Sisältö Sisältö Tietoliikennesignaalit ja niiden tutkiminen aika- ja taajuustasossa Tietoliikenne, informaatio, signaali...

Transkriptio

1 Igraalimuuoks Mropolia/. Koivumäki ässä o ksiä, oka o alupri aikoiaa kiroiu Sadia ioliikoria-kurssi mariaaliksi, mua sovluu oivallissi Igraalimuuoks-kurssi Fourir-aalyysiä käsilväksi mariaaliksi. Mamaaissi orioiumpi siys aihsa löyyy kirasa Lauo, Sorvali, oivo: Sara a F-, L- a Z-muuos (kis ammai mamaiikka 3E. Sisälö Sisälö.... ioliiksigaali a iid ukimi aika- a aauusasossa.... ioliik, iformaaio, sigaali.... Sigaali aalomuooa li arkaslua aika-alussa Siimuooi sigaali...5 Raali siisigaali...5 Komplksi siisigaali Jaksollis sigaali spkri: Fourir-sara...9 Jaksollis sigaali ho Ei-aksollis sigaali spkri: Fourir-muuos...8 Ei-aksollis sigaali rgia....6 Fourir-aalyysi yökalua...4 Symmris sigaali....4 Duaalisuus...4 Sigaali summaami...6 Sigaali viiv...6 Drivoii...7 Igroii...7 aauuskovrsio Impulssi Kovoluuio...34

2 . ioliiksigaali a iid ukimi aika- a aauusasossa. ioliik, iformaaio, sigaali Käyöklpoisa määrilyä käsill "sähköi ioliik" voidaa piää simrkiksi ää: Sähköi ioliik o iformaaio siirämisä paikasa ois sähköis sigaali avulla. Määrilmää sisälyy kaksi kskisä käsiä: iformaaio a sigaali. Iformaaio o käsiä varsi moisyi. Siä voidaa ukia sim. filosofisa ai sosiaalisa ai psykologisa käsiä. Mua iformaaio voidaa myös määrillä ksakia mamaaisa käsiä, a siih liiyviä asioia voidaa siää yhälöiä a lukuarvoia. Näi hdää iformaaiooria imisssä ioliikkiika (ai yhä hyvi mamaiika osa-alussa. Iformaaiooriasa o oma oppikirasa, y siih i syvyä. ässä yhydssä riiää, ku iää, ä ioliikkiikassa iformaaio määrä prusyksikkö o bii (a s krraais kilobii, mgabii. a iformaaio siiroopud prusyksikkö o biiä skuissa (a s krraais. Ja is asiassa oia yksiköiäkää i arvis kovi usi ämä kira aikaa muislla, koska käsily pääpaio o määrilmä oisssa käsissä, li sigaalissa. Käyäölähi iformaaio määrilmä ässä yhydssä voisi mä vaikka äi: "Iformaaio o siä miä siiryy, ku ihmisllä o asiaa oisll ihmisll." Ny siis opisklmm siä, mi uo iformaaio siiryy sähköisssä ioliikssä. Ja aiva simmäisksi opiskllaa siä, miä ärkiä omiaisuuksia uossa siirymisssä arviavilla sigaalilla o. Ku ioliik määrilmässä maiiaa rmi "sähköis sigaali", saaaa ulla mil vasalausia ylii "ä opi idosiiro?" ai "ikös ääisigaali siirräkää iformaaioa?". Määrilmä o kuiki vai apuväli, oka arkoius o oimia apua, ku opisklu aikaa ul mil kysymys: "Mihi ämä kaikki y aas liiyykää?" O hyödyllisä vasaa uoho kysymyks palauamalla mil uo ioliik määrilmä. Ku ollaa opisklmassa ioliiksigaali ymmärämisä, sigaali käsi kaaaa raaa viläki arkmmi. Käyäölähissi voi määrillä vaikkapa äi: ioliiksigaali o vaihoäi, oka äivaihlu o saau aikaa muuamalla iformaaioa sähköksi. S, ä iformaaioa sisälävä sigaali voi siiyä muuki kui äiä, sim. sähköviraa, valoa, radioaaloia (li sähkö- a mgikää, äää (li akusisa sigaalia. ilm simrkissä käyäö lai- a ärslmärakaisuisa a iissä apahuvasa sigaalikäsilysä. Silloi, ku ollaa kiiosuia vai sigaalisa ylisllä asolla a haluaa oppia, mikä ova sigaali ärkä omiaisuud, kaaaa sigaali ymmärää dllä olva käyäölähis määrilmä avalla. S, mi "iformaaio muuami sähköksi" apahuu, o aiha ämä kira myöhmmissä luvuissa. Silloi uusuaa mm. modulaaio käsis. Ku o kysssä digiaali idosiiro (olloi iformaaio o muuu biiksi, arviaa modulaaio ohlla myös koodausa. oisaisksi i kuikaa puuua siih, mi iformaaioa sisälävä sigaali o saau aikaa. Kskiyää vai siih, miä ärkiä omiaisuuksia oilla sigaalilla o a mi omiaisuud saadaa slvill.

3 . Sigaali aalomuooa li arkaslua aika-alussa odllis ioliiksigaali omiaisuuksia voidaa slvillä miaamalla. Ku aallaa sigaalia aa suh vaihlvaa äiä, ul varmaaki mil ukia sigaalia oskilloskoopilla, olloi kuvaruudulla äkyy sigaali aalomuoo, li graafi siys, ossa o vaaka-akslilla aika skuia (ai milliskuia ai mikroskuia. a pysyakslilla äi volia (ai millivolia.. ällöi saoaa, ä sigaalia ukiaa aikaasossa li aika-alussa (gl. im domai. Kuvassa. o simrkkä sigaali aalomuodoisa. Ku sigaala arkasllaa orissi, iid olaa aia olva ksolaa äärömä pikiä, olloi iid aalomuoo o alkau aahkllä - a akuu hk + asi. Siksi osaa sigaali kuvaaia o mrkiy kolm pisä, oka arkoiaa, ä sigaali aalomuoo akuu äärömyy asi samalla avoi. Jos kolma pisä i ol piirry, sigaali ollasa poikkava osa o kokoaa äkyvissä, olloi äärömyy asi akuva osa äi. Viimksi maiiussa apauksssa o siis kysssä kraluoi äiilmiö, oka kso o raalli. Sili ällaisaki sigaalia pidää äärömä pikäksoisa; y vaa sigaali arvo o olla muulloi kui uo kraluois ilmiö apahumahkllä. 3 Kuva.. Joukko sigaali aalomuooa

4 4 Kuvassa. olva sigaali voidaa luokilla aksollisii sigaalihi a i-aksollisii sigaalihi. Jaksollisssa sigaalissa sama aalomuoo oisuu sääöllisi väli, iaksollisssa sigaalissa oisumisa i siiy. osi i-aksollisssaki sigaalissa voi olla sääöllisä oisoa, mua yksiki poikkama oisossa aihuaa s, ä sigaali o imomaa i-aksolli. Jaksollisuus määrillää suraavasi. Sigaali v( o aksolli, mikäli v ( + v( kaikilla kokoaisluvuilla (. ässä o sigaali aksopiuus. Yhälö siis kroo s, ä ku aika-akslilla siirryää kokoaislukumäärä aksoa - ai aakspäi, sigaali arvo pysyy samaa. Kuva. sigaalisa ova aksollisia umro (siiaalo, 5 (pariai siiyvi piikkimäis pulssi oo, 6 (kolmioaalo, (kokoaaloasasuuau siiaalo, (i riyisä imä, 5 (suorakulmais pulssi oo a 6 (sakara-aalo. Muu ova iaksollisia. Ku haluaa siirää odllisa iformaaioa ioliikärslmässä, iformaaio siirrossa käyävä sigaali i voi olla aksolli. Ku aksollissa sigaalisa o ähy yksi akso, o ähy koko sigaali. ällöi o myös vasaaou kaikki sigaalii sisälyvä iformaaio, o uua iformaaioa i myöhmmissä aksoissa ää ol. io iformaaio o luolaa usamaoa; os s pysyäisii usamaa, i s ää olisi uua iformaaioa. Siksi odlli ioliiksigaali o aia i-aksolli. Kuvassa. o vilä yksi odllissa maailmasa poimiu sigaali aalomuoo. Kysssä o oi 5 ms pikä äy ihmisääsä saomassa i-kiraia. Kuva.. Näy puhsigaali aalomuodosa äsä aalomuodosa i kovi hlposi pysy päälmää miää kovi olaisia puhsigaali luos liiyviä asioia. Siksi ioliiksigaala usimmi arkasllaaki aauusasossa li aauusalussa (gl. frqucy domai. Silloi arkaslu koha o sigaali spkri. Kuva. puhsigaali spkri o kuvassa.3. Spkrisä ähdää ä i-kiraim lausumissa syyvä sigaali sisälää voimakkaimmi. 34 Hz: aauua. S lisäksi siiä äyäisi

5 riyissi olva muiaki. 7 Hz: krraaisaauuksia. Lisäksi aauusvälillä -.5 khz äyäisi olva mmä avaraa kui sim. aauusvälillä -.5 khz. Näiä spkrisä hlposi ähävissä olvia ärkiä ioa i mikää pysy äkmää suoraa kuva. aalomuodosa. Puh spkri moipuoli ymmärämi o olllisa simrkiksi silloi, ku miiäää puh siirämisä mahdollisimma hokkaasi digiaalisssa makapuhlivrkossa. 5 Kuva.3. Puhsigaali spkri aauusalu mamai aalyysi prusuu ukiava sigaali spkri siämis riaauis siisigaali avulla. Siksi spkriaalyysii siirymisä käydää lävis siimuoois sigaalii liiyvä prusasia..3 Siimuooi sigaali Raali siisigaali Siimuoois sigaali yhälö o ( + ϕ v( cos f (. missä o sigaali ampliudi li huippuarvo, f o s aauus a ϕ o s vaihkulma. S, miksi yhälössä o ärkvää olla kosiifukio ikä siifukio, slviää luvussa.3. Kosiisa huolimaa kuiki usi käyää imiysä "siisigaali" ai vai "sii". Siisigaali aksopiuus o myös ärkä omiaisuus. aauus a aksopiuus ova oissa kääislukua: f li f li f. ämä kääislukuyhyd voi oda dllä olvasa siisigaali yhälösä suraavasi. iyllä aahkllä siisigaali arvo o v cos f + ϕ ( ( a aksopiuud kuluua li hkllä + s arvo o v( + cos[ f ( + + ϕ] cos f + + ϕ cos f f cos f + + ϕ cos f + ϕ v( [ ] [ ] + f f + ϕ uossa käyii hyväksi ioa siiä, ä kosiifukio aksopiuus o radiaaia li 36.

6 6 O ärkää ymmärää, ä siisigaali o aa fukio, mua siisigaali yhälössä siiyvä kosiifukio o kulma fukio. Yhälössä (. suluissa olva kosii argumi f + ϕ muuaa aa kulumis kulma arvo kasvamisksi. Myös o ärkää ymmärää, milloi kulma arvoa piää käsillä radiaaia a milloi asia. Mukaa olva rmi viiaa radiaaihi, mua oisaala käyäössä vaihkulma ϕ aaa usi asia. Niipä simrkiksi siisigaali v( 5cos( khz + 6 yhälö kaaaa milssää muuaa muooo v ( 5cos( khz + 3 ai muooo v ( 5cos( 36 khz + 6 aiaki siih asi, kus oppii käsilmää luovasi lauskkia, oissa siiyy skä radiaaia ä asia aua kulma-arvoa. Usi aauud f siaa siisigaali yhälössä siiyy kulmaaauus ω. Näid välillä o yhys ω f. Kulmaaauud yksikkö o priaassa sama kui aauud li /s, oa voidaa kusua myös hrsiksi. Kulmaaauud yhydssä i kuikaa ol suosilavaa käyää yksikköä hrsiä, koska s o varau imomaa aauud yksiköksi. Kulmaaauud yksikkö o /s, oka voi saoa myös muodossa "radiaaia skuissa". Kulmaauus imiäi kuvaa siisigaali yhälössä siiyvä kulma f + ϕ muuumisopua. Käyäössä ku puhuaa rilaisisa ioliiksigaalisa, i koskaa puhua sigaali kulmaaauuksisa. Siis simrkiksi radiossa uoaa saoo: "äällä Radio Mgapolis, 96,8 mgahrsiä". Hä i sao: "äällä Radio Mgapolis, 68, mgaradiaaia skuissa". Siksi ämä kira ksissä a yhälöissä siiyy lähs poikkuksa aauus f, i kulmaaauus ω. Kuvassa.4 o siisigaali aalomuodo kuvaaa ku vaihkulma ϕ, ku ϕ > a ku ϕ <. Kuva.4. Siisigaala. Paksulla viivalla piirry sii vaih, kakoviivalla piirryisä vasmmapuolis vaih o > a oikapuolis <. Vaihkulma siis määrää aalomuodo paika aika-akslilla. Sillo ku siisigaali siiyy yksiää, i vaihkulma arvolla ol mrkiysä, s arvo o is asiassa sopimuskysymys. mpliudi a aauus s siaa ova iysi olllisia myös yksiäisllä siisigaalilla. Mua hi ku vähiää kaksi siisigaalia siiyy ossai yhä aikaa, oisiisa summauuia, myös yksiäis sii vaihkulmi arvoilla o yhä ärkä osuus kokoaissigaali muodosumisssa kui ampliudilla a aauuksillaki. Kuvassa.5 o kahd sigaali kuvaaa, oka kumpiki oudaava yhälöä ( f + cos( f v ( cos v ( f + cos( f + (.3 cos 9 (.4 (

7 7 missä aauud ova f khz, f khz. Sigaali roava siis vai suurmpiaauis kompoisa vaihkulma osala. Kuva.5. Kahdsa riaauissa siisigaalisa ( khz a khz koosuva sigaali saaaa äyää simrkiksi ommala kummala äisä. Nähdää, ä y yhd vaihkulma muuumi muuaa sigaali aalomuooa. ässä apauksssa vaikuus i ol riyis dramaai, oissaki oisissa apauksissa sigaalii sisälyvi siikompoi vaihkulmi muuumislla voi olla hyviki suuri vaikuus sigaali aalomuooo. Komplksi siisigaali Ku vaihovirapiiri aalyysissä ukiaa siimuooisia äiiä a viroa piirissä, oka sisälävä rsisassa a rakassa, käyää komplksilukumamaiikkaa prusuvaa osoiilaskaa, olloi sii- a kosiifukioid siaa käsillää komplksisia kspoifukioia. Piiri aalysoii voiaisii priaassa hdä ilma komplksilukumamaiikkaaki, mua silloi uloksa olisi avaoma moimukaisia rigoomrisia yhälöiä. Siksi asia ääisllä moimukaisamislla (komplksis kspoifukioid käyööoo saadaa aikaa yksikraismpi ulos. Myös ioliiksigaali aalyysi yksikraisuu, os sigaali arkaslu prusuu raalis siisigaali siaa komplksisii kspoifukioihi. osi käyäössä uo siirymi komplksimamaiikkaa i ol äydlli, koska aiaki oku sigaali omiaisuuksii liiyvä asia o ärkvää käsillä raalisia.

8 8 Siirymi komplksiaalysii prusuu äihi uuihi rigoomria prusyhälöihi: x x ( + cos( x (.5 x x ( si( x (.6 Ku äisä ylmpää sovllaa yhälöö (., saadaa ioliiksigaali aalyysi prusaa olva siimuoois sigaali yhälö komplksimuooo (f+ ϕ (f + ϕ f ϕ f ϕ v( cos( f + ϕ + + (.7 Jos siisigaali olisi yhälössä (. alupri määrily siifukioa käyä, olisi y piäy sovlaa almpaa yhälöä, olloi v(: yhälöö olisi imiäii ilmsyy imagiääriyksikkö. Silloi imagiääriyksikkö ilmsyisi äsä päi moii muihiki paikkoihi. Siksi oli ärkvä valia käyää yhälössä (. kosiifukioa määrilässä siisigaalia. Yhälö (.7 ulkismisksi piää hima krraa komplksiluku omiaisuuksia. Ku mamaiika a piiriaalyysi kurssissa o opiu, komplksiluku voidaa siää graafissi komplksiasoo piirryä vkoria li osoiima: Im b r α a R Kuva.6. Komplksilukua z a+b vasaava komplksi osoii α Komplksis osoiim yhälö voidaa siää muodossa, missä r o osoiim piuus li z: isisarvo a α o posiiivis raaliaksli a osoiim väli kulma li z: vaihkulma. Koska rmi "vaihkulma" o kuiki ou o aimmi raalis siisigaali määrily yhydssä hima oislais käyöö, käyää akossa skaaus välämisksi rmi "komplksiluvu vaihkulma" siaa imiysä "komplksiluvu kulma". Ny yhälö (.7 oika puoli voidaa ulkia kaha komplksiasossa siaisvaa osoiima, oid kummaki isisarvo / kulma ova f + ϕ a f ϕ. z r

9 9 Im / / kulma kulma f+ ϕ - f-ϕ R Kuva.7 Siisigaali koosuu kahdsa komplksissa osoiimsa. Osoiimi kulmissa (oka ova oissa vasaluvu siiyy aikamuuua. S arkoiaa siä, ä kulma ivä ol vakioia, vaa muuuva aa kulussa. Osoiim siis pyörivä komplksiasossa. Pyörivi osoiimii liiyvä mm. suraava sika: oi osoii pyörii myöäpäivää, oi pyörii vasapäivää. Kummaki osoiim piuus /. ää voidaa kusua osoiim ampliudiksi. Kumpiki osoii pyörähää äyd ympyrä aassa /f. Siis raalis siisigaali aksopiuus vasaa y osoiim yhä kirrosa. f Vasapäivää pyörivä osoiim kulma muuuu opudlla f a myöäpäivää pyörivä opudlla f. Kulma muuumisopud isisarvo kulmaaauus ω. O luovaa määrillä vasapäiväi pyörimissuua posiiivisksi a myöäpäiväi gaiivisksi. Silloi osoiimi pyörimisaauud ova ±f a iid pyörimiskulmaaaud ova ±ω. Osoiimi kulma ova aia oissa vasaluvu. Silloi osoiimia vasaavi komplksiluku (li osoiimi kärki imagiääriosa ova oissa vasaluvu, o osoiimi summa o aia puhaasi raali. Niipä yhälössä (.7 olva raalis siisigaali voidaa aalla olva osoii, oka kärki liikkuu dsakaisi raaliakslilla välillä Hkllä osoiimi kulma ova ±ϕ. Koska kulmi isisarvo ova sama kui lähökohaa oll raalis siisigaali vaihkulma, iiä voi saoa osoiimi vaihkulmiksi. Edllis arkaslu pruslla voidaa oda: Raali siisigaali ( f + ϕ cos koosuu kahdsa komplksissa siisigaalisa: f ϕ f ϕ a, oid kummaki ampliudi o, oid aauud ova f a f a oid vaihkulma ova ϕ a ϕ..4 Jaksollis sigaali spkri: Fourir-sara Ny ku siimuoois sigaali olmus o slviy, voidaa oaa käsilyy muu aalomuodo. Kaikill ioliiksigaalill (a muillaki luooiid a kiika aloilla siiyvill sigaalill a aalomuodoill pä:

10 Kaikki sigaali, ii aksollis kui i-aksolliski, koosuva riaauisisa siisigaalisa. Voidaa osoiaa, ä aksollisll sigaalill v( uo arkoiaa siä, ä sigaali voidaa aia lausua yhälöä v( cos ( f + ϕ. (.8 ämä o sigaali v( raali Fourir-sarakhilmä. Yhälö kroo, ä mikä ahasa aksolli aalomuoo voidaa lausua äärömä mo riaauis siisigaali summaa ii, ä siimuoois kompoi aauud ova v(: prusaauud f kokoaislukumoikroa kullaki siimuooislla f -aauislla kompoilla o oma ampliudi a oma vaihkulma ϕ Jaksollis sigaali prusaauus f o aksopiuud kääisluku: f (.9 Prusaauud moikroa kusuaa sigaali v( harmoisiksi aauuksiksi; aauus f o sigaali :s harmoi aauus. Jos siis uaa aksollis sigaali aksopiuus, idää hi, ä sigaali koosuu aauuksisa, f, f, 3f, 4f. Mua mi saadaa slvill, miä ova ri aauuskompoi ampliudi,,, 3, 4. a vaih ϕ, ϕ, ϕ, ϕ 3, ϕ 4? N voidaa rakaisa kmällä sigaali v( Fourir-aalyysi, oho palaaa pia. Ilma riyisä Fourir-aalyysiaki voi lähs riviaalia simrkkiä oda, ä siimuoois prussigaali v( cos( f + ϕ raalis Fourir-sara ampliudi a vaih ova, ku ϕ ϕ ϕ, ku oi yksikrai apaus o asasähkösigaali v( U. S raalis Fourir-sara paramri ova U, ku ϕ kaikilla : arvoilla asasähköhä voidaa ulkia ollaaauisksi siisigaaliksi: U U ( cos. Yli apaus, ossa aksollis sigaali aalomuoo i ol siimuooi, vaaii mukikkaampaa mamaaisa aalyysiä. Ei kuikaa kaaa akaa yhälö (.8 mukais raalis Fourir-sara ukimisa, vaa kaaaa siiryä komplksis Fourir-saraa. Siirymi apahuu dllä luvussa.3 siyllä avalla. Korvaaa siis yhälössä (.8 olva

11 kosii komplksisilla kspoifukioilla, li arkasllaa, mi aksolli siaali koosuu riaauisisa komplksisisa siisigaalisa. uloksa o aksollis sigaali v( komplksis Fourir-sara yhälö f v( c (. Ny sigaali v( siää riaauis komplksis siisigaali summaa. Prusaauus f o sama kui dllä, siis aksopiuud kääisluku, a sigaali v( koosuu yhä harmoisisa aauuskompoisa f. Eroa o s, ä y myös gaiivis : arvo ova mukaa. Kuikaa i puhua simrkiksi aksollis sigaali gaiivisisa harmoisisa aauuksisa (sim. "miius kolmas harmoi". rmi ":s harmoi" arkoiaa y skä aauua f ä aauua f. ämäaauis komplksis kspoifukioha muodosava yhdssä f -aauis raalis siisigaali. Komplksis Fourir-sara yhälössä i äy riks f -aauis kompoi ampliudia a vaihkulmaa samalla avalla kui raalis Fourir-sara yhälössä (.8. Yhälö (. kroim c ova komplksilukua, olloi f -aauis kompoi ampliudi o kroim isisarvo c vaih o kroim vaihkulma arg(c. Eri aauuskompoi ampliudi a vaih saadaa slvill igraalilauskksa c v( f d (. ässä mrkiä arkoiaa määräyä igraalia : piuis aaakso yli. Igroii alaraa o vapaasi valiavissa, mua yläraa o alaraa+. Joissaki apauksissa c : saa laskuksi hlpoi igroimalla /:sa /:, oisissa apauksissa igroii :sa :aa ohaa hlpommi sivyvää c : lauskks. Jaksollis sigaali spkri kuva o Fourir-sara kroimi c arvo graafi siys aauud fukioa. Ylsä ampliudispkri li kroimi isisarvo c a vaihspkri li kroimi vaihkulma arg(c siää riks. Sigaali spkri siis kroo suraava asia: Miä aauuksia sigaali sisälää (li mikäaauisisa siimuooisisa kompoisa s koosuu. Mikä o kuki sigaalii sisälyvä (siimuoois kompoi ampliudi. ämä kroo ampliudispkri. Mikä o kuki sigaalii sisälyvä (siimuoois kompoi vaih. ämä kroo vaihspkri. mpliudispkri o käyäössä ylsä ärkämpi. Usi vaihspkisä i arvia ioa, a myös s miaami vaaii mukikkaamma a kalliimma lai kui plkä ampliudispkri miaami. ****************** Esimrkki alkaa **************************************

12 Esimrkki. Määriää sakara-aallo (kuva.8 komplksis Fourir-sara kroim a piirrää sakara-aallo spkri v( - - Kuva.8 Sakara-aalo li suorakulma-aalo li "kaiaalo" Rakaisu. Joa yhälö (. igraali voi laska, piää ukiava sigaali v( yhälö si kiroiaa igraalilauskk all. Riiää, ä sigaalia arkasllaa yhd akso miaislla aikaaksolla. Sakara-aallo ampliudi o a s aksopiuus o, o s yhälö aikavälillä - /... / o o välillä ku o välillä ku ( v L K (. Ny Fourir-sara kroim yhälöksi ul ( ( ( ( [ ] ( [ ] + + o parilli os o pario os cos cos ( ( / / f f d d d v c f f f f f Loppuuloks päädyii oamalla, ä ( cos o ai riippu siiä, oko kokoaisluku parilli vai pario. a f kaoava maka varrlla, koska f. Sakara-aalo siis sisälää vai parioma harmois aauud (koska parillis harmois ampliudi, a pariomill : arvoill pä, ä sakara-aaloo sisälyvä f -aauis kompoi

13 3 ampliudi 9 vaihkulma 9 ku > ku < (.3 (.4 Kuvassa.9 o sakara-aallo ampliudispkri a vaihspkri kuvaaa. mpliudispkri kuvaaa pysyakslilla o kaksi ri asikkoa. Oikassa ruassa o absolui ampliudiasikko, vasmmassa ruassa o suhlli li ormalisoiu asikko. Suhllis ampliudiarvo saadaa aamalla suurimmall siiyväll ampliudill arvoksi, olloi muu ampliudi ova arvolaa. /,6/,/,8/,4/ Kuva.9. Sakara-aallo ampliudi- a vaihspkri. ****************** Esimrkki loppuu **************************************

14 4 Sakara-aalosimrkissä. saadu kalaisa spkriä, ossa siiyy vai iyä pisaauuksia, kusuaa viivaspkriksi. Ja ku spkri liiyy komplksis Fourirsarakhilmää, li siiä siiyvä skä gaiivis ä posiiivis aauud, puhuaa kaksipuolissa spkrisä. Jos aksollis sigaali spkriä lähdää arkaslmaa raalis Fourir-sara pohala, o uloksa yksipuoli spkri, ossa o vai posiiivi aauusaksli. Raalis Fourirsara, yhälö (.8, ampliudill a vaihkulmill ϕ o vasaava igraalilausk kui yhälössä (. olva komplksis Fourir-sara kroim c lausk. Siä i kaaa ässä ryhyä käsilmää, mua voidaa sili päällä millai o sakara-aallo yksipuoli spkri. Olaa, ä o posiiivi kokoaisluku. Jaksollis sigaali : harmois aauu liiyvä komplksis Fourir-sara kroim c a c -. ällöi uo :s harmoi aauuskompoi kokoaisuudssaa o v ( c c f arg( c + c f f + c arg( c f ässä o muuu komplksiluvu c - a c kspoifukioa käyävää osoiimuooo. Sovllaa ää sakara-aaloo, oll dllä laskii c, ku o pario Saadaa v ( cos + f+ / f / 4 ( f cos( f ämä o siis sakara-aallo : harmois aauuskompoi yhälö silloi ku o pario luku. Jos o parilli, o c c -. Koko sakara-aallo yhälöksi voi silloi kiroiaa v( v (,3,5,... 4 cos ( f / o raalisssa Fourir-sarassa sakara-aallo parioma : harmois 4 ampliudi vaih / Voidaa varsi hlposi osoiaa, ä os aksollis sigaali komplksisssa Fourir-sarassa posiiivisa :ää vasaa krroi c, o sama sigaali raalisssa Fourir-sarassa

15 5 ϕ c arg ( c arkkaa oa dllä saou pä vai, ku sigaali aalomuodo yhälö o raali. Mua oisaala, os v(: yhälö o komplksi, i s raalis Fourir-sara ukimisssa ol uurikaa milä. Jaksollis sigaali ho ioliiksigaali sähköi ho o usi käyäössä ärkä arkaslava suur. Lähdää arkaslmaa sigaalihoa sähköopi prusisa uusa ilasa, kuva. u( i( R Kuva. Jäi vasuks yli Jos vasuks yli vaikuava äi o asaäi, li u( U, ii vasuks häviöho U P ilmoiaa millä holla sähkörgia muuuu vasuksssa lämpörgiaksi. R Jos äi o vaihoäi, ii vasuks hklli häviöho saadaa samalla avalla: u ( p(. Ylsä hklli ho i ol ollli asia (oskus o, vaa usimmi ollaa R kiiosuia kskimääräissä hosa, oka symbolia käyää myös P:ä. Ny kskimääräi ho arkoiaa iysi ho aikakskiarvoa. Ku äi u( o aksolli, o myös ho p( aksolli, olloi riiää määriää ho aikakskiarvo akso piuisa aikaa. Kskimääräi ho sigaali priaassa äärömä pikää ksoaikaa o si sama kskimääräi ho yhd akso aikaa. O hlppo osoiaa, ä aksollis ho p( aikakskiarvo akso piuisa aikaa o P p( p( d, (.5 missä o myös sily aikakskiarvo mrkiäapa < >-sulkua käyä. Igraali mrkiäapa o slosu dllä yhälö (. yhydssä. Ku p(: paikall sioiaa äi a rsisassi, ul hoksi P u ( u ( U p( R R R (.6 uossa o lopuksi ou käyöö vaihoäi u( hollisarvo U, oka siis o

16 6 U u ( (.7 Määrilmällä hollisarvo saadaa vaihoäi häviöholl sama yhälö kui asaäi häviöholl. iva samalla avalla voidaa ärkillä, mikä o vasuks häviöho vasuks läpi kulkva vaihovirra i( avulla lausuua: P i ( R I R (.8 Joa varsiai asia, li ioliiksigaali hoo liiyvä arkaslu oisuisi mahdollisimma ylispäväsi a ilma sähkökis yksiyiskohi (ku ho yhälössä siiyvä rsisassi R arvo pohimisa, kaaaa hdä suraava sopimuks: Sigaalilla i ol yksikköä. Siis os äiä u( ai viraa i( ai oai muua sähköisä suura arkasllaa ioliiksigaalia, sill käyää symbolia v(, oka i ol vola ikä ampra ikä miää muuakaa vasaavaa, vaa s o plkäsää aalomuoo, oka arvo ova palaia lukua. [iysi sigaalisa voidaa käyää muuaki mrkiää kui v(; ässä kirassa siiyvä mm. sigaali w(, x(, y( a z(.] Soviaa, ä kaikki sigaali siiyvä Ω: suuruis rsisassi yhydssä. Samalla äää uosaki yksikkö pois, olloi myös ho o ilma yksikköä. Loppuuloksa saadaa aksollis ioliiksigaali v( kskimääräisll holl yhälö P v ( (.9 Jos haluaa olla arkkoa, piää oaa huomioo sllai ori mahdollisuus, ä sigaali aalomuodo yhälö v( voi olla komplksi. Käyäö sigaalilla äi i voi olla, mua simrkiksi dllä komplksisksi siisigaaliksi kusuu kspoifukio o komplksi sigaali. Sllaisssa apauksssa yhälö (.9 aaa holl komplksiarvo, oka i ol mahdollisa. Ylispävä ho lausk, oka pä myös komplksisill sigaalill, o P v * ( v ( v( (. Mrkiä v * ( arkoiaa v(: komplksikougaaia. Jakossa käyää älkimmäisä, isisarvo sisälävää lauska, vaikka isisarvo usimmi oki arpo. Yhälö (. aaa sigaali ho, ku s aalomuoo uaa. Eä os uaa vai sigaali spkri? Jaksollis sigaali apauksssa ämä arkoiaa siä, ä uaa s Fourir-sara kroim c. Silloi sigaali uaa yhälö (. aamassa muodossa. Ku uo yhälö sioiaa ho yhälöö (., saadaa hlpohkosi ulos P c (. ulos o varsi ärkkäypä, koska yhälö kroo s, ä sigaali kokoaisho o sigaali Fourir-kompoi ho summa.

17 Yhälöä (. kusuaa Parsvali yhälöksi ai Parsvali ormaksi. Parsvali yhälöä voidaa käyää mm. ukimaa, mi sigaali sisälämä ho akauuu ri aauuksi ksk. ää valais simrkki.. ****************** Esimrkki alkaa ************************************** Esimrkki. Sakara-aallo aksopiuus o 5 µs. Moako prosia s kokoaishosa o a prusaauudlla ( khz? b all khz: aauuksilla? c yli khz: aauuksilla? Muisuus: Ku saoaa "all khz: aauuksilla", arkoiaa kaksipuolissa spkrisä puhuassa aauusväliä khz... khz. Rakaisu: Jaksollis sigaali ho voi laska kahdlla avalla: 7 alomuodosa: P v( a spkrisä: P c Sakara-aallo kokoaisho o hlposi päälävissä. Sigaali oi possi o iysi vakio li, o s aikakskiarvoki o iysi. Siis y P Si piää slviää, mi uo kokoaisho akauuu ri aauuksi ksk. S slviää P: oissa lauskksa. a Prusaauu liiyvä Fourir-sara kroim ova c a c -. Silloi prusaaui ho o 8 +,. P a c + c 86 Siispä prusaaui ho o 8,6 % kokoaishosa. b ll khz: aauud arkoiava y harmoisia aauksia, ±, ±4, ±6, ±8 a ± khz, oihi liiyvä idksi arvo, ±, ±, ±3, ±4 a ±5. Mua ku sakara-aallolla kroim c ova ollasa poikkavia vai pariomilla : arvoilla, ul arkaslava osaho (li all khz:llä olva ho arvoksi y P b ( c + c3 + c5 5 5 c c , uossa käyii hyväksi myös siä, ä sakara-aallolla 4 c khz: aauuksilla siiyvä ho o 95,47 % kokoaishosa. 4 c. Vasaus siis o, ä all c ho yli khz: aauuksilla o hlpoia laska vähämällä kokoaishosa ho, oka o aauuksilla khz. Jälkimmäi ho aas laskaa samalla avalla kui b-kohdassa

18 8 oamalla mukaa parioma harmois kompoi yhdksä asi. ämä kohda vasaus saadaa äi: Pc P c ( c + c3 + c5 + c7 + c ,44 8 Siis yli khz: aauuksilla o 4,4 % kokoaishosa. ****************** Esimrkki loppuu **************************************.5 Ei-aksollis sigaali spkri: Fourir-muuos Jos sigaali i ol aksolli, sillä i ikää ol aksopiuua, olloi sillä i ol prusaauua ikä harmoisia aauuksia. Voidaa kuiki ulkia, ä i-aksollis sigaali aksopiuus lähsyy ääröä, olloi s prusaauus lähsyy ollaa a harmois aauud (oka ova prusaauud moikroa ova äärömä ihässä. Silloi i-aksolli sigaali sisälää kaikki aauud, olloi s spkri i ol viivaspkri, vaa akuva. Jos dllä olva arkaslu hdää mamaaissi, päädyää uloksa sigaali v( Fourirmuuoks: f v( d V ( f (. Fourir-muuos V(f o samalla sigaali v( spkri. ässä Fourir-muuosyhälö o komplksisssa muodossa. Yhälö raalisa muooa i kaaa ryhyä ukimaa laikaa. Vaikka Fourir-muuoks päädyii i-aksollis sigaali kaua, aaa yhälö (. myös aksollis sigaali v( spkri. Yhälö voidaa osoiaa aava spkriksi c V ( f ku f f kaikilla muilla aauksilla (.3 missä c saadaa yhälösä (.. Spkrisä V(f ähdää, ä sigaali v( sisälää vai harmois aauud, a s voidaa siää yhälöä (.. Fourir-muuos oimii myös oisi päi. Jos sigaali v( spkri V(f uaa, ii sigaali aalomuoo saada slvill Fourir-kääismuuokslla: f v( V ( f df (.4 Fourir-muuoksll a -kääismuuoksll käyää mm. suraavia mrkiäapoa, ku i halua kiroiaa äydllisiä igraalilauskkia:

19 9 V ( f v( F [ v( ] [ V ( f ] F v( V ( f Ei-aksollis sigaali Fourir-muuoks a spkrii liiyvä asia ulva sii parhai simrki kaua. ****************** Esimrkki alkaa ************************************** Esimrkki.3 Määriää suorakulmais pulssi li sakarapulssi Fourir-muuos a piirrää s spkri kuvaaa. Suorakulmai pulssi o ärkä i-aksolli prussigaali. Pulssi aalomuoo o kuvassa.. v( τ/ τ/ Kuva.. Suorakulmai pulssi Pulssi ksoaikaa mrkiää τ:lla a s korkua :lla. Pulssi yhälö voidaa kiroiaa äi: ku τ / < < τ / v( muualla (.5 Joa akossa voiaisii kiroiaa suorakulmaisia pulssa sisälävi sigaali yhälöiä käväsi, oaa käyöö ällai mrkiäapa kuva. a yhälö (.5 τ: ksoisll : korkuisll suorakulmaisll pulssill v(: v ( Π (.6 τ Suorakulmais pulssi symbolia käyää siis isoa pii-kiraia Π. Pulssi korkud mrkiäapa o slvä, mua pulssi kso τ mrkiä ikääkui akaaksi saaaa hämää. Kysssä siis i ol akolasku, vaa sopimus pulssi kso mrkiäavasa. Suorakulmais pulssi Fourir-muuos saadaa varsi suoraviivaislla igroiilla:

20 V ( f τ / f f v( d d / τ / si( fτ si( fτ τ f fτ τ sic( fτ τ / τ / f f f fτ τ ( f Loppuulos siis o Π τ τ sic( fτ (.7 Spkri yhälö o lopussa saau arkoiukslla (lavamalla τ:lla muooo, osa s voidaa kiroiaa sic-fukioa käyä. ioliikkiikassa (a muillaki aloilla siiyy mlko usi muooa si( x x olva lausk, o o kasou arpllisksi oaa käyöö uoll lauskkll oma imiys. Sic-fukio määrilmä o si( x sic( x x (.8 Sic-fukio ärkimmä omiaisuud ova: sic( (Esim. laskimlla i voi laska suoraa lauska si(/, mua o hlppo si( x osoiaa, ä raa-arvoa lim. x x sic(x aia ku x o kokoaisluku (paisi os x Sic-fukio kuvaaa o kuvassa.. Moi käyäö ioliiksigaali ampliudispkrisä löyyy samalaisia piiriä kui sic: isisarvo kuvaaasa. Spkrissä o ylsä korka pääkila a oukko maalampia sivukiloa. Joki vrra pähavaiolli rmi 'kila' o vasi glai kil saall 'lob'.

21 Kuva.. Sic-fukio a s isisarvo Kuvassa.3 o suorakulmais pulssi ampliudispkri, ku pulssill o olu odlli ksoaika, ässä apauksssa τ µs. Pulssi korkus o. Silloi pulssi spkri o ( V ( f τ sic fτ olloi sic-fukio ollakohda sauva aauuksill, oilla fτ kokoaisluku, li aauuksill f khz, missä o mikä ahasa kokoaisluku paisi. τ

22 Kuva.3. Suorakulmais pulssi (τ µs ampliudispkri Koska y spkri o puhaasi raali, ova vaihspkri aioa mahdollis arvo a ±8. Vaih o ±8 (li ± silloi, ku V(f o gaiivi. ****************** Esimrkki loppuu ************************************** Kuva.3 kalais spkri yhydssä puhuaa usi sigaali kaisalvydsä (gl. badwidh, oka symbolia käyää usimmi B:ä ai W:ä. Eri symbola käyää, koska, ku luvussa 3 ul sill, myös ioliikärslmillä a -laiilla o kaisalvysimi omiaisuus. Järslmä kaisalvyä mrkiää ylsä B:llä, o os samassa yhydssä puhuaa myös sigaali kaisalvydsä, o ärkvää ä sillä o ri symboli W. Sigaali kaisalvys voidaa määrillä ri avoi. Sillä saaaa arkoiaa spkri pääkila lvyä, kuiki ii, ä vai posiiivislla aauusakslilla olva osa oaa huomioo. τ: ksois suorakulmais pulssi kaisalvys äi määrilyä o siis W /τ. Joskus puhuaa 3 db: kaisalvydsä, oka myös määriää spkri posiiivislla aauusakslilla olva osa pruslla. Suorakulmais pulssi apauksssa 3 db: kaisalvys saadaa rakaismalla f pulssi yhälösä ( fτ, τ τ sic 78 (.9 li rakaismalla s aauus, olla spkri arvo o pudou 3 db vrraua spkri maksimiarvoo τ. mpliudi pimi 3 db arkoiaa kromisa luvulla,78, koska log(,78 3. Yhälö rakaisua saadaa suorakulmais pulssi 3 db: kaisalvyd.44 arvoksi W 3 db. Myös muia dsibliarvoa voidaa käyää kaisalvyd määrilyy, τ voidaa puhua sim db: kaisalvydsä. Ei-aksollis sigaali rgia Jos sigaali o simrkiksi kuva. mukai pulssi ai oki muu kraluoi ilmiö, o s kskimääräi ho olla. Luvu. alussaha odii, ä sigaala pidää aia ksolaa äärömiä, olloi ksolaa äärllis sigaali äärlli kokoaisrgia

23 3 akaauu äärömä pikäll aall, olloi loppuulos o olla. Siksi i-aksollis sigaali apauksssa o ärkvämpää ukia ho asmasa sigaali rgiaa. Samalaislla sähkökisllä arkaslulla kui luvussa.4 olva aksollis sigaali hoarkaslu voidaa päällä ä sigaali v( rgia o E v( d (.3 Parsvali hoyhälö (. aaa aksollis sigaali kskimääräis ho sigaali spkrikompoi ampliudi avulla. Samayppi yhälö voidaa ohaa sigaali rgiall: E V ( f df (.3 Ergia yhälö voi ulkia samalla avalla kui Parsvali hoyhälö (., li kysssä o sigaali spkrikompoi rgioid summa. Ku spkri i koosu yksiäisisä aauuksisa, vaa o akuva, o yhälössä summauks siaa igroii. Yhälöä (.3 kusuaa Rayligh' ormaksi ai Rayligh' yhälöksi. Ergia laskmisssa siiyvää ampliudispkri oisa possia V ( f kusuaa sigaali v( rgiaspkriksi. Myös imiyksiä 'rgiaspkri ihys' ai plkkä 'spkri ihys' käyää. Ergiaspkri siis kroo, mi sigaali sisälämä kokoaisrgia o akauuu ri aauuksi ksk. Myös käyää rmä 'hospkri' a 'hospkri ihys', koska oissaki apauksissa myös i-aksollis sigaali yhydssä voidaa puhua sigaali kskimääräissä hosa. Silloi hospkri kroo mi uo ho o akauuu ri aauuksi ksk. Käyämällä imiysä 'spkri ihys' voidaa puhua ampliudispkri oissa possisa ilma, ä piää yksilöidä, käsillääkö rgiaa vai hoa. ****************** Esimrkki alkaa ************************************** Esimrkki.4. ukiaa suorakulmais pulssi rgia akauumisa ri aauuksill. Lask, moako prosia kuva. suorakulmais pulssi rgiasa o pulssi spkri pääkila alulla. Pulssi kokoaisrgia saa hlposi aika-alu rgiayhälösä (.3. Ku pulssi yhälö (.5 sioiaa igraalii, ul rgia laskuoimiukslla τ / τ / / τ / τ / E v( d d τ Spkri pääkila määräämällä aauuskaisalla olva rgia saa laskmalla Rayligh' yhälö igraali vai maiiu aauuskaisa yli. Esimrkissä.3 kävi ilmi, ä suorakulmais pulssi pääkila o aauusvälillä /τ... /τ, o piää laska igraali / τ ( fτ si E V ( f df τ sic ( fτ df df.9 τ f / τ / τ / τ

24 4 Igraalia i voi laska sulussa muodossa, o loppuulos o lasku umrissi iokolla. ****************** Esimrkki loppuu **************************************.6 Fourir-aalyysi yökalua Kaikki mahdollis aalomuoo spkri o aiaki priaassa määriävissä suoraa Fourir-muuosigraali (. avulla. Usissa apauksissa Fourir-muuoks laskmi määrilmä avulla o kuiki arpoa, koska o idossa olvia spkrä voidaa käyää hyväksi määriässä uusi sigaali spkrä. Suraavassa siää ärkimmä ava ohaa uud sigaali Fourir-muuos aimmi uuisa muuoksisa. Kaikki siy uloks o varsi hlppo ohaa Fourir-muuoks määrilmäsä lähi. Yksiyiskohaisia ohamisia ässä i siä. Symmris sigaali. Sigaali aalomuoo voi olla symmri aika-aksli origo suh kahdlla avalla: Parillissi symmrisll sigaalill pä v ( v(. Esimrkiksi kosiifukiolla määrily siimuooi sigaali v( cos(f o parillissi symmri. Esimrkki i-aksollissa parillissa sigaalisa o kuva. suorakulmai pulssi. Myös älmpää olvassa kuvassa.6 olva pulssipari o parillissi symmri. Parillis sigaali Fourir-muuoks yhälö sivyy puhaasi raalis muooo V ( f v( cos( f d (.3 Pariomasi symmrisll sigaalill pä: v( v(. Esimrkiksi siifukiolla määrily siimuooi sigaali v( si(f o pariomasi symmri. Esimrkki i-aksollissa pariomasi symmrissä sigaalisa o kuvassa.8 Parioma sigaali Fourir-muuoks yhälö sivyy puhaasi imagiääris muooo V ( f v( si( f d (.33 Duaalisuus Fourir-muuoks a -kääismuuoks yhälö (. a (.4 muisuava oisiaa mlkoissi. O mlko yksikraisa odisaa, ä aalomuodolla a s spkrillä o suraava omiaisuus: Jos aalomuodo v( spkri o V(f, ii silloi aalomuodo V( spkri o v(-f. ämä arkoiaa simrkiksi siä, ä ku suorakulmais pulssi spkri o sic-fukio muooi, o vasaavasi sic-fukio muoois pulssi spkri suorakulmio. Esimrkki.5 valais asiaa.

25 5 ****************** Esimrkki alkaa ************************************** Esimrkki.5. Määriää ohis sic-muoois pulssi spkri Kuva.4 Sic-pulssi Rakaisu. Kuva.4 sigaali yhälö o v( C sic( Voidaa käyää hyväksi aimmi krroua Fourir-muuoks duaalisuusomiaisuua. idää, ä Π τ sic( fτ, τ o sovlamalla suoraa duaalisuuspriaaa, saadaa τ sic( τ f Π τ Ny sic-pulssissa o τ: siaa C a τ: siaa / (olloi myös voidaa kiroiaa C. Lisäksi koska suorakulmaisa pulssia kuvaava Π-fukio o parillissi symmri, voidaa oika puol miiusmrkki äää pois. Näi saadaa sic-pulssi spkri: f C sic( CΠ. / Sic-pulssi spkri aauuskaisa o siis arkasi raau. Jos pulssi pääkila kso o, ii s kaksipuolis spkri lvys o /. Kuiki puhuassa sigaali kaisalvydsä arkoiaa posiiivislla aauusakslilla olva spkri osa lvyä, o y sic-pulssi kaisalvys o /.

26 6 V(f C -/ / f Kuva.5 Sic-pulssi spkri. ****************** Esimrkki loppuu ************************************** Sigaali summaami Jos sigaali krroaa vakiolla, myös s spkri ul krrouksi samalla vakiolla: av( av ( f (.34 Jos kaksi sigaalia summaaa, myös iid spkri summauuva: v ( + v ( V ( f + V ( f (.35 Yhdisämällä a ylisämällä dllis saadaa Fourir-muuoks suprposiiopriaa: a + a v ( + a v ( + K a V ( f + a V ( f + a V ( +K v( f (.36 Sigaali viiv Jos sigaalill v( aihuaa d : suurui viiv (alaidksi d ul saasa dlay, viiv ii uloksa o viiväsy sigaali v(- d, oka aalomuoo o sama, mua oka o siiryy aikaakslilla d : vrra. Jos viiv o gaiivi, siiryy v( viiv asiosa iysi gaiivis suuaa (li vasmmall aika-akslilla. Viiv aihuaa sigaali spkrii vaihrmi: v( d V ( f f d (.37 Koska spkrii ilmsyvä komplksis kspoirmi isisarvo, i viiv vaikua sigaali ampliudispkrii. S siaa vaihspkrii ul auudsa riippuva muuos, li f- aauis kompoi vaihkulma muuuu viiv vaikuukssa määrällä f. ****************** Esimrkki alkaa ************************************** Esimrkki.6. Määriä kuvassa.6 olva pulssipari spkri lausk d

27 7 τ v( τ - Kuva.6. Kahdsa suorakulmaissa pulssisa koosuva sigaali. Rakaisu. Ny voidaa sovlaa yhälössä (.36 siyä suprposiiopriaaa, koska sigaali voidaa aalla olva kahd pulssi summa. Noilla kahdlla suorakulmaislla pulssilla o viiv - a, o yhälössä (.6 silyä mrkiäapaa käyä a oamalla viiv huomioo ukiava sigaali aikaaso yhälö voidaa kiroiaa ( v( Π + Π τ τ Silloi voidaa suoraa kiroiaa spkri yhälö käyämällä hyväksi yhälössä (.7 aua suorakulmais pulssi Fourir-muuosa skä yhälössä (.37 aua viiv vaikuusa: V ( f τ sic f ( f ( fτ + τ sic( fτ Esimmäisssä rmissä miiusmrki iysi kumoava oissa (siiä o dll - muisuamassa siiä, ä simmäis pulssi viiv o gaiivi olloi komplksis kspoi muodosava yhälö (.5 mukaissi kosiifukio. Loppuuloksksi saadaa ( fτ cos( V ( f τ sic f ****************** Esimrkki loppuu ************************************** Drivoii Sigaali drivoii aa suh aihuaa spkrii kroim f: dv( d f V ( f (.38 Igroii Sigaali igroii aa suh aihuaa spkrii akaa f: V ( f v( λ dλ f (.39 ****************** Esimrkki alkaa ************************************** Esimrkki.7. Määriää kuvassa.7 olva kolmiopulssi spkri yhälö.

28 8 v( τ τ Kuva.7 Kolmiopulssi Rakaisu. Koska myös kolmiopulssi o varsi prusavalaaui i-aksolli sigaali, o sillki käyössä samayyppi mrkiäapa kui miä silii suorakulmaisll pulssill yhälössä (.6. Kuva pulssi yhälö kiroiaa äi: v ( Λ (.4 τ Kolmiopulssi symbolia käyää isoa lambda-kiraia Λ. Huomaa, ä y pulssi ksoaikaa liiyvä symboli τ arkoiaa ri asiaa kui suorakulmaislla pulssilla. Kolmiopulssi ksoa mrkiää τ:lla, ku suorakulmais pulssi kso τ. ähä omiuisuu saadaa sliys pia. Kuva.7 kolmiopulssi spkri saisi kyllä laskuksi suoraa Fourir-muuoks yhälösä (., mua mlko yölääsi. Hlpommalla päs oivalamalla, ä kolmiopulssi drivoimi aa suh aaa kaksi suorakulmaisa pulssia. Silloi uo drivaaasigaali spkri lausk slviää mlko hlpolla, a s älk yhälöä (.38 käyä slviää sama i myös alkupräis kolmiopulssi spkri. Kuva.7 kolmiopulssi koosuu kahdsa suorasa. Esi o ousva suora, oka kulmakrroi o /τ a si laskva suora, oka kulmakrroi o /τ. Suora drivaaaha o sama kui s kulmakrroi, o kolmiopulssi drivaaasigaali o kuvassa.6. v( /τ τ τ -/τ Kuva.8 Kolmiopulssi aikadrivaaa Kolmiopulssi drivaaassa o kaksi suorakulmaisa pulssia, oid kummaki kso o τ, korkud ova /τ a /τ a viiv τ/ a τ/. Silloi rakaisu samalla avalla kui dllä simrkissä.6 Kuva.8 drivaaasigaali yhälö o

29 9 ( τ / τ / x( Π Π τ τ τ τ o drivaaasigaali spkri o X ( f τ sic τ τ f ( τ / fτ / ( fτ τ sic( fτ Ku supisaa τ: a : a huomioidaa miiusmrki, yhälö saadaa mm. yhälö (.6 pruslla hlposi muooo ( fτ si( f X ( f sic τ Nyhä koska dv( x(, d o yhälö (.38 mukaa X ( f f V ( f, o siy kolmiopulssi spkri o ( fτ V ( f sic si( fτ V ( f f f Ku supisaa pois : a lavaa τ:lla (olloi osoiaassa olvasa siisä a imiääsä saa aikaa sic-fukio, ul loppuuloksksi V ( f τ sic ( fτ Kolmiopulssi spkri roaa siis suorakulmais pulssi spkrisä vai kspoilaa. O kuiki muisava, miä dllä saoii pulsi ksoaikaa liiyväsä τ:sa. Jos τ arkoiaisi kummallaki pulssimuodolla samaa, ivä spkri lauskk olisi aiva oi samakalais. Is asiassa τ o määrily ii, ä kummaki pulssi pia-ala aaa sama lausk, li τ. ****************** Esimrkki loppuu ************************************** aauuskovrsio Sigaali kromi siimuooislla sigaalilla siirää s spkri skä ylös- ä alaspäi aauusakslilla: v ( cos(f c V ( f f c + V ( f + f c (.4 lkupräis sigaali v( spkri V(f siis kahduu ii ä spkri s koha, oka alu pri oli aauud f kohdalla, siiryy aauuksi ±f c kohdall. ällaisa spkri siirämisä aauusakslilla ois paikkaa kusuaa aauuskovrsioksi.

30 3 ****************** Esimrkki alkaa ************************************** Esimrkki.8 arkasllaa ukapulssia a s spkriä. Pulssiuka lähää kuvassa.9 siy kalaisia siiaalopurskia, oid yhälö voi kiroiaa muodossa v( Π cos τ ( f c Kuva.9 ukapulssi Sovlamalla suoraa yhälöiä (.7 a (.4 ämä spkri lauskk voi kiroiaa: V ( f τ sic c sic [( f + f τ ] + τ [( f f τ ] c

31 3 Kuva. ukapulssi ampliudispkri. Kuvassa o vai posiiivi aauusaksli. Ngaiivislla akslilla kohdassa f f c o samalai spkri. Kuva spkri o samalai kui simrkissä.3 olva suorakulmais pulssi ampliudispkri. Koska sic-fukio muooi spkri o kuiki siiryy pois ollaaauud kohdala, o sigaali kaisalvys kaksikrai vrraua plkä τ: ksois suorakulmais pulssi kaisalvy. Kaisalvyä määrilässähä oaa huomioo vai posiiivislla aauusakslilla olva spkri osa (ks. luku.5. Suorakulmais pulssi spkri pääkilasa vai puol o posiiivislla aauusakslilla, o s kaisalvys o W /τ. S siaa y ukiu ukapulssi spkrissä koko pääkila o posiiivislla aauusakslilla, o kaisalvys o W /τ. ****************** Esimrkki loppuu **************************************.7 Impulssi Luvussa.5 arkaslii suorakulmais pulssi spkriä a saaii ulos Π τ sic( fτ τ Valiaa pulssi kso a korkus ii, ä iid ulo (li pulssi pia-ala τ. Silloi iysi ul oglmia suurid yksiköid kassa, mua i aa s haiaa. Pulssi spkri yhälö o ällöi sic(fτ. Si aaa pulssi lyhyä ii, ä s korkus samalla muuuu ii, ä koko aa τ. Pulssi spkri muoo oudaaa kuvassa. olvaa sic-muooa. Fucio sic(x ollakohda ova kohdissa x kokoaisluku, o pulssi spkri sic(fτ ollakohda ova aauuksilla f kokoaisluku (/τ. Ku pulssi kap ii, ä s kskikoha pysyy aika-aksli origossa a koko aa s piaala, s spkri pääkila lv, mua pääkila maksimiarvo säilyy ykkösä. Pääkilaha o aauusakslilla välillä -/τ... /τ a y pulssi kso τ pi. O hlppo päällä, ä ku pulssi kso lähsyy ollaa (olloi s korkus lähsyy ääröä, spkri lähsyy vaakasuoraa viivaa, oka arvo. orisa raaapauksa saadaa äärömä lyhy, äärömä korka pulssi, oka pia-ala a oka spkri. uoa pulssia kusuaa impulssiksi a s symboli o δ(. Impulssill siis pä: δ ( (.4 Impulssi spkri siis o aauudsa riippumao vakio. Impulssi o sigaali, oka sisälää kaikkia aauuksia yhä palo. Impulssi δ( siais aika-aksli ollakohdassa. S piirrossymbolia käyää ylöspäi osoiavaa : korkuisa uola. uo uol korkus i siis ilmoia impulssi korkua (oka o äärö, vaa s pia-ala. Voidaa saoa, ä δ( o prusimpulssi, oka arvo a oka apahuu hkllä. Impulssi voi siaia myös muualla aika-akslilla a s arvo voi olla muuaki kui. Kuvassa. o : arvoi d : vrra viiväsy impulssi δ(- d.

32 3 v( d Kuva. Impulssi δ(- d aika-akslilla Sovlamalla yhälöiä (.36 a (.4 voidaa kiroiaa suoraa ylis impulssi Fourirmuuos δ ( d f d (.43 Impulssi pia-alaomiaisuus voidaa ilmaisa suraavalla yhälöllä: δ ( d (.44 Koska impulssi o äärömä kapa, voidaa kiroiaa ε ε δ ( d (.45 missä ε o milivalais pii posiiivi luku. Suoraa yhälösä (.44 suraa ämä impulssi omiaisuus: v δ ( d v( ( d d (.46 oka voi aalla äyksi sigaalisa v( hkllä d. Spkriaalyysi kaala ärkä impulssii liiyvä asia o sigaali arvo asklmais muuoks drivaaa ulkia impulssia. sklfukiolla u( arkoiaa sigaalia, oka arvo hyppää arvosa arvoo hkllä. Kuvassa. o : suurui hkllä d apahuva askl, oka yhälö siis o v( u( d. v( d

33 33 Kuva.. sklmai sigaali dv ( Jos kuva sigaali v( drivoidaa aa suh, o drivaaasigaali arvo olla d kaikkialla muualla paisi uuri askl kohdalla li hkllä d. Koska muuos o pysysuora, o drivaaa uossa kohdassa arvolaa äärö. Drivaaa siis muisuaa kovasi impulssia, koska s o olla muulloi paisi äärömä lyhy aa, olloi s o äärö. Voidaaki osoiaa, ä suraava ulkia o oikuu: d d [ u ] ( δ (.47 ( d d Siis : korkuis askl drivaaa o : arvoi impulssi. Yhälö (.47 o varsi käyöklpoi yökalu, ku haluaa slviää rilais, riyissi pulssisa koosuvi sigaali spkrä. Esimrkki.9 valais asiaa. ****************** Esimrkki alkaa ************************************** Esimrkki.9 Määriää simrkissä.6 käsilly pulssipari spkri uudsaa käyä hyväksi impulssa. Rakaisu. Drivoidaa kuvassa.6 olva sigaali. ulos: dv( x( δ + τ d [ ( τ / ] δ [ ( + τ / ] + δ [ ( τ / ] δ [ ( / ] ämä drivaaasigaali Fourir-muuos saadaa sovlamalla okais impulssii yhälöä (.43: X ( f f f ( τ / f ( + τ / f ( τ / f ( + τ / fτ f fτ f ( fτ fτ f + ( fτ τ f f f τ τ ( + ( f f cos(f si( fτ + + f fτ f fτ Ja koska yhälö (.38 mukaa X ( f f V ( f saadaa ( f V ( f cos si( fτ V ( f τ cos(f sic( fτ f f li äsmäll sama lausk kui miä saaii o aimmi simrkissä.6. ****************** Esimrkki loppuu **************************************

34 Edllä o käsily aika-alu impulssa. Myös spkrissä voi siiyä impulssa. Yhälössä (.3 o siy aksollis sigaali v( spkri V(f yhälö Fourir-sara kroimia käyä. Sama yhälö voi impulssa käyä kiroiaa ( f f V f c ( δ (.48 Harmois aauuksi f kohdalla olvia spkriviivoa siis voi piää impulssia. Koska Fourir-sara kroim c voiva olla myös komplksisia, ul ässä samalla oduksi, ä o olmassa myös komplksisia impulssa Kovoluuio Vaikka kovoluuio i olkaa varsiaissi spkriaalyysii liiyvä asia, vaa palo laampi ioliik- a muid sigaali käyöö liiyvä ilmiö, o s sily ässä yhydssä pruslua. Kovoluuio käsiä arviaa luvussa 3, a siä voi käyää myös spkri määriämis apuväliä. Kovoluuio o ilmiö, oka siiyy luoossa koko aa. Esimrkiksi kaikki s iformaaio, miä saamm äkö- a kuuloaisimm väliyksllä o rilais kovoluuioid ulosa. Pari simrkkiä: Ku kuul kooa radioa, kuul radio kaiuim äää, vaa kuul kaiuimsa ulva ää a huoakusiikasa riippuva suur (li huo impulssivas; ähä palaaa luvussa 3 kovoluuio. Ku oa valokuva, i filmill allu kuvaava kohd, vaa si alluu kuvaava koh a mm. opiika omiaisuuksisa a kamra mahdollissa ärähämissä riippuva suur kovoluuio. Kovoluuiossa apahuu sigaali räälai skoiumi oisiisa. Kahd sigaali kovoluuio uloksa olva uusi sigaali avallaa prii omiaisuuksia molmmila alkupräisilä sigaalila. Silloi kovoluuiosigaali muisuaa ollai avalla kumpaaki alkupräisä sigaalia. Mamaaissi arkaslua kovoluuio o kahd sigaali väli apahuma, oka määril yhälö x ( * y( x( λ y( λ dλ (.49 Yhälö sliysä: Vas puoli luaa "x: a y: kovoluuio" ai äsmällismmi "sigaali x( a y( väli kovoluuio". ulos li kovoluuio o aa fukio. S o siis samalla avalla aikaaso sigaali kui kovoloiuva sigaali x( a y(. Igroiissa käyää apumuuuaa λ. Sill, ä s o uuri λ, i ol miää riyisä syyä, s voisi priaassa olla mikä ahasa muuki kirai. Olllisa o s, ä vaikka igroii apahuuki aa suh koko aika-aksli yli :sä :ää, i igroiimuuuaa voi käyää ormaalia aa symbolia, koska s o igroii loppuuloks äävä aikamuuua.

35 Igroiavaa o λ-akslill asu sigaali x a y ulo. Sigaali x o λ-akslilla sllaisaa, mua y-sigaali paikka λ-akslilla riippuu aikamuuua arvosa. Lisäksi y- sigaali kääyy pilikuvaks, koska argumia o λ. ikamuuuaa voi aalla "kuluvaa aikaa", olloi kasvaa koko aa. ämä arkoiaa siä, ä λ-akslill sioiu y-sigaali liukuu koko aa vasmmala oikalla, ku kasvaa. Esimrkki. pyrkii slvämää kovoluuioigraali laskmisa. ****************** Esimrkki alkaa ************************************** Esimrkki. Määriä suorakulmais pulssi x (. a y( B τ τ kovoluuio. Olaa τ τ. Rakaisu: Kuvassa.3 o sigaali sioiua λ-akslill yhälö (.49 älk olva sliyks mukaissi. Ny y-sigaali kääymi pilikuvaks i äy, koska pulssi o symmri. Pulssi x o origossa, mua pulssi y paikka riippuu kuluva aa arvosa. Kuvaa o piirry y- pulssi viidllä ri : arvolla. Nimiäi s, miä kovoluuioigraali all ul, riippuu siiä, mi palo sigaali x a y ova päällkkäi λ-akslilla. Ny ku y-pulssi o kapampi kui x- pulssi, o kolm ri apausa: Pulssi ivä ol yhää päällkkäi (kuva kohda a a Pulssi ova osaksi päällkkäi (kuva kohda b a d y-pulssi o kokoaa x-pulssi päällä (kuva koha c a y(- λ b x( λ y(- λ x( λ 35 λ λ c d y(- λ x( λ x( λ y(- λ λ λ

36 36 x( λ y(- λ λ Kuva.3 Kovoloiuva pulssi aa ri arvoilla Silloi ku pulssi ivä ol yhää päällkkäi (kuva.3 a a, o yhälö (.49 igroiava iysi olla kaikilla λ: arvoilla, o saadaa kovoluuio määriämis simmäi osaulos: x( * y(, ku < τ τ a ku > τ + τ Ku y-pulssi o yliäy x-pulssi vasmma rua, mua o vilä osaksi x-pulssi ulkopuollla (kuva.3 b, li ku τ / τ / τ / + τ /, o igraali alla olva lauskk arvo B silloi ku λ o välillä τ /... + τ /, o maiiulla -välillä kovoluuio arvo o + τ / τ + τ x( * y( Bdλ B + τ / Ku y-pulssi o kokoaa x-pulssi päällä (kuva.3 b, li ku τ / + τ / τ / τ /, o igraali alla olva lauskk arvo B silloi ku λ o välillä τ... + /, o maiiulla -välillä kovoluuio arvo o / τ + τ / x( * y( Bdλ Bτ τ / Ja lopuksi, ku y-pulssi o yliäy x-pulssi oika rua, mua o vilä osaksi x-pulssi päällä (kuva.3 d, li ku τ / τ / τ / + τ /, o igraali alla olva lauskk arvo B silloi ku λ o välillä τ /... τ /, o maiiulla -välillä kovoluuio arvo o τ / τ + τ x( * y( Bdλ B + τ / Kovoluuio kuvaaa o piirry kuvaa.4. Kovoluuio o ylisssä apauksssa puolisuuikas. Jos pulssi ova samalvyis, li τ τ ul kovoluuio kuvaaasa kolmio muooi pulssi.

37 37 x(*y( C - - Kuva.4 Suorakulmais pulssi kovoluuio. Kuvassa o slvyyd vuoksi käyy suraavia symbola: τ τ τ τ +,, C Bτ. ****************** Esimrkki loppuu ************************************** Kovoluuio vaikuus spkrii voidaa ohaa sioiamalla kovoluuioigraali (.49 Fourir-muuosigraalii (.. ulos o varsi yksikrai: x( * y( X ( f Y ( f (.5 ikaaso kovoluuio siis aihuaa spkri krolasku. Edllä o siy aikaasossa apahuva kovoluuio. Myös spkri voiva kovoloiua, a ii apahuu silloi, ku aikaaso sigaala krroaa kskää. Nimiäi voidaa ohaa ulos x( y( X ( f * Y ( f (.5 Nämä kaksi ulosa ova hyvi kskisiä ioliiksigaali käsily kaala a iihi palaaa myöhmmi ässä kirassa. O hlppo osoiaa, ä kovoluuio lvys (siis aalomuoo apauksssa kovoluuiosigaali kso a spkri apauksssa kovoluuiospkri lvys o kovoloiavi asioid lvyksi summa. Näihä kävi dllä simrkissä.. Siis yhälö (.5 pruslla voidaa päällä, ä os kaksi sigaalia, oid kaisalvyd ova B a B krroaa kskää, o loppuuloks kaisalvys B + B. Edllisssä luvussa käsily impulssi siiyy usi kovoluuio yhydssä. Voidaa osoiaa, ä v( * δ ( d v( d (.5 Siis sigaali kovoloimi viiväsy impulssi kassa aaa uloksksi alkupräis sigaali viiväsyä.