0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.

Transkriptio

1 HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 18 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsar I 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla f X,Y x, y cx y 1{ x < y 1 } a Määrää vakio c b Määrää reunatiheysfunktio f X c Määrää reunatiheysfunktio f Y Ratkaisu: a Koska 1 PX, Y R f X,Y x, ydx, y R 1 / y c 3 x3 y dy 1 c 3 y4 dy 1 y c 1 y c 1 cx ydx dy Saadaan siis ratkaistua c 1. b Lauseen 7. nolla f X x f X,Y x, ydy 1 x 1x ydy 1 x x y 1 x 1 x 1 x x 4. Kun x 1 f x x R f X,Y x, ydy R muuten. Siis reunatiheysfunktio on f X x 1 x x 4 1{ x 1} c Samoin kuin b kohdassa, f Y y f X,Y x, ydx y 1x ydx 1 3 y / y x 3 yy 3 y 4 kun y 1 f Y y muulloin. Siis Y :n reunatiheysfunktio on f Y y y 4 1{ y 1}.. Tutki, ovatko satunnaismuuttut X Y riippumattomia, kun niiden yhteistiheysfunktio on

2 a fx, y 4x 4y, kun 4 < x < < y < 1 nolla muuten b fx, y 8x 1y 1, kun 1 < y < x < nolla muuten Ratkaisu: a Lauseen 7.b nolla satunnaismuuttut X Y ovat riippumattomia, sillä niiden yhteistiheysfunktio f X,Y x, y voidaan esittää epänegatiivisten funktioiden tulona f X,Y x, y gxhy missä gx 4x 4 1{4 < x < } hy y 1{1 < y < }. b Olkoon väli A 1, 3 B 3,. Nyt PX A, Y B Tapahtuma {X A, Y B} on mahdottoman tapahtuma {X < Y } osajoukko, mutta PX A > PY B >, siten PX A, Y B PX APY B > Siis satunnaismuuttut X Y eivät ole riippumattomia. Tehtävät 3 ovat klassikko. 3. Olkoon parilla X, Y tasakauma ympyrässä, jonka keskipiste on 1, jonka halkaisi on yksi. Laske satunnaismuuttun X reunakauman tiheysfunktio. Mikä Todennäköisyyslaskenta IIa -kurssin luvussa olleista kaumista X :llä on? Ratkaisu: Satunnaisvektorilla X, Y on siis tasakauma joukossa A {x, y R : x 1 + y 1 } {x, y R : x 1 y 1 x 1 4 } {x, y R : x 1 y x x }. Kyseisen joukon eli 1 -säteisen ympyrän pinta-ala on π 1 π, joten satunnaisvektorin X, Y yhteistiheysfunktio on 4 f X,Y x, y 4 } { π 1 x 1, x 1 x y x1 x Satunnaismuuttun X reunakauman tiheysfunktio f X x x1 x f X,Y x, ydy 1 B 3, 3 x3 1 x x1 x 4 π dy 8 x1 x 8 π π x x kun x 1 muutoin eli X noudattaa beetakaumaa Be 3, 3. Tehtävä 4 käsittelee monisteen lukua Olkoon satunnaismuuttujilla X Y tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla a Laske EX EY b Laske covx, Y c Laske EX Y 3. f X,Y x, y x + 1 1{ x 1, y x }

3 Ratkaisu: Lasketaan ensin satunnaismuuttujien X Y reunatiheysfunktiot f X x f Y y. f X x kun x 1 f Y y kun y 1. f X,Y x, ydy x x + 1dy 1 x + 1dx y x + dx a Nyt odotusarvot saadaan laskettua EX EY 1 x f X xdx 1 1 y / x x x + xdx x + 1y x + x 3 x + x 3 y + y 3 x4 + 1 x y f Y ydy yy + y 3dy 3 y3 y + 9 y dy 3 y4 y y 7. b Satunnaismuuttujien kovarianssi voidaan esittää covx, Y EXY EXEY lauseen 7.7 nolla EXY xyf X,Y x, ydx, y R 1 1 x + x x 1 x ydy dx 1 x4 + 1 x3 dx 1 xy x + 1dy dx / x 1 x + x y dx 3 x + 3 x Kovarianssiksi saadaan siis covx, Y EXY EXEY c Jälleen käyttämällä lausetta 7.7 Fubinin lausetta saamme 1 EX Y 3 x y 3 x f X,Y x, ydx, y R x x + 1 y 3 dy dx 1 / x x3 + x y4 dx 1 x7 + x dx x x Tehtävä käsittelee monisteen lukua 7.7.

4 . Jatkoa tehtävään 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma tehtävän 1. yhteistiheysfunktiolla. Laske satunnaisvektorin X, Y odotusarvovektori kovarianssimatriisi. Ratkaisu: Hyödyntämällä tehtävässä 1 laskettu reunatiheysfunktioita, saadaam EX 1 EY x f X xdx x4 1 x y f Y ydy x x x 4 dx y y 4 dy 1 y dy 1 x 3 x dx y. Odotusarvot voi myös laskea myös lausetta 7.7 käyttäen. Satunnaisvektorin V X, Y odotusarvovektori on siis EV EX, Y [ ] EX EY Satunnaisvektorin V X, Y kovarianssimatriisi on [ ] /8 / CovV E [ V EVV EV ] {[ ] X EX [X ] } T E EX Y EY Y EY [ X EX E ] X EXY EY X EXY EY Y EY [ E[X /8 ] E[X /8Y /] E[X /8Y /] E[Y / ] missä tiedostamattoman tilastotieteilijän lailla saadaan laskettua E[X /8 ] x /8 f X xdx 1 x + 4 x x4 4 x ] x /8 x x 4 dx 4 x dx E[Y / ] 1 y / f Y ydy y 3 y y4 1 y / y 4 dy dy

5 E[X /8Y /] x /8y /f X,Y x, ydx, y R 1 y x /8y /1x ydx dy 1 y 1x 3 y x3 y 7 8 x y x y 1 4 x4 y 8 x4 y 8 x3 y x3 y 1 / y y 8 y y4 dy dx dy dy Siis kovarianssimatriisi CovV E [ V EVV EV ] [ T E[X /8 ] ] E[X /8Y /] E[X /8Y /] E[Y / ] [ ] [ ] 17/448 / /33 /.14.. Näytä että luentojen kaava 7.7 EAZB + C AEZB + C on voimassa, kun Z on satunnaismatriisi A, B C ovat vakiomatriise, joiden dimensiot ovat sellaiset, että lauseke AZB + C on määritelty. Opastus: Näytä, että kaikilla indekseillä i, j on voimassa EAZB + C ij AEZB + C ij jossa alaindekseillä ij merkitään matriisiarvoisen lausekkeen kohdassa i, j olevaa alkiota. Tarviset siten matriisikertolaskun määritelmää, odotusarvon lineaarisuutta sekä satunnaismatriisin odotusarvon määritelmää tehtävään vastaamiseen. Ratkaisu: Olkoon A m n-vakiomatriisi, Z n p-satunnaismatriisi, B p q.vakiomatriisi Cm q-vakiomatriisi. Nyt kaikilla i {1,..., m} j {1,..., q} pätee n EAZB + C ij E AZB + C ij E AZB ij + C ij E ZB kj + C ij k1 n E Z kl B lj + C ij E Z kl B lj + EC ij Saadaan siis k1 l1 E k1 l1 k1 l1 k1 l1 Z kl B lj + C ij EZ kl Blj EZ kl Blj + C ij + C ij k1 k1 E l1 k1 AEZB ij + C ij AEZB + C E AZB + C A EZ B + C. l1 l1 Z kl B lj + C ij EZ kl Blj + C ij Aik EZB kj + Cij