Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET
|
|
- Päivi Juusonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lujuusopi jtkokussi III. III. LAATTARAKENTEET Lttketeet tti Lähteemäki
2 Lujuusopi jtkokussi III. JOHDANTO Tsopitketee kuomitus void jk keskipi suutisee j sitä vst kohtisuo kuomituksee eli lev- j lttkuomituksee. Tipum olless tpeeksi piei ämä kuomitustpukset void käsitellä eillisiä. Ltt o tsopitkee jot kuomitet se omli suuss. Tsopitketee lsketmlli o se keskipit j lisäksi tvit ketee pksuus. Lt keskipit tipuu kuomitukse vikutuksest kevksi piksi j tipumll stttä pit sot lt kimmopiksi. Ltt kt kuomitukses pääsiss tivutus- j väätösituste vull mutt siihe st mös leikkusvoimsituksi. Lttketeide lujuuslsket o kehitett moi eilisii lkuoletuksii peustuvi teoioit. Kuvss. o esitett lttogelmie kke jottelu jok o teht iide tkisemisee soveltuvie meetelmie peusteell. Lt pksuutt o kuvss mekitt kijimell h s tkoitt keskitso pieitä ulottuvuutt j w tipum itseisvo mksimi. h > s / 5 h / 5 < w < 5h vo Kámá h s / 5 w < h / 5 Kuv. Lttogelmie jottelu. Kuvss. etut jt ovt vi suut tvi ohjeit eivätkä teoist seuvi täsmällisiä voj. Pksuill ltoill leikkusmuodomuutoksill o mekitstä sm tp kui kokeill plkeill (Timosheko plkkiteoi. Kohtuullise pksuude omv lt tksteluu sopii Reissei lttteoi jok ott leikkusmuodomuutokse likimäääisesti huomioo. Ohue j vähä tipuee lt tkstelu void suoitt klssise lttteoi eli Kichhoff-Love lttteoi mukisesti. Tämä teoi vst suo plki tekistä tivutusteoi j o se kksiulotteie leists. Ohut j ussti tipuut ltt kättät epälieisesti sillä se kimmopit ve mekittävästi jäkistäe ltt tipumise suhtee. Vo Kámái lttteoi tjo tällisee tpuksee sopiv lttise tkisumeetelmä. Kikkie edellä miittuje lttogelmie umeeisess tkisemisess void sovelt elemettimeetelmää j kätettävissä o lj vlikoim eitppisiä lttelemettejä. Lttketeet tti Lähteemäki
3 Lujuusopi jtkokussi III. Ltt void luokitell mteili peusteell kuvss. esitetllä tvll. Teäsltt kättät isotooppisesti. Epäisotooppisuus o usei mteili ti ketee ototooppisuutt (puu jäkisteillä kohtisuosti istii vhvistettu ltt. Keosltss o kevt sdä j ohuet pitlevt hdistett toisiis (sto ti ueti j teäs ti vei. Komposiittiltss o peusieesee (muovi betoi lsi sijoitettu hvi veto kestäviä säikeitä (hiilikuidut teästgot lgt. Kuv. Lttoje luokittelu mteili muk. Tässä käsitellää vi ohuit j vähä tipueit lttoj joide mteili o isotooppie homogeeie j kättät lieisesti kimmoisesti. KLASSISEN LAATTATEORIAN PERUSYHTÄLÖT. Lt kiemttie mlli Seuvss tkstell lt teoi kuv. -kooditistoss jok tso o lt keskitsoss j -kseli o keskitso omli suut. Jos lt pksuus h o vkio o lt lpit tso h/ j läpit tso h /. Jos lt lä- j lpit ovt eisuutisi tsoj ti kevi pitoj o lt pksuus koodittie j fuktio. Pksuude puolittvie pisteide o tässäki tpuksess muodostettv tso jott keett voitisii tkstell lttteoill. Ltt joittvi -kseli suutisi pitoj kutsut se euksi. Siitmäketä kompoettej koodittikseleide suuiss mekitää smboleill u v j w lujuusopi kätäö mukisesti. Siitmäkompoetti w sot tipumksi. Lttketeet tti Lähteemäki
4 Lujuusopi jtkokussi III. Klssie lttteoi peustuu seuvii lt kättätmistä koskevii hpoteeseihi (Kichhoff Love.. Lt keskipit o eutlipit jok pietä vemistä ei otet huomioo.. Keskitso omlill olevt lt pisteet psvät tästä tipumll stee kimmopi omlill.. Keskitso omli suutisell vemällä ε ei ole mekitstä.. Keskitso omli suutie jäitskompoetti σ void jättää huomiooottmtt keskitso suutiste kompoettie σ σ j τ ill Hpoteesi vst plki tekisessä tivutusteoiss Beoulli hpoteesi. Kuvss. tkstell lt keskitso mielivltist pistettä P j se kutt kulkevll keskitso omlill etäisdellä olev pistettä A. Kuvss äkvät pistee A siitmäkompoetit u j w -tso suutisess leikkuksess. Siitmät oletet pieiksi ( w < h / 5 mutt iitä o selvde vuoksi liioiteltu. Keskipi vemättömsoletuksest seu että piste P siit vi -kseli suuss tulle pisteesee P. Keskitso omli käät -kseli mpäi kulm w jok o sm kui keskitso käätmiskulm sillä peushpoteesi muk A o tipuee kimmopi omlill. Peushpoteesi muk o ε jote PA P' A' eli omli ei ve. Tkstelemll smll tvll pistee P kutt kulkev -tso suutist leikkust ähdää että omli PA käät -kseli mpäi kulm w. Pistee A siitmäkompoeteiksi sd äi olle u w v w w w( (. Kuv. Lt kooditisto. Lt muodomuutoskompoeteiksi sd kiemttiste htälöide vull ε γ u u w v κ w κ ε ε v γ w γ κ (. Lttketeet tti Lähteemäki
5 Lujuusopi jtkokussi III.5 w Lt mteili oletet kättätvä lieisesti kimmoisesti jolloi mteilihtälöä o leistett Hooke lki. Lttteoi peushpoteesi muk liukumt γ j γ ovt olli jote mös leikkusjäitkset τ j τ ovt olli. Kosk hpoteesi muk mös σ oletet ollksi o lt kikiss pisteissä tsojäitstil. Peushpoteesie muk lt pisteissä o siis smikisesti sekä tsomuodomuutostil että tsojäitstil mikä tkk otte o mhdotot. Ksms o t likimäääisistä lähtöoletuksist jotk kokemukse muk johtvt ohuill j vähä tipueill ltoill kättökelpoisee teoi. öhemmi selviää että tsojäitstiloletuksest pidetää kiii vi ii ku ku sd lusekkeet keskitso suutisille jäitskompoeteille σ σ j τ. Tämä jälkee stuj lusekkeit hväksi kättäe johdet jäitskompoettie tspioehw Kuv. Kiemttie mlli. Kvss (. κ j κ ovt kimmopi kevuudet - j -kseleide suuiss j κ se kieevs -tsoo ähde tkstelupisteessä P. Lt kevuussäteet ρ j ρ ovt se kevuuksie kääteislukuj sekä kieevssäde ρ se kieevde kääteisluku eli / ρ κ ρ κ ρ κ (. w / w / w Kvst (. äk että lt peushpoteesie j muk lt kikkii pisteisii tulee tsomuodomuutostil.. teilihtälöt j lttmometit Lttketeet tti Lähteemäki
6 Lujuusopi jtkokussi III.6 doist likikvt -kseli suutisille jäitskompoeteille σ τ j τ. Keskitso suutiste jäitskompoettie mteilihtälöt ovt tsojäitstilss ε ( σ σ ε ( σ σ γ τ (. E E G Ku htälöt (. tkist jäitskompoettie suhtee sd tulos E E E σ ( ε ε σ ( ε ε τ γ (.5 ( Ku htälöihi (.5 sijoitet muodomuutoskompoetit htälöistä (. sd jäitskompoetit lusuttu tipum w ti kevuuksie j kieevde vull σ σ τ E E ( w w E E ( w w E E w κ ( κ ( κ κ κ (.6 Kvst (.6 äk että jäitkset jktuvt lt pksuude suuss (suut lieisesti. Lttteoiss ktt kättää voimsuuei mös lttmomettej j jotk määitellää htälöillä h/ h/ h/ σ d σ d τ d (.7 h/ h/ h/ Itegoiti määitelmissä (.7 o lt pksuude li. Lttmometit j ovt tivutusmometi viivtihedet lt leikkuksiss vkio j vkio vstvsti. Lttmometti o väätömometi viivtihes leikkuksess vkio ti vkio. Ku jäitskompoetti σ sijoitet htälöstä (.6 mometi lusekkeesee j itegoid sd seuv h / h / E ( w E w ( w d w Eh / ( w w ( h / h / (.8 Vstvt htälöt void joht mös lttmometeille koottu kv (.9. j tulokset o Lttketeet tti Lähteemäki
7 Lujuusopi jtkokussi III.7 D( w w D( κ κ D( w w D( w D( κ D( κ κ Eh D ( (.9 Suuett D sot lt tivutusjäkkdeksi. Kvss (.9 o lttmometit lusuttu tipum w vull. Jtkoss osoittutuu että tipum o klssise lttteoi peussuue jok vull psttää lusum kikki muut suueet j peusogelmksi tulee äi tipum tkisemie. Kvst (.9 sd lusekkeet κ κ /D κ κ /D ( κ /D (. Ku lusekkeet (. sijoitet htälöihi (.6 seu jäitskompoeteille σ σ τ I h / (. I I I joss suue I o kköse levise lttkist poikkileikkukse eliömometti se pksuude puolittv suo suhtee. Yhtälöt (. tvt lttmomettie j lt keskipi suutiste jäitskompoettie väliset htedet. Jäitskompoetit svt ääivos lt lä- j lpill missä mh / j tällöi o σ m σ m τ m (. h h h σ τ σ τ τ τ τ Kuv. Lt jäitsjkutumt. Lttketeet tti Lähteemäki
8 Lujuusopi jtkokussi III.8 Kuvss. o esitett jäitskompoettie σ σ j τ jktumie lt pksuude suuss leikkuksiss vkio j vkio. Siiä o esitett mös -kseli suutiste leikkusjäitskompoettie τ j τ jktumie jok sd möhemmi selville jäitskompoettie tspiohtälöistä. Tässä viheess o vielä voimss peushpoteesie mukie oletus jok muk ämä jäitskompoetit ovt olli. Void todet että lt leikkuksess tivutuksest j vääöstä iheutuvt jäitkset ovt pksuussuuss lieisesti jktueit site että keskipi jäitkset ovt olli. Tämä tulos o omlijäitste oslt vstv kui tekisessä tivutusteoiss sd plki omlijäitkse jktumiselle plki kokeussuuss. Plki omlijäitsjkutum ei muutu tivutustso omli suuss mutt lt omlijäitsjkutum esimekiksi leikkuksess vkio o kooditi fuktio. Plkkiteoiss kätetää voimsuuee poikkileikkukse tivutusmometti jok o plki poikkileikkukse omlijäitsjkutum iheuttm mometti tivutuskseli suhtee. Tätä vst lttteoiss tksteltv koodittikseli suutise leikkukse tivutusmomettitihes jok o lt pksuussuut liittvä omlijäitsjkutum iheuttm momettitihes. Lt väätömomettitihedellä ei ole plkkiteoiss vstiett.. Lt tspiohtälöt Kosk -kseli suut liittvät liukumt γ j γ ovt peushpoteesi muk olli ovt mös iitä vstvt leikkusjäitskompoetit τ j τ mteilimlli olev leistet Hooke li muk olli. Peushpoteesi o kuiteki likimäääie vikkki kättökelpoie jote todellisuudess -kseli suutiset leikkusjäitkset eivät ole tksti olli. Niille void joht likimäääiset kvt jäitskompoettie tspiohtälöide vull smll tvll kui plkkiteoiss johdet plki leikkusjäitkselle likiluseke (Jouwski kv. ääitellää luksi lt leikkusvoimtihedet j poikittiste leikkusjäitskompoettie τ j τ esultttei seuvsti h/ h/ h/ τ d τ d (. h/ Jäitskompoettie tspiohtälöt ovt ltlle σ τ τ τ σ τ τ τ σ f (. jotk seuvt leisistä tspiohtälöistä jättämällä pois levkuomituksii kuuluvt tilvuusvoimkompoetit f j f. Ketomll hmä (. esimmäie htälö kooditill j itegoimll lt pksuude li sd luksi Lttketeet tti Lähteemäki
9 Lujuusopi jtkokussi III.9 h / h/ h / h / σ d τ d τ d (.5 h / h / Vihtmll itegoii j deivoii jäjests esimmäisessä j toisess itegliss j itegoimll kolms ositti seu h/ h / h/ h h/ σ d d / d τ τ τ (.6 h / h/ h / Sijoitustemi o oll sillä pitkuomituksii ei sisäll lä- ti lpill vikuttvi keskitso suutisi kuomituksi eli τ ( ± h / j τ ( ± h /. Ku otet huomioo määitelmät (.7 j (. meee htälö (.6 muotoo (.7 Yhtälöhmä (. toisest htälöstä void vstvll tvll joht tulos (.8 Itegoimll hmä (. kolms htälö lt pksuude li sd h / h/ h / h / h / τ d τ d σ d f d (.9 h/ h/ h/ jost seu itegoimll sekä deivoiti- j itegoitijäjests vihtmll h / h / h / h/ h / τ d d / f d τ σ (. h / h/ h / Kksi viimeistä temiä void tulkit lt omli suutise kuomitukse (poikittiskuomitukse lt keskitsoo hdistetksi pittihedeksi p( eli p( h / σ (h / σ ( h / f ( d (. h / ääitelmie (. peusteell o siis voimss htälö p (. Ku tulokset koot sd kv (. jäitsesultttie tspiohtälöt Lttketeet tti Lähteemäki
10 Lujuusopi jtkokussi III. p (. Rhmää (. vstvt htälöt plkkiteoiss ovt d t d q d d (. Ku hmä (. khdest esimmäisestä htälöstä sijoitet leikkusvoimtihedet kolmtee htälöö tulee kv (.5 lttmomettie tspiohtälö p (.5 Lttteoiss kätetää voimsuuei jäitskompoettie τ ohell iistä johdettuj jäitsesultttej Kuv. Lt jäitsesulttit. σ j σ τ τ j. Näide positiiviset suut määätvät jäitskompoeteille sovituist positiivisist suuist kute kuvst. äk. Kuvss. o lt keskipi pitelemetti dd j se euoill vikuttvt jäitsesulttit positiiviste suuties mukisi. Kuvss. o lttmomettie esittämisee kätett kksoisuolt jolloi mometi kietosuut o uole käjestä ktsottu vstpäivää. Leikkusvoimtihedet j void lusu lt tipum w vull sijoittmll kv (. khtee esimmäisee htälöö lttmometit kvst (.9 D( w w D( ( w D( ( w D( w w (.6 Edellä olevt htälöt sieveevät kvss (.7 esitett muotoo D( w D( w w w D( D( w w (.7 Lttketeet tti Lähteemäki
11 Lujuusopi jtkokussi III.. Poikittissuutiset jäitkset Johdet -kseli suutiste leikkusjäitskompoettie τ j τ lusekkeet. Jäitskompoettie tspiohtälöhmä (. esimmäisestä htälöstä seu kvoje (. j (. vull j itegoimll τ σ τ ( I I τ I [C( / ] (.8 Fuktio C ( void tkist euehdost τ ( ± h / jost tulee I [C( ( ± h / / ] C( (h / / (.9 Leikkusjäitskompoetille τ void joht smll tvll luseke hmä (. toisest htälöstä. Lopputulokseksi sd kvt τ τ [(h / I [(h / I ] h ] h h / h / (. Kvoist (. ähdää että leikkusjäitste τ j τ jkum o lt pksuussuuss pbolie. Lt lä- j lpill τ j τ ovt olli ääivo e svt keskipi kohdll. Ääivo suuuus o 5-ketie vettu voo jok sd olettmll leikkusjäitkset pksuussuuss ts jktueiksi. Kuvss. o esitett mös leikkusjäitste τ j τ jkutumie lt leikkuksiss vkio j vkio. Peushpoteesi muk σ o keskipi suutiste jäitskompoettie ill mekitksetö. σ ei kuitek ole tksti oll j sille void joht likikv jäitskompoettie tspiohtälöistä. Tkstell tpust joss f j pitkuomitus p ( lt läpill h /. Tällöi hmä (. kolmest htälöstä j kvoist (. j (. seu σ τ τ ( h h / Kvst (. sd itegoimll h h / p( (. Lttketeet tti Lähteemäki
12 Lujuusopi jtkokussi III. σ p( C( (. h (h / Fuktio C ( sd selville lpi euehdost σ ( h / h h h p( C( C( p(/ (. Tulokseksi sd omlijäitkselle σ likikv p( σ (. h / h / Kvst (. tulee lt läpill σ ( h / p( kute pitääki..5 Peusdiffeetilihtälö Sijoittmll lttmomettie tspiohtälöö (.5 momettie lusekkeet kvoist (.9 seu D( w w D( ( w D( w w p( (.5 jost sd sievetämällä klssise lttteoi peusdiffeetilihtälö w w w p( /D (.6 Yhtälö (.6 void vielä esittää tiiviimmi muodoss w p(/d (.7 Klssise lttteoi peusogelm o kv (.7 bihmoise diffeetilihtälö tkisemie etuill euehdoill. Osittisdiffeetilihtälö (.7 o eljättä ketluku jote se lttie tkisemie ei oistu helposti. Sääölliste tpuste tkisuj tuet melko ussti. Esimekiksi suokulmio- j mpä(egsltlle tuet tvlliste kuomitus- j tuettpuste lttiset tkisut. Ku lt peustutemto w o tkistu etuill euehdoill htälöstä (.7 void muut suueet määittää iille edellä esitetistä kvoist. Lttmometit sd kvoist (.9 j leikkusvoimtihedet kvoist (.7 sekä jäitkset vstvsti kvoist (. j (.. Lttketeet tti Lähteemäki
13 Lujuusopi jtkokussi III. SUORAKULIOLAATTA. Puhds tivutus Tkstell esi eitistpust joss lt pitkuomitus p ( jolloi kuomituksi o vi lt eull. Lt peushtälö o tässä tpuksess w w w (. j sillä o esimekiksi polomitkisu (ketoimet CL C6 ovt vkioit C C C C5 C6 w ( C (. kute htälöö (. sijoittmll voi helposti todet. Jäitsesultttie lusekkeiksi sd kvoje (.9 j (.7 peusteell D(C C ( DC 5 6 D(C 6 C (. joist äk että kseessä o tsie momettikettä j leikkusvoimi ei ole. Tipum lusekkee lieie lkuos C C C edust keskitso jäkä kpplee liikettä eikä vikut mometteihi jote se void jättää pois jtkotksteluist. Tällöi tipumt mitt kimmopi oigoo sijoitetust tgettitsost lähtie. Ku ketoimet C C 5 j C 6 tkist momettie lusekkeist j sijoitet tipum lusekkeesee sd tulokseksi [( ( ( ] w ( ( D (. Ku tkstell vi tivuttv eukuomitust o j kimmopi lusekkeeksi tulee tällöi [( ( ] w ( ( D Tkstell seuvksi tivuttvi eukuomituksi eliölt tpuksess.. Ku tulee kimmopi lusekkeeksi (.5 w( ( ( D (.6 Lttketeet tti Lähteemäki
14 Lujuusopi jtkokussi III. jok o pöähdspboloidi htälö. Kseessä o isotooppie j homogeeie momettikettä jolloi tivutusmometit ovt htä suui kikiss lt leikkuksiss j väätömometti ei esii missää leikkuksess. Kuvss. (b o esitett tätä kuomitustpust vstv kimmopit. Kuv. Neliölt eumomettikuomitus.. Tpuksess j kimmopi luseke o ( ( (.7 ( D w Lttketeet tti Lähteemäki
15 Lujuusopi jtkokussi III.5 j vstvt kevuudet ovt κ / [( D] j κ κ. Kseessä o hpebolie pboloidi eli stulpit jok kuvj o esitett kuvss. (c. Ku ltt tivutet tietssä suuss muodost se -vikutukse tki mös tivutussuut vst kohtisuoss suuss vstkkismekkise kevuude.. Ku kuomitukse ovt j ovt kimmopit j kevuudet w( κ /D κ D (.8 Kimmopi luseke o pbolie slitei j se kuvj o kuvss. (d.. Kuomituste olless j sd tkisuksi w( ( κ κ / [( D] ( D (.9 Kimmopit o tssivuie hpebolie pboloidi jok o kuvss. (e. - kseli suutie suo vkio tipuu löspäi ukevksi pbeliksi j - kseli suutie suo vkio lspäi ukevksi pbeliksi. Suot ± eli koodittikseleide väliste suoie kulmie puolittjt psvät pikll.. Suokulmiolt euehdot Kute kohdss.5 tuli esille o klssise lttteoi peusogelm tipum w tkisemie bihmoisest diffeetilihtälöstä (.7 lt tuest seuvill euehdoill. Yleisesti otte lt euviiv voi oll leie -tso kää j euehdot liittvät se tgeti j omli suutii. Tässä tkstell kuiteki vi koodittikseleide suutisi euviivoj eli joitut suokulmioltt. Tue oletet seuvss sijitsev lt -kseli suutisell eull. uill euoill olevt tuet void käsitellä logisesti.. Jäkkä tuet (kuv.. Ku lt eu o jäkästi kiiitett ovt tipum j kimmopi kltevuuskulm -suuss olli eu kikiss pisteissä. Reuehdoiksi tulevt äi olle w( w ( (. Kuv. Jäkkä tuet. Kumpiki euehto o luoteelt kiemttie eli koskee tipum. Kv (. jäl- Lttketeet tti Lähteemäki
16 Lujuusopi jtkokussi III.6 kimmäisestä ehdost j kvst (.9 seu että jäkälle tuelle o lisäksi voimss (.. Niveltuet (kuv.. Lt eu olless iveltuettu o tipum estett eu kikiss pisteissä mutt eu pääsee vpsti kietmää tukisuo mpäi jote tämä suo mpäi tivuttv tivutusmomettitihede ( tulee oll oll. Reuehdoiksi tulevt äi olle w( ( (. Kuv. Niveltuet. omettitihettä koskev euehto o luoteelt kieettie eli koskee voimsuuett. Kv (. toie euehto void lusu tipum w vull kättämällä hväksi htälöä (.9 jost seu ehto w ( w (. Kosk w ( o mös w ( w (. Reuehdot (. void siis t mös muodoss w( w ( (. Niveltuell lt kltevuuskulm w ( jote voi oll mös w (. Kvst (.9 seu että iveltue väätömomettitihes ( ei ole idettisesti oll. Yleesä kuiteki jtell iveltue olev sellie että se ei ot vst väätömomettitihettä. hdollie ollst poikkev väätömomettitihes ( hdistetää tällöi leikkusvoimtihede ( kss s. kovikeleikkusvoimtihedeksi kute jtkoss tulee esille. Smll tke iveltuet tulev tukivoimtihes.. Vp eu (kuv.. Tässä tpuksess eulle tulee vi kieettisiä euehtoj. Esimekiksi kuv. peusteell voisi helposti jtell että vpll eull o kolme kieettistä euehto eli tivutusmomettitihes ( väätömomettitihes ( j leikkusvoimtihes (. Näi ei kuitek voi oll sillä peusdiffeetilihtälö (.7 o tipum eljäe ketluvu osittisdiffeetilihtälö joll voi oll vi kksi euehto eu pisteissä. Ristiiit johtuu kättöö Kuv. Vp eu. otetust likimäääisestä kiemttisest mllist jok ei ot huomioo leikkusmuodomuutost eikä siis tue lt leikkusvoimi. Tämä istiiid selvitti esimmäiseä Kich- Lttketeet tti Lähteemäki
17 Lujuusopi jtkokussi III.7 (b (c (d d Kuv.5 Reu d d d q d b väätömometi kovike. (b (b (b Kuv.6 Väätömometi kovike. hoff v. 85 osoittmll että kiemttie mlli vtii väätömometti- j leikkusvoimtihede kovmist eull s. d ( d d kovikeleikkusvoimtihede hdellä eu- ( ehdoll. Kovikeleikkusvoimtihede lusekkee johtmiseksi tkstell lt vpt eu b (AB kuvss.. Siiä vikutt väätömomettitihes (b jok muodostuu keskitso suutisist leikkusjäitksistä τ kuv.5 ( mukisesti. Kuvss.5 (b o stttisesti smvoie ssteemi jok muodostuu keskitso vst kohtisuoist voimpeist. Kuvie.5 ( j (b situste iheuttmt jäitstilketät eovt toisist vi eu välittömässä läheisdessä Sit Veti peittee mukisesti. Kuv.5 (b voimpiketjust jää esulttiksi kuv.5 (c pistevoimketju jok void tulkit kuv.5 (d mukisesti jtkuvksi poikittiseksi euvoimtihedeksi q. Reu lkupäässä j loppupäässä ei kuv.5 (b voimpeill ole vieeistä voimpi jotk ositti kumoisivt iitä. Nukkii jäävät äi olle kuv.6 pistevoimt (b j (b. Lttketeet tti Lähteemäki
18 Lujuusopi jtkokussi III.8 ( ( (b (b ( (b Kuv.7 Kovusssteemi. ( ( Edellä esitett väätömomettitihede kovus void tehdä lt kikill euoill. Tällöi sd kuv.7 stttisesti smvoie kovusssteemi joss o euvoimtihedet ( ( j (b ( sekä lisäksi ukkvoimt ( (b ( j (b. Ku tvllie leikkusvoimtihes ti j väätömomettitihedestä stu kovv leikkusvoimtihes lsket htee sd lt eu kovikeleikkusvoimtihedet V ti V. Kovikeleikkusvoimtihedet suokulmiolt euoill ovt äi olle : : : b : V ( V ( V ( V (b ( ( ( (b ( ( ( (b (. Kovikeleikkusvoimtiheksillä o tvlliste leikkusvoimtiheksie mekkisopimukset. Nukkvoimie positiiviset suut ovt kuv.7 mukiset. Jos kuv. lt eu o vp ovt kovikeleikkusvoim- j tivutusmomettitihes olli tällä eull j euehdot ovt äi olle V ( ( (. Kieettiset euehdot (. void kijoitt tipum w vull kvoj (.9 j (.7 hödtämällä jolloi sd euehdot w ( w ( w ( ( w ( (.5 Jos molemmill suokulmiolt ukk liittvillä sivuill o iveltuet ti toisell o iveltuet j toie o vp st edellä kuvttu ukkvoim. Ku molemmt ukk liittvät sivut ovt vpit j ukk kuomittmto o ukkvoim oltv oll. Tästä seu kv (.9 peusteell että tipum o toteutettv lisäehto w eli vpss kuomittmttomss ukss kieevs o oll. Lttketeet tti Lähteemäki
19 Lujuusopi jtkokussi III.9. Luistituet. Ku eull o luistituet o kimmopi kltevuuskulm w ( oll. Kosk eu pääsee vpsti siitmää -suuss o kovikeleikkusvoimtihede V ( oltv oll. Reuehdoiksi tulevt siis w ( V ( (.6 Kuv.8 Luistituet. Kosk w ( o mös w ( jote kv (.9 muk väätömomettitihes ( jote toie euehto o itse siss (. Kltevuuskulm koskev euehto o kiemttie j (kovikeleikkusvoimtihettä koskev kieettie. Ku kieettie euehto lusut tipum w vull kv (.7 kättäe sd euehdot w ( w ( (.7 Edellä kohdiss - tutkitut euehdot ovt homogeeisi euehtoj kosk iissä oletettii eu suueide tuetut vot olliksi. Epähomogeeisiss euehdoiss iide tuetut vot eivät ole olli jolloi tkstell tuettuj tukisiitmiä ti eukuomituksi. Reuehdot ovt kuiteki peitteess smt kui edellä htälöissä kovt vi oikeide puolie ollt vstvill tuetuill voill.. Nviei tkisu Nviei tkisumeetelmä sopii mielivltisesti kuomitetu suokulmiolt käsittel ku se o kikilt euoilt iveltuettu kuv.9 mukisesti. Lt euehdot ovt tällöi DA : w( BC : w( b CD : w( AB : w( w w w w ( ( b ( ( (.8 Kuv.9 Niveltuettu ltt. Tipum w ( etsitää ääettömä Fouie-kksoissiisj muodoss jolloi se luseke o muoto Lttketeet tti Lähteemäki
20 Lujuusopi jtkokussi III. w( m w m si( α si( β α mπ / β π /b m m (.9 joss tipum Fouie-ketoimet w m ovt tutemttomi vkioit. O selvää että muoto (.9 olev tkisu toteutt euehdot (.8 utomttisesti sillä se jokie temi toteutt e eiksee. Tipum Fouie-ketoimet w m iippuvt lt kuomitusjkumst p (. Ketoimie w m määittämiseksi kehitetää mös kuomitus Fouie-kksoissiisjksi. Kuomitukse Fouie-ketoimille kätetää seuvss mekitää p m j se sjkehitelmä o muoto p( m p m si( m si( β α (. Ku htälö (. molemmt puolet keot tekijällä si( α si( β j itegoid lt keskitso li temejä jäjestelemällä seu tulos j k b p(si( α si( β j m k p d d m si( α m si( α d j b si( β si( β k d (. Siifuktioide otogolisuusomiisuude m j si( α m (siα j d (. / m j jote Fouie- ojll edellä olevst kksoissummst tulee tulokseksi p jk b / ketoime p m lusekkeeksi tulee p m p(si( αm si( β d d b (. b Ku sjt (. j (. sijoitet lt peusdiffeetilihtälöö (.7 tulee m D w m ( α m α m β β si( α m si( β m p m si( α m si( β (. Yhtälö (. pitää toteutu temeittäi jost seu Fouie-ketoimille w m kv Lttketeet tti Lähteemäki
21 Lujuusopi jtkokussi III. w m p D( α m m β Dπ p m m b (.5 Ku etu kuomitukse p ( siisj ketoimet (. o lskettu sd tipum w ( siisj (.9 ketoimet kvst (.5. Ku tipum sj tuet void muide lt suueide sjt lske siitä lttteoi peuskvoill. Kätäössä ei suueit sjoist lskettess void ott muk ääetötä määää temejä. Sjt suppeevt kuiteki melko opesti j leesä lskettkkuude klt iittää ku otet sjoje lkupäästä muutmi temejä... Tsise kuomitukse Nviei tkisu Ku kikilt euoilt iveltuetull suokulmioltll o tsie kuomitus p ( seu kvst (. kuomitukse siisj ketoimiksi p p / m [ ( ][ ( ] b p p m cos( m cos( b / α β α m β π m 6p ku m j ovt pittomi m π m (.6 muulloi p Lt tipum kksoissiisjksi (.8 tulee äi olle m L L 6p mπ π w ( si si (.7 6 π D m[(m / ( / b ] b Tsisesti kuomitetu j iveltuetu suokulmiolt kimmopit o smmetie lt smmeti-kseleide suhtee. Tästä johtuu että tipum tkisuss (.7 ovt muk vi kksoissmmetiset siikuplt (m j pito. Lt suui tipum o se keskipisteessä / b / jolle kvst (.7 seu luseke m L L ( m 6p ( w m (.8 6 π D m[(m / ( / b ] mπ ( m / sillä si (. Lttmomettie sjt sd sijoittmll tipum sj kv (.9 jost seu tulokset / Lttketeet tti Lähteemäki
22 Lujuusopi jtkokussi III. 6p ( π 6p ( π 6( ( (m / m L L m[(m / (m / m L L m[(m / p π b m L L ( / b ( / b ( / b ( / b [(m / ] ] ( / b Lt leikkusvoimtiheksie sjoiksi tulee kvst (.7 mπ si mπ si ] si si mπ cos π b π b cos π b (.9 6p ( π 6p ( π b m L L m L L (m / [(m / (m / m[(m / ( / b ( / b ( / b ( / b ] ] mπ cos mπ si si cos π b π b (. Tuloksest (.9 ähdää että j ovt olli lt euoill j b mutt ei ole oll lt euoill eikä kulmiss. Kosk iveltuet ei ot vst väätöä o hdistettävä eu liittvä leikkusvoim ( ti kss kovikeleikkusvoimksi ( V ti V. -kseli suutisill euoill kovikeleikkusvoim luseke o V jost tulee eull 6p V ( π (m / ( m L L [(m / ( / b ( / b ] π si b (. Kovikeleikkusvoimie lusekkeet muill euoill void joht vstvsti. Kovikeleikkusvoimie lisäksi mometist stvät kuv.7 mukiset ukkvoimt. Tulokse (.9 muk o egtiivie ukiss B j D sekä positiivie ukiss A j C jote kuv.7 peusteell kikki ukkvoimt ovt lspäi eli - kseli positiivisee suut. Nukkvoim suuuudeksi tulee R ( p π b m L L [(m / ( /b ] (. Niveltuetoihi liittvät -suutiset tukivoimtihedet sd sivuje kovikeleikkusvoimtiheksistä j lisäksi o otettv huomioo ukkvoimt. Kovikeleikkusvoim peustuv likitkisu ei iv idelist iveltuet vstv tulost mutt Sit Veti peittee muk vihe joittuu eu läheistee kpelle lueelle. Lttmometeist iheutuville keskitso suutisille jäitksille sd sjt kvst (. j lt leikkusvoimist iheutuville poikittisille leikkusjäitksille sjt kvst (.. Lttketeet tti Lähteemäki
23 Lujuusopi jtkokussi III. YPYRÄ- JA RENGASLAATTA. Peushtälöt pkooditistoss d Kuv. Ympältt. Ympältll tkoitet ltt jok keskipi euviiv o mpä. Ympäegslt keskipi euviivoi ovt kksi smkeskistä mpää. Geometis tki äitä o ps käsitellä sliteikooditistoss (pkooditisto j -kseli. Tämä edellttää lttsuueide määittelemistä sliteikooditistoss j peushtälöide muutmist tähä kooditistoo. Ku - j - kooditisto oigo sijoitet lt keskipisteesee kuv. mukisesti o koodittie välie htes cos si. Kuvss. o mös keskipi dd -diffeetilielemetti j kuvss. o siihe liittvät lttmometit j sekä lt leikkusvoimtihedet j. d d Npkooditistoss opettoi Kuv. Lttelemeti jäitsesulttit. o muoto w w w w (. jote peusdiffeetilihtälö void kijoitt sliteikooditistoss muotoo w ( ( ( w w w p( /D (. Lttketeet tti Lähteemäki
24 Lujuusopi jtkokussi III. Lttketeet tti Lähteemäki Lttmometeille leikkusvoim- j kovikeleikkusvoimtiheksille tulee tipum w vull esitett lusekkeet w D( D( ( Eh D w w w D D( w w w D D( κ κ κ κ κ (. w D( w D( (. w ( w ( D V w ( w ( D V (.5 Lt jäitsesultttie tspioehdoiksi tulee p( ( ( ( (.6 p( ( ( (.7 Jäitskompoettie lusekkeet ovt h / h h / h / h I I I I τ τ τ σ σ (.8
25 Lujuusopi jtkokussi III.5. Ltthtälö tkisemie Lttteoi peusogelm o tipum w tkisemie. Se sd peushtälöstä (. j euehdoist jok jälkee muut suueet void lske kvoist (. (. (.5 j (.8. Peushtälö tkisu o homogeeise diffeetilihtälö w leise tkisu w h ( j tädellise htälö w p / D ksitist- kisu w ( summ eli w( w h( w (. Homogeeise htälö tkisut ovt bihmoisi fuktioit. Homogeeise htälö tkisuj void etsiä esimekiksi muuttujie eottmiskeioll (vt. jäitsfuktio φ levteoiss muodoss w h si( R( K cos( (.9 w w w h h h ( si ( ( b / c d l (. cos ( ( b l c b c d l d si( cos( Ketoimille bc j d sd vot lt euehdoist. Regsltll ehtoj o kksi kummllki eumpällä. Ympältll ei ole sisäeu j sille toie euehtopi tulee vtimuksist w( ( jost seu b d K. Reu tvllisimmt tukimllit ovt kulmst iippumttomi j iihi liittvät euehdot ovt Jäkkä kiiits: w( j w ( b Nivelkiiits: w( j ( c Luistikiiits: w ( j V ( d Vp eu: ( j V ( V eh- Edellä oleviss euehdoiss lttmometi j kovikeleikkusvoim dot void lusu tipum w vull kvoj (. j (.5 kättäe.. Rottiosmmetie tkisu Ku kuomitus j tuet ovt ottiosmmetisiä eivät lttsuueet iipu kulmst jolloi kikki deivtt muuttuj suhtee ovt olli. Tällöi o voimss w w w ( w w w w w w (. Lttketeet tti Lähteemäki
26 Lujuusopi jtkokussi III.6 Lt peusdiffeetilihtälö meee muotoo w ( w p(/ D (. jost seu peäkkäisillä itegoieill ( w c p d D p d D ( w c c l d p w c c c l d d d D p w c c l c c l d d d d D Ympä- j egslt peusdiffeetilihtälö leie tkisu ottiosmmetise tue j kuomitukse tpuksess o siis muoto p w( b l c d l d d d d (. D h Kvss (. tkisu os w b l c d l o homogeeise p htälö leie tkisu j os w d d d d tädellise htälö D ksitistkisu. Vkiot bc d sd määitettä lt euehdoist. Lt jäitsesultteille tulee edellee kvoist (. (. j (.5 sievetämällä seuvt lusekkeet D w D w w w D w V w V (. Lttketeet tti Lähteemäki
27 Lujuusopi jtkokussi III.7.. Tsisesti kuomitettu j jäkästi tuettu mpältt Tkstell kuv. tsisesti kuomitettu j eult jäkästi tuettu mpältt. Etsitää luksi ksitistkisu kv (. itegli vull ku p p p D p D p d D p D p p d 6D 6D p p d D D p p d 6D 6D p D (.5 Tipum w luseke o kv (. muk p Kuv. Jäkästi tuettu mpältt. p w c (.6 6D sillä ehtoje w ( j ( peusteell o b d. Kltevuuskulm w lusekkeeksi sd deivoimll p w c (.7 6D Reu ehdoist w ( j w ( seu vkioille j c htälöpi p c 6D p c 6D p 6D c p 6D (.8 Tipum lusekkeeksi tulee vkioide sijoittmise jälkee p p w( (.9 6D 6D ksimi tipum o lt keskipisteessä j se vo o w p w( (. 6D m Jäitsesultttie kvoiss (. tvittvt deivtt ovt Lttketeet tti Lähteemäki
28 Lujuusopi jtkokussi III.8 p p w w (. 6D 6D Sijoittmll lusekkeet (. kvoihi (. sd tulokset p p ( ( 6 (. 6 p 6 p 6 p 6 p Lt keskipisteessä lttmometeill j ( ( o sm vo ( ( ( p /6 (. Lt eull lttmomettie j vot ovt ( p /6 ( p / 6 (. Suui lttmometi itseisvo o siis eu säteittäismometi itseisvo p / 8 jost seu suuimmksi omlijäitkse itseisvoksi m 6 σ p m / 8 p (.5 h h.. Tsisesti kuomitettu j iveltuettu mpältt p Tutkit kuv. tsisesti kuomitettu j eult iveltuettu mpältt. Edellise kohd ksitistkisu kelp tässäki j keskipistee euehdot ovt mös smt jote tipum j se deivtt ovt Kuv. Niveltuettu mpältt. w w c c p 6D p 6D w c p 6D (.6 Lttketeet tti Lähteemäki
29 Lujuusopi jtkokussi III.9 Lttmometi lusekkeeksi tulee kvst (. Reu D( c ( p /6 (.7 ehdoist w ( j ( seu htälöpi vkioille j c p c 6D 5 p p c p 6D D D( c ( 6 (.8 Tipumksi tulee vkioide j c sijoittmise jälkee p w( 6D 5 p 6D 5 (.9 ksimi tipum o lt keskipisteessä j se vo o w m 5 p w( (. 6D jok o ( 5 /( -ketie vettu jäkästi tuetu lt suuimp tipum vettu. Ku keoi o oi 8. Kltevuuskulmksi w lt eull tulee kvst (.6 p w ( (. 8( D Jäitsesultteille sd kvst (. seuvt lusekkeet ( p 6 p ( ( 6 p (. Lt keskipisteessä lttmometeill j o sm vo ( ( ( p /6 (. Lttketeet tti Lähteemäki
30 Lujuusopi jtkokussi III. jok o smll kummki lttmometi itseisvo mksimi. Suuimmksi omlijäitkse itseisvoksi tulee äi olle 6 ( σ σ m ( p m /6 p (. h 8 h jok o ( / -ketie vettu jäkästi tuetu lt suuimp omlijäitkse itseisvoo vettu. Ku keoi o 65. Edellä olevi tuloksi sovellettess o stä muist että todellisiss keteiss tuet o hvoi täsi jäkkä ti idelie ivel v todellie tuet o tvllisesti iide välimuoto. Lttketeet tti Lähteemäki
lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
LisätiedotKertaustehtävien ratkaisut
Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
Lisätiedot1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95
9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
Lisätiedot2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt
.. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Lisätiedotja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S
3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki
LisätiedotKiertomatriisi Erikoistyö. Petri Rönnholm
Kietomtiisi Eikoistö Peti önnholm isälls JOHDANO KEOUUNNA 3 OMEGA-, PH- JA KAPPA-KEO 3 ALPHA-, N- JA KAPPA-KEO 5 5 KOLMULOEEN KEOMAN OMNAUUKA 7 6 KEOMAN KOVAAMNEN MLLÄ AHANA OOGONAALELLA MALLA 9 7 KEOMAN
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
LisätiedotJakso 7. Lorentz-voima
Jkso 7. Loentz-voim Mgnetismi-ilmiö on monelle mysteei. Siksi sen vull voidn helposti huijt ihmisiä j myydä kiken milmn polttoineen säästäjiä utoihin. Edelleen on kuitenkin kysymys Coulombin voimst eli
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)
Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos
Lisätiedot3.7. Rekursiivisista lukujonoista
.7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti
Lisätiedot****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:
. Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää
Lisätiedot2.2 Monotoniset jonot
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (
LisätiedotTeoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta
Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on
LisätiedotJäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä
ynmiikk 1 Liite lukuun 6. Jäykän kppleen tskinetiikk - hrjitustehtäviä 6.1 vlvpkettiutn mss n 1500 kg. ut lähtee levst liikkeelle 10 % ylämäkeen j svutt vkikiihtyvyydellä npeuden 50 km / h 1 10 60 m mtkll.
Lisätiedot2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo
.1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,
Lisätiedot= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.
.. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi
LisätiedotR4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
Lisätiedota) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että
TL, DSK-lgoritmit S rjoitus. Trkstll kosiisigli [] cosπt s. Määritä sigli [] vrissi kskimääräi to. b Määritä sigli [] jot c Määritä siglikvtisoitikoisud SQNR, ku tidtää, ttä.79. b SQNR log Kvss b o kvtisoij
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotYKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA
YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9
Lisätiedotb) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f (++), eli
1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on
Lisätiedot5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Lisätiedot766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014)
7668A Termofysiikk Hrjoitus no 1, rtkisut (syyslukukusi 14) 1 Lämpötilss T K elektronien energit eivät ylitä Fermin energi (ɛ i ɛ F ), lämpötilprmetri β j kemillinen potentili vst Fermin energi (µ() ɛ
Lisätiedot601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotParaabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Lisätiedotb) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan
A1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotDEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto
DEE-54 Sähköageettiste järjestelie läösiirto Lueto 7 Sähköageettiste järjestelie läösiirto Risto Mikkoe..4 Läöjohtuise leie osittaisdiffereretiaalihtälö t E g c p Sähköageettiste järjestelie läösiirto
LisätiedotLaskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan.
2. Peruslsket 2.1 Yhtee- j väheyslsku Lske: 23 14 9 MENU. Vlitse Mi Syötä lskuluseke. Pi EXE. Lskut kirjoitet vsemp reu, vstukset tulevt oike reu. 2.2 Näytö tyhjeys Vlitse Edit j pi Cler All. Pi OK. Huom!
LisätiedotTyöntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen yleiset laskuperusteet
Työtekijä eläkeli (TyEL) mukise eläkevkuutukse yleiset lskuperusteet Sisällysluettelo 1 LASKUPERUSTEMALLI 1 11 Korkoutuvuus 1 1 Kuolevuus 1 13 Työkyvyttömyys 1 1 Perheellisyys 11 Avioisuus 1 Aviopuolisoide
LisätiedotLujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA
Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan
Lisätiedot3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot
. Polyomifuktio kulku. Lokliset äärirvot Tähästiste opitoje perusteell ost piirtää esisteise polyomifuktio kuvj, suor, ku se yhtälö o ettu. Ost myös pääpiirtei hhmotell toise stee polyomifuktio kuvj, prbeli,
Lisätiedot2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt
Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotGeometrinen lukujono. Ratkaisu. a2 = 50 4 = 200 a3 = = 800 a4 = = 3 200
Geometrie lukujoo 7. Geometrise lukujoo esimmäie jäse o = 0 j peräkkäiste jäsete suhde =. Määritä lukujoo kolme seurv jäsetä. = 0 = 00 = 0 = 800 = 0 = 00 8. Geometrie lukujoo lk seurvsti: ), 0, 0, b) 000,
Lisätiedot766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen
76619A Sähkömgnetismi, 7 op Kertustehtäviä, 1. välikokeen lue Vstukset tehtävien jälkeen 1. Kolme pistevrust sijitsee xy-koordintistoss ll olevn kuvn mukisesti. Vrus +Q sijitsee kohdss x =, toinen vrus
Lisätiedot2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI
37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä
LisätiedotY56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset
Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotVEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1
VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON
LisätiedotTYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.
TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotAsennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)
Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
Lisätiedot2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
LisätiedotSATE1050 Piirianalyysi II syksy kevät / 8 Laskuharjoitus 12 / Siirtojohdot taajuusalueessa, ketjumatriisi
SAT5 Piirinlyysi syksy 6 kevät 7 / 8 Tehtävä. Lske kuvss esitetyssä piirissä sisäänmenoimpednssi siirtojohdon ketjumtriisin vull, kun ) johdon loppupää on voin ) johdon loppupää on oikosuljettu c) johto
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
Lisätiedot4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
LisätiedotS , Fysiikka IV (ES) Tentti
S-1436, Fysiikk IV (S) Tetti 81 35 19 1 Vierekkäiste spektriviivje piei hvittu tjuuser Cl F mlekyyli 1 rttispektrissä 1,1 1 Hz Lske tmie välie etäisyys mlekyylissä Rtkisu Kksitmise mlekyyli pyörimiseergi
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotP ER I.JS KI.J NTOARVIOil PÄMTYS. As Oy Saariselänkuja 1 $aariselänkuja I 00970 HELSINKT. Laadifiu: 3.9.20'13
t, P R I.S KI. TARVIil PÄMTYS As y Siselänkuj 1 iselänkuj I 00970 HSIKT difiu: 3.9.20'13 Y}ITVT Rkennustekniikk Asunt y Siselänkuj 1 n Helsinin Mellunmäess sijitsev kuuden suinkestln nudstm yhti. Rkennusvusi
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
Lisätiedoty 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista
9 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmät Diffrtilihtälörhmiä trvit usiss sovlluksiss. Näistä usimmt void mllit simmäis krtluvu diffrtilihtälörhmi vull. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmä
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Jonon neljä ensimmäistä jäsentä saadaan sijoittamalla n= 1, n= 2, n= 3 ja n = 4 lausekkeeseen
TEHTÄVIEN RATKAIUT Luku 5. 0. ) Joo eljä esimmäistä jäsetä sd sijoittmll,, j lusekkeesee +. + + 5 + + 7 + 6+ 9 + 8 + b) ijoitet,, j lusekkeesee + ( ). + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + Vstus: ) 5, 7, 9, b),,,
Lisätiedot6 Kertausosa. 6 Kertausosa
Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)
LisätiedotVastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.
S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3
Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm
LisätiedotTYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET
TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Voimntulo Perusteet tulevt voimn 11008 Sisällysluettelo 1 LASKUPERUSTEMALLI1
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotLASKENTA laskentakaavat
LASKENA lketkvt Kvkokoelm älle ivulle o koottu yleiiät j ueiite trvitut lketkvt. Näitä käytetää hihleveyde j keliväli lket. Liäki o koottu muutmi muuokvoj. Hhih mitoittmie käy helpoti Heomitoituohjelmll.
LisätiedotJARRUDYNAMOMETRIN LASKENTAOHJELIITE
LIITE JARRUDYNAMOMETRIN LASKENTAOHJELIITE Jrruje surtuskyvy määrtys jrrudymmetrllä Määräksktsstuksess rsk kurm-ut j erävuu jrrujärjestelmä surtuskyky määrtetää jrrudymmetrmttuksll. Jrrujärjestelmä mttussuurede
Lisätiedot7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen
7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotMATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä
MTRIISILSKENNN PERUSTEET Tmo Mäkelä Mtrslske perusteet SISÄLLYS:. PERUSSIOIT.... MÄÄRITELMIÄ.... MTRIISITYYPPEJÄ.... LSKUTOIMITUKSET.... MTRIISIN KERTOMINEN LUVULL.... YHTEEN- J VÄHENNYSLSKU.... KERTOLSKU....
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
LisätiedotJÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINEMATIIKKA
JÄYKÄN KLEEN TSKINEMTIIKK TSLIIKKEEN LUKITTELU Liikkee yyppi Esimerkki ( Suoriiie rslio (b Käyräiiie rslio (c Roio (d Yleie soliike TRNSLTI Trslioss kikki pisee liikku smll ll eli kpplee liikeil uemisee
LisätiedotS Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
LisätiedotPythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
LisätiedotTasaväli-integraali. Mikko Rautiainen. matematiikan Pro Gradu-tutkielma
Tsväli-itegrli Mikko Rutiie mtemtiik Pro Grdu-tutkielm Jyväskylä yliopisto Mtemtiik j tilstotietee litos Kesä 2006 Sisältö Johdto 2 I Tsväli-itegrli: teori 3 1 Peruskäsitteitä 3 2 Tsväliporrsfuktio määrätty
LisätiedotSATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima
ATE14 Dynminen kenttäteori syksy 1 1 / skuhrjoitus : iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. All olevss kuvss esitetyssä pitkässä virtlngss kulkee virt i 1 (t) j sen vieressä on kuvn mukinen
LisätiedotTehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
Lisätiedot