5 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINEMATIIKKA

Transkriptio

1 Dymiikk JÄYKÄN KLEEN TSOKINEMTIIKK 5.1 Yleisä Jäykkä kpple o määrielmä muk prikkelisyseemi, joss prikkelei älise keskiäise eäisyyde pysyä muuumomi. Jäykä kpplee mlli o ieeki likimääräie, sillä kikki odellise kpplee koke oimie ikuess muodomuuoksi. Jos kpplee muodomuuokse o pieiä erru se liikkeisii, rjo jäykä kpplee mlli kuieki sopi pproksimio kpplee liikeil lysoiii. Luuss johdeii suoriiisess i käyräiiisess liikkeessä ole prikkeli kiemise suureide (sem, opeus j kiihyyys) älise geomerise yheyde. Sdu k o rpeellisi myös jäykä kpplee kiemiikss, mu lisäksi o oe huomioo kpplee pyörimisliike, jok prikkelimlliss ei ole rpee, kosk kpplee ulouuude jell olliksi. Jäykä kpplee kiemiikk sisälää siis kpplee lierise liikkee eli rslio j pyörimisliikkee eli roio kiemisi suurei koske geomerise li. Seurss ulee esille, eä pyörimisliikkee ärkeimmä kiemise suuree o kulm-sem, kulmopeus j kulmkiihyyys. Jäykä kpplee kiemiikll o siäsä merkiysä ieyjä liikeroj suoriie mekismie suuieluss eli mekismiopiss, jok o ärkeä kiemiik soelluslue. Toisl kiemiik hllisemie o älämäöä kieiik ehäie yheydessä rkisess jäykkää kppleesee iku oimsyseemi iheum liikeil i hluu liikeil syyämisee ri oimsyseemi. Yleisessä puksess jäykä kpplee piseide liikerd o kolmiuloeise ruude käyriä. Eriyispus, joss kpplee kikki pisee liikku smsuuisiss soiss, so soliikkeeksi. Kpplee liikesoll rkoie ällöi so, joss se msskeskiö liikkuu. Tsoliikkeessä ole kpple oid piää ääreömä ohue leyä, jok liike phuu ley määräämässä soss. Tsoliikkee mllill oid lysoid hyi moi käyäö soelluksi. Jäykä kpplee soliikeä oid luokiell eri puksii ku 5.1 mukisesi. Trslio eli yhdesuuisliike rkoi liikeä, joss kpplee miä hs kh piseä yhdisää j säilyää suus liikkee ik. Trslioss kikki kpplee pisee liikku piki yhdesuuisi roj. Jos ämä rd o suori, o kpple suoriiisess rslioss. Tää o hiolliseu kuss 5.1 () määmekismill, joss mää o suoriiisess rslioliikkeessä. Käyräiiisess rslioss kpplee pisee liikku piki yhdesuuisi käyriä, kue ku 5.1 puksess (b). O helppo hi, eä rslioliikkeessä kikki kpplee pisee liikku smll ll eli kpplee liikeil uemi-

2 Dymiikk 5. see riiää se yhde pisee liikeil uemie. Täsä seur, eä jäykä kpplee rslioliikkee käsielyy riiää prikkeli kiemiikk. Roio o pyörimisliikeä kiieä kseli ympäri. Tää kseli so roiokseliksi. Kpplee pisee liikku piki ympyrä kri, joide so o kohisuorss roiokseli s j keskipisee roiokselill. Roiokselill oleie kpplee piseide opeus j kiihyyys o olli. Roiokseli j kpplee liikeso (jok sisälää kpplee msskeskiö) leikkuspiseä so roiokeskukseksi. Roio o hiolliseu kuss 5.1 (c) määmekismill, joss kmpi o roioss. Liikkee yyppi Esimerkki () Suoriiie rslio (b) Käyräiiie rslio (c) Roio (d) Yleie soliike Ku 5.1 Tsoliikkee luokielu. Kpplee so ole yleisessä soliikkeessä, ellei se liike ole puhds rslio i roio. Void osoi, eä yleie soliike o rslio j

3 Dymiikk 5.3 roio yhdiselmä. Kuss 5.1 (d) o hiolliseu yleisä soliikeä määmekismill, jolloi kierokki o yleisessä soliikkeessä. Jäykä kpplee soliikkee käsielyssä oid pyrkiä suor se piseide bsoluuise semie, opeuksie j kiihyyyksie j sie roio kiemise suureide määriämisee hyödyämällä suor kiemise suureide määrielmiä j iide älisiä memisi yheyksiä. Toie mhdollisuus o edeä iheii käyäe hyäksi suheellise liikkee periei, mikä o eriyisesi yleise soliikkee puksess hyödyllisä. Vrsiki mois osis koosuie mekismie rkseluss jälkimmäie p joh usei huomsi selkeämpää rkisuu. Seurss rksell molempi poj. 5. Roio Jäykä kpplee yleise liikkee pyörimisosuus oid käsiellä se kulmsem ull. Kuss 5. o soliikkeessä ole jäykkä kpple, jok liike sisälää roio. Kppleesee kuuluie suorie 1 j kulm-sem miu sopis erilukohds o θ 1 j θ. Suorie älie kulm β pysyy liikkee ik muuumom. Yhälösä θ = θ1 + β sd derioimll ulokse θ & = θ& 1 j & θ = & θ 1, jok päeä kikill kulmsem muuoksill Δ θ1 = Δθ. Täsä oid pääellä, eä jäykä kpplee soliikkeessä kikill kpp- lee suorill o sm kulm-sem 1 muuos, kulmopeus j kulmkiihyyys. Nähdää siis, eä kpplee β olless yleisessä soliikkeessä se jokise suor pyörimisliike oid ku suor kulm-sem θ j se derioje ull. Huomkoo eriyisesi, eä pyörimisliik- θ 1 Verilusuu kee käsiely kulm-sem ull ei edellyä kiieä roiokseli olemssolo, se sopii myös Ku 5. Kulm-sem. yleise soliikkee puksee. Jäykä kpplee pyörimisliikkee kulmopeus θ & = ω j kulmkiihyyys & θ = ω & = α o määrielmiesä muk kpplee mielilise suor kulm-sem θ esimmäie j oie deri j suhee. Näisä määrielmisä seur k dθ ω = = θ& d ωdω = α dθ dω d θ α = = ω & = d d eli θ& dθ& = && θ dθ = && θ (5.1)

4 Dymiikk 5.4 Koje (5.1) kolms yhälö o roio eergidiffereiliyhälö, jok sd elimioimll khdes esimmäisesä yhälösä d. Suureide θ, ω j α posiiiie suu o späiää. K (5.1) o sm muoo kui suoriiise liikkee k (.1) (.3) suureille s, j. Kohdss. suureille s, j johdeu ulokse o oimss myös suureille θ, ω j α. Tsisesi kiihyälle roiolle päeä k ω = ω θ = θ + α ( + ω ( ) ω = ω 1 ) + α ( ) + α ( θ θ ) (5.) Tuki kpplee roio kiieä kseli ympäri ku 5.3 mukisesi. Ku kpple pyörii kseli O ympäri, o mielilise pisee liiker ympyrä kri, jok säde r / O = O. Täsä seur pisee opeudelle j kiihyyydelle k α ω O r / O = r = r = r / O / O / O ω α ω = / r / O (5.3) () Ku 5.3 Roio. ω O r / O Koille (5.3) sd ekorei käyäe oie muoo, jok rsiki kolmiuloeise liikkee yheydessä o hyödyllie. Roioss ole kpplee kulmopeus oid esiää ekorill ω, jok o kohisuorss liikeso s j jok suu määräyyy ekoreis r / O j = ω r / O sie, eä syseemi ω, r / O, o oikekäie ku 5.4 () mukisesi. Tällöi pisee opeusekorille päee α = ω & = r& = ω r (5.4) / O / O (b) O = ω ( ω r / O Q Ku 5.4 Roio. = α r / ) O K (5.4) opeusekorille oike suu. Myös suuruus o oike, sillä risiulo määrielmä muk = ω r / O si9 = ω r / O. o isee kiihyyysekori sd ks (5.4) derioimll, jolloi seur

5 Dymiikk 5.5 = & = ω r& + ω & / O r / O = ω ( ω r / O ) + α r / O = + = ω ( ω r ) + α r (5.5) / O / O Edellä α = ω & o kpplee kulmkiihyyysekori, jok o myös liikeso ormli suuie, kue kuss 5.4 (b) o esiey. Koj (5.4) j (5.5) johdeess käyeii pikkekori r / O, jok lkupise o liikeso j roiokseli leikkuspise O. lkupiseeä oid käyää miä hs muuki roiokseli piseä Q ku 5.4 (b) mukisesi, sillä o oimss ω r / Q = ω ( r O / Q + r / O ) = ω r O / Q + ω r / O = + ω r / O kosk r ω O / Q, jolloi ω r O / Q =. Smll ll ähdää, eä α r O / Q = K (5.4) j (5.5) o oimss myös yleiselle kolmiuloeiselle liikkeelle, mu ällöi ω j α eiä eää ole älämää yhdesuuise. Tämä johuu siiä, eä kolmiuloeisess liikkeessä sekä kulmopeusekori suuruus eä suu oi muuu j kuluess, ku soliikkeessä i suuruus oi muuu. 5.3 bsoluuie liike Jäykä kpplee soliikkee lysoiiss oid pyrkiä suor se bsoluuise kiemise suureide rkisemisee. Tää meeelmää käyeäessä kirjoie luksi kpplee liikeä koske geomerise yheyde sopii suurei käyäe j rkis sie opeude j kiihyyyde äiä yheyksiä derioimll. bsoluuise liikesuureide määriys perusuu koje (.1) (.3) j (5.1) (5.3) suor soelmisee j edellyää äi olle liikkee geomeri ku memiik peruseellis hllisemis. Oikeisii uloksii pääsemie ii johdomukisuu esimerkiksi kiemise suureide merkkisääöje suhee. Jäykä kpplee bsoluuise liikesuureide suor määriys o yleesä melko seläpiireisä edellyäe, eä liikkee geomerise yheyde eiä ole koi mukikki. Hkliss puksiss o llisesi edullisemp hyödyää suheellise liikkee periei, kue myöhemmi ulee esille.

6 Dymiikk Suheellie opeus Jäykä kpplee soliikkee ukimisess oid käyää hyäksi suheellise liikkee koj. Kohdss.8 sii khde prikkeli j opeuksie älille k r = + (5.6) / () Y y Δr y Δθ x Δr Δr Δr / (b) Δr / x r / Δθ r / X Ku 5.5 Jäykä kpplee yleie soliike. jolloi / rkoi prikkeli opeu prikkeli muk rslioss oless koordiisoss. Vli y j sie, eä e o sm jäykä kpplee kksi piseä. Täsä seur, eä prikkelie älie eäisyys ei oi muuu j pisee liike piseesee ähde oi oll i roio. Tile o hiolliseu kuss 5.5 (), jok esiää jäykä kpplee soliikeä ikälillä Δ, jo ik pisee j liikku semii j. Tämä liikkee oid ulki phu khdess iheess. Kpple kokee esi pisee siirymä mukise rslio r Δ sie, eä j siiryy sem j sie phuu roio Δ θ pisee ympäri ii, eä pise siiryy sem. isee muk liikkuss pyörimäömässä xy-koordiisoss jälkimmäie osliike o roio kiieä pisee ympäri. Täsä iheuuu piseelle ympyräliike pisee ympäri, jo s siirymä Δ r / o esiey kuss 5.5 (b). Tsoliikkee roio-osuus oid siis käsiellä ympyräliikkee koje (5.3) i (5.4) j (5.6) ull. Ku o erilupiseeä, oid pisee bsoluuiselle siirymälle kirjoi Δ r = Δr + Δr (5.7) /

7 joss suheellise siirymäekori Dymiikk 5.7 Δ r / piuus lähesyy ro r Δθ r / /, ku Δ θ. Suheellie rsliosiirymä Δ iheuuu siis kpplee bsoluuises kulmliikkeesä Δ θ. Jkmll ekori r Δ luseke sll ikäli piuudell Δ j omll rj-ro Δ, sd pisee opeudelle k r = + (5.8) / K (5.8) o äsmällee sm kui k (5.6), mu y piseide j älie eäisyys r o kio. Suheellise opeude / suuruus o / Δ r / r / Δθ Δθ = = = = θ& / lim lim r / lim r / (5.9) Δ Δ Δ Δ Δ Δ Ku merkiää θ & = ω, sd ulos = r ω (5.1) / / K (5.1) oid kirjoi ekorimuooo suheellise pikkekori kulmopeusekori ω ull, jolloi seur ulos / / r / r r = + = + ω r (5.11) Ku 5.5 (b) peruseell o ilmeisä, eä suheellie opeusekori kohisuorss piseiä j yhdisäää j s. / j o i Kuss 5.6 o ielä hiolliseu k (5.11), jok muk soliike oid ulki rslio j roio summksi. ise o erilupise j pisee opeus o rslioopeude j roioopeude / = ω r / summ. Roioopeus o kohisuorss j s j se suuruus o / = r / ω, joss ω o kpplee kulmopeude suuruus. / r / = + r / ω / Ku 5.6 Suheellie opeus.

8 Dymiikk 5.8 K (5.11) oid käyää jäykä kpplee soliikkeessä kpplee piseide opeuksie j kpplee kulmopeude lske, ku os k suureis ue. lysoiess uses jäykäsä kpplees koosui mekismej o usei käyäöllisä edeä iheii sopii erilupiseiä käyäe, jolloi erilupisee ueuje suureide ull rkis rksel kpplee suurei, joi oid edellee jkoss käyää hyäksi. Vekoriyhälö (5.11) sisälää kksi kompoeiyhälöä, joe se ull oid rkis eiää kksi uemo suure. Tuemomi oi oll esimerkiksi yhde ekori suu j oise ekori suuruus. Yhälö (5.11) oid rkis ekorimemiikll, rigoomerisesi i grfisesi. Vliiip rkisup mie hs, ilees k i piirää ku 5.6 mukie ekorikolmio, jok hiollis rkisu huomsi. 5.5 Nopeusp Edellä ähii, eä soliike oid jokisell hekellä ulki mielilise erilupisee rslio j ämä ympäri phu roio yhdiselmäksi. Trslios iheuu opeude määrää erilupisee opeus j roios iheuu opeude kulmopeus ω. C Suuree j ω määräää siis äysi kpplee kikkie piseide o- ω peude. isee opeus olisi edellee sm, jos kpple olisi roioss kulmopeudell ω sellise pisee C ympäri, jok sijisee ω r = ω ekori ormlill eäisyydellä r = / ω piseesä ku 5.7 mukisesi. Näi olle myös kikkie muide kpplee piseide opeude sd jelemll se ole- Ku 5.7 Nopeusp. roioss pisee C ympäri kulmopeudell ω. iseä C so hekelliseksi opeusksi. Jos edellä =, o pise ise opeusp j jos ω =, o kikill kpplee piseillä sm opeus eli se o hekellisessä rslioss. Nopeusp oid määriää myös kuss 5.8 esieyillä oill. Tpuksess () ue kpplee khde pisee j opeuksie suu, jolloi opeusp o äide suuie ormlie leikkuspiseessä. Tpuksiss (b) j (c) ue j s kohisuorie opeusekoreide suuruude j. Nopeusp o suu sekä ekoreide j kärkie määräämä suu leikkuspiseessä. Jos j o yhdesuuise puksess () i jos puksess (b) =, o opeusp ääreömä kuk j ω = eli kpple o hekellisessä rslioss.

9 Dymiikk 5.9 () (b) (c) C C C Ku 5.8 Nopeus määriys. Nopeusp oi oll joki kpplee pisee kohdll i kpplee ulkopuolell se jellull jkeell. Nopeus kohdll ole kpplee i se jkee pisee opeus o rkseluhekellä oll. Heke opeus kohdll ole pise ei kuiek ole yleesä heke + Δ opeus kohdll, joe se opeus ei ole oll hekellä + Δ eli sillä o olls poikke kiihyyys hekellä. Täsä seur, eä kpplee piseide kiihyyyksiä ei oi lske jelemll se ole roioss opeus ympäri. 5.6 Suheellie kiihyyys Kohdss.7 johdeii khde prikkeli j kiihyyyksie älille k = + (5.1) / joss / o prikkeli kiihyyys prikkeli muk rslioss oless koordiisoss. Ku j o sm jäykä kpplee kksi piseä, ei iide eäisyys oi muuu j pisee liike pisee suhee o roio. Täsä seur, eä suheellisell kiihyyydellä / o kompoei / kohisuor j s j kompoei / j suuss kohi piseä. Käyämällä äiä kompoeej seur ulos = + + (5.13) / Suheellise kiihyyyde / / kompoeie suuruuksille o oimss k / / / / / = & = r α = /r = r ω (5.14) / /

10 Dymiikk 5.1 joss r / o piseide j älie eäisyys, α kpplee kulmkiihyyyde suuruus j ω kulmopeude suuruus. K (5.14) oid muu ekorimuooo suheellise pikkekori r /, kulmkiihyyysekori α j kulmopeus- ekori ω ull, jolloi seur k = + + = + α r + ω ( ω r ) (5.15) / / / / Vekorikolmiulo kehiysk soelmll oid ielä kirjoi ω ( ω r / ) = ( ω r / ) ω ( ω ω)r / = ω r / sillä soliikkeessä ω r /, jolloi ω r / =. Klle (5.15) ulee oie muoo = + + = + α r ω r (5.16) / / / / Kuss 5.9 o hiolliseu k (5.16), jok muk oid ulki rslio j roio yhdiselmäksi. ise o erilupise j pisee kiihyyys o rsliokiihyyyde j roiokiihyyyde / summ. Roiokiihyyys je ormlikompoeii j gei suuisee kompoeii. / / / / r / = + r / ω α / / Ku 5.9 Suheellie kiihyyys. / / K (5.16) oid käyää kpplee piseide kiihyyyksie j kpplee kulmkiihyyyde lskemisee, ku os kpplee suureis ue. Vekoriyhälö (5.16) sisälää kksi kompoeiyhälöä, joe se ull oid rkis korkei kksi suure. Nähdää myös, eä kpplee piseide kiihyyyksiä lskeess o ue kpplee kulmopeus, mikä edellyää opeuksie rkselu. Yhälö (5.16) oid rkis ekorimemiikll, rigoomerisesi i grfisesi. Rkisu yheydessä k i li ilees ku 5.9 mukie ekorielikulmio, jok helpo huomsi rkisu.

11 Dymiikk 5.11 Todekoo ielä, eä opeus kiihyyys ei ole oll. Nopeusp ei äi olle oi käyää kiihyyyksie lskess, ellei se kiihyyyä oe huomioo. Tsoliikkeellä o kylläki olemss s. hekellie kiihyyysp, jok kiihyyys o oll. Hekellise kiihyyys käyöä ei ässä kuiek rksell. 5.7 rikkeli liike liikkuss kppleess Edellä luuiss 5.4 j 5.6 rkselii suheellise liikkee periei khde sm jäykä kpplee prikkeli j älillä. Tällöi oiii jell, eä erilupisee muk liikku koordiiso o rslioss j rkselupisee suheellie opeus / j suheellie kiihyyys / o miu ässä koordiisoss j e iheuu rksel kpplee roios. Soelluksiss esiiyy kuieki usei ilei, joiss piää rksell khdes eri kpplees liuje prikkelie älisä suheellis liikeä. Esimerkiksi mekismeiss osi o usei liiey oisiis sie, eä esimmäisessä kppleess ole ielppi o sidou liikkum piki oisess kppleess ole johde. Tällöi ielpill oi oll muuki kui roios johu suheellis opeu j kiihyyyä oise kpplee suhee. erieess kysymys o ällöi siiä, eä o rksel yleisessä liikkeessä oless jäykässä kppleess liikku prikkeli kiemiikk. Nämä rkselu suju prhie käyämällä hyäksi kyseisee jäykkää kppleesee kiiieyä j se muk liikku koordiiso, jo so seurss kpplekoordiisoksi, jo se erouisi kiieäsä koordiisos. Kpplekoordiiso oi siis oll sekä rslioss eä roioss kiieä koordiiso suhee. Kpplekoordiiso ull prikkeli bsoluuis liikeä oid rksell khdess osss, jolloi se muodosuu yhdisämällä kpplekoordiisoss hiu liike j kpplekoordiiso liike. Y J O α r I ω y j r r / Ku 5.1 rikkeli liike liikkuss kppleess. K κ X x i Trksell ku 5.1 kpple κ, jok o yleisessä soliikkeessä kulmopeude olless ω j kulmkiihyyyde α. iseesee o kiiiey xy-kpplekoordiiso, jok kseleide suuise yksikköekori o i j j. Kiieä XY-koordiiso kseleide suuise yksikköekori o ssi I j J. rikkeli o kppleesee κ kuulumo j oi siis liikku se suhee. ise K o se kpplee κ pise, jok kohdll prikkeli o rkseluhekellä. iseä K so kuljeuspiseeksi. rikkeli bsoluuiselle pikkekorille oid kirjoi luseke r

12 Dymiikk 5.1 r = r + r = r + (x i + y j) (5.17) / joss x j y o pisee koordii xy-koordiisoss. rikkeli bsoluuise opeude j bsoluuise kiihyyyde lskemie edellyää se bsoluuise pikkekori r derioimis j suhee. Tällöi o eriyisesi huom-, eä yksikköekori i j j pyöriä xy-koordiiso muk, eiäkä siis ole kiieässä XY-koordiisoss kioekorei, iide suu muuuu j kuluess. Täsä seur, eä yksikköekoreide i j j ikderi eiä ole olli. Nämä deri sd selille ku 5.11 () ull. jss d xykoordiiso kieryy kulm dθ = ωd, misä iheuuu yksikköekori i muuos d i, jok suuruus o d θ j suu j eli d i = dθ j. Smll ll sd ulos d j = dθ i. Jkmll muuokse ikälillä d sd k () (b) dθ d j = dθ i ω i y y j z / ω k i d i = dθ j x dθ x / & & i = ω j j = ω i (5.18) Ku 5.11 (b) muk ω i = ω j j ω j = ω i, joe yksikköekoreide deri o & & i = ω i j = ω j (5.19) Derioimll kss (5.17) puolii sd prikkeli bsoluuie opeus ω j & & = r& + (x i + y j) + (x& i + y& j) (5.) Ku 5.11 Yksikköekorie deri. Termi r& = o pisee bsoluuie opeus, ermi x& i + y& j = o prikkeli xy-kpplekoordiisoss hiu opeus j k (5.19) peruseell iimeie ermi meee muooo & & x i + y j = x ω i + y ω j = ω (x i + y j) = ω r /. rikkeli bsoluuiselle opeudelle sd äi olle luseke = + = + ω r + (5.1) Suheellise opeude lusekkees / = ω r/ + ähdää, eä pyöriä koordiiso käyö iheu lisäermi ω r/. Kosk r / = rk/, k (5.1) oid myös ulki ole muoo = K +, joss K = + ω rk/ o kuljeuspisee opeus.

13 Dymiikk 5.13 Derioimll kss (5.1) puolii sd prikkeli bsoluuie kiihyyys = & + ω & r + ω r& + & (5.) / / Termi & = o pisee bsoluuie kiihyyys j ω & = α o kpplee κ kulmkiihyyys. Nopeude lusekkee johdos äkyy, eä r& / = ω r / +, joe k (5.) oike puole kolmelle ermille sd ω r& = ω ( ω r + ) = ω ( ω r ) + ω (5.3) / / / K (5.) oike puole iimeiselle ermille ulee ssi luseke & & & r = (x& i + y& j) + (x && i + && y j) = ω + (5.4) joss o xy-kpplekoordiisoss hiu prikkeli kiihyyys. Kokomll ulokse sd prikkeli bsoluuiselle kiihyyydelle luseke / / = + = + α r + ω ( ω r ) + ω + (5.5) / Suheellise kiihyyyde lusekkeess kolme esimmäisä ermiä eli / = α r/ + ω ( ω r/ ) + ω + johu pyöriä kpplekoordiiso käyösä. Kiihyyysermiä C = ω so Coriolis-kiihyyydeksi rsklise G. Coriolisi muk, jok esimmäiseä esii se lusekkee. Risiulo määrielmäsä seur, eä Coriolis-kiihyyys o kohisuorss suheellis opeu s. K (5.5) johdos ähdää, eä Coriolis-kiihyyys iheuuu khdes eri syysä. Täsä seur, eä Coriolis-kiihyyydelle o melko ike esiää yksikeris hiollis ulki. K (5.5) oid myös ulki ole muoo = K + C +, missä ermi K = + α rk/ + ω ( ω rk/ ) o kuljeuspisee kiihyyys. rikkeli kiihyyys o siis se kuljeuspisee K kiihyyyde, Coriolis-kiihyyyde j pyöriässä koordiisoss hiu kiihyyyde summ.