Jäykän kappaleen liike
|
|
- Susanna Lattu
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 6 Jäykän kappaleen lke Tähän mennessä mekankkaa on tarkasteltu lähnnä yksttästen massapsteden näkökulmasta. Okeat mekaanset systeemt muodostuvat kutenkn usen äärellsen kokossta kappalesta, joden er osn ulkoset vomat vakuttavat er tavon. Tarkastellaan tässä luvussa nk. jäykkä kappaleta. Jäykällä kappaleella ymmärretään sellasta massapsteden kokoelmaa, jossa massapsteden etäsyydet r r j ovat vakota kaklla, j. Jäykkä kappale on dealsaato, sllä vomavakutus etenee kappaleessa kyseselle aneelle omnasella äänennopeudella. Esmerkks, kun naapurs kommunko kanssas takoen senää nyrkllään, nn skun vakutus etenee senän läp senän äänaaltona, ss senän massapsteden vähäsenä värähtelynä tasapanoasemansa ympärllä, ja aheuttaa lopulta äänaallon lmaan senän tosella puolella. Jäykkä kappale on kutenkn hyvä approksmaato sllon, kun kappaleen osasten nopeudet ovat paljon penempä kun vuorovakutusten etenemsnopeudet kappaleessa. Selvästkn ongelma tulee erttän suurlla nopeukslla, jollon etäsyydet väärstyvät suhteellsuusteoran ennustusten mukasest. 6.1 Koordnaatston valnta Käytetään tässä luvussa samoja koordnaatstomerkntöjä x 3 y 3 kun edellsessä (Kuva 6.1). P Ss nertaalkoordnaatstoa r = r+ R y merktään {x}:llä ja kappaleen r r B massakeskpsteeseen (CM) R knntettyä, mahdollsest enertaalsta koordnaatstoa x y 1 {y}:llä. Jäykän kappaleen massapsteden pakat tunnetaan, kun tedetään sen massakeskpsteen pakka R {x}:ssä sekä x 1 Kuva 6.1. Jäykkä kappale. kappaleen orentaato, mtä varten tarvtaan kolme kulmaa. Edellsessä luvussa saatn tulos (5.11) ( ) ( ) ( ) dr dr dr = + + ω r. dt dt dt x x 96 y
2 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 97 Nyt B:n melvaltanen pste P pysyy pakallaan koordnaatstossa {y} el (ṙ) y = 0, joten ( ) ( ) dr dr = + ω r, (6.1) dt x dt x mssä ω on koordnaatston {y} (ja samalla kappaleen B) kulmanopeus koordnaatstossa {x}. Tulos e rpu B:n massakeskpsteen valnnasta koordnaatston {y} orgoks. Se van on käytännössä vsas valnta. 6. Htaustensor Lähdetään stten muodostamaan käyttökelposta Lagrangen funktota kappaleelle B. Oletetaan, että B muodostuu dskreetestä massapstestä. Tämän pstejoukon kneettnen energa {x}:ssä on T = 1 ( ) dr m, (6.) dt mssä summa on yl kakken knteän kappaleen muodostaven massapsteden. Käyttäen tulosta (6.1) saadaan T = 1 ( ) dr m dt + ω r. (6.3) Tässä r :t ss vttaavat massapsteden pakkohn {y}:ssä. Avataan nopeuden nelö, jollon T = 1 ( ) dr m + dr m dt dt (ω r) + 1 m (ω r ). (6.4) Ṙ ja ω ovat samat kaklle B:n osaslle. Merktään kokonasmassaa M = m ja krjotetaan T :n lausekkeen ensmmänen term muotoon 1 m Ṙ = 1 MṘ. (6.5) T :n lausekkeen tonen term vodaan puolestaan krjottaa seuraavast m Ṙ (ω r ) = m r (Ṙ ω) = (Ṙ ω) m r. (6.6) Koska orgona on CM, m r = 0, joten koko term on nolla. Krjotetaan velä vmenen term muotoon 1 m (ω r ) = 1 m (ω r (ω r ) ). (6.7) Kneettnen energa on sten saatu muotoon T = 1 MṘ + 1 m (ω r (ω r ) ). (6.8)
3 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 98 Lausekkeen ensmmänen term kuvaa CM:n lkkeeseen lttyvää kneettstä energaa ja jälkmmänen pyörmslkkeeseen lttyvää energaa. Merktään pyörmsestä aheutuvaa kneettstä energaa T rot ja tarkastellaan tätä lähemmn. Krjotetaan T rot komponenttmuodossa ( T rot = ) m ωj yk ω j y j ω k y k. (6.9) j=1 k=1 Lausekkeen merkntätapa yksnkertastuu jonkn verran, kun jätetään hukkaset numerova ndeks pos ja otetaan käyttöön nk. Enstenn summaussääntö, jonka mukaan tostetun koordnaatta merktsevän ndeksn yl summataan automaattsest, esm. ω 3 ω = =1 j=1 3 ω ω ; ω y =1 k=1 3 ω y (Summasäännön käyttämstä kannattaa treenata ja ana on syytä olla huolellnen sen kanssa, tarkottaako jossan yhteydessä tostettu ndeks todella summausta va e.) Krjotetaan stten T rot :n käyttäen summasääntöä ja Kroneckern symbola δ k muotoon =1 T rot = 1 m[(ω )(y j ) (ω y )(ω k y k )] = 1 m(ω ω k δ k )(yj ) ω ω k y y k = 1 ω ω k m(y j δ k y y k ), (6.10),k mssä jälkmmäsessä lausekkeessa summat :n ja k:n yl on krjotettu näkyvn selkeyden vuoks. Merktään ssempää, massapsteden yl otettua summaa I k = m(y j δ k y y k ). Tämä kaks-ndeksnen suure on matemaattsena olona tosen kertaluvun tensor ja stä kutsutaan htaustensorks (nertaaltensorks). Tensorn komponentt koordnaatstossa {y} ovat I 11 I 1 I 13 (I k ) = I 1 I I 3 (6.11) I 31 I 3 I 33 m(y + y3 ) my 1 y my 1 y 3 = my y 1 m(y 3 + y 1 ) my y 3 my 3 y 1 my 3 y m(y 1 + y ) Huom. dagonaallla olevat komponentt ovat (summaussääntö!) I 11 = m(y j y 1) = m(y 1 y 1 +y y +y 3 y 3 y 1 y 1 ) = m(y y +y 3 y 3 ) ja vastaavast I ja I 33. Merktään htaustensora symbollla I. Sen määrtelmästä näkee suoraan, että sen fyskaalnen dmenso on massa kertaa pnta-ala ([ I ] = ML ) ja että I on symmetrnen I k = I k..
4 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 99 Tarkasteltavan kappaleen kneettnen energa vodaan nyt krjottaa muodossa T = 1 MṘ + 1 I k ω ω k Lagrangen funktoks tulee sten mssä U = U (R + r ).,k = 1 MṘ + 1 ω I ω. (6.1) L = 1 MṘ + 1 ω I ω U, (6.13) Mkäl mkään sdosehto e rajota kappaleen vapausasteden määrää, on Lagrangen funkton muuttujna kuus koordnaatta. Ne ovat CM:n kolme pakkakoordnaatta (R) ja vektorn r asennon koordnaatstossa {x} antavat kolme kulmaa. Näden lsäks L:n muuttujna ovat tetenkn vastaavat kuus nopeuskomponentta. Yllä on otettu käyttöön merkntä 1 I k ω ω k = 1 ω I ω.,k Tässä on ss kyseessä operaato: vektor pstetulo tensor pstetulo vektor. Kun otetaan tensorn ja vektorn välnen pstetulo, saadaan vektor. Tämän vo ajatella nn, että pstetulossa summataan yhden ndeksn yl ja jäljelle jää yks-deksnen otus el vektor. Esmerkks (ω I) j = ω I j = a j ja samon (I ω) j = I j ω = ω I j = ω I j = a j, mssä on käytetty hyväks I:n symmetrsyyttä. Kun otetaan saadun vektorn pstetulo tosen vektorn kanssa ja summataan jäljellä olevan ndeksn yl, saadaan lopputuloksena skalaar: ω I ω = (ω I) ω = a j ω j. Merktään kulmanopeusvektorn suuntaa n:llä el ω = ωn, jollon mssä skalaara T rot = 1 ω I ω = ω n I n = 1 Iω, (6.14) I = n I n = m (r (r n) ) (6.15) kutsutaan kappaleen htausmomentks pyörmsakseln suhteen. Tensort avan kuten vektortkn ovat matemaattsa olota, jotka evät tsessään rpu koordnaatstosta. Samon kun vektor vodaan esttää komponenttensa avulla annetussa koordnaatstossa nn myös n:n kertaluvun tensor vodaan esttää n:n kertaluvun matrsna. Htaustensorn I kertaluku on kaks, joten sllä on kaavassa (6.11) annettu kaksulottenen matrsestys (I k ) koordnaatstossa {y} (emme käytä edellsessä luvussa käytettyä kaunokrjotus-i:tä kuvaamaan htaustensora vastaavaa matrsa, ette tule sekaannusta ykskkömatrsn kanssa). Htaustensorn matrsestyksen dagonaalkomponentteja kutsutaan htausmomenteks ja e-dagonaalsa komponentteja htaustuloks. Htaustensor vodaan laskea kappaleen kakken osasten htaustensoren summana, kunhan nämä van on laskettu koko kappaleen CM:n
5 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 100 suhteen. Myös tämä perustelee koordnaatston keskpsteen sjottamsen nmenomaan CM:ään. Edellä oleva lasku on havannollsuuden vuoks suortettu ajattelemalla knteä kappale kootuks suuresta joukosta massapstetä. Todellsuudessa on usemmten käytännöllsempää ajatella jäykkä kappale jatkuvast jakautuneena aneena. Ilmastaan kappaleen theysjakautuma koordnaatossa {y} jatkuvana funktona ρ(r) ja jaetaan kappaleen tlavuus alkoks dv. Tällön htausmomentn komponentt ovat I k = ρ(r)(yj δ k y y k ) dv. (6.16) V Tässä ss edellä ollut ndeksomaton summaus on korvattu tlavuusntegronnlla. Koska htaustensorn komponentt ovat reaalset ja tensor tse symmetrnen, tensor (ta sen matrsestys) vodaan dagonalsoda sopvalla koordnaatston kerrolla. Nän htaustensor saa muodon (I k ) = I I I 3. (6.17) Nyt tetenkn dagonaalelementt (htausmomentt) I vovat olla hyvnkn monmutkasa lausekketa rppuen kappaleen lketlasta. Kneettsen energan pyörmsestä johtuva osa vodaan tämän perusteella krjottaa T rot = 1 (I 1ω 1 + I ω + I 3 ω 3), (6.18) mssä ω:n komponentt on annettu koordnaatstossa, jossa (I k ) on dagonaalnen. Tätä koordnaatstoa kutsutaan (I k ):n pääakselkoordnaatstoks ja (I k ):n komponentteja I j päähtausmomenteks. Jos kakk päähtausmomentt ovat yhtäsuura I 1 = I = I 3, kutsutaan jäykkää kappaletta pallohyrräks. Homogeensen pallon päähtausmomentt keskpsteessä olevan orgon suhteen ovat samat valttnpa pääakselt kunka tahansa. Jos kaks päähtausmomentta ovat yhtäsuuret, esm. I 1 = I I 3, kutsutaan hyrrää symmetrseks. Yleensä uuden ongelman tullessa esn kannattaa mettä, onko tarkasteltavassa tlanteessa symmetrota, jota vos käyttää hyväks. Htaustensorn komponentten laskemsessa on arvatenkn suureks eduks, jos vo etukäteen päätellä, mtkä ovat pääakselen suunnat. Oletetaan, että tarkasteltava kappale on theydeltään homogeennen (epähomogeenset kappaleet aheuttavat kakenlasa ongelma, esm. epärehellnen pelur panotettune arpanoppneen). Jos kappaleella on selvä symmetra-aksel, sjatsevat sekä CM että yks pääakselesta kysesellä suoralla. Jos tätä aksela vastaan löytyy velä kohtsuora symmetrataso, sjatsevat CM ja loput kaks pääaksela tällä tasolla. Esmerkknä tällasesta tlanteesta on kaksulottenen taso, jolla kakk kappaleen muodostavat hukkaset sjatsevat. Valtaan koordnaatt y 1 ja y tästä tasosta, jollon (HT) I 1 = my ; I = my 1 ; I 3 = m(y 1 + y ). (6.19)
6 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 101 Nyt selvästkn I 1 + I = I 3. Käytännön ongelmssa tlanne on yleensä nn pän, että pyrtään rakentamaan jokn late, jonka tuls olla sopvast symmetrnen. Esmerkks pyörvän avaruusaluksen ptäs pyörä annetun symmetra-akseln ympär, mutta alus koostuu joukosta erlasa komponentteja, jotka ovat jakautuneet epätasasest rakenteen er osn. Autonomstajlle tuttu ongelma on huonost tasapanotettu rengas, joka tärsee ajettaessa. Edellä estetyssä formalsmssa tämä tarkottaa stä, että pyörmsaksel e kulje pyörän CM:n kautta. Nässä tlantessa latteeseen lsätään panoja sopvn pakkohn nn, että CM (el tarkastelun orgo) srtyy pääaksellle. Merktään tarvttavaa srrosta vektorlla a ja srretään koordnaatstoa ptäen koordnaattakselen suunnat vakona (yhdensuuntassrto) r = a + r, mssä r on mtattu CM:stä. Lasketaan stten htausmomentt psteen a suhteen (I a ) k = m(r δ k r r k ) = m[(a + r ) δ k (a + r )(a k + r k )] = m[a + a r + r )δ k a a k r a k a r k r r k ] = m(a δ k a a k ) + m(r δ k r r k ) + + m(a r δ k r a k a r k ) = I k + M(a δ k a a k ), (6.0) mssä ss a :t ovat a:n komponentt alkuperäsessä koordnaatstossa {y}. Tätä tulosta kutsutaan Stenern säännöks. Määrtellään lopuks tosen asteen pnta yhtälöllä r I r = 1. (6.1) Käyttäen hyväsk htaustensorn symmetrsyyttä tämä vodaan krjotta muotoon I 11 y 1 + I y + I 33 y 3 + I 1 y 1 y + I 13 y 1 y 3 + I 3 y y 3 = 1. (6.) Pääakselkoordaatstossa pnnan yhtälö on y 1 I y I 1 + y 3 I 1 3 = 1. (6.3) Tämä kuvaa ellpsoda, jota kutsutaan kappaleen htausellpsodks. Sen akselt ovat tarkasteltavan kappaleen pääakselt. Jos kahden er kappaleen htausellpsodt ovat samat, ovat kappaleet hyrrälkkeen kannalta ekvvalentt. Esmerkks samanmassaset homogeenset pallot ja kuutot ovat tässä melessä ekvvalentteja ja kuuto ss pallohyrrä. 6.3 Hyrrän lke Hyrrän lkemäärämomentt Kappaleen pyörmseen lttyy tetenkn lkemäärämomentt, jonka suuruus rppuu valtusta referensspsteestä. Tarkastellaan tässä pyörvän
7 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 10 hyrrän lkemäärämomentta sen CM:n suhteen koordnaatstossa {x} Nopeus on puolestaan ṙ = ω r, joten L = mr ṙ. (6.4) L = mr (ω r) = m(r ω r(r ω)). (6.5) Krjotetaan tämä velä komponenttmuodossa koordnaatstossa {y} (käyttäen summasääntöä) L = m((y j )ω y (y k ω k )) = ω k m((y j )δ k y y k ) mkä on vektormuodossa krjotettuna = I k ω k, (6.6) L = I ω. (6.7) Jos {y}-koordnaatsto on pääakselkoordnaatsto, nn lkemäärämomentn komponentt ovat L 1 = I 1 ω 1 ; L = I ω ; L 3 = I 3 ω 3. Tämän vo tetyst krjottaa muodossa L = I ω, mutta tässä e tostetun ndeksn yl tetenkään summata! Pallohyrrän tapauksessa I 1 = I = I 3 I, joten L = Iω (6.8) el lkemäärämomentt on ω:n suuntanen. Epäsymmetrsen kappaleen tapauksessa L ja ω ovat yleensä ersuuntaset pats tapauksessa, mssä pyörmnen tapahtuu jonkn pääakseln ympär. Esmerkk: Vapaan hyrrän prekesso y 1 L θ ω pr θ ω y 3 Kuva 6.. Vapaa hyrrä. Jos hyrrään e vakuta mkään ulkonen voma, sen lkemäärämomentt epälemättä sälyy. Tarkastellaan tästä esmerkknä vapaata symmetrstä hyrrää, jonka symmetra-aksel on y 3 ja jolle I 1 = I I 3. Oletetaan, että hyrrän CM on levossa nertaalkoordnaatstossa {x} (Kuva 6.). Nyt y -aksel vodaan valta vapaast ja tehdään se jollan melvaltasella hetkellä sten, että aksel on kohtsuorassa vakovektorn L ja hyrrän symmetra-akseln y 3 sen hetksen suunnan vrttämää tasoa vastaan. Nyt tetenkn L = 0. Koska hyrrällä on kutenkn htausmomentt
8 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 103 kakken pääakselen suuhteen el I 0, täytyy olla ω = 0. Koska tämä on vomassa melvaltasella ajanhetkellä, ω on ja pysyy L:n ja y 3 :n vrttämässä tasossa. Nän ss jokasen y 3 -aksellla olevan hukkasen nopeus ṙ = ω r on jatkuvast kohtsuorassa kysestä tasoa vastaan, ja ss myös vektora L vastaan. Tämä tarkottaa stä, että hyrrän y 3 -aksel kertää tasasella kulmanopeudella L:n suunnan ympär. Tätä lkettä kutsutaan prekessoks. Prekesson kulmanopeuden ω pr laskemseks merktään L:n ja y 3 - akseln välstä kulmaa θ:lla. Koska L 3 = I 3 ω 3, nn ω 3 = L 3 /I 3 = l cos θ/i 3. Tämä on ss hyrrän kulmanopeus oman akselnsa ympär. Jaetaan stten ω L:n ja y 3 :n suuntasn komponettehn, jollon ω pr on L:n suuntanen komponentt (Kuva 6.). Selvästkn ss ω 1 = ω pr sn θ ja tosaalta ω 1 = L 1 /I 1 = l sn θ/i 1, joten ω pr = l/i 1. (Huom. Nässä lausekkessa on jälleen krjotettu L = l.) Ylläolevassa tarkastelussa e tetenkään ole meltä, jos L on alunpern symmetra-akseln suuntanen. Tällön hyrrä pysyy koko ajan samassa asennossa ekä ss prekesso Hyrrän lkeyhtälöt Hyrrällä on kuus vapausastetta, joten tarvtaan joko kuus skalaarsta ta kaks (kolmulottesta) vektormuotosta lkeyhtälöä. Kolmeen pakkamuuttujaan lttyy jotenkn lkemäärä ja kolmeen kulmamuuttujaan lttyy puolestaan lkemäärämomentt. Pakkamuuttujen osalta asa on yksnkertanen. Jokanen jäykän kappaleen massapste noudattaa tetenkn Newtonn lkeyhtälöä, jossa vakuttavna vomna ovat van ulkoset vomat. Jäykän kappaleen muodostavat sdosvomat summautuvat nollks Newtonn kolmannen lan perusteella. Olkoon p kappaleen yksttäsen massapsteen lkemäärä ja f shen mahdollsest vakuttava voma. Tällön on ss vomassa dp/dt = f. Koko kappaleen lkemäärä on puolestaan P = p = MṘ. Laskemalla puolttan yhteen kakken massapsteden Newtonn lkeyhtälöt saadaan Ṗ = F = f. (6.9) Kulmamuuttujen osalta lähdetään lkkeelle L:n lkeyhtälöstä, joka on {x}-koordnaatstossa dl dt = d dt (r p) = r ṗ = r f N, (6.30) mssä on käytetty hyväks dentteettä ṙ p = 0, koska vektort ovat samansuuntaset. N on tetenkn luvusta 1 tuttu vääntömomentt. Ss hyrrän lkemäärämomentt sälyy, jos mkään ulkonen voma e väännä stä.
9 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 104 Momentt rppuvat ana referensspsteen valnnasta. Jos {x}:n orgoa srretään vektorn a verran, nn tarkasteltavan kappaleen pakkavektort muuttuvat kuten Vomen momentten summaks tulee r = r a + a. (6.31) N = r f = r a f + a f = N a + a F. (6.3) Tuloksesta näkee, että jos ulkosten vomen summa F on nolla, nn N e rpu referensspsteestä. Myös ulkosten vomen summautuessa nollaks vo olla N 0. Tällön sanotaan, että kappaleeseen vakuttaa vomapar. Srrytään stten nertaalkoordnaatosta {x} hyrrään knntettyyn koordnaatstoon {y}. Edellsessa luvussa johdettn dervaattaoperaattor d = d + ω dt x dt y sekä tämän seuraus, jonka mukaan ω on sama koordnaatstosta rppumatta. Valtaan {y}:ks pääakselkoordnaatsto (semmonenhan on ana olemasssa, vakka se saattaakn olla työlästä löytää). Nnpä lkemäärämomentn dervaatta muuntuu kuten dl dt = dl + ω L. x dt y Lkeyhtälöks komponenttmuodossa tulee ss dl 1 dt + (ω L) 1 = N 1 dl dt + (ω L) = N (6.33) dl 3 dt + (ω L) 3 = N 3. Rsttulot ovat muotoa (ω L) 1 = ω L 3 ω 3 L = ω ω 3 I 3 ω 3 ω I = ω ω 3 (I 3 I ) ja vastaavast mulle komponentelle. Tässä yhteydessä matemaattnen estys yksnkertastuu käyttämällä permutaatosymbola ɛ jk (kertaa tämä MAPU:n kursslta). ɛ jk määrtellään sten, että sen arvo on nolla, jos ndeksestä kaks ta useamp ovat samoja, +1, jos jk on lukujen 1,,3 parllnen permutaato, ja 1, jos jk on lukujen 1,,3 parton permutaato. Nyt esmerkks rsttulo A = B C vodaan krjottaa muodossa A = ɛ jk B j C k, mssä oletetaan summaus tostetun ndeksn yl. Tämän avulla ylläolevan lkeyhtälön komponentt ovat dl dt + ɛ jkω j L k = N. (6.34) Pääakselkoordnaatstossa htausmomentt I evät muutu ajan funktona, joten koordnaatstossa {y} L = I ω (e summausta :n yl!). Tämän avulla lkeyhtälöryhmä saa muodon I dω dt + ɛ jkω j ω k I k = N, (6.35)
10 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 105 mkä krjotettuna auk kaklle komponentelle on I 1 ω 1 ω ω 3 (I I 3 ) = N 1 I ω ω 3 ω 1 (I 3 I 1 ) = N (6.36) I 3 ω 3 ω 1 ω (I 1 I ) = N 3. Jälleen on muuten saatu akaseks yhtälöryhmä, jota kutsutaa Eulern yhtälöks! Tässä on mustettava, että yhtälössä olevat suureet on annettava koordnaatstossa {y}. Vapaa hyrrä jälleen Oletetaan hyrrä vapaaks (N = 0) ja symmetrseks I 1 = I I 3. Lkeyhtälön 3-komponentt antaa suoraan I 3 ω 3 = 0 ω 3 = vako. Lkeyhtälön 1- ja -komponentt antavat yhtälöparn ω 1 = ω ω 3 I I 3 I 1 Kerätään vakotekjät yhdeks symbolks Nän päästään yhtälöparn ω = ω 3 ω 1 I 3 I 1 I 1. (6.37) Ω ω 3 (I 3 I 1 )/I 1 = ω 3 (I I 3 )/I 1. ω 1 = Ωω ω = Ωω 1. (6.38) Tämäkn yhtälö on näppärää ratkasta tekemällä stä yks komplekstason yhtälö krjottamalla ω 1 + ω = z, jollon dz dt = Ωz. (6.39) Tämän ratkasu on tetenkn muotoa z = Ae (Ωt+δ). Valtsemalla ajan nollakohta sopvaks saadaan kulmanopeudet mssä A = ω ω 3 on vako. ω 1 = A cos(ωt) ω = A sn(ωt), (6.40) Tulos tarkottaa stä, että kulmanopeuden projekto symmetra-aksela vastaan kohtsuoralle tasolle pyör kulmanopeudella Ω ja projekton ptuus A pysyy vakona. ω-vektor pyör hyrrän y 3 -akseln ympär pysyen ptuudeltaan vakona. Krjotetaan stten L pääakselkoordnaatstossa {y}: L 1 = I 1 ω 1 ; L = I 1 ω ; L 3 = I 3 ω 3 L = I 1 ω + (I 3 I 1 )ω 3 e 3 (6.41) Huomataan het, että L on ω:n ja symmetra-akseln määräämässä tasossa; ss myös L pyör symmetra-akseln ympär kulmanopeudella Ω
11 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 106 sälyttäen ptuutensa. Koska I 1 I 3, vektort L ja ω ovat kutenkn ersuuntaset. Lenee helppo vakuuttautua stä, että tarkasteltaessa tlannetta nertaalkoordnaatstossa symmetra-aksel ja kulmanopeusvektor kertävät samassa tasossa vakona pysyvää lkemäärämomenttvektora, kuten jo edellä osotettn. Maapalloa vo ensmmäsessä approksmaatossa tarkastella vapaana pyörjänä, sllä muden tavaankappaleden aheuttamat vääntömomentt ovat hyvn penä. Maapallo on hyvn symmetrnen pyörmsakselnsa suhteen, mutta heman ltstynyt ptkn aksela. Htausmomentelle on mtattu suhde I 3 I 1 I 1 = , jonka perusteella prekesson kulmanopeudeks tulee Ω = ω Tämän ennustaa prekessoperodks on non 10 kuukautta. Tämän ptäs näkyä maapallon pnnalla oleven psteden näennäsen lattudn srtymsenä tällä perodlla. Tarkkojen mttausten perusteella lkkeen ampltudks on saatu non 10 m, mutta lke on paljon epäsäännöllsempää (horjuvampaa) kun ylläoleva analyys antaa olettaa. Horjunnan akasarja-analyys antaa vahvmmaks perodks 40 vuorokautta. Tämä ero johtuu luultavast stä, että maapallo e ole avan knteä kappale. 6.4 Eulern kulmat Kuten edellä on jo todettu, jäykän kappaleen kuvalemseks tarvtaan kuus rppumatona koordnaatta nertaalkoordnaatstossa {x}. Kolmeks nstä on vsasta valta CM:n pakkavektorn komponentt, mutta kappaleen asento vodaan esttää monella er tavalla. Tutustutaan tässä nk. Eulern kulmn. Sjotetaan jälleen molempen koordnaatstojen {x} ja {y} orgot samaan psteeseen (O). Tasojen (x 1, x ) ja (y 1, y ) lekkausvvaa kutsutaan solmuvvaks (vrt. rataelementt luvussa ). Merktään Eulern kulma symbolella θ, ϕ, ψ: θ on y 3 :n ja x 3 :n välnen kulma [0, π], ϕ on x 1 :n ja solmuvvan välnen kulma [0, π], ψ on y 1 :n ja solmuvvan välnen kulma [0, π]. Kannattaa ehdottomast prtää kuva anakn kertaalleen tse! Malla vot kutenkn ottaa vakkapa kuvasta 6.3. Nyt on tavotteena lmasta melvaltanen {x}:ssä määrtelty vektor x Eulern kulmen avulla y 1 y y 3 = R x 1 x x 3, (6.4)
12 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 107 mssä matrs R kuvaa koordnaatstojen välstä kertoa. Tehtävänä on ss määrttää R. Tehdään se ensn raakaa vomaa käyttäen kolmena kertona x 1 ξ ξ y x R(x 3 ) 1 (ϕ) η R(ξ) (θ) η R(ρ ) (ψ) y, x 3 ρ ρ y 3 mssä muunnos R (x 3) (ϕ) tarkottaa kulman ϕ kertoa akseln x 3 suhteen jne. Lopullnen muunnosmatrs on näden kertomatrsen matrstulo R(ϕ, θ, ψ) = R (ρ ) (ψ) R (ξ) (θ) R (x 3) (ϕ) (6.43) el vektor y saadaan laskemalla y = R (ρ ) (ψ) R (ξ) (θ) R (x 3) (ϕ) x = R(ϕ, θ, ψ) x. (6.44) Kerrosta R (ρ ) (ψ) ja R (x3) (ϕ) tapahtuvat tarkasteltavan koordnaatston kolmannen akseln suhteen ja R (ξ) (θ) tosen akseln suhteen. Kertomatrst ovat ss R (x3) (ϕ) = R (ξ) (θ) = R (ρ ) (ψ) = Kertomalla nämä keskenään saadaan cos ϕ sn ϕ 0 sn ϕ cos ϕ cos θ sn θ 0 sn θ cos θ cos ψ sn ψ 0 sn ψ cos ψ (6.45) (6.46) (6.47) R(ϕ, θ, ψ) = (6.48) ( cos ψ cos ϕ cos θ sn ϕ sn ψ ) cos ψ sn ϕ + cos θ cos ϕ sn ψ sn θ sn ψ sn ψ cos ϕ cos θ sn ϕ cos ψ sn ψ sn ϕ + cos θ cos ϕ cos ψ sn θ cos ψ sn θ sn ϕ sn θ cos ϕ cos θ Tarkastellaan stten kulmanopeusmatrsa 0 ω 3 ω Ω = ω 3 0 ω 1. ω ω 1 0 Olemme jo aemmn johtaneet tuloksen Ω = T T T, kun krjotettn x = T y. Nyt T = R T, joten Ω = R Ṙ T. (6.49) Tästä vodaan poma suoraan kulmanopeuden ω komponentt ω 1, ω, ω 3. Jos kutenkaan e halua nähdä ylläolevan laskun vavaa, kulmanopeuden vo päätellä myös edellä olleen kehotuksen mukasest prrettyä kuvaa tarkastelemalla. Kulmanopeuksen määrttämseks tulee mustaa, että kulmanopeusvektor kolmessa ulottuvuudessa on kohtsuorassa stä tasoa vastaa, jossa kulma mtataan. Nän ollen
13 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 108 θ on solmuvvan suuntanen ja sen komponentt koordnaatstossa {y} ovat θ 1 = θ cos ψ, θ = θ sn ψ, θ3 = 0, ϕ on x 3 -akseln suuntanen ja sen komponentt y 3 -akseln suunnassa on ϕ 3 = ϕ cos θ ja (y 1, y )-tasolla ϕ (y1,y ) = ϕ sn θ, joka jaettuna y 1 - ja y -akselelle on ϕ 1 = ϕ sn θ sn ψ, ϕ = ϕ sn θ cos ψ ψ:lla on projekto anoastaan y 3 -aksellla. Kulmanopeus ω on lopulta komponenttmuodossa ω 1 = ϕ sn θ sn ψ + θ cos ψ ω = ϕ sn θ cos ψ θ sn ψ (6.50) ω 3 = ϕ cos θ + ψ. Tämän tuloksen avulla on helppo laskea esmerkks jakson lopussa löydetty symmetrsen vapaan hyrrän prekesso (HT). Lagrangen hyrrä Vähän monmutkasempana ja hyödyllsempänä esmerkknä Eulern kulmen käytöstä ratkastaan nk. Lagrangen hyrrän lke (Kuva 6.3). y 3 CM x 1 x 3 θ O ϕ Kuva 6.3. Lagrangen hyrrä. y ψ N y 1 x Kyseessä on gravtaatokentässä pyörvä massvnen symmetrnen hyrrä, jonka yks symmetra-aksellla oleva pste on knntetty. Tällassta pyörvstä kappalesta on monenlasa käytännön esmerkkejä pkkulasten leluhyrrstä teknologsssa sovellutuksssa käytettävn gyroskooppehn. Esmerkks suuret lentokoneet evät enää ptkään akaan ole käyttäneet magneettsa kompasseja vaan nopeast pyörvn kappalesn perustuva gyrokompasseja. Gyrojen suunta asetetaan tarkast okeaks lentokentällä ja lkemäärämomentn sälymslan perusteella ne sälyttävät suuntansa lennon akana. Koska hyrrän yks pste on knntetty avaruudessa, tämä sdosehto ve mennessään kolme vapausastetta ja hyrrän lke määräytyy täydellsest kolmen kulman avulla ja nks kulmks kelpaavat edellä estetyt Eulern kulmat. Valtaan knteäks psteeks hyrrän symmetra-akseln tonen pää. Olkoon se koordnaatston {x} x 1 x -tasossa ja tämä taso olkoon puolestaan kohtsuorassa gravtaatokhtyvyyttä vastaan. Teoreetkon hyrrän kyseessä ollen kärjen ja pyörmstason välllä e ole ktkaa.
14 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 109 Hyrrän päähtausmomentt CM:n suhteen ovat I 1, I, I 3. Päähtausmomentt I1 0, I0, I0 3 knntyspsteen suhteen saadaan Stenern säännön avulla I 0 1 = I 1 + mh I 0 = I + mh (6.51) I 0 3 = I 3, mssä h on hyrrän CM:n etäsyys knntyspsteestä. Hyrrän Lagrangen funktoks tulee (älä sekota tässä Lagrangen funkton symbola lkemäärämomenttn!) L = 1 (I0 1ω 1 + I 0 ω + I 0 3ω 3) mgh cos θ, (6.5) mssä kulma θ on määrtelty kuten edellä, ss nyt hyrrän symmetraakseln y 3 ja akseln x 3 välsenä kulmana. Krjotetaan kulmanopeuden komponentt Eulern kulmen avulla ja käytetään hyrrän symmetrsyyden seurausta I1 0 = I0. Tällön Lagrangen funkto saa muodon L = 1 I0 1( θ + ϕ sn θ) + 1 I 3( ψ + ϕ cos θ) mgh cos θ. (6.53) Nyt kulmat ψ ja ϕ ovat syklsä (kertaa asa jaksosta 3.9), joten nhn lttyvät kanonsten mpulssen komponentt p ψ = L/ ψ ja p ϕ = L/ ϕ ovat sälyvä suureta el lkevakota: p ψ = L ψ = I 3( ψ + ϕ cos θ) = I 3 ω 3 = L 3 (6.54) p ϕ = L ϕ = (I0 1 sn θ + I 3 cos θ) ϕ + I 3 ψ cos θ = L x3. Ss hyrrän lkemäärämomentt L hyrrän omassa koordnaatstossa on tetenkn lkevako. Lsäks p ϕ el lkemäärämomentn projekto aksellle x 3 on sekn lkevako. Koska systeem on konservatvnen, myös kokonasenerga on lkevako E = T rot + U = 1 I0 1( θ + ϕ sn θ) + 1 I 3( ψ + ϕ cos θ) + mgh cos θ. (6.55) Lkevakoden avulla päästään vhdon ntegromaan lkeyhtälötä. Kanonsten mpulssen komponentten yhtälöstä saadaan kulmanopeudet ϕ = L x 3 L 3 cos θ I 0 1 sn θ ψ = L 3 cos θ L x 3 L 3 cos θ I 3 I1 0. (6.56) sn θ Sjotetaan nämä energayhtälöön, jollon saadaan yhtälö θ:lle. Tämä on separotuva tavallnen ensmmäsen kertaluvun dfferentaalyhtälö, joka
15 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 110 on suoravvanen ntegrotava. Oletetaan alkuarvoks t = t 0 :lla, että hyrrän kallstuskulma on θ = θ 0. Integraalks tulee t t 0 = θ θ 0 dθ (E L 3 mgh cos θ) (L x 3 L 3 cos θ) I 3 sn θ) I 0 1 (I 0 1. (6.57) Tässä kannattaa tehdä muuttujanvahdos u = cos θ, jollon du = sn θdθ ja sn θ = 1 u. Integraalsta tulee t t 0 = (6.58) u du. I 0 1 u 0 I 0 1(1 u )(E L 3 I 3 mghu) (L x3 L 3 u) Tuloksena on jälleen Weerstrassn ellptsenä ntegraalna tunnettu ntegraal, jonka juurlausekkeessa on tällä kertaa u:n kolmannen asteen polynom. Selalemalla ntegraaltaulukota (HT: Tee se!) optaan, että tällanen ongelma palaa Weerstrassn γ-funkton laskemseen. Tämä on jälleen mustutus stä, että matemaattsen fyskan omtuslta näyttävät erkosfunktot ovat tseasassa kenoja krjottaa erlassta fyskaalssta ongelmsta nouseven dfferentaalyhtälöden ratkasuja kästeltävssä muodossa. Fyskan matemaattsten menetelmen kursslla nämä funktot saattavat tuntua elävän omaa elämäänsä, mutta kyseessä on kutenkn enssjasest tarve kehttää menetelmä tällasten usen hankalen ratkasujen omnasuuksen tarkasteluun. Olemme ss anakn peraatteessa ratkasseet Lagrangen hyrrän ongelman. Hyrrän omnasuudet (kokonasenerga ja lkemäärämomentt) antavat lähtötedot E, L 3, L x3, jonka lsäks Eulern kulmlla on jotkn alkuarvot. Tämän jälkeen saadaan kaavan (6.58) avulla lasketuks (anakn numeersest) hyrrän pääakseln kulma θ = θ(t) akseln x 3 suhteen. Tämän jälkeen saadaan loput kulmat ntegroduks yhtälöstä (6.56). Nän ss ongelma on saatu redusoduks kolmen lkevakon avulla kolmeks (todella työlääks) ntegraalks. Kokemuksen myötä fyyskko kutenkn (tovottavast) opp päättelemään tarkasteltaven systeemen fyskkaa syöttämättä sunpän kaavojaan Matlabn ta Mathematcaan. Tässä tapauksessa ntegraaln t = t(θ) nmttäjän juurlausekkeella R = I 0 (1 u )(E L 3 I 3 mghu) (L x3 L 3 u) on kaks juurta välllä 1 < u < +1 ja yks juur u > 1. Vmemanttu on epäfyskaalnen koska u = cos θ. Juurten kohdalla kulmanopeus θ = 0, joten hyrrän symmetra-akseln suunta helahtelee nätä juura vastaaven kulmen välssä. Ss symmetra-aksel e sunkaan osota yhteen suuntaan, jollon hyrrä kaatus samanten! Aksel e myöskään välttämättä kerrä x 3 -aksela vakokulmassa vaan tekee nk. nutaatolkettä. Nutaatoon vo tutustua tarkastelemalla hyrrän vapaan pään lkettä pallon pnnalla, jonka keskpste on hyrrän knteä pste (tässä tapauksessa hyrrän tonen pää). Vapaa pää lkkuu pallolla edelläolleen yhtälön
16 LUKU 6. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 111 reaalsa juura vastaaven leveyspren θ 1 ja θ välssä. Pallon pnnalle syntyvän käyrän muoto on summa prekessosta ja nutaatosta ja rppuu suhteesta L x3 /L 3. Hyrrän kärk vo edetä monotonsest koordnaatston {x} longtudkulman suhteen ta prtää slmukkaa ta syklodn kaltasta kuvota (Kuva 6.4). θ θ θ θ 1 θ 1 θ 1 Kuva 6.4. Nutaatolke. Kevättasauspsteen prekesso Kuten jo aemmn todettn maapallo e ole avan pyöreä ja sen pyörmsaksel on lsäks 3 7 kulmassa ratatason normaaln suhteen. Tämän vuoks lähellä olevat kappaleet aheuttavat penen vääntömomentn maapallon lkeyhtälöön el maapallo e ole avan vapaa hyrrä. Nyt vodaan osottaa (katso esm. Goldstenn oppkrjasta), että vääntömomentt aheuttaa prekessonopeuden ϕ, jonka suhde ratakulmanopeuteen ω 0 on ϕ = 3 ω 0 I 3 I 1 cos θ. ω 0 ω 3 I 3 Tämä on tosn hyvn pen efekt. Aurngon aheuttama vääntömomentt aheuttaa prekesson, joka on yks kerros non vuodessa. Vakkakn Kuu on paljon penemp, se on paljon lähempänä ja vääntää Maan pyörmsaksela yhden kerroksen puolta lyhyemmässä ajassa. Näden yhtesvakutus on non vuodessa el täys kerros vuodessa. Lsäks Kuun rata on non 5 kulmassa eklptkaan nähden, mstä aheutuu pen nutaato, joka on non 9 kulman θ suhteen ja 18 kulman ϕ suhteen.
Jäykän kappaleen liike
aananta 9.9.014 1/17 Jäykän kappaleen lke Tähän ast tarkasteltu massapstemekankkaa : m, r, v Okeast fyskaalset systeemt ovat äärellsen kokosa, esm. jäykät kappaleet r r j = c j =vako, j elastset kappaleet
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma
Lisätiedotd L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ
TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä
LisätiedotPyörimisliike. Haarto & Karhunen.
Pyörmslke Haarto & Karhunen www.turkuamk.f Pyörmslke Lttyy jäykän kappaleen pyörmseen akselnsa ympär Pyörmsenerga on pyörmsakseln A ympär pyörvän kappaleen osasten lke-energoden summa E r Ek mv mr mr www.turkuamk.f
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys10 Syksy 010 Jukka Maalamp LUENTO 4 Vermnen Vermnen tarkottaa yhdstettyä lkettä, jossa kappale pyör akseln ympär ja aksel etenee suoravvasest. Vermsessä kappale e lu alustalla. Tämä
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys10 Syksy 009 Jukka Maalamp LUENTO 3 Vermnen Vermnen tarkottaa yhdstettyä lkettä, jossa kappale pyör akseln ympär ja aksel etenee suoravvasest. Vermsessä kappale e lu alustalla. Tämä
LisätiedotCOULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT
COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks
Lisätiedotr i m i v i = L i = vakio, (2)
4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään
LisätiedotKanoniset muunnokset
Kanonset muunnokset Koordnaatstomuunnokset Lagrangen formalsmssa pstemuunnoksa: Q = Q (q, t) nopeudet saadaan nästä dervomalla Kanonnen formalsm: p:t ja q:t samanarvosa 2n-ulottesen faasavaruuden muuttuja
LisätiedotJaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
LisätiedotFYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO
FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron
LisätiedotLagrangen mekaniikka. Luku Systeemin vapausasteet ja sidokset
Luku 3 Lagrangen mekankka Lähdetään stten opskelemaan abstraktmpaa mutta samalla tehokkaampaa mekankan formalsma, jonka taustalla on kaks suurta matemaatkkoa Joseph- Lous Lagrange (1736 1813) ja Sr Wllam
LisätiedotJäykän kappaleen liike
Luku 5 Jäykän kappaleen liike Tähän mennessä mekaniikkaa on tarkasteltu lähinnä yksittäisten massapisteiden näkökulmasta. Oikeat mekaaniset systeemit muodostuvat kuitenkin usein äärellisen kokoisista kappaleista,
LisätiedotMat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut
Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotHamiltonin mekaniikka
Luku 7 Hamltonn mekankka Tässä luvussa mekankan formalsma vedään velä Lagrangen mekankkaakn järeämpään muotoon. Tutustumme jo luvussa 3 johnkn kanonsen formalsmn peruspalkohn, kuten kanonsn mpulssehn,
Lisätiedot1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.
BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä
Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla
Lisätiedot7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.
7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden
LisätiedotPainotetun metriikan ja NBI menetelmä
Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematkkaan Informaatoteknologan tedekunta Jyväskylän ylopsto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettamnen - gradenttmenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavote-parella
LisätiedotGalerkin in menetelmä
hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan
LisätiedotHASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta
HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten
LisätiedotTilastollisen fysiikan luennot
Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta
Lisätiedot3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.
MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt
LisätiedotTarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi
Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
LisätiedotTyössä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa
URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 38E. MEKAANISEN VÄRÄHELYN UKIMINEN. yön tavote 2. eoraa yössä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa:
Lisätiedot1, x < 0 tai x > 2a.
PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto
Lisätiedot7 Jäykän kappaleen dynamiikka (Rigid-body dynamics)
7 Jäykän kappaleen dynamkka (Rgd-body dynamcs) 7. Jäykät kappaleet (rgd bodes) Jäykkä kappale: sellanen monesta hukkasesta koostuva kappale, jossa hukkasten välset etäsyydet pysyvät muuttumattomna kappaleen
LisätiedotPuupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:
Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit (2)
Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella
LisätiedotTchebycheff-menetelmä ja STEM
Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot
LisätiedotUsean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa
Usean muuttujan funktoden ntegraallaskentaa Pntantegraaln määrtelmä Yhden muuttujan tapaus (kertausta) Olkoon f() : [a, b] R jatkuva funkto Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f() Remann-ntegraal
LisätiedotSähköstaattinen energia
ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä
Lisätiedot0 Matemaattisia apuneuvoja
0 Matemaattsa apuneuvoja 0.1 Kokonasdfferentaal Tarkastellaan kahden muuttujan funktota f(x, y), joka on määrtelty xy-tasossa. llon jokaseen tason psteeseen (x, y) lttyy funkton arvo z = f(x, y). Jos funkto
LisätiedotUuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Uuden eläkelatoslan vakutus allokaatovalntaan Tmo Salmnen 58100V Espoo, 14. Toukokuuta 2007 Ssällysluettelo Johdanto...
Lisätiedot4. A priori menetelmät
4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
Lisätiedot5. KVANTTIMEKANIIKKAA
5. KVANTTIMEKANIIKKAA Bohrn atommallsta samme jonknlasen kuvan atomn rakenteesta. Kutenkaan Bohrn atommall e pysty selttämään kakka kokeellsa havantoja spektrestä: Mks osa spektren vvosta on tosa vomakkaampa
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotT p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k.
Olkoot A R n n ja T R n n sten, että on olemassa ndeks p N jolle T p = Tällästä matrsa kutsutaa nlpotentks Näytä, että () () () Olkoot Määrtä matrs B n (λi + A) n = (λi + T ) n = B = n mn n,p ( ) n λ n
LisätiedotRaja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotPro gradu -tutkielma. Whitneyn upotuslause. Teemu Saksala
Pro gradu -tutkelma Whtneyn upotuslause Teemu Saksala Helsngn ylopsto Matematkan ja tlastoteteen latos 5. maalskuuta 2013 0.1 Johdanto Topologset monstot ovat melenkntosa, koska ne ovat määrtelmänsä nojalla
LisätiedotYksikköoperaatiot ja teolliset prosessit
Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...
LisätiedotHallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28
Jyväskylän Aattkorkeakoulu, IT-nsttuutt IIF00 Sovellettu fyskka, Syksy 005, 4.5 ETS Opettaja Pas epo alln lö Laatja - Pas Vähäartt Vuoskurss - IST4SE Tekopävä 005-9-4 Palautuspävä 005-9-8 8.9.005 /7 LABOATOIOTYÖ
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot
LisätiedotHitaustensori. Inertiaalikoordinaatisto {x} Kappaleen (mahd. ei-inertiaalinen) lepokoordinaatisto {y} )2 x = 1 2 T = 1.
Torstai 2.10.2014 1/20 Hitaustensori Inertiaalikoordinaatisto {x} Kappaleen (mahd. ei-inertiaalinen) lepokoordinaatisto {y} T = 1 m i ( r i 2 )2 x = 1 m i ( R + ω ri ) 2 2 i i = 1 2 M R 2 + 1 2 ω i I ik
LisätiedotPUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta
Matt A Aaltoylopsto Perusteteden korkeakoulu Matematkan ja systeemanalyysn latos PL 1100, 02015 Espoo matt.ranta@tkk.f 1 JOHDANTO Putkkellot kuuluvat lyömäsotnten ryhmään. Putkkellot koostuvat erptussta
Lisätiedot. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol.
LH-1 Kaasusälö ssältää 1, g typpeä 1800 K lämpötlassa Sälön tlavuus on 5,0 l Laske pane sälössä ottamalla huomoon, että tässä lämpötlassa 30 % typpmolekyylestä, on hajonnut atomeks Sovella Daltonn laka
LisätiedotKuorielementti hum
Kuorelementt hum.. ämä estys e kuulu kurssvaatmuksn, vaan se on tarkottu asasta knnostunelle. arkastellaan tässä yhteydessä eaarsta -solmusta AIZ (Ahmad, Irons ja Zenkewcz, 970) kuorelementtä, jonka knematkka
Lisätiedot9. Muuttuva hiukkasluku
Statstnen fyskka, osa B (FYSA242) Tuomas Lapp tuomas.v.v.lapp@jyu.f Huone: FL240. E kntetä vastaanottoakoja. kl 2016 9. Muuttuva hukkasluku 1 Kertaus: lämpökylpy Mustetaan kurssn A-osasta Mkrokanonnen
LisätiedotEsitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotMittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?
Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl
LisätiedotBL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka
BLA6 Sähkönsrtoteknkka Tehonaon laskenta Jarmo Partanen LT Energy Electrcty Energy Envronment Srtoverkkoen laskenta Verkon tehonaon laskemnen srron hävöt ännteolosuhteet ohtoen kuormttumnen verkon käyttäytymnen
LisätiedotKvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan
Kvanttmekaansten joukkojen yhteys termodynamkkaan Hukkaslukumäärän sälyttävä systeem vo vahtaa energaa ympärstönsä kanssa kahdella tavalla: työnä ta lämpönä. Termodynamkassa entropan muutos lttyy lämmön
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I
SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Vahtosähkön teho hetkellnen teho p(t) pätöteho P losteho Q näennästeho S kompleksnen teho S HETKELLINEN TEHO Kn veresen kvan mpedanssn Z jännte ja vrta (tehollsarvon osottmet)
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 22..2007 Luento 0 Ssäpstemenetelmät ja kokonaslukuoptmont (krja 0.-0.4) Ssäpstemenetelmät luvut 8 ja 9, e tarvtse lukea Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Sananen
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotKvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan
Kvanttmekaansten joukkojen yhteys termodynamkkaan Hukkaslukumäärän sälyttävä systeem vo vahtaa energaa ympärstönsä kanssa kahdella tavalla: työnä ta lämpönä. Termodynamkassa entropan muutos lttyy lämmön
LisätiedotKarttaprojektion vaikutus alueittaisten geometristen tunnuslukujen määritykseen: Mikko Hämäläinen 50823V Maa-123.530 Kartografian erikoistyö
Karttaprojekton vakutus aluettasten geometrsten tunnuslukujen määrtykseen: Mkko Hämälänen 50823V Maa-23.530 Kartografan erkostyö SISÄLLYSLUETTELO JOHDANTO... 4. TUTKIMUKSEN LÄHTÖKOHTA... 4.2 RAPORTISTA...
LisätiedotMAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2009
MOL-Pstetysohjeet Fyskka kevät 9 Tyypllsten vrheden aheuttama pstemenetyksä (6 psteen skaalassa): - pen laskuvrhe -/3 p - laskuvrhe, epämelekäs tulos, vähntään - - vastauksessa yks merktsevä numero lkaa
LisätiedotMittaustulosten käsittely
Mttaustulosten kästtely Vrhettä ja epävarmuutta lmasevat kästteet Tostokoe ja satunnasten vrheden tlastollnen kästtely. Mttaustulosten jakaumaa kuvaavat tunnusluvut. Normaaljakauma 7. Tostokoe ja suurmman
LisätiedotVenymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan dl = α LdT + df = df AE AE Ulkoisen voiman tekemä työ saadaan integroimalla δ W = FdL :
S-11435, Fyskka III (ES) Tentt 194 1 Setsemän tunnstettavssa olevaa hukkasta on jakautunut kahdelle energatasolle Ylem taso on degenerotumaton ja sen energa on 1, mev korkeam kun alemman tason, joka uolestaan
LisätiedotEräs Vaikutuskaavioiden ratkaisumenetelmä
Mat-2.142 Optmontopn semnaar, s-99 28.9. 1999 Semnaarestelmän referaatt Joun Ikonen Lähde: Ross D. Schachter: Evaluatng nfluence dagrams, Operatons Research, Vol 34, No 6, 1986 Eräs Vakutuskaavoden ratkasumenetelmä
LisätiedotMO-teoria ja symmetria
MO-teora ja symmetra () Kaks atomorbtaaa vovat muodostaa kaks moekyyorbtaaa - Stova orbtaa - ajottava orbtaa () Atomorbtaaen energoden otava keskenään samansuurusa () Atomorbtaaen symmetravaatmukset LCAO
LisätiedotVenymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan AE AE
S-11435, Fyskka III (ES) Tntt 75 1 Stsmän tunnstttavssa olvaa hukkasta on jakautunut kahdll nrgatasoll Ylm taso on dgnrotumaton ja sn nrga on 1, mv korkam kun almman tason, joka uolstaan on dgnrotunut
LisätiedotValmistelut INSTALLATION INFORMATION
Valmstelut 1 Pergo-lamnaattlattan mukana tomtetaan kuvallset ohjeet. Alla olevssa tekstessä on seltykset kuvn. Ohjeet on jaettu kolmeen er osa-alueeseen, jotka ovat valmstelu, asennus ja svous. Suosttelemme,
Lisätiedot3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut
MAB5: Tunnusluvut 3.3 Hajontaluvusta Esmerkk 7 Seuraavat kolme kuvaa osottavat, että jakaumlla vo olla sama keskarvo ja stä huolmatta ne vovat olla avan erlaset. Kakken kolmen keskarvo on 78,0! Frekvenss
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Mekaniikan peruslait (liikelait). Liikemäärän momentin tase. Kappaleen massan vaikutusmitat. Jäykän
Lisätiedot1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
LisätiedotKuluttajahintojen muutokset
Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä
LisätiedotKuntoilijan juoksumalli
Rakenteden Mekankka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 61 74 Kuntoljan juoksumall Matt A Ranta ja Lala Hosa Tvstelmä. Urhelututkmuksen melenknnon kohteena ovat yleensä huppu-urheljat. Tuokon yksnkertastettu juoksumall
LisätiedotKäytetään säteille kompleksiesitystä. Tuleva säde on Ee 0 iw t ja peräkkäisiä heijastuneita säteitä kuvaaviksi esityksiksi saadaan kuvasta: 3 ( 2 )
58 Yhtälön (0.4.) mukaan peräkkästen hejastuneen säteen optnen matkaero on D= n tcosqt ja vahe-eroks tulee (kun r = 0) p = kd= D. (.3.) l ässä on huomattava, että hejastuksssa tapahtuvat mahollset p :
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotS , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon
S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotReaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin
MAT-3440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tampereen teknllnen ylopsto Rsto Slvennonen Kevät 00 4. Vektorfunkton dervaatta. Ketjusääntö.. Reaalarvosen funkton dervaatta Tässä luvussa estetään dervaattakäste ensn reaalarvoselle
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /
M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43
LisätiedotYleistä. Teräsrakenteiden liitokset. Liitos ja kiinnitys
Ylestä Teäsakenteden ltokset (EC3-1-8, EC3-1-8-NA) Teäsakenteden lttämsessä tosnsa vodaan käyttää seuaava menetelmä: uuv-, ntt- ja nveltappltokset htsausltokset lmaltokset Ltos ja knntys Ltosta asttavan
Lisätiedot4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotR 2. E tot. Lasketaan energialähde kerrallaan 10 Ω:n vastuksen läpi oleva virta.
D-000 Pranalyys Harjotus 3 / vkko 5 4.4 Laske kuvan vrta käyttäen energalähteden muunnoksa. Tarkotuksena on saada energalähteden muutokslla ja yhdstämsllä akaan yksnkertanen pr, josta vo Ohmn lan avulla
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 28.0.206 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan
Lisätiedot= m B splini esitys. B splini esitys. Tasaiset B splinit
.2. spln estys ézer estyksen yksnkertasuus ja voma ovat ettämättä sen suoson salasuus. Kakesta huolmatta slläkn on rajotuksensa, jotka ovat yltettävssä splnejä käyttäen. Lsäämällä kontrollpstetä saadaan
LisätiedotFDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA
FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA Smo Hostkka VTT PL 1000, 02044 VTT Tvstelmä Fre Dynamcs Smulator (FDS) ohjelman vdes verso tuo mukanaan joukon muutoksa, jotka vakuttavat ohjelman käyttöön ja käytettävyyteen.
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotTimo Tarvainen PUROSEDIMENTIIANALYYSIEN HAVAINNOLLISTAMINEN GEOSTATISTIIKAN KEINOIN. Outokumpu Oy Atk-osasto
Tmo Tarvanen PUROSEDMENTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSTKAN KENON Outokumpu Oy Atk-osasto PUROSEDMENTTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSSTKAN KENON 1. Johdanto Nn sanotulla SKALAn alueella (karttaleht
Lisätiedot