LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknllnen tedekunta LUT Kone Koneteknkan koulutusohjelma Petr Kärkkänen LIIKKUVAN KIVIMURSKAIMEN SYÖTINOSAN RAKENNEANALYYSI OSARAKENNETEKNIIKAN AVULLA Työn tarkastajat: Professor Ak Mkkola TkT Marko Matkanen
TIIVISTELMÄ Lappeenrannan teknllnen ylopsto Teknllnen tedekunta LUT Kone Koneteknkan koulutusohjelma Petr Kärkkänen Lkkuvan kvmurskamen syötnosan rakenneanalyys osarakenneteknkan avulla Dplomtyö 2013 85 svua, 25 kuvaa, 6 taulukkoa ja 6 ltettä Tarkastajat: Professor Ak Mkkola TkT Marko Matkanen Hakusanat: monkappalejärjestelmät, monkappaledynamkka, osarakenneteknkka, smulont, elementtmenetelmä, syötnosa, omnasmuodot Työn tarkotuksena ol selvttää, mten osarakenneteknkkaa vodaan soveltaa srrettävän kvmurskamen syötnosan smulonnssa. Tätä tutkttn luomalla kahdella er ohjelmstolla smulaatomall syötnosasta ja mallntamalla syötnosan runko joustavaks kappaleeks osarakenneteknkan avulla. Luotujen smulontmallen tarkkuutta selvtettn vertaamalla nstä saatuja rungon jänntyksä tutkttavan rakenteen rungosta mtattuhn jänntyksn. Työn tarkotuksena ol myös tutka, mten hyvn smulaatomallt soveltuvat käytettäväks syötnosan tuotekehtyksessä. Tässä työssä käytettn syötnosan smulaatomalln luomseen ANSYS-ohjelmstoa ja ADAMS-ohjelmstoa. Smulaatomallehn lsättn tutkttavasta järjestelmästä mtattu ohjaussgnaal sekä syötnosan jousen arvot. Järjestelmän rakenneomnasuudet saatn suoraan valmstajan luovuttamsta tedosta. ADAMS-ohjelmstolla mallnnetussa smulaatomallssa runko mallnnettn joustavaks ANSYS-ohjelmstossa, josta se srrettn ADAMS-ohjelmstoon. Saadusta tulokssta käv lm, että osarakenneteknkkaa vodaan hyödyntää syötnosan joustavan rungon smulonnssa. Tutkttavasta järjestelmästä mtatussa jänntyksssä ja smulaatomallesta saadussa jänntyksssä ol eroja, mutta jänntyshstoran muodot ja suuruusluokat vastasvat pääosn tosaan. Tulosten parantamseks tulee selvttää lsää alkuarvoja tutkttavasta järjestelmästä ja varmstua nyt saatujen jousparametren okeellsuudesta.
ABSTRACT Lappeenranta Unversty of Technology Faculty of Technology LUT Mechancal Engneerng Master s Degree Program n Mechancal Engneerng Petr Kärkkänen Structural analyss of a moble rock crusher feeder unt usng component mode synthess Master s Thess 2013 85 pages. 25 fgures, 6 tables and 6 appendces Examners: Professor Ak Mkkola D.Sc. (Tech.) Marko Matkanen Keywords: multbody systems, multbody dynamcs, component mode synthess, smulaton, fnte element method, feeder unt, normal modes The purpose of ths work was to fnd out how component mode synthess can be appled n the smulaton of portable rock crusher feeder unt. Ths was nvestgated by creatng two smulaton models usng two dfferent smulaton programs. The frame of the feeder unt was modeled as flexble body. The accuracy of these two smulaton models was studed by comparng frame s stress hstory from smulaton models to frame s stress hstory from orgnal system. The purpose of ths work was also study how well these smulaton models can be adapted n product development process. In ths work the smulaton models of the feeder unt was created usng ANSYS software and ADAMS software. Control sgnal and sprng values were taken from examned system and transferred to smulaton models. Masses and nertas were taken drectly from manufacturer s nformaton. In smulaton model that was created usng ADAMS software, the flexble frame was modeled usng component mode synthess n ANSYS software. After these analyses the flexble frame was transferred to ADAMS software. The results showed that the component mode synthess can be used for modelng the feeder unt s flexble frame when buldng a smulaton model of the feeder unt. There were dfferences between stress results of the smulaton models and the examned system but shapes and magntudes of smulaton model s stress hstores were manly consstent wth the examned model. Intal values should be more accurate n order to mprove the accuracy of the results.
ALKUSANAT Tämä dplomtyö on tehty Lappeenrannan teknllsen ylopston koneteknkan osaston koneensuunnttelun tutkmusryhmälle ja Metso Mnerals -yhtölle. Haluan kttää professor Ak Mkkolaa ja TkT Marko Matkasta neuvosta ja ohjauksesta sekä stä, että he antovat mnulle mahdollsuuden työskennellä tämän melenkntosen projektn parssa. Ertysen suur ktos kuuluu myös DI Antt Valkeapäälle, joka väsymättömäst neuvo mnua ANSYS-ohjelmston käyttöä koskevssa kysymyksssä ja ohjas omalla panoksellaan työtän koht sen lopullsta muotoa. Haluan myös kttää Metso Mnerals - yhtötä stä, että he luovuttvat mnulle tarvtseman tedot tuotteestaan, jotta dplomtyön tekemnen ol ylpäätään mahdollsta. Haluan kttää kakka tetä, joden kanssa olen saanut työskennellä Lappeenrannan teknllsen ylopston koneensuunnttelun laboratorossa opskelun akana. Alotn työskentelyn kesäharjotteljana jo useamp kesä stten ja ottte mnut het mukaan joukkoonne, joten en epärönyt, kun san mahdollsuuden tehdä dplomtyön tässä samassa joukossa. Tovotan telle kaklle hyvää jatkoa ja tovottavast tapaamme velä tulevasuudessakn. Lsäks haluan kttää TkT Juha Kortelasta. Kävmme mona melenkntosa keskusteluja kesän 2010 akana, kun työskenteln koneteknkan laboratorossa kesäharjotteljana. Opn snulta paljon ja nällä keskustelulla ol erttän suur vakutus omaan uravalntaan. Iso ktos kuuluu myös perheellen ja sukulasllen, jotka ovat tukeneet mnua läp elämän. Ertysest haluan kttää vanhempan sekä ssaruksan rakastavasta kasvatuksesta ja kannustuksesta. Olen ana vonut kääntyä tedän puoleenne, jos olen tarvnnut neuvoa ta apua. Lopuks haluan kttää rakasta avovamoan Sonjaa, joka on kulkenut verellän kakk nämä vuodet. Lappeenrannassa 11.2.2013 Petr Kärkkänen
5 SISÄLLYSLUETTELO 1 JOHDANTO... 10 1.1 Työn rajaus... 11 1.2 Työn tavotteet... 11 2 KÄYTETTÄVÄT MENETELMÄT... 13 2.1 Monkappalejärjestelmät ja -dynamkka... 14 2.1.1 Jäykstä kappalesta koostuvat monkappalejärjestelmät... 16 2.1.2 Lsäys- ja sjotusmenettely.... 24 2.1.3 Joustava kappaleta ssältävät monkappalejärjestelmät... 27 2.2 Elementtmenetelmä... 30 2.3 Osarakenneteknkka... 35 2.3.1 Osarakenneanalyysn vaheet... 38 2.3.2 Alrakenteen knntysmenetelmät... 47 2.4 Knntetyn rajapnnan menetelmä... 51 2.4.1 Knntetyn rajapnnan srtymätransformaato... 52 2.4.2 Crag-Bampton menetelmä... 53 3 TUTKITTAVA RAKENNE... 56 3.1 Tutkttavan rakenteen esttely... 56 3.2 Käytettävät ohjelmstot... 58 3.3 Dynaamsessa analyysssa käytetty ratkasja... 59 3.4 Osarakenneteknkan tomntaperaatteet ANSYS-ohjelmstossa... 63 3.5 Tutkttavan rakenteen mallntamnen osarakenneteknkalla... 66 4 SAADUT TULOKSET JA NIIDEN TARKASTELU... 75 5 YHTEENVETO... 81 5.1 Jatkokehtys... 82 LÄHDELUETTELO... 83
6 SYMBOLILUETTELO = HHT algortmryhmän vamennusparametr, = Newmark algortmen vamennusparametrt α = Kulmakhtyvyysvektor kappaleen lokaalssa koordnaatstossa ζ 1, ζ 2, ζ 3 = Kolmas Eulern kertokoordnaatsto η 1, η 2, η 3 = Tonen Eulern kertokoordnaatsto λ = Lagrangen kertomen vektor ξ 1, ξ 2, ξ 3 = Ensmmänen Eulern kertokoordnaatsto = Ensmmänen Eulern kulma θ = Eulern kulmen rotaatovektor Λ nn = Omnasarvojoukko = Ensmmänen Eulern kulma φ d = Postettaven normaalmuotojen joukon matrs φ = Knnttämättömän rajapnnan normaalmuotojen muotomat- f rs φ = Knntetyn rajapnnan normaalmuotojen muotomatrs φ k = Sälytettäven normaalmuotojen joukon matrs φ m = φ s = Knnttämättömän rajapnnan normaalmuotojen päävapausasteden matrs Knnttämättömän rajapnnan normaalmuotojen alvapausasteden matrs φ sr = Inertan vapautusmuotojen matrs = Kolmas Eulern kulma c ψ = Komponentn kokonasmuotomatrs ψ a = Ltäntämuotojen matrs ψ b = Inertan vapautus knntysmuotojen matrs ψ c = Rajotemuotojen matrs
7 c ψ CB = Crag-Bampton transformaatomatrs ψ d = Jäännösjoustavuuden knntysmuotojen matrs ψ e = Redundanttsen rajapnnan rajotemuotojen matrs ψ r = Jäykän kappaleen muotojen matrs 1, 2, = Kulmanopeusvektorn komponentt kappaleen lokaalssa 3 koordnaatstossa ω = Kulmanopeusvektor kappaleen lokaalssa koordnaatstossa A = Transformaatomatrs, kertomatrs C = Rajoteyhtälö vektormuodossa C = Rajotematrs C = E-sngulaarnen nelömatrs DD C = Rajoteyhtälöden vektorn ensmmäsen osttasdervaatta t ajan suhteen C = Rajoteyhtälöden vektorn tonen osttasdervaatta ajan suh- tt teen C = Rajoteyhtälöden vektor, joka on dervotu ylestettyjen qt koordnaatten ja ajan suhteen C = Monkappalejärjestelmän Jacobn matrs q E = Kneettnen energa k E = Potentaalenerga p F = Vakuttaven vomen vektor a F = Inertavomen vektor c f = Komponenttn c vakuttava vomavektor f = Rajapnnan vomavektor b c f = Komponenttn c vakuttavat ulkoset vomat ex G = Orentaatokoordnaatten akadervaatan ja kulmakhtyvyyksen välnen transformaatomatrs G = Redundanttsten staattsten rajotemuotojen matrs sm
8 G = Orentaatokoordnaatten akadervaatan ja kulmakhtyvyyksen välnen transformaatomatrs kappaleen lokaalssa koordnaatstossa I = Ykskkömatrs I = Inertatensor, mssä muuttujat ja j vastaavat koordnaat- j tsuunta X 1, X 2 ja X 3 K = Jäykkyysmatrs K = Crag-Bampton menetelmän alemman kertaluvun jäykkyys- CB matrs K = Dagonaalnen muotojäykkyysmatrs c K CB = Crag-Bampton menetelmästä saatava redusotu jäykkyysmatrs Kˆ = Osarakenneteknkan alrakenteen jäykkyysmatrs L = Lagrangen yhtälö M = Massamatrs M = Crag-Bampton menetelmän alemman kertaluvun massamat- CB rs M = Dagonaalnen muotomassamatrs c M = Crag-Bampton menetelmästä saatava redusotu massamatrs CB Mˆ = Osarakenneteknkan alrakenteen massamatrs n = Ylestettyjen koordnaatten lukumäärä n = Rajoteyhtälöden lukumäärä c P = Kappaleen partkkel p = Ylestettyjen koordnaatten vektor p = Rppuvat ylestetyt koordnaatt D p = Rppumattomat ylestetyt koordnaatt I Q = Ylestettyjen rajotevomen vektor c Q = Ylestettyjen ulkosten vomen vektor e Q = Ylestettyjen nertavomen vektor Q = Nelöllnen nopeusvektor v
9 q = Ylestettyjen koordnaatten vektor q = Ylestettyjen koordnaatten vrtuaalsen srtymän vektor R 1, R 2, R 3 = Kappaleen lokaaln koordnaatston sjantvektorn komponentt globaalssa koordnaatstossa R = Kappaleen lokaaln koordnaatston sjant globaalssa koordnaatstossa R sm, R mm = Jäännösvektoren almatrseja r 1, r 2, r 3 = Kappaleen sjantvektorn komponentt globaalssa koordnaatstossa c r ntb = Komponenttn c vakuttavat vomat, jotka syntyvät sen knnttyessä veresn komponenttehn rajavapausastessa r = Kappaleen sjantvektor globaalssa koordnaatstossa r = Vrtuaalnen srtymä S = Ltäntätransformaatomatrs u 1, u 2, u 3 = Kappaleen sjantvektorn komponentt lokaalssa koordnaatstossa u = Kappaleen ssältämän psteen sjantvektor lokaalssa koordnaatstossa u ~ = Vnosymmetrnen matrsmuoto psteen sjannlle V = Tlavuus W = Vrtuaalnen työ W = Inertavomen tekemä vrtuaalnen työ
10 1 JOHDANTO Tässä työssä tutktaan osarakenneteknkan hyödyntämstä Metso Mnerals -yhtön srrettävän murskausykskön syötnosan dynaamsen vasteen ratkasemsessa. Srrettävä murskausykskkö koostuu tutkttavan syötnosan lsäks murskanosasta, telaketjulla varustetusta alustasta sekä kuljettmesta. Syötnosaan kaadetaan prosessotava maaanes. Syötnosa kuljettaa maa-aneksen murskanosalle ja samalla svlö sekä erttelee penemmän maa-aneksen (hekka, penet kvet) sten, ette se mene turhaan murskanykskön läp. Murskanykskkö murskaa maa-aneksen haluttuun partkkelkokoon. Kuljetn kuljettaa murskatun maa-aneksen pos murskanyksköstä. Lkutettavan alustan avulla murskanykskköä vodaan srtää esmerkks avolouhoksella lähemmäs lastausaluetta. (1, s. 9) Syötnosa on muodoltaan ja tomntaperaatteeltaan lähes denttnen kakssa tämän valmstajan srrettävssä murskausykskössä. Anoastaan syötnpöydän dmensot muuttuvat sen mukaan, mnkäkokoseen murskausykskköön syötnpöytä on ltetty. Kuvassa 1.1 on estetty esmerkknä srrettävästä murskausyksköstä Metso Mnerals - yhtön valmstama alle 50 tonnn panonen Lokotrack-sarjan LT106-mall. Kuva 1.1. Locotrack LT106 srrettävä murskausykskkö (Metso Mnerals Oy) (1, s. 9) Srrettävän murskanykskön tomntaa ohjataan älykkäällä IC-sarjan prosessnohjausjärjestelmällä. IC-yksköllä vodaan valvoa ja säätää murskaus- sekä seulontaprosessn muuttuja. Nän murskaustulos vodaan optmoda halutunlaseks. Useampa murs-
11 kausykskötä vodaan myös kytkeä tosnsa, jollon vodaan toteuttaa monvahenen prosess. (1, s. 45) Tässä työssä kartotetaan stä, mten hyvn osarakenneteknkkaa vodaan hyödyntää tämän tutkttavan konstrukton tuotesuunntteluprojektn yhteydessä. Mkäl osarakenneteknkalla ja smulonnlla vodaan tutka kustannustehokkaast ja tarpeeks suurella tarkkuudella tämän tutkttavan tuotteen tomntaa, vodaan nden avulla vähentää prototyyppen rakentamseen kuluvaa akaa ja kustannuksa. 1.1 Työn rajaus Tässä työssä osarakenneteknkkaa sovelletaan anoastaan syötnosan runkoon. Osarakenneteknkan avulla vodaan tarvttaessa mallntaa joustavana koko syötnosa, mutta tässä tapauksessa on knnostuttu anoastaan syötnosan rungon käyttäytymsestä. Syötnosan smulaatomall rakennetaan kutenkn sten, että joustavana mallnnettaven osen määrää on tarvttaessa helppo lsätä. Smulontmallssa e oteta huomoon mahdollsa osen välsä ktkoja. Mahdollset syntyvät ktkavomat oletetaan nn penks, ette nllä ole merkttävää vakutusta saatuhn tuloksn. Myöskään lämpötlan aheuttama muodonmuutoksa ta muta lämpötlan aheuttama lmötä e oteta huomoon. Tässä työssä mallnnettaven smulaatomallen tarkkuus rppuu paljon saadusta lähtötedosta. Lähtötetona käytetään van ntä lähtöarvoja sekä okeasta mallsta mtattuja tuloksa, jotka työn tekjälle on luovutettu. Kaklle osarakenneteknkka kästtelevllä termelle e tämän työn puttessa ole löytynyt vrallsa suomennettuja vastneta. Tästä syystä tässä työssä käytetään työn tekjän kääntämä termejä. Alkuperänen englannnkelnen term on tarvttaessa merktty sulussa käännetyn termn perään. 1.2 Työn tavotteet Syötnosan runkoon kohdstuu sen käytön yhteydessä rastuksa, jotka saattavat vahngottaa runkoa. Tämän työn tavotteena on selvttää, kunka osarakenneteknkkaa vodaan hyödyntää er ohjelmstossa runkoon syntyven jänntysten selvttämseks työkerron akana. Käytettävän ohjelman soveltuvuutta mtataan vertalemalla ohjelmstol-
12 la luodusta smulaatomallesta saatuja tuloksa okeasta rungosta mtattuhn jänntysvahteluhn. Tavotteena on luoda smulaatomall, jota vodaan hyödyntää rungon ja koko syötnosan tuotesuunntteluprosessssa. Smulaatomalllla pyrtään vähentämään prototyyppen rakentamstarvetta, koska sen avulla vodaan ennakoda runkoon kohdstuva rastuksa. Lsäks smulontmalllla vodaan ennakoda tutkttavan järjestelmän tomntaa erlasssa olosuhtessa ta käyttötlantessa. Työn lopputuloksena on kaks er mallnnusohjelmstolla luotua smulaatomalla tutkttavasta syötnosasta. Smulodusta mallesta saatuja tuloksa verrataan okeasta syötnosasta mtattuhn tuloksn. Ertysest on knnostuttu stä, kunka osarakenneteknkkaa vodaan hyödyntää ANSYS-ohjelmstossa ja ANSYS-ohjelmston graafsessa käyttölttymässä nmeltä ANSYS Workbench. Tonen smulaatomall luodaan ADAMS-ohjelmstolla.
13 2 KÄYTETTÄVÄT MENETELMÄT Tässä kappaleessa käydään läp, mllasa menetelmä tarvtaan syötnosan dynaamsen smulaaton muodostamseen. Smulonnlla tarkotetaan todellsen järjestelmän tomnnan jäljttelemstä tetokoneen avulla. Smulont alotetaan luomalla tutkttavasta järjestelmästä matemaattnen mall. Matemaattnen mall luodaan tutkttavasta rakenteesta saatujen alkuarvojen avulla. Alkuarvojen tarkkuus ja okeellsuus vakuttaa ratkasevast smulontmalln tulosten tarkkuuteen. Tässä työssä matemaattsen malln luomseen käytetään kaupallsta smulontohjelmstoa. Smulaatossa suortetaan järjestelmän työkerto, josta saatuja tuloksa verrataan tutkttavasta järjestelmästä saatuhn tuloksn. Kuvassa 2.1 on estetty smulonnn etenemnen kaavona. Kuva 2.1. Peraatekuva järjestelmän smulonnn etenemsestä Kuten kuvassa 2.1 estetään, tutkttavan systeemn matemaattsen malln kokoamsessa käytetään apuna useampaa menetelmää. Näden menetelmen peruskästtetä estellään tässä osassa työtä. Käytettävstä menetelmstä ensmmäseks estellään monkappalejärjestelmät sekä monkappaledynamkka. Se, mtä ovat monkappalejärjestelmät sekä nden tomnnan ymmärtämnen on tärkeää, koska tutkttava syötnosa on monkappalejärjestelmä. Syötnosa koostuu useasta kappaleesta, jotka lttyvät tosnsa nvelllä. Syötnosan tomntaa vodaan tutka monkappaledynamkan avulla. Koska syötnosan runko mallnnetaan joustavana, tutustutaan shen, kunka monkappalejärjestelmän joustavana mallnnettuja osa kuvataan. Rungon joustavuus, sekä käytettävä osarakenneteknkka perustuu elementtmenetelmään, joten elementtmenetelmän perusteet sel-
14 tetään lyhyest tässä kappaleessa. Vmeseks kerrotaan tarkemmn osarakenneteknkasta. 2.1 Monkappalejärjestelmät ja -dynamkka Monkappalejärjestelmks lasketaan kakk sellaset järjestelmät, jotka koostuvat usesta yhteen kytketystä jäykstä ta joustavsta kappalesta. Esmerkks ajoneuvot, robott sekä lentokoneet ovat järjestelmä, jotka koostuvat usesta yhteen kytketystä kappalesta. Tähän luokkaan kuuluu myös luonnollsest tässä työssä tutkttava syötnosa. Nämä kappaleet läpkäyvät suura srtymä sekä kertymä. Esmerkks teollsuusrobotn työkalupää vo lkkua kahden psteen välllä, joden välmatka on useta metrejä. Lsäks työkalupää vo usen kertyä akselnsa ympär esmerkks 360 astetta. Tämän perusteella monkappalejärjestelmän kappaleden srtymät ja kertymät ovat suura. Ylesest monkappalejärjestelmä koostuu ryhmästä kappaleta. Järjestelmän kappaleta kutsutaan aljärjestelmks, rungoks, komponenteks, osks ta alrakenteks. Kappaleden lke on knemaattsest rajotettu. Rajotteet johtuvat nvelstä, jotka lttävät kappaleet tosnsa. Esmerkks kertonvel sall kappaleen kertymän määrätyn akseln ympär. Tosn sanoen kertonvel sall yhden vapausasteen ja estää ta rajottaa kakk muut. Monkappalejärjestelmän kappaleet vovat lttyä tosnsa myös vomaa srtäven elementten vältyksellä. Esmerkkenä tällassta vomaa srtävstä elementestä ovat jouset, skunvamentmet ja vamentmet. Monkappaledynamkalla tarkotetaan useasta osasta koostuvan mekaansen järjestelmän dynaamsen käyttäytymsen tarkastelua. (2, s. 1 & 3, s. 7) Kuvassa 2.1.1 on estetty esmerkkejä järjestelmstä, jotka vodaan mallntaa monkappalejärjestelmnä.
15 Kuva 2.1.1: Esmerkkejä systeemestä, jotka vodaan mallntaa monkappalejärjestelmnä (Kuvat Mcrosoft Offce Clp Art -krjastosta) Monkappalejärjestelmen analyyst vodaan jaotella perustyyppehn, jota ovat knemaattnen analyys ja kneettnen analyys. Knemaattslla analyysella kästellään kappaleen lkettä geometrselta pohjalta. Tällön e vältetä kappalesn vakuttavsta vomsta. Kneettsllä analyysellä tarkastellaan puolestaan kappalesn vakuttaven vomen ja nden lketlojen välstä vuorovakutusta. Knemaattnen analyys ptää ssällään kääntesen knemaattsen analyysn. Kneettnen analyys jakautuu vastaavast staattseen analyysn, dynaamseen analyysn, lnearsotuun dynaamseen analyysn ja käänteseen dynaamseen analyysn. (4, s. 9-10) Monkappalejärjestelmät vodaan jakaa kahteen luokkaan. Ensmmäseen luokkaan kuuluvat jäykstä kappalesta koostuvat järjestelmät. Jäyklle kappalelle määrtellään massakeskpste, massaomnasuudet sekä htausomnasuudet. Kun kästellään jäykkä kappaleta, tarkotetaan tlannetta, jossa kappaleen muodonmuutos on nn pen, ette sllä ole vakutusta koko järjestelmän lkkeeseen. Jäykässä kappaleessa mnkä tahansa kahden partkkeln välnen välmatka pysyy vakona kaklla ajanhetkllä ja kakssa tlantessa. Jäykän kappaleen lke avaruudessa vodaan kuvata kuuden ylestetyn koordnaatn avulla. Jäykän kappaleen lkkeen matemaattnen mall on epälneaarnen. Epälneaarsuus johtuu kappaleden kertymstä. (2, s. 1 & 4, s. 10)
16 Toseen luokaan kuuluvat monkappalejärjestelmät, jotka ssältävät joustava kappaleta. Joustavlle kappalelle määrtellään samat massa- ja htausomnasuudet kun jäyklle kappalelle. Joustavlle kappalelle ptää lsäks määrttää useta joustavuuteen vakuttava omnasuuksa. Eräät nästä joustavuuteen vakuttavsta omnasuukssta ovat kappaleen valmstusmateraaln jäykkyysomnasuudet. Juur näden omnasuuksen taka joustaven kappaleden kästtely on monmutkasempaa kun jäykken kappaleden. Tutkttaessa moderna mekaansen järjestelmän tomntaa, vodaan huomata, että todellsuudessa rakenteellnen joustavuus vakuttaa suurest järjestelmän tomntaan. Tämän taka tällasten järjestelmen tomntaa e voda kuvata tarkast, jos oletetaan nden koostuvan van jäykstä kappalesta. Rakenteellnen joustavuus on otettava huomoon, jos sllä on merktystä tutkttavan järjestelmän tomntaan. Jos vodaan olla varmoja stä, ette järjestelmän komponentn joustavuudella ole merktystä järjestelmän tomntaan, vodaan tämä komponentt mallntaa jäykkänä. (5, s. 1 & 4 s. 10) 2.1.1 Jäykstä kappalesta koostuvat monkappalejärjestelmät Syötnosan smulaatomalln kokoamsessa jäykken kappaleden monkappaledynamkkaa tarvtaan esmerkks syötnosan konekon mallntamsessa. Konekon ssällä olevat akselt läpkäyvät suura kertymä smulonnn akana. Tämän taka on perusteltua käydä läp jäykstä kappalesta koostuvan järjestelmän monkappaledynamkan termstöä. Jäykän kappaleen kokoonpano avaruudessa vodaan määrttää kuuden koordnaatn avulla. Kolme nästä koordnaatesta kuvaa kappaleen srtymä ja loput kolme koordnaatta kuvaa jäykän kappaleen orentaatota. Kuvassa 2.1.2 on estetty jäykkä kappale kolmulottesessa avaruudessa. (2, s. 11)
17 Kuva 2.1.2: Jäykkä kappale kolmulottesessa avaruudessa Kuvassa 2.1.2 koordnaatsto X 1X 2 X 3 on globaal avaruuskoordnaatsto ja koordnaatsto 1 X 2 X 3 X on kappalekoordnaatsto, jonka orgo on knntetty jäykäst yhteen jäykän kappaleen psteeseen. Melvaltasen psteen seuraavast: P globaal sjant vodaan määrttää r R A u, (2.1) mssä T r r r r on psteen 1 2 3 P globaal sjant, R R T 1 R2 R3 on kappalekoordnaatston orgon O globaal pakkavektor. Vektor u T 1 u2 u3 u on psteen P sjantvektor orgon O suhteen. Matrs A on kertomatrs el transformaatomatrs kappale- ja avaruuskoordnaatstojen välllä. Jäykstä kappalesta koostu- ven monkappalejärjestelmen tapauksessa kappaleen psteden O ja P välnen etäsyys pysyy samana kappaleen lkkeen akana. Täten vektorn u komponentt kappalekoordnaatstossa tunnetaan ja ne pysyvät vakona. Vektort R määrtetään globaalssa koordnaattjärjestelmässä. Tästä johtuen vektor r ja u tulee määrttää knteden globaalen akseleden suuntasen komponentten avulla. Kappalekoordnaattjärjestelmän orentaato tulee määrttää globaaln koordnaattjärjestelmän suhteen. Näden kah-
18 den koordnaatston välnen srtymä saadaan akaseks kertymäkoordnaattryhmän avulla. Transformaatomatrsn avulla vodaan muuttaa kappalekoordnaatstossa määrtettyjä vektoreta globaaln koordnaattstoon. (2, s.11-12) Yks tapa transformaatomatrsn määrttämseks on muodostaa se kolmen rppumattoman Eulern kulman avulla (2, s. 67). Avaruustapauksessa kappalekoordnaatston kertymä vodaan kuvata 3 3 transformaatomatrsn avulla. (6, s. 11) Kappalekoordnaatston rotaato vo tapahtua avaruustapauksessa kolmen er koordnaattakseln ympär. (6, s.11-12) Eulern kulma käytettäessä kerrot tapahtuvat tetyssä järjestyksessä. Tässä tapauksessa alkutlanteeks otetaan kaks koordnaatstoa X 1X2X3 ja ξ 1ξ 2ξ 3, jotka ovat alkutlanteessa yhtenevät. Ensmmäseks kerretään koordnaatstoa ξ 1ξ 2ξ 3 akseln X3ympär kulman verran. Kerron perusteella saadaan uus koordnaatsto, joka on nmeltään η 1η2η3 ja on yhtenevä äsken kerretyn koordnaatston ξ 1ξ 2ξ 3 kanssa. Koordnaatsto η 1η2η3 kerretään kulman verran akseln ξ 1 ympär. Vmesessä vaheessa muodostetaan äsken kerretyn koordnaatston η kanssa yhtenevä koordnaatsto ζ ζ, jota kerretään kulman verran akseln 1η2η3 1 2ζ3 η 3 ympär. (2, s. 67-68) Eulern kulmen kerrot on estetty kuvassa 2.1.3. Kuva 2.1.3. Eulern kulmen kerrot avaruudessa, kun muodostetaan 3 3 transformaatomatrs A Alkuperäsen X 1X2X3 koordnaatston ja lopullsen ζ 1ζ 2ζ3 koordnaatston avulla muodostetaan transformaatomatrs A, joka on jäykän kappaleen 3 3 transformaa-
19 tomatrs avaruudessa. Kuvassa 2.1.3 esntyvät kulmat, ja ovat nmeltään Eulern kulmat. Eulern kulma käyttämällä kappaleen rotaato vodaan kuvata vektorlla θ. (2, s. 68) Transformaatomatrs vodaan muodostaa myös suorttamalla rotaatot er akseljärjestyksellä. Akseleden kertojärjestystä muuttamalla myös transformaatomatrsn kuvaus muuttuu. (6, s. 14) Kun transformaatomatrsn kuvaamseen käytetään Eulern kulma, ongelmaks muodostuu sngulaarsuus. Sngulaarsuus aheuttaa ongelma anakn sllon, kun lasketaan kappaleen kulmanopeuksa avaruudessa. Eulern kulmen yhteydessä sngulaarsuus lmenee sten, ettevät kerrot ole rppumattoma mkäl kulma Nällä kulman arvolla kerrot ja saa arvon nolla ta. tapahtuvat saman akseln ympär. Akseljärjestyksen muuttamnen kertomatrsn johtamsen yhteydessä e posta tätä ongelmaa. (6, s. 14) Pakka- ja orentaatokoordnaatt muodostavat yhdessä ylestettyjen koordnaatten vektorn. Tämä vektor saa avaruustapauksessa muodon: T 1 x2 x3 θ q x, (2.2) mssä x 1, x 2 ja x3ovat pakkakoordnaatt akseleden X 1, X 2 ja X 3 suuntaan. Vektor θ on orentaatokoordnaatten vektor. (7, s. 41) Transformaatomatrsn A transpoosn ja akadervaatan matrstulosta T A A saadaan vnosymmetrnen matrs. Tämän vnosymmetrsen matrsn termen avulla vodaan määrttää tutkttavan kappaleen kulmanopeusvektor. Kulmanopeusvektor saa muodon: T 1 2 3 ω. (2.3) Lkeyhtälöstä on syytä huomata, ette kulmanopeusvektor ω ole orentaatokoordnaatten θ akadervaatta θ. (7, s. 42)
20 Nopeus vodaan esttää käyttämällä ylestettyjä koordnaatteja. Tällön kulmanopeusvektor tulee muuntaa orentaatokoordnaatten akadervaatoks. Täten estellään transformaatomatrs G, jollon: ω Gθ. (2.4) Kappaleen lokaalssa koordnaatstossa pätee transformaatomatrslle T G A G, mssä G on transformaatomatrs globaalssa koordnaatstossa. (7, s. 42) Kun kulmanopeusvektor dervodaan ajan suhteen, vodaan määrttää kulmakhtyvyysvektor: α ω G θ Gθ. (2.5) α. (7, s. Kulmakhtyvyysvektor saa yhtälön 2.5 perusteella muodon T 43-44) 1 2 3 Jäykkään kappaleeseen kuuluvan partkkeln P nopeus saadaan dervomalla yhtälö 2.1 ajan suhteen. Sjottamalla yhtälö 2.4 saatuun dervotuun yhtälöön saadaan: r R A u ~ Gθ, (2.6) mssä, matrs u ~ on vnosymmetrnen matrsmuoto partkkeln P sjannlle kappaleen lokaalssa koordnaatstossa. Tämä vnosymmetrnen matrs ssältää vektorn u komponentt kappaleen lokaalssa koordnaatstossa. Kun yhtälö 2.6 jaetaan osn ylestettyjen koordnaatten avulla, saadaan nopeusvektorks: r θ ~ R I AuG. (2.7) Kappaleen psteen P khtyvyys saadaan dervomalla yhtälö 2.1 kahdest ajan suhteen. Tästä saadaan:
21 r R ~ ~ θ ~ θ ~ AωuG AuG AuGθ. (2.8) Yhtälö 2.8 vodaan järjestellä uudestaan ja sjottamalla shen yhtälö 2.4 saadaan khtyvyydeks: r θ θ ~ R ~ ~ ~ R I AuG 0 AωuG AuG. (2.9) Nän on määrtetty jäykän kappaleen kulmanopeus, kulmakhtyvyys, nopeus sekä khtyvyys kappalekoordnaatstossa. (2, s. 151 & 7, s. 43) Monkappalejärjestelmän lkeyhtälöt perustuvat Newtonn toseen lkelakn sekä d Alembertn vrtuaalsen työn peraatteeseen. Newtonn tonen lkelak on muotoa: F a r dv, V (2.10) mssä vektor F a on kappaleeseen vakuttaven vomen vektor. (7, s. 44) Yhtälössä 2.10 on kappaleen theys, V on kappaleen tlavuus ja vektor r kuvaa nden partkkelen khtyvyyttä, jotka kuuluvat tutkttavaan kappaleeseen (6, s. 26). D Alembertn vrtuaalsen työn peraate on muotoa: W T Fa r V r dv 0, (2.11) mssä W on vrtuaalnen työ ja r on vrtuaalnen srtymä. Yhtälössä 2.10 estetty Newtonn klasssen mekankan lauseke määrttää vapaden kappaleden dynamkan. D Alembertn peraate ottaa huomoon myös rajotteden reaktovomat. Yhtälössä 2.10 ja 2.11 esntyvä vomavektor Fa esttää järjestelmän lsättyjä voma karteessessa koordnaatstossa. (7, s. 44) Soveltamalla D Alembertn peraatetta vodaan nertavomen tekemä vrtuaalnen työ lausua muodossa: W F T r, (2.12)
22 mssä F on nertavomen vektor, joka on estetty karteessessa koordnaatstossa. Inertavomen tekemä vrtuaalnen työ vodaan krjottaa myös muodossa: W T r dvr. (2.13) V Ketjusäännön avulla vodaan vrtuaalnen srtymä ylestettyjen koordnaatten vektorn suhteen krjottaa muotoon: r r q (2.14) q ja sjottamalla saatu yhtälö 2.14 yhtälöön 2.13 saadaan nertavomen tekemä vrtuaalnen työ muotoon: W T r r r dv q. (2.15) q q V Ylestetylle nertavomlle khtyvyys r yhtälössä 2.15 on estetty ylestetyssä koordnaatessa q. Täten ylestetyt nertavomat saavat muodon: Q T T I q T~ T T I G u A V T T~ T ~ T θ G u ω A T ~ AuG θ T G T ~ u T A T θ T G T ~ u T ~ ω T ~ ug θ T G T ~ u T dv, ~ ug (2.16) mssä Q on ylestettyjen nertavomen vektor. Yhtälöstä 2.16 vodaan erottaa kaks erllstä komponentta, jollon yhtälön kästtely on helpompaa. Nämä kaks komponentta ovat massamatrs M ja nelöllnen nopeusvektor Q v. Massamatrs ptää ssällään myös nertatensorn, jonka termt ovat tutkttavan kappaleen nertamomentteja. Inertatensora merktään yleensä matrslla I j, jonka alandekst ja j merktsevät koordnaattakselen suunta. Nelöllnen nopeusvektor ptää ssällään nopeuksen nelöstä rppuvat nertavomat. (6, s. 36 & 7, s. 44-45 & 4,s. 28)
23 Ylestetyt nertavomat vodaan krjottaa muodossa: Q T T q M. (2.17) T Q v Monkappalejärjestelmän lkeyhtälöt vodaan määrttää asettamalla ulkosen vomen tekemä vrtuaalnen työ yhtä suureks kun nertavomen tekemä vrtuaalnen työ. (7, s. 45). Tämä vodaan krjottaa myös nopeusvektoren avulla, jollon se saa muodon: T T Q q Qe q, (2.18) mssä Q on ylestettyjen nertavomen vektor ja Q e on ylestettyjen ulkosten vomen vektor. (6, s. 37 & 7, s. 45) Yhdstämällä nertavomen ja ulkosten vomen tekemä vrtuaalnen työ akasemmn esteltyhn nertavomn saadaan: T T T q M Q Q q 0 (2.19) v e Yhtälön 2.19 e huomo erlassta nvelstä syntynetä kappaleden välsä voma. Nämä rajotevomat toteutumnen vodaan huomoda käyttämällä joko lsäysmenettelyä (Augmented Formulaton) ta sjotusmenettelyä (Embeddng Technque). (7, s. 46) Tässä työssä estellään tarkemmn nästä menetelmstä ensmmänen el lsäysmenettely. Sjotusmenettelyn tomntaperaate estellään lyhyest.
24 2.1.2 Lsäys- ja sjotusmenettely. Lsäysmenettelyssä nvelvomat lsätään lkeyhtälöjoukkoon Lagrangen kertomen avulla (7, s. 46). Lagrangen kertoma käytetään laajalt, kun halutaan huomoda rajotteta erlasssa epälneaarsssa optmonttehtävssä. Lagrangen kertoma vodaan käyttää esmerkks Lagrangen mekankassa. Lagrangen mekankassa e tarvtse postaa nvelä mallsta ekä kantaa huolta alusta ast todellssta reaktovomsta. Lkeyhtälöt saadaan kootusta järjestelmästä ja ltosehdosta el rajoteyhtälöstä. (8, s. 191) Tästä johtuen vrtuaalsen työn yhtälö saa muodon, jossa vrtuaalnen työ asetetaan nollaks. El nertavomen, ulkosten vomen ja rajotevomen vrtuaalsten töden erotus on nolla. Lkeyhtälö vodaan krjottaa nyt seuraavast: T q M Q T v Mq Q v Q T e Q e Q T c Q c q 0 0, (2.20) mssä Q c on ylestettyjen rajotevomen vektor. Tämä vektor on muotoa: Q T c Cq λ, (2.21) mssä Matrs C q on rajotevektor, joka on dervotu ylestettyjen koordnaatten q suhteen. C q on Jacobn matrs. Vektor λ on Lagrangen kertomen vektor. Näden operaatoden jälkeen vrtuaalsen työn lause ptää yksselttesest pakkansa. Tämä muotolu lsää uuden muuttujaryhmän Lagrangen kertomn. Jotta yhtälöryhmä saadaan ratkastua, lsätään shen algebrallnen rajoteyhtälöjoukko. Monkappalejärjestelmässä lkerajotteet sekä nvelet rajottavat tosnsa knntettyjen kappaleden suhteellsta lkettä. Tämän lsäyksen jälkeen lkeyhtälöt saadaan yhtälöryhmämuotoon: Mq Q v Q e T Cq λ 0 C 0, (2.22) mssä vektor C on rajoteyhtälöden vektor. (7, s. 46)
25 Lkerajotteet määrtellään rajoteyhtälöllä, jotka on estetty muodossa: C C( q, t) 0. (2.23) Rajoteyhtälöt ovat lsäyhtälötä jotka määrttävät esmerkks sen, että kaks kappaletta sjatsee globaalssa koordnaatstossa sten, että pste P on vako kummankn kappaleen kappalekoordnaatstossa. (7, s. 46-47) Kuvassa 2.1.4 on estetty kaks kappaletta, jotka on ltetty tosnsa psteessä P sjatsevan nvelen avulla. Kappaleet ovat kappale ja kappale j. Kuva 2.1.4: Kahden kappaleen välllä olevan pallonvelen määrtelmä käytettäessä lokaala koordnaatstoa Kuvan 2.1.4 tapauksessa rajoteyhtälö määrttää psteen P pakan globaalssa koordnaatstossa sten että psteen P pakka on vako kummankn kappaleen lokaalssa koordnaatstossa. Tästä johtuen vektoren u ja u j ptuudet pysyvät vakona. (7, s. 47) Vrtuaalsen srtymän peraate vodaan ssällyttää monkappalejärjestelmän rajoteyhtälöhn. Täten vrtuaalnen työ monkappalejärjestelmässä estetään rppumattomen ylestettyjen koordnaatten avulla. Kun dervodaan rajoteyhtälö C ylestettyjen koordnaatten q suhteen, saadaan tästä operaatosta monkappalejärjestelmän Jacobn matrs C q, joka on rajoteyhtälöden osttasdervaatta ylestettyjen koordnaatten q suhteen. Jacobn matrs ssältää rajotevektorn komponentt. Matrsn koko rppuu rajoteyhtälöden nc lukumäärästä ja ylestettyjen koordnaatten lukumäärästä n. (7, s. 48)
26 Yhtälössä 2.22 estetyt lkeyhtälöt ovat dfferentaalalgebrallsa yhtälöryhmä ja ntä on vakea ratkasta ylesllä numeerslla ratkasjolla ylesessä muodossa. Nämä algebrallset rajoteyhtälöt vodaan muuntaa dfferentaalyhtälöks dervomalla ne kahdest ajan suhteen. Tällön ne saavat seuraavat muodot: C q (2.24) q C t ja C q q 2C q, C q q Ctt q qt (2.25) q mssä C t on ensmmänen rajoteyhtälöden osttasdervaatta ajan suhteen. C tt on tonen rajoteyhtälöden osttasdervaatta ajan suhteen ja C qt on ylestettyjen koordnaatten ja ajan suhteen dervotujen rajoteyhtälöden matrs. Edellä estetyn perusteella vodaan jäykstä kappalesta koostuvan järjestelmän lkeyhtälöt krjottaa matrs muotoon seuraavast: M Cq C T q 0 q Qe Qv λ Qc, (2.26) mssä vektor λ ptää ssällään Lagrangen kertomet. Lsäysmenettelyllä muodostetut lkeyhtälöryhmät ovat suura, koska ne ssältävät kakk ylestetyt koordnaatt ja lkerajotteet. (7, s. 48-49 & 4, s. 30) Sjotusmenettelyssä ylestetyt koordnaatt jaetaan rppuvn ja rppumattomn komponenttehn. Sjotusmenettely pokkeaa lsäysmenettelystä rajoteyhtälöden kästtelyn osalta. Sjotusmenettelyssä on tarkotus penentää rajoteyhtälöhn kohdstuvaa vrhettä. Tässä menetelmässä ntegrodaan anoastaan rppumattoma koordnaatteja. Rppuvat koordnaatt ratkastaan rajoteyhtälöden perusteella. Tällön yhtälön 2.23 toteutumnen varmstetaan kaklla aka-askellla. Rppumattomen koordnaatten lukumäärä on sama kun järjestelmän vapausasteden lukumäärä ja rppuven koordnaatten lukumäärä on sama kun järjestelmän rajoteyhtälöden lukumäärä. Sjotusmenettelyn hek-
27 koutena vodaan manta se, että rppuven koordnaatten sekä rajotteden kuvaukset ovat erttän epälneaarsa. Lsäks jotkn koordnaattvalnnat vovat aheuttaa sngularteetn, jollon koordnaatten jaottelu on muutettava. Tällön transformaatomatrst tulee muodostaa uudestaan ja ratkasua jatkaa valtulla koordnaatella. (4, s. 30-32) 2.1.3 Joustava kappaleta ssältävät monkappalejärjestelmät Joustavalla monkappaledynamkalla tarkotetaan suura srtymä läpkäyven rajotettujen muotoaan muuttaven kappaleden tetokonemallnnusta ja analysonta. Suurn srtymn ssältyvät myös suuret kertymät. Suuret srtymät koostuvat jäykän kappaleen lkkeestä ja elastssta muodonmuutokssta. Dynaamsen kuormtuksen aheuttama jänntyksä e voda selvttää tehokkaast jäykstä kappalesta koostuvssa monkappalejärjestelmssä, joten nden selvttämseks kappale tulee mallntaa joustavana. (9, s. 1 & 10, s. 8) Jäykän kappaleen tlanteessa kahden kappaleen ssäsen psteen välmatka pysyy ana muuttumattomana. Joustaven kappaleden tlanteessa nän e ole, vaan kahden kappaleen ssäsen psteen välmatka vo muuttua analyysn akana. Näden kahden psteen lkkeestä johtuen pelkät jäykän kappaleen kappalekoordnaatstot evät rtä kuvaamaan joustaven kappaleden knematkkaa. Todellsuudessa tarvtaan ääretön määrä koordnaatteja, jotta vodaan määrttää tarkast jokasen joustavan kappaleen psteen sjant. (2, s. 15) Joustavsta kappalesta koostuvan monkappalejärjestelmän jänntyksen talteenottoteknkat vodaan jakaa kahteen pääryhmään. Yks nästä on jänntyksen tlaan perustuva teknkka. Tässä teknkassa kappaleen jänntystla määrtellään jänntystlojen ja elastsen koordnaatten lneaarsen yhdstelmän avulla. Toseen ryhmään kuuluvat elementtmenetelmän jälkkästtelymenetelmät. Nässä menetelmssä tutkttavan rakenteen jänntykset ratkastaan ensn elementtmenetelmän avulla. Tämän jälkeen monkappalejärjestelmän smulaatosta saatuja tuloksa käytetään elementtmenetelmässä tarvttavan alkuehdon määrttämseen. Kummallakn nästä menetelmstä on hyvät puolensa, mutta elementtmenetelmään perustuva menetelmä on ylesest tarkemp. Laskennallsest elementtmenetelmä on nästä kahdesta menetelmästä raskaamp. (10, s. 8)
28 Tässä työssä keskesessä osassa oleva osarakenneteknkka kuuluu lähestymstapaan, jossa joustava monkappalejärjestelmä kästellään elementtmenetelmän avulla. Elementtmenetelmä eroaa perntesestä tavasta kuvata joustava kappaleta osana monkappaledynamkkaa. Elementtmenetelmässä kokonaslkkeellä vtataan suoraan nertaalkehykseen. Kokonaslkkeellä tarkotetaan tässä jäykän kappaleen lkettä sekä elaststa muodonmuutosta. (5, s.1-2) Kun kästellään jäykkä kappaleta, kappaleen lokaal koordnaatsto vodaan knnttää jäykän kappaleen psteeseen varsn melvaltasest. Tällä menettelyllä saadaan akaseks ykslöllnen ja tarkka vertalupste. Muotoaan muuttaven ta joustaven kappaleden tlanteessa tarvtaan vertalupste avan kuten jäykkenkn kappaleden kohdalla. Lokaalesta muodonmuutokssta sekä kappaleen nertan muutokssta johtuen e kappaleen lokaaln koordnaatston lttämnen joustavaan kappaleeseen ole enää yhtä yksnkertasta kun jäykkään kappaleeseen. (11, s. 2) Kun joustava kappaleta käytetään osana järjestelmää ja tälle järjestelmälle tehdään dynaamnen analyys, tarvtaan suur määrä lkeyhtälötä kuvaamaan joustaven kappaleden lkettä. Kun knemaattset rajotteet lsätään järjestelmän yhtälöhn, jäykän kappaleen kokonaslkkeeseen yhdstetään pen elastnen muodonmuutos. Osarakenneteknkassa järjestelmän rakenneosat syntetsodaan yksttästen komponentten muodosta. Rakenneanalyysssa tämä tapahtuu solmukohten transformaaton avulla. Tässä tapauksessa transformaatomatrs koostuu yhdestä ta useammasta vektorsta, jolla on samat dmensot kun solmuavaruudellakn. Nämä vektort kuvaavat muodonmuutoksen muodon, mstä rakenteen okea muodonmuutosmuoto vodaan ratkasta superpononnlla. Tämä muotojen superponont teknkka on srtynyt rakenneanalyyssta joustavsta kappalesta koostuven järjestelmen analysontn. Tähän joukkoon kuuluu luonnollsest myös monkappalejärjestelmät. Yks tärkemmstä sovelluskohtesta, kun puhutaan joustavsta kappalesta koostuven mekansmen analysonnsta, ovat omnasmuodot. (11, s. 3, s. 51) Osarakenneteknkka estellään tarkemmn luvussa 2.3. Kun kappaleen joustavuus huomodaan, tulee kappaleessa sjatsevan psteen pakan knemaattsta kuvausta laajentaa. Jäykän kappaleen tlanteeseen verrattuna psteen pakkavektor tarvtsee lsätermn, kun kästellään joustava kappaleta. Tämä lsäterm edus-
29 taa kappaleen muodonmuutosta. Lsäterm saadaan, kun jaetaan akasemmn jäykän kappaleen yhteydessä estelty pakkavektor deformotumattoman psteen pakkaa ja vektor u osn. Tästä saatava vektor u o kuvaa u f kuvaa vastaavast psteen srtymää sen alkuperäsestä sjannsta. Tämä srtymä johtuu kappaleen elastsesta muodonmuutoksesta. Kun kästellään joustava kappaleta yhtälö 2.1 saa muodon: r R A ( u u ). (2.27) o f Kuvassa 2.1.5 on estetty yhtälön 2.27 mukanen tlanne. (12, s. 37) Kuva 2.1.5. Psteen P pakka joustavassa kappaleessa lokaaln ja globaaln koordnaatston suhteen Joustavsta kappalesta muodostuvalle monkappalejärjestelmälle vodaan johtaa lkeyhtälö. Vrtuaalnen työ vodaan lsätä elastsn vomn ja ulkosn vomn. Näden lsäks vrtuaalnen työ vakuttaa myös ssässsä vomssa. Joustavan kappaleen lkeyhtälö saa muodon: T M q Kq C λ Q Q, (2.28) f f f fq fe fv
30 mssä M f on joustavan kappaleen massamatrs, koordnaatt ja q f on joustavan kappaleen ylestetyt T C fq on joutavan kappaleen rajotteden Jacobn matrs. Vektor Q fv on joustavan kappaleen nelöllnen nopeusvektor ja Q fe on joustavan kappaleen ylestettyjen vomen vektor. (12, s. 40) Elementtmenetelmän lkeyhtälön dskretont joustavlle monkappalejärjestelmlle tapahtuu Lagrangen peraatteen kautta. Joustavan monkappalejärjestelmän formulont elementtmenetelmän avulla vaat, että shen ssällytetään ne termt, jotka edustavat kappaleen kokonaslkettä. Hajautetun joustavuuden menetelmässä jokasella solmulla on kuus vapausastetta. Tästä johtuen syntyy suur epälneaarsten lkeyhtälöden ryhmä. Näden epälneaarsuuksen taka ylesä rakenneanalyysn numeersa ntegrontalgortmeja e voda käyttää näden ongelmen ratkasemseen. Nämä vomakkaast epälneaarsten järjestelmät aheuttavat sen, että rakenteen tarkka jäykkyysmatrs tulee ratkasta uudelleen jokasella aka-askeleella, koska jäykkyysmatrs muuttuu kappaleen muodonmuutoksen mukana. Sopvan aka-askeleen valnta on erttän tärkeää, koska okealla aka-askeleella numeernen laskenta pysyy stablna. (13) Stä, kunka joustava kappaleta ssältävä monkappalejärjestelmä kästellään matemaattsest, e käydä tarkemmn läp. Syötnosan smulonnssa käytetään kaupallsa ohjelmstoja monkappalejärjestelmän smulaaton luomseen, jollon smulaatossa käytettävän matemaattnen mall muodostetaan käytettävällä smulontohjelmstolla. Monkappaledynamkan osuus estellään, jotta lukja sas peruskästyksen stä, mllasta matematkkaa tässä työssä mallnnettujen smulaatomallen ratkasemseks tarvtaan. 2.2 Elementtmenetelmä Kun käytetään osarakenneteknkkaa järjestelmän dynaamseen analysontn, tarvtaan elementtmenetelmää. Tässä luvussa on kästelty elementtmenetelmän hstoraa sekä tomntaperaatteta. Elementtmenetelmää käytetään nykyään laajast er alojen teknsssä analyysessä. Elementtmenetelmää vodaan hyödyntää rakenneanalyysssa ja lämmönsrrossa sekä
31 vrtausteknkassa. Elementtmenetelmään perustuva rakenteden lujuusanalyysn hstora ulottuu ana 1950-luvun alkupuolelle, jollon stä sovellettn lentokoneteollsuudessa. Elementtmenetelmä term otettn ensmmäsen kerran käyttöön non vuonna 1960. Vuonna 1960 pyrttn jakamaan sauvarakenteet penempn tarkasteltavn osn el elementtehn. Tätä sauvarakenteen jakamsta penempn osn laajennettn myös muhn rakentesn. Elementtmenetelmän ylestymstä tehost myös samaan akaan tapahtunut tetokoneden kehttymnen. Tetokoneet mahdollstvat elementtmenetelmän laskutomtuksen toteuttamsen. Juur tetokoneden ylestymnen lsäs elementtmenetelmän käyttöä käytännön teknsssä ongelmssa. (14, s. 13 & 15, s. 1) Elementtmenetelmän ertysprre on se, että snä tarkasteltava ala jaetaan yksnkertasn alalohn el elementtehn. Elementks kelpaa mkä tahansa geometrnen muoto, joka vodaan ratkasta ta approksmoda suoraan. Elementks kelpaa myös sellanen geometrnen muoto, joka tarjoaa tettyjen alalojen psteden ratkasujen välset tarvttavat yhteydet. Nätä elementten välsä pstetä kutsutaan solmuks. Elementtmenetelmässä valtaan tuntematonta suuretta kuvaamaan sopvat lkmääräsfunktot. Yks lkmääräsfunkto kuvaa ratkasua van tettyjen määrättyjen elementten alueella. Elementtmenetelmässä approksmaato valtaan sten, että funktoden ne kertomet, jotka ovat aluks tuntemattoma, ovat samalla tutkttavan suureen arvoja elementten tetyssä pstessä. Nätä elementn pstetä kutsutaan solmupsteks. Koska elementtmenetelmässä tuntemattomlle parametrelle löytyy fyskaalset vastneet, on sen avulla helppo kästellä reunaehtoja ja epäsäännöllsä alueta. Hekkoutena elementtmenetelmässä on se, että snä päädytään yleensä suurn yhtälöryhmn. (14, s. 13-14 & 16, s. 5) Elementtmenetelmän peruskästtetä vodaan selvttää kuvassa 2.2.1 estettyjen järjestelmen avulla (14, s. 15). Kuvassa 2.2.1a on estetty yksnkertanen jous. Kuvassa 2.2.1b on estetty vastaavast pstevomalla kuormtettu palkkrakenne. Kuva 2.2.1. Ulkosen voman aheuttama srtymä a) jousessa b) palkkrakenteessa
32 Ylesest rakenteta tutkttaessa halutaan tetää, mkä on rakenteeseen vakuttavan voman ja stä syntyvän srtymän kesknänen rppuvuus. Mkäl rakenne käyttäytyy lneaarsest, vodaan slle krjottaa jousyhtälö. Jousyhtälö ssältää jousvakon k, joka lmasee jousen jäykkyyden. Tosn sanoen jousvako lmasee, kunka vomakkaast jous pyrk palautumaan tasapanoasemaansa. Jousyhtälö vodaan krjottaa myös kääntesenä sten, että ratkastaan jousen venymä. (14, s. 15) Kuvan 2.2.1 esmerkessä systeemn käyttäytymnen votn kuvata yhdellä srtymällä. Srtymän tarkastelupste ol sama kun voman vakutuspste. Kuvassa 2.2.1 estetyt systeemt ovat yhden vapausasteen tapauksa (14, s. 15-16). Kuvassa 2.2.2 estetyn palkn srtymän v kuvaamseen tarvtaan useamp yhtälö. Kuvassa 2.2.2 estetty tapaus on ss useamman vapausasteen tapaus. Kuva 2.2.2. Usean vapausasteen palkkrakenne Jokanen kuvassa 2.2.2 esntyvä voma F j aheuttaa tetynsuurusen ja -suuntasen srtymän psteessä. Srtymät sekä vomat vodaan koota vektoreks. Kappaleelle vodaan määrttää sen omnasuuksen perusteella joustomatrs, jollon srtymävektor saadaan kertomalla joustomatrs sekä vomavektor keskenään. Vastaavast, mkäl srtymävektor tunnetaan, vodaan vomavektor ratkasta kertomalla srtymävektor kappaleen jäykkyysmatrslla. Näden kahden yhteyden perusteella huomataan, että joustomatrsn ja jäykkyysmatrsn matrs tulo on ykskkömatrs. Täten jousto- ja jäykkyysmatrst ovat tostensa kääntesmatrseja. On syytä huomata, että jälkmmänen yhteys pätee van tlanteessa, jossa rakenne on täysn tuettu. Jäykän kappaleen lke on ss estetty. Systeemlle e voda muodostaa joustomatrsa, mkäl jäykän kappaleen lke on mahdollnen. Vastaavast rakenteelle vodaan ana muodostaa jäykkyysmatrs. Mkäl rakenteen jäykän kappaleen lke on mahdollnen, on jäykkyysmatrs sngulaarnen, el
33 sllä e ole kääntesmatrsa. Jousto- sekä jäykkyysmatrst ovat symmetrsä el nden transponont e muuta nden rven ta sarakkeden pakkaa. (14, s. 17) Kuvassa 2.2.2 kuvattu palkkrakenne on jatkuva systeem. Palkn jokasella psteellä on oma srtymänsä. Tästä seuraa se, että palklla on peraatteessa ääretön määrä vapausasteta. On syytä kutenkn huomata, että palkn käyttäytymstä vodaan tutka rttävällä tarkkuudella, vakka käytössä ols äärellnen määrä vapausasteta. Nämä vapausasteet lttyvät tettyhn määrättyhn pstesn. Tomenpdettä, jossa jatkuva systeem korvataan pstejoukolla, kutsutaan dskretonnks. Dskretonnlla on elementtmenetelmässä keskenen merktys. Dskretonta varten tutkttava systeem jaetaan äärellsn osaaluesn, jota kutsutaan elementeks. Elementten oletetaan lttyvän tosnsa tetyssä pstessä. Nämä ltyntäpsteet ovat nmeltään solmupstetä ja ntä nmtetään usen lyhyest solmuks. Solmut muodostavat elementtverkon. Solmupsteden srtymät ovat yleensä elementtmenetelmällä ratkastavan tehtävän tuntemattoma. Elementtehn jakoa kutsutaan ylesest verkotukseks, koska snä luodaan tutkttavalle rakenteelle elementtverkko. (14, s.19-20) Sauva- sekä kehärakentessa elementtehn jako on yleensä yksselttenen prosess. Elementtjako vodaan tehdä esmerkks kuvan 2.2.3 a-kohdan mukasest. Elementten lttymnen tosnsa pstemäsest vastaa ylesä rakenteen käyttäytymstä koskeva oletuksa. Tlanne muuttuu monmutkasemmaks 2- ja 3-ulottesssa rakentessa. Nässä rakentessa elementt ovat kuvteltuja ja elementtjako suortetaan usen hyvnkn melvaltasest. Tällanen tlanne on estetty kuvan 2.2.3 b-kohdassa, jossa on kuvattu levyrakenteen elementtjako. (14, s. 20)
34 Kuva 2.2.3. Elementtverkko erlaslla rakentella Sauvarakentessa e yleensä synny elementtmenetelmää käytettäessä vrhettä vaan tulokset vastaavat yleensä todellsuutta, jollon saatu tulos on tarkka. Sen sjaan 2- ja 3- ulottesssa tlantessa tulos on lähes pokkeuksetta lkmääränen. Vrhe syntyy elementten lttymsestä tosnsa. Esmerkks kehkkorakenteessa elementten knntyspsteet vodaan määrtellä samohn pstesn, jossa sauvat knnttyvät tosnsa tutkttavassa rakenteessa. Esmerkks 3-ulottesessa tlanteessa elementten knntyskohta e yleensä voda määrttää nän tarkast. (14, s. 20) Elementtmenetelmän hyödyntämsessä tutkttaessa joustavsta kappalesta koostuva monkappalejärjestelmä on seuraava hyötyjä. Htausvomen esttämnen on yksnkertasta. Elastset vakutukset ssältyvät suoraan malln. Jokasen joustavan kappaleen jäykkyysomnasuudet vodaan kuvata tarkast. Nähn jäykkyysomnasuuksn kuuluu myös geometrsen jäykstymsen vakutukset. Mekaansen järjestelmän topologa ssältyy mplsttsest elementtverkkoon. (5, s. 2-3) Elementtmenetelmää käytetään tässä työssä syötnosan rungon joustavuuden kuvaamseen. Elementtmenetelmän avulla luodaan rungolle elementtverkko. Elementtmenetelmän avulla ratkastaan rungon vapaan värähtelyn omnastaajuudet ja ntä vastaavat omnasmuodot, jota käytetään osarakenneteknkassa rungon joustavuuden kuvaamseen. Omnastaajuudet ovat ntä järjestelmän taajuuden arvoja, jolla järjestelmä resono herätteen kanssa. Jokasta omnastaajuutta vastaa omnasmuoto, joka vahtelee omnastaajuuden mukaan. Rakenteella e vo olla useampaa samaa omnasmuotoa er
35 omnastaajuukslla. (17, s. 8) Omnasmuotojen käyttö ja ratkasemnen estellään osarakenneteknkan yhteydessä. 2.3 Osarakenneteknkka Tässä työssä tutktaan monkappalejärjestelmää, joka koostuu sekä jäykstä kappalesta että joustavana mallnnettavsta kappalesta. Monkappalejärjestelmlle tyypllseen tapaan nämä kappaleet vovat läpkäydä suura srtymä ja kertymä. Jäykken ja joustaven kappaleden välset rajotteet, jotka yleensä johtuvat kappaleden välsstä nvelstä, vodaan esttää epälneaarsten algebrallsten rajoteyhtälöjoukkojen avulla, jotka rppuvat järjestelmän ylesstä koordnaatesta ja mahdollsest ajasta. Tämän rajoteyhtälöden joukon tulee toteutua smulonnn jokasella aka-askeleella asema-, nopeus- ja khtyvyystasolla. Se, että rajoteyhtälöden joukko toteutuu jokasella aka-askeleella, rppuu monesta er tekjästä. Nähn tekjöhn kuuluu oletettu srtymäkenttä sekä joustavana kuvatun kappaleen valtut normaalmuodot. (18) Seuraavaks käydään läp syötnosan smulonnssa käytettyä menetelmää, jossa monkappalejärjestelmään kuuluva joustava kappale kuvataan elementtmenetelmän ja omnasmuotojen avulla. Tästä menetelmästä käytetään nmtystä osarakenneteknkka (Component Mode Synthess, CMS). Tutkttaessa joustava kappaleta ssältävän järjestelmän dynamkkaa, joudutaan usen ratkasemaan tuhansa aka-askeleta. Nämä tuhannet aka-askeleet yhdstettynä järjestelmään, jolla on useta vapausasteta aheuttaa sen, että tällasen monkappalejärjestelmän analysont ve paljon akaa sekä laskentatehoa. Tarvttavaa laskentatehoa vodaan penentää hyödyntämällä osarakenneteknkkaa. Puhtaast elementtmenetelmään perustuvat järjestelmän dynaamset analyyst ovat laskennallsest tehottoma ja raskata. Tämä tehottomuus johtuu järjestelmän suuresta vapausasteden määrästä. Osarakenneteknkka on yks tehokkammsta tavosta keventää laskentaa. Osarakenneteknkassa hyödynnetään elementtmenetelmään sten, että elementtmenetelmällä luodusta mallsta ratkastaan omnasmuodot omnasmuotoanalyysn avulla. Omnasmuotoanalyysn jälkeen tutkttavan rakenteen muotomatrs ssältää edelleen yhtä paljon vapausasteta, kun alkuperänen elementtmall. Malla vodaan keventää postamalla jotan ratkastusta omnasmuodosta. Muotojen postamnen vähentää tarvttavaa laskentatehoa,
36 mutta samalla se hekentää saataven tulosten tarkkuutta. Slle, mtä muotoja vodaan postaa, e ole olemassa tarkkaa sääntöä. Yks tapa muotojen valnnalle on suorttaa testsmulaato ja valta ne muodot, jotka kuvaavat suurnta muodonmuutosenergan osuutta. Osarakenneteknkasta saatava hyöty on ana tapauskohtanen. Osarakenneteknkan avulla vodaan korvata joustavan kappaleen tuhannet vapausasteet kymmenllä vapausastella, jotka kuvaavat järjestelmän dynaamsta vastetta. Täten joustavsta kappalesta koostuvan monkappaljärjestelmän analyysn tarvttava aka sekä vaadttu laskentateho vo penentyä. (10, s. 19 & 19) Analysotaessa rakennetta, johon vakuttaa voma, tulee selvttää vomsta järjestelmälle syntyvät srtymät sekä ssäset jänntykset. Yks ratkasu nähn ongelmn on ajatella tutkttava järjestelmä kokoonpanoks, joka muodostuu useammasta dskreetstä rakenneosasta. Täten saadaan akaseks ryhmä yhtälötä, jotka vodaan ratkasta matrslaskennan kenon. Jotta vodaan ratkasta tarkasteltavan rakenteen tarkat srtymät ja jänntykset, tulee tutkttava rakenne jakaa useaan rakenneosaan. Tästä syystä tutkttavsta matrsesta vo tulla erttän soja. Suurten matrsen halltsemnen ja monmutkasen rakenteen ratkasemnen yhtenä kokonasena rakenteena vaat yleensä paljon laskentatehoa. Tästä syystä on perusteltua jakaa yks suur rakenne useampaan penempään rakenteeseen, jotka vodaan ratkasta erkseen. Nätä rakenteta nmtetään yleensä alrakenteks. Lopuks nämä erkseen ratkastut alrakenteet yhdstetään jälleen yhdeks täydeks mallks. (20) Suura järjestelmä ratkastaessa osarakenneteknkka tarjoaa useta hyödyllsä omnasuuksa. Mkäl knntyskohdan nvelet evät muutu el vapausasteet pysyvät muuttumattomna, vakka järjestelmän osan muotoa muutettasnkn, vodaan järjestelmää analysoda ja muotolla erkseen. Tosn sanoen sama analyys tom, vakka järjestelmään kuuluvan kappaleen muotoa olskn muutettu, mkäl knntyskohdan vapausasteet pysyvät samona. Tämä on erttän hyödyllstä tuotesuunnttelun näkökulmasta. Rakenne vodaan jakaa alrakentesn sten, että esmerkks er osastot suunnttelevat ja muotolevat jokasen alrakenteen tsenäsest. Kun knntyspsteet pdetään samona, vodaan käyttää ana samaa osarakenneanalyysa, vakka rakenteen geometra multa osn muuttuskn. Eräs tämän menetelmän edusta on akataulutus. El useat er työryhmät vovat analysoda samaa rakennetta yhtä akaa. (15, s. 876 & 21, s. 359-360)
37 Osarakenneteknkka on alrakenneteknkan sovellutus. Alrakenneteknkka nmtystä käytetään sllon, kun tutktaan staattsta tlannetta ja osarakenneteknkka nmtystä sllon, kun kyseessä on dynaamnen analyys. Alrakenneteknkalla tarkotetaan teknkkaa, jossa joukko elementtmenetelmän elementtejä tvstetään yhdeks elementks, jota kutsutaan superelementks. Tvstys tapahtuu sten, että määrtellään päävapausasteden ryhmä. Nätä päävapausasteta käytetään superelementn ja muden elementten välsten vuorovakutusten määrttämseen. Lsäks päävapausasteta käytetään dynaamsten omnasuuksen talteen ottamseen, kun tutkttavalle järjestelmälle suortetaan dynaamnen analyys. Super-elementt on estetty kuvassa 2.3.1. Alrakenneteknkkaan perustustuvat menetelmät pohjautuvat shen oletukseen, että jokasen kappaleen joustavat vakutukset ovat lneaarsa lokaalssa materaalkoordnaatstossa. Jokanen järjestelmän osa kuvataan tämän jälkeen superelementllä. Superelementt sall kysesen osan lttymsen veresn osn. Superelementt ptää ssällään myös osan ssäset muototedot. Superelementt ssältää omnasjäykkyysmatrsn ja omnasmassamatrsn. (19 & 5, s. 1) Kuva 2.3.1. Esmerkk superelementstä ja sen lttymsestä ympärövään rakenteeseen Monkappaledynamkan sovelluksssa pääasallnen epälneaarsuuden lähde ovat monkappalejärjestelmään kuuluven kappaleden välset suuret kertymät. Monessa tapauksessa kappaleden ssästen muodonmuutoksen vakutukset ovat nn penä, että vodaan olettaa kappaleen joustavan käyttäytymsen pysyvän lneaarsena lokaalssa koor-
38 dnaatstossa. Tästä johtuen vodaan sanoa, että kakk järjestelmän epälneaarsuudet keskttyvät pääasassa sen nveln. Tämä sekka mahdollstaa alrakennemenetelmen kuten osarakenneteknkan käytön, kun mallnnetaan monmutkasa joustavan mekansmn osa. (5, s. 185) 2.3.1 Osarakenneanalyysn vaheet Kun tutkttavan rakenteen mall on valms ja sen osakomponentten mahdollset alustavat analyyst on suortettu, srrytään täyden rakenteen analysontn. Tässä vaheessa otetaan käyttöön osarakenneteknkka, mkäl stä hyödynnetään analyysssa. Osarakenneteknkka ssältää kolme perusaskelta. Ensmmäseks rakenne jaetaan komponenttehn. Seuraavaks määrtellään komponenttmuodot. Vmesessä vaheessa kytketään saadut komponenttmuotojen mallt yhteen, jotta saadaan muodostettua alemman kertaluvun järjestelmämall. Osarakenneteknkalla on kolme pääasallsta käyttökohdetta. Ensmmäsenä nästä käyttökohtesta vodaan manta alemman kertaluvun mallen lttämnen yhteen monmutkasempen rakenteden muodostamseks. Tonen käyttökohde on elementtmenetelmän mallen ta komponentten testaamnen. Kolmas käyttökohde on dynaamsen laskennan toteutus erttän suurlle elementtmenetelmämallelle. (15, s. 876 & 21) Kuvassa 2.3.2 on alrakentesn jaettu lentokoneen mall. Lentokoneen matkustamo on tässä tapauksessa ajateltu alrakenteeks (r) ja sen reunolla sjatsevat alrakenteet (r-1) sekä (r+1). Jokanen järjestelmän alrakenne on knntetty yhteen ta useampaan toseen alrakenteeseen. Analyysa varten ptää alrakenne (r) erstää musta shen lttyvstä alrakentesta, kun reunojen vapausasteet ovat täysn rajotetut. Tätä samaa tlannetta on kuvattu kuvassa 2.3.3 estetyssä komponenttehn jaetussa palkkrakenteessa. (20)
39 Kuva 2.3.2. Lentokoneen peraatemall jaettuna alrakentesn, jolla on yhteset rajat Kuvassa 2.3.2 estettyä tlannetta on havannollstettu lsää kuvassa 2.3.3 estetyssä komponenttehn jaetussa ulokepalkkrakenteessa. Kuva 2.3.3. Komponenttehn jaettu ulokepalkkrakenne ja komponentt, jolla redundattnen raja Ylesn alrakenteen tyypp on komponentt, joka on ltetty yhteen ta useampaan verekkäseen komponenttn ta redundanttseen rajapntaan. Kuvassa 2.2.3 on estetty yk-
40 snkertanen ulokepalkkrakenne, joka on jaettu kolmeen komponenttn. Komponentesta keskmmäsellä komponentlla on redundanttset rajakoordnaatt. (22) Kuten kuvasta 2.2.3 huomataan, koordnaattryhmät on nmetty koordnaattryhmn I, R, E ja B. I tarkottaa tässä tapauksessa ssäsä koordnaatteja tosn sanoen koordnaatteja, jota e ole jaettu verekkästen komponentten kanssa. R tarkottaa jäykän kappaleen koordnaatteja. E tarkottaa ylmääräsä koordnaatteja; tosn sanoen redundanttsa rajakoordnaatteja. B tarkottaa rajakoordnaatteja el koordnaatteja, jotka on jaettu veresten komponentten kanssa. Koordnaatten lukumäärää nässä koordnaattryhmssä kuvataan tunnukslla N,, Nr Ne ja b N. Vastaavast Muuttuja N on kokonaskoordnaatten lukumäärä. (22) N b Nr Ne ja N N Nb. Vamentamattoman komponentn c lkeyhtälö vodaan krjottaa muodossa: c c c c c c c u K u f fex rntb, (2.29) M mssä on tarkasteltavan komponentn nm ja c M, c K ja c u ovat komponentn massamatrs, jäykkyysmatrs sekä srtymävektor. Vomavektor c f ssältää sekä ulkosest vakuttavat vomat c f ex, että ne komponenttn vakuttavat vomat, jotka syntyvät sen knnttyessä veresn komponenttehn rajavapausastessa c r ntb. (22 & 23, s. 533) Osarakenneteknkassa komponentn fyysset srtymäkoordnaatt u ssältyvät komponentn ylestettyhn koordnaattehn q Raylegh-Rtz koordnaatt muunnoksessa, joka on muotoa u c c c ψ q. (2.30) Yhtälössä 2.30 esntyvä c ψ kuvaa komponentn muotomatrsa. Komponenttmuotomatrs on koordnaatttransformaatomatrs valtulle komponenttmuodolle. Komponenttmuotomatrs ssältää jäykän kappaleen muodot, vapaan värähtelyn muodot el tosn sanoen omnasvektort, rajotemuodot ja knntysmuodot. Edellä estelty yhtälö 2.30 muodostaa ylestetyssä koordnaatessa estetyn lkeyhtälön kanssa (yhtälö 2.29)
41 komponenttmuotomalln (component modal model). Yhtälöstä 2.29 ja 2.30 saadaan komponentn lkeyhtälöks ylestetyssä koordnaatessa: c c c c c, (2.31) M q K q f mssä M c ct c c ψ M ψ, K c ct c c ψ K ψ, f c ct c ψ f. (2.32) Dervotaessa komponenttmuotoja on käytännöllstä jakaa yhtälö 2.29 osn. Kun otetaan lsäks huomoon jäykän kappaleen koordnaatt ja redundanttset rajakoordnaatt, saadaan: M M M e r M M M e ee re M M M r er rr u K u e K u r K e r K K K e ee re K K K r er rr u f ue f e u r f r, (2.33) mssä alandekst kuvaavat koordnaattryhmä. (22) Seuraavaks käydään lyhyest läp mllasa komponentn normaalmuotoja komponentn muotomatrs vo ptää ssällään. Myöhemmn käydään läp yks tapa lttää alrakenteta tosnsa ja lsäks estellään Crag-Bampton menetelmä, jota hyödynnetään myös syötnosan smulonnssa. Komponentn normaalmuodot ovat normaalvektoreta. Ne vodaan luoktella komponentn ltännän reunaehtojen mukaan. Luokttelutyyppejä ovat knntetyn rajapnnan normaalmuodot (fxed-nterface normal modes), knnttämättömän rajapnnan normaalmuodot (free-nterface normal modes), yhdstelmärajapnnan normaalmuodot (hybrd-nterface normal modes) ja kuormtusrajapnnan normaalmuodot (loadednterface normal modes). (22) Osarakenneteknkassa käytetään nykyään pääasassa kahta erlasta teknkkaa. Tonen teknkosta on nmeltään knntetyn rajapnnan teknkka ja tonen knnttämättömän
42 rajapnnan teknkka. Knntetyn rajapnnan teknkka hyödyntää nmensä mukasest knntetyn rajapnnan normaalmuotoja sekä rajotemuotoja. Vastaavast knnttämättömän rajapnnan teknkka hyödyntää knnttymättömän rajapnnan normaalmuotoja ja knntysmuotoja. (23, s. 557) Tutkttavan kappaleen ta komponentn normaalmuodot perustuvat omnasarvohn ja omnasmuotovektorehn. Määrtellään matrst H ja E, jotka ovat kooltaan n kertaa n nelömatrseja. Omnasarvo-ongelmassa ratkastaan arvoja skalaarlle, kun matrsyhtälö saa muodon: Ex 0 H. (2.34) Tässä tapauksessa halutaan tutka muutkn ratkasut kun pelkkä trvaalratkasu x 0. Yhtälön 2.34 ratkasemseks on enntään n kappaletta nollasta pokkeavaa juurta, jotka evät kakk välttämättä ole tosstaan pokkeava. Nätä juura kutsutaan omnasvektoreks el normaalmuodoks. Yhtälössä 2.34 estettyä yhtälöä kutsutaan ylestetyks omnasarvo-ongelmaks ta lyhyemmn pelkästään omnasarvoongelmaks. Mkäl matrs E on ykskkömatrs I, sllon yhtälöä 2.34 vodaan nmttää standardks omnasarvo-ongelmaks. Tällön vastaavat ovat matrsn H normaalmuotoja. (21, s. 675) Komponentn knntetyn rajapnnan normaalmuodot saadaan estämällä kakk rajotevapausasteet ja ratkasemalla nlle omnanen omnasarvo-ongelma kuten yhtälössä 2.34. Knntetyn rajapnnan tapauksessa omnasarvo-ongelma on muotoa: 2 j M φ 0, kun j 1,2,, N K. (2.35) j Kakk koordnaattryhmän N knntetyn rajapnnan normaalmuodot vodaan koota knntetyn rajapnnan normaalmuotojen muotomatrsks φ. Kuvassa 2.3.4 on estetty neljä N ryhmän knntetyn rajapnnan normaalmuotoja pästään vapaasta kahdeksan vapausasteen palksta, joka on estetty kuvassa 2.3.3 kohdassa b. (22)
43 Kuva 2.3.4. Pästään vapaast tuetun palkn knntetyn rajapnnan normaalmuotoja Tonen osarakenneteknkassa käytettävä komponenttnormaalmuotojen tyypp on knnttämättömän rajapnnan normaalmuodot. Nämä normaalmuodot saadaan ptämällä komponentt vapaana ja ratkasemalla seuraava omnasarvo-ongelma: 2 M φ 0, kun j 1,2,,( N N N ) K. (2.36) j j f r Joukon N f joustavat knnttämättömän rajapnnan normaalmuodot vodaan koota knnttämättömän rajapnnan muotomatrsks φ f. Kuvassa 2.3.5 on estetty ensmmäset neljä kuudesta kahdeksan vapausasteen palkkkomponentn joustavasta muodosta. Palkkkomponentt on vapaa kummastakn päästä. (22)
44 Kuva 2.3.5. Kummastakn päästään vapaan palkn joustavat normaalmuodot knnttämättömän rajapnnan tapauksessa Rajotemuoto on määrtelty rakenteen staattseks muodonmuutokseks sllon, kun srtymä tapahtuu yhdessä määrätyssä rajotekoordnaatston C koordnaatssa. Samalla tämän koordnaattjoukon C kakken muden koordnaatten srtymät on estetty ja rakenteen loppuhn vapausastesn e vakuta voma. Reunakoordnaatten ykskkösrtymään perustuva rajapnnan rajotemuotojen joukko (nterface constrant modes) on hyödyllnen osarakenneteknkan joukko. Hyödyllsyys perustuu shen, että ssästen komponentten yhteensopvuus on helppo toteuttaa nätä rajotemuotoja käytettäessä. Rajotemuotomatrsa merktään usen matrslla ψ c. Rajotemuodot ovat jäykkyysortogonaalsa kaklle knntetyn rajapnnan normaalmuodolle. (22) Jäykän kappaleen muodot ajatellaan usen normaalmuodoks. Todellsuudessa ne ovat kutenkn rajotemuotojen erkostapauksa. Ne vodaan määrttää mnkä tahansa koordnaattryhmän suhteen, kunhan valttu ryhmä pystyy estämään jäykän kappaleen lkkeen komponentssa. Jäykän kappaleen muodot kootaan muotomatrsn N r ψ r. Jäykän kappaleen muotojen muotomatrs ssältää joustavuusmatrsn. Tämä joustavuusmatrs on määrtelty slle komponentlle, jonka lke estetään R koordnaatessa, mutta e mssään muualla. Vastaavast redundanttsen rajapnnan rajotemuodot rajotekoordnaattryhmän E ykskkösrtymlle vodaan määrttää sllon, kun koordnaattryhmä R
45 on jäykäst knntetty. Nämä knntysmuodot vodaan koota muotomatrsn rajotemuotomatrsn ψ e. Sekä ψ c ssältämä rajotemuotoryhmä ta yhdstetty rajotemuotoryhmä ψ r ψ e laajentavat alrakenteen staattsen vasteen rajapnnan kuormtukseen ja mahdollstavat melvaltaset rajapnnan srtymät. Rajapnta srtymää seuraa ana alrakenteen ssänen srtymä. Ssästä joustavuutta vodaan lsätä, kun komponenttmuotomatrsn ψ ssällytetään knntetyn rajapnnan normaalmuodot ta muut knntetynrajapnnan oletetut muodot. (22) Ltäntämuoto määrtellään kuten komponentn srtymävektor, kun koordnaattryhmän A yhteen koordnaattn vakuttaa yks ykskkövoma. Muuttujalla A tarkotetaan ltäntäkoordnaatstoryhmää. Tosn sanoen ltäntämuodot ovat tapauskohtasen joustavuusmatrsn sarakketa. Ltäntämuodot on kehttänyt R. M. Bamford. Ltäntämuodot ovat saaneet nmensä nden hyödyllsyydestä kuvattaessa rakenteen muodonmuutoksa, snä tapauksessa, kun ulkonen voma vakuttaa rakenteeseen shen psteeseen, mhn ltäntämuodon ykskkövoma on ltetty. Eräs ltäntämuotojen käyttöön lttyvä ongelma on se, että usella komponentella on yhdestä kuuteen jäykän kappaleen vapausastetta. Täten on mahdotonta lttää tarvttava ykskkövoma vapaaseen komponenttn, jotta votasn laskea ltäntämuodot. Yks tapa ratkasta tämä ongelma on, valta joukko rajalla sjatseva jäykän kappaleen vapausastekoordnaatteja koordnaattryhmästä R. Tämän jälkeen luktaan nämä valtut vapausasteet ja muodostetaan ulokepalkn ltäntämuodot. Ulokepalkn ltäntämuodot saadaan muodostettua lsäämällä ykskkövomat redundanttsn rajakoordnaattehn, jollon A = E. Ltäntämuodot ovat yhtälössä joustavuusmatrsn laajennetut okeapuolesten sarakkeden muodot, kun A = E. Näden tetojen avulla vodaan muodostaa ltäntämuotojen muotomatrs ψ a. (22) Inertavapautus sekä jäännösjoustavuus ovat olennasa lmötä, kun knnttämättömän rajapnnan muotojen avulla kuvataan vapaan komponentn joustavaa käyttäytymstä (22). Kun komponentlla on jäykän kappaleen vapausaste, on suosteltavaa hyödyntää nertan vapautus ltäntämuotoja. Inertan vapautus vttaa prosessn, jossa komponenttn lsätään tasapanotettu vomajärjestelmä. Tämä vomajärjestelmä ssältää alkuperäsen
46 vomavektorn tasapanotettuna jäykän kappaleen d Alembertn vomavektorlla M u, r mssä u r on vektorsta alkuperäsestä vomavektorsta johtuva jäykän kappaleen lke. Lkeyhtälöstä 2.29 vodaan srtymävektor erottaa jäykän ja joustavan kappaleen srtymn. Matemaattsten operaatoden ja ortogonaalsuuden perusteella saadaan akaseks tasapanottuva vomavektor (self-equlbrated force vector). Tämän vomavektorn avulla saadaan määrtelty nertan vapautus projsontmatrs (nerta-relef projecton matrx). Tämän projsontmatrsn vahvuus on snä, että kun mkä tahansa vomavektor kerrotaan sllä, on syntyvä vomasysteem tse tasapanottuva. (22) Inertan vapautusmuodot ovat staattsen muodonmuutoksen muotoja, jotka on määrtelty lsäämällä ykskkövoma kakkn rajapntakoordnaattehn (A = B), el soveltamalla N r joukon vomavektoreden matrsa. Inertan vapautus knntysmuodot (nertarelef attachment modes) vodaan koota matrsn ψ b. Tämä matrs ssältää elastsen joustavuusmatrsn (elastc flexblty matrx). Elastsen joustavuusmatrsn sarakkeet ovat massaortogonaalsa jäykän kappaleen muodolle ψ r, jollon elastnen joustavuusmatrs ulottuu samaan alavaruuteen kun knnttämättömän rajapnnan joustavat muodot. (23, s. 541-542) Täydellnen komponentn normaalmuotojen joukko φ n ja vastaava omnasarvojoukko Λ nn saavat alavtteen n rppumatta stä, ovatko ne knntetyn rajapnnan N muotoja, kummastakn päästä vapaan N f kappaleen joustava muotoja ta jotan muta komponentn normaalmuotoja. (22) Koska malln yksnkertastamnen on yks osarakenneteknkan pääasallssta tavottesta, normaalmuotojoukko yksnkertastetaan penemmäks sälytettäven normaalmuotojen (kept normal modes) joukoks. Tätä sälytettyjen normaalmuotojen joukkoa merktään muuttujalla normaalmuotojoukkohn modes) φ, mssä φ φ φ k φ n, n φ k ja k d. Jäykän kappaleen muotoja e ssällytetä φ d. Postetut normaalmuodot (deleted normal φ d ovat kakk ne muodot, jotka ovat erkseen määrtetyn taajuusrajan yläpuolella. Joustavuusmatrsn osa, johon on ssällytetty postetut normaalmuodot φ d on
47 nmeltään jäännösjoustavuusmatrs. Jäännösjoustavuusmatrs ssältää kokonasjoustavuusmatrsn. Jäännösjoustavuusmatrs on ana sngulaarnen. Sngulaarsuus johtuu postetusta muodosta. (23, s. 545) Jäännösjoustavuuden knntysmuodot (resdual-flexblty attachment modes) vodaan määrttää vomlla, jotka vakuttavat rajapnnan koordnaattehn kun A = B. Nämä jäännösjoustavuuden knntysmuodot vodaan koota muotomatrsn ψ d. Matrs ψ d ssältää jäännösjoustavuusmatrsn sarakkeet, jotka lttyvät rajan vapausastesn. (22, s. 545) Kun ψ d ssällytetään komponentn muotojoukkoon, saadaan akaseks täydellnen estys komponentn staattsesta pokkeamasta, joka johtuu rajapnnan vapausastesn kohdstuvsta vomsta. (22). 2.3.2 Alrakenteen knntysmenetelmät Mkäl tutkttava järjestelmä koostuu useammasta alrakenteesta, tulee nämä alrakenteet knnttää tosnsa. Knntysmenetelmä on olemassa useta. Kuvassa 2.3.4 on estetty kolme tosnsa knnttyvää alrakennetta. Kuva 2.3.5. Kolme alrakennetta ja näden alrakenteden välset ltännät
48 Tässä kappaleessa estellään tarkemmn yks ylestetystä alrakenteen knntysmenetelmstä. Tätä esteltävää knntysmenetelmää sovelletaan komponentten knnttämseen sen jälkeen, kun koordnaatttransformaato komponentn ylestettyhn koordnaattehn on jo tehty. Tämä menetelmä hyödyntää Lagrangen kertoma osen välsten srtymen yhteensopvuusyhtälöden toteuttamseen. Myöhemmn esteltävä Crag- Bampton menetelmässä käytetään tätä knntysmenetelmää, kun kootaan alemman kertaluvun järjestelmän massa- ja jäykkyysmatrseja. (23, s. 549) Tässä järjestelmän kokoamsprosess käyttetään apuna ylestettyjä koordnaatteja q. Otetaan esmerkkjärjestelmäks järjestelmä, joka on jaettu kahteen komponenttn. Nällä komponentella on yhtenen rajapnta. Komponentt nmetään α ja β komponenteks. Rajapnnan fyysset srtymät on rajotettu srtymen yhteensopvuusyhtälöllä, joka on muotoa: u. (2.37) b u b Reagoven rajapntavomen yhteys on seuraavanlanen: f ˆ fˆ 0. (2.38) b b Reagovn rajapntavomn e kuulu rajapntaan kohdstuvat ulkoset vomat. (22) Rajoteyhtälö kuten 2.37 ta jokn muu rajoteyhtälö, jota on tarkotus käyttää, vodaan krjottaa ylestettyjen koordnaatten q avulla. Rajoteyhtälöt vodaan esttää matrsmuodossa: C q 0, (2.39) mssä C on rajotematrs. (22 & 23, s.554) Yhtälöt 2.30 ja 2.37 vodaan yhdstää. Tästä yhdstelmästä saadaan rajoteyhtälö: q 0. ψ b ψ b (2.40) q
49 Järjestelmän lkeyhtälön yhdstämnen perustuu Lagrangen lkeyhtälöön. Lagrangen yhtälö kahden yhdstetyn komponentn järjestelmälle on seuraava:, T Cq λ p E k E L (2.41) mssä esntyvä muuttuja k E on järjestelmän lke-energa ja p E on järjestelmän potentaalenerga. Muuttujen k E ja p E tarkemmat yhtälöt ovat seuraavat:, 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 T T T T T T q q q q q q q q q q q q K K K M M M p k E E (2.42) mssä matrst M, K sekä vektor q saavat muodon: q q q, 0 0, 0 0 K K K M M M (2.43) Koska tosnsa yhdstyneden rajavomen nettotyö kytketyssä järjestelmässä on nolla, saadaan järjestelmän vrtuaalseks työks:, ) ( T T T T T f q f q f u r f u ψ ntb W (2.44) mssä muunnettu ulkosten vomen vektor saa muodon:. f f f f f T T ψ ψ (2.45) Järjestelmän lkeyhtälöt saadaan Lagrangen yhtälön avulla. Käytettävä Lagrangen yhtälö on muotoa:,, 1,2,, N N j f p L p L dt d j j j (2.46)
50 mssä muuttuja p j vttaa j:nteen yhdstetyn srtymävektorn elementtn. Vastaavast f j vttaa vastaavaan ulkoseen vomaan. Kuten yhtälössä 2.38 vaadtaan, keskenään reaktvset rajapntavomat kumoutuvat evätkä esnny yhtälön 2.45 okealla puolella. Yhtälössä 2.46 esntyvät N N ) yhtälöt vodaan esttää matrsmuodossa seura avast: ( Mq Kq f C T λ. (2.47) Yhtälössä 2.39 estetystä rajoteyhtälöstä johtuen q koordnaatt evät ole lneaarsest rppumattoma. Käytännössä kakk alrakenteen kytkentämenetelmät ratkasevat useamman yhtälön yhdstetyn sarjan. Tähän sarjaan kuuluvat yhtälöt 2.39 ja 2.47. Tämän perusteella saatava muodon lneaarnen transformaato vodaan esttää seuraavast: q Sq, (2.48) mssä q on järjestelmän rppumattomen ylestettyjen koordnaatten vektor ja S on ltäntätransformaatomatrs. (22) Vektor q vodaan tarvttaessa järjestellä uudelleen ja jaotella ryhmän N C rppuvasks koordnaateks D q ja ryhmän ( N N NC ) lneaarsest rppumattomn koordnaattehn q I. Täten yhtälö 2.39 vodaan jaotella seuraavast: q C DD DI 0 (2.49) qi D C, mssä muotoa: C DD on e-sngulaarnen nelömatrs. Täten muuttujen S ja q määrtelmä on q q q D I C I 1 DD II C DI q I Sq. (2.50)
51 Rppumattoman järjestelmän ylestettyjen koordnaatten vektor on q q. Ltäntätransformaatomatrs S on muotoa: I C S I 1 DD II C DI (2.51) Lsätään yhtälö 2.48 yhtälöön 2.47 ja kerrotaan saatu yhtälö matrslla T S, jollon saadaan: T T M q K q f S C λ, (2.52) q q q mstä vodaan määrtellä erkseen M q, K q ja f q. Nämä ovat muotoa: T T T Mq S MS, K q S KS ja f q S f. (2.53) Tarkasteltaessa yhtälötä 2.49 ja 2.50 huomataan, että CS 0. Täten yhtälössä 2.47 estetty järjestelmän lkeyhtälö saa muodon: M q K q f (2.54) q q q. Yhtälö 2.53 määrttää matrst M q, K q ja vektorn f q matrsoperaatoden avulla. Järjestelmämatrst sekä vomavektor vodaan yleensä koota alrakenteen matrsesta, käyttämässä suoran jäykkyyden (drect stffness) kokoamsperaatetta. (22) Yhtälöt 2.39-2.54 esttävät ensmmäsen tason alrakenneteknkkaa. Pohjmmltaan samaa menetelmää vodaan kutenkn käyttää myös tlantessa, jossa rakenne on jaettu useamman er tason alrakentesn. (22) 2.4 Knntetyn rajapnnan menetelmä Ensmmäsen varteenotettavan elementtmenetelmään perustuvan osarakenneteknkan kehtt W. C. Hurty vuonna 1965. Tämä menetelmä perustuu rajotemuotohn sekä
52 knntetyn rajapnnan muotohn. R. R. Crag Jr. ja M. C. C. Bampton kehttvät Hurtyn esttelemää teknkkaa pdemmälle yksnkertastamalla stä. Tässä yksnkertastetussa menetelmässä kakka rajapnnanvapausasteta kästeltn kerralla. El rajapnnanvapausasteta e tarvtse ertellä jäykän kappaleen vapausastesn ja redundanttsn rajapnnan vapausastesn. Cragn ja Bamptonn menetelmä on laajast levnnyt menetelmä, sllä se on erttän tarkka, stä on helppo käyttää ja se hyödyntää tetokoneen laskennallsa resursseja tehokkaast ntä tuhlaamatta. (23, s. 557) 2.4.1 Knntetyn rajapnnan srtymätransformaato Crag-Bampton menetelmä hyödyntää srtymätransformaatossa knntetyn rajapnnan normaalmuotojen sekä rajapnnan rajotemuotojen yhdstelmää. Tämä yhdstelmä saa muodon: u c c u ub φ k 0 ψ I b bb c q q k b c. (2.55) Tästä vodaan erottaa Crag-Bampton transformaatomatrs (C-B Transformaton Matrx), joka on muotoa: c c φ k ψ b ψ CB, 0 (2.56) I bb mssä esntyvä muuttuja Vastaavast muuttuja φ k on knntetyn rajapnnan muotomatrsn ssäpuolnen osa. ψ b on rajotemuotomatrsn ssäpuolnen osa. (21 & 22, s. 557) Normalsodulla knntetyn rajapnnan normaalmuodolla saadaan yhtälössä 2.32 estetyt redusotu massamatrs sekä jäykkyysmatrs seuraavaan muotoon: c 0 c I kk M Λ kb c kk kb M CB, K CB. 0 (2.57) Mbk Mbb bk K bb
53 Yhtälössä 2.57 esntyvät nollat matrsn c K CB kb ja bk osssa johtuvat ortogonaalsuudesta. Järjestelmän kokoonpanoa ylestetyssä koordnaatessa, joka perustuu yhtälöhn 2.39-2.54, käytetään kun kootaan Crag-Bamptonn alemmankertaluvun kootun järjestelmän massa- ja jäykkyysmatrseja. Crag-Bamptonn teknkka estetään seuraavassa kappaleessa. (22 & 23, s. 557-558) 2.4.2 Crag-Bampton menetelmä Omnasmuotoanalyys vodaan suorttaa rajotetulle ja rajottamattomlle rakentelle. Mkäl kyseessä on rajottamaton järjestelmä, rajotevomen aheuttamen pakallsten muodonmuutosten kuvaamnen on epätarkkaa. Myös tarvttaven omnasmuotojen määrä vo nousta erttän suureks, jollon tarvttavan laskentatehon määrä kasvaa. Tämä ongelma vodaan ratkasta käyttämällä staattsa korjausmuotoja. Näden staattsten korjausmuotojen käyttö esteltn ensmmäsen kerran Crag-Bampton menetelmän yhteydessä. Crag-Bampton menetelmässä järjestelmä jaetaan ssäsn vapausastesn ja rajan vapausastesn. (10, s. 19) c b c b Yhtälön 2.55 alarv osottaa, että q u. Kahdesta komponentsta koostuvan järjestelmän rajapnnan yhteensopvuusyhtälöstä ylestettyjen koordnaatten suhteen saa q u perusteella muodon: c b c b q q u (2.58) b b b. Yhtälön 2.58 perusteella yhtälö 2.48 vodaan krjottaa seuraavassa muodossa: q q q q k b k b I 0 0 0 0 0 I 0 0 q I q 0 u I k k b (2.59) Komponentn ltäntämatrs S on suora jäykkyys kokoonpanomatrs (drect-stffness assembly matrx). Kahden komponentn järjestelmässä komponentn massa- ja jäyk-
54 kyysmatrst, jotka on estetty yhtälössä 2.57, kootaan uudelleen. Täten saadaan järjestelmän alemmankertaluvun massa- ja jäykkyysmatrst, jotka saavat muodot: M K CB CB I k 0k M k k bk Λ k k 0k k 0bk 0 I 0 Λ k k k k bk M k k k k bk 0 M K M M bb 0 kb k b M kb 0kb bb K bb bb, (2.60) mssä, M CB on järjestelmän alemmankertaluvun massamatrs ja K CB on järjestelmän alemmankertaluvun jäykkyysmatrs. (22) Yhteenvetona vodaan todeta, että osarakenneteknkan mallt, jossa käytetään knntetyn rajapnnan muotoja sekä rajapnnan rajotemuotoja, ovat pohjmmltaan alemmankertaluvun superelementtejä. Kakk fyysset rajotekoordnaatt on sälytetty yhtälössä 2.48 rppumattomna ylestettynä koordnaattena. Tämä helpottaa komponentten yhteen lttämstä. Tätä menetelmää käytetään monessa kaupallsessa elementtmenetelmäohjelmstossa. Sytä tämän menetelmän laajaan levämseen on useta. Menetelmän vahvuuksa ovat anakn yksnkertanen ja suoravvanen komponentten muotojen muodostus sekä suoravvanen tapa selvttää, mtkä komponentt valtaan ja yhdstetään keskenään komponenttmuotojärjestelmän kokoamseks. Lsäks uusen muotokoordnaatten lsäämnen on helppoa. Tällä menetelmällä saadaan myös tarkkoja malleja suhteellsen vähllä komponenttmuodolla. Crag-Bamptom menetelmässä on myös hekkouksa. Yks nästä hekkoukssta on se, että järjestelmän knntetynrajapnnan muotohn ja rajotemuotohn lttyvä almatrseja (submatrces) on vakea verfoda kokeellsest. Lsäks Crag-Bamptonn alemmankertaluvun järjestelmämallssa kakk rajotekoordnaatt sälytetään. Kaksulottesssa (esm. laatta ta kuor) rakentessa ja ertysest kolmulottessta soldessa rajapntojen vapausasteden määrä tulee helpost erttän suureks. (22 & 23, s. 558-559)
55 Tässä työssä käytetään knntetyn rajapnnan menetelmää, joten knnttymättömän rajapnnan menetelmä rajataan tämän työn ulkopuolelle. Knnttymättömän rajapnnan menetelmää vodaan kutenkn myös käyttää, kun sovelletaan osarakenneteknkkaa joustavsta kappalesta koostuven monkappalejärjestelmen analysontn.
56 3 TUTKITTAVA RAKENNE Tässä kappaleessa estellään tutkttavan syötnosan smulaatomalln muodostamsen vaheet. Lsäks käydään läp, kunka osarakenneteknkkaa hyödynnetään käytettävssä smulontohjelmstossa. Muta läpkäytävä kohta ovat käytettävän ratkasjan esttely sekä lyhyet perustelut slle, mks on päädytty tettyyn elementtverkkoon sekä omnasmuotojen määrään syötnosaa smulotaessa. 3.1 Tutkttavan rakenteen esttely Tässä työssä tutkttava syötnosa on estetty kuvassa 3.1.2. Syötnosa koostuu rungosta, jonka tarkotuksena on lttää syötnosa srrettävään murskausykskköön. Runkoon knnttyvät ladat sekä syötnpöytä. Latojen tarkotuksena on ohjata murskattava maaanes syötnpöydälle. Syötnpöytä on knntetty syötnosan runkoon jouslla, jotka mahdollstavat syöttmen lkkeen, joka srtää maa-anesta murskamelle sekä seulontaan. Syötnpöydän lke saadaan akaseks syötnpöytään ltetyllä tärypalklla. Tärypalkkn on ltetty konekko, jonka ssällä kaks epätasapanon varustettua aksela srtävät tärytyslkkeen tärypalkkn ja stä kautta syötnpöytään. Tärytyslke saadaan akaseks konekon akselehn knntetyllä epätasapanolla. Nätä epätasapanolevyjä on neljä kappaletta ja ne sjatsevat akseleden pässä. Kun vomansrtoaksela pyörtetään tetyllä muuttuvalla pyörmsnopeudella, srtyy tämä pyörmsnopeus samansuurusena mutta vastakkassuuntasena toseen akseln. Lopputuloksena syntyy syötnpöydän maaanesta srtävä värähtelylke.
57 Kuva 3.1.1. Murskausykskön syötnosan kokoonpano Taulukossa 3.1.1 on estelty syötnosan kappaleden välset nvelet. Taulukossa mantaan ensn syöttmen osat, jotka lttyvät tosnsa ja sen jälkeen ltoksessa käytetty nvel. Taulukko 3.1.1: Syötnosan kappaleden ltokset ja nveltyypt 1. Kappale 2. Kappale Nveltyypp Runko Alusta (Maa) Jouset Syötnpöytä Runko Jouset Ladat Runko Jäykkältos Tärypalkk Syötnpöytä Jäykkältos Konekko Tärypalkk Jäykkältos Akselt Konekko Kertonvel Ulkosna vomna syötnykskköön vakuttaa gravtaato. Syötnykskön ollessa lepotlassa, shen vakuttaa anoastaan sen oma massa. Tutkttava kuormtustlanne saadaan akaseks, kun akselehn lsätään tutkttavasta järjestelmästä mtattu pyörmsnopeus. Käytetty pyörmsnopeus on estetty kuvassa 3.1.2.
58 Kuva 3.1.2. Syötnosan käyttöakseln kulmanopeushstora 16,045 sekunnn ohjaussgnaallla Kuvan 3.1.2 pyörmsnopeus on nterpolotu mtatusta arvosta, jotta se saatasn tommaan smulontohjelmstossa. Interpolont suortetaan MATLAB-ohjelmstolla, jossa mtattu pyörmsnopeusdata nterpolodaan MATLAB-ohjelmston lneaarsella nterpolontalgortmlla sten, että sen näytteenottopsteden välks valtaan 0,005 sekunta. Valttu aka-askel on penn aka-askel, jolla sekä ADAMS että ANSYS-ohjelmstolla suortettu dynaamnen analyys konvergotuu jokasella aka-askeleella. Syötnosan smulonnssa ptää käyttää pentä aka-askelta, jotta pyörmsnopeusdatan nopeat vahtelut srtyvät myös smulaatomalln. Lyhyt aka-askel parantaa lsäks tulosten tarkkuutta, mkäl tutktaan joustava kappaleta ssältävä monkappalejärjestelmä. 3.2 Käytettävät ohjelmstot Syötnosa mallnnetaan MSC Software yhtön tuottamalla ADAMS-ohjelmstolla sekä ANSYS yhtön tuottamalla ANSYS-ohjelmstolla. Joustava runko on kummassakn tapauksessa mallnnettu ANSYS-ohjelmstolla käyttäen apuna osarakenneteknkkaa. Tätä työtä tehdessä ANSYS-ohjelmstolla luotu mall mallnnetaan ANSYS Workbench ohjelmalla. ANSYS Workbench on graafnen käyttölttymä joka kuuluu ANSYS tuoteperheeseen. Tässä työssä käytetään ANSYS Workbench-ohjelmston versota 14.0.1. Vastaavast työssä käytettävä ADAMS Vew-ohjelmsto on ADAMS-ohjelmston graafnen käyttölttymä. Tässä työssä käytössä on ADAMS Vew-ohjelmston verso R3 2011.
59 ANSYS Workbench-ohjelmsto e tostaseks tue suoraan osarakenneanalyysa. Tämä tarkottaa stä, että osarakenneanalyys tulee krjottaa ANSYS-ohjelmston omalla ohjelmontkelellä makroks, joka lsätään ANSYS Workbench-ohjelmalla luotuun malln smulonnn yhteydessä. Makro ssältää osarakenneanalyysn vaheet, el luomsvaheen, käyttövaheen ja laajennusvaheen. Makron tomntaa testataan ANSYS ohjelmston verson 14.0.1 Mechancal APDL-käyttölttymän avulla. Syy ANSYS Mechancal APDL:n käyttöön on se, että tukee suoraan osarakenneteknkkaa ja snä on helppo sekä nopea testata krjotetun makron tomvuutta. Syy shen, mks ANSYS smulonta e tehdä ANSYS Workbench-ohjelmston sjasta kokonaan ANSYS Mechancal APDL-ohjelmstolla on se, ette ANSYS Mechancals APDL-ohjelmsto ole ertysen alotteljaystävällnen ohjelmsto käyttää ja varsnkn monmutkasten systeemen mallntamnen on käytännöllsempää ANSYS Workbenchohjelmston avulla. 3.3 Dynaamsessa analyysssa käytetty ratkasja Tässä työssä käytetään ratkasjana HHT algortmn perustuvaa ratkasjaa. Tämä ratkasja löytyy kummastakn tässä työssä käytettävästä smulontohjelmstosta. HHTratkasja on saanut nmensä sen kehttäjen Hans M. Hlbertn, Thomas J. R. Hughesn ja Robert L. Taylorn mukaan. HHT algortm on ehdotta vakaa algortm. Ehdotta vakaa algortm eroaa ehdollsesta vakasta algortmesta sten, että ehdollsest vakaat algortmt vaatvat tomakseen aka-askeleen, joka on kooltaan kääntäen verrannollnen dskreetn järjestelmän suurmman taajuuden kanssa. Käytännössä tämä aheuttaa suurta epätarkkuutta alhasten omnasmuotojen kohdalla, kun ne saavutetaan erttän suurlla aka-askellla verrattuna korkeden muotojen lmenemsakaan. Ehdotta vakaassa algortmssa aka-askeleen suuruus vodaan valta stablus näkökohdsta rppumatta. Tämän ansosta saavutetaan huomattavaa säästöä laskenta-ajossa. (19, 24 & 25) Kun melenknnon kohtena ovat matalan taajuuden muodot, on yleensä käytännöllstä, jos käytettävä algortm pystyy vamentamaan mahdollsest vrhettä aheuttavat väärät korkeamman taajuuden muodot. HHT algortmperhe lttyy tomnnaltaan Newmarkn menetelmäperheeseen. Newmarkn menetelmät ssältävät edellä mantun vamennuk-
60 sen. Vamennuksen parametren arvot on määrtelty sten että 0, 5 ja 2 0,5 / 4. Newmarkn menetelmät sallvat sen, että mahdollsta hajontaa vodaan hallta parametrella aka-askeleen sjaan. (24) Newmark-ratkasjossa salltaan hajonnan määrän jatkuva säätämnen määrätyllä parametrlla. Erona monn muhn ratkasjohn on se, että normaalst hajontaa vodaan säätää jatkuvast van aka-askeleella. Tässä tapauksessa on ss käytössä parametr, joka e ole aka-askel. Newmark-ratkasjossa on kaks säätyvää parametra, kuten edellä mantaan. HHT algortmperheessä nätä parametreja on van yks, jonka avulla säädetään parametreja ja. (24) Vamentamattoman järjestelmän lkeyhtälön matrsmuoto on Mu Ku F, (3.1) mssä M on massamatrs, K on jäykkyysmatrs ja F on ulkosten vomen vektor. Vektor u on srtymävektor ja u on srtymävektorn tonen akadervaatta el khtyvyysvektor. Yhtälön 3.1 alkuarvo-ongelmassa etstään ratkasua funktolle u u(t), mssä t 0,, 0 sten että yhtälön 3.2 ehdot täyttyvät: u(0) d u (0) v. (3.2) Yhtälössä 3.2 vektor d kuvaa pakkaa ja vektor v nopeutta. Tässä tapauksessa on knnostuttu yhtälön 3.1 lkmääräsratkasusta yksvahesella dfferenssmenetelmällä (one-step dfference method). HHT algortmryhmä vodaan esttää seuraavast: Ma 1 Kd Kd F 1, n0,1,, N 1, n1 n1 n n (3.3) mssä
61 d v n1 n1 d v n n tv t n t 2 1 a 2 1 a a, n 0,1,, N 1, n n1 n a n1 (3.4) mssä alkuarvot ovat: d v a 0 0 0 d v 1 M ( F Kd 0 ), 0 (3.5) mssä N on aka-askelten määrä, jollon t / N. Vektort d n, v n ja a n ovat vektoren u t ), u t ) ja u t ) approksmaatota, mssä nt ja F F t ). Muuttujat ( n ( n ( n, ja ovat vapata parametreja, jotka ohjaavat algortmn vakautta sekä numeersta hajontaa. Mkäl 0, sllon HHT algortm muuntuu takasn Newmark -ryhmän algortmks. Snä tapauksessa, mkäl 1/ 2 e algortmlla ole numeersta hajontaa. Mkäl 1/ 2, sllon numeersta hajontaa esntyy. Kun ehto 2 täyttyy, on kysenen algortm ehdotta vakaa. (24) t n n ( n ( 1/ 4) 1/ 2 HHT-ratkasjan muuttujen määrttelyssä on eroja ohjelmstojen välllä. ADAMSohjelmstossa HHT menetelmän muuttuja vo saada arvoja välllä 0,3 0. Vastaavast ANSYS-ohjelmstossa muuttuja vo saada arvoja välllä 0 0, 3. HHT menetelmässä muuttujalla kuvataan ratkasjan vamennusta, josta johtuen ADAMS-ohjelmstossa penn mahdollnen vamennus on -0,3. ADAMS-ohjelmstossa muuttujalle vodaan antaa arvo -0,3, koska muuttujan tarkka alaraja on penemp kun -0,3. ADAMS-ohjelmstossa raja on asetettu ohjelmstollsest arvoon -0,3. AN- SYS-ohjelmstossa penn mahdollnen vamennus lähestyy arvoa 0. HHT menetelmässä muuttujan arvon avulla määrtetään arvo muuttujlle sekä seuraavast: 2 (1 ) 1 2. (3.6) 4 2
62 Vastaavast ANSYS-ohjelmstossa muuttujat ja on määrtelty juur pänvaston kun yhtälössä 3.6. El ANSYS-ohjelmstossa muuttuja ADAMS-ohjelmstossa ja pänvaston. (19 & 25) määrtellään kuten muuttuja HHT-ratkasjalla on tettyjä vahvuuksa. Vahvuuksna vodaan manta se, että HHTratkasjalla käytettäessä syntyy vähemmän Jacobn evaluonteja. HHT-ratkasja tom kun alpäästösuodatn, koska se lekkaa pos korkean taajuuden vrhevärähtelyt samalla kun sälyttää matalen taajuuksen värähtelyt. HHT-ratkasjaa käytettäessä vodaan rajataajuutta säätää muuttamalla muuttujan arvoa. Mtä penemp muuttujan arvo on, stä matalamp on rajataajuuskynnys. HHT-ratkasja myös vakaa käytettäessä pentä aka-askelta. (25) HHT -ratkasjalla on myös hekkouksa. Khtyvyyksn sekä reaktovomajakaumn syntyy pkkejä, johtuen alemmasta kertaluvusta. Moneen muuhun ratkasjaan verrattuna numeernen vamennus on alhasemp käytettäessä HHT -ratkasjaa. (25) Syötnosan smulonnssa on käytetty taulukon 3.3.1 mukasa HHT -ratkasjan arvoja. Taulukko 3.3.1: Syötnosan smulonnssa käytetyn ratkasjan parametrt Parametr ADAMS ANSYS Smulontaka 16,045 s 16,045 s Aka-askel 0,005 s 0,005 s Ratkasja HHT HHT Alpha (α) -0,3 0,01 Käytetty smulonnn aka-askel määräytyy syötnosan konekon käyttöakseln pyörmsnopeushstorakuvaajan nterpolonnssa käytetyn aka-askeleen perusteella. Pyörmsnopeus annetaan ANSYS-ohjelmstolla luotuun malln taulukkoarvona, jollon smulonnn aka-askeleen ptää olla sama kun taulukossa oleva aka-askel. Mkäl akaaskel on er, syötnosan dynaamsen analyysn tulokset evät konvergodu ja ekä smulont nän ollen onnstu. Mkäl smulonnssa käytetään muuttuvaa aka-askelta, tuloksn tulee epätarkkuutta, joka johtuu aka-askeleen mukana muuttuvasta akselen pyör-
63 msnopeudesta. Tästä syystä syötnosan smulonnssa käytetään muuttumatonta akaaskelta. 3.4 Osarakenneteknkan tomntaperaatteet ANSYS-ohjelmstossa Osarakenneteknkka ssältää kolme vahetta. Ensmmäsenä vaheena on luontvahe (Generaton Pass), jossa valtaan sen kappaleen elementt, josta halutaan luoda osarakenneteknkassa käytettävä alrakenne. Valtut elementt tvstetään ja nstä muodostetaan superelementt. Seuraava vahe on käyttövahe (Use Pass), jossa luontvaheessa luotu superelementt otetaan käyttöön. Tosn sanoen käyttövaheessa superelementtä käytetään järjestelmän analyysssa. Vmesenä vaheena on vuorossa laajennusvahe (Expanson Pass). Laajennusvaheessa käyttövaheen tulokset laajennetaan kattamaan kakk alkuperäset elementt. El nän vodaan ratkasta kakken alkuperästen elementten srtymät, vomat, venymät sekä jänntykset. (19) Luontvaheessa määrtellään päävapausasteet (Master Degrees of Freedom). Nämä päävapausasteet ovat vapausasteta, jota superelementt käyttää lttyessään tosn järjestelmän kappalesn ta nveln. Päävapausasteet määrtellään lähes pokkeuksetta solmun vapausastella, joten vodaan käyttää myös termä pääsolmu (Master Node). Rungon ollessa kertymätön pääsolmut sjatsevat pstessä, jossa superelementt lttyy toseen kappaleeseen. Yleensä ltoksna käytetään pultteja ta muta knnttmä, jollon pääsolmu sjatsee näden lttmen keskellä. Kertyvssä kappalessa superelementt on jäykstetty palkkelementellä. Palkkelementellä on deaaltlanteessa kaks pääsolmua, mutta solmuja vo olla myös enemmän. Superelementn kertymä lasketaan kakken pääsolmujen kertymän keskarvona. Kaklla kertyvän kappaleen pääsolmulla on oltava kuus aktvsta rakenteellsta vapausastetta. Nämä vapausasteet ovat; srtymät koordnaatstoakselen suuntaan sekä kertymät akselen ympär. Kutenkn, mkäl pääsolmulla e suoraan ole kuutta vapausastetta, vodaan kuuden vapausasteen solmu luoda pääsolmun kohdalle. Tämä luotu solmu sdotaan sen jälkeen kappaleeseen. Stomnen vodaan suorttaa kahdella er teknkalla. MPC (Multpont Constrant) tom rajoteyhtälönä. MPC:ssa luodaan plottsolmu ja ltetään se vahvstettavan alueen päälle nvottuhn kontaktelementtehn. Palkkelementellä vodaan vastaavast luoda ns. hämähäknverkko, jossa jäykkä palkkelementtejä ltetään päällekkän sten, että ne ltty-
64 vät tosesta päästään pääsolmuun ja tosesta päästään ympärövn solmuhn. Hämähäknverkossa käytettävllä palkkelementellä tulee olla suur jäykkyys, ja nden tulee olla massattoma. Kun tätä edellä estetyllä menetelmllä vahvstettua solmua kerretään, koko runko kertyy mukana. (19 & 26) Kuvassa 3.4.1 on estetty MPC menetelmä sekä palkkmenetelmä. Kuva 3.4.1. Pääsolmun stomsteknkat kertyvässä kappaleessa Luontvaheessa kootaan tutkttava mall. Kappaleessa 2.3 estetään osarakenneteknkan ylestä tomntaa. Seuraavaks estetään, kunka ANSYS-ohjelmsto hyödyntää nätä akasemmn estettyjä osarakenneteknkan yhtälötä. Vamentamattoman järjestelmän lkeyhtälö matrsmuodossa on estetty akasemmn yhtälössä 3.1. Lkeyhtälön 3.1 osat erotetaan ltäntöhn sekä ssäsn vapausastesn, jollon saadaan: u m M mm M ms K mm K ms u, M, K. (3.7) us M sm M ss K sm K ss Yhtälössä 3.7 alandeks m tarkottaa päävapausasteta, jotka on määrtelty anoastaan ltäntäsolmulla ja alandeks s tarkottaa kakka ntä vapausasteta, jotka evät kuulu päävapausastesn. Srtymävektor u vodaan esttää komponenttmuodossa ylestetyssä koordnaatessa. Srtymävektor u koostuu komponentesta u m u m u A. (3.8) us y
65 Yhtälössä 3.8 A on transformaatomatrs el kertomatrs, joka mahdollstaa myös skaalaamsen ja y on katkastu ylestettyjen muotokoordnaatten ryhmä. Transformaatomatrs vodaan määrttää kolmella er menetelmällä. (19) Knntetyn rajapnnan menetelmässä (Fxed-Interface Method) transformaatomatrs saa muodon I 0 A. (3.9) G sm φ Yhtälössä 3.9 G 1 sm K ss K sm ovat redundanttset staattset rajotemuodot, knntetyn rajapnnan normaalmuodot ja I on ykskkömatrs. (19) φ ovat Knnttämättömän rajapnnan menetelmässä (Free-Interface Method) transformaatomatrs saa muodon I 0 0 A. ˆ (3.10) G sm φ sr φ s Yhtälössä 3.10 esntyvä matrs nerta relef modes). Matrsn φ φ G φ φ sr on nertan vapautusmuotojen matrs (matrx of ˆ s s sm m määrtelmässä matrs m φ ptää ssällään knnttämättömän rajapnnan normaalmuotojen päävapausasteet. Vastaavast φ s matrs ptää ssällään knnttämättömän rajapnnan normaalmuotojen alvapausasteet el ns. orjavapausasteet. (19) Jäännösjoustavuuden knnttämättömän rajapnnan menetelmässä (Resdual Flexblty Free Interface Method RFFB) transformaatomatrs saa muodon I 0 A, 1, ˆ (3.11) R sm R mm φ s
66 mssä R sm, R mm ovat jäännösvektoren almatrseja. Matrs s φˆ on määrtelty akasemmn, mutta tässä redundanttset staattset rajotemuodot korvataan jäännösvektoren almatrsella, jollon määrtelmä saa muodon φ R R φ. (3.12) 1 φˆ s s sm mm m Ltetään yhtälöstä 3.8 saatu transformaato yhtälö lkeyhtälöden matrsmuotoon (yhtälössä 3.1) saadaan lkeyhtälö redusodussa tlassa (reduced space). Osarakenneteknkan alrakenteen jäykkyys- ja massamatrs ovat muotoa: M ˆ A 1 MA ja ˆ T K A KA. (3.13) Redusodussa järjestelmässä päävapausastella kytketään osarakenneteknkan superelementt tosnsa ja/ta järjestelmän muhn elementtehn. (19) Tässä työssä käytetään knntetyn rajapnnan menetelmää. Syötnosan rungon osarakenneanalyysssa vodaan käyttää myös knnttämättömän rajapnnan menetelmää ja jäännösjoustavuuden knnttämättömän rajapnnan menetelmää. Kuten jo akasemmn on manttu, käyttövaheessa otetaan käyttöön luontvaheessa luodut superelementt ja ltetään ne osaks malla. Superelementt vodaan lttää joko tosnsa ta malln normaalehn elementtehn. Käyttövaheen ratkasu ssältää anoastaan superelementn redundanttsen ratkasun el ss päävapausasteen vapausasteratkasun sekä täyden ratkasun mulle e-superelementelle. Laajennusvaheessa alotetaan redusodusta ratkasusta ja ratkastaan kakk superelementn vapausasteet. Jos käyttövaheessa on useta superelementtejä käytössä, täytyy jokaselle superelementlle suorttaa oma laajennusvaheensa. (19) 3.5 Tutkttavan rakenteen mallntamnen osarakenneteknkalla Seuraavaks käydään läp tarkemmn, mten osarakenneteknkkaa vodaan hyödyntää ANSYS-ohjelmstolla luodussa mallssa. Ensmmäseks luodaan tutkttava mall alra-
67 kenneteknkka varten. Eräs lähestymstapa on mallntaa tutkttava järjestelmä sten, että se koostuu aluks pelkstä jäykstä kappalesta. Tällä jäykällä malllla vodaan varmstua stä, että mall tom oken. Malln vodaan jo tässä vaheessa lsätä kakk snä olevat nvelet sekä shen vakuttavat vomat. Tämän malln jäykät osat vodaan muuttaa joustavks, jollon nhn vodaan soveltaa osarakenneteknkkaa. Kun malln tomnta on testattu jäykllä oslla mallnnetulla järjestelmällä, vodaan valta joustavna mallnnettavat järjestelmän osat. Tässä työssä anut joustavana tarkasteltava osa on syötnosan runko. Joustavan rungon mallntamnen alkaa alrakenteen luomsella el luontvaheella. Tässä vaheessa valtaan myös alrakenteessa käytettäven omnasmuotojen määrä. Muotojen määrän valntaan vakuttaa mon er tekjä, kuten järjestelmän ajotaajuus, herätetaajuudet, tutkmuskohde el mstä tulokssta on knnostuttu ja onko tutkttavassa tapauksessa kontakttlanne (kontaktt herättävät tavallsest korketa taajuuksa). Tässä tapauksessa pääasallnen tutkmuskohde ovat syötnosan ajonakaset jänntykset. Syötnosaa ajetaan tyhjänä, jollon shen e synny myöskään kontakttlanteta. Kuten jo akasemmn osarakenneteknkan teoran yhteydessä on estetty, e ole olemassa varsnasta ylespätevää sääntöä slle, kunka monta omnasmuotoa tutkttavasta rakenteesta tuls ratkasta. Omnasmuotojen määrä rppuu tutkttavasta rakenteesta ja kuormtustlanteesta. (19) Kuvassa 3.4.1 on estetty kuvaaja, jossa on vertaltu joustavana mallnnetun tasohelurn ekvvalentta von Msses jänntystä er omnasmuotojen määrällä. Vertalukohtana on ollut elementtmenetelmällä ratkastu transenttanalyys täydestä tasohelurn mallsta. Tämä helur on mallnnettu ennen syötnosan smulaatomalln luomsta. Tasohelurn mallsta saadaan ANSYS-ohjelmston makrot, jolla tasohelurn osarakenneanalyys suortetaan. Nämä makrot tomvat hyvänä perustana syötnosan rungon osarakenneanalyysn makrojen krjottamselle. Lsäks tasohelurlla vodaan tutka, paljonko omnasmuotoja tarvtaan, että päästään samaan jänntystulokseen täyden elementtmenetelmän malln kanssa. Syötnosan geometra on monmutkanen, joten slle e voda suorttaa täyttä elementtmenetelmän analyysä.
68 Kuva 3.5.1. Ekvvalentt Von Msses jänntys tasohelurn massakeskpsteessä, kun laskettujen omnasmuotojen määrää varodaan Kuvasta 3.5.1 huomataan, että sopva määrä muotoja on 40-50 muodon välllä. Tetenkn muotojen määrään vakuttaa myös muut tekjät. Kuten osarakenneteknkan teoran yhteydessä on todettu, muotojen valnta perustuu testaukseen. Testauksella vodaan tarkottaa esmerkks juur kuvan 3.5.1 mukasta tlannetta, jossa on ensn ratkastu jokn tulos tetyllä menetelmällä. Syötnosan rungon omnasmuotojen määräks valtaan testauksen perusteella 40 muotoa, koska tällä määrällä smulontn kuluva aka sekä tarvttava koneteho pysyvät sedettävnä. Tällä omnasmuotojen määrällä päästään myös lähelle tutkttavasta rakenteesta mtattuja arvoja. Syötnosaa tutkttaessa päädytään knteän rajapnnan menetelmään, koska usemmssa tapauksssa ja varsnkn kertyven kappaleden kohdalla knteän rajapnnan menetelmä on rttävä. Kutenkn, mkäl tutkmuskohteena on tlanne, jossa korkeat taajuudet ovat knnostava, tarjoaa jäännösjoustavuuden vapaan rajapnnan menetelmä usen tarkempa ratkasuja. On syytä huomata, että kertymättömen kappaleden muhn vapausastesn pats päävapausastesn vodaan lsätä rajotteta luontvaheessa. Kertymättömen kappaleden tlanteessa rajotteden lsäämnen päävapausasteeseen aheuttaa konvergotumsongelman. Vastaavast kertyvlle kappalelle e saa lsätä rajotteta luontvaheessa, koska superelementllä tulee olla kuus jäykän kappaleen vapausastetta. Rajotteet vodaan kutenkn lsätä sen pääelementtn käyttövaheessa. (19)
69 Kun tutkttavaan malln lsätään rastuksa, tulee olla tetonen stä, että oletuksena vomat kertyvät kertyvän alrakenteen mukana. Tämä pätee lähes kakkn rastustyyppehn. Käyttövaheessa vodaan määrttää, ette vomavektor kerry alrakenteen mukana, mkäl se on tarpeellsta. Gravtaaton ja muden khtyvyysvomen lsäämnen rppuu stä, onko kyseessä kertyvä kappale va e. Kertyvälle kappaleelle vomat lsätään käyttövaheessa. Kertymättömälle kappaleelle vomat vodaan lsätä luontvaheessa ja ne otetaan käyttöön käyttövaheessa. Mkäl vomat lsätään luontvaheessa, tulee varmstua stä, ette vomaa määrtellä uudestaan käyttövaheessa. Tämä vrhe johtaa kaksnkertasn vomn. Ykskkövoma vodaan lsätä luontvaheessa. Ykskkövoma vodaan helpost skaalata käyttövaheessa ja hyödyntää taulukkovoma, jollon vodaan lsätä monmutkasakn voma-aka-hstorota yhteen aka-askeleeseen. Syötnykskön mallnnuksessa vomat lsätään käyttövaheessa, koska runko on kertyvä kappale. Lsättävät vomat ovat gravtaato sekä akseleden pyörmsnopeudet. (19) Taulukossa 3.5.1 on estetty, mten luontvahe etenee. Tätä taulukkoa ennen on luotu akasemmn manttu jäykstä kappalesta koottu mall. Syötnosan runko on muutettu joustavaks ja slle on koottu elementtverkko. Luontvaheessa valtaan syötnosan rungon elementt sekä kontaktelementt, joden kohdalta runko lttyy muhn syötnosan kappalesn. Nästä elementestä luodaan elementtjoukko, johon kuuluu ne elementt, josta joustavana mallnnettava rakenne koostuu. On syytä huomata, ette mahdollsa nvelten elementtejä saa valta näden elementten joukkoon, mkäl nllä e ole kuutta vapausastetta (esmerkks translaatonvelellä on van yks vapausaste). Tutkttavan joustavan komponentn elementten lsäks tässä vaheessa valtaan päävapausasteet el pääsolmut. Pääsolmut on syötnosan rungon tapauksessa valttu nhn pstesn, josta runko lttyy syötnosan muhn kappalesn. Kuvassa 3.5.2 on estetty syötnosan rungon pääsolmujen sjannt.
70 Kuva 3.5.2. Syötnosan rungon pääsolmujen sekä nvelpsteden sjannt Taulukko 3.5.1: Luontvaheen (Generaton Pass) etenemnen ANSYS-ohjelmstossa Askel ANSYS komento 1.1 /clear 1.2 resume 1.3 /flname 1.4 /solu antype,substr 1.5 seopt,sename,2 cmsopt,fx,nmode 1.6 cmsel,s,elem cmsel,s,node m,all,all nsle 1.7 save 1.8 solve Taulukossa 3.5.1 ensmmäseks tyhjennetään tarkasteltava tetokanta, jotta päästään alottamaan luontvahe. Tetokannan tyhjennys toteutetaan van snä tapauksessa, mkäl luontvahe suortetaan het malln luomsen jälkeen. Luodulla malllla tarkotetaan tässä työssä ANSYS Workbench-ohjelmstolla luotua malla, jossa kakk osat ja nden välset nvelet on sjotettu okelle pakolleen. Runko on verkotettu halutulla elementtverkolla ja asetettu joustavaks kappaleeks. Ulkoset vomat on myös lsätty tässä vaheessa malln (gravtaato ja akseleden pyörmsnopeudet). Seuraavaks valtaan luo-
71 msvaheelle työnm ja jatketaan tämän jälkeen täyttä malla sekä valtaan tehtävän analyysn tyypp, joka on alrakenneanalyys. Seuraavaks määrtellään alrakenteen asetukset el valtaan alrakenteelle nm sekä määrtellään massa ja jäykkyys. Tässä yhteydessä estellään myös osarakenneanalyysssa käytettävät asetukset. El käytetäänkö knntetyn rajapnnan teknkkaa va knnttämättömän rajapnnan teknkkaa. Näden asetusten jälkeen valtaan tutkttavan alrakenteen elementt sekä pääsolmut. Rakenteeseen vakuttavat kuormtukset vodaan lsätä myös tässä vaheessa, mkäl se on tarpeellsta. Lopuks mall tallennetaan ja analyys ratkastaan. (19) Luomsvaheen jälkeen srrytään käyttövaheeseen. Käyttövaheen etenemnen pääprtettään on estetty taulukossa 3.5.2. Taulukko 3.5.2: Käyttövaheen (Use Pass) etenemnen ANSYS-ohjelmstossa Askel ANSYS komento 2.1 /clear 2.2 /flname 2.3 resume 2.4 /prep7 cmsel,u,ename et,type,matrx50 keyopt,type,3,1 keyopt,type,4,1 type,type se,sename Taulukossa 3.5.2 estelty käyttövahe alotetaan samon kun edellnen luontvahe el tetokannan tyhjentämsellä, mkäl käyttövahe suortetaan het luontvaheen jälkeen. Tämän jälkeen määrtellään luontvaheelle työnm ja jatketaan täyttä malla. Seuraavaks srrytään käyttövaheen pääasallseen tehtävään el korvataan joustavat kappaleet matrslla. Ensmmäseks varmstutaan stä, ettevät joustavat kappaleet ole valttuna. Tässä tapauksessa anoa joustava kappale on syötnosan runko. Seuraavaks määrtellään alrakenteen elementttyypp. Tässä vaheessa tulee varmstua stä, että käytettävä elementn tyyppnumero on vapaa. Mkäl luontvaheessa on lsätty kuormtuksa, joden e haluta kertyvän alrakenteen mukana, tulee valta okea asetus. Kertymättömlle alrakentelle, jolle rajotteet on lsätty luontvaheessa, valtaan vastaavast okea ase-
72 tus. Nämä valnnat ovat tosensa possulkeva. Vmesenä kohtana käyttövaheessa määrtellään alrakenne. (19) Seuraavaks suortetaan monkappaleanalyys. Analyys ptää ssällään dynaamsen analyysn asetusten valnnan. Dynaamsen analyysn asetuksssa valtaan käytettävä ratkasja sekä sen asetukset. Monkappaleanalyys ptää ssällään myös reunaehtojen määrttämsen. Lopuks määrtellään smulaaton kesto sekä aka-askeleet. (19) Osarakenneanalyys jatkuu seuraavaks monkappaleanalyysn jälkesellä laajennusvaheella. Laajennusvaheen etenemnen on estetty taulukossa 3.5.3. Taulukko 3.5.3: Laajennusvaheen (Expanson Pass) etenemnen ANSYS-ohjelmstossa Askel ANSYS komento 3.1 /clear 3.2 /flname 3.3 resume 3.4 /solu expass,on 3.5 seexp,sename,usefl 3.6 numexp,all,,,elcalc solve Laajennusvahe alotetaan samon kun edellsetkn vaheet. Ratkasjaks määrtellään laajennusvaheen ratkasja. Tämän jälkeen määrtellään laajennettava alrakenne, kertomalla ohjelmalle tutkttavan alrakenteen nm sekä käyttövaheen työnm. Vmeseks määrtellään ratkasut, jotka halutaan laajentaa ja ratkastaan laajennusvahe. (19) Näden vaheden suorttamsen jälkeen yhdstetään kakk tulostedostot, jotta saadaan akaseks koko malln tulostedosto. Tämän vaheen jälkeen malllle vodaan suorttaa jälkkästtely. (17) Yhdstetyn tulostedoston luont on estelty taulukossa 3.5.4.
73 Taulukko 3.5.4: Yhdstetyn tulostedoston luonnn etenemnen, kun käytetään ANSYSohjelmstoa Askel ANSYS komento 4.1 /clear 4.2 /flname 4.3 resume 4.4 /delete 4.5 /post1 *do,j,1,nsubsteps fle,use set,1,j fle,body append,1,j reswrte,fname *enddo Taulukossa 3.5.4 estetty yhdstetyn tulostedoston luont alotetaan samon, kun akasempen vaheden. Yhdstetyn tulostedoston luont alotetaan postamalla mahdollnen olemassa oleva yhdstetty tulostedosto. Mkäl posto e onnstu, ANSYS-ohjelmsto lttää uudet tulokset edellsen tulostedoston jatkoks. Tämän jälkeen alotetaan tulosten yhdstämnen. Tässä tapauksessa yhdstetään jokasen aka-askeleen tulokset. Tulosten läpkäynt onnstuu slmukkarakenteen avulla. Yhdstettyyn tulostedostoon ssältyy käyttövaheen tulokset sekä laajennetut alrakenteen tulokset. Jos alrakenteta on useta, alrakenteen tulokset tostetaan kaklle alrakentelle. Vmesenä vaheena krjotetaan yhdstetyt tulokset ja srrytään seuraavaan aka-askeleeseen. (19) Akasemmn estetyn kuvan 3.5.1 perusteella käytettäven omnasmuotojen määräks valtaan 40 muotoa. Tähän valntaan vakuttaa myös käytössä oleva rajallnen laskentateho. Ltteessä 1 on estetty rungon omnasmuotojen taajuudet, kun rungon elementtverkon theyttä on varotu. Ltteen 1 taulukossa 1 estettyjen tulosten perusteella valtaan sopva elementtverkko rungolle. Tätä elementtverkkoa käytetään kummassakn smulontohjelmstossa, jotta nstä saadut tulokset olsvat vertalukelposa keskenään. Kuten ltteen 1 taulukosta 1 huomataan, lähestyy esmerkks omnasmuodon 40 taajuus arvoa 500 Hz. Kakk omnasmuotojen taajuudet penenevät tasasest stä mukaa, kun verkkoa thennetään. Tässä
74 työssä tetokoneen laskentateho tulee esteeks, kun elementtverkko on lan theä, joten käytettäväks verkoks valtaan verkko, jossa on 118912 solmua. Tämän työn tekemsen yhteydessä krjotetut ANSYS-ohjelmston makrot on estetty lttessä 2 ja 3. Ltteessä 2 on estetty makro, jonka avulla syötnosan rungon osarakenneanalyys vodaan suorttaa ANSYS Workbench ympärstössä. Vastaavast ltteessä 3 on estetty makro, jolla luodaan normaalmuotojen tedosto (Modal Neutral Fle, MNF) ADAMS-ohjelmstoon. Ltteen 3 makro vodaan suorttaa ANSYS Workbenchohjelmstossa. Solmukohten sekä elementten valnnassa on käytetty apuna lokaaleja koordnaatstoja. Nämä koordnaatstot on lsätty nvelpstesn, jollon nvelpsteen elementt vodaan valta koordnaatston avulla. Nämä nvelpsteen elementt vodaan täten lttää osaks stä joustavaa rakennetta, jolle osarakenneanalyys suortetaan. Nvelelementtejä e nden vapausastesn kohdstuven rajotteden taka voda valta mukaan, kuten edellä on seltetty. Näden nvelpsteden nvelelementten solmupsteet vodaan määrttää koordnaatstojen avulla pääsolmuks.
75 4 SAADUT TULOKSET JA NIIDEN TARKASTELU Tässä kappaleessa on estetty syötnosan smulonnsta saadut tulokset. Lsäks tässä kappaleessa tarkastellaan saatuja tuloksa. Ensmmäsenä saatuna tuloksena estetään tutkttavasta rakenteesta mtattu keskmmäsen takajousen srtymä 10,5 sekunnn ptusella ohjaussgnaallla ja verrataan tätä srtymää smulotujen mallen srtymään vastaavassa kohdassa. Tämä 10,5 sekunnn ptunen ohjaussgnaal on estetty kuvassa 4.1. Kuva 4.1. Syötnosan käyttöakseln kulmanopeushstora 10,5 sekunnn ohjaussgnaallla Keskmmäsen takajousen srtymät tutkttavassa rakenteessa sekä smulaatomallessa 10,5 sekunnn ohjaussgnaallla on estetty kuvassa 4.2. Tätä mttaustulosta vodaan käyttää tutktun rakenteen ja smulotujen mallen vertalussa.
76 Kuva 4.2. Syötnosan keskmmäsen takajousen srtymen vertalua 10,5 sekunnn ptusella ohjaussgnaallla Kuten kuvassa 4.2 estetystä kuvaajasta huomataan, sekä ADAMS että ANSYSohjelmstolla smulodussa mallssa on eroa verrattuna tutkttavasta mallsta mtattuun takajousen srtymään. ANSYS ja ADAMS-ohjelmstolla smulodussa mallssa keskmmänen 6 sekunnn kohdalla tapahtuva suur srtymä on samaa suuruusluokkaa mtattujen tulosten kanssa. Tätä 6 sekunnn kohdalla olevaa srtymää ympärövät penemmät srtymät evät osu täysn kohdalleen ANSYS-ohjelmstolla smulodussa mallssa. Luodussa mallessa on käytetty syötnosan valmstajalta (Metso Mnerals Oy) saatua dataa, jonka perusteella jousen omnasuudet on määrtelty. Tulosten parantamseks tuls okean rakenteen joussta suorttaa tarkempa mttauksa. Tämä keskmmäsen takajousen srtymässä tapahtuva ero aheuttaa myös eroa smulodun malln jänntysmttauksn eroja. Kuvassa 4.3 on estetty 16.045 sekunnn ohjaussgnaallla (estetty kuvassa 3.1.2) mtattu takajousen srtymä smulaatomallesta. Tätä srtymää e ole mtattu tutkttavasta rakenteesta, joten kuvassa 4.3 vertallaan kahta smulontmalla keskenään.
77 Kuva 4.3. Syötnosan keskmmäsen takajousen srtymän vertalua smulontmallen välllä, kun käytössä 16,05 sekunnn ptunen ohjaussgnaal Kuten kuvassa 4.3 estetystä kuvaajasta huomataan, on takajousen srtymä ADAMSohjelmstolla luodussa mallssa suuremp kun ANSYS-ohjelmstolla luodussa mallssa. Tämä ero vakuttaa vertaltaessa muta tuloksa keskenään. Seuraavaks vertallaan saatuja jänntyksä kahden edellä estetyn smulontohjelmston sekä tutkttavasta rakenteesta mtattujen jänntysten kesken. Tutkttavasta järjestelmästä mttaukset on tehty venymäluskojen avulla. Runkoon on ltetty yhdeksän venymäluskaa. Ltteessä 4 on estetty venymäluskojen pakat. Smulontmallessa jokasen luskan kohdalla on mttauspste, josta mtataan luskan suuntanen jänntys. Luskojen jänntyshstoroden kuvaajat estetään ltteessä 5. Ltteen 5 kuvsta 1, 2, 8 ja 9 nähdään, että mttauspsteden 1, 2, 11 ja 12 kohdlla ADAMS-ohjelmstolla luodun malln rungon jänntykset ovat merkttäväst penempä kun tutkttavasta mallsta mtatut rungon jänntykset. Ltteen 5 jänntyskuvaajen, sekä taulukon 4.1 perusteella nähdään, että syötnosan ADAMS-ohjelmstolla mallnnetun smulontmalln ja tutkttavan malln tulokset vastaavat pääosn tosaan muden venymäluskojen kohdalla. Ltteessä 6 on estetty mttauspsteden 1, 2, 11 ja 12 jänntyshstorat sellasella skaalauksella, jollon jänntysten suuruusluokka on samaa luokkaa tutkttavasta rakenteesta mtattujen tuloksen sekä ADAMS-ohjelmstolla smulodun malln välllä. Tästä huomataan, että ADAMS-ohjelmstolla smulodun malln jänntyshs-
78 torakuvaajat vastaavat muodoltaan tutkttavasta rakenteesta mtattuja jänntyshstorakuvaaja. Ltteen 5 kuven 1-9 perusteella ANSYS-ohjelmstolla luodun smulaatomalln rungon jänntykset ovat pääosn suurempa kun tutkttavasta rakenteesta mtatut tulokset. Tämä käy ertysest lm ltteen 5 kuvsta 1, 3, 4, 6, 8 ja 9. Kuvassa 4.4 on estetty pylväsdagramm, joka esttää smulotujen mallen ja tutkttavan rakenteen jänntyshstoran tulosten tsesarvojen keskmäärästä eroa. Mttaukset on tehty mttauspstettän. Kuva 4.4. Smulotujen mallen rungon jänntysten keskmääränen vrheen tsesarvo verrattuna tutkttavasta mallsta mtattuhn jänntyksn mttauspstettän Kuten kuvasta 4.4 vodaan huomata, on smulaatomallen ja tutkttavasta rakenteesta mtattujen jänntysten välllä eroja mttauspsteden välllä. Kuvan 4.4 mukaan mttauspsteessä 1 ANSYS-ohjelmstolla luodun malln vrhe on huomattavast suuremp kun ADAMS-ohjelmstolla luodun malln. Tämä suur ero johtuu tulosten vahe-erosta tutkttavan rakenteen ja ANSYS-ohjelmstolla luodun malln välllä. Vahe-ero on syntynyt, kun tutkttavan rakenteen jänntyshstorat on nterpolotu samalle aka-askeleelle smulaatomallen jänntyshstoroden kanssa. Lsäks mttauspsteessa 1, 2, 11 ja 12
79 ADAMS-ohjelmstolla luodun smulontmalln tulokset ovat huomattavast tutkttavan rakenteen jänntystuloksa penempä. Tämä käy paremmn lm ltteen 5 kuvaajsta. Yks tämän työn päätavottesta on selvttää, kunka hyvn käytetyt smulontohjelmstot soveltuvat tutkttavan rakenteen analysontn. Seuraavassa lstataan kummankn käytetyn ohjelmston hyvä ja huonoja puola, john on törmätty tätä työtä tehdessä. Ensmmänen huomonarvonen sekka on joustavan kappaleen mallntamnen ADAMS ja ANSYS-ohjelmstossa. Jotta ADAMS-ohjelmstossa vodaan kästellä joustavaa kappaletta, tulee se verkottaa elementtmenetelmään perustuvasta FEM-ohjelmstossa. Tässä FEM-ohjelmstossa suortetaan myös tutkttavan kappaleen omnasmuotoanalyys. Tässä tapauksessa tämä tonen ohjelmsto on ANSYS, josta joustava kappale srretään ADAMS-ohjelmstoon normaalmuototedostona. Vastaavast käytettäessä AN- SYS-ohjelmstoa vodaan joustavaa kappaletta kästellä suoraan tutkttavan monkappalejärjestelmän osana. Ensmmäsenä tarkastellaan ANSYS Workbench-ohjelmston käyttöä. Osarakenneteknkan soveltamnen onnstuu peraatteessa varsn suoravvasest ANSYSohjelmstossa, jos käytetään ANSYS Mechancal APDL-käyttölttymää. ANSYS Workbench-ohjelmsto, joka on ANSYS-ohjelmston graafnen käyttölttymä, e kutenkaan suoraan osaa soveltaa osarakenneteknkkaa, jollon osarakenneanalyys tulee suorttaa ANSYS Workbench-ohjelmstossa käyttäjän krjottaman makron avulla. Tutkttava geometra ta systeemn kokoonpano vodaan tuoda ANSYS Workbench käyttölttymään sellasenaan esmerkks SoldWorks-ohjelmstosta. ANSYS Workbench-ohjelmstossa vodaan valta tutkttavalle rakenteelle materaalarvot, kappaleden välllä olevat nvelet ja järjestelmään vakuttavat vomat. Lsäks joustavana mallnnettavalle osalle vodaan luoda elementtverkko helpost ANSYS Workbench ympärstössä. Kuten jo akasemmn todettn, osarakenneanalyys tulee suorttaa ANSYSohjelmston omalla makrokelellä luodulla makrolla. Tomvan makron krjottamnen ANSYS Workbench-ohjelmaan on varsn työlästä, mutta e mahdotonta, kuten tämän työn tulokset osottavat.
80 ANSYS Workbench-ohjelmsto on tsessään varsn selkeä käyttää. Hyvnä puolna vodaan manta tutkttavan geometran vavaton pävttämnen, koska geometraa vodaan muuttaa esmerkks SoldWorks-ohjelmstossa ja sen jälkeen pävttää uus geometra suoraan ANSYS Workbench-ohjelmaan. Myös joustavan kappaleen elementtverkon varont on helppoa ohjelman ssällä. Hekkoutena ANSYS Workbench-ohjelmasta vodaan manta se, ette anakaan tämän työn puttessa stä löytynyt suoraa tapaa etsä tutkttavan järjestelmän tasapanotla automaattsest. Tämä vakeuttaa sellasten järjestelmen smulonta, joden tasapanotlaa e voda etukäteen suoraan nähdä ta tetää. Mallnnettaessa joustavsta kappalesta koostuvan monkappalejärjestelmän dynaamsta vastetta ADAMS Vew-ohjelmsto on anakn tostaseks rppuvanen ulkopuolelta tuodusta joustavsta kappalesta. ADAMS Vew-ohjelma on ANSYS Workbenchohjelman tavon selkeäkäyttönen ohjelmsto. ADAMS Vew-ohjelmstolla on ylesessä vomassa pääosn samat hyvät puolet kun ANSYS Workbench-ohjelmstolla, kun puhutaan monkappalemalln kokoamsesta. ADAMS Vew-ohjelmstossa geometran korvaamnen uudella geometralla on ylesest varsn hdasta, koska uus geometra joudutaan tuomaan ohjelmaan uudestaan. Tämä aheuttaa pahmmassa tapauksessa sen, että esmerkks jotkn muutettavaan geometraan vakuttavat vomat joudutaan määrttämään uudestaan muokatulle geometralle. Tämä hdastaa malln parssa työskentelyä. Lsäks, koska ADAS Vew-ohjelmsto ottaa joustavat kappaleet tosesta ohjelmstosta, on näden elementtverkkojen kokoa sekä tutkttaven omnasmuotojen määrää mahdoton muuttaa suoraan ADAMS Vew-ohjelmstossa.
81 5 YHTEENVETO Lkkuvan kvmurskamen syötnosan rungon jänntyksä tutkttn ADAMSohjelmstolla mallnnetun smulaatomalln ja ANSYS-ohjelmstolla mallnnetun smulaatomalln avulla. Nästä smulaatomallesta saatuja tuloksa verrattn tutkttavasta mallsta mtattuhn jänntyksn. Työkertona smulaatomallessa käytettn samaa työkertoa kun tutkttavan järjestelmän mttauksssa. Tutkttava syötnosa mallnnettn syötnosan runkoa lukuun ottamatta jäykkänä. Runko mallnnettn joustavana hyödyntämällä elementtmenetelmää ja osarakenneteknkkaa. Smulaatomallen tulokset vastasvat vahtelevast tutkttavasta rakenteesta mtattuja tuloksa. ADAMS-ohjelmstolla luodun smulaatomalln tulokset vastasvat hyvn mtattuja jänntyksä mttauspsteden 4, 5 ja 9 kohdalla. Mttauspstessä 1, 2, 11 ja 12 ADAMS-ohjelmstolla luodun smulaatomalln jänntykset olvat merkttäväst penempä kun tutkttavasta järjestelmästä mtatut. Kutenkn, kun nämä saadut tulokset skaalattn tutkttavasta rakenteesta mtattujen tulosten kanssa samaan kokoluokkaan, huomattn, että jänntyshstoran muoto ol samansuuntanen tutkttavan rakenteen jänntyshstoran kanssa. Lan penet mttaustulokset vovat johtua mttaussuunnsta, jotka olvat globaalehn koordnaattehn nähden vnot. Tämä vo aheuttaa ongelma mtattaessa rungon jänntyksä ADAMS-ohjelmstossa. Mttauspsteessä 3 ADAMSohjelmstolla luodun malln jänntykset olvat pääosn suurempa kun tutkttavasta rakenteesta mtatut jänntykset. Mttauspsteen 8 tulokset evät olleet yhtenevät ADAMSohjelmstolla luodun malln ja tutkttavan rakenteen välllä. Vastaavast ANSYS-ohjelmstolla luodun smulaatomalln tulokset vastasvat pääosn muodoltaan tukttavasta rakenteesta mtattuja arvoja. Kutenkn ANSYS-ohjelmstolla luodun smulaatomalln jänntysarvot olvat lähes pokkeuksetta suurempa kun tutkttavasta rakenteesta mtatut jänntysarvot. Tosaalta täten ANSYS-ohjelmstolla luodun smulaatomalln jänntysarvot olvat turvallsella puolella el arvoltaan suurempa kun tutkttavasta rakenteesta mtatut arvot. Tämä työn perusteella vodaan todeta, että ANSYS-ohjelmstoa ja ANSYS Workbenchkäyttölttymää vodaan käyttää tässä työssä tutkttavan järjestelmän smulonnssa myös
82 sllon, kun tutkttava järjestelmä koostuu osttan joustavsta kappalesta. Vakka AN- SYS Workbench-ohjelmsto e velä suoraan tue osarakenneteknkkaa, vodaan stä slt käyttää hyväks ANSYS Workbench-ohjelmstolla luodussa mallssa makrojen avulla. Osarakenneteknkan hyödyntämnen vaat kutenkn käyttäjältä ANSYS-ohjelmston syntaksn ymmärtämstä sekä kykyä ssästää osarakenneteknkan tomntaperaatteet. Myös ADAMS-ohjelmsto soveltuu syötnosan smulontn, kun syötnosan runko on mallnnettu joustavana kappaleena ANSYS-ohjelmstossa ja tuotu seltä ADAMSohjelmstoon. Tämä työ lo hyvän pohjan slle, kunka osarakenneteknkkaa vodaan jatkossa hyödyntää tätä rakennetta tutkttaessa. Tässä työssä esteltyjä menetelmä vodaan hyödyntää myös muden järjestelmen tomnnan smulonnssa. 5.1 Jatkokehtys Jatkokehtyksenä tuls tutka tarkemmn stä, montako omnasmuotoa tarvtaan, el mten korkesn omnastaajuuksn ast runkoa tuls tutka. Lsäks tuls selvttää tässä tutkttavassa tapauksessa optmaalnen elementtverkko rungolle. Syötnpöydän geometra ol sellasenaan lan monmutkanen lsättäväks ANSYS Workbench-ohjelmstoon. Ongelmaks osottautu ANSYS Workbench-ohjelmston tarve verkottaa myös jäykkänä kuvatut kappaleet. Syötnpöydän jäykken osen verkotus e onnstunut sellasenaan, jollon syötnpöydän geometraa pt yksnkertastaa. Vakka pöydän massa sekä massakeskpste pyrttnkn ptämään denttsenä alkuperäsen syötnpöydän geometran kanssa, on mahdollsta, että geometran yksnkertastamnen vakutt saatuhn tuloksn. ADAMS-ohjelmstolla luodussa mallssa geometraa e tarvnnut yksnkertastaa. Työn lopputulokseen vakuttvat myös oleellsest saadut alkutedot ja alkuarvot. Tässä työssä yks suurmmsta alkuarvojen vrhelähtestä olvat rakenteen jouset. Jousen alkuarvossa olevat mahdollset vrheet vakuttvat saatuhn tuloksn. Kun syötnosan smulaato suortetaan ANSYS-ohjelmstolla, syntyvä tulostedosto on kooltaan suur. Tämän tedoston suuruutta vodaan jatkokehtyksessä penentää optmomalla krjotettua osarakenneteknkan makroa ja valtsemalla van halutut tulokset tulostedostoon.
83 LÄHDELUETTELO 1. Lokotrak: Tela-alustaset murskausyksköt ja seulat Metso Mnerals estelehtnen. http://www.metso.com/mnngandconstructon/matobox7.nsf/docsbyid/0112518590d 65B1BC22576020024545E/$Fle/Lokotrack_Contractor_Fnnsh.pdf (Vtattu 20.9.2012) 2. Shabana, A. A. 1998. Dynamcs of Multbody Systems Second Edton. USA: Cambrdge Unversty Press. ISBN 0-521-59446-4 3. De Jalón, J. G. & Bayo, E. 1994. Knematc and Dynamc Smulaton of Multbody Systems: The Real-Tme Challenge. New York: Sprnger-Verlag. ISBN 0-387-94096-0 4. Rouvnen A. 2003. Mekansmen dynamkan smulonnssa sovellettava numeersa- ja mallnnusmenetelmä. Tutkmusraportt 44. ISBN 951-764-797-2 5. Géradn, M. & Cardona, A. 2001. Flexble Multbody Dynamcs: A Fnte Element Approach. Chchester, West Sussex: John Wley & Sons Ltd. ISBN 0-471-48990-5 6. Mkkola, A. Mekankan luentomonste. Smulaton of Mechatronc Machne kurss LUT 2010 7. Kortelanen, J. 2011. Semantc Data Model for Multbody System Modelng. VTT Publcatons 766. ISBN 978-951-38-7742-2 8. Shabana, A. A. 2010. Computatonal Dynamcs Thrd Edton. Chchester, West Sussex: John Wley & Sons Ltd. ISBN 978-0-470-68615-7 9. Shabana A. A. 1997. Flexble Multbody Dynamcs: Revew of Past and Recent Developments. Multbody System Dynamcs. vol. 1. pp. 189-222. 10. Rantalanen, T. 2012. Smulaton of Structural Stress Hstory Based on Dynamc Analyss. Acta Unverstats Lappeenrantaenss 494. ISBN 978-952-265-325-3
84 11. Ravn, P. 1998. Analyss and Synthess of Planar Mechancal Systems Includng Flexblty, Contact and Jont Clearance. ISSN 0903-1685 12. Klodowsk, A. 2012. Flexble Multbody Approach In Bone Stran Estmaton Durng Physcal Actvty: Quantfyng Osteogenc Potental. Acta Unverstass Lappeenrantaenss 483. ISBN 978-952-265-2888-1 13. Lu A. Q. & Lew K. M. 1994. Non-lnear Substructure Approach for Dynamc Analyss of Rgd-flexble Multbody Systems. Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng. vol. 114. pp. 379-396. 14. Hakala, M. K. 1986. Lujuusopn elementtmenetelmä. Espoo: Otapano. ISBN 951-671-395-5 15. Bathe, K-J. 2006. Fnte Element Procedures. USA: Bathe K-J. ISBN 978-0- 9790049-0-2 16. Reddy, J. N. 1993. An Introducton to the Fnte Element Method Second Edton. USA: McGraw-Hll ISBN 0-07-051355-4 17. Hekknen, J. 2010. Kokeellsen moodanalyysn jälkkästtely omnasmuotojen vsuaalseks tarkastelemseks. Dplomtyö. Lappeenrannan teknllnen ylopsto: Koneteknkan osasto 18. Agrawal O. P. & Shabana A. A. 1985. Dynamc Analyss of Multbody Systems Usng Component Modes. Computers & Structures. vol 21. no. 6. pp. 1303-1312. 19. ANSYS, Inc, ANSYS, Verson 14.0.1, Help (2010) 20. Crag, R. R. Jr. & Bampton, M. C. C. 1968. Couplng of Structures for Dynamc Analyses. Amercan Insttute of Aeronautcs and Astronautcs. vol. 6. no. 7. pp. 1313-1319.
85 21. Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E. & Wtt, R. J. 2002. Concepts and Applcatons of Fnte Element Analyss 4 th Edton. Chchester, West Sussex: John Wley & Sons Ltd. ISBN 978-0-471-35605-9 22. Crag, R. R. Jr. 2000. Couplng of Substructures for Dynamc Analyses: An Overvew. Amercan Insttute of Aeronautcs and Astronautcs. 23. Crag, R. R. Jr. & Kurdla, A. J. 2006. Fundamentals of Structural Dynamcs Second Edton. Hoboken, New Jersey: John Wley & Sons Ltd. ISBN 978-0-471-43044-5 24. Hlber, H. M., Hughes, T. J. R. & Taylor, R. L. 1977. Improved Numercal Dsspaton for Tme Integraton Algorthms n Structural Dynamcs. Earthquake Engneerng and Structural Dynamcs. vol. 5. pp. 283-292. 25. MSC.Software, MSC.ADAMS, Release R3, Help System (2010) 26. Rankn, C. C. & Brogan, F. A. 1986. An Element Independent Corotatonal Procedure for the Treatment of Large Rotatons. Journal of Pressure Vessel Technology. vol 108. pp. 165-174.
LIITE 1 1/1 Taulukko 1: Syötnosan rungon omnasmuotojen taajuudet [Hz] er elementtverkon theyksllä Omnasmuoto nro. Elementtverkon solmujen määrä: 49904 Elementtverkon solmujen määrä: 62640 Elementtverkon solmujen määrä: 86523 1 122 119 118 117 2 123 119 118 117 3 141 134 131 127 4 142 135 133 128 5 144 136 133 133 6 150 138 134 133 7 205 177 169 167 8 206 186 169 167 9 207 198 195 195 10 218 202 197 196 11 244 238 235 232 12 245 239 235 232 13 278 272 269 266 14 279 273 270 267 15 301 287 281 278 16 309 290 283 280 17 329 307 300 295 18 329 312 301 295 19 343 318 313 310 20 348 320 316 312 21 377 356 346 341 22 381 358 346 341 23 437 417 407 401 24 443 418 408 401 25 458 435 423 417 26 460 436 424 417 27 465 437 427 417 28 471 441 430 422 29 479 449 433 422 30 487 454 436 427 31 499 462 444 433 32 507 469 458 453 33 525 473 461 455 34 537 507 494 485 35 540 509 496 486 36 564 533 516 499 37 580 542 517 500 38 592 546 523 507 39 604 551 527 512 40 623 572 555 535 Elementtverkon solmujen määrä: 118912
LIITE 2 1/12 Syötnosan rungon osarakenneanalyysn ANSYS-makro!Valtaan tedostonm fnsh /flname,runko save!valtaan luontvaheelle tedostonm /flname,genrunko /prep7!valtaan osarakenneanalyysssa käytettävät elementt!joustavan kappaleen elementt esel,s,ename,,solid186 esel,a,ename,,solid187 esel,a,ename,,conta174 esel,a,ename,,conta175 cm,temp_slave,elem!etstään ja valtaan nvelpstestä TARGE170-elementt!Ltäntä maahan csys,12 cm,maa1_e,elem csys,16 cm,maa2_e,elem csys,17 cm,maa3_e,elem csys,18
LIITE 2 2/12 cm,maa4_e,elem!jouset okealla csys,13 cm,ok1_e,elem csys,26 cm,ok2_e,elem csys,27 cm,ok3_e,elem csys,28 cm,ok4_e,elem!jouset vasemmalla csys,14 cm,vas1_e,elem csys,29 cm,vas2_e,elem csys,30
LIITE 2 3/12 cm,vas3_e,elem csys,31 cm,vas4_e,elem!takajouset csys,20 cm,taka1_e,elem csys,21 cm,taka2_e,elem csys,22 cm,taka3_e,elem csys,15 cm,taka4_e,elem csys,23 cm,taka5_e,elem csys,24
LIITE 2 4/12 cm,taka6_e,elem csys,25 cm,taka7_e,elem!apunvelet rungon ja syötnpöydän sekä rungon ja maan!välllä csys,19 cm,luku1_e,elem csys,32 cm,luku2_e,elem!ladat (MASS21-elementt) csys,33 cm,lata1_e,elem csys,34 cm,lata2_e,elem csys,35 cm,lata3_e,elem
LIITE 2 5/12 csys,36 cm,lata4_e,elem!yhdstetään kakk valtut rungon elementt cmsel,s,maa1_e cmsel,a,maa2_e cmsel,a,maa3_e cmsel,a,maa4_e cmsel,a,ok1_e cmsel,a,ok2_e cmsel,a,ok3_e cmsel,a,ok4_e cmsel,a,vas1_e cmsel,a,vas2_e cmsel,a,vas3_e cmsel,a,vas4_e cmsel,a,taka1_e cmsel,a,taka2_e cmsel,a,taka3_e cmsel,a,taka4_e cmsel,a,taka5_e cmsel,a,taka6_e cmsel,a,taka7_e cmsel,a,luku1_e cmsel,a,luku2_e cmsel,a,lata1_e cmsel,a,lata2_e cmsel,a,lata3_e cmsel,a,lata4_e cmsel,a,temp_slave esel,u,ename,,mpc184!e valta nvelelementtä MPC184,!koska stä e voda käyttää osarakenneanalyysssa!nmetään rungon elementt yhdeks ryhmäks cm,runko_slave,elem esel,all!valtaan pääsolmut!nvelpsteet maahan csys,12
LIITE 2 6/12 nsle cm,maa1,node csys,16 nsle cm,maa2,node csys,17 nsle cm,maa3,node csys,18 nsle cm,maa4,node!jouset okealla csys,13 nsle cm,ok1,node csys,26 nsle cm,ok2,node csys,27
LIITE 2 7/12 nsle cm,ok3,node csys,28 nsle cm,ok4,node!jouset vasemalla csys,14 nsle cm,vas1,node csys,29 nsle cm,vas2,node csys,30 nsle cm,vas3,node csys,31 nsle cm,vas4,node!takajouset csys,20
LIITE 2 8/12 nsle cm,taka1,node csys,21 nsle cm,taka2,node csys,22 nsle cm,taka3,node csys,15 nsle cm,taka4,node csys,23 nsle cm,taka5,node csys,24 nsle cm,taka6,node csys,25
LIITE 2 9/12 nsle cm,taka7,node!apunvelet csys,19 nsle cm,luku1,node csys,32 nsle cm,luku2,node!ladat csys,33 nsle cm,lata1,node csys,34 nsle cm,lata2,node csys,35 nsle cm,lata3,node csys,36
LIITE 2 10/12 nsle cm,lata4,node!yhdstetään kakk valtut pääsolmut yhdeks joukoks cmsel,s,maa1 cmsel,a,maa2 cmsel,a,maa3 cmsel,a,maa4 cmsel,a,ok1 cmsel,a,ok2 cmsel,a,ok3 cmsel,a,ok4 cmsel,a,vas1 cmsel,a,vas2 cmsel,a,vas3 cmsel,a,vas4 cmsel,a,taka1 cmsel,a,taka2 cmsel,a,taka3 cmsel,a,taka4 cmsel,a,taka5 cmsel,a,taka6 cmsel,a,taka7 cmsel,a,luku1 cmsel,a,luku2 cmsel,a,lata1 cmsel,a,lata2 cmsel,a,lata3 cmsel,a,lata4 cm,runko_master,node allsel,all!alrakenneanalyys /solu antype,substr!valtaan analyysn tyypp seopt,genrunko,2,0,0 CMSOPT,FIX,ARG1,0,10000,,0!osarakenneanalyysn asetukset mdele,all,all!postetaan päävapausasteet cmsel,s,runko_master!valtaan pääsolmut m,all,all cmsel,s,runko_slave!valtaan CMS elementt nsle save solve fnsh save fnsh
LIITE 2 11/12!Alotetaan käyttövahe /clear,nostart fnsh /flname,runkouse resume,genrunko,db /prep7 cmsel,s,runko_slave nsle nsel,nve esel,nve cmsel,a,runko_master!luodaan MATRIX50-elementt et,500,matrix50 type,500 real,500 mat,500 mp,mu,500,0.0 se,genrunko!määrtellään superelementt fnsh!suortetaan dynaamnen analyys järjestelmälle /solu antype,4 nlgeom,on!suuret tapumat käytöön solcontrol,on,on recontrol,,none trnopt,full,,,,,hht!valtaan ratkasjaks HHT tntp,0.01!alpha muuttujan arvo outres,basc,all!valtaan mtä ratkastaan tme,17.295!smulontaka autots,off deltm,0.005!aka-askel tmnt,on!massa vakutukset päälle solve save fnsh /clear,nostart /flname,genrunko resume!alotetaan laajennusvahe /solu expass,on seexp,genrunko,runkouse!laajennusvahe käyntn!valtaan vaheet
LIITE 2 12/12 numexp,all,,,yes solve fnsh!valtaan kakk ratkasut /post1 fnsh /clear,nostart /flnam,runko resume /delete!yhdstetään saadut tulokset yhteen tedostoon /post1 FILE,'RunkoUse','rst','.' SET,,,,,,,last *GET, nsubsteps, actve, 0, solu, ncmss,, *do,j,1,nsubsteps fle,'runkouse','rst','.' set,1,j fle,'genrunko','rst','.' append,1,j reswrte,resultcms *enddo
LIITE 3 1/10 Syötnosan rungon ANSYS-makro, jonka avulla saadaan luotua mnf-tedosto ADAMSohjelmstolle!Valtaan tedoston nm fnsh /flname,runko save /prep7!valtaan osarakenneanalyysssa käytettävät elementt esel,s,ename,,solid186 esel,a,ename,,solid187 esel,a,ename,,conta174 esel,a,ename,,conta175 cm,temp_slave,elem!valtaan kakk jouselementt ja tuhotaan ne, ettevät ne!srry mukana ADAMS-ohjelmstoon esel,s,ename,,combin14 edele,all!etstään nvelpsteden TARGE170-elementt!Etujouset okealta csys,12 cm,ok1_e,elem csys,13 cm,ok2_e,elem csys,14 cm,ok3_e,elem
LIITE 3 2/10 csys,15 cm,ok4_e,elem!etujouset vasemmalta csys,16 cm,vas1_e,elem csys,17 cm,vas2_e,elem csys,18 cm,vas3_e,elem csys,19 cm,vas4_e,elem!jouset takaa csys,20 cm,taka1_e,elem csys,21
LIITE 3 3/10 cm,taka2_e,elem csys,22 cm,taka3_e,elem csys,23 cm,taka4_e,elem csys,24 cm,taka5_e,elem csys,25 cm,taka6_e,elem csys,26 cm,taka7_e,elem!rungon jalkojen knntys psteet maahan csys,27 cm,maa1_e,elem csys,28
LIITE 3 4/10 cm,maa2_e,elem csys,29 cm,maa3_e,elem csys,30 cm,maa4_e,elem!latojen knntyspsteet csys,41 cm,palkk1_e,elem csys,42 cm,palkk2_e,elem csys,43 cm,palkk3_e,elem csys,44 cm,palkk4_e,elem!yhdstetään käytettävät elementt cmsel,s,maa1_e
LIITE 3 5/10 cmsel,a,maa2_e cmsel,a,maa3_e cmsel,a,maa4_e cmsel,a,ok1_e cmsel,a,ok2_e cmsel,a,ok3_e cmsel,a,ok4_e cmsel,a,vas1_e cmsel,a,vas2_e cmsel,a,vas3_e cmsel,a,vas4_e cmsel,a,taka1_e cmsel,a,taka2_e cmsel,a,taka3_e cmsel,a,taka4_e cmsel,a,taka5_e cmsel,a,taka6_e cmsel,a,taka7_e cmsel,a,palkk1_e cmsel,a,palkk2_e cmsel,a,palkk3_e cmsel,a,palkk4_e cmsel,a,temp_slave!postetaan joukosta mahdollset nvelten MPC184-elementt,!jota e voda käyttää osarakenneanalyysssa esel,u,ename,,mpc184!nmetään valtut elementt cm,runko_slave,elem!luodaan nvelten kohtaan pääsolmut!jouset okealla csys,12 nsle cm,ok1,node csys,13 nsle cm,ok2,node
LIITE 3 6/10 csys,14 nsle cm,ok3,node csys,15 nsle cm,ok4,node!jouset vasemmalla csys,16 nsle cm,vas1,node csys,17 nsle cm,vas2,node csys,18 nsle cm,vas3,node csys,19 nsle cm,vas4,node
LIITE 3 7/10!Jouset takana csys,20 nsle cm,taka1,node csys,21 nsle cm,taka2,node csys,22 nsle cm,taka3,node csys,23 nsle cm,taka4,node csys,24 nsle cm,taka5,node csys,25 nsle cm,taka6,node
LIITE 3 8/10 csys,26 nsle cm,taka7,node!knntyspsteet maahan csys,27 nsle cm,maa1,node csys,28 nsle cm,maa2,node csys,29 nsle cm,maa3,node csys,30 nsle cm,maa4,node!latojen knntyspsteet csys,41 nsle cm,palkk1,node
LIITE 3 9/10 csys,42 nsle cm,palkk2,node csys,43 nsle cm,palkk3,node csys,44 nsle cm,palkk4,node!yhdstetään kakk pääsolmut yhdeks pääsolmujoukoks cmsel,s,maa1 cmsel,a,maa2 cmsel,a,maa3 cmsel,a,maa4 cmsel,a,ok1 cmsel,a,ok2 cmsel,a,ok3 cmsel,a,ok4 cmsel,a,vas1 cmsel,a,vas2 cmsel,a,vas3 cmsel,a,vas4 cmsel,a,taka1 cmsel,a,taka2 cmsel,a,taka3 cmsel,a,taka4 cmsel,a,taka5 cmsel,a,taka6 cmsel,a,taka7 cmsel,a,palkk1 cmsel,a,palkk2 cmsel,a,palkk3 cmsel,a,palkk4
LIITE 3 10/10!Nmetään pääsolmujoukko cm,runko_master,node!valtaan käytettävät elementt ja pääsolmut cmsel,s,runko_slave cmsel,a,runko_master!käynnstetään ADAMS-makro ja ratkastaan 40 omnasmuotoa ADAMS,40,3,,
Kuva 1. Syötnosan rungon mttauspsteet LIITE 4 1/1
Jänntyshstorat venymäluskojen kohdalta LIITE 5 1/9
LIITE 5 2/9
LIITE 5 3/9
LIITE 5 4/9
LIITE 5 5/9
LIITE 5 6/9
LIITE 5 7/9
LIITE 5 8/9
LIITE 5 9/9
LIITE 6 1/4 Skaalatut ADAMS-ohjelmstolla luodun malln jänntyshstora mttauspstessä 1, 2, 11 ja 12
LIITE 6 2/4