JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINEMATIIKKA
|
|
|
- Markku Yrjö Leppänen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 JÄYKÄN KLEEN TSKINEMTIIKK TSLIIKKEEN LUKITTELU Liikkee yyppi Esimerkki ( Suoriiie rslio (b Käyräiiie rslio (c Roio (d Yleie soliike TRNSLTI Trslioss kikki pisee liikku smll ll eli kpplee liikeil uemisee riiää se yhde pisee (esim. msskeskiö G liikeil uemie. Jäykä kpplee rslioliike oid käsiellä prikkeli kiemiikll. 1
2 TSLIIKKEEN KULM-SEM, -NEUS J -KIIHTYVYYS β 1 θ Suorie 1 j kulm-sem o θ 1 j θ. Suorie älie kulm β ei muuu. θ 1 = θ + β θ & & && = & = θ1 θ θ1 Verilusuu θ 1 Jäykä kpplee soliikkeessä kikill kpplee suorill o sm kulmsem muuos, kulmopeus j kulmkiihyyys. Jäykä kpplee pyörimisliikkee kulmopeus θ & = j kulmkiihyyys & θ = & = o mielilise suor kulm-sem θ esimmäie j oie deri j suhee. dθ = = θ& d d = dθ d = = & = d eli θ& dθ& = && θdθ d d θ = && θ Kolms yhälö o roio eergidiffereiliyhälö. Suureill θ, j o sm posiiiie suu, joksi soi späiää. Tsisesi kiihyä roio: = θ = θ + ( + ( + = 1 ( + ( θ θ
3 RTTI Roio o pyörimisliikeä kiieä roiokseli ympäri. Kpplee pisee liikku roiokseli s kohisuorss soss piki ympyrä kri. Roiokseli j liikeso (sisälää msskeskiö G leikkuspiseä so roiokeskukseksi. NEUDEN J KIIHTYVYYDEN KMNENTIT r / / / / = / r / NEUS- J KIIHTYVYYSVEKTRI & = r / / ( (b = & r / = ( r / = r / = r / = & = r& = ( r / / = + = ( r / + & r + r / / + r o kulmopeusekori / Q = & o kulmkiihyyysekori 3
4 YLEINEN TSLIIKE SUHTEELLINEN NEUS / r / = + r / / rikkeli j opeuksie älillä päee k r = + / / o prikkeli suheellie opeus prikkelii ähde. Ku j o sm jäykä kpplee kksi prikkeli, prikkeli liike prikkelii ähde oi oll i roio. Suheellie opeus / o kohisuorss j s j se suuruus o / / r / o j piuus j kpplee kulmopeude suuruus. j kp- Suheellie opeus oid esiää suheellise pikkekori plee kulmopeusekori ull, jolloi seur r = + r / r / Yleie soliike oid ulki rslio j roio summksi. isee opeus o erilupisee rslioopeude j suheellise roioopeude = r summ. / / 4
5 NEUSN C Tsoliike o erilupisee mukise rslio j ämä ympäri phu roio yhdiselmä. r = Trslios iheuu opeude määrää erilupisee opeus j roios iheuu opeude kulmopeus. isee opeus olisi sm, jos kpple pyörisi kulmopeudell sellise pisee C ympäri, jok o ekori ormlill eäisyydellä r = / piseesä. iseä C so opeusksi. Kpplee kikkie piseide opeude sd lskeu jelemll se ole roioss opeus ympäri kulmopeudell. Nopeus määriys: ( ue kpplee khde pisee j opeuksie suu, jolloi opeusp o äide suuie ormlie leikkuspiseessä. (b j (c ue j s kohisuorie opeusekoreide suuruude j. Nopeusp o suu sekä ekoreide j kärkie määräämä suu leikkuspiseessä. ( (b (c C C C Kpplee piseide kiihyyyksiä ei oi lske jelemll se ole roioss opeus ympäri, sillä opeus kiihyyys ei ole oll. 5
6 SUHTEELLINEN KIIHTYVYYS / / r / = + r / / / / / rikkeli j kiihyyyksie älillä päee k = + / = + / + / / o prikkeli suheellie kiihyyys prikkelii ähde. Ku j o sm jäykä kpplee kksi prikkeli, prikkeli liike prikkelii ähde oi oll i roio. Suheellisell kiihyyydellä / o kompoei / kohisuor j s j kompoei / j suuss kohi piseä j iide suuruude o / / / / r / o j piuus, kpplee kulmopeude j kulmkiihyyyde suuruus. Suheellise kiihyyyde k meee ekorimuooo suheellise pikkekori, kulmkiihyyysekori j kulmopeusekori ull r / = + r / + ( r / rikkeli kiihyyys o erilupisee rsliokiihyyyde j suheellise roiokiihyyyde summ. Roiokiihyyys oid jk / ormli- j geilikompoeii / j /. 6
7 RTIKKELIN LIIKE LIIKKUVSS KLEESS Y J ( (b dθ & r d j = dθ i i y y I & j r z y k j j K r / i o kpplee κ prikkeli j xykoordiiso o kiiiey siihe j pyörii siis kpplee κ kulmopeudell j kulmkiihyyydellä. o oise kpplee prikkeli, jok liikkuu kpplee κ suhee. rikkeli suheellis liikeä hi xy-koordiisoss. rikkeli bsoluuie pikkekori o r + r / + ( x i + y j, jolloi i j j o xy-koordiiso yksikköekori j x j y pisee koordii xykoordiisoss. rikkeli bsoluuie opeus o & j bsoluuie kiihyyys = & r. Derioiiss o huom, eä yksikköekori i j j pyöriä xy-koordiiso muk, eiäkä ole kioekorei. Vekoreide i j j ikderi o kuie ( j (b peruseell & i = i & & + ( x i + y j + ( x& i + y& j & = + r κ / X d i = dθ j x dθ x x + i & j = j rikkeli bsoluuiselle opeudelle sd r + (x i + y j + ( x& i + y& j joss = x& i + y& j o prikkeli opeus hiu liikkuss xykoordiisoss. 7
8 r Nopeude k oid ulki ole muoo = K +, joss K = + rk / o se kpplee κ prikkeli K opeus, jok o prikkeli kohdll rkseluhekellä. iseä K so kuljeuspiseeksi. rikkeli bsoluuiselle kiihyyydelle sd = & = & + & r + r& / / / / + & r& = ( r + = ( r + & / & & = ( x& i + y& j + ( && x i + && y j = ( x& i + y& j + ( && x i + && y j = joss = && x i + && y j o prikkeli kiihyyys hiu liikkuss xykoordiisoss j & = kulmkiihyyys. rikkeli bsoluuiselle kiihyyydelle ulee luseke / / + = + r + ( r + + Termiä C = so Coriolis-kiihyyydeksi. Se o kohisuorss suheellis opeu s. Kiihyyyde k oid ulki ole muoo = K + C +, missä ermi K = + rk / + ( rk / o kuljeuspisee kiihyyys. rikkeli kiihyyys o se kuljeuspisee kiihyyyde, Corioliskiihyyyde j pyöriässä koordiisoss hiu kiihyyyde summ. 8
5 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINEMATIIKKA
Dymiikk 5.1 5 JÄYKÄN KLEEN TSOKINEMTIIKK 5.1 Yleisä Jäykkä kpple o määrielmä muk prikkelisyseemi, joss prikkelei älise keskiäise eäisyyde pysyä muuumomi. Jäykä kpplee mlli o ieeki likimääräie, sillä kikki
PARTIKKELIN KINEMATIIKKA
PRTIKKELIN KINEMTIIKK Pikklill li msspisllä koi kppl, jok mi o päolllis pi ksl hää kl. Kimiik häää o sliää, mi oid määiää pikkli sm, opus j kiihyyys s liikkuss käyääsä piki. z τ P y R z φ x y Rkäyä x Tkslu
Polynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA
Dyamiia 6. 6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASKINETIIKKA 6. Yleisä Jäyä appalee ieiiassa arasellaa appaleesee aiuaie uloise oimie ja seurausea olea liiee (raslaaio ja roaaio) älisiä yheysiä. Voimie äsielyssä ariaa
Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia
4. Integraalilaskenta
4. Inegrlilsken Joh8elev esimerkki: kun hiukksen pikk s( erivoin jn suheen, sn hiukksen nopeus: v( = s'( Kun nopeus erivoin jn suheen sn kiihyvyys ( = v'( Kääneinen ongelm: hiukksen kiihyvyys on (. Mikä
lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
/ Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
2. Suoraviivainen liike
. Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus
Kertaustehtävien ratkaisut
Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,
Geometrinen lukujono. Ratkaisu. a2 = 50 4 = 200 a3 = = 800 a4 = = 3 200
Geometrie lukujoo 7. Geometrise lukujoo esimmäie jäse o = 0 j peräkkäiste jäsete suhde =. Määritä lukujoo kolme seurv jäsetä. = 0 = 00 = 0 = 800 = 0 = 00 8. Geometrie lukujoo lk seurvsti: ), 0, 0, b) 000,
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
2. PARTIKKELIN KINEMATIIKKA
Dmiikk.1. PRTIKKELIN KINEMTIIKK.1 Yleiä Pikkelill eli mpieellä koie kpple, jok mi o epäoleellie piee kel ehää kl. Kpplee ei ie kuiek oll ihmie kl pieikokoie. Eimekiki leokoee leoeii kelu oid koe piää pikkeli,
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 06: Ekvivalentti systeemi
6/ VÄRÄHTEYMEKANKKA SESS 6: Evvle sysee JHDANT Use äyä pplee uodos sysee vod orv yhde vpussee evvlell llll os se pplede se/ul-se vod lusu s oord vull. Tällö sysee geoers vod uodos yheyde se e pplede leloe
Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017
OY/PJKOMP R 017 Puolijohdekomoeie erusee 571A Rakaisu, Kevä 017 1. Massavaikuuslai mukaisesi eemmisö- ja vähemmisövarauksekuljeajie ulo o vakio i, joka riiuu uolijohdemaeriaalisa ja lämöilasa. Kuvasa 1
ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S
3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki
1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
5 Jatkuvan funktion integraali
5 Jkuvn funkion inegrli Derivlle kääneisä käsieä kusun inegrliksi. Aloien inegrliin uusuminen esimerkillä. Esimerkki 5.. Tuonolioksess on phunu kemiklivuoo. Määriellään funkio V sien, eä V () on vuoneen
(x) (tasaisesti suppeneva sarja)
6.3 MATEMAATTISET OPERAATIOT SARJOIE Jos srjss o äärellie äärä erejä, void derivoii i iegroii suori huole ereiäi. Ääreöä srj puksess ereiäi operoii o slliu, jos srj suppeee sisesi. Esi. Trksell ääreöä
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)
Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
Copyright Isto Jokinen MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017
AEAKKA aeaiikkaa piakäsielijöille Ogelarakaisu so Jokie 207 SSÄLÖ. aeaaise ogelie rakaisu laskukaaoilla 2. ekijäyhälö 3. Laskukaaoje yhdisäie 4. Yhälöide uodosaie aeaaisee ogelaa Käyöoikeus opeuksessa
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)
Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a)
Sinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen
76619A Sähkömgnetismi, 7 op Kertustehtäviä, 1. välikokeen lue Vstukset tehtävien jälkeen 1. Kolme pistevrust sijitsee xy-koordintistoss ll olevn kuvn mukisesti. Vrus +Q sijitsee kohdss x =, toinen vrus
Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
EDE Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy Matematiikan ja matriisilaskennan kertausta
mperee tekillie yliopisto hum.8.3 Kostruktiotekiik litos EDE-00 Elemettimeetelmä perusteet. Lueto vk Syksy 03. Mtemtiik j mtriisilske kertust Yleistä Kirjoittele täe joiti kurssi keskeisiä sioit iille,
RATKAISUT: 6. Pyörimisliike ja ympyräliike
Phyic 9 pio () 6 Pyöiiliike j ypyäliike : 6 Pyöiiliike j ypyäliike 6 ) Pyöiiliikkeeä kpple pyöii joki keli ypäi Kpplee eto uuttuu b) Ypyäliikkeeä kpple liikkuu pitki ypyät dϕ c) Hetkellie kulopeu ω o kietokul
Luento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten
.4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell
xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3
Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm
2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23
LISÄTEHTÄVÄT. Maemaainen malli ja funkio 9. a) f (-) = - (-) + = - + = -6 b) f (-) = (-) - (-) + = - (-8) + = 8 + 8 + = 80. a) f ( ) = + f ( ) = 0 + = 0 ( ) = ± = ± = ai = Vasaus: = - ai = b) + = + = 0
766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4
766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä
Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä
ynmiikk 1 Liite lukuun 6. Jäykän kppleen tskinetiikk - hrjitustehtäviä 6.1 vlvpkettiutn mss n 1500 kg. ut lähtee levst liikkeelle 10 % ylämäkeen j svutt vkikiihtyvyydellä npeuden 50 km / h 1 10 60 m mtkll.
Älä tee mitään merkintöjä kaavakokoelmaan!
AS-74. Alogie ääö vkokoelm v. Plu ei jälkee! Trk kokoelm ivumäärä! Älä ee miää merkiöjä kvkokoelm! Dymie mllie perukompoei. Sähköie kompoei Vu (reii) u() Ri() el (iduki) u() L di() d odeori i() C du()
Sähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
2.2 Monotoniset jonot
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 16: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, yleinen jaksollinen kuormitus
6/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 6: Yhde vpussee vimeev poväähely, yleie jsollie uomius YLEINEN JAKSOLLINEN KUORMITUS Hmois heäeä vsv pysyvä poväähely lusee löyyy helposi oeilemll. Hmoise heäee eoi void hyödyää
Mekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
TV13 Integraalimunnokset Tentti Metropolia/AK Vastauksia
3 Igrlimuoks i 7.4.5 Mropoli/K suksi. Jokiss kohds oss iää pisä. Kiroi kuki suks prää lyhy pruslu. Jksollis sigli ksopiuus o 8 ms. Kuik suuri o sigli prusuus hrsiä? sus: 5 Hz li ksopiuud kääisluku. b Shrällo
Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto
Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,
Oikea vastaus: c) (max 2p) Tehtävän tarkkuus on kaksi numeroa.
Diplomi-insinöörien j rkkitehtien yhteislint - di-lint 2018 Insinöörilinnn fysiikn koe 30.5.2018, mllirtkisut A1 Sylinterissä, joss on mäntä, on n = 2,04 mooli ideliksu. Ksuun tuodn lämpöä j smll muuttut
6 Integraali ja derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 6 Inegrli j deriv 6. Inegrli ylärjns funkion. Olkoon Määriä kun () [, ], (b) ], 3]., kun [, ],, kun ], 3]. f() d, [, 3],. Osoi, eä jos funkio f on Riemnn-inegroiuv
E 3.15: Maan pinnalla levossa olevassa avaruusaluksessa pallo vierii pois pöydän vaakasuoralta pinnalta ja osuu lattiaan D:n etäisyydellä pöydän
HARJOITUS 2 E 3.9: Fysiikan kirja luisuu pois pöydän vaakasuoralta pinnalta nopeudella 1,10 m/s. Kirja osuu lattiaan 0,350 sekunnin kuluttua. Jätä ilmanvastus huomiotta. Laske a) pöydän pinnan etäisyys
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja
582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko
2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo
.1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,
Numeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
Elintarvikealan pk yritysten markkinointiosaamisen kasvattaminen: kohti tutkijoiden, kehittäjien ja pk yrittäjien yhteistyömallia
Tukimusprofessori Hrri Luoml Elinrvikeln pk yriysen mrkkinoiniosmisen ksvminen: kohi ukijoiden, kehiäjien j pk yriäjien yheisyömlli Esiys Ruok Suomi seminriss 20.11.2008, Arkikum, Rovniemi Hnkkeen lähökohd
DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset
D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,
Evoluutiosta. Evoluutiokäsitteitä. Nykykäsitys evoluutiosta. Populaatiogenetiikka. Mikroevoluutio. Mikroevoluutio
Evoluuios Evoluuio-opi oppi-isää Chrles Drwi, jos usei käyey ermi drwiismi juur juures. Drwi kirj The Orii of Speies by Mes of Nurl Seleio (1859) esii kksi pääsi: 1. Todisei siiä eä kikki lji ov polveuuee
4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
Signaalit aika- ja taajuustasossa
Sili lomuoo Sili ik- uussoss Alomuoo kuv sili käyäyymisä fukio li iksoss. Ylsä lomuoo rksll simrkiksi oskilloskoopi äyöllä. Siimuooi sili Asiφ Asiπf φ i Acosφ Acosπf φ muodos prus kikki sili uussisällö
3.7. Rekursiivisista lukujonoista
.7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti
1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95
9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:
4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
Mekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia!
Tehtävän 1 moottorin kuormana an työkone, jonka momentti on vakio T=30 Nm. Laske
SÄHKÖENERGAEKNKKA Hrjoius - lueno 9 ehävä 1 Oheisess kuvss on ssähkökoneen sijiskykenämlli. Joh pyörimisnopeuden kv momenin funkion, kun mgneoinivuo φ j nkkurijännie V ov vkioin. Piirrä johmsi kv -ω soss,
Fysiikka ei kerro lopullisia totuuksia. Jokin uusi havainto voi vaatia muuttamaan teorioita.
766323A Mekaniikka Mansfield and O Sullivan: Understanding physics kpl 1 ja 2. Näitä löytyy myös Young and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 2 ja 3, s. 40-118. Johdanto Fysiikka on perustiede.
VEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertaus edelliseltä luennolta sekä ristituloista. Mekaniikan koordinaatistot: pallokoordinaatisto. Vakiovektorin muutosnopeus (kantavektorin
Ei-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 30.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinetiikka (Kirjan luku 17.5) Osaamistavoitteet Osata ratkaista voimia ja niiden aiheuttamia kiihtyvyyksiä tasoliikkeessä
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
Lorentz-muunnos L(v) on operaatio, joka voidaan esittää myös matriisina
Lorenz-muunnos L on operaaio, joka oidaan esiää myös mariisina L / / mariisi L muodosaa ryhmän: kaksi peräkkäisä Lorenz-muunnosa on myös Lorenz-muunnos, ja on olemassa myös kääneinen Lorenz- muunnos 3
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.4 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa
S , Fysiikka IV (ES) Tentti
S-1436, Fysiikk IV (S) Tetti 81 35 19 1 Vierekkäiste spektriviivje piei hvittu tjuuser Cl F mlekyyli 1 rttispektrissä 1,1 1 Hz Lske tmie välie etäisyys mlekyylissä Rtkisu Kksitmise mlekyyli pyörimiseergi
Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET
Lujuusopi jtkokussi III. III. LAATTARAKENTEET Lttketeet tti Lähteemäki Lujuusopi jtkokussi III. JOHDANTO Tsopitketee kuomitus void jk keskipi suutisee j sitä vst kohtisuo kuomituksee eli lev- j lttkuomituksee.
ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:
10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)
1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
![1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [](/thumbs/58/42571602.jpg "1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [")
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
Lineaaristen järjestelmien teoriaa II
Lieaarise järjeselmie eoriaa II Ohjaavuus Tarkkailavuus havaiavuus Lisää sabiilisuudesa Tilaesimoii, Kalma-suodi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Mielekiioisia kysymyksiä Oko syseemi rakeeelaa sellaie, eä
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (
TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin
Ristitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA
YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9
JLP:n käyttämättömät mahdollisuudet. Juha Lappi
JLP:n äyämäömä mahdollisuude Juha Lappi LP ehävä p z = a x + b z 0 Max or Min (.) 0 0 = = subjec o he following consrains: c a x + b z C, =,, q p q K r (.2) = = m n i ij K (.3) i= j= ij x xw= 0, =,, p
Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009
Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 8 (viikko 14) Tehävä 1 LAD-käyrä siiryy ylöspäin. Ulkomaisen hinojen nousessa oman maan reaalinen vaihokurssi heikkenee 1 vaihoase vahvisuu IS-käyrä
1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009
Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin
9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.
9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille
XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA
II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =
SATE2180 Kenttäteorian perusteet syksy / 6 Laskuharjoitus 7 / Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima
ATE18 Kenäeorin perusee syksy 18 1 / 6 Lskuhrjoius 7 / iirrosvir j inusoiunu sähkömoorinen voim Tehävä 1. All olevn kuvn mukinen piiri on sinimuooisesi värähelevässä j epähomogeenisess mgneeikenässä sin
VEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t
Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina
3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A
3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion