2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo

Transkriptio

1 .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti, ei le juuri käytäö merkitystä, mutt js j mudstvt luvut setettu järjestyksee jki mtemttise sääö perusteell, si lk ll tie. Js simie säätö tuet, riittää tvllisesti kirjitt vi jitki lkupää lukuj tikk js käätäe luetell j lkupäästä muutm luku, j määräävä säätö stt käydä helpstiki ilmi. Vikeuksiki vi ilmetä. Yleisesti vid puhu j esimmäisestä luvust (termistä), tisest luvust je., jte mielekästä sett MÄÄRITELMÄ 6: Lukuj fukti psitiiviste kkislukuje juklt Z + relilukuje jukk R. Fukti f sellie säätö ti lki, jk liittää jkisee määritysjuk D f lki täsmällee yhde mlijuk lki. Lukuj tpuksess määritysjukk siis psitiiviste kkislukuje jukk eli D f Z +, j mlijukk relilukuje jukk R. Luku 1 vst lukuj esimmäie termi 1, luku vst lukuj tie termi, je. Luku vst lukuj. termi eli lukuj yleie termi. Esim. 6. ) J 1, 8, 7, 64, 15,... yleie termi, jte kyseessä fukti f: Z + R, missä f(). b) Lukuj ( ) yleie termi 1. Tämä j viisi esimmäistä luku vt 1,, 5, 7 j 9. 1(6)

2 .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv c) Lukuj ,,,,,,... luvut vt rtililukuj, jiss - sittj termi järjestysumer - imittäjä sd lisäämää sittj klme - termit vt vurtelle psitiivisi j egtiivisi. + 1 Tämä j yleie termi ( 1). + d) Jskus lukuj vid määritellä plutus- eli rekursikv vull. Tällie kv (ehkä ksiki) pljst, mite j termi mudstet edellise ti khde (klme,...) edellise termi vull: 1 j , jlli j lkupää, 7, 11, 15,... e) Kikiss tpuksiss j yleiselle termille ei vid t lskukv. Esimerkiksi j, 6, 4, 5, 7, 5, 1,, 1, 1,... termit vt luvu 7 eliöjuure peräkkäisiä umerit. MÄÄRITELMÄ 7: Lukuj ( ) idsti ksvv, js Z+ + 1 > 0 idsti väheevä, js Z+ + 1 < 0 ksvv, js Z väheevä, js Z Js j kkisuudess jk (idsti) ksvv ti (idsti) väheevä, sitä st (idsti) mtiseksi. + Esim. 7. Olkt. Tutki mtisuutt ( + 1) ( + 5)( + 1) ( + )( + ) ( + 1)( + ) ( + 1)( + ) ( + 1)( + ) (6)

3 .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv mikä i psitiivie, ksk s vi psitiivisi kkislukurvj. Siis kyseie lukuj idsti ksvv. Ku lukujss ( ) et : lähestyä ääretötä, tull lukuj rjrv j suppeemise käsitteisii. Tämä vst ik tvll relifukti käyttäytymise tutkimist hyvi suurill muuttuj rvill. O siis kysymys siitä, k psitiiviste kkislukuje jukss määritellyllä fuktill (äärellistä) rj-rv äärettömyydessä vi ei. MÄÄRITELMÄ 8: Lukujll ( ) rj-rv, js, tisi se, js ε, ε ε. ε > 0 site että > < Tällöi st, että lukuj ( ) suppeee khti rj-rv. Js lukuj ei suppee, se hjtuu. Viimemiituss tpuksess j yleisellä termillä ei le rj-rv lik ti se itseisrvlt ääretö. Määritelmä leellie sisältö se, että j tietystä termistä lke kikki tätä myöhäisemmät termit pikkevt rj-rvst vähemmä kui mikä ths etukätee ettu psitiiviluku ε lip tämä kuik piei hyväsä. Jss tietysti edettävä sitä pitemmälle, mitä pieempi ε, ee kui eht < ε tteutuu. Lukuj rj-rv määrittämie käytäössä hyvi smlist kui relifuktiitteki tpuksess muuttuj lähestyessä ääretötä. Yleisiä temppuj vt muuttuj krkeit stett lev termi ttmie yhteiseksi tekijäksi (plymilusekkeell ettu lukuj) ti tällä supistmie (lukuj yleise termi määräävä luseke rtilie). Neliöjuurilusekkeiss kv ( b)( + b) b sveltmie jht usei tivttuu päämäärää. Esim. 8. Määritä ( ). Esimmäie temppu, sur sijitus jht epämääräisee ääretö miius ääretö mut. Ottmll muuttuj krkeit stett lev termi yhteiseksi tekijäksi sd (6)

4 .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv (1 ) (1 ) 1, jte ( ) ei le lemss (ti ääretö) Esim. 9. Määritä 1 Tässä tpuksess sur sijitus jht ii ikää epämääräise mut. Supistet lusekett : krkeimmll ptessill: , ku Esim. 0. ( 1+ 1 ) e Esim. 1. Kuik meest termistä lke j ( ) termit + 5 pikkevt rj-rvst 4 vähemmä kui tuhess? ( + 5) < 1000 < > Vstus: termistä 1996 lke. Hum.: , ksk psitiivie kkisluku. Smst syystä epäyhtälö si kert ristii, ksk epäyhtälö tuli vrmsti pulitti kerrtuksi psitiivisell luvull. Lukuj määritelmää jutue vid tdist hyväksi eräitä luseit, jihi itse siss useimpie edellä käsiteltyje esimerkkie rjrvmäärityksetki perustuivt. Näide luseide seurvss esitetty kkelm ki tämä vuksi vi differetililske kurssist kerätty, lukujje kielelle kääetty muuelm relifuktiille tdistetuist rj-rv määrittämiskeiist. 4(6)

5 .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv LAUSE 19: 1 Olkt Js j s. vkij ts. js ( k ( ( b + b k b ) ) b ; b j ) + b b 0 b b j k, ii äärellie vki. Tällöi Js jllki relifuktill äärettömyydessä äärellie rj-rv, siitä tiedst vid päätellä jti vstv lukuj rj-rvst. Tällöi lukuj kuvj pistejukk istuu vstv relifukti kuvj x + päällä. Js siis relifukti f(x), ii tätä vstv x 4x + 7 lukuj määritelty vi psitiiviste kkislukuje jukss j *************************************************************** LAUSE 0: Olkt fukti f: { x R x 1 } R ts. fukti f määritelty iki kikill reliluvuill, jtk tteuttvt ehd x > 1, j lkt fuktill f äärettömyydessä äärellie rj-rv f( x). Tällöi lukuj f() suppeev j x. Tdistus delt-epsil-tekiikll vrsi helpp. Hum.! Lusett ei vi käätää. 5(6)

6 .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv Lukuj rj-rv lemsslst ei seur vstv relifukti rjrv lemssl. Trigmetrisist fuktiist s äkkiä esimerkkejä, jtk vhvistvt tämä si. Smtyyppie lgiikk kskee myös lukuj mtisuutt. Js siis jki relifukti idsti ksvv jukss { x R x 1 }, ii myös vstv lukuj idsti ksvv. Kuitek lukuj idst ksvmisest ei seur vstv relifukti it ksvmie. 6(6)