38C. MEKAANISEN VÄRÄHTELYN TUTKIMINEN

Transkriptio

1 TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORATORIO V C. MEKAANISEN VÄRÄHTELYN TUTKIMINEN. Työn tavote 2. Teoraa Työssä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa: - vamenematon värähtely, jossa lkettä vastustava voma vodaan ptää olemattoman pennä. - vameneva värähtely, jossa lkettä vastustaa voma, joka on verrannollnen värähteljän nopeuteen. - pakkovärähtely, jossa vamennuksen lsäks värähteljään vakuttaa jaksollnen pakkovoma, joka syöttää värähteljälle energaa ja jolla saadaan akaan värähtelyn resonanss-lmö, jossa värähtelyn ampltud e vamene, vaan saattaa jopa kasvaa. Työhön lttyvää teoraa on estetty ykstyskohtasemmn esm. ohjeen lopussa mantussa oppkrjassa Momentt 2 (s ). Shen on syytä perehtyä etukäteen. Tutkttava värähteljä on kertohelur, jossa kerrejous aheuttaa tasapanoasemaa koht palauttavan momentn. Helurn nopeuteen verrannollnen vastusmomentt saadaan akaan metallseen helurn ndusotaven pyörrevrtojen avulla (ks. esm. Momentt 2, s. 76 7). Pakkomomentt puolestaan aheutetaan helura jaksollsest nykvällä epäkeskopyörällä, jonka pyörmsnopeutta säädetään. A. Vameneva värähtely Helurn pokkeamaa tasapanoasemastaan ajan unktona lmasee helurn kertymäkulma (t) (huom. e hattua :n päällä). Tässä tutkttavan kertohelurn vamennus on hekkoa, jollon stä kuvaa yhtälö ˆ t t) e sn(2π t ). () ( Tässä ˆ on kertymäkulman maksmarvo el ampltud (huom. hattu :n päällä) ajanhetkellä nolla el helahtelun käynnstyessä, on helurn vamennuskerron, on alkuehdosta rppuva vahe-ero ja on vamenevan värähtelyn taajuus. Yhtälön () sntekjä kuvaa jaksollsta värähtelyä tasapanoaseman molemmn puoln. Osa ˆ exp( t) kuvaa ajan unktona vamenevaa kertymäkulmaa. Vamenevan värähtelyn taajuus on 2 2 2π, (2) 2π mssä on värähteljän taajuus lman vamentavaa vastusvomaa.

2 TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 2(7) FYSIIKAN LABORATORIO V 2..2 D Kertohelurn tapauksessa, mssä D on helurn jousen palautuskerron (ks. esm. Momentt 2, s. 238) ja J on helurn htausmomentt sen helahdus- 2π J akseln suhteen (ks. esm. Momentt, s ). Värähtelytaajuuksa ja vastaavat jaksonajat ovat T ja T. (3) Vamenevan värähteljän akavako on aka, jonka kuluessa ampltud penenee e:nteen osaan alkuperäsestä arvosta (ks. yhtälön () ampltudtekjä). Värähtelyn vamennuskerron on akavakon kääntesarvo:. (4) Vamennuksen vomakkuutta vodaan kuvata akavakon ta vamennuskertomen lsäks myös vamennussuhteella C, joka vodaan määrttää joko kahden peräkkäsen ampltudn suhteen avulla (C ) ta maksmampltudn ja n:nnen ampltudn suhteen avulla (C 2 ): C ˆ ˆ T n T e e n ja C ˆ 2 ˆ n / n. (5) C :n ja C 2 :n tuls luonnollsest olla lkman yhtäsuuret hyvnkäyttäytyvälle värähteljälle. Värähtelyn vamennusta vodaan kuvata myös sen laatukertomella Q, joka on yhden värähdysjakson keskmääräsen värähtelyenergan suhde värähdysjakson akana värähteljästä postuvaan energaan. Laatukerron on stä suuremp, mtä htaammn värähtely vamenee. Hekon vamennuksen tapauksessa laatukertomelle vodaan johtaa lauseke E π Q 2π π. (6) E B. Pakkovärähtely hävö Mekaanseen värähteljään vakuttava jaksollnen pakkovoma syöttää energaa värähteljälle kompensoden vamentaven vastusvomen aheuttama energahävötä. Tällön sopvalla pakkovoman syöttötaajuudella värähteljä alkaa värähdellä pakkovoman tahdssa resonansstaajuudella r. 2 2 r 2π 2. (7) 2π

3 TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 3(7) FYSIIKAN LABORATORIO V 2..2 ˆ V.28 r Kuva. Mekaannen resonanss. Esm. rppukenussa kenuvalle lapselle vodaan antaa lsävauhta sopvassa tahdssa kenahdusten tetyssä vaheessa, jollon kenumnen saadaan jatkumaan vamenematta ta ampltud vodaan jopa saada kasvamaan. Ilmötä kutsutaan resonanssks. Väärn ajotetulla vauhdnannolla tämä e onnstu. Resonsstlanteessa värähtelevän systeemn ampltud vo joskus kasvaa vomakkaast jopa kohtalokkan seurauksn (esm. Tacoma-joen sllan sortumnen vuonna 94 puuskttasesta tuulesta johtuneessa resonanssssa). Lausekketa (2) ja (7) vertalemalla nähdään, että r < <. Tässä työssä käytettävän kertohelurn tapauksessa värähtelyn ampltud rppuu pakkomomentn kulmataajuudesta seuraavan lausekkeen mukasest: ˆ J Mˆ (8) Yllä taajuudet on korvattu lausekkeen yksnkertasuuden vuoks vastaavlla kulmataajuukslla: = 2 ja = 2, mssä on pakkomomentn taajuus. Pakkomomentt on harmonnen el muotoa M ( t) Mˆ sn( t). Tässä ˆM on pakkomomentn ampltud. Kun ampltud ˆ estetään pakkovoman taajuuden unktona, saadaan kuvan kaltanen kuvaaja, jonka muoto rppuu vamennuksesta el tekjästä nmttäjässä yhtälön (8) mukaan. Kuvaaja on lovemp pakkovoman taajuukslla, jotka ovat resonansstaajuutta r penempä, kun stä suuremmlla pakkovoman taajuukslla. 3. Työn suortus Työn onnstumsen edellytyksenä on, että mttaukset tehdään ertysen huolellsest. Lattetten käyttöohjeet sekä kytkentäohjeet ovat työpakalla. Työpakalla olevan helurn ja teholähteen lsäks työssä tarvtaan kaks ylesmttara sekä kello. Pakkovärähtely ja resonanss Jaksollnen pakkomomentt saadaan akaan sähkömoottorn käyttämällä epäkeskokammella. Moottorn syötettävää jänntettä muutettaessa muuttuu moottorn kerrostaajuus ja samalla pakkomomentn taajuus. Nopeuteen verrannollnen vamentava momentt saadaan akaan syöttämällä sähkövrta kuparsen helurlevyn yhteydessä olevaan sähkömagneettn, jollon kuparlevyyn ndusotuu pyörrevrtoja, jotka aheuttavat nopeuteen verrannollsen vamennuksen. Työn tämän osan havannosta prretään selostukseen kuvan kaltanen kuvaaja.

4 TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 4(7) FYSIIKAN LABORATORIO V Säädä sähkömagneetn sähkövrta valvojan lmottamaan arvoon (sopva arvo on välllä 2 ma - 23 ma; arvo 25 ma on ehdoton yläraja, jota e saa ylttää). Sähkövrran arvo muuttuu aluks heman kelan johtmen lämmetessä. Sen annetaan tasaantua tsestään, ekä stä enää säädetä. 2. Tutk ensn alustavast, mllä moottorn syötettävän jänntteen arvolla resonanss saavutetaan. Alota 8,6 V:sta ja suurenna jänntettä,2 V välen tarkkallen kullakn jänntteen arvolla jonkn akaa helurn ampltuda. Pysäytä helurn helahtelu joka kerta, kun olet muuttanut jänntettä. Aluks jänntettä astettan kasvatettaessa ampltud kasvaa ja alkaa stten resonansskohdan ohtuksen jälkeen penentyä. Havatse jokasella jänntteen arvolla ampltudn suurn arvo ampltud el kertymäkulman suurn arvo ˆ ˆ( ) ja mttaa helura heluttavan vvun edestakasesta lkkeestä jakson aka T kahteen kertaan. Pakkovoman jaksonaka T on näden keskarvon kymmenesosa ja sen kääntesluku on käytetyn pakkovoman taajuus. 3. Hahmottele resonansskäyrää mttauksen kuluessa. Jänntteen U kasvaessa vvun helahtelutaajuus kasvaa, joten resonansskäyrän vaaka-aksellle tulee jännte, johon taajuus on verrannollnen. Pystyaksellle tulee havattu värähtelyampltud. 4. Kun olet mtannut kohdan 2 havantoja nn paljon, että resonansskohdan sjant on selvnnyt, tee lsää havantoja resonansskohdan molemmn puoln täydentäen havantopstetä puuttuvn, V välen (esm. 8,5 V, 8,7 V, 8,9 V jne.). Tavotteena on määrttää resonansstaajuus mahdollsmman tarkast ja samalla mtata mahdollsmman sst resonansskäyrä. Vameneva värähtely Vamenevaa värähtelyä tutktaan samalla helurlla lman pakkomomentta el moottorn syötettävä jännte säädetään nollaan ja rrotetaan tonen johdn, mutta vamennusvrta jätetään entselleen. Työn tämän osan havannosta prretään puollogartmpaperlle kuvan 2 kaltanen kuvaaja, jossa estetään peräkkäset ampltudt ajan unktona ja josta määrtetään vamenemsen akavako. 8. Pokkeuta helur tasapanoasemasta lähes nn ptkälle kun se kääntyy sovnnolla (e lkaa!) el äärasentoon ˆ ( t s). Päästä se stten helahtelemaan ja mttaa jaksoon kuluva aka T kahteen kertaan. Keskarvo jaettuna kymmenellä on vamenevan helahtelun jaksonaka T ja sen kääntesluku on vastaava taajuus. 9. Pokkeuta käsn helur äärasentoon ˆ, päästä se helahtelemaan ja krjaa peräkkäset ampltudn arvot samalta puolelta tasapanoasemaa kun lähtökulma: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,, 2,, n, n, kunnes ampltud on pen. Tee kaks onnstunutta mttaussarjaa lähten kummallakn kerralla samasta ˆ :n arvosta. Sarjosta lasketaan keskarvot peräkkäslle ampltudelle ˆ, =, 2,, n. Vamenematon värähtely Myös vamenematonta värähtelyä vodaan tutka lkmääräsest samalla latteella, vakka mm. ktkasta johtuvaa vamennusta e voda täysn elmnoda. Nyt säädetään myös vamennusvrta nollaan. Helurn vamennus on nyt edellsn kohtn verrattuna hyvn pen nn, että lkettä vodaan ptää lähes vamenemattomana.

5 TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 5(7) FYSIIKAN LABORATORIO V Pokkeuta käsn helur tasapanoasemastaan ja päästä se helahtelemaan. Mttaa jakson aka T kahdest. Näden keskarvo jaettuna kymmenellä on vamenemattoman helahtelun jaksonaka T ja sen kääntesluku on vastaava taajuus. 4. Tulosten kästtely Työselostukseen laadtaan havannosta kuven ja 2 kaltaset graaset estykset.. Tavallselle mm-paperlle laadtaan kuvan mukanen graanen estys helahdusampltudsta ˆ pakkomomentn taajuuden unktona. Ampltudaksellla mttaykskkönä on helurn astekon lukema (melvaltanen, paljas luku). Kuvaajaan prretään käyrä havantopstetä myötällen ja huolellsest tasottaen. Käyrän hupun kohdalta luetaan resonansstaajuus r ja merktään sen kohta kuvoon pystykatkovvalla. Kuvon perusteella arvodaan r :n tarkkuus d r. Kuvon -aksellle merktään lsäks selväst pystykatkovvon kohdan 8 mttaukssta laskettava vamenevan helahtelun taajuus sekä kohdan mttaukssta laskettava vamenemattoman helahtelun taajuus. (mv. yks.) t (T ) Kuva 2. Vamenevan värähtelyn ampltud ajan unktona. 2. Puollogartmpaperlle laadtaan graanen estys kohdassa 9 mtatusta vamenevan helahtelun ampltudesta ˆ ajan unktona sten, että lneaarselle vaaka-aksellla käytetään ajan ykskkönä värähdysakaa T. Havatut ampltudt ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,, 2,, n, n merktään logartmselle pystyaksellle vastaaven ajanhetken, T, 2T, 3T,, (n-)t ja nt kohdlle. Pstestöä myötälemään prretään suora. Kuvasta ptäs tulla kuvan 2 kaltanen, mutta mttauspstetä on todennäkösest enemmän. Tosaalta todellsessa mttauksessa loppupään ampltudt evät ehkä sov hyvn suoralle alkupään arvojen kanssa. Jos nän

6 TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 6(7) FYSIIKAN LABORATORIO V 2..2 käy, suora sovtetaan alkupään psteden mukaan (mks ne huomodaan meluummn el mks ne ovat luotettavampa kun loppupään psteet?) Kuvan 2 ja taulukon 2 numeroarvot evät lty työssä käytettävn helurehn. Taulukko. Akavakon määrttämstä varten kuvasta 2 luetut arvot ja nden kästtely. /e t (T ) t = 4,3 t - t (T ) (T ) 4,7 2,4 2, 2, 2 5,4 4,4 4, 2,5 3 2, 6,5 6,2 2,7 keskarvo: 2,7 Puollogartmkuvaajasta määrtetään vamenemsen akavako seuraavast. Menetelmää havannollstaa esmerkknä ohenen taulukko, jossa on estetty kuvasta 2 luetut arvot ja nden kästtely. Selostukseen tehdään omsta havannosta vastaava taulukko. Valtaan suoralta sen alkupäästä sopva pste t, (huom. hatuton ). Kuvassa 2 tällanen sopva el helpost luettava pste on kertymän arvolla = 4, jota vastaava ajanhetk t =,3 T kohdalla. Stten taulukkoon lasketaan arvot, 2 ja 2 3. Tämän jälkeen suoralta määrtetään nän saatuja :n arvoja vastaavat ajanhetket t, t 2 ja t 3, jotka merktään taulukkoon. Tällön 3 e e e t t, mssä =, 2, 3 ja akaykskkönä on T. Nän saadut ajat jaetaan vastaavalla :n arvolla ja merktään taulukon okeanpuolmmaseen sarakkeeseen. Mkäl havantoja on nn vähän, ette käyrältä saa peräkkän kolmea :n välä, nn valtaan suoralta kolme t, :aa vastaavaa er alkupstettä ja määrtetään ylläkuvatulla tavalla ne ajat, joden kuluessa ampltud on vamentunut e:nteen osaan. 5. Vrheenarvont Nän saadusta akavakon arvosta lasketaan keskarvo, joka helahdusajalla T kerrottuna on sekuntena. Sen kääntesarvo on helurn vamennuskerron. Lopuks määrtetään helurn vamennussuhde C yhtälön (5) mukasest käyttäen kuvosta 2 määrtettyä n arvoa ja mtattua helahdusakaa T. Lopuks lasketaan helurn laatukerron Q yhtälöstä (6) havatun vamenemattoman värähtelyn taajuuden ja akavakon avulla. Mtattujen helahdusakojen vrheks vodaan laskea kahden tehdyn mttauksen eron kymmenesosa el d T T hav. T hav.2, =,, josta saadaan edelleen taajuuksen vrherajat lausekkeesta

7 TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 7(7) FYSIIKAN LABORATORIO V 2..2 d dt, =,. T Yhtälön (4) mukaan akavakon ja vamennustekjän suhteellsen vrheen ylärajat ovat samat ja nlle vodaan arvoda ylärajat dt :n avulla lausekkeesta d d dt 2 t dt 2 T. Muut vrherajojen arvonnssa tarvttavat kaavat ovat seuraavat: dc C T d dt ja dq Q dt T d. 6. Lopputulokset 7. Krjallsuutta Lopputuloksna estetään kakken määrtettyjen suuretten arvot vrherajoneen:. Mtatut taajuudet, sekä kuvaajasta määrtetty r,mt vrherajoneen. Lsäks verrataan havattujen taajuuksen kesknästä järjestystä nden odotettuun järjestykseen huomoden mttaustarkkuus. Akavako ja vamennuskerron vrherajoneen. 3. Vamennussuhde C sekä laatukerron Q vrherajoneen. Inknen,Pentt Mannnen, Rejo Tuoh, Jukka. Momentt - 2, Insnööryskka. Keuruu, Otavan krjapano.