Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET

Transkriptio

1 Lujuusopi jtkokussi III. III. LAATTARAKENTEET Lttketeet tti Lähteemäki

2 Lujuusopi jtkokussi III. JOHDANTO Tsopitketee kuomitus void jk keskipi suutisee j sitä vst kohtisuo kuomituksee eli lev- j lttkuomituksee. Tipum olless tpeeksi piei ämä kuomitustpukset void käsitellä eillisiä. Ltt o tsopitkee jot kuomitet se omli suuss. Tsopitketee lsketmlli o se keskipit j lisäksi tvit ketee pksuus. Lt keskipit tipuu kuomitukse vikutuksest kevksi piksi j tipumll stttä pit sot lt kimmopiksi. Ltt kt kuomitukses pääsiss tivutus- j väätösituste vull mutt siihe st mös leikkusvoimsituksi. Lttketeide lujuuslsket o kehitett moi eilisii lkuoletuksii peustuvi teoioit. Kuvss. o esitett lttogelmie kke jottelu jok o teht iide tkisemisee soveltuvie meetelmie peusteell. Lt pksuutt o kuvss mekitt kijimell h s tkoitt keskitso pieitä ulottuvuutt j w tipum itseisvo mksimi. h > s / 5 h / 5 < w < 5h vo Kámá h s / 5 w < h / 5 Kuv. Lttogelmie jottelu. Kuvss. etut jt ovt vi suut tvi ohjeit eivätkä teoist seuvi täsmällisiä voj. Pksuill ltoill leikkusmuodomuutoksill o mekitstä sm tp kui kokeill plkeill (Timosheko plkkiteoi. Kohtuullise pksuude omv lt tksteluu sopii Reissei lttteoi jok ott leikkusmuodomuutokse likimäääisesti huomioo. Ohue j vähä tipuee lt tkstelu void suoitt klssise lttteoi eli Kichhoff-Love lttteoi mukisesti. Tämä teoi vst suo plki tekistä tivutusteoi j o se kksiulotteie leists. Ohut j ussti tipuut ltt kättät epälieisesti sillä se kimmopit ve mekittävästi jäkistäe ltt tipumise suhtee. Vo Kámái lttteoi tjo tällisee tpuksee sopiv lttise tkisumeetelmä. Kikkie edellä miittuje lttogelmie umeeisess tkisemisess void sovelt elemettimeetelmää j kätettävissä o lj vlikoim eitppisiä lttelemettejä. Lttketeet tti Lähteemäki

3 Lujuusopi jtkokussi III. Ltt void luokitell mteili peusteell kuvss. esitetllä tvll. Teäsltt kättät isotooppisesti. Epäisotooppisuus o usei mteili ti ketee ototooppisuutt (puu jäkisteillä kohtisuosti istii vhvistettu ltt. Keosltss o kevt sdä j ohuet pitlevt hdistett toisiis (sto ti ueti j teäs ti vei. Komposiittiltss o peusieesee (muovi betoi lsi sijoitettu hvi veto kestäviä säikeitä (hiilikuidut teästgot lgt. Kuv. Lttoje luokittelu mteili muk. Tässä käsitellää vi ohuit j vähä tipueit lttoj joide mteili o isotooppie homogeeie j kättät lieisesti kimmoisesti. KLASSISEN LAATTATEORIAN PERUSYHTÄLÖT. Lt kiemttie mlli Seuvss tkstell lt teoi kuv. -kooditistoss jok tso o lt keskitsoss j -kseli o keskitso omli suut. Jos lt pksuus h o vkio o lt lpit tso h/ j läpit tso h /. Jos lt lä- j lpit ovt eisuutisi tsoj ti kevi pitoj o lt pksuus koodittie j fuktio. Pksuude puolittvie pisteide o tässäki tpuksess muodostettv tso jott keett voitisii tkstell lttteoill. Ltt joittvi -kseli suutisi pitoj kutsut se euksi. Siitmäketä kompoettej koodittikseleide suuiss mekitää smboleill u v j w lujuusopi kätäö mukisesti. Siitmäkompoetti w sot tipumksi. Lttketeet tti Lähteemäki

4 Lujuusopi jtkokussi III. Klssie lttteoi peustuu seuvii lt kättätmistä koskevii hpoteeseihi (Kichhoff Love.. Lt keskipit o eutlipit jok pietä vemistä ei otet huomioo.. Keskitso omlill olevt lt pisteet psvät tästä tipumll stee kimmopi omlill.. Keskitso omli suutisell vemällä ε ei ole mekitstä.. Keskitso omli suutie jäitskompoetti σ void jättää huomiooottmtt keskitso suutiste kompoettie σ σ j τ ill Hpoteesi vst plki tekisessä tivutusteoiss Beoulli hpoteesi. Kuvss. tkstell lt keskitso mielivltist pistettä P j se kutt kulkevll keskitso omlill etäisdellä olev pistettä A. Kuvss äkvät pistee A siitmäkompoetit u j w -tso suutisess leikkuksess. Siitmät oletet pieiksi ( w < h / 5 mutt iitä o selvde vuoksi liioiteltu. Keskipi vemättömsoletuksest seu että piste P siit vi -kseli suuss tulle pisteesee P. Keskitso omli käät -kseli mpäi kulm w jok o sm kui keskitso käätmiskulm sillä peushpoteesi muk A o tipuee kimmopi omlill. Peushpoteesi muk o ε jote PA P' A' eli omli ei ve. Tkstelemll smll tvll pistee P kutt kulkev -tso suutist leikkust ähdää että omli PA käät -kseli mpäi kulm w. Pistee A siitmäkompoeteiksi sd äi olle u w v w w w( (. Kuv. Lt kooditisto. Lt muodomuutoskompoeteiksi sd kiemttiste htälöide vull ε γ u u w v κ w κ ε ε v γ w γ κ (. Lttketeet tti Lähteemäki

5 Lujuusopi jtkokussi III.5 w Lt mteili oletet kättätvä lieisesti kimmoisesti jolloi mteilihtälöä o leistett Hooke lki. Lttteoi peushpoteesi muk liukumt γ j γ ovt olli jote mös leikkusjäitkset τ j τ ovt olli. Kosk hpoteesi muk mös σ oletet ollksi o lt kikiss pisteissä tsojäitstil. Peushpoteesie muk lt pisteissä o siis smikisesti sekä tsomuodomuutostil että tsojäitstil mikä tkk otte o mhdotot. Ksms o t likimäääisistä lähtöoletuksist jotk kokemukse muk johtvt ohuill j vähä tipueill ltoill kättökelpoisee teoi. öhemmi selviää että tsojäitstiloletuksest pidetää kiii vi ii ku ku sd lusekkeet keskitso suutisille jäitskompoeteille σ σ j τ. Tämä jälkee stuj lusekkeit hväksi kättäe johdet jäitskompoettie tspioehw Kuv. Kiemttie mlli. Kvss (. κ j κ ovt kimmopi kevuudet - j -kseleide suuiss j κ se kieevs -tsoo ähde tkstelupisteessä P. Lt kevuussäteet ρ j ρ ovt se kevuuksie kääteislukuj sekä kieevssäde ρ se kieevde kääteisluku eli / ρ κ ρ κ ρ κ (. w / w / w Kvst (. äk että lt peushpoteesie j muk lt kikkii pisteisii tulee tsomuodomuutostil.. teilihtälöt j lttmometit Lttketeet tti Lähteemäki

6 Lujuusopi jtkokussi III.6 doist likikvt -kseli suutisille jäitskompoeteille σ τ j τ. Keskitso suutiste jäitskompoettie mteilihtälöt ovt tsojäitstilss ε ( σ σ ε ( σ σ γ τ (. E E G Ku htälöt (. tkist jäitskompoettie suhtee sd tulos E E E σ ( ε ε σ ( ε ε τ γ (.5 ( Ku htälöihi (.5 sijoitet muodomuutoskompoetit htälöistä (. sd jäitskompoetit lusuttu tipum w ti kevuuksie j kieevde vull σ σ τ E E ( w w E E ( w w E E w κ ( κ ( κ κ κ (.6 Kvst (.6 äk että jäitkset jktuvt lt pksuude suuss (suut lieisesti. Lttteoiss ktt kättää voimsuuei mös lttmomettej j jotk määitellää htälöillä h/ h/ h/ σ d σ d τ d (.7 h/ h/ h/ Itegoiti määitelmissä (.7 o lt pksuude li. Lttmometit j ovt tivutusmometi viivtihedet lt leikkuksiss vkio j vkio vstvsti. Lttmometti o väätömometi viivtihes leikkuksess vkio ti vkio. Ku jäitskompoetti σ sijoitet htälöstä (.6 mometi lusekkeesee j itegoid sd seuv h / h / E ( w E w ( w d w Eh / ( w w ( h / h / (.8 Vstvt htälöt void joht mös lttmometeille koottu kv (.9. j tulokset o Lttketeet tti Lähteemäki

7 Lujuusopi jtkokussi III.7 D( w w D( κ κ D( w w D( w D( κ D( κ κ Eh D ( (.9 Suuett D sot lt tivutusjäkkdeksi. Kvss (.9 o lttmometit lusuttu tipum w vull. Jtkoss osoittutuu että tipum o klssise lttteoi peussuue jok vull psttää lusum kikki muut suueet j peusogelmksi tulee äi tipum tkisemie. Kvst (.9 sd lusekkeet κ κ /D κ κ /D ( κ /D (. Ku lusekkeet (. sijoitet htälöihi (.6 seu jäitskompoeteille σ σ τ I h / (. I I I joss suue I o kköse levise lttkist poikkileikkukse eliömometti se pksuude puolittv suo suhtee. Yhtälöt (. tvt lttmomettie j lt keskipi suutiste jäitskompoettie väliset htedet. Jäitskompoetit svt ääivos lt lä- j lpill missä mh / j tällöi o σ m σ m τ m (. h h h σ τ σ τ τ τ τ Kuv. Lt jäitsjkutumt. Lttketeet tti Lähteemäki

8 Lujuusopi jtkokussi III.8 Kuvss. o esitett jäitskompoettie σ σ j τ jktumie lt pksuude suuss leikkuksiss vkio j vkio. Siiä o esitett mös -kseli suutiste leikkusjäitskompoettie τ j τ jktumie jok sd möhemmi selville jäitskompoettie tspiohtälöistä. Tässä viheess o vielä voimss peushpoteesie mukie oletus jok muk ämä jäitskompoetit ovt olli. Void todet että lt leikkuksess tivutuksest j vääöstä iheutuvt jäitkset ovt pksuussuuss lieisesti jktueit site että keskipi jäitkset ovt olli. Tämä tulos o omlijäitste oslt vstv kui tekisessä tivutusteoiss sd plki omlijäitkse jktumiselle plki kokeussuuss. Plki omlijäitsjkutum ei muutu tivutustso omli suuss mutt lt omlijäitsjkutum esimekiksi leikkuksess vkio o kooditi fuktio. Plkkiteoiss kätetää voimsuuee poikkileikkukse tivutusmometti jok o plki poikkileikkukse omlijäitsjkutum iheuttm mometti tivutuskseli suhtee. Tätä vst lttteoiss tksteltv koodittikseli suutise leikkukse tivutusmomettitihes jok o lt pksuussuut liittvä omlijäitsjkutum iheuttm momettitihes. Lt väätömomettitihedellä ei ole plkkiteoiss vstiett.. Lt tspiohtälöt Kosk -kseli suut liittvät liukumt γ j γ ovt peushpoteesi muk olli ovt mös iitä vstvt leikkusjäitskompoetit τ j τ mteilimlli olev leistet Hooke li muk olli. Peushpoteesi o kuiteki likimäääie vikkki kättökelpoie jote todellisuudess -kseli suutiset leikkusjäitkset eivät ole tksti olli. Niille void joht likimäääiset kvt jäitskompoettie tspiohtälöide vull smll tvll kui plkkiteoiss johdet plki leikkusjäitkselle likiluseke (Jouwski kv. ääitellää luksi lt leikkusvoimtihedet j poikittiste leikkusjäitskompoettie τ j τ esultttei seuvsti h/ h/ h/ τ d τ d (. h/ Jäitskompoettie tspiohtälöt ovt ltlle σ τ τ τ σ τ τ τ σ f (. jotk seuvt leisistä tspiohtälöistä jättämällä pois levkuomituksii kuuluvt tilvuusvoimkompoetit f j f. Ketomll hmä (. esimmäie htälö kooditill j itegoimll lt pksuude li sd luksi Lttketeet tti Lähteemäki

9 Lujuusopi jtkokussi III.9 h / h/ h / h / σ d τ d τ d (.5 h / h / Vihtmll itegoii j deivoii jäjests esimmäisessä j toisess itegliss j itegoimll kolms ositti seu h/ h / h/ h h/ σ d d / d τ τ τ (.6 h / h/ h / Sijoitustemi o oll sillä pitkuomituksii ei sisäll lä- ti lpill vikuttvi keskitso suutisi kuomituksi eli τ ( ± h / j τ ( ± h /. Ku otet huomioo määitelmät (.7 j (. meee htälö (.6 muotoo (.7 Yhtälöhmä (. toisest htälöstä void vstvll tvll joht tulos (.8 Itegoimll hmä (. kolms htälö lt pksuude li sd h / h/ h / h / h / τ d τ d σ d f d (.9 h/ h/ h/ jost seu itegoimll sekä deivoiti- j itegoitijäjests vihtmll h / h / h / h/ h / τ d d / f d τ σ (. h / h/ h / Kksi viimeistä temiä void tulkit lt omli suutise kuomitukse (poikittiskuomitukse lt keskitsoo hdistetksi pittihedeksi p( eli p( h / σ (h / σ ( h / f ( d (. h / ääitelmie (. peusteell o siis voimss htälö p (. Ku tulokset koot sd kv (. jäitsesultttie tspiohtälöt Lttketeet tti Lähteemäki

10 Lujuusopi jtkokussi III. p (. Rhmää (. vstvt htälöt plkkiteoiss ovt d t d q d d (. Ku hmä (. khdest esimmäisestä htälöstä sijoitet leikkusvoimtihedet kolmtee htälöö tulee kv (.5 lttmomettie tspiohtälö p (.5 Lttteoiss kätetää voimsuuei jäitskompoettie τ ohell iistä johdettuj jäitsesultttej Kuv. Lt jäitsesulttit. σ j σ τ τ j. Näide positiiviset suut määätvät jäitskompoeteille sovituist positiivisist suuist kute kuvst. äk. Kuvss. o lt keskipi pitelemetti dd j se euoill vikuttvt jäitsesulttit positiiviste suuties mukisi. Kuvss. o lttmomettie esittämisee kätett kksoisuolt jolloi mometi kietosuut o uole käjestä ktsottu vstpäivää. Leikkusvoimtihedet j void lusu lt tipum w vull sijoittmll kv (. khtee esimmäisee htälöö lttmometit kvst (.9 D( w w D( ( w D( ( w D( w w (.6 Edellä olevt htälöt sieveevät kvss (.7 esitett muotoo D( w D( w w w D( D( w w (.7 Lttketeet tti Lähteemäki

11 Lujuusopi jtkokussi III.. Poikittissuutiset jäitkset Johdet -kseli suutiste leikkusjäitskompoettie τ j τ lusekkeet. Jäitskompoettie tspiohtälöhmä (. esimmäisestä htälöstä seu kvoje (. j (. vull j itegoimll τ σ τ ( I I τ I [C( / ] (.8 Fuktio C ( void tkist euehdost τ ( ± h / jost tulee I [C( ( ± h / / ] C( (h / / (.9 Leikkusjäitskompoetille τ void joht smll tvll luseke hmä (. toisest htälöstä. Lopputulokseksi sd kvt τ τ [(h / I [(h / I ] h ] h h / h / (. Kvoist (. ähdää että leikkusjäitste τ j τ jkum o lt pksuussuuss pbolie. Lt lä- j lpill τ j τ ovt olli ääivo e svt keskipi kohdll. Ääivo suuuus o 5-ketie vettu voo jok sd olettmll leikkusjäitkset pksuussuuss ts jktueiksi. Kuvss. o esitett mös leikkusjäitste τ j τ jkutumie lt leikkuksiss vkio j vkio. Peushpoteesi muk σ o keskipi suutiste jäitskompoettie ill mekitksetö. σ ei kuitek ole tksti oll j sille void joht likikv jäitskompoettie tspiohtälöistä. Tkstell tpust joss f j pitkuomitus p ( lt läpill h /. Tällöi hmä (. kolmest htälöstä j kvoist (. j (. seu σ τ τ ( h h / Kvst (. sd itegoimll h h / p( (. Lttketeet tti Lähteemäki

12 Lujuusopi jtkokussi III. σ p( C( (. h (h / Fuktio C ( sd selville lpi euehdost σ ( h / h h h p( C( C( p(/ (. Tulokseksi sd omlijäitkselle σ likikv p( σ (. h / h / Kvst (. tulee lt läpill σ ( h / p( kute pitääki..5 Peusdiffeetilihtälö Sijoittmll lttmomettie tspiohtälöö (.5 momettie lusekkeet kvoist (.9 seu D( w w D( ( w D( w w p( (.5 jost sd sievetämällä klssise lttteoi peusdiffeetilihtälö w w w p( /D (.6 Yhtälö (.6 void vielä esittää tiiviimmi muodoss w p(/d (.7 Klssise lttteoi peusogelm o kv (.7 bihmoise diffeetilihtälö tkisemie etuill euehdoill. Osittisdiffeetilihtälö (.7 o eljättä ketluku jote se lttie tkisemie ei oistu helposti. Sääölliste tpuste tkisuj tuet melko ussti. Esimekiksi suokulmio- j mpä(egsltlle tuet tvlliste kuomitus- j tuettpuste lttiset tkisut. Ku lt peustutemto w o tkistu etuill euehdoill htälöstä (.7 void muut suueet määittää iille edellä esitetistä kvoist. Lttmometit sd kvoist (.9 j leikkusvoimtihedet kvoist (.7 sekä jäitkset vstvsti kvoist (. j (.. Lttketeet tti Lähteemäki

13 Lujuusopi jtkokussi III. SUORAKULIOLAATTA. Puhds tivutus Tkstell esi eitistpust joss lt pitkuomitus p ( jolloi kuomituksi o vi lt eull. Lt peushtälö o tässä tpuksess w w w (. j sillä o esimekiksi polomitkisu (ketoimet CL C6 ovt vkioit C C C C5 C6 w ( C (. kute htälöö (. sijoittmll voi helposti todet. Jäitsesultttie lusekkeiksi sd kvoje (.9 j (.7 peusteell D(C C ( DC 5 6 D(C 6 C (. joist äk että kseessä o tsie momettikettä j leikkusvoimi ei ole. Tipum lusekkee lieie lkuos C C C edust keskitso jäkä kpplee liikettä eikä vikut mometteihi jote se void jättää pois jtkotksteluist. Tällöi tipumt mitt kimmopi oigoo sijoitetust tgettitsost lähtie. Ku ketoimet C C 5 j C 6 tkist momettie lusekkeist j sijoitet tipum lusekkeesee sd tulokseksi [( ( ( ] w ( ( D (. Ku tkstell vi tivuttv eukuomitust o j kimmopi lusekkeeksi tulee tällöi [( ( ] w ( ( D Tkstell seuvksi tivuttvi eukuomituksi eliölt tpuksess.. Ku tulee kimmopi lusekkeeksi (.5 w( ( ( D (.6 Lttketeet tti Lähteemäki

14 Lujuusopi jtkokussi III. jok o pöähdspboloidi htälö. Kseessä o isotooppie j homogeeie momettikettä jolloi tivutusmometit ovt htä suui kikiss lt leikkuksiss j väätömometti ei esii missää leikkuksess. Kuvss. (b o esitett tätä kuomitustpust vstv kimmopit. Kuv. Neliölt eumomettikuomitus.. Tpuksess j kimmopi luseke o ( ( (.7 ( D w Lttketeet tti Lähteemäki

15 Lujuusopi jtkokussi III.5 j vstvt kevuudet ovt κ / [( D] j κ κ. Kseessä o hpebolie pboloidi eli stulpit jok kuvj o esitett kuvss. (c. Ku ltt tivutet tietssä suuss muodost se -vikutukse tki mös tivutussuut vst kohtisuoss suuss vstkkismekkise kevuude.. Ku kuomitukse ovt j ovt kimmopit j kevuudet w( κ /D κ D (.8 Kimmopi luseke o pbolie slitei j se kuvj o kuvss. (d.. Kuomituste olless j sd tkisuksi w( ( κ κ / [( D] ( D (.9 Kimmopit o tssivuie hpebolie pboloidi jok o kuvss. (e. - kseli suutie suo vkio tipuu löspäi ukevksi pbeliksi j - kseli suutie suo vkio lspäi ukevksi pbeliksi. Suot ± eli koodittikseleide väliste suoie kulmie puolittjt psvät pikll.. Suokulmiolt euehdot Kute kohdss.5 tuli esille o klssise lttteoi peusogelm tipum w tkisemie bihmoisest diffeetilihtälöstä (.7 lt tuest seuvill euehdoill. Yleisesti otte lt euviiv voi oll leie -tso kää j euehdot liittvät se tgeti j omli suutii. Tässä tkstell kuiteki vi koodittikseleide suutisi euviivoj eli joitut suokulmioltt. Tue oletet seuvss sijitsev lt -kseli suutisell eull. uill euoill olevt tuet void käsitellä logisesti.. Jäkkä tuet (kuv.. Ku lt eu o jäkästi kiiitett ovt tipum j kimmopi kltevuuskulm -suuss olli eu kikiss pisteissä. Reuehdoiksi tulevt äi olle w( w ( (. Kuv. Jäkkä tuet. Kumpiki euehto o luoteelt kiemttie eli koskee tipum. Kv (. jäl- Lttketeet tti Lähteemäki

16 Lujuusopi jtkokussi III.6 kimmäisestä ehdost j kvst (.9 seu että jäkälle tuelle o lisäksi voimss (.. Niveltuet (kuv.. Lt eu olless iveltuettu o tipum estett eu kikiss pisteissä mutt eu pääsee vpsti kietmää tukisuo mpäi jote tämä suo mpäi tivuttv tivutusmomettitihede ( tulee oll oll. Reuehdoiksi tulevt äi olle w( ( (. Kuv. Niveltuet. omettitihettä koskev euehto o luoteelt kieettie eli koskee voimsuuett. Kv (. toie euehto void lusu tipum w vull kättämällä hväksi htälöä (.9 jost seu ehto w ( w (. Kosk w ( o mös w ( w (. Reuehdot (. void siis t mös muodoss w( w ( (. Niveltuell lt kltevuuskulm w ( jote voi oll mös w (. Kvst (.9 seu että iveltue väätömomettitihes ( ei ole idettisesti oll. Yleesä kuiteki jtell iveltue olev sellie että se ei ot vst väätömomettitihettä. hdollie ollst poikkev väätömomettitihes ( hdistetää tällöi leikkusvoimtihede ( kss s. kovikeleikkusvoimtihedeksi kute jtkoss tulee esille. Smll tke iveltuet tulev tukivoimtihes.. Vp eu (kuv.. Tässä tpuksess eulle tulee vi kieettisiä euehtoj. Esimekiksi kuv. peusteell voisi helposti jtell että vpll eull o kolme kieettistä euehto eli tivutusmomettitihes ( väätömomettitihes ( j leikkusvoimtihes (. Näi ei kuitek voi oll sillä peusdiffeetilihtälö (.7 o tipum eljäe ketluvu osittisdiffeetilihtälö joll voi oll vi kksi euehto eu pisteissä. Ristiiit johtuu kättöö Kuv. Vp eu. otetust likimäääisestä kiemttisest mllist jok ei ot huomioo leikkusmuodomuutost eikä siis tue lt leikkusvoimi. Tämä istiiid selvitti esimmäiseä Kich- Lttketeet tti Lähteemäki

17 Lujuusopi jtkokussi III.7 (b (c (d d Kuv.5 Reu d d d q d b väätömometi kovike. (b (b (b Kuv.6 Väätömometi kovike. hoff v. 85 osoittmll että kiemttie mlli vtii väätömometti- j leikkusvoimtihede kovmist eull s. d ( d d kovikeleikkusvoimtihede hdellä eu- ( ehdoll. Kovikeleikkusvoimtihede lusekkee johtmiseksi tkstell lt vpt eu b (AB kuvss.. Siiä vikutt väätömomettitihes (b jok muodostuu keskitso suutisist leikkusjäitksistä τ kuv.5 ( mukisesti. Kuvss.5 (b o stttisesti smvoie ssteemi jok muodostuu keskitso vst kohtisuoist voimpeist. Kuvie.5 ( j (b situste iheuttmt jäitstilketät eovt toisist vi eu välittömässä läheisdessä Sit Veti peittee mukisesti. Kuv.5 (b voimpiketjust jää esulttiksi kuv.5 (c pistevoimketju jok void tulkit kuv.5 (d mukisesti jtkuvksi poikittiseksi euvoimtihedeksi q. Reu lkupäässä j loppupäässä ei kuv.5 (b voimpeill ole vieeistä voimpi jotk ositti kumoisivt iitä. Nukkii jäävät äi olle kuv.6 pistevoimt (b j (b. Lttketeet tti Lähteemäki

18 Lujuusopi jtkokussi III.8 ( ( (b (b ( (b Kuv.7 Kovusssteemi. ( ( Edellä esitett väätömomettitihede kovus void tehdä lt kikill euoill. Tällöi sd kuv.7 stttisesti smvoie kovusssteemi joss o euvoimtihedet ( ( j (b ( sekä lisäksi ukkvoimt ( (b ( j (b. Ku tvllie leikkusvoimtihes ti j väätömomettitihedestä stu kovv leikkusvoimtihes lsket htee sd lt eu kovikeleikkusvoimtihedet V ti V. Kovikeleikkusvoimtihedet suokulmiolt euoill ovt äi olle : : : b : V ( V ( V ( V (b ( ( ( (b ( ( ( (b (. Kovikeleikkusvoimtiheksillä o tvlliste leikkusvoimtiheksie mekkisopimukset. Nukkvoimie positiiviset suut ovt kuv.7 mukiset. Jos kuv. lt eu o vp ovt kovikeleikkusvoim- j tivutusmomettitihes olli tällä eull j euehdot ovt äi olle V ( ( (. Kieettiset euehdot (. void kijoitt tipum w vull kvoj (.9 j (.7 hödtämällä jolloi sd euehdot w ( w ( w ( ( w ( (.5 Jos molemmill suokulmiolt ukk liittvillä sivuill o iveltuet ti toisell o iveltuet j toie o vp st edellä kuvttu ukkvoim. Ku molemmt ukk liittvät sivut ovt vpit j ukk kuomittmto o ukkvoim oltv oll. Tästä seu kv (.9 peusteell että tipum o toteutettv lisäehto w eli vpss kuomittmttomss ukss kieevs o oll. Lttketeet tti Lähteemäki

19 Lujuusopi jtkokussi III.9. Luistituet. Ku eull o luistituet o kimmopi kltevuuskulm w ( oll. Kosk eu pääsee vpsti siitmää -suuss o kovikeleikkusvoimtihede V ( oltv oll. Reuehdoiksi tulevt siis w ( V ( (.6 Kuv.8 Luistituet. Kosk w ( o mös w ( jote kv (.9 muk väätömomettitihes ( jote toie euehto o itse siss (. Kltevuuskulm koskev euehto o kiemttie j (kovikeleikkusvoimtihettä koskev kieettie. Ku kieettie euehto lusut tipum w vull kv (.7 kättäe sd euehdot w ( w ( (.7 Edellä kohdiss - tutkitut euehdot ovt homogeeisi euehtoj kosk iissä oletettii eu suueide tuetut vot olliksi. Epähomogeeisiss euehdoiss iide tuetut vot eivät ole olli jolloi tkstell tuettuj tukisiitmiä ti eukuomituksi. Reuehdot ovt kuiteki peitteess smt kui edellä htälöissä kovt vi oikeide puolie ollt vstvill tuetuill voill.. Nviei tkisu Nviei tkisumeetelmä sopii mielivltisesti kuomitetu suokulmiolt käsittel ku se o kikilt euoilt iveltuettu kuv.9 mukisesti. Lt euehdot ovt tällöi DA : w( BC : w( b CD : w( AB : w( w w w w ( ( b ( ( (.8 Kuv.9 Niveltuettu ltt. Tipum w ( etsitää ääettömä Fouie-kksoissiisj muodoss jolloi se luseke o muoto Lttketeet tti Lähteemäki

20 Lujuusopi jtkokussi III. w( m w m si( α si( β α mπ / β π /b m m (.9 joss tipum Fouie-ketoimet w m ovt tutemttomi vkioit. O selvää että muoto (.9 olev tkisu toteutt euehdot (.8 utomttisesti sillä se jokie temi toteutt e eiksee. Tipum Fouie-ketoimet w m iippuvt lt kuomitusjkumst p (. Ketoimie w m määittämiseksi kehitetää mös kuomitus Fouie-kksoissiisjksi. Kuomitukse Fouie-ketoimille kätetää seuvss mekitää p m j se sjkehitelmä o muoto p( m p m si( m si( β α (. Ku htälö (. molemmt puolet keot tekijällä si( α si( β j itegoid lt keskitso li temejä jäjestelemällä seu tulos j k b p(si( α si( β j m k p d d m si( α m si( α d j b si( β si( β k d (. Siifuktioide otogolisuusomiisuude m j si( α m (siα j d (. / m j jote Fouie- ojll edellä olevst kksoissummst tulee tulokseksi p jk b / ketoime p m lusekkeeksi tulee p m p(si( αm si( β d d b (. b Ku sjt (. j (. sijoitet lt peusdiffeetilihtälöö (.7 tulee m D w m ( α m α m β β si( α m si( β m p m si( α m si( β (. Yhtälö (. pitää toteutu temeittäi jost seu Fouie-ketoimille w m kv Lttketeet tti Lähteemäki

21 Lujuusopi jtkokussi III. w m p D( α m m β Dπ p m m b (.5 Ku etu kuomitukse p ( siisj ketoimet (. o lskettu sd tipum w ( siisj (.9 ketoimet kvst (.5. Ku tipum sj tuet void muide lt suueide sjt lske siitä lttteoi peuskvoill. Kätäössä ei suueit sjoist lskettess void ott muk ääetötä määää temejä. Sjt suppeevt kuiteki melko opesti j leesä lskettkkuude klt iittää ku otet sjoje lkupäästä muutmi temejä... Tsise kuomitukse Nviei tkisu Ku kikilt euoilt iveltuetull suokulmioltll o tsie kuomitus p ( seu kvst (. kuomitukse siisj ketoimiksi p p / m [ ( ][ ( ] b p p m cos( m cos( b / α β α m β π m 6p ku m j ovt pittomi m π m (.6 muulloi p Lt tipum kksoissiisjksi (.8 tulee äi olle m L L 6p mπ π w ( si si (.7 6 π D m[(m / ( / b ] b Tsisesti kuomitetu j iveltuetu suokulmiolt kimmopit o smmetie lt smmeti-kseleide suhtee. Tästä johtuu että tipum tkisuss (.7 ovt muk vi kksoissmmetiset siikuplt (m j pito. Lt suui tipum o se keskipisteessä / b / jolle kvst (.7 seu luseke m L L ( m 6p ( w m (.8 6 π D m[(m / ( / b ] mπ ( m / sillä si (. Lttmomettie sjt sd sijoittmll tipum sj kv (.9 jost seu tulokset / Lttketeet tti Lähteemäki

22 Lujuusopi jtkokussi III. 6p ( π 6p ( π 6( ( (m / m L L m[(m / (m / m L L m[(m / p π b m L L ( / b ( / b ( / b ( / b [(m / ] ] ( / b Lt leikkusvoimtiheksie sjoiksi tulee kvst (.7 mπ si mπ si ] si si mπ cos π b π b cos π b (.9 6p ( π 6p ( π b m L L m L L (m / [(m / (m / m[(m / ( / b ( / b ( / b ( / b ] ] mπ cos mπ si si cos π b π b (. Tuloksest (.9 ähdää että j ovt olli lt euoill j b mutt ei ole oll lt euoill eikä kulmiss. Kosk iveltuet ei ot vst väätöä o hdistettävä eu liittvä leikkusvoim ( ti kss kovikeleikkusvoimksi ( V ti V. -kseli suutisill euoill kovikeleikkusvoim luseke o V jost tulee eull 6p V ( π (m / ( m L L [(m / ( / b ( / b ] π si b (. Kovikeleikkusvoimie lusekkeet muill euoill void joht vstvsti. Kovikeleikkusvoimie lisäksi mometist stvät kuv.7 mukiset ukkvoimt. Tulokse (.9 muk o egtiivie ukiss B j D sekä positiivie ukiss A j C jote kuv.7 peusteell kikki ukkvoimt ovt lspäi eli - kseli positiivisee suut. Nukkvoim suuuudeksi tulee R ( p π b m L L [(m / ( /b ] (. Niveltuetoihi liittvät -suutiset tukivoimtihedet sd sivuje kovikeleikkusvoimtiheksistä j lisäksi o otettv huomioo ukkvoimt. Kovikeleikkusvoim peustuv likitkisu ei iv idelist iveltuet vstv tulost mutt Sit Veti peittee muk vihe joittuu eu läheistee kpelle lueelle. Lttmometeist iheutuville keskitso suutisille jäitksille sd sjt kvst (. j lt leikkusvoimist iheutuville poikittisille leikkusjäitksille sjt kvst (.. Lttketeet tti Lähteemäki

23 Lujuusopi jtkokussi III. YPYRÄ- JA RENGASLAATTA. Peushtälöt pkooditistoss d Kuv. Ympältt. Ympältll tkoitet ltt jok keskipi euviiv o mpä. Ympäegslt keskipi euviivoi ovt kksi smkeskistä mpää. Geometis tki äitä o ps käsitellä sliteikooditistoss (pkooditisto j -kseli. Tämä edellttää lttsuueide määittelemistä sliteikooditistoss j peushtälöide muutmist tähä kooditistoo. Ku - j - kooditisto oigo sijoitet lt keskipisteesee kuv. mukisesti o koodittie välie htes cos si. Kuvss. o mös keskipi dd -diffeetilielemetti j kuvss. o siihe liittvät lttmometit j sekä lt leikkusvoimtihedet j. d d Npkooditistoss opettoi Kuv. Lttelemeti jäitsesulttit. o muoto w w w w (. jote peusdiffeetilihtälö void kijoitt sliteikooditistoss muotoo w ( ( ( w w w p( /D (. Lttketeet tti Lähteemäki

24 Lujuusopi jtkokussi III. Lttketeet tti Lähteemäki Lttmometeille leikkusvoim- j kovikeleikkusvoimtiheksille tulee tipum w vull esitett lusekkeet w D( D( ( Eh D w w w D D( w w w D D( κ κ κ κ κ (. w D( w D( (. w ( w ( D V w ( w ( D V (.5 Lt jäitsesultttie tspioehdoiksi tulee p( ( ( ( (.6 p( ( ( (.7 Jäitskompoettie lusekkeet ovt h / h h / h / h I I I I τ τ τ σ σ (.8

25 Lujuusopi jtkokussi III.5. Ltthtälö tkisemie Lttteoi peusogelm o tipum w tkisemie. Se sd peushtälöstä (. j euehdoist jok jälkee muut suueet void lske kvoist (. (. (.5 j (.8. Peushtälö tkisu o homogeeise diffeetilihtälö w leise tkisu w h ( j tädellise htälö w p / D ksitist- kisu w ( summ eli w( w h( w (. Homogeeise htälö tkisut ovt bihmoisi fuktioit. Homogeeise htälö tkisuj void etsiä esimekiksi muuttujie eottmiskeioll (vt. jäitsfuktio φ levteoiss muodoss w h si( R( K cos( (.9 w w w h h h ( si ( ( b / c d l (. cos ( ( b l c b c d l d si( cos( Ketoimille bc j d sd vot lt euehdoist. Regsltll ehtoj o kksi kummllki eumpällä. Ympältll ei ole sisäeu j sille toie euehtopi tulee vtimuksist w( ( jost seu b d K. Reu tvllisimmt tukimllit ovt kulmst iippumttomi j iihi liittvät euehdot ovt Jäkkä kiiits: w( j w ( b Nivelkiiits: w( j ( c Luistikiiits: w ( j V ( d Vp eu: ( j V ( V eh- Edellä oleviss euehdoiss lttmometi j kovikeleikkusvoim dot void lusu tipum w vull kvoj (. j (.5 kättäe.. Rottiosmmetie tkisu Ku kuomitus j tuet ovt ottiosmmetisiä eivät lttsuueet iipu kulmst jolloi kikki deivtt muuttuj suhtee ovt olli. Tällöi o voimss w w w ( w w w w w w (. Lttketeet tti Lähteemäki

26 Lujuusopi jtkokussi III.6 Lt peusdiffeetilihtälö meee muotoo w ( w p(/ D (. jost seu peäkkäisillä itegoieill ( w c p d D p d D ( w c c l d p w c c c l d d d D p w c c l c c l d d d d D Ympä- j egslt peusdiffeetilihtälö leie tkisu ottiosmmetise tue j kuomitukse tpuksess o siis muoto p w( b l c d l d d d d (. D h Kvss (. tkisu os w b l c d l o homogeeise p htälö leie tkisu j os w d d d d tädellise htälö D ksitistkisu. Vkiot bc d sd määitettä lt euehdoist. Lt jäitsesultteille tulee edellee kvoist (. (. j (.5 sievetämällä seuvt lusekkeet D w D w w w D w V w V (. Lttketeet tti Lähteemäki

27 Lujuusopi jtkokussi III.7.. Tsisesti kuomitettu j jäkästi tuettu mpältt Tkstell kuv. tsisesti kuomitettu j eult jäkästi tuettu mpältt. Etsitää luksi ksitistkisu kv (. itegli vull ku p p p D p D p d D p D p p d 6D 6D p p d D D p p d 6D 6D p D (.5 Tipum w luseke o kv (. muk p Kuv. Jäkästi tuettu mpältt. p w c (.6 6D sillä ehtoje w ( j ( peusteell o b d. Kltevuuskulm w lusekkeeksi sd deivoimll p w c (.7 6D Reu ehdoist w ( j w ( seu vkioille j c htälöpi p c 6D p c 6D p 6D c p 6D (.8 Tipum lusekkeeksi tulee vkioide sijoittmise jälkee p p w( (.9 6D 6D ksimi tipum o lt keskipisteessä j se vo o w p w( (. 6D m Jäitsesultttie kvoiss (. tvittvt deivtt ovt Lttketeet tti Lähteemäki

28 Lujuusopi jtkokussi III.8 p p w w (. 6D 6D Sijoittmll lusekkeet (. kvoihi (. sd tulokset p p ( ( 6 (. 6 p 6 p 6 p 6 p Lt keskipisteessä lttmometeill j ( ( o sm vo ( ( ( p /6 (. Lt eull lttmomettie j vot ovt ( p /6 ( p / 6 (. Suui lttmometi itseisvo o siis eu säteittäismometi itseisvo p / 8 jost seu suuimmksi omlijäitkse itseisvoksi m 6 σ p m / 8 p (.5 h h.. Tsisesti kuomitettu j iveltuettu mpältt p Tutkit kuv. tsisesti kuomitettu j eult iveltuettu mpältt. Edellise kohd ksitistkisu kelp tässäki j keskipistee euehdot ovt mös smt jote tipum j se deivtt ovt Kuv. Niveltuettu mpältt. w w c c p 6D p 6D w c p 6D (.6 Lttketeet tti Lähteemäki

29 Lujuusopi jtkokussi III.9 Lttmometi lusekkeeksi tulee kvst (. Reu D( c ( p /6 (.7 ehdoist w ( j ( seu htälöpi vkioille j c p c 6D 5 p p c p 6D D D( c ( 6 (.8 Tipumksi tulee vkioide j c sijoittmise jälkee p w( 6D 5 p 6D 5 (.9 ksimi tipum o lt keskipisteessä j se vo o w m 5 p w( (. 6D jok o ( 5 /( -ketie vettu jäkästi tuetu lt suuimp tipum vettu. Ku keoi o oi 8. Kltevuuskulmksi w lt eull tulee kvst (.6 p w ( (. 8( D Jäitsesultteille sd kvst (. seuvt lusekkeet ( p 6 p ( ( 6 p (. Lt keskipisteessä lttmometeill j o sm vo ( ( ( p /6 (. Lttketeet tti Lähteemäki

30 Lujuusopi jtkokussi III. jok o smll kummki lttmometi itseisvo mksimi. Suuimmksi omlijäitkse itseisvoksi tulee äi olle 6 ( σ σ m ( p m /6 p (. h 8 h jok o ( / -ketie vettu jäkästi tuetu lt suuimp omlijäitkse itseisvoo vettu. Ku keoi o 65. Edellä olevi tuloksi sovellettess o stä muist että todellisiss keteiss tuet o hvoi täsi jäkkä ti idelie ivel v todellie tuet o tvllisesti iide välimuoto. Lttketeet tti Lähteemäki