Fysiikka ei kerro lopullisia totuuksia. Jokin uusi havainto voi vaatia muuttamaan teorioita.

Transkriptio

1 766323A Mekaniikka Mansfield and O Sullivan: Understanding physics kpl 1 ja 2. Näitä löytyy myös Young and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 2 ja 3, s Johdanto Fysiikka on perustiede. Monet muut luonnontieteet perustuvat fysiikkaan. Tekniset tieteet soveltavat fysiikkaa lähes kaikkialla. Jotta näin voidaan tehdä, on ymmärrettävä fysiikkaa ja sen lakeja. Fysiikan opiskelu on seikkailu: - haastavaa - frustroivaa - joskus tuskallista - myös tyydytystä tuottavaa Fysiikan luonne Fysiikka on kokeellinen luonnontiede. Se tutkii luontoa ja pyrkii löytämään säännönmukaisuuksia eri ilmiöille periaatteita, lakeja, teorioita. Fysiikka ei ole vain joukko totuuksia ja periaatteita. Se on prosessi, jonka avulla päästään yleisiin periaatteisiin, jotka kuvaavat fysikaalisen maailmankaikkeuden käyttäytymistä! Fysiikka ei kerro lopullisia totuuksia. Jokin uusi havainto voi vaatia muuttamaan teorioita. - Jos teorioissa on puutteita, niitä on korjattava. - Kullakin teorialla on oma pätevyysalueensa. - Emme voi todistaa, että jokin teoria olisi oikea aina ja ikuisesti! Idealisoidut mallit Lähes kaikki fysiikan lausekkeet ovat idealisoituja malleja. Niitä on helpompi käyttää todellisissa tilanteissa, jotka muuten olisivat liian monimuktkaisia käsiteltäväksi. Esimerkiksi pallon heitto pihalla: 1

2 pallo massapiste ilma ei ole ei ilmanvastusta tuuli ei tuule painovoima vakio maa ei pyöri... 1 Fysikaalisen maailmankuvan ymmärtäminen - Nykypäivän ilmiöt ovat tyydyttävästi ymmärrettävissä klassisen fysiikan avulla lukujen keksinnöt eivät ole menettäneet merkitystään Yrittäkääpä selittää nykypäivän ilmiöitä jollekin modernin fysiikan avulla! - Tällä kurssilla relativistinen fysiikka otetaan esille mahdollisuuksien mukaan - Kirjassa on useita referenssejä - jonkin verran matemaattista opastusta - kohtuullisesti harjoitustehtäviä - Kurssi rohkaisee ja antaa eväitä pitemmälle meneviin opintoihin 1.1 Fysikaalinen maailmankaikkeus - koostuu aineesta - aine koostuu perushiukkasista: atomeista ja molekyyleistä - nämä koostuvat ytimistä ja elektroneista - ytimet koostuvat kvarkeista - aineen rakennuselementeillä on vain neljänlaisia vuorovaikutuksia - vahva vuorovaikutus: < m - sähkömagneettinen vuorovaikutus: ulottuu kauas - heikko vuorovaikutus: < m - gravitaatio vuorovaikutus: ulottuu kauas 2 Lineaarinen ja käyräviivainen liike Liike yleensä: 2

3 Kinematiikka tarkastelee kappaleen liikettä avaruudessa ja ajassa. Liikettä on kolmenlaista: - etenevä liike eli translaatioliike: kappaleen kaikki osat kokevat saman paikanmuutoksen - pyörimisliike eli rotaatioliike: kappaleen suunta avaruudessa muuttuu - värähtelyliike eli vibraatioliike: kappaleen muoto tai koko muuttuu rytmisesti 2.1 Translaatioliike Hiukkanen: Mitä tahansa kappaletta voidaan kuvata hiukkasella, jolla on kappaleen massa ja jonka paikka on kappaleen massakeskipisteen paikka! Paikka: Hiukkasen paikka tulee voida esittää yksikäsitteisellä tavalla. Siksi meidän tulee ensin valita koordinaatisto, jossa esitämme hiukkasen paikan. Olkoon koordinaatisto origoon O kiinnitetty suorakulmainen oikeakätinen koordinaatisto, jonka akselit olkoot x-, y-, ja z-akseli. - Translaatioliike eli etenevä liike eli lineaarinen liike - Etenevää liikettä voidaan kuvata kappaleen minkä tahansa pisteen avulla - Kappaletta tarkastellaan hiukkasina tai massapisteinä. 2.4 Lineaarisen liikkeen nopeus ja kiihtyvyys Nopeus (velocity) Liikkuvan hiukkasen ominaisuuksia voidaan kuvailla kvantitatiivisilla suureilla siirtymä ja aika - liikkukoon hiukkanen pitkin x-akselia Sen siirtymä (displacement) x = x loppu x alku Siirtymä riippuu vain alku- ja loppupisteistä, ei kuljetusta matkasta. Hiukkasen nopeus = siirtymä siirtymään käytetty aika Jos siirtymää merkitään x:llä ja aikaeroa t:llä, saadaan hiukkasen keskimääräinen nopeus 3

4 v = x t Koska t on positiivinen on v:n merkki sama kuin x:n merkki Keskimääräisen nopeuden SI yksikkö on siten [v] = [x] [t] = m s Keskimääräistä nopeutta voidaan käyttää harvoin hyväksi Tietyllä hetkellä saadaan hetkellinen nopeus, joka on x v = lim t 0 t eli v = dx = ẋ Nopeus on paikan derivaatta ajan suhteen Nopeuden yksikkö on [v] = m s Jos hiukkasen paikka voidaan kuvata funktiolla, esim. x = x(t) = At + Bt 2, missä A ja B ovat vakioita, saadaan v yksinkertaisesti derivoimalla x(t):n lauseke ajan t suhteen. Graafisesti saamme nopeuden funktion x(t) kuvaajasta (x, t)-koordinaatistoon piirretyn käyrän kulmakertoimesta ajan hetkellä t Kiihtyvyys (acceleration) Hiukkasen keskimääräinen kiihtyvyys on a = v t Keskimääräisen kiihtyvyyden SI yksikkö on siten [a] = [v] [t] = m s 2 Myös keskimääräistä kiihtyvyyttä voidaan käyttää harvoin hyväksi 4

5 Tietyllä hetkellä saadaan hetkellinen kiihtyvyys, joka on v a = lim t 0 t eli a = dv = d ( ) dx = d2 x 2 = ẍ Kiihtyvyys on nopeuden derivaatta ajan suhteen ja toisaalta paikan toinen derivaatta ajan suhteen Kiihtyvyyden yksikkö on [a] = m s 2 Jos hiukkasen paikka kuvataan edellisellä funktiolla x = x(t) = At + Bt 2, saadaan a derivoimalla x(t):n lauseke kahdesti ajan t suhteen. Graafisesti saamme kiihtyvyyden funktion v(t) kuvaajasta (v, t)-koordinaatistoon piirretyn käyrän kulmakertoimesta ajan hetkellä t. 2.5 Matka ja nopeus integroimalla Olkoon meillä kuvaaja v(t) eli nopeus ajan funktiona. Liikumme pisteestä A (hetkellä t 1 ) pisteeseen B (hetkellä t 2 ). Olkoon nopeus vakio: Jos keskimääräinen nopeus v tunnetaan, saadaan siirtymä x = v t, missä t = t 2 t 1 Siirtymä saadaan siten kuvaajasta pinta-alana v t Nopeus ei ole yleisesti vakio: t 0 niin v v 5

6 ja dx = v Tällöin matka saadaan integroimalla käyrän v alle jäävä pinta-ala. Matka = x2 x 1 dx = 2 t 1 v(t) (a) Lineaarinen liike kun nopeus on vakio Tällöin nopeus v = vakio Koska saadaan dx = v v = dx Integroidaan matka x o :sta x:ään ja aika t o :sta t:hen x x o dx = v t 0 jolloin saadaan x x o = v(t t o ) ja x = x o + v(t t o ) (b) Lineaarinen liike tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä Tällöin kiihtyvyys a = vakio Koska saadaan dv = a a = dv Integroidaan nopeus v o :sta ajanhetkellä t o v:hen ajanhetkellä t jolloin saadaan v v o = a(t t o ) ja v = v o + a(t t o ) Integroidaan v edelleen. Edellinen lauseke on v = dx = v o + at at o 6

7 jolloin x dx = (v o + at at o ) = x o t o v o + at t o t o t o at o josta x saadaan ratkaistuksi (käy itse läpi) x = x o + v o (t t o ) a(t t o) 2 Aika voidaan vielä eliminoida. Sijoitetaan (t t o ) = (v v o )/a edelläolevaan yhtälöön. Tästä saadaan ei-niin-kovin-hyödyllinen-yhtälö v 2 = v 2 o + 2a(x x o ) Jos alkuhetkellä t o = 0, x = x o ja v = v o, saadaan hiukan yksinkertaisemmat, mutta tärkeät lausekkeet: x = x o + v o t at2 v = v o + at (c) Pystysuuntainen liike Maan vetovoimakentässä Maan pinnan lähellä oleva pystysuuntainen liike on tasaisesti kiihtyvää, sillä kiihtyvyys a = g, missä g on vapaan kappaleen putoamiskiihtyvyys eli 9,81 m/s 2 alaspäin. Tällöin y = y o + v oy t 1 2 gt2 v = v oy gt Erilaisia kiihtyvyyksiä verrataan usein g:hen 2.6 Fysikaalisen muuttuja minimi- ja maksimiarvo Yleisesti fysikaalisen muuttujan, esim. x(t) ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdan avulla. Katsotaan tästä yksi esimerkki. 7

8 2.7 Ympyräliike (Angular motion) Ympyräliike liittyy rotaatio- eli pyörimisliikkeeseen. Se koetaan usein vaikeaksi. Se kytkeytyy analogisella tavalla lineaariseen liikkeeseen. Kulmasymbolit merkitään usein kreikkalaisilla kirjaimilla. Kulma θ (angle) Valitaan kiinteä piste C ja toinen piste P. Tällöin CP on jana: esim. ympyrän säde Jos säde CP pyörähtää pisteen C ympäri suunnasta CP suuntaan CP, sanomme muutosta kulmasiirtymäksi eli lyhyesti kulmaksi ja sitä merkitään yleisesti theta-kirjaimella θ, joskus myös fii-kirjaimella ϕ. Kulman positiivinen suunta on vastapäivään (ccw, counter clockwise) Jos CP pyörähtää ympäri ympyrä C on pyörähdysakseli tai ympyrän keskipiste Kulmanopeus ω (angular velocity) Jos CP pyörähtää kulman θ = θ 2 θ 1 ajassa t = t 2 t 1, saadaan keskimääräiseksi kulmanopeudeksi ω = θ t Hetkellinen kulmanopeus saadaan vastaavasti ω = dθ = θ kulmanopeus on siis kulman derivaatta ajan suhteen Kulmakiihtyvyys α (angular acceleration) Jos CP:n kulmanopeus muuttuu, puhutaan kulmakiihtyvyydestä, jolloin α = dω = d ( ) dθ = d2 θ = θ = ω 2 kulmakiihtyvyys on siis kulmanopeuden derivaatta ajan suhteen 8

9 Yleiset lausekkeet pyörimisliikkeelle ovat siten θ = θ o + ω o t αt2 ω = ω o + αt Yksiköt Kulman yksikkö on radiaani [θ] = Kaaren pituus Säde = s R radiaania - täysikulma on siten 2π radiaania Kulmanopeuden yksikkö on radiaania sekunnissa ω = dθ = d ( ) ( ) s 1 ds = R R [ω] = v R radiaania/s Ympyrän kehällä olevan nopeuden ja kulmanopeuden välinen relaatio on v = ω R Kulmakiihtyvyyden yksikkö on radiaania/sekunti 2 α = d2 θ = d ( ) d s = d ( ) ( ) 1 ds 1 d 2 2 R R = s R 2 [α] = a R radiaania/s2 Ympyrän kehällä olevan kiihtyvyyden ja kulmakiihtyvyyden välinen relaatio on a = α R 9

10 Kulma ja kulmanopeus integroimalla (a) Tasainen ympyräliike Tällöin kulmanopeus ω = vakio Koska saadaan dθ = ω ω = dθ Integroidaan kulma θ o :sta θ:aan ja aika t o :sta t:hen θ θ o dθ = ω t 0 jolloin saadaan θ θ o = ω(t t o ) ja θ = θ o + ω(t t o ) (b) Tasaisesti kiihtyvä pyörimisliike Tällöin kulmakiihtyvyys α = vakio Koska saadaan dω = α α = dω Integroidaan nopeus ω o :sta ajanhetkellä t o ω:aan ajanhetkellä t jolloin saadaan ω ω o = α(t t o ) ja ω = ω o + α(t t o ) Integroidaan ω edelleen. Edellinen lauseke on jolloin ω = dθ = ω o + αt αt o θ dθ = (ω o + αt αt o ) = θ o t o ω o + αt t o t o t o αt o josta saadaan θ ratkaistuksi 10

11 θ = θ o + ω o (t t o ) α(t t o) 2 Jos alkuhetkellä t o = 0, θ = θ o ja ω = ω o, saadaan hiukan yksinkertaisemmat lausekkeet: θ = θ o + ω o t αt2 ω = ω o + αt 11