havata systemaattsa vrhetä ja karkeaa vrhettä ssältävä mttaustuloksa, laskea malln parametren arvoja ja arvoda nden vrhetä. Hyvn tehty graafnen estys nopeuttaa myös selostuksen laatmsta. Jos esmerkks halutaan tutka Ohmn laka U=RI, mtattu jännte estetään prssä kulkevan vrran funktona. Mkäl Ohmn lak on vomassa, mttauspsteet muodostavat orgon kautta kulkevan suoran. Tämän suoran kulmakertomesta saadaan lsäks määrtettyä vastuksen R arvo. Oletetaan, että on mtattu suureet y ja x, jota yhdstää tosnsa mall f sten, että y=f(x). Mttaukset on suortettu pstettän, joten tuloksena on arvopareja (x, y ). Ensmmäsenä tehtävänä on arvoda mtattujen suureden vrherajat Dx ja Dy. Nämä saadaan esm. valmstajan lmottamasta mttauslatteen mttaustarkkuudesta, mttareden astekkojen lukematarkkuudesta ta tostokokeen avulla lasketusta keskarvon keskvrheestä. Jos tulosten kästtelyä varten tarvtaan jonkn mtatun suureen funkton vrhe (esm. x ), käytetään luvussa estettyä dfferentaaln laskemseen perustuvaa menettelyä (esm. D(x )=xdx). Mtatut pstepart (x, y ) prretään koordnaatstoon kuvan mukasest. Mttauspstesn merktään myös vrherajat Dx ja Dy vaaka- ja pystyvvona psteparn (x, y ) kohdalle. Usen tonen suuresta x ja y on määrtetty selväst tarkemmn kun tonen. Jos tarkemmn määrtetyn suureen vrherajat ovat hyvn penet, ntä e tarvtse merktä näkyvn. Astekot pyrtään valtsemaan sten, että psteden muodostama suora on n. asteen kulmassa akselehn nähden. Tällön suoran kulmakerron vodaan määrttää parhammn. Astekkojen valnnalla on kutenkn myös fyskaalsta ssältöä. Valtsemalla astekot sopvast vodaan usesn erlasn mallehn y=f(x) lttyvät pstepart esttää suorana. Jos esm. tutktaan rppuvuutta y=ax ja pyrtään määrttämään vako a, prretään suure y suureen x funktona. Tällön psteet asettuvat (x, y)- koordnaatstossa suoralle, jonka kulmakerron on haettu vako a. Taulukossa Taulukko Mahdollsuuksa koordnaatston valntaan, jos tutkttava rppuvuus on tunnettua muotoa Rppuvuus pystyaksellle vaaka-aksellle y=ax y x y=ax y x y=e ax lny x y=a/x y /x
OIKEIN VÄÄRIN NOPEUS (m/s) v AIKA (s) t Kuva Mtattujen psteparen (x, y ) sekä vrherajojen Dx ja Dy sjottamnen koordnaatstoon. Vasemmanpuolesessa kuvassa on astekko valttu sten, että koko kuva-ala täyttyy, ja mtatut pstepart ja vrherajat on sjotettu oken koordnaatstoon. Okeanpuolesesta kuvasta puuttuvat astekkojen laadut ja psteden vrherajat. Pystyastekko on valttu huonost ja mttapsteet on yhdstetty murtovvalla. on lueteltu muutama lsäesmerkkejä stä, kunka tutkttava mall vodaan huomoda graafsen estyksen laatmsessa. Mkäl nässä esmerkktapauksssa psteet muodostavat suoran, vodaan todeta, että tutkttava mall on koetlanteessa vomassa, ja malln lttyvä verrannollsuusvako a saadaan määrtettyä suoran kulmakertomesta... Suoran kulmakertomen ja sen vrhearvon määrttämnen Otetaan lähtökohdaks kuvan mttauspstestö. Prretään kuvaan slmämääräsest pstestöä mahdollsmman hyvn kuvaava suora. Tämä on tehty kuvassa. Nyrkksääntönä on, että suoran kummallekn puolelle tuls jäädä lkman yhtä paljon pstetä. Karketa vrhetä (pstetä, jotka ovat selväst svussa suoralta) e suoraa prrettäessä tule ottaa huomoon. Psteden vrherajat otetaan huomoon sten, että psteen vakutus suoran sjantn on stä penemp mtä suuremp vrheraja ko. psteeseen lttyy. Mkäl mahdollsta, prrettävän suoran tuls kulkea kakken psteden vrherajojen ssällä. k = Dv/Ds =, m/s Prrettäessä suoraa mttauspstestöön on tärkeää huomata, että suoraa e saa pakottaa kulkemaan orgon kautta, vakka teorassa se seltä kulkskn (esm. y = kx). Tämä johtuu ensnnäkn stä, että pstestöön sovtettavan suoran kulmakertomella ja sten suoran ja y-akseln lekkauskohdalla on jokn vrheraja, jollon suoran e tarvtse kulkea täsmälleen orgon kautta. Toseks, tuloksssa saattaa esntyä systemaattsa vrhetä, esm. jokanen mtattu y-arvo on määrällä y suuremp kun todellnen arvo. Jos tässä tapauksessa pstestöön prrettävää suoraa e pakoteta kulkemaan orgon kautta, saadaan suoran NOPEUS (m/s) Ds =, s Dv =, m/s AIKA (s) Kuva Mttauspstestöön parhaten sopva suora. Vrhesuorat on prretty katkovvolla.
kulmakerron määrtettyä oken systemaattsesta vrheestä huolmatta. Systemaattsen vrheen läsnäolo vo ss näkyä snä, että suora e kulje orgon kautta. Kun mttaustuloksn on prretty pstestöä mahdollsmman hyvn kuvaava suora, suoran kulmakerron vodaan määrttää. Määrttämstä varten valtaan prretyltä suoralta kaks tosstaan rttävän kaukana olevaa pstettä, jotka evät yleensä ole mtattuja pstetä. Fyskassa kulmakertomella on ana laatu, joka saadaan sjottamalla edellä valttujen psteden lukuarvot laatuneen kaavaan y - y k =, (7) x - x kuten kuvassa on tehty. Kulmakertomen vrheen laskemseks pstestöön prretään vrhesuorat, jotka antavat penmmän ja suurmman mahdollsen arvon mttaustuloksn sopvalle kulmakertomelle (kuva.). Vrhesuorat prretään tostensa kanssa rstn, ja nden tulee lekata tosensa ja varsnanen mttausta kuvaava suora pstejoukon panopsteessä ta sen lähesyydessä. Jos pstestö on lkman tasavälnen ja yksttästen psteden vrherajat ovat lkman yhtäsuuret, panopste sjatsee rttävällä tarkkuudella pstestön keskpsteessä. Mkäl pstejoukon panopsteen ( x, y) määrttämnen slmämääräsest on vakeaa, stä vo arvoda antamalla kullekn psteelle panoks sen vrhettä kuvaavan laatkon pnta-alan. Tällön päädytään laskennallsnn lausekkesn x = x y  DxDy DyDx y =  Dx Dy Dy Dx  ( )  ( ) ( ) ( ), () jolla vodaan pakkaa arvoda. Mkäl tosen muuttujan vrhe on nolla, jätetään sen suuntanen tekjä yllä olevsta kaavosta pos. Tärkeää vrhesuoren prtämsessä on myös se, että vrhesuoren tulee kulkea kakken yksttästen psteden vrherajojen ssällä ana kun se on mahdollsta. Tällön vrhesuoren kulmakertomet usen määräytyvät pstejoukon äärpstestä. Pokkeuksen muodostaa tlanne, jossa pstejoukon keskvahella mttaustarkkuus on selväst paremp kun pstejoukon äärpässä. Jos mttauspsteet pokkeavat suoralta enemmän kun vrhearvonsa verran, kannattaa käyttää PNS-menetelmää kulmakertomen ja sen vrheen määrttämseen. Kun vrhesuorat on prretty graafseen estykseen, pstestöön sovtetun suoran kulmakertomelle vodaan laskea vrhearvo. Vrhesuoren kulmakertomsta saadaan kulmakertomen maksmarvo k max ja mnmarvo k mn. Kulmakertomen vrhe Dk vodaan arvoda maksmvrheenä k Dk = max - k mn. Kuvassa 7 ja on estetty muutama ylesä, mutta vrheellsä, tapoja prtää vrhesuora. Kunkn vrheellsen kuvan veressä on estetty samaan pstestöön prretyt okeat suorat. Kuvatekstssä onkommentotu kussakn tapauksessa tehtyjä vrhetä. Kuvassa 7A vrhesuorat evät kulje psteden vrherajojen ssällä ja laskettu vrheraja kulmakertomelle ols nän lan suur. Kuvan 7B-kohdassa vrhesuorat on pakotettu kulkemaan koordnaatston orgon kautta. Houkutus tähän on suur, koska psteden vrherajat penenevät orgoa koht. Tällasessa tapauksessa pstejoukon panopste srtyy lähemmäks penempen vrheden päätä, mutta e koskaan pstejoukon ulkopuolelle. (9)
VÄÄRIN A OIKEIN NOPEUS (m/s) NOPEUS (m/s) AIKA (s) AIKA (s) VÄÄRIN B OIKEIN NOPEUS (m/s) NOPEUS (m/s) AIKA (s) AIKA (s) Kuva 7 Erlasa väärllä tavolla (vasen puol) ja okella tavolla prretyt vrhesuorat (okea puol). Kuvassa A vrhesuorat ovat lan leveällä alueella evätkä kulje kakken psteden vrherajan ssällä. Kuvassa B vrhesuorat on pakotettu kulkemaan orgon kautta, vakka nden tuls lekata lähellä pstejoukon panopstettä.
VÄÄRIN C OIKEIN NOPEUS (m/s) NOPEUS (m/s) AIKA (s) AIKA (s) VÄÄRIN D OIKEIN NOPEUS (m/s) NOPEUS (m/s) AIKA (s) AIKA (s) Kuva Erlasa väärllä tavolla (vasen puol) ja okella tavolla prretyt vrhesuorat (okea puol). Kuvassa C vrhesuorat on prretty käyttäen äärpäden vrherajoja, jollon vrhesuorat evät kulje kakken psteden vrhesuoren ssällä ja kuvassa D vrhesuora on prretty selväst vrheellsen psteen kautta, vakka se vodaan jättää huomomatta.
Kuvassa C vrhesuorat on prretty käyttäen äärpsteden vrherajoja ja vrhesuorat tulevat nän lan leveälle. Nän tehden keskellä olevat, tarkemmat psteet savat lan vähän panoarvoa ja kulmakertomen vrhe kasvaa tarpeettoman suureks. Kuvassa D on yks vrheellnen pste, ja tonen vrhesuora on vrheellsest prretty kulkemaan tämän psteen kautta. Tosnaan saattaa olla tarpeellsta määrttää myös vakon b arvo suoralle y = kx + b. Esmerkks kuvan tapauksessa nän saatu arvo kuvas kappaleen alkunopeutta sen lähtessä kuvan. mukaseen khtyvään lkkeeseen. Vakon b arvo saadaan suoran ja pystyakseln lekkauspsteen y- koordnaatn arvona. Fyskassa myös tällä vakolla on laatu. Vakon b vrherajat vodaan määrttää vrhesuoren ja pystyakseln lekkauspstestä, mutta nän tehden vakon vrherajat tulevat usen tarpeettoman suurks, varsnkn, jos mttaukset on tehty kaukana tästä lekkauspsteestä. Suosteltava tapa Db:n arvomseks on prtää pstejoukkoon verhokäyrät, jolla on sama kulmakerron kun varsnasella suoralla. Verhokäyrät on prretty kuvan pstestöön kuvassa 9. Graafsen tarkastelun lopputuloksena on ss kulmakertomen ja pystyakseln lekkauspsteen arvot vrherajoneen, k ± Dk ja b ± Db. Lsäks graafnen tarkastelu näyttää, että testattava fyskaalnen mall on koetlanteessa vomassa, mkäl mtatut psteet muodostavat sopvast valtussa koordnaatstossa suoran. Yhteenveto graafsen estyksen laatmsesta : ) Valtaan akselt sten, että tutkttava fyskaalnen mall saadaan estettyä suorana, mkäl se on mahdollsta. ) Numerodaan akselt sten, että kakk mttauspsteet mahtuvat kuvaan ja suora jakaa käytettävssä olevan tlan non kulmassa. Astekkojen täytyy olla helpost luettavssa, mutta nden e tarvtse alkaa nollasta. Astekolla on yleensä jokn laatu. ) Prretään mtatut (lasketut) psteet kuvaan. ) Määrtetään yksttästen psteden vrherajat ja prretään ne kuvaan. Tarvttaessa tulee käyttää kokonasdfferentaala, jotta mtatusta vrhestä saadaan malla vastaavan muuttujan vrhetä. ) Prretään graafsen estyksen pstestään mahdollsmman hyvn sopva suora. Suoran prtämsessä tulee psteden vrherajat ottaa huomoon. Prrettävän suoran on mahdollsmman hyvn kuljettava kakken psteden vrherajojen ssällä. Suoraa e saa "pakottaa" kulkemaan koordnaatston orgon kautta. ) Lasketaan suoran kulmakerron k ja tarvttaessa pystyakseln lekkauspste b mttauspstesn sovtetulta suoralta (e yksttästä pstestä). Kulmakertomen ykskkö saadaan astekkojen avulla. 7 Kulmakertomen ) vrherajan selvttämseks prretään pstestöön vrhesuorat. Vrhesuoren tulee lekata pstejoukon panopsteessä ja kulkea kakken psteden vrherajojen ssäpuolella. Lasketaan ) arvo suoran kulmakertomen vrheelle käyttäen kulmakertomen maksmarvoa ja mnmarvoa. NOPEUS (m/s) AIKA (s) Kuva 9 Vakotermn arvon määrttämnen suoran yhtälöstä käy parhaten prtämällä datajoukolle verhokäyrät. Vakotermn arvoks saadaan kuvasta.±..
9) Graafnen estys vmestellään antamalla kuvalle otskko ja merktsemällä muut kuvan tunnstamseen tarvttavat tedot... Esmerkkejä Katsotaan seuraavaks mllä tavalla tostokoe ja parametren arvoja vahtamalla suortettu koe eroavat tosstaan. Palataan esmerkssä 7 kästeltyyn putoamskhtyvyyden mttaamseen kappaleen pudotusmttauksella. Esmerkk : Putoamskhtyvyyden mttaamnen II Tostokokeen sjasta koe suortetaan nyt sten, että kappaleen putoamsaka määrtetään käyttämällä vttä er pudotuskorkeutta ja mtataan ntä vastaavat putoamsajat. Kokeessa saatn taulukossa E olevat tulokset: Putoamsaka kyettn mttaamaan tarkkuudella Dt =, s ja pudotuskorkeus tarkkuudella Dh =, m. Lähes kakk mttausvrhe on nyt peräsn ajan t mttauksesta, joten korkeuden h vrhe vodaan jättää huomoon ottamatta. Klasssesta mekankasta tunnetaan kappaleen putoamsajan ja -korkeuden välstä yhteyttä kuvaava mall h = gt /. (E) Kokeessa on mtattu putoamsaka pudotuskorkeuden funktona. Ratkastaan mallsta aka t = g h = k h. (E) Prtämällä ss putoamsaka korkeuden nelöjuuren funktona vodaan mttaustuloksn sovtetun suoran kulmakertomesta k määrttää putoamskhtyvyys g. Mttaustulosten graafnen estys on kuvassa. Kuvasta nähdään, että mttaustulokset muodostavat ( h, t)-koordnaatstossa suoran, joten tulokset noudattavat klasssen mekankan malla. Lsäks mttaustuloksn sovtettu suora näyttää lekkaavan pystyakseln lkman orgossa: suura systemaattsa vrhetä e mttaukseen näytä ssältyvän. Kulmakertomks parhammn pstestöön sopvalle suoralle sekä vrhesuorlle saadaan seuraavat kuvassa estetyt arvot. Kulmakertomen vrherajaks saadaan kaavan (9) perusteella Dk =, s/m /, el kulmakerron on k = (, ±,) s/m /. Putoamskhtyvyys vodaan nyt ratkasta kulmakertomen lausekkeesta g = /k. Putoamskhtyvyyden suhteellnen vrhe saadaan helpommn logartmsella dervonnlla: Dg = g Dk k. (E) Taulukko E: Putoamsajan rpuvuus pudotuskorkeudesta Pudotuskorkeus h (m):,,,,, h (m / ):,,,7, 7,7 Putoamsaka (s):,,,9,, Putoamsaka (s) k =. s/m / k mn =. s/m / k max =. s/m / Pudotuskorkeuden nelöjuur (m / ) Kuva Mttaustulosten graafnen estys kokeessa, jossa kappaleen putoamsakaa mtattn pudotuskorkeuden funktona